Бастапқы және шеттік шартты есептер түсініктері, жәй дифференциалдық теңдеу есебінің грин функциясы

Кіріспе
Қолданылған әдебиеттер

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1.Л.Э.Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. .Гостехиздат 1958.(159-164)
2.А.Н. Тихонов ,А.А Самарский Уравнение математической физики.Гостехиздат, 1953
3.В.Я. Арсенин Методы математической физики и специальные функция «Наука»1984.(159-164)

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 47 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

Табиғат құбылыстарын зерттегенде, физика және техника, химия және биология мәселелерін шешкенде, эволюциялық процесті анықтайтын шамалар арасындағы тәуелділік, көбіне шамалар мен олардың өзгеру жылдамдықтары арасындағы байланыс түрінде, яғни белгісіз функциялар мен туындыларын (дифференциалдарын) байланыстыратын теңдеу ретінде алынады. Белгісіз функция және оның туындыларын байланыстыратын мұндай теңдеулер дифференциалдық деп аталады.
Ізделінді функцияның ең жоғарғы туындысы (дифференциалы) теңдеудің реті деп аталады. Келтірілген екінші, үшінші мысалдардағы теңдеулер екінші ретті.
Теңдеуді қанағаттандыратын, яғни тепе-теңдікке айналдыратын функция теңдеудің шешімі деп аталады.
Дифференциалдық дербес туындылы теңдеулер математикалық физикада кеңінен қарастырылады. Математикалық физика, әртүрлі физикалық процестермен тығыз байланысты.Физикалық процестердің характеристикасы белгілі бір теңдеу типіне сәйкес келеді.Әрбір типті зерттеп білу,қарастырылып отырған теңдеу типіне алып келетін физикалық есептерден басталады. Дифференциалдық теңдеулерге арналған есептерді шешуде көп қолданылатын әдістердің бірі Грин функциясы әдісі болып табылады.Оны 1830 жылға тиісті теорияны алғашқы рет ағылшын ғалымы Джордж Гриннің құрметіне атаған. Бұл әдіс,алдымен,қарастырылатын типтің кейбір арнайы есеп шешімін тауып, интеграл арқылы өрнектейді.Сонымен қатар,бұл әдіс электростатикада Пуассон теңдеуін шешуде,жылуөткізгіштік теңдеуін шешуде таптырмас әдіс.
Дифференциалдық теңдеулер есептеріне физика - техникалық көптеген үдерістер мәселелері келтірілетіні белгілі. Ғылыми тұрғыдан мұндай құбылыстарлы жүйелі зерттеу, дифференциалдық теңдеулердің бастапқы және шекаралық шарттарымен қойылған есептерінің шешімдерін таба білумен байланысты.
Бұл жұмыс үш бөлімде қарастырылады. Бастапқы және шеттік шартты есептер түсініктері, сызықтық кәдімгі дифференциалдық теңдеудің шеттік есебі қарастырылып, Грин функциясының бар болуы теоремасы зерттелген. Мысал арқылы Грин функциясы құрылып, біртекті емес теңдеудің шешімі құрылған.
Осы негізде парабола типтес дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шеттік есебі үшін Грин функциясы енгізіліп, есептің шешімі интегралдық түрде анықталған. Мұнда да алдымен біртекті есеп, сонан соң біртекті емес есеп шешімдері анықталып, олардың дифференциалдық қасиеттері түбегейлі зерттелген.
Грин функциясы айнымалыларды ажырату әдісімен құрылатыны көрсетіліп, нақтыланған.
Түзуде Коши есебінің Грин функциясы қалай құрылытыны жеке қарастырылып, Фурьенің интегралдық түрлендіруінің қолданысы ұсынылған. Әрі қарай жарты түзу есептерін шешу әдістері көрсетілген. Көрсетілген әдістердің қолданылуына мысалдар қарастырылған.
Үш өлшемді кеңістікте жылу таралуы есебі зерттеліп, Коши есебі шешімінің орнықтылығы тұжырымдалған.
Грин функциясы әдісі шексіз кеңістік немесе жарты кеңістік есептеріне қолданылатындары дәлелдеулерімен көрсетілген.
Дипломдық жұмыстың мақсаты: Бастапқы және шеттік есептерді шешу арқылы парабола типтес теңдеу есептерге Грин функциясы әдісін қолданып екі өлшемді, үш өлшемді кеңістікте есеп шешімін табу.

1 БАСТАПҚЫ ЖӘНЕ ШЕТТІК ШАРТТЫ ЕСЕПТЕР ТҮСІНІКТЕРІ

1.1 ЖӘЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ЕСЕБІНІҢ ГРИН ФУНКЦИЯСЫ

Кіріспе бөлімнен бастап бастапқы есепті шешу үшін шеттік және шекаралық деп аталатын есептерге тоқталайық.
Мұндай есептерде ізделінді фунцияның мәнін шектелген кесіндінің бір емес екі нүктесін табу арқылы шешімді анықтайды. Бастапқы шартпен берілген есептермен қатар, шет нүктелеріндегі шарттарымен де қарастырылатын есептер жиі ұшырасады. Мысалы, массасы материалдық нүкте күшінің әсерімен қозғалысында бастапқы сәтінде радиус-векторымен анықталатын нүктеде, ал сәтінде радиус-векторымен анықталатын нүктеге түсуі керектігінің қозғалыс заңын табу керек.
Есеп дифференциалдық теңдеуді

шеттік шарттарымен интегралдауға келтіріледі.
Бұл есебімізде былайша айтқанда жалғыз ғана шешімге ие еместігін байқадық, егерде сөз баллистикалық есеп туралы және жер кеңістігінің нүктесі туралы болса, онда дәл сол нүктеде дене траектория бойына түсуі мүмкін,сонымен қатар, өте үлкен бастапқы жылдамдықпен жер шарының бір немесе бірнеше айналуынан соң дәл сол нүктеге түсуі мүмкін. Сондай-ақ шеттік есепті орта арқылы өтетін жарық сәулесі деп қоюға болады, А нүктеден шығып В басқа нүктесіне түсетін бағытты табатын етіп қоюға болады.
Теңдеудің жалпы шешімі болса, есептің берілген шартты орындайтын шешімін табу үшін, шеттік шарттарды қолданып, тұрақтылардың мәндерін анықтаймыз.
Мұнда нақты шешім барлық уақытта бола бермеуі де және жалғыз болмауы да мүмкін.
Мысал 1. (1.1.1)
есебін қарастырайық.
(1.1.1) теңдеудің жалпы шешімі

Бірінші шеттік шарт мәнінде орындалғандықтан, шешім
Егер - бүтін болса, екінші шарттан

демек бұл жағдайда есептің жалғыз шешімі

бар.
Егер және болса, онда барлық қисықтар графикалық шеттік есеп шешімі болады.
Егер және болса, онда есептің шешімі жоқ.
Екінші ретті сызықтық теңдеудің шеттік есебін қарастырайық

(1.1.2)
(1.1.3)

сызықтық түрлендіру

нәтижесінде шеттік шарттар (1.1.3) нөлдік шарттарға келтіріледі, теңдеудің (1.1.2) сызықтығы өзгермейді.
Теңдеуді (1.1.2) - ке көбейтіп, мына түрге келтіреміз

(1.1.4)

,сондықтан (1.1.4) шеттік есебін зерттеуді

(1.1.5)

шеттік (1.1.2) (1.1.3) есебін зерттеумен алмастыра аламыз.
Шеттік есепті (1.1.4)- (1.1.5) нүктесінің төңірегінде функциясы бірлік импульсті, яғни

(1.1.6)

мұндағы кесіндіде нөлге тең,

төңірегінде

деп қарастырамыз. Бұл шеттік есептің үздіксіз шешімін деп шекке көшеміз:

(1.1.7)

Функция қарастырылып отырған шеттік есептің әсері немесе Грин функциясы деп аталады. Шеттік есептің (1.1.4)- (1.1.5) шешімі

(1.1.8)

екендігіне, интегралдық қосындылар шегі арқылы көз жеткіземіз.

Грин функциясының қасиеттері:
1. функциясы берілген мәнінде арқылы аралықтарында үздіксіз;
2. кесіндісінің нүктесінен басқа барлық нүктелерінде функциясы біртекті

теңдеуінің шешімі;

3. шекаралық шарттарды қанағаттандырады;

4. туындысы нүктесінде үзілісті, секірісі
Шындығында нүктесі күтіп тұр.

тепе-теңдігін көбейтіп, шетерінде интегралдаймыз. нүктесінде үзіліс

Анықтама. Сонымен, (1.1.4)-(1.1.5) шеттік есептің Грин функциясы деп, жоғарыда аталған (1) - (4) қасиеттерін орындайтын функцияны айтады.
Теңдеудегі (1.1.4)тікелей қою жолымен

(1.1.8)

функция есептің шешімі екендігіне көз жеткізіміз.
Шындығында,

онда (1.1.8) -ді (1.1.4) теңдеуге қойып

Грин функциясын құру әдісімен, оның бар болуының жеткілікті шартын көреміз.Теңдеудің

(1.1.9)

бастапқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін қарастырайық. Бұл шешім жалпы жағдайда екінші шеттік шартты қанағаттандырмайды.
Шешімдер - кезкелген тұрақты, шеттік шартты қанағаттандырады. Осы сияқты шеттік шартын қанағаттандыратын шешімі табылады; онда бұл шартты барлық кез-келген тұрақты, шешімдері де орындайды.
Грин функциясы

түрінде іздестіріліп, тұрақтылар 3) және 4) қасиеттердің орындалуынан табылады, яғни

(1.1.10)
x=s нүктесінде секіріс бар
(1.1.11)

Теңдеулер жүйесінің (1.1.10) (1.1.11) анықтауышы Вронский анықтауышы

болғандықтан, нүктесінде нөл емес. Бұдан

(1.1.12)

Мысал 2. Шеттік есептің Грин функциясын табу керек

Шешуі. Тиісті біртекті теңдеудің

берілген шарттарды
және

орындайтын шешімдері

және

болғандықтан, (1.1.12) формула бойынша

Ескерту . (1.1.9) теңдеуінің у(х) нолдік шекаралық шарттарын қанағаттандыратын біртекті теңдеуінің шешімі жоқ екендігін ұсынған болатынбыз. Бұл шарттардан (1.1.4)-(1.1.5) Грин функциясы жалғыздығына емес шеттік шарттарының бар болуы ғана емес жалғыздығына кепіл бола алады.Шындығында, егер Грин функциясының екі түрі бар болса онда (1.1.4),(1.1.5) шеттік есептері үшін екі түрлі шешім аламыз.

және

ерекшеліктері

болжам негізінде,біртекті теңдеудің нетривиальды шешімдері,нөлдік шеттік шарттарды қанағаттандырады.

1.2 ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ЕКІНШІ РЕТТІ ТЕҢДЕУЛЕР КЛАССИФИКАЦИЯСЫ

Тәуелсіз х,у айнымалыларын ,белгісіз u(x,y) функциясын және оның бірінші , екінші ретті дербес туындыларын байланыстыратын мынадай

.

теңдеуді тәуелсіз екі айнымалыларына тәуелді екінші ретті дербес туындылы теңдеу деп атаймыз.
Ал мына

(1.2.1)

түрдегі теңдеуді жоғары ретті туындыларға қарағанда сызықтық теңдеу деп атайды, мұндағы коэффиценттері х пен у айнымалыларының функциялары.
Егер (1.2.1) теңдеудегі коэффиценттері u(x,y) функция мен оның бірінші ретті туындыларына тәуелді болса, яғни теңдеу онда квазисызықтық деп аталады.
Егер теңдеу жоғары ретті туындыларымен бірге u(x,y) фунциясына және оның бірінші ретті туындыларына қарағанда сызықтық теңдеу болса, ондай теңдеуді сызықтық теңдеу деп атаймыз және былай

(1.2.2)

жазамыз, мұнда тек x,y айнымалыларына тәуелді функциялар.
Егер (1.2.2) теңдеудің барлық коэффициенттері х,у айнымалыларына тәуелсіз болса, онда (1.2.2) теңдеуді тұрақты коэффциентті сызықтық теңдеу деп атайды.
Ал егер (1.2.2) теңдеудегі f(x,y)≡0 болса, онда теңдеуді біртекті теңдеу деп аталады.
Кері түрлендіруі бар

түрлендіруінің көмегімен (1.2.1) теңдеуді оған эквивалентті ең қарапайым формаға келтіруге болады .
Теңдеуді жаңа айнымалы арқылы

(1.2.3)

Енді (1.2.3) формуланы туындыларының мәндерін (1.2.1) теңдеуге қойып,мына түрге келеміз:

(1.2.4)

мұндағы

функциясы екінші ретті туындыға тәуелсіз. Егер функциясы сызықты болса, онда

,

келесі түрде болады

және (1.2.4) теңдеу сызықты болады.
болатындай етіп және айнымалыларын таңдаймыз. Бірінші ретті теңдеуді дербес туынды ретінде қарастырамыз.

(1.2.5)

функциясы осы теңдеудің дербес шешімі болсын. Егер десек, онда коэффицентті нөлге тең болады. Осылайша, жоғарыдағы есептің айнымалыларды таңдау (1.2.5) есептің шешіміне байланысты болады.
Келесі леммаларды дәлелдейміз.
Лемма 1.2.1: Егер

теңдеудің дербес шешімі болса, онда мына теңдеудің

(1.2.6)

теңдеудің жалпы интегралы болады.
Лемма 1.2.2: Егер дифференциал теңдеудің
жалпы интегралы болса, онда функциясы (1.2.5) теңдеуді қанағаттандырады.
Лемма 1.2.1 дәлелдеу: функциясы (1.2.5) теңдеуді қанағаттандыратын болғандықтан, онда теңдік

(1.2.7)

тепе-теңдігін аламыз. Шешімдер облысында х пен у-тің барлығын қанағаттандырады. теңдеуіне байланысты (1.2.6) теңдеудің жалпы интегралы болады, егер у функциясы қатысты белгісіз және (1.2.6) теңдеуді қанағаттандыратын болса.
функциясы бар болсын, онда

, (1.2.8)

болады.Енді (1.2.6) теңдеуді dx1.2.2 шамасына бөліп, (1.2.8) формуланы пайдаланғанда мынадай

()

өрнекке келеміз.Квадрат жақшалардың ішіндегі өрнек тек үшін ғана емес,кез келген х,у үшін нөлге тең.Сонымен 1.2.1-теорема дәлелденді.
Лемма 1.2.2 дәлелдеу: (1.2.6) теңдеудің жалпы интегралы болсын. (х,у) кез-келген нүктесі үшін (х0,у0) берілген нүкте болсын. Егер біз () теңдікті қанағаттандыратын дәлелдесек, онда кез-келген (х0,у0) () теңдікке тепе-тең және (х) функциясы () теңдеудің шешімі болады. (1.2.6) теңдеуге (х0,у0) нүктесі арқылы интеграл қисығын жүргіземіз. деп қисығын жүргіземіз. екені белгілі. Осы қисықтағы барлық нүктелер үшін:

соңғы теңдіктегі десек, онда

болды. Лемма дәлелденді.
(1.2.1) теңдеу үшін (1.2.6) теңдеу характеристикалық деп, ал интегралы характеристикасы деп аталады.
(1.2.6) теңдеудің жалпы интегралы бар мұндағы десек, арқылы коэффиценттерін нөлге айналдырамыз. Егер (1.2.6) теңдеудің жалпы интегралы болса, функциясына тәуелсіз болса, онда деп, біз арқылы коэффиценттерін нөлге айналдырамыз.
(1.2.6) теңдеуді екіге бөлеміз:

(1.2.9)
(1.2.10)

түбір астындағыларға өрнектің таңбасы (1.2.1) теңдеудің типін анықтаймыз.

(1.2.1)

Егер М(х,у) нүктесінде
М(х,у)0 болса, онда (1.2.1) теңдеу г и п е р б о л а л ы қ,
М(х,у) 0 болса, онда (1.2.1) теңдеу э л л и п т и к а л ы қ,
М(х,у)=0 болса, онда (1.1.2.2.1) теңдеуді п а р а б о л а л ы қ дейміз.
Қатынастың дұрыстығына көз жеткізу қиын емес

()D2

D Якоби анықтауышы нөлден өзгеше. Облыстың әртүрлі нүктеде әртүрлі типтегі теңдеуге жатуы мүмкін.
G облысын қарастырамыз, бұл облыстың барлық нүктелерінде бірдей типке жататын теңдеулер болсын. G облысының әрбір нүктесінен екі характеристикасы жүреді, гиперболалық типтегі теңдеу үшін нақты және әртүрлі, эллиптикалық типтегі теңдеу үшін комплексті және әртүрлі, ал параболалық типтегі теңдеу үшін екі характеристика нақты және бірдей болады.
Осы жағдайларды жеке-жеке қарастырамыз:
1. 0 гиперболалық типтегі теңдеу үшін және (1.2.9) бен (1.2.10) оң жағын нақты және әртүрлі. Жалпы интегралы және нақты характеристика үйірімен анықталады. деп (1.2.4) теңдеуге келеміз. арқылы коэффиценттерге бөлеміз. келесі түрге келеді:

Бұл гиперболалық типтің канондық түрі деп аталады. Көбінесе екінші канондық формуланы қолданады:

мұндағы және жаңа айнымалы. Онда

соңында (1.2.4) теңдеу келесі түрге келеді:

Ал теңдеу гиперболалық типті теңдеудің

канондық формасының екінші түрі болады.

2. =0 параболалық теңдеу үшін (1.2.9) бен (1.2.10) теңдеулер сәйкес
келеді. (1.2.6) жалпы интеграл үшін бір ғана интеграл интеграл аламыз: . Бұл жағдайда және деп аламыз. Мұндағы жаңа функция, функциясына тәуелсіз. Айнымалыларының коэффиценттерін тандаймыз.

тең болғандықтан

(1.2.4) теңдеуді арқылы коэффиценттерін бөлгенде

параболалық теңдеудің канондық теңдеуін аламыз. Егер оң жағынан шықпаса, онда бұл теңдеу параметріне тәуелді қарапайым дифференциал теңдеу болады.
1.2.3.0 эллиптикалық теңдеу үшін (1.2.9) бен (1.2.10) оң жағы комплекс болады. комплексті интегралы болсын. Онда

мұндағы функциясының түйіндесі, (1.2.10) теңдеудің жалпы түйіндес интегралы болады.
Енді комплексті айнымалыға көшеміз. Бұл жағдайда эллиптикалық типтегі теңдеу гиперболалық типке келеді.
Комплекс айнымалылармен жұмыс істемеу үшін жаңа айнымалы енгіземіз

.

Осыдан , .
Бұл жағдайда

(

(1.2.4) теңдеуді арқылы коэффиценттерге бөлгенде, мына түрге келеді.

.
Осылайша байланысты болған канондық теңдеу
0 ( гиперболалық типтегі ) немесе
0 (эллиптикалық типтегі)
=0 ( параболалық типтегі)

Көп айнымалыдан тәуелсіз екінші ретті теңдеудің классификациясы. Нақты коэффицентті сызықты теңдеуді қарастырайық,

(1.2.12)

мұндағы функциясы болады. Жаңа тәуелсіз айнымалысын енгіземіз.

(k=1...n)

онда мұндағы

.

Жоғарыда алынған нәтижеден ,төмендегі теңдеуге келеді:

мұндағы

Квадраттық формасын қарастырамыз:

aijкоэффиценттеріне тең коэффиценттер алдыңғы теңдеудің aij коэффициенттерінің кейбір M0(x10, ... ,xn0) нүктелеріндегі коэффиценттеріне тең

(1.2.13)

y= j=1naikηk алмастыру арқылы жаңа квадраттық форма аламыз.

мұндағы

Сызықты түрлендіру арқылы матрица квадраттық формадан диагональды түрге келтіруге болады:

=1 немесе 0;
=0 (i!=j,i,j=1,2,...n).

Инерция заңы бойынша, сызықты түрлендіруге байланысты канондық түрдегі квадраттық форманың оң , теріс және коэффиценті нөлге тең болатын инвариант арқылы анықталады. (1.2.12) теңдеуінің М0 нүктедегі эллиптикалық теңдеу дейміз, егер барлық n қосындылар таңбасы бірдей болса; гипреболалық теңдеу дейміз егер n-1 барлық коэффиценттері бірдей болса,және қандайда бір коэффиценті қарама-қарсы таңбалы болса; ультрагиперболалық типті дейміз, егер коэффиценттері арасында m коэффицентті бірдей таңбалы,ал n-m коэффиценттері қарама-қарсы таңбалы болса (m,n-m1) ; парболалық дейміз, егер коэффиценттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болса.
Жаңа тәуелсіз айнымалы аламыз.

мұндағы -(1.2.13) квадраттық форманы канондық түрге келтіретін түрлендіру коэффицентті;(мысалы, десек) онда М0 нүктеде теңдеудің типіне тәуіелді келесі түрдегі канондық форманың біріне келеді:

(эллиптикалық тип)
(гиперболалық тип)
(m1, n-m1) (ультрагиперболалық тип)
(m0) (параболалық тип)

осылайша,(1.2.12) теңдеу кейбір М нүктелі белгіл бір типке тиісті болса, онда сәйкесінше осы нүктеде канондық түрге келтіруге болады.
Енді М нүкте маңайында теңдеуді канондық формаға келтіруге бола ма, егер сол нүкте маңайында теңдеу тек бір типке жататын болса деген сұрақты қарастырамыз.
Кейбір облыста теңдеуді канондық түрге келтіру үшін функциясы қатысты дифференциалдау керек болатын. Мына шартта n(n-1)2 функциясын n анықтау керек n=3 үшін матрицасын диагоналынан басқа элементтерін нөлге айналдыруға да болар еді, бірақ диагональ элементтері әртүрлі болып қалады. n3 те М нүкте маңайында теңдеуді канондық түрге келтіруге болмайды. n=2 үшін диагональдық коэффиценттерінен басқа бір элементті нөлге айналдырады және екі диагональдық коэффицент шартын қанағаттандырады.
Егер (1.2.12) теңдеудің коэффиценттері тұрақты болса, онда М нүктеде (1.2.12) теңдеу канондық түрге келеді.
Тұрақты коэффицентті сызықты теңдеудің канондық формасы.
Екі айнымалыдан тәуелді екінші ретті тұрақты коэффицентті теңдеу мына

(1.2.14)

түрде болады.
Оған тұрақты коэффицентті (1.2.6) характеристикалық теңдеу сәйкес келеді. Сондықтан характеристикалық теңдеу шешімдері

(1.2.14) теңдеуді сәйкінше түрлендіріледі.

(эллиптикалық тип) (1.2.15)
(гиперболалық тип) (1.2.16)

(параболалық тип) (1.2.17)

Қарапайым түрге келтіру үшін u функциясын жаңа v функциясымен алмастырамыз.

мұндағы -алі анықталмаған тұрақты. Онда

(1.2.15) теңдеуге қойып және қысқарту арқылы

.

және параметрлерін екі коэффиценті,мысалы бірінші ретті туындысы нөлге айналатындай (𝜆=-b12,μ=-b22 ) етіп таңдаймыз.Нәтижесінде

теңдеуін аламыз.Мұндағы с1,b1 және b2,f1 арқылы анықталады.(1.2.16) және (1.2.17) теңдеулері үшін аналогиялық операциялар жүргізе отырып,тұрақты коэффициенті теңдеудің канондық түріне келеміз:

(эллиптикалық тип)

(гиперболалық тип)
(параболалық тип)

2-пункте айтылғандай тұрақты коэффицентті теңдеулер бірнеше тәуелсіз айнымалылар жағдайында

.

Сызықтық түрлендіру айнымалыларының көмегімен барлық нүктелер облысының бір мезетте канондық түрін анықтайды. арқылы облыстың барлық нүктеде бірдей канондық түрге келеді.
функциясының орнына жаңа ϑ функцияларын енгізе отырып

теңдеуін аламыз.

1.3 ПАРАБОЛАЛЫҚ ТЕКТЕС ТЕҢДЕУГЕ ҚОЙЛАТЫН ҚОСЫМША ШАРТТАР

Ұзындығы біртекті стержень қарастырылады,бүйір беттері жылу өткізбейтін,жіңішке,көлденең қимасындағы температура кез келген уақытта тұрақты. Егер стержень ұштарында температура тұрақты және болса, онда стержень бойында жылу таралуы сызықты болады. (36-сурет)

(1.3.1)

x

Сондықтан, температуралы нүктеден жылу таралады,стержень бойымен жоғары температуралы нүктеден төменгі соңында қатты ыстықтан жай ыстыққа жылу таралады.
Бірлік уақыт ішінде стерженнің нүктедегі ауданы S, жылу мөлшері эксперимент формуласын береді:

(1.3.2)

мұндағы, k-стержень материалына байланысты жылу өткізгіш коэффицентті.
Жылу таралу мөлшері оң анықталған дейміз, егер х нүктесіне қарай өсетін болса. Стержень бойында жылу таралу процесін қарастырамыз. Бұл процесс u(x,y) функциясы арқылы бейнеленеді. t уақыт моментінде х нүктесіндегі температураны береді.
u(x,y) функциясын қанағаттандыратын теңдеу іздестіреміз. Бұл үшін физиканың жылу таралу заңдылықтарын қолданамыз.
Фурье заңы. Егер дененің температурасы тепе-тең болмаса, онда оның ішінде жылу ағымдары пайда болады. Температура жоғарыдан төменге бағытталады. Жылу мөлшерінің таралуы х нүктесі (t,t+dt) аралығында

(1.3.3)

тең. Мұндағы

(1.3.4)

Жылу ағынының тығыздығы,бір уақыт мөлшерінде 1см2 ауданынан өтетін жылу мөлшеріне тең.Бұл заңдылық (1.3.2) формуланың жалпы түрі .Оған да интегралдық формула беруге болады:

(1.3.5)

мұндағы Q-x нүктесіндегі [t1,t2] аралығында таралған жылу мөлшері. Егер стержень біртекті емес болса, онда k x-тің функциясы болады.
2. температурасын көтеру үщін біртекті дененің жылу мөлшерін анықтау керек . ол үшін

мұндағы m-дененің массасы, тығыздығы, V-көлемі.
Егер температураны өзгертсек, онда стержень температурасы әр жерінде әртүрлі мөлшерлі немесе біртекті емес болса, онда

. (1.3.7)

3. Стержень ішінде жылу пайда болса немесе сіңіретін болса, t моментінде х нүктесінің F(x,t) жылу тығыздығын сипаттауы мүмкін. (t,t+dt) уақыт аралығында (x,x+dx) стерженнің де жылу мөлшері келесі түрде болады:

(1.3.8)

немесе интегралдық формада
(1.3.9)

мұндағы, Q-(t1,t2) уақыт аралығында (х1,х2) стержень бойындағы жылу мөлшері.
(t1,t2) уақыт аралығындағы (х1,х2) кесіндісінде жылу баланс есебінен жылу өткізкіштің теңдеуі шығады. Энергия сақталу заңдылықтар және (1.3.5),(1.3.7),(1.3.9) формулаларын пайдалана отырып келесі теңдікті аламыз:

= (1.3.10)

(1.3.10) жылу өткізгіштің интегралдық формасы.
Интегралдық формадан дифференциалдық формаға көшеміз. Ол үшін орташа мән теоремасы мен ақырлы өсімшелер теоремасын қолдананамыз.

(1.3.11)

Соңғы түрлендіру арқылы келесі түрге келеміз:

(1.3.12)

мұндағы t3, t4, t5 және x3, x4,x5-(t1,t2) және (x1,x2) интервалындағы нүктелер.
(1.3.12) формуланы -ға бөлеміз.

(1.3.13)

Бұл түрлендірулер (t1,t2) және (x1,x2) интервал аралығындағы туындыға байланысты қарастырылады. шекке көшеміз.

(1.3.14)

(1.3.14) - жылу өткізгіштің теңдеуі .
Дербес жағдайларды қарастырайық.
1. Егер стержень біртекті болса, онда k, c, p - тұрақты деп келесі теңдеуге келеміз.

мұндағы - тұрақты ,температура өткізгіш коэффицентті. Егер болса, онда жылу өткізгіш теңдеуі

(1.3.14')

болады.
Жылу көлемінің тығыздығы температураға байланысты болуы мүмкін. Ньютон заңындағы қоршаған орта мен жылу алмасуы стержень бойында

тең болады, мұндағы - қоршаған орта температурасы, h-жылу мөлшерін коэффицентті t моментте х нүктесінде мынаған

(1.3.15)

F1(x,t)-жылу көздерінің тығыздығы.
Егер стержень біртекті болса,онда бүйір жағы арқылы жылу алмасуы кезінде теңдеу мына түрде болады:

3. k және с коэффиценттерін температураны жай өткізетін функция ретінде қарастырамыз. Сондықтан, жоғарыда қарастырылған тұрақты коэффиценттер интервалдар ішіндегі температура шартына байланысты болады.Температураның өзгеруін үлкен интервалда қарастыру жылу өткізгіштің квазисызықты теңдеуіне келеді, біртекті емес теңдеу үшін:

болады.

Диффузия есебі
Егер орта да газ бір қалыпты болмаса, онда диффузия орны концентрациялар жоғарыдан төменге бағытталады. Бұл процессте заттың қосындылары кездеседі, егер заттың қосындысының концентрациясы бірқалыпты болмаса. Диффузия процесін түтікшенің ішінде қарастымыз. Түтікшенің іші қуыс және газдың концентрациясы түтікшенің ішіндегі қуыста бірқалыпты таралған деп ұйғарамыз. Дуффузия процесі u(x,t) функциясымен сипатталады.
Нернст заңы бойынша (t,t+t) уақыт аралығында х нүктесінен өткен газ массасы:

(1.3.16)

болады. Мұндағы D-дуффузия коэффиценті, S-түтікше қуысының ауданы, W(x,t)- диффузия тығыздығы.
Концентрацияның анықталуы бойынша жылу мөлшері

Q=uV

тең болады. (х1,х2) аралығында газ массасының таралуы u өзгеруі:

С(х)-қуыс коэффицентті.
(x1,x2) кесінде (t1,t2) уақыт аралығында газ массасының баланс теңдеуі

Соңғы теңдеуден

(1.3.17)

(1.3.17)- теңдеу диффузия теңдеуі болады.
Бұл жылу өткізгіш теңдеуіне ұқсас болады.
Егер диффузия тұрақты коэффицентті болса, онда
мұндағы

диффузия коэффицентті болады.
Егер қуыс коэффицентті c=1 болса, ал диффузия тұрақты болса, онда диффузия келесі түрінде болады:

.

Жылудың кеңістікте таралуы. Жылудың кеңістікте таралу процессін температурасы u(x,y,z,t) функциясы арқылы сипатталуы мүмкін.
Егер температура тұрақты болмаса, онда жылу таралу пайда болады. Температура жоғарыдан төменге қарай бағытталады.
нүктесінің n нормалымен, -кейбір маңайы болсын. Бірлік уақыт аралығында арқылы таралатын жылу көлемі Фурье заңы бойынша

тең.

k-жылу өткізгіш коэффиценті. -ге n нормаль бағыт бойынша туынды.

Фурье заңы жиі былай жазылады.

;

W-вектор , жылу ағынының тығыздығы.
Егер орта изотропты болса, онда k скаляр. Егер анизтропты болса, онда k тензор, онда W-жылу ағымы k тензорына векторлық көбейтіндісі grad u болады. Біз тек изотропты ортаны қарастырамыз.
S бетімен шектелген V-көлемді қарастырамыз.
уақытта V көлемі үшін жылу баланс теңдеуі:

(1.3.18)

мұндағы, -нүктесі, көлемнің элементі, -бірлік көлемнің жылу таралуы, -нормаль бойынша жылу таралуы. Бұл теңдеу уақыт ішінде V мөлшерінің жылу сақталу заңын көрсетеді.
Интегралдық баланс теңдеуін дифференциалдық теңдеуге келтіру үшін деп x,y,z бойынша екі рет және t бойынша бір рет дифференциалданады. Қарастырылып отырған облыстың кез-келген жерін үзіліссіз деп ұйғарамыз.
Острогадский формуласын қолдануға болады:

және баланс теңдеуін түрлендіру арқылы

теңдеуін аламыз. (F(P,t)-үзіліссіз функция). Орташа мән теоремасын және ақырлы өсімшелер теоремасын қолдана отырып келесі теңдеуге келеміз:

.

мұндағы: интервалдың аралығындағы нүктелері, ал -V көлемнің нүктелері. V ішінде нүктесін белгілеп және көлемді осы нүктеге сығындап, ал нөлге ұмтылдыратын болсақ , қысқартып және шекке көшеміз

W=-kgrad u формуласымен алмастыру арқылы жылу өткізгіштің дифференциялдық теңдеуін:

немесе

Егер орта біртекті болса, онда теңдеу келесі түрде болады.

мұндағы - температура өткізгіштің коэфиценті.
немесе теңдеуді

мұндағы - Лаплас операторы.
Шеттік есептердің қойылуы.Жылу өткізгіштің жалғыз шешімі болу үшін бастапқы шарт пен шекаралық шартты енгіземіз.Бастапқы шарт гиперболалық теңдеу типіне қарағанда тек берілген u(x,t) функциясының t0 бастапқы моментінен ғана тұрады.Шекаралық температураға байланысты шекаралық шарт әртүрлі болуы мүмкін. Шекаралық шарттың үш түрлі жағдайын қарастырамыз:
1. x=0 стержень соңында температура берілсін:

-функциясы t0tT аралығында берілген, мұндағы Т-процестің қарастырылған уақыты.
2. туынды арқылы берілсе:

Егер Q(l,t) жылу таралуы берілсе, онда осы шартты қолданамыз. Жылу таралу торлы стержень бойында таралатын жылу:

осы функциядан . Мұндағы - берілген функция ,Q(l,t) жылу таралу

формуласынан белгілі болады.

3. шеттік нүктеде функция және оның туындысы сызықты байланыста болса, онда

,

бұл шекаралық шарттар температура белгілі болса кеңістіктегі дене қоршаған ортамен Ньютон заңы бойынша жылу алмасумен сәйкес келеді. қима арқылы шығатын жылу ағыны үшін екі рет пайдаланамыз. Жылу ағыны үшін берілген екі теңдеуді қолдана отырып, қимасы арқылы

және

үшінші шекаралық шарттың математикалық тұжырымдалуын мына түрде аламыз.

мұндағы, -жылу алмасу коэффицентті, -қандай да бір функция.
x=0 (0,l) соңғы стержень үшін шеттік шарт мына түрде болады:

x=0 және үшін шекаралық шарттар түрлі типті болуы мүмкін.Жылуөткізгіштік теңдеуінің бірінші шеттік есебі u(x,t)шешімдерін іздеуден тұрады.
0x, 0tT шарттарын қанағаттандыратын

0x

0tT

мұндағы -берілген функция.
x=0 және шекаралық шарттар әртүрлі комбинациялық есептер қойылады.
Жоғарыда қарастырылған шарттардан басқа қиынырақ шарттар кездесу мүмкін. Мысалы, x=0 шеттік нүктеде С жылу сақталуы ішкі орта мен жылу алмасу Ньютон заңына тәуелді. Онда x=0шекаралық шартты келесі түрде қарастырамыз:

,

мұндағы, -ішкі орта температурасы.
Егер орта біртекті емес болса және осы ортаға байланысты жылу өткізгіш теңдеу коэффицентті үзілісті болса, онда үзіліс нүктеде қосымша түйіндестік шарттары қойылады.

,

хi-үзіліс нүкте коэффиценттері.
Айтылғандардан басқа есептерде шектік жағдайлар кездеседі. Жылу өткізгіш процесін өте ұзын стерженьде қарастырамыз. Аз уақыт аралығында температураның әсері стержень ортасында әлсіз және бұл жерде бастапқы белгілермен анықтайды. Бұл жағдайда стержень нақты ұзындығына мән берілмейді, себебі бізді керекті бөліктің температурасына стержень ұзындығы әсер тигізбейді, осы типтес есептерде стерженнің шексіз ұзындығы бар деп есептелінеді. Сонымен бастапқы шартпен есеп беріледі(Коши есебі), және t0t шексіз түзуде жылу өткізгіштің теңдеуін табу керек және мына шартты қанағаттандыратын:

().

-берілген функция.
Егер стержень температурасы бір ұшы жақын және екінші ұшы алшақ болса, онда бұл жағдайда температураны бастапқы шартқа жақын ұшымен есептейміз. Осындай есептерді жартылай шексіз және координата соңынан
x0 аралыққа ауысады. Мысал ретінде жартылай шексіз стержень үшін бірінші шеттік есепті қарастырамыз.
және t0t облысында жылу өткізгіш теңдеуін табу керек және мына шартты қанағаттандыратын:

()
(t0t).

Жоғарыда қарастырылған есептер негізгі шеттік есептердің дербес жағдайы. Бастапқы шартын әсері уақыт ағымымен стержень температурасының таралуын әлсіретеді. Егер бастапқы момент алшақ болса, онда стержень температурасы жартылай шексіз түзуде ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.