Инерция моменті

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Инерция моменті және күш моменті

2. Қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысы

Пайдаланылған әдебиеттер

Санақ денесі болып кез келген дене алына алады. Абсолют қатты деп кез келген нүктелерінің арасындағы қашықтық өзгеріссіз болатын денені айтады.

О нүктесіне қарасты (3. 1 сурет) материялық нүктеге әсер етуші күш моменті мына вектор болып табылады

\[{\overline{{M}}}={\overset{...}{r\times{\overline{{F}}}}}\]

. (3. 1)

\[\overline{{F^{\prime}}}\]

деп материялық нүктеге әсер етуші барлық күштердің тең әсерлісін айтады. Бастапқы деп қабылданып алынған қайсыбір материялық нүктенің О нүктесіне қарасты орналасу жағдайы

\[\frac{-\mathsf{\Rightarrow}}{\hat{g}/\mathsf{v}}\]

радиус-векторымен сипатталады.

О нүктесіне қарасты материялық нүктенің импульс моменті мына вектор

\[{\vec{L}}={\vec{r}}\times{\vec{P}}\]

. (3. 2)

Уақыт бойынша импульс моментін дифференциалдау (3. 2) арқылы моменттер теңдеуін аламыз:

\[{\frac{d{\overline{{L}}}}{d t}}={\overline{{M}}}\]

Материялық нүктелер жүйесінің импульсі деп жүйені құраушы материялық нүктелер импульстерінің қосындысын айтады:

\[{\vec{P}}=\sum_{i=1}^{n}{\vec{P}}_{i}={\vec{P}}_{1}+{\vec{P}}_{2}+K+{\vec{P}}_{n}\]

, (3. 3)

мұнда

\[\overline{{\mathbf{p}_{i}}}\]

- i индексімен белгіленген материялық нүктенің импульсі , n - жүйедегі нүктелер саны.

Материялық нүктелер жүйесінің бастапқы деп қабылданып алынған О нүктесіне қарасты импульс моменті деп О нүктесіне қарасты материалық нүктелер жүйесін құраушыларының импульс моменттерінің қосындысын айтады:

\[\stackrel{\rightarrow}{\cal L}\rightarrow\sum_{i}\rightarrow\stackrel{\circ}{\cal L}_{i}-\stackrel{\circ}{\cal Q}_{i}\rightarrow\stackrel{\circ}{\cal P}_{i}\]

, (3. 4)

мұнда - i индексімен белгіленген материялы нүкте импульсының моменті.

О нүктесіне қарасты материалық нүктелер жүйесіне әсер етуші күш моменті деп, О нүктесіне қарасты жүйе нүктелеріне түсірілген күш моменттерінің қосындысын айтады:

\[\overline{{M}}=\sum_{i}\overline{{M}}_{i}={\underline{{\Phi}}}_{i}^{\mathrm{T}}{\underline{{r}}}_{i}\times\overline{{F}}_{i}\]

. (3. 5)

(3. 5) -гі

\[\overline{{F_{\ i}^{\prime}}}\]

күші i нүктесіне түсірілген ішкі күштерді қоса алғандағы толық күш болып табылады:

\[\overline{{{F_{i}}}}=\overline{{{F_{\ i}^{\dagger}}}}+\sum_{j\neq i}\overline{{{F_{j i}}}}\]

мұнда

\[\overline{{F_{i}}}\]

- сыртқы күш, ал

\[\sum_{j\neq\theta_{j}}^{F_{j}}\]

- ішкі күштер.

Уақыт бойынша (3. 3) -ті дифференциялдау арқылы материялық нүктелер жүйесінің теңдеуін аламыз:

Equation. 3,

\[{\frac{d{\mathcal{P}}}{d t}}={\overline{{F}}}\]

Equation. 3, (3. 6)

мұнда

\[{\vec{F}}=\sum\!{\vec{F}}_{i}\]

Equation. 3 . (3. 7)

\[\overline{{F^{\prime}}}\]

Equation. 3 шамасы сыртқы күштер қосындысына тең, өйткені, (3. 7) қосындысында барлық ішкі күштер өзара қысқарады.

Уақыт бойынша (3. 4) -ті дифференциалдасақ, материялық нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуін аламыз:

\[{\frac{d{\stackrel{\ \_}{L}}}{d t}}=\sum_{d t}^{d+}\cdot{\overline{{P}}}_{i}+{\stackrel{\circ}{\longrightarrow}}\cdot{\frac{d{\stackrel{\ \_{}}{P}}_{i}}{d t}}=\overline{{M}}\]

Equation. 3,

\[\overline{{M}}\]

Equation. 3 . (3. 8)

Естеріңізге салайық,

\[\overline{{M}}\]

Equation. 3 - сыртқы күштер моменті.

Қатты дене ара қашықтығы тұрақты болатын материялық нүктелер жүйесі ретінде қарастырыла алады. Сондықтан, материялық нүктелер жүйесі тұралы пайымдаулар мен теңдеулер қатты денелер үшін де қолданылады. (3. 6) және (3. 8) теңдеулері, осы жерде тағы да жазып көрсете кетейік:

\[{\frac{d{\mathcal{P}}}{d t}}={\overline{{F}}}\]

\[\overline{{M}}\]

жалпы алғанда тұйық жүйе болып саналмайды. Алайда, олар қатты дене үшін тұйық теңдеулер жүйесі болып табылады.

Қозғалмайтын өске қарасты қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының теңдеуі . Радиусі r _i шеңбер бойымен массасы m _i материялық нүктенің айналуы кезіндегі оның айналу өсіне проекцияланған импульсының моменті L _i =m _i v _i r _i -ге тең. Сызықтық жылдамдық v _i =wr _i , сондықтан L _i =m _i r _i ² w , мұнда w - бұрыштық жылдамдық. Егер, О өсін айнала материялық нүктелер жүйесі айналып тұратын болса, онда

\[L=\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}w\]

. Бұдан шығатыны

\[L=J w\]

( 3. 9 )

мұнда

\[J=\sum_{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}\]

, ал w тұрақты шама ретінде қосындының таңбасының алдына шығарылған.

Материялық нүктелер массаларының олардың айналу өсіне дейінгі қашықтықтарының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең J шамасы осы өске қарасты жүйе инерциясының моменті деп аталады. Егер масса үздіксіз таралған жағдайда қосынды таңбасы интеграл таңбасымен алмастырылады, онда инерция моменті мынадай түрде жазылады:

(3. 10)

Дененің инерция моменті - ілгерілемелі қозғалыс кезіндегі массаға теңдес физикалық шама; ол дененің формасына, мөлшеріне, массасына және оның дене ішінде таралуына, сонымен қоса айналу өсін таңдауға тәуелді, ол айналмалы қозғалыс кезіндегі дененің инерттілігін сипаттайды.

Айналмалы қозғалыстың динамикасының негізгі заңын (3. 10) -ді ескере отырып айналу осіне проекциясында былай жазуға болады:

\[{\frac{d L}{d t}}={\frac{d}{d t}}(J w)=M\]

, (3. 11)

мұнда М - сыртқы күштердің қосынды моментінің айналу өсіне проекциясы.

Қозғалмайтын өсті айнала қатты дененің айналуының жекелеген жағдайында (3. 11) теңдеу мына түрге өзгереді:

\[J\,{\frac{d w}{d t}}=M\]

(3. 12)

немесе

\[J\times\beta=M\]

мұнда

\[\textstyle\beta\]

- бұрыштық үдеу.

Әрбір денеде дененің қозғалыста не тыныштықта болғанына қарамастан массасы болатындығы сияқты, ол дененің айналуда ма, немесе тыныштықта тұрғанына қарамастан, кез келген өске қарасты белгілі бір инерция моменті болады.

Гюйгенс - Штейнер теоремасын пайдаланса, анағұрлым жеңілденер еді: еркін өске қарасты J инерция моменті - мәлім өске параллель және дене массасының центрінен өтуші өске қарасты J _c инерция моменті мен дененің m массасының өстер аралық а қашықтығы квадратының көбейтінділерін қосқандағы шамаға тең:

2. Қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысы

Күштің берілген осьтен айналдыра алу қабілетін сипаттау үшін оське қатысты күш моменті деген ұғым енгізіледі.

Оське қатысты күш моментін күштің оське перпендикуляр жазықтықта жатқан құраушысы ғана тудыра алады.

Сондықтан қатты дененің массасы mі, оған әсер етуші сыртқы күш Fі, ал Fі күші mі массасының тракториясына жүргізілген жанамамен αі бұрыш жасайды және ол бұрыш сүйір болады (19-сурет) . Сонда бұл элемент үшін теңдік былай жазылады:

мұндағы εі - массасы mі элементтің бұрыштық үдеуі. Тұтас дененің барлық элементі үшін оның қосындысын аламыз:

бұдан абсолют қатты дененің барлық элементтері үшін оның бұрыштық үдеуі тұрақты, олай болса:

мұндағы - қатты дененің барлық элементтеріне әсер ететін күш моменттерінің қосындысы, басқаша айтқанда қатты денеге әсер етуші күштердің ОО’ айналыс осіне қатысты М толық моменті болады. Дененің жеке элементтерінің қосындысы болатын шама ОО’ оське қатысты дененің инерция моменті деп аталады. Сонда күштің толық моментін (М) және инерция моментін (І) енгізіп мына теңдікті жазуға болады: M=Іε