Сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының біреуін құрайтын дұрыс жүйелер

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

І . тарау.
Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар.
§1 Функцияның сипаттаушы сандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
§2 Сипаттаушы көрсеткіштердің негізгі қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы
көрсеткіштері... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

ІІ. тарау
Дұрыс және келтірімді жүйелер.
§1 Дұрыс жүйелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
§2 Үшбұрышты жүйелердің дұрыстығы.. Ляпунов теоремасы ... ... ... ... ..

Мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Кіріспе
Дифференциялдық теңдеу шешімінің сипатын анықтау үшін өзінің бірінші әдісіне Ляпунов шешемді бірсарынды (монотонды) функциясымен салыстырады, мұндағы - нақты сан. Мұндай салыстыру нәтижесінде әрбәр шешімге белгілі бір саны сәйкес қойылады.Егер Функциялар жиынтығын өсу немесе кему кестесі ретінде алатын болса, онда осы кесте бойынша дифференциялдық теңдеулердің шешімдер жиынтығы реттелген болып шығады. Осылайша салыстыру негізінде Ляпунов сипаттаушы көрсеткіштер (сандар) теориясын жасаған. Ляпуновтың бірінші әдісі осы теорияға негізделген.
Жұмыста біртекті сызықты дифференциялдық теңдеулер жүйесінің негізгі кластарының біреуін құрайтын, дұрыс жүйелер қарастырылған.
Мұнда үшбұрышты жүйелер үшін негізгі теоремалардың бірі Ляпунов теоремасы және мысалдар келтірілген.
Әдебиеттер.
1. Ляпунов.А.М Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, М 1950
2. Малкин И. Г Теория устойчивости движения, Наука, М, 1966
3. Петровский И.Г Лекции по теории обыкновенных
диференциальных уравнений. Издательство МГУ, М. 1984
4. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости, Наука,
М., 1967
5. Сүлейменов Ж. С. Дифференциалдық теңдеулер, «Білім» Алматы 1996
6. Коддингтон Э.А., Левисон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., 1958
7. Понтрягин Л.С обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, М.,
1983
8. Степанов В.В Курс дифференциальных уравнений,физматиз, М., 1959
        
        Мазмұны
Кіріспе.....................................................................
..........................................
І – тарау.
Қажетті анықтамалармен жалпы тұжырымдар.
§1 ... ... ... көрсеткіштердің ... ... ... жүйе ... ... ... және келтірімді жүйелер.
§1 ... ... ... дұрыстығы.. Ляпунов теоремасы..................
Мысалдар...................................................................
.................................
Әдебиеттер.................................................................
....................................
Кіріспе
Дифференциялдық теңдеу шешімінің сипатын анықтау үшін ... ... ... шешемді бірсарынды (монотонды) функциясымен
салыстырады, ... - ... сан. ... ... ... әрбәр
шешімге белгілі бір саны сәйкес қойылады.Егер Функциялар
жиынтығын өсу ... кему ... ... ... ... онда осы кесте
бойынша дифференциялдық теңдеулердің шешімдер жиынтығы реттелген болып
шығады. ... ... ... ... ... ... ... жасаған. Ляпуновтың бірінші әдісі осы теорияға
негізделген.
Жұмыста біртекті сызықты ... ... ... ... ... ... ... жүйелер қарастырылған.
Мұнда үшбұрышты жүйелер үшін негізгі теоремалардың бірі ... және ... ... ... ... ... ... Функцияның сипаттаушы сандары
Ляпуновтың анықтамасы. Егер кез – келген ... аз E>0 ... ... сан мына ... ... онда оны ... сипаттаушы
көрсеткіші (саны) деп атайды.
Бұл анықтамадан кез – келген функцияның сипаттаушы көрсеткіші ... ... ... ... Мына ... ... саны ... функциясының
сипаттаушы көрсеткіші (саны) деп аталады.
Ляпунов пен Перрон анықтамаларының ... пара – пар ... ... ... ... Оның ... ... бар болып, кез
келген және үшін
(3)
орындалатыны шығады. Ал ... ... ... бар ... ... ... орындалатынын білдіреді. Демек, жетерліктей
үлкен үшін
(4)
теңсіздігі орындалады.
(3) және (4) ... ... ... аламыз. Бұл екі теңсіздік (2) ... ... Енді ... ... (2) формула арқылы анықталсын. Онда
саны табылып, ... ... ... үшін ... ... табылып,
теңсіздіктері, яғни (2) орындалады.
(2) формула сипаттаушы көрсеткішті есептеу үшін өте ... ... ... үшін ... ... ал ... болатыны шығады. Демек, болса, онда ... ... ... қарағанда
баяуырақ және де белгілі бір тізбегі бойынша функциясынан тезірек
өседі. (1- сурет). Бұдан егер функцияның сипаттаушы көрсеткіші ... ... ... ... ұмтылатыны, ал сипаттаушы көрсеткіші оң болса, оның
кезде шенелмегендігі шығады.
Егерде ... ... ... ... тең болатын болса, онда
оның кездегі сипаты туралы ештеңе айтуға (с.к. ... ... ... вектор функциясының (матрица - жол
немесе матрица – ... ... ... деп оның ... көрсеткіші аталады.
және де ол норманың қай түрі
алынып тұрғанына байланысты ... ... ол ... пара ... Саны ... ... жиынтығының сипаттаушы көрсеткіші деп
олардың сипаттаушы көрсеткішінің ішіндегі ең үлкенін айтады.
Әлбетте, егер ...... ... ... есебінде
қарастырып, оның сипаттаушы көрсеткіші формуласы арқылы анықталса,
онда ол - мен тең ... ... ... ... ...
1-Теорема. Саны ақырлы функциялар қосындысының сипаттаушы көрсеткіші
осы ... ... ... ... ... ) ең үлкенінен аспайды.
Ал егерде ең үлкен сипаттаушы ... ... ғана ... ... ... оған тең ... жүйені де нақты деп есептеуге болады.
ДӘЛЕЛДЕУІ: Формула түрінде ... ... 1- ші ... ... ... ... ... үшін
Бұдан (1) теңсіздіктің ... ... Енді ... екінші бөлігін
дәлелдейік. болсын. Онда үшін ... ... етіп ... ... ... Сондықтан мына ақиқат теңсіздікті
пайдалана отырып,
теңдігін аламыз. Олай болса, бұл ... (1) ... ... ... ... ... ... кейбір функциялар ақырсыз ( неме-
се ) көрсеткішке ие болғанда да орындала береді.
2. Егер қосылғыштардың саны ақырсыз ... ... онда ... ... ... ... Саны ... функциялар көбейтіндісінің сипаттаушы
көрсеткіші осы ... ... ... ... ... мына тұжырым
яғни, орындалады.
Ескертулер. Егер көбейткіш функцияларының арасында
теңдіктерін ... және ... бар ... ... ... ... қалады .
Салдар. 1. Коэффициенттері шенелген ақырлы сызыұтық тіркестің енетін
функциялар көрсеткіштерінің ең үлкенінен аспайды.
шынында да,
екенін ... ... 1,2 ... ... ... тіркестің коэффициенттері тұрақты болып, ал
функциялардың біреуі ғана ең үлкен көрсеткішке ие ... ... , ... ... сол ... тең ... (1-теореманы дәлелдегендей):
3-Теорема. функциясымен оның кері ... ... ... тең ... үшін кезде өрнегінің ақырлы шегі
болуы ... де ... Егер ... онда мына ... ... ... аламыз, яғни анықталмаған ақырлы шек бар болады. Егер
бар болса, онда яғни орындалады.
1-Анықтама. Егер үшін ... шек ... ... онда ... ... дәл көрсеткіш деп атайды.
4 теорема. Егер функция f(t) дәл көрсеткішке ие ... онда f(t) ... ( ... көрсеткіштерінің қосындысына тең болады.
( (3)
Дәлелдеуі.
е –теорема негізінде ... ... ... 3- ... ескере отырып, осы 2- теореманы қайта
қолдансақ
теңсіздігін аламыз. Ол (4) теңсіздікпен қосылып, (3) теңдікті береді.
Енді көрсеткіштік ... ... Оның ... (алғашқы
бейнесі) түрінде алынсын.
Егер болса, Ал болғанда, болады.
Егер де болса, онда ... да ... ... ... ... ... алатын болса, болар еді, теңдік сақталар еді.
Сондықтан Ляпунов ... ... ... ... ... ... интегралы деп мына формулалар
кезде ... ... ... функциясын атайды.
§3 Сызықтың біртектес жүйе шешімдерінің сипаттаушы көрсеткіштері
Сызықтық біртектес
(1)
дифференциялдың жүйесін қарастырайық. Мұнда ал ... ... ... . ... (1) ... нөлдік шешімі бар. Оның
сипаттаушы көрсеткіші -ке тең.
1-ТЕОРЕМА. Егер (1) ... ... ... шенелген болса,
онда жүйенің кез келген нөлден өзгеше ... ... ... ие ... (1) ... кез ... шешімі болсын. Теореманың шарты
бойынша
орындалады. Әлбетте, шешімін мына ... ... ... ... бойынша бағалау арқылы
Гронулл леммасына сүйеніп
теңдігі алынады. Ал ... саны ... тең дәл ... ... ... теңсіздіктері шығады. Мұндағы
; енді ... ... (1) ... тең емес ... ... ... кесіндісіне
жататыны алынады.
Ескерту. Жүйененің коэффициенттерінің шенелген болуы шешуші ... ... ... орындалмайды.
Лемма. Әр түрлі (бір – біріне тең емес) көрсеткіштерге ие вектор –
функциялар өзара сызықтық тәуелсіз ... ... ... ...... және ... ... үшін деп есептейік. Кері
жорып, бәрі бірдей нөл емес сандары табылып, ... ... ... ... Онда
§2 – ... 1-2 ... ... сүйеніп,
теңдігін аламыз. Бұл шартқа қайшы. Кері жору қате, сызықтық
тәуелсіз.
3-Теорема. Жүйенің ерекше ... ... онда кез ... үшін мен - дан тәуелсіз әрі мына теңсіздікті
қанағаттандыратын
(2)
саны табылады.
Дәлелдеуі. деп ... ... ... ... ... үшін саны ... (3)
теңсіздігі алынады. Ал болғанда, ... ... ... ... ... мына кезде
теңсіздігі орындалады. Егер деп, ал деп ... ... (3) ... ... ... ерекше көрсеткіш (3)
теңсіздікті қанағаттандыратын ... ... ең ... ... болып табылады және (1) жүйенің бірқалыпты ден тәуелсіз)
орнықтылығын анықтайды. ... (1) жүйе ... ... ... Егер (1) – жүйе болады. Жалпы айнымалы матрица
болғанда, мұндай қатынас алынбайды.
кеңістігінде сызықтық біртектес
(1)
жүйесін ... ... өсу ... орналасқан
болсын. (1) жүйенің барлық шешімдерінің жиынтығы сызықтық кеңістік
құрайтыны белгілі. Ол кеңістіктің ... ... жеке ... ... ... ... кез – ... ілгері жүйесі табылды. ... ... ... ... - ге тең, ... ... ... кейбір - лер нөлге тең ... ... ... ... көрсеткіштерінің қосындысы деп аталады. Оның
төменгі шегін анықтайтын Ляпунов теңсіздігі дәлелденді:
(2)
сипаттаушы көрсеткіштері ... ... ... ... ең ... саны ... Сипаттаушы көрсеткіштері -
ден аспайтын, ... ... ... ... ... ... арқылы
белгіленсін. Әлбетте, . қосындымен көбейтіндінің көрсеткіштері
туралы теоремалардан мына қасиеттер алынады.
сондықтан жиынтығы ... ішкі ... ... ...... ... өлшемі ге тең болады.
(3)
Дәлелдеуі. Шынында да, анықтама бойынша, сипаттаушы көрсеткіші ... ... ... - ге ... ... ... ...
шартын қанағаттандыратын базисы болсын. Бұл базис міндетті түрде ең
үлкен көрсеткішке ие ... ... ... Олай ... ... ... тіркесі (комбинациясы) арқылы ... бар ... еді. (1) ... ... ... - ... ... алайық. Онда шешімдер жиынтығы жаңа ... ... да, егер ... – теңдігін қарастыратын болсақ, онда оны мына түрде
қайта жазып, шешімдерінің сызықтық тәуелсіздігі арқасында
теңдіктерін алар едік. ... ... Олай ...
кеңістігінің жаңа базисы. Бұл базистың ... ... ...
сипаттаушы көрсеткіштергге ие. Демек,
(5)
(4), (5) теңсіздіктерін (2) ... ... Мына ... орындалады:
2-Салдар. Кез келген ... ... ... сипаттаушы
көрсеткіші болатын шешімдер саны үшін
(6)
теңсіздігі орындалады.
Шынында да, сипаттаушы көрсеткіштері - ден ... ... ... кез ... ... ... ... Кез келген іргелі жүйесімен салыстырғанда сипаттаушы
көрсеткіштердің ең кіші қосындысына ие ... ... ... ... ... ... деп аталады.
егер матрицасы нақты болса,онда әрбір сипаттаушы көрсеткіш үшін, оған
ие болатын нақты ... бар ... ... бұл ... қалыпты
2-Анықтама. Шешімдердің қалыпты іргелі ... ... ... ... сипаттаушы көрсеткіштері деп аталады.
ІІ – ТАРАУ. ... және ... ... ... ...... үзілліссіз және шенелген сызықтық нақты
дифференциалдық жүйені
(1)
қарастырайық. Оның ( яғни қандай да бір қалыпты ... ) ... ... nj - ... ... - дің еселігі.
Мынандай белгілеулер
енгізейік. Әрқашан да теңсіздігі орындалады. Екінші ... ... ... бұл екі ... ... ... ... көрсеткіштердің қосындысы коэффициент матрица ізінің
орта мәнінің төменгі шегіне тең, яғни ... ... ... (1) ... жүйе деп ... ... ... матрица болса,онда (1) жүйенің дұрыс болу ... ... ... ... ... ... кейбір
қасиеттеріне ие. Мысалы, олар аз ауытқуға қатысты орнықтылығын сақтайды.
Лемма. Сызықтық дифференциалдық (1) жүйенің дұрыс болуы үшін ... ... ... орта ... шегі
бар болып, ол шектің жүйе көрсеткіштерінің қосындысына тең болуы
қажетті де ... ... (1) жүйе ... ... Онда және Ляпунов
теңсіздігі бойынша . Демек, . ал әрқашанда орындалатыны
ақиқат. ... ... ... ... ... дұрыстығы үшін теңдігінің орындалуы қажет, бірақ
жеткілікті емес.
Теорема. Коэффициенттері ... кез ... ... ... ... ... табылады.
Дәлелдеуі. Коэффициенттері тұрақты (21) жүйенің сипаттаушы
көрсеткіштері А ... ... ... ... ... тең.
Демек, жүйенің сипаттаушы көрсеткіштерінің қосындысы мұндағы
матрицасының меншікті сандары, - олардың еселіктері.
Екінші жағынан Виет ... ... ...
§2 ... ... ... теоремасы.
Коэффициенттері айнымалы жалпы түрдегі сызықтық жүйелер үшін олардың
дұрыстығын осы ... ... ... ... жоқ. ... ... ... болмай, үшбұрышты түрде болса, онда оны коэффициенттері
бойынша дұрыстыққа тексерудің Ляпунов ... ... ... ... ... ... төменгі үшбұрышты
(1)
жүйесін қарастырайық.
Ляпунов теоремасы. (1) жүйе дұрыс болу үшін оның ... ... ... ... орта ... ... ... де жеткілікті.
Дәлелдеу қажеттілігі. (1) жүйе дұрыс болсын. Белгілеулер енгізейік:
сызықтық төменгі үшбұрышты (1) жүйені ... ... ... төмен қарай интегралдауға болады. Оның ... ... ... ... ... ... онда . ... жүйені құру туралы Ляпунов
теоремасы негізінде X(t) матрицасын оң ... ... ... ... ... іргелі матрица аламыз. ... ... онда . ...... кері ... түйіндес жүйе
үшін қалыпты іргелі матрица болады және
(1) және (2) жүйе шешімдерінің сипаттаушы ... ... ... (1) жүйе ... ... ... ... алынады. Ал шешімнің ... ... ... ... ... , ... ... (4) теңдікті ескере отырып, мүшелеп қосу арқылы яғни
теңсіздігі алынады. Әрқашан да ... ... ... яғни ... ... ... шығады.
Жеткіліктілігі. (2) шарт орындалсын.
Мынадай функцияларжүйесін қарастырайық:
Интегралдың төменгі шегін осылайша таңдап алу ... ... ... байланысты. Ол жағдайда ... ... ... ... ... ... ... онда , яғни .
Мұндағы меншіксіз интегралдарды ... ... ... жүйесі жүйесінен ондағы
интегралдарға тұрақты шамалар ... ... ... ... жүйе. Онда тұрақты
матрицасы табылып,
болады. Математикалық индуикцияны пайдалана отырып, (5) жүйеден
болғанда, болатынын ... ... ... (2)шарт орындалғанда, болғандықтан, Ляпунов теңсіздігі ... ... ... ... айтқанда
Сондықтан жүйе қалыпты, ал (1) жүйе ... Егер ... ... ... (1) жүйе ... болса, онда оның
диогонал коэффициентерінің нақты бөлшектерінің орта мәні осы ... ... ... ... ... ... тексеру үшін оны үшбұрышты түрге келтіру жеткілікті екенін
көрсетіпт тұр.
Сызықтың ... жүйе ... ... ... ... ... жалпы алғанда
комплекс мәнді болады.
Мысалдар
Мысал 1. көбейтінді ... ... ... үшін ... ... Ал, ... егер
болса,
кез келген арқылы үшін кезде нөлге ұмтылады. ... ... ... ... Кез ... ... үшін ... мүмкін.
Онда функциясының сипаттаушы көрсеткіші үшін таңбасы алынады.
Егерде кез келген ... үшін ... ... ... онда ... ... көрсеткіші үшін
таңбасы алынады. Мұндай толықтыру қабылдағанда, кез ... ... ... немесе ақырсыз сипаттаушы көрсеткішке ие болады.
функциясының сипаттаушы көрсеткіші қысқаша ... ... 2. ... ... ... бір ... ұмтылатын болса, ол
шек функциясының сипаттаушы көрсеткіш болып табылады. Бұдан, дербес
жағдайда, ... ... мен ... ... ... ... нөлге тең болатыны көрініп тұр. (2) формуладан сипаттаушы
көрсеткіш бірсарындылық ... ие ... ... яғни егер ... ... ... Сондықтан бірқалыпты шенелген кез ... ... ... нөлден аспайды. әлбетте кез келген
тізбегі үшін ... ... 3. және ... ... көрсеткіш нөлге тең.
Алайда кезде олардың біріншісі шексіздікке, екіншісі нөлге ұмтылады.
Егер функцияның ... ... ... онда кез ... үшін ... ал кез ... үшін ... 4
1) нөлден өзгеше кез келген тұрақтының сипаттаушы көрсеткіш нөлге тең,
ал нөлдің сипаттаушы ... - ке тең. ... ... ... тұрақты көпмүшеліктің сипаттаушы көрсеткіш нөлге ... ... ... ... ... функцияға қарағанда
тезірек өседі не кемиді:
3) егер болса, онда болғандықтан,
4)
Ляпуновтың анықтамасы бойынша ... ... 5. ... ... ... ... ... қосылғыштың сипаттаушы көрсеткіші нөлге тең де, ал ... ... ... 6. ... ... Онда ... егер және ... онда.
Мысал 7. Коэффициентерінің арасында шенелмегендері бар жүйе
қарастырайық. Оның ... ... ... ... ... ... ... ақырлы емес.
Мысал 8. Коэффициенттері тұрақты
жүйенің спектрі А матрицасының меншікті мәндерінің бір – ... тең ... ... тұрады.
Шынында да, теңдеуінің нақты бөліктері әр түрлі ... ... онда ... кез ... ...
түрінде болады. мұндағы - компоненттері тұрақты не көпмүшелік болатын
векторлар. Бұдан сәйкес нөмірленген кезде болатыны көрініп тұр.
Мысал 9. Бір ... ... Оның ... ... , с ... ... ... бұл теңдеудің спектрі .
Коэффициенттері аралығында үзіліссіз және шенелген (1) ... ... ... ... құралған іргелі матрицаны
қарастырайық. Оған ... ... ... ... белгілейік. Мұндағы - іргелі жүйеге ... - ге тең, ... ... ... ... ... ... элементерінен кез келген ретте құралған барлық ауыстыру
бойынша алынады, сол ауыстырудың таңбасын анықтайды. Ауыстыру ... ол +1-ге , ... тақ ... -1-ге тең ... (1) ... мен көбейтінің көрсеткіштері туралы теореманы қолданып,
(2)
екінші жағынан Остроградский – Лиувилл формуласынан
мына ... ... (2) ... ... ... Оны ... теңсіздігі деп
атайды. матрицасы шенелген болғандықтан, әлбетте
Сондықтан (3) ... ... ... және ... ... біртектес жүйенің
кез келген іргелі жүйесіне ... ... ... ... ... ... орта ... жоғарғы шегінен кем болмайды.
Егер, комплекс матрица болса, онда Ляпунов теңсіздігі мына ... ... 10. ... Оның ... ... ... жүйесі мынандай:
әрбір шешімнің сипаттаушы көрсеткіші 1-ге тең. Олардың қосындысы 2. ... ... Коши ... ... ...
жүйенің үлкен көрсеткіші деп аталады. Үлкен көрсеткіш үшін теңсіздігі
орындалады, ол мына теңсіздіктен
көрініп тұр. Коэффициенттері тұрақты жүйенің ... ... ... ... сан жүйенің ерекше көрсеткіші деп аталады. Әлбетте, ... саны ... ... ... болып табылады.
Мысал 11. Жүйе
қарастырайық. Оның шешімдерінің мынадай қалыпты ... ... ... ... екіге тең: . Коэффициент – матрицасының
ізі нөлге тең. Сондықтан Бірақ , жүйе ... ... ... ... задача об устойчивости движения, ОНТИ, М 1950
2. Малкин И. Г Теория устойчивости движения, Наука, М, 1966
3. Петровский И.Г ... по ... ... ... Издательство МГУ, М. 1984
4. Демидович Б.П. Лекции по ... ... ... 1967
5. Сүлейменов Ж. С. Дифференциалдық теңдеулер, «Білім» Алматы 1996
6. Коддингтон Э.А., Левисон Н. ... ... ... М., ... ... Л.С ... дифференциальные уравнения, Наука, М.,
1983
8. Степанов В.В Курс ... ... М., ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 24 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Механикалық тербелістердің дифференциалдық теңдеулері28 бет
Симметриялық шифрлау кері шифрлау. “Базарбай Бектас” мәтінін вижинер кестесі арқылы шифрлау6 бет
Өнімнің бәсекеге қабілеттілігін бағалаудың әдістемелік негіздері6 бет
33,34,35,36,37,38,39,40-нысандар15 бет
Аң терісінің түрлері. Каракульдық мех шикізаты3 бет
Жердің әлем кеңістігіндегі орны9 бет
Кристалдық тор құрылымы. Тау жыныстарының жіктелуі. Тау жыныстарының текстуралық ерекшеліктері. Тау жыныстарының құрылымдық ерекшеліктері10 бет
Кәсіпкерлік құпия6 бет
Ландшафтты құрайтын морфологиялық табиғи территориялық комплекстер5 бет
Магматизм10 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь