Жиын уғымы. Жиынның элементтері


1. Жиын уғымы. Жиынның элементтері
2. Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері
3. Тең жиындар
4. Ішкі жиындар
5. Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы.)
6. Универсал жиын
7. Жиындардың қиылысуы
8. Жиындардың бірігуі
9. Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы
10. Кортеж
11. Реттелген жұптар
12. Жиындардың декарттық көбейтіндісі
13. Сәйкестік графигі
14. Кері сәйкестік
15. Сәйкестіктің жеке түрлері
Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым болып саналады. Сондықтан оны тек мысылдармен ғана түсіндіруге болады. Мысалы, қайсыбір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны туралы айтуға болады. «Жиын» сөзі математикада «жиынтық», «класс», «жинақ», «коллекция» деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықты бір ғана нәрсе болуы немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер, геометриялық фигуралар, сандар т. б.) оныңэлементтері деп аталады. Мысалы, 3 саны - бір таңбалы натурал сандар жиынының элементі. Жиын мен оның элементтерінің арасындағы «элементті болады» деген байланысты «тиісті» сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.
Соңғы сөйлемде символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3ÏА. Бұл жазуда А әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген (жиынды латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді), ал Îбелгісі «тиісті» сөзін алмастырады.
Жалпы аÎА жазуы «а нәрсесі А жиынының элементті», немесе «а нәрсесі А жиынына тиісті», немесе «А жиынында а элементі бар» деп оқылады. аÏА жазуын «а нәрсесі А жиынына тиісті емес», немесе «А жиынында а элементті жоқ», немесе «а нәрсесі А жиынының элементі емес» деп оқуға болады.
Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз болуы мүмкін. Мысалы, қайсыбір педучилище оқушыларының жиының элементтерінің саны шектеулі, ал түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болады және онда кеңінен пайдаланылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде пайдаланылады, ал бір қатар эксперимент кітаптарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдалалынылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектептегі математика курсында теориялық - жиындық негізде жүзеге асады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 42 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






 Жиын уғымы. Жиынның элементтері

Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым болып
саналады. Сондықтан оны тек мысылдармен ғана түсіндіруге болады. Мысалы,
қайсыбір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны туралы
айтуға болады. Жиын сөзі математикада жиынтық, класс, жинақ,
коллекция деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын
сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықты
бір ғана нәрсе болуы немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.

Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер,
геометриялық фигуралар, сандар т. б.) оныңэлементтері деп аталады. Мысалы,
3 саны - бір таңбалы натурал сандар жиынының элементі. Жиын мен оның
элементтерінің арасындағы элементті болады деген байланысты тиісті
сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал
сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.

Соңғы сөйлемде символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3ÏА. Бұл жазуда А
әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген (жиынды латын
алфавитінің бас әріптерімен белгілейді), ал Îбелгісі тиісті сөзін
алмастырады.

Жалпы аÎА жазуы а нәрсесі А жиынының элементті, немесе а нәрсесі А
жиынына тиісті, немесе А жиынында а элементі бар деп оқылады. аÏА жазуын
а нәрсесі А жиынына тиісті емес, немесе А жиынында а элементті жоқ,
немесе а нәрсесі А жиынының элементі емес деп оқуға болады.

Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз болуы мүмкін. Мысалы,
қайсыбір педучилище оқушыларының жиының элементтерінің саны шектеулі, ал
түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз.

Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар математиканы алғаш
оқытудың негізі болады және онда кеңінен пайдаланылады. Кейбір оқулықтарда
жиын термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде
пайдаланылады, ал бір қатар эксперимент кітаптарда жиын ұғымы
символикасымен қоса айқын түрде пайдалалынылады. Сан, натурал сандарды қосу
және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты
маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектептегі математика курсында теориялық -
жиындық негізде жүзеге асады.

 

 

Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері

 

Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін
айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.

Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер де
а, b, c, d - әр түрлі нәрселердің белгіленулері болса, онда осы нәрселердің
жиынын А={ а, b, c, d } түрінде жазып, оны А жиыны а, b, c, d
элементтерінен тұрады деп оқиды.

Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана енеді. Мысалы, 32 545 882 санының әр
түрлі цифрларынан тұратын жиын {3, 2, 5, 4, 8}, ал есеп деген сөздегі әр
түрлі әріптер жиыны {e, c, п} түрінде жазылады.

Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ
қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиеттіcипаттамалық қасиет деп
атайды. Мысалға, 7-ден кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл
жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
олардың натурал және 7-ден кіші сан болуы аталып отыр. Қарастырылып
отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді: А={1, 2, 3
,4, 5, 6}

Жиынның осылай берілу тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалға радиусы
r, центрі О болатын шеңбердің центрі О және радиусы r болатын шеңбер деп
жазықтықтың О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелер жиынын атайды деген
анықтамасын еске түсірейік. О-дан r қашықтықта және бір жазықтықта жату -
центрі О және радиусы r болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет
және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде бір нүкте ие бола алмайды.

Элементтердің сипаттамалық қасиеті көрсетілген жиынды былай жазуға болады:
фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтерінің белгіленуін жазады. Содан
кейін вертикаль сызықша қояды да сызықшадан соң осы жиын элементтеріне және
тек соларға ғана тән қасиетті жазады. Мысалы, 7-ден кіші натурал сандар
жиыны А былайша жазылады:

А={xx- натурал сан, x7}

Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап
шығу, не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету керек. Екінші тәсіл
біріншіге қарағанда жалпылау екенін айта кетеміз. Мәселе мынада: жиынның
элементтерін атап шығу осы жиын шектеулі болғанда ғана мүмкін, ал жиын
элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болғанда ғана мү мкін, ал жиын
элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болса да, шектеусіз болса да
көрсетуге болады.

Бірақ кейбір кезде шектеусіз жиынды да бірінші тәсілді пайдаланып жазып
көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын N әрпі арқылы
белгілеп мына түрде

 

N= {1, 2, 3, 4, ...} жазуға болады.

 

Әрине жиынды тек көп нүктелер орнында не болатыны белгілі жағдайда ғана осы
түрде жазуға болады.

Барлық натурал сандардан және нольден тұратын жиынды N0 арқылы белгілеп,
былай жазады:

N0={1, 2, 3, 4, ...}

 

Бұл жиынды оң бүтін сандар жиыны деп атайды.

Барлық бүтін сандар жиынын Z әрпі арқылы белгілеу келісілген: Z={..., -5, -4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Математиканы оқып-үйрену барысында шешуге тура келетін көптеген есептер
элементтерінің ортақ қасиеті көрсетілген жиынды табумен байланысты болады.
Бірнеше мысалдар келтірейік.

 1-мысал.

 

х(х-1)=0 теңдеуінің барлық түбірлерінің жиынын табу керек.

Ізделінді А жиынының барлық элементтеріне тән ортақ қасиет -х(х-1)=0
теңдеуінің түбірі болу, яғни А жиынын А={x x(x-1)=0} түрінде жазуға
болады. x(x-1)=0 - теңдеуін шешеміз. Екі х және х-1 сандарының
көбейтіндісі, тек сол сандардың біреуі ноль болғанда ғана, нольге тең
болатындықтан х1=0, х2=1 екендігін табамыз. Демек, А={0, 1}.

2-мысал. х5 теңсіздігінің шешімдерінің жиының табу керек.

Ізделінді жиынды С деп белгілесек, оның барлық элементтеріне тән
қасиет х5 теңсіздігінің шешімі болу, яғни С={x x5} болады. Бұл жерде
C жиыны шектеусіз, оның элементтерін сандық түзу бойында көрсеткен ыңғайлы
(1-сурет). 5 саны С жиынына тиісті болмағандықтан суретте оған сәйкес нүкте
ақ күйінде қалдырылды.

 

 

х≥5 теңсіздігінің шешімдерінің жиыны 2-суретте көрсетілген. Мұндағы
қарайтылған нүкте 5 санын өрнектейді, өйткені ол берілген теңсіздіктің
шешімдерінің жиынына тиісті.

Осыларға ұқсас 3-8 суреттерде х≤5 (3-сурет), х5 (4-сурет), -2х≤3 (5-
сурет), -2≤х3 (6-сурет), -2х3 (7-сурет), -2≤х≤3 (8-сурет) теңсіздіктерін
қанағаттандыратын барлық х сандарының жиындары көрсетілген.

Бастауыш кластардағы қазіргі математика оқулықтарында элементтері берілген
белгілі қасиетке ие болатын жиындарды табу қажет болатын көптеген есептер
бар. Мысалы, ²7-ге бөлгенде қалдықтары 1 болатын үш сан жазыңыздар², ²65-
тен үлкен 75-тен кіші сандарды жазып шығыңыздар² деген сияқты есептер.

Осыларға ұқсас есептерді бастауыш класс оқушылары қазақ тілі сабақтарында
²Қазақ алфавитіндегі барлық дауысты дыбыстарды атап шығыңыздар²; ²Берілген
сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңыздар²; ²Жаттығудағы барлық сын
есімдерді көшіріңіздер² т. с. с. тапсырмаларды орындағанда да шешеді.

 

Бос жиын

 

Әр түрлі жиындардың арасында бірде бір элементі жоқ жиынды да кездестіруге
болады. Мысалы, сіздің топтағы тенниспен айналысатын оқушылардың тізімін
немесе, қысқаша айтқанда, сіздің топтағы теннисші - оқушылардың Т жиының
құру керек дейік. Бірақ топта ондай оқушы жоқ болып шықты. Ендеше Т
жиынында бірде бір элемент жоқ.

Бірде бір элемент жоқ жиынды бос жиын деп атайды және оны Æ белгісімен
белгілейді.

Бос жиынмен теңдеулерді шешуде де кездестіруге болады. Мысалы, 3х-7=3(х+5)
теңдеуінің түбірлерінің жиынын іздестіру керек болсын. Берілген теңдеу
қажетті түрлендірулер арқылы 0×х=22 теңдігіне келтіріледі. Ал бұл теңдік х-
тің ешқандай мәнінде де тура емес. Бұл жағдайда берілген теңдеудің түбірі
жоқ немесе басқаша айтқанда, берілген теңдеудің түбірлерінің жиыны бос жиын
дейді.

 

Тең жиындар

 

Егер А және В екі жиын бірдей элементтерден тұратын болса, онда
оларды тең жиындар деп атайды және А=В түрінде жазады. Мысалы, А={3, 5, 7,
9} және В={7, 3, 9, 5} жиындары өзара тең, өйткені бірдей элементтерден
тұрады. Элементтерінің орындарын ауыстарғаннан жиын өзгермейді.

Жиындардың тең болу ұғымы мына жағдаймен байланысты: бір ғана жиын мүлдем
әр түрлі сипаттамалық қасиеттер көмегімен берілуі мүмкін. Мысалы А={1, 2,
3, 4, 5} жиынын  және 5 сандарының аралығындағы натурал сандар
жиыны немесе х6 теңсіздігінің натурал шешімдерінің жиыны деп те
қарастыруға болады.

 

Ішкі жиындар

 

Айталық, А - сіздің мектептегі барлық оқушылар жиыны, ал В - сіздің
кластағы оқушылар жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынынның бір бөлігі,
немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А жиынына кіреді. Мұндай жағдайда В
жиынын А жиынының ішкі жиыны деп атайды. Дәлірек айтсақ: В жиынының әрбір
элементі А жиынына тиісті болғанда және тек сонда ғана, В жиыны А
жиынының ішкі жиыны деп аталады, оны ВÌА (немесе АÉВ) түрінде жазып, ²В
жиыны А жиынының ішкі жиыны² деп оқиды. Ì белгісі жиындар арасындағы ²ішкі
жиыны болады² деген мағынадағы байланыстықты көрсетеді.

Әрбір А жиыны өзінің ішкі жиыны болып табылады деп есептейді: АÌА. Сондай-
ақ бос жиын Æ кез келген А жиының ішкі жиыны болады деп есептеледі: ÆÌА.

А жиынының бос емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса, онда
оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және Æішкі жиындарын
оның меншікті емес ішкі жиындары деп атайды.

Мысалы, А={2, 4, 8} жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар. {2}, {4}, {8},
{2, 4}, {2, 8}, {4, 8}; екі меншікті емес ішкі жиыны бар: {2, 4, 8} және Æ.

Егер де АÌВ, ал ВÌС болса, онда АÌС екендігіне көз жеткізу қиын емес.
Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал сонымен қатар В
жиынының әрбір элементі С жиынына тиісті.

Ұғымдар немесе нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда
біз әрдайым ішкі жиын ұғымын пайдаланым отырамыз. Қазақ тілінде сөйлемдегі
барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын - сын есімдері, зат
есімдері, етістіктерді, т. с. с. қарастырамыз. География және тарих
сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар т. с. с. жиындарының әр түрлі
ішкі жиындарын оқимыз. Осы сияқты күнделікті өмірде де ішкі жиын ұғымымен
пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол
елді мекендегі барлық үйлер жиынының ішкі жиыны болады; сіздің пәтердің
тұрғындары сіздің үйдің барлық түрғындары жиынының ішкі жиыны, бір
бөлмедегі орындықтар жиыны - сіздің пәтеріңіздегі барлық орындықтар
жиынының ішкі жиыны болып табылады т. с. с.

Ішкі жиын ұғымы математикада кеңінен пайданылады. 1-ден 10-ға дейінгі
сандар жиынын натурал сандар жиынының ішкі жиыны, ал натурал сандар
жиынының өзін барлық бүтін сандар жиынының ішкі жиыны деп қарауға болады.
Ромбылар, квадраттар, тік төртбұрыштар жиындары параллелограмдар жиынының
әр түрлі ішкі жиындары болып табылады.

²Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңдар²; ²Әр түрлі ағаштардың
арасынан мәңгі көгеріп тұратындарын атаңыздар², ²1-ден 10-ға дейінгі
сандардың 2-ге бөлінетіндерін көрсетіңіздер²; ²Берілген сандардың арасынан
үш таңбалы сандарды көрсетіңіздер²; ²Әр түрлі фигуралардың арасынан
үшбұрыштарын табыңыздар²деген сияқты тапсырмаларды орындату арқылы қазақ
тілі сабағында да, табиғаттану сабағында да, математика сабағында да
төменгі класс оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.

 

 

 

Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы.)

Эйлер-Венн диаграммалары

 

 

сурет
9

Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін тұйық контур
сызамыз да, жиынның элементтері осы контурдың ішіндегі нүктелермен
кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті
емес. Мысалы, 9-суретте біз А және В жиындарының элементтерін көрмесек те,
тіпті олардың қандай жиындар екенін білмесек те, бұл сурет В жиыны А
жиынының құрамына енетінін, яғни ВÌА екенін айтып тұр. Мұндағы А қайсыбір
мектеп оқушыларының жиыны, ал В - осы мектептің екінші кластары
оқушыларының жиыны, ал В 5-ке бөлінетін барлық натурал сандар жиыны болуы
мүмкін.

Жиындарды осылай кескіндеу тәсілі Эйлер дөңгелектері немесе Венн
диаграммаларыдеп аталады. Осындай кескіндеулерді біз Эйлер-Венн
диаграммалары деп атайтын боламыз.

 

Универсал жиын

 

А-қайсыбір мектептегі ұл балалар жиыны, В-осы мектептегі қыз балалар жиыны,
ал С-осы мектептің спортсмендерінің жиыны болсын. Осы аталған жиындардың
барлығын мектептің барлық оқушыларының жиынының ішкі жиындары деп
қарастыруға болады. Барлық жиындары бір ғана I жиынының ішкі жиындары
ретінде қарастыратын жағдай аз кездеспейді. Осындай I жиынын универсал жиын
деп атайды. Ендеше, егер I - мектептің барлық оқушыларының жиыны болса,
онда АÌI, ВÌI, СÌI болады.

Универсал I жиынын тік төртбұрыш түрінде, ал оның ішкі жиындарын - осы тік
төртбұрыштың ішіндегі дөңгелектер түрінде кескіндеуге келісейік. Онда
біздің қарастырып отырған I, А, В, С жиындарын графикалық түрде мынадай (10-
сурет) етіп кескіндеуге болады.

 

Жиындарға қолданылатын амалдар.

Жиындардың қиылысуы

 

Екі жиынның элементтерінен жаңа жиындар құруға болады.

А={0, 2, 4, 6} және В={-2, -1, 0, 1, 2} екі жиын берілген болсын.
Элементтері берілген А және В жиындарының екеуіне де тиісті жаңа С жиынын
құрайық: С={0, 2}. Осылай құрылған С жиынын А және В жиындарының қиылысуы
деп атайды. Сонымен:

А және В жиындарының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де енетін
элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды атайды. А және
В жиындарының қиылысуын А∩В өрнегімен белгілейді, мұндағы ∩ - жиындардың
қиылысуы белгісі.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы бейнелесек, онда
А∩В жиыны штрихталған облыс болады (11-сурет).

А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос
жиын болады А∩В=Æ. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.

 

 

 

Жиындардың бірігуі

 

Берілген екі жиыннан жаңа жиын құрудың тағы бір тәсілін қарастырайық.

А және В жиындарының бірігуі деп не А, не В жиындарының ең болмағанда
біреуіне енетін элементтерден тұратын жиынды айтады.

А және В жиындарының бірігуін А∪В деп белгілейді, мұндағы ∪жиындардың
бірігуінің белгісі. Мысалы, А={1, 3, 5} және В={2, 4, 6, 8} жиындарының
бірігуі А∪В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} жиыны болады.

Егер бірігетін жиындардың ортақ элементтері бар болса, мысалға, А={а, б, в,
г, д, е} және В={г, е, ж, з} жиындары, онда олардың ортақ элементтері г, е
бірігуде тек бір қана жазылады; А∪В={а, б, в, г, д, е, ж, з}.

Мысалға, А - кластағы фотография үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны, ал В
- сол кластағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын. Сонда
А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті - ²фотография үйірмесіне
қатысуы², ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті - ²математика
үйірмесіне қатысуы² болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне
аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл
оқушылардың ішінде не тек фотография үйірмесіне, не тек математика
үйірмесіне немесе екі үйірменің екуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.

А∩В¹Æ деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндейік (12-сурет). Осы суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А∪В жиынын
көрсетеді.Бірігу ұғымы геометрияда үлкен роль атқарады. Екі немесе
бірнеше фигуралардың бірігуі деп осы фигуралардың ең болмағанда біреуіне
тиісті нүктелер жиынын айтады. F1 және F2 фигураларының бірігуін
F1 ∪F2 түрінде жазады. Мысалы, егер F1 - ABC үшбұрышы, ал F2 - ACDE
төртбұрышы болса, онда олардың F1∪F2 бірігуі ABCDE фигурасы болады. (13-
сурет).

Бастауыш мектепте шешімдерін табу шын мәнінде жиындардың бірігуімен
байланысты болатын есептер қарастырылады. Бұған сандарды қосуға арналған
және басқа да көптеген есептер жатады. Мысалы: ²14-суретте берілген тік
төртбұрышты фигураның ауданын есептеу керек. Ол үшін фигураны кішкене тік
төртбұрыштарға бөліп, қажетті өлшеулер жүргізіңіздер². Берілген F фигурасын
кішкене F1F2 және F3 тік төртбұрыштарға бөліп, F1∪ F2 ∪F 3=F деп
есептейміз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы

 

А - қайсыбір кластағы барлық парталар жиыны, ал В - осы кластағы бір
қатарда тұрған парталар жиыны, яғни ВÌА болсын. Егер В жиынына кластағы
басқа қатарда тұрған парталарды қоссақ, онда А жиыны шығады. Бұл жерде біз
В жиынын А жиынына дейін толықтырдық.

Сонымен, егер ВÌА болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады
және  арқылы белгіленеді.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда А
жиынындағы В жиынының толықтауышы штрихталған (15-сурет) бөлік болады.

 жиынының қалай табылатынына тоқталайық. А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ал
В={2, 4, 6} болсын. Онда  жиынын табу үшін А жиынынан В жиынына енетін
элементтерді шығарып тастау керек:  ={1, 3, 5, 7}. Басқаша
айтқанда, жиынын табу үшін А жиынынан В жиынын азайту керек екен.

А жиынынан в жиынын азайтуды В жиыны А жиынының ішкі жиыны болмаған
жағдайда да орындауға болады. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына
тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В
жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгілейді. Мысалы егер А={а, в,
с, д, е}, В={д, е, к, л} болса, онда А\В = {а, в, с}болады.

А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары көмегімен кескіндесек, онда А\В
жиыны (16-сурет) штрихталған бөлік болады.

Бір жиынды екінші бір жиынға дейін толықтыру ұғымын бастауыш кластарға
натурал сандарды бірінен-бірі азайтудың негізі ретінде пайдаланады.

 

 

Кортеж

 

Жиынның әрбір элементі тек бір рет қана енетіні бізге белгілі. Сондықтан
да, мысалы, параллелограмм деген сөздегі әріптер жиының былайша жазады:
{п, а, р, л, е, о, г, м}. Бұл жерде элементтердің жазылуы маңызды роль
атқармайды. Бірақ бұл сөзді қатесіз дұрыс жазу үшін оған енетін әріптерді
ғана біліп қоймай, олардың жазылу ретін және де, мысалға, сөздің соңында
м әріпімен екі рет жазылатының да білу керек. Міне осы жағдайда біз
параллелограмм сөзіне енетін барлық әріптердің жиынтығымен жұмыс
жасаймыз.

Осыған ұқсас мәселелер математикада да бар: 133211 санын жазу үшін бізге
оның цифрларының жиыны, яғни {1, 3, 2} жиынымен қатар, ол санның
жазылуындағы барлық цифрлар жиынтығын, олардың ретін білу керек. Бұл
жиынтықта цифрлардың жазылу реті маңызды роль атқарады. Өйткені, мысалы,
133211 санындағы әрбір бірліктің мағынасы әр түрлі: бірінші бірлік
қарастырылып отырған санда бір жүзмыңдықтың бар екенін, екінші бірлік осы
санда бір ондықтаң, ал үшінші бірлік осы санда бір бірліктің бар екенін
көрсетеді.

Математикада осындай жиынтақтарды кортеждер деп атайды. Машиналар кортежі,
адамдар кортежі, сөздегі әріптер кортежі, санның цифрларының кортежі туралы
айтуға болады.

Кортежге енетін, әрбір нәрсені компонент немесе координата  деп атайды.
Мысалы, 133211 саны цифрларының кортежі 1, 3, 3, 2, 1, 1 түрінде
жазылады.

Кортеждің компонеттерінің саны оның ұзындығы деп аталады қарастырылып
отырған кортеждің ұзындығы 6, ал параллелограмм сөзінің әріптері
кортежінің ұзындығы 14-ке тең.

Екі а1, а2, ..., аm, және b1, b2, ..., аn, кортеждердің ұзындықтары тең,
яғни m=n болса және бірінші кортеждің әрбір компоненті екінші кортеждің
әрбір сәйкес компонентіне тең, яғни а1= b1, а2= b 2 ..., аm= bn болса, онда
оларды тең кортеждер деп атайды. Мысалы, а, b1, с және а, b, с,
кортеждері тең кортеждер болып саналмайды.

Ұзындығы 2-ге тең кортеждерді реттелген жұптар немесе, қысқаша, жұптар,
ұзындығы 3-ке тең кортеждердіүштіктер деп т. е. с. атайды. Сонымен қатар,
ұзындықтары 1 және 0 болатын кортеждер де, қарастырылып, оларды а және
арқылы белгілейді. Дегенмен, бірқатар есептерді шешу кортеж ұғымы мен
байланысты болғандықтан, бұл ұғым пайдаланылады.

Мысалы, үшінші класта мынадай есепті шығарады: 1000001 саны қанша цифрмен
жазылған? Оқушылар бұл сурақтарға 1000001 саны 7 цифрмен жазылған,
олардың ішінде әр түрлі екі цифр ғана бар, олар 0 және 1 деп жауап береді.

Осы жауаптың мағынасында бізге белгілі кортеж және жиын ұғымдары жатқанын
көреміз. Шынында да, 1000 001 саны дегеміз цифрлардың 1, 0, 0, 0, 0, 1
кортежі, ал ол сан жеті цифрмен жазылған дегенде біз кортеждің ұзындығын
айтып тұрмыз. Санның әр түрлі цифрлары туралы сұраққа жауап бергенде біз ол
санның цифрларының жиыны, яғни {1, 0} жиыны туралы айтамыз.

Үшінші класта мына сияқты есептер де қарастырылады: 2, 0, 7 цифрларын
пайдаланып: а) біртаңбалы үш сан; б) екі таңбалы төрт сан; в) жеті таңбалы
бір сан жазыңыздар.

Бұл есепте шешу үшін 2, 0 және 7 цифрларынан әр түрлі кортеждер құру керек
екені түсінікті. Атап айтқанда: а) ұзындығы 1-ге тең; б) ұзындығы 2-ге тең;
в) ұзындығы 7-ге тең кортеждер құру керек.

Әрине б) және в) жағдайларында бірінші компоненттері нольге тең болатын
кортеждер қарастырылмайды.

Қарастырылып отырған есептің а) жағдайының жауабы: 2, 0, 7 цифрларын
пайдаланып бір таңбалы үш сан, яғни 0, 2, 7 сандарын жазуға болады (бұл
жерде ұзындықтары 1-ге тең үш кортеж 0, 2 және 7 болады).

Есептің б) сұрағына жауап бергенде оқушылар екі таңбалы төрт санның әр
түрлі жиынтықтарын атаулары мүмкін. Мысалы, оқушылардың біреуі 20, 27, 72,
70 сандарын (яғни 2, 0, 2, 7, 7, 2, 7, 0 кортеждерін), екіншісі
-20, 22, 72, 77 сандарын, үшіншісі -22, 70, 27, 72 сандарын т. с. с. атауы
мүмкін.

Соңғы жағдайда да оқушылардың жауаптары әр түрлі болады, яғни оқушылар
2777002 санын да, 7777777 санын да, 2000000 санын да т. с. с. атаулары
мүмкін.

Реттелген жұптар

 

Жұп ұғымын біз күнделікті сөзімізде жиі пайдаланамыз. Мысалы, бишілер жұбы,
жұп ат, бір жұп етік, деп айта береміз. Жұп сөзі кездесетін сөз
тіркестерінің тізімін жалғастыра беруге болады. Қазақ тілі сабағында
мысалы, ²сөйлемдегі сөздер қос мағынамен байланысты² деп айтады.

Математикада жұп туралы сөз болғанда оны ұзындығы 2-ге тең кортеж деп
түсінеміз. Егер жұптың компоненттері х және у болса, онда оны х,утүрінде
жазады. Сонымен, жұп дегеніміз ұзындығы 2-ге тең кортеж. Бұл анықтамадан
х, у¹у, х екенін, яғни х, ужәне у, хжұптары әр түрлі жұптар екенін
көреміз. Компоненттері тең емес жұптармен қатар х, хтүріндегі жұптар да
қарастырылады.

Жұп ұғымымен мектеп математикасы курсында біз тік бұрышты координаталар
жүйесін пайдаланғанда кездескенбіз. Бұл координаталар системасында әрбір
нүктенің координаталары жұп сан болып табылады. Мысалы, А нүктесінің (17
-сурет) абсциссасы - 5-ке тең, ал ординатасы 3-ке тең, яғни А нүктесінің
координаталары мынадай жұп сан болады: -5, 3.

 

 

Жиындардың декарттық көбейтіндісі

 

Бізге Алматыдан және Астанадан, Стамбул, Москва және Пекин қалаларына
барлық мүмкін маршруттардың жиынын құру керек болсын. Бұл маршруттар:
Алматы-Стамбул, Алматы-Москва, Алматы-Пекин, Астана-Стамбул, Астана-Москва,
Астана-Пекин.

Алматы және Астана қалаларынан тұратын жиынды Х арқылы, ал Стамбул, Москва,
Пекин қалаларынан тұратын жиынды У арқылы белгілейік, яғни Х={Алматы,
Астана}, У={Стамбул, Москва, Пекин}. Онда маршруттардың жиыны (18-сурет)
бірінші компоненті Х жиынының, ал екінші компоненті У жиынының элементі
болатын жұптардың жиыны екенін көреміз. Олай болса, маршруттардың жиынын
былайша жазуға болады: {Алматы-Стамбул, Алматы-Москва, Алматы-Пекин,
Астана-Стамбул, Астана-Москва, Астана-Пекин}.

 

Осылайша құрылған жұптар жиыны Х және У жиындарының декарттық
көбейтіндісі деп аталады. Жалпы, Х және Ужиындарының декарттық көбейтіндісі
деп бірінші компоненті хÎХ, ал екінші компоненті уÎУ болатын барлық х,
ужұптарының жиынын айтады.

Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісін Х´У арқылы белгілейді, яғни

Х´У={х, у ïхÎХ, уÎУ}.

Тағы да мысал келтірейік. Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының
декарттық көбейтіндісін табу керек болсын. Анықтамасы бойынша ол мынадай
жұптардан тұрады: Х´У={1, а, 1, в, 1, с, 2, а, 2, в, 2, с, 3,
а, 3, в, 3, с, 4, а, 4, в, 4, с}.

Осы декарттық көбейтіндіні таблица арқылы жазған қолайлы:

Х´У жиынының әрбір элементі таблицаның сәйкес жолы мен бағанасының
қиылысқан клеткасына жазылады. Олай болса, таблицаның клеткаларының жиыны
Х={1, 2, 3, 4} және У={а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін береді
екен.

Сәйкестіктер

Жиындар арасындағы сәйкестік

 

Қайсыбір класс оқушылары Арманға, Еділге, Қайратқа, Динаға, Талғатқа және
Сәулеге: ²Сендер футбол, волейбол, жүзу, гимнастика және теннис сияқты
спорт түрлерімен шұғылданасыңдар ма?²деп сұрақ қойылған. Олардың жауаптары
кестеге орналастырылды.

  ФутбоВолейбЖүзГимнастиТенни
л ол у ка с
Арман         
Еділ          
Қайра         
т
Дина          
Талға         
т
Сәуле         

Кестеден Арманның волейболмен және тенниспен шұғылданатынын, Динаның
волейболмен шұғылданатыны, Талғаттың спорттың ешбір түріне қатыспайтындығы
көрініп тұр. Сонымен қатар, сұралған оқушылардың арасында спорт түрінің ең
әйгілісі волейбол екені, ал гимнастиканың оларды қызықтырмайтындығы да
таблицада көрініп тұр.

Бұл мысалда екі жиын берілген: оқушылар аттарының жиыны және спорт түрлері
аттарының жиыны. Бірінші жиынды Х, ал екінші жиынды У арқылы белгілейік.
Сонда Х={Арман, Еділ, Қайрат, Дина, Талғат, Сәуле}, ал У={футбол, волейбол,
жүзу, гимнастика, теннис} деп жазуға болады. ²Спорттың қайсыбір түрімен
шұғылдану² деген сөз арқылы осы екі жиын элементтерінің арасында қандай да
бір байланыс тағайындалып отыр. Осындай байланыс математикада сәйкестік деп
аталады. Таблицада бұл сәйкестілік штрихталған клеткалармен көрсетілген.
Осы таблицадағы барлық клеткалардың жиыны Х және У жиындарының декарттық
көбейтіндісі болатындығы белгілі. әрбір штрихталған клетка осы жиынға
тиісті болғандықтан, штрихталған клеткалар жиыны декарттық көбейтінді Х´У
жиынының ішкі жиыны болады. Сонымен, Х және У жиындарының арасындағы
сәйкестікті біз үш жиынды пайдаланып тағайындадық: оқушылар аттарының Х
жиыны, спорт түрлері аттарының У жиыны және Х´У декарттық көбейтіндінің
ішкі жиыны.

Декарттық көбейтіндінің ішкі жиынын G әрпімен белгілеп, оның элементтерін
атап шығайық: G={Арман, волейбол, Арман, теннис, Еділ, футбол, Еділ,
волейбол, Еділ, теннис, Қайрат, футбол, Қайрат, жүзу, Дина,
волейбол, Сәуле, волейбол, Сәуле, теннис}.

Жалпы, Х және У жиындарының арасындағы сәйкестік деп жиындар
үштігі аталады: Х жиыны, У жиыны және Х´У декарттық көбейтіндінің қандай да
ішкі жиыны G. Х - жиыны сәйкестіктің шығу жиыны У жиыны сәйкестіктін келу
жиыны, ал GÌ Х´У жиыны осы сәйкестіктің графигі деп аталады.

Жиындар арасындағы сәйкестікті R,P,Q,S,T әріптермен белгілеуге келісейік.
Осы келісімді пайдаланып, жоғарыдағы мысал туралы былай деуге болады: біз
оқушылар аттарының жиыны Х (шығу жиыны) және спорт түрлері аттарының жиыны
У (келу жиыны) арасында R сәйкестігін анықтадық, мұндағы R - ²оқушы хÎХ
спорттың уÎУ түрімен айналысады².

Х´У декарттық көбейтінді хÎХ уÎУ болатын барлық мүмкін болатын
х;ужұптардан турады. Егер Х және У жиындары арасындағы сәйкестік R, ал G
жиыны оның графигі және х;у ÎG екендігі белгілі болса, онда R сәйкестікте
у элементі х элементіне сәйкес немесе х және у элементтерінің арасында R
сәйкестігі орындалады дейді, және оны хRу түрінде жазады. хRу жазуын былай
оқиды: ²R сәйкестікте у элементі х элементіне сәйкес болады².

Мысалы, егер Х={1, 3, 5, 7}, У={2, 4, 6, 8, 10}, ал Х және У арасындағы
қандайда бір R сәйкестігінің графигі G={3, 2, 5, 2, 5, 4, 7, 2, 7,
4, 7, 6} болса, онда, мәселен G жиынының 3, 2жұп туралы 3ÎХ және 2ÎУ
сандарының арасында R сәйкестілігі орындалады деп немесе R сәйкестігінде 2
саны 3 санына сәйкес келеді деп айтуға болады және оны былай жазуға болады:
3R2.

Осы мысалдағы R сәйкестігіне сөзбен айтқанда мынадай нақтылы мағына беруге
боладв: ²Х жиынынан алынған х саны У жиынынан алынған у санынан үлкен².
Сонда, 3R2 жазуын былай оқуға болады: ²Х жиынынан алынған 3 саны У жиынынан
алынған 2 санынан үлкен². ²х саны у санынан үлкен² деген Х={1, 3, 5, 7}
және У={2, 4, 6, 8, 10} жиындарының арасындағы R сәйкестігін чертеж арқылы
көрнекті түрде елестетуге болады. Ол үшін берілген жиындарының Эйлер-Венн
диаграммаларын құрып, олардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндейміз.
Сонаң соң сәйкестіктің графигіне тиісті әрбір х,ужұптарының элементтерін
басы х элементін кескіндейтін нүктеде, ал соны у элементін кескіндейтін
нүктеде болатын стрелкамен қосамыз (19-сурет). Сонда шыққан чертежді
R сәйкестігінің графы деп атайды.

Егер Х және У жиындарының арасында қандайда бір R сәйкестігі тағайындалған
болса, онда Х шығу жиынының элементіне а) У келу жиынының бірнеше (тіпті
шектеусіз көп) элементтерінің сәйкес келуі;

б) У жиынының тек бір ғана элементі сәйкес келуі;

в) У жиынының бірде-бір элементі сәйкес келмеуі мүмкін.

Шынында да егер R Х={1, 3, 5, 7} және У={2, 4, 6, 8, 10} жиындарының
арасындағы ²х саны у санынан үлкен² сәйкестік болса, онда 7ÎХ элементіне У
жиынының үш элементі сәйкес келеді: 7R2, 7R4, 7R6. Графта (19-сурет) 7
санын өрнектейтін нүктеден үш стрелка шығатындығы көрініп тұр. 3ÎХ
элементіне У жиынын тек қана бір элементі 2 сәйкес келеді. Графта 3 санын
өрнектейтін нүктеден бір ғана стрелка шығады. Ал 1ÎХ элементіне У жиынының
бірде-бір элементі сәйкес келмейді, сондықтан да графта оны өрнектейтін
нүктеден ешқандай стрелка шықпайды.

Келу У жиынының элементі шығу Х жиынының бірнеше элементтеріне, не тек бір
элементіне сәйкес келуі, немесе бірде-бір элементіне сәйкес келмеуі мүмкін.
Бұл ескертуді түсіндіретін мысалдарды өздеріңіз оңай-ақ келтіре аласыз.

Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдарының
қатарына жатады. Олай болатын себебі: бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Сонымен қатар арасындағы кез келген ғылымда объектілердің өздері ғана емес,
олардың арасындағы байланыстар да зерттеледі. Мысалы, географияда қалалар
жиыны Х және елдер жиыны У арасында ²х қаласы у у еліне қарайды² деген
сәйкестік қарастырылады. Қазақ тілінде ²х сөзі у сөз табына жатады ² деген
сияқты әр түрлі сөздер жиыны мен сөз таптары жиынының арасындағы сәйкестік
кеңінен таралған. Физикада: ²х денесінің массасы у-ке тең²; химияда: ²х
затының формуласы у болады².

 

Сәйкестік графигі

 

Х және У жиындарының арасындағы R сәйкестігінің графигі Х´У декарттық
көбейтіндінің ішкі жиыны болатындықтан, ХУдекарттық көбейтіндінің
графигі туралы айтылғандардың бәрі R сәйкестігінің графигі үшін де тура
болады.

Мысалы, Х={а, в, с}, ал У={m,n} болсын және G={а,m, в, m, с,n, в,n}-
берілген Х және У жиындарының арасындағы қайсыбір R сәйкестігінің графигі
болсын. Онда - суретте көрсетілген нүктелердің жиыны берілген R
сәйкестігінің графигін кескіндейді.

Декарттық көбейтінді сияқты Х және У жиындарының арасындағы R сәйкестігінің
графигін де тік бұрышты координаталар системасында нүктелер жиыны ретінде
кескіндеуге болады. Мысалы, егер Х={5, 10}, У={1, 2, 3} және G={5, 1,
10, 1, 10, 2}-Х және У жиындарының арасындағы қайсыбір R сәйкестігінің
графигі болса, онда координаттық жазықтықта координаталары G жиынының
жұптары болатын барлық нүктелерді салатын болсақ, ол R сәйкестігінің
графигі болады (20-сурет).

 

Х=У=Zжәне R-Х және у жиындарының арасындағы ²х саны у санынан 3 саннына
артық² деген сәйкестік болсын. Тік бұрышты координаталар системасында осы
сәйкестіктің графигін салайық. Графикке тиісті жұптардың жиыны шектеусіз,
олай болса, біз координаттық жазықтықта абсциссасы бүтін сан, ал ординатасы
абсциссасынан 3 бірлікке кем болатын нүктелердің шектеусіз жиынын аламыз.
Біз графиктің тек қайсыбір бөлігін ғана құра аламыз, мысалы, мынадай 1,
-2, 0, -3, 5, 2, 10, 7, -3, -6 нүктелерді (21-сурет). Осы
нүктелердің барлығы бір түзу бойында жатады.

Егер Х=У=R, ал сәйкестік алдағы мысалдағыдай болса, онда ол сәйкестіліктің
графигі түзу сызық болады (22-сурет).

 

 

 

 

Кері сәйкестік

23-суретте Х={1, 2, 3} және У={а, в, с} жиындарының арасындағы қайсыбір R
сәйкестігінің графы берілген. Бұл жерде 1ÎХ элементіне У жиынының а және в
элементтері сәйкес, яғни 1Rа, 1Rв, 2Rа, 2Rв, 2Rс екенін көреміз.

 

R

Осы граф арқылы аÎУ элементінің Х жиынының екі элементіне - 1 және 2
сандарына -сәйкес екендігін де анықтауға болады. Басқаша айтқанда, аÎУ
элементі бойынша керісінше а элементіне сәйкес келетін Х жиынының
элементтерін табуға болады. Осы процесті жүзеге асыру үшін біз У жиынынан
²шығып² Х жиынына ²келеміз²(24-сурет). Мұндай жағдайда Х және У жиындарының
арасындағы R сәйкестілігіне У және Х жиындарының арасында кері
сәйкестік бар болады дейді. R сәйкестігіне кері сәйкестікті R-1 түрінде
белгілейді (оны ²эрдің минус бір дәрежесі² деп оқиды). R-1сәйкестігінің
графы R сәйкестігінің графындағы стрелкаларын кері бағыттаудан келіп
шығады.

Біздің мысалымызда Х және У жиындарының арасындағы R сәйкестігінің графигі
мынадай: {1, а, 1, в, 2, а, 2, в, 2, с}, ал R сәйкестігіне кері У
және Х жиындарының арасындағы R-1 сәйкестігінің графигі мынадай жиын
болады: {а, 1, в, 1, а, 2, в, 2, с, 2}, яғни егер R сәйкестігінің
графигіндегі оған тиісті әрбір жұптың компоненттерінің орындарын ауыстырса,
онда R-1 сәйкестігінің графигі келіп шығады.

R және R-1 сәйкестіктерін тік бұрышты координаталар системасында
кескіндегенде олардың графиктері өзара қандай байланыста болатынын
анықтайық. Х={-3, -2, -1, ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Математикалық ұғымдар
Жиындар теориясына кіріспе
Қатынастар және олардың қасиеттері
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
Кванторы бар сөйлемдерді теріске шығару ережелері
Нақты сандар және олардың қасиеттері. Рационал сандар. Иррационал сандар. Жиын. Жиындарға қолданылатын амалдар. Жиынның қуаты
Жиынның элементтері
Математикадан оқу-әдістемелік топтама
Жиындар және оларға қолданылатын амалдар
Жиын уғымы
Пәндер