Ішкі тіректі,шоғырланған массалы айналу қабықшаның және серпімді пластинаның меншікті тербелістері
КІРІСПЕ 4
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ 9
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары 9
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы 13
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ 18
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы 18
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру 21
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы 25
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау 29
2.5. Серпімді есептерді шешу және талдау 34
3 НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ӨЗІНДІК ТЕРБЕЛІСІ 43
3.1. Нүктелік байланысты құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебінің вариациялық қойылымы 43
3.2. Өзіндік тербелістің тұтқырсерпімді есебін шешудегі вариациялық әдіс алгоритмі. 48
3.3.Құрлымы біртекті емес нүктелік байланысты тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебін талдау және шешу 50
4 ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ТҰРАҚТАЛҒАН СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ 57
4.1 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербеліс есебінің математикалық қойылымы. 57
4.2 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербелісінің сызықты есебінің теідеулерінің шешу құрлымы. 59
4.3. Тұрақталған тербеліс есебін шешу және талдаудың сандық алгоритмі. 61
ҚОРЫТЫНДЫ 65
Пайдалынылған әдебиеттер тізімі 66
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ 9
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары 9
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы 13
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ 18
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы 18
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру 21
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы 25
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау 29
2.5. Серпімді есептерді шешу және талдау 34
3 НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ӨЗІНДІК ТЕРБЕЛІСІ 43
3.1. Нүктелік байланысты құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебінің вариациялық қойылымы 43
3.2. Өзіндік тербелістің тұтқырсерпімді есебін шешудегі вариациялық әдіс алгоритмі. 48
3.3.Құрлымы біртекті емес нүктелік байланысты тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебін талдау және шешу 50
4 ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ТҰРАҚТАЛҒАН СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ 57
4.1 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербеліс есебінің математикалық қойылымы. 57
4.2 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербелісінің сызықты есебінің теідеулерінің шешу құрлымы. 59
4.3. Тұрақталған тербеліс есебін шешу және талдаудың сандық алгоритмі. 61
ҚОРЫТЫНДЫ 65
Пайдалынылған әдебиеттер тізімі 66
Жұмыстың жалпы сипаттамасы
Магистрлік жұмыс вариациялық әдіс негізінде математикалық модельдеу әдісін дамытуға арналған. Сонымен қатар,серпімді және тұтқыр серпімді, пластиналық және қабықша жүйелердің нүктелік байланысы мен шоғырланңан массалары бар динамикалық есептер шешіміне және теориялық-зерттеушілік сипаттамаларға ие.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Заманауи техникада пластиналар мен қабықшалар кеңінен қолданылуда. Олар, ережеге сәйкес, конструкция элементтері бола тұра, басқа элементтермен түйіндес немесе тіреу нүктелеріне ие,шоғырланған сипаттағы массаларды атқарады. Тіреу нүктелерінің, сонымен қатар, шоғырланған массалардың болуы елеулі түрде пластиналар мен қабықшалардың(өзіндік жиілігі және тербеліс формасы) динамикалық сипаттағы есептеуін қиындата түседі. Серпімді тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналмалы қабықшасының динамикалық өзгеруін есептейтін қолданыстағы әдістер, ережеге сәйкес, нақты есептерді шешуге бағытталған (шекаралық шарттары, нүктелік байланыстың саны мен түріне, олардың орналасуы және т.б. бойынша). Серпімді динамикалық есептердің бүтін класына арналған бірыңғай әдісті құруды ұсыну маңызды. Полимерлі материалдардың кең қолданыста болуын,пластиналармен қабықшалардың тұтқырсерпімді жүйелерін модельдеудегі осы әдісті жинақтау қажеттілігімен түсіндіруге болады.
Диссертациялық жұмыстың мақсаты: Әмбебаптылыққа, салыстырмалы түрде қаралатын, жақсы жинақтылыққа ие, меншікті және мәжбүрлі сызықтық тербелістердің,серпімді және құрылымды біртексіз,тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналыу қабықшаларының тұтқырсерпімді жүйелері және шоғырланған массалары туралы есептердің алгоритмін құру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы. Серпімді тікбұрышты пластиналар үшін кинематикалық сипаттағы нүктелік байланыс пен шектеулерді есептеу тәсілі ұсынылады. Виртуалды орын ауысудың термин принциптеріндегі динамикалық сипаттағы пластиналарға көрсетілген байланыстардың әсер етуі Лагранж көбейткіштері әдісі арқылы зерттеледі. Классикалық жинақталған қойылымға меншіктік мәндер туралы туынды есебінің мәлімет әдісі көрсетілген. Әдістеме серпімді және құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді тікбұрышты пластиналар жүйесі немесе нүктелік байланысы бар айналу қабықшалары және шоғырланған массалары жағдайында таратылған. Құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді меншіктік және мәжбүрлі тербелістерге арналған бірнеше есептер шығарылады.
Зерттеу нәтижелерінің практикалық және теориялық маңыздылығы. Нүктелік байланыстары мен шоғырланған массалары бар пластинаның және қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеуге арналған алгоритм ДК ЭЕМ-ге арналған стандартты бағдарламалар үшін кеңінен қолданылады, сондықтан, ол инженер құрастырушыға ыңғайлы. Әдістің есептеу тиімділігі қанағаттанарлықтай нәтижелерде зерттеу және есептеу жұмыстарын жүргізуге мүмкіндік береді.
Магистрлік жұмыс вариациялық әдіс негізінде математикалық модельдеу әдісін дамытуға арналған. Сонымен қатар,серпімді және тұтқыр серпімді, пластиналық және қабықша жүйелердің нүктелік байланысы мен шоғырланңан массалары бар динамикалық есептер шешіміне және теориялық-зерттеушілік сипаттамаларға ие.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Заманауи техникада пластиналар мен қабықшалар кеңінен қолданылуда. Олар, ережеге сәйкес, конструкция элементтері бола тұра, басқа элементтермен түйіндес немесе тіреу нүктелеріне ие,шоғырланған сипаттағы массаларды атқарады. Тіреу нүктелерінің, сонымен қатар, шоғырланған массалардың болуы елеулі түрде пластиналар мен қабықшалардың(өзіндік жиілігі және тербеліс формасы) динамикалық сипаттағы есептеуін қиындата түседі. Серпімді тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналмалы қабықшасының динамикалық өзгеруін есептейтін қолданыстағы әдістер, ережеге сәйкес, нақты есептерді шешуге бағытталған (шекаралық шарттары, нүктелік байланыстың саны мен түріне, олардың орналасуы және т.б. бойынша). Серпімді динамикалық есептердің бүтін класына арналған бірыңғай әдісті құруды ұсыну маңызды. Полимерлі материалдардың кең қолданыста болуын,пластиналармен қабықшалардың тұтқырсерпімді жүйелерін модельдеудегі осы әдісті жинақтау қажеттілігімен түсіндіруге болады.
Диссертациялық жұмыстың мақсаты: Әмбебаптылыққа, салыстырмалы түрде қаралатын, жақсы жинақтылыққа ие, меншікті және мәжбүрлі сызықтық тербелістердің,серпімді және құрылымды біртексіз,тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналыу қабықшаларының тұтқырсерпімді жүйелері және шоғырланған массалары туралы есептердің алгоритмін құру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы. Серпімді тікбұрышты пластиналар үшін кинематикалық сипаттағы нүктелік байланыс пен шектеулерді есептеу тәсілі ұсынылады. Виртуалды орын ауысудың термин принциптеріндегі динамикалық сипаттағы пластиналарға көрсетілген байланыстардың әсер етуі Лагранж көбейткіштері әдісі арқылы зерттеледі. Классикалық жинақталған қойылымға меншіктік мәндер туралы туынды есебінің мәлімет әдісі көрсетілген. Әдістеме серпімді және құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді тікбұрышты пластиналар жүйесі немесе нүктелік байланысы бар айналу қабықшалары және шоғырланған массалары жағдайында таратылған. Құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді меншіктік және мәжбүрлі тербелістерге арналған бірнеше есептер шығарылады.
Зерттеу нәтижелерінің практикалық және теориялық маңыздылығы. Нүктелік байланыстары мен шоғырланған массалары бар пластинаның және қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеуге арналған алгоритм ДК ЭЕМ-ге арналған стандартты бағдарламалар үшін кеңінен қолданылады, сондықтан, ол инженер құрастырушыға ыңғайлы. Әдістің есептеу тиімділігі қанағаттанарлықтай нәтижелерде зерттеу және есептеу жұмыстарын жүргізуге мүмкіндік береді.
1.Туровский Л.М., Мудрый Г.П., Фабриков Н.И. Расчет колебаний балки пластин с точечным опиранием методом динамической функции Грина// Тр. Ленинградского ин-та авиационного приборостроения. Ленинград, 1976. Вып.97. С.171-178
2. Саченков А.В., Коноплев Ю.Г. Колебания прямоугольных пластинок на точечных опорах//Прикладная механика.Киев,1975.Т.XI, вып.5.С.37-41
3. Прочность, устойчивость, колебания.Справочник.Т.3 Под ред.Биргера И.А., Пановко Я.Г.М.: Машиностроение, 1968.
4. Вайнберг Д.В.Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будильник, 1973.
5. Nishimira T. Studies on vibration problems of flat plates by means of difference calculus// Proc.3 rd Japan Nat.Conf. for Appl. Mech.1953.P.210-214
6. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Изд-во тех.-теорет. литературы, 1958.
7. Филлипов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.
8. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. М.: Изд-во тех.-теорет.литературы, 1956.
9. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978.
10. Корн Г., Корн Н. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.
11. Бухгольц Н.Н.Основной курс теоретической механики. Часть II. М.:Наука,1969.
12. Канторович Л.В.,Крылов В.И.Приближенные методы высшего анализа. М.: Из-во тех.-теорет. литературы, 1950.
13. Курант Р.,Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2. ГТТИ, 1933.
14. Сунчалиев Р.М., Филатов А.Н. О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязкоупругости//ДАНСССР. 1972. 206, №1. С.201-203
15.Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992.
16. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980.
17. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
18. Илюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
19.Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформирумых систем при импульсных и подвижных нагрузках. – Киев: Наукова думка, 1980. – 232 с.
20.Воропай А.В., Янютин Е.Г. Идентификация нескольких импульсных нагрузок,воздействующих на пластину // Прикладная механика. – 2007. – 43. – №7. – С. 90-97.
21.Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек
с сосредоточенными массами. – М.: Машиностроение, 1988. – 200 с.
22. Бидерман В.И. Теория механических колебаний. – М.: Высшая школа, 1977. – 488 с.
23. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. – 340 с
24. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
25. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.
26. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. – М.: Наука,
1983. − 200 с.
27.Olson M.D., Fung Y.C. Supersonic flutter of circular shells subjected to internal pressure and axial compression // Ibid.4. – № 4. – 1966. – P. 858-864.
28.Березнёв А.В. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью // Вестник гражданских инженеров № 3 (4), 2005, с. 20-24.
29.Бозоров М.Б., Сафаров И.И.,Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем.- Новосибирск: Изд. СО РАН 1996.-189с.
30.Мирсаидов М.М., Трояновский И.Е. Динамика неоднородных систем. Ташкент Фан,1990,107 с.
31. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания систем твердых тел на неоднородных. Журнал Известия АН СССР. «Машиноведение». 1983. №3,с. 71-77
32. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания неоднородных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы. «Статистические и динамические задачи упругости и вязкоупругости» Свердловск 1983, с.21-26
33.Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Успехи математических наук.1961, т.16, вып.3, 171-174с.
34. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз,1969.170 с.
35.Гонткевич В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек.Киев, Наукова думка,1964.
36. Дьяконов В.М. Справочник по алгоритмам и программа. М.: Наука,1989,240 с.
2. Саченков А.В., Коноплев Ю.Г. Колебания прямоугольных пластинок на точечных опорах//Прикладная механика.Киев,1975.Т.XI, вып.5.С.37-41
3. Прочность, устойчивость, колебания.Справочник.Т.3 Под ред.Биргера И.А., Пановко Я.Г.М.: Машиностроение, 1968.
4. Вайнберг Д.В.Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будильник, 1973.
5. Nishimira T. Studies on vibration problems of flat plates by means of difference calculus// Proc.3 rd Japan Nat.Conf. for Appl. Mech.1953.P.210-214
6. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Изд-во тех.-теорет. литературы, 1958.
7. Филлипов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.
8. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. М.: Изд-во тех.-теорет.литературы, 1956.
9. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания. М.: Стройиздат, 1978.
10. Корн Г., Корн Н. Справочник по математике. М.: Наука, 1974.
11. Бухгольц Н.Н.Основной курс теоретической механики. Часть II. М.:Наука,1969.
12. Канторович Л.В.,Крылов В.И.Приближенные методы высшего анализа. М.: Из-во тех.-теорет. литературы, 1950.
13. Курант Р.,Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2. ГТТИ, 1933.
14. Сунчалиев Р.М., Филатов А.Н. О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязкоупругости//ДАНСССР. 1972. 206, №1. С.201-203
15.Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. Ташкент: Фан, 1992.
16. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980.
17. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
18. Илюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
19.Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформирумых систем при импульсных и подвижных нагрузках. – Киев: Наукова думка, 1980. – 232 с.
20.Воропай А.В., Янютин Е.Г. Идентификация нескольких импульсных нагрузок,воздействующих на пластину // Прикладная механика. – 2007. – 43. – №7. – С. 90-97.
21.Андреев Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д. Динамика пластин и оболочек
с сосредоточенными массами. – М.: Машиностроение, 1988. – 200 с.
22. Бидерман В.И. Теория механических колебаний. – М.: Высшая школа, 1977. – 488 с.
23. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз, 1961. – 340 с
24. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977.
25. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974.
26. Тихонов А.Н., Гончаровский А.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. – М.: Наука,
1983. − 200 с.
27.Olson M.D., Fung Y.C. Supersonic flutter of circular shells subjected to internal pressure and axial compression // Ibid.4. – № 4. – 1966. – P. 858-864.
28.Березнёв А.В. Частоты и формы собственных колебаний криволинейных участков стальных и полиэтиленовых трубопроводов с протекающей жидкостью // Вестник гражданских инженеров № 3 (4), 2005, с. 20-24.
29.Бозоров М.Б., Сафаров И.И.,Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем.- Новосибирск: Изд. СО РАН 1996.-189с.
30.Мирсаидов М.М., Трояновский И.Е. Динамика неоднородных систем. Ташкент Фан,1990,107 с.
31. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания систем твердых тел на неоднородных. Журнал Известия АН СССР. «Машиноведение». 1983. №3,с. 71-77
32. Майборода В.П., Трояновский И.Е., Сафаров И.И. Свободные и вынужденные колебания неоднородных вязкоупругих систем с конечным числом степеней свободы. «Статистические и динамические задачи упругости и вязкоупругости» Свердловск 1983, с.21-26
33.Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Успехи математических наук.1961, т.16, вып.3, 171-174с.
34. Гладких П.А., Хачатурян С.А. Вибрации в трубопроводах и методы их устранения. М.: Машгиз,1969.170 с.
35.Гонткевич В.С. Собственные колебания пластинок и оболочек.Киев, Наукова думка,1964.
36. Дьяконов В.М. Справочник по алгоритмам и программа. М.: Наука,1989,240 с.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ 4
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ 9
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары 9
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы 13
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ 18
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы 18
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру 21
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы 25
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау 29
2.5. Серпімді есептерді шешу және талдау 34
3 НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ӨЗІНДІК ТЕРБЕЛІСІ 43
3.1. Нүктелік байланысты құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебінің вариациялық қойылымы 43
3.2. Өзіндік тербелістің тұтқырсерпімді есебін шешудегі вариациялық әдіс алгоритмі. 48
3.3.Құрлымы біртекті емес нүктелік байланысты тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебін талдау және шешу 50
4 ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ТҰРАҚТАЛҒАН СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ 57
4.1 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербеліс есебінің математикалық қойылымы. 57
4.2 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербелісінің сызықты есебінің теідеулерінің шешу құрлымы. 59
4.3. Тұрақталған тербеліс есебін шешу және талдаудың сандық алгоритмі. 61
ҚОРЫТЫНДЫ 65
Пайдалынылған әдебиеттер тізімі 66
КІРІСПЕ
Жұмыстың жалпы сипаттамасы
Магистрлік жұмыс вариациялық әдіс негізінде математикалық модельдеу әдісін дамытуға арналған. Сонымен қатар,серпімді және тұтқыр серпімді, пластиналық және қабықша жүйелердің нүктелік байланысы мен шоғырланңан массалары бар динамикалық есептер шешіміне және теориялық-зерттеушілік сипаттамаларға ие.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Заманауи техникада пластиналар мен қабықшалар кеңінен қолданылуда. Олар, ережеге сәйкес, конструкция элементтері бола тұра, басқа элементтермен түйіндес немесе тіреу нүктелеріне ие,шоғырланған сипаттағы массаларды атқарады. Тіреу нүктелерінің, сонымен қатар, шоғырланған массалардың болуы елеулі түрде пластиналар мен қабықшалардың(өзіндік жиілігі және тербеліс формасы) динамикалық сипаттағы есептеуін қиындата түседі. Серпімді тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналмалы қабықшасының динамикалық өзгеруін есептейтін қолданыстағы әдістер, ережеге сәйкес, нақты есептерді шешуге бағытталған (шекаралық шарттары, нүктелік байланыстың саны мен түріне, олардың орналасуы және т.б. бойынша). Серпімді динамикалық есептердің бүтін класына арналған бірыңғай әдісті құруды ұсыну маңызды. Полимерлі материалдардың кең қолданыста болуын,пластиналармен қабықшалардың тұтқырсерпімді жүйелерін модельдеудегі осы әдісті жинақтау қажеттілігімен түсіндіруге болады.
Диссертациялық жұмыстың мақсаты: Әмбебаптылыққа, салыстырмалы түрде қаралатын, жақсы жинақтылыққа ие, меншікті және мәжбүрлі сызықтық тербелістердің,серпімді және құрылымды біртексіз,тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналыу қабықшаларының тұтқырсерпімді жүйелері және шоғырланған массалары туралы есептердің алгоритмін құру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы. Серпімді тікбұрышты пластиналар үшін кинематикалық сипаттағы нүктелік байланыс пен шектеулерді есептеу тәсілі ұсынылады. Виртуалды орын ауысудың термин принциптеріндегі динамикалық сипаттағы пластиналарға көрсетілген байланыстардың әсер етуі Лагранж көбейткіштері әдісі арқылы зерттеледі. Классикалық жинақталған қойылымға меншіктік мәндер туралы туынды есебінің мәлімет әдісі көрсетілген. Әдістеме серпімді және құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді тікбұрышты пластиналар жүйесі немесе нүктелік байланысы бар айналу қабықшалары және шоғырланған массалары жағдайында таратылған. Құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді меншіктік және мәжбүрлі тербелістерге арналған бірнеше есептер шығарылады.
Зерттеу нәтижелерінің практикалық және теориялық маңыздылығы. Нүктелік байланыстары мен шоғырланған массалары бар пластинаның және қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеуге арналған алгоритм ДК ЭЕМ-ге арналған стандартты бағдарламалар үшін кеңінен қолданылады, сондықтан, ол инженер құрастырушыға ыңғайлы. Әдістің есептеу тиімділігі қанағаттанарлықтай нәтижелерде зерттеу және есептеу жұмыстарын жүргізуге мүмкіндік береді.
Математикалық модельдеу - бұл құбылыстарды зерттеу, процестерді, олардың модельдерін құрастыру және оқып үйрену жолы арқылы, жүйелер мен объектілерді соңғысының сипаттамасын анықтау немесе нақтылау үшін пайдалану және қайта құрастырылатын технологиялық процестерді, жүйелерді және объектілерді зерттеу. Математикалық модельдеу негізіне түпнұсқа мен модельдің айнымалы параметрлерінің біртектес немесе ұқсас теңдеулермен сипатталуы алынады. Математикалық модельдеу көбінесе компьютерлер арқылы зерттеледі, сондықтан оны кейде компютерлік модельдеу деп те атайды.
Математикалық модель - бұл шынайы әлемнің абстракциясы, мұндағы зерттеушіні қызықтыратын шынайы элементтер арасындағы қатынас сәйкесінше математикалық категориялар арасындағы қатынаспен алмастырылған. Бұл қатынастар, ережеге сәйкес, модельдеуші шынайы жүйенің жұмыс істеуін сипаттайтын теңдеу немесе теңсіздік түрінде көрсетілген. Математикалық модель құру өнері, математикалық сират тұрғысындағы неғұрлым ықшамдылықты зерттеушіні қызықтыратын шынайылықтың дәл сол тұстарын жеткілікті модельдік дәлдікпен жаңадан өндіріп, қиылыстыру болып табылады.
Аналитикалық, имитациялық, сандық, функционалдық және матрицалық математикалық модельдер белгілі. Аталған модельдердің кез-келгені төмендегідей классификациялануы мүмкін:
уақыт тәртібі бойынша (динамикалық, статикалық, квазистатикалық);
кіру ақпаратының түрі бойынша (детерминдендірілген, стахастикалық, үздіксіз, дискреттік);
математикалық аппараттың қолданылу түрі бойынша (сызықтық, сызықтық емес, оптимизациялық, оптимизациялық емес).
Нақтылығы - сандық әдіс бойынша негізделген ақиқаттың бар болу формасы, мысалы, тәжірибе арқылы, субъектіні тану үшін логикалық дәлелдеу. Математикалық модельдеудегі нәтижелердің нақтылығы - модель тиімділігінің негізгі көрсеткіші. Модельдеу нәтижелерінің нақтылығын бағалау процедурасының өзін, оның модельдеуші объектіге, жүйеге және процесске модельдің баламалығының анализі деп атайды.
Қазіргі таңда көптеген техникалық конструкцияларда қабықшалы және пластина түріндегі конструкциялар кеңінен қолданылуда [1,2,3,4]. Жұқа қабатты трубалар мен панелдер шынайы жағдайларда, ережеге сәйкес басқа конструкциялар және денелермен өзара әрекеттеседі, нүктелік қатты және(немесе) серпімді, шарнирлік және(немесе) қысылған тіректерге тіреледі және нүктелік жалғасқан массалары бар [6,7]. Шекаралық шарттары біркелкі шарттардан жиі ерекшеленеді. Егер статикалық нүктелерде бұл ерекшеліктер деформация мен кернеу өзгерістерінде локальді қайта орналастыруды туғызса, онда динамикалық есептерде нүктелік байланыстар пластиналардың барлық диннамикалық сипаттамаларына немесе қабықшаларға - өзіндік спектр жиілігіне, өзіндік тербеліс формасына, резонансты жиілікпен амплитудаға және т.б. тікелей әсер етеді. Соңғы кездері, әсіресе виброқорғаныс жүйелерінде өте өзекті болып жатқан, егер пластина мен қабықша мұрагерлік қасиеттерге ие болса, онда есеп күрделене түседі [8,9,10]. Көрсетілген есептер класының динамикасына байланысты көптеген басылымдар пластиналар мен нүктелік байланысы бар қабықшалардың динамикалық тәртібінің серпімді есебіне арналған [11,12].
Ішкі нүктелерге тірелген және жинақталған жүгі бар пластиналар мен басқа да конфигурацияларға (трапеция, шеңбер және т.б.) арналған бірқатар динамикалық есептеулер бар [13, 14]. Өзіндік жиілік пен формаларды алу үшін негізінен диференциалдық тәсіл пайдаланылады.
Серпімді қабықшалардың өзіндік тербелісі бойынша жұмыс анализі [15, 16, 17], жоғарыда сипатталған барлық нүктелік байланыс түрі бар қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеу әдістерінің айтарлықтай жетілдірілгендігін көрстеді.
Диссипатиялық қасиеттері бар жүйелерге арналған динамикалық есептер де үлкен қызығушылық тудыруда [18, 19].
Әрі қарай құрылымдық біркелкі емес тұтқырсерпімді жүйелерді әртүрлі геологиялық қасиеттері бар элементтерді механикалық жүйелер деп атаймыз [19, 20]. Ғылыми әдебиеттерде проблемаларды барлық жағынан алып қарағанда, еркін дәрежелі соңғы сандары бар динамикалық тұтқырсерпімді жүйелердің сөнуін пайдалану сұрақтары сирек қарастырылады [21, 22]. Сонда да, екі серпімді тіректердегі қатты дене түріндегі объектіні қорғау есептері инженерлік тәжірибе үшін маңызы зор, өйткені, балдық түрдегі жүйелер тасымалдаушы динамикада кеңінен қолданылады [23, 24, 25, 26].
Бірінші тарауда өзіндік және мәжбүрлі тербелісті есептердің қойылуы сипатталады. Тек қана қатты денелерден тұратын, бір-бірімен өзара массасыз тұтқырсерпімді элементтерімен байланстырылған механикалық жүйелердің тербелісі қарастырылады.
Екінші тарауда өзіндік тербелістердің серпімді есебі қарастырылады. Тікбұрышты пластиналарды Гамильтон - Остроградский принципі бойынша варияциялық теңдеуі алынып, варияциялық қойылым ұсынылады. Серпімді тіректермен шоғырланған массалар, тіректің және варияциялық теңдеулердің потенциалды және кинетикалық энергияларды ендірумен есептеледі.
Ритц әдісі арқылы варияциялық теңдеуді шешу, пластинаның геометриялық шеттік нүктелік емес байланысын қанағаттандыратын базисті функциялық класта орналастырылған. Алынған сызықты біртекті теңдеулер жүйесі өзіндік мәнін табуға арналған есеп болып табылады, оны шығаруға болмайды, өйткені, массалардың жалпылама матрицасы, көп жағдайларда массалардың жалпылама қатаңдығы, жұмсалған нүктелік байланыстар арқылы туындайды. Туынды емес қайта келтіруден (Гаусс әдісі) сызықты тәуелді жалпылама кординаталар алынып тасталады және жүйе есептеуге болатын дәстүрлі өз мәндері бар жалпылама есепке келтіріледі.
Нәтижелері бар сандық тәжірибелер және салыстырулар әдістің қанағаттанарлық сәйкестігін көрсетеді.
Әдіс қатты тіректермен, серіппелермен байланысқан және нүктелік тірек пен жинақталған массалары бар тікбұрышты пластиналар жүйелері үшін де жалпыланған. Оның айналу қабықшасы мен айналу қабықшасының жүйесіне таратылуы варияциялық тәсіл шеңберінде де келтірілген, бірақ орын ауысу мүмкіндігі бар принцип терминдерінде бірқатар серпімді есептер шешілді. Пластиналарды қосатын, екі квадрат пластинаның серіппелерінің қатаңдығына қарай, пакеттің өзіндік формасы мен жиілігінің өзгеруіне талдау жасалды. Мысалдарда тікбұрышты пластиналардың үзілісті шекаралық шарттарының нүктелік апроксимациялануының қанағаттанарлық мүмкіндіктері берілген. Бұл қазіргі таңдағы аз зерттелген есептерді зерттеуге мүмкіндік береді, оның ішінде, ішкі нүктелерде тірелген және контурында шекаралық шарттары бар тікбұрышты пластинаның өзіндік тербелісінің формасы мен жиілігін аныч(қтауға мүмкіндік бар.
Үшінші тарау нүктелік байланыстары бар құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербелістеріне арналған. Өзара серпімді немесе тұтқырсерпімді байланысқан (серіппелер, амортизаторлар) тұтқырсерпімді пластиналардың немесе коаксиалды орналасқан айналу қабықшаларының пакеті қарастырылады. Тұтқырсерпімді элементтерінің өзгерісі ерекшеленген параметрлері бар мұрагерлік түйіндері арқылы сипатталады. Мұндай жүйенің вариациялық қойылымдағы, орын ауысу мүмкіндігінің принциптері негізіндегі өзіндік жиілік пен демпфирлену коэффициенті зерттеледі. Варияциялық есептегі серпімділігінің тұрақты шамасы интегралды операторлар арқылы ауыстырылады. Шешімді серпімді есептің аналогиясы бойынша іздейміз. Қатыру әдісінің көмегімен интегралды теңдеулер жүйесі алгебралық сызықтық біртекті комплекстік теңдеулер жүйесіне келтіріледі. Жиіліктік теңдеуінің өзіндік жиілігі мен демпфирлену коэффицентін іздеу жүйе анықтауышын ашпай Мюллер әдісі арқылы іске асырылады. Бірқатар есептердің нәтижелерінің қортындысы пластиналар мен айналу қабықшалардан құралған құрлымдық біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзара сөнуі кезінде пайда болатын өзіндік формалардың өзара әсерлесу эффектісі байқалатындығын көрсетті. Бұл эффектінің пайда болу шарттары анықталды, амортизаторлардың мезеттік қатаңдылығының өзгеруінде демпфирлену коэффиценттерінің графигінде жүйенің алғашқы екі формасы қиылысады, ал қиылысу нүктесіндегі энергияның диссипациясы жүйеде максималды. Сонымен қатар, құрылымдық біртекті емес тұтқырсерпімді жүйенің демфирлену коэффицентін анықтайтын, оның өзіндік жиілік спектрінде айтарлықтай өзгермеген геометриялық параметрлердің (массаның, амортизаторлардың орналасуы, т.б.) маңызды тәуелділік эффектісі анықталады.
Төртінші тарауда варияциялық тәсілмен құрастырылған сызықтық тербелістердің есептері шешілді. Алдыңғы тараудан ерекшелігі варияциялық теңдеуге гармоникалық заңы бойынша өзгеретін жоғарғы күштердің виртуалды жұмысы қосылған. Шешімді сонымен қатар, нүктелік байланысы жоқ пластиналардың (қабықшалардың) гармоникалық шектік шарттарын қанағаттандыратын функциялар класынан іздейтін боламыз. Сызықтық біртекті емес теңдеулер жүйесі Гаусс әдісі бойынша негізгі элементті матрицаның бағаны мен қатарынан белгілеу арқылы шығарылады. Кейбір нақты есептер үшін амплитудалы - жиіліктік сипаттамалар алынды. Олар алдыңғы тараудағы анықталған механикалық эффектілердің барын растайды. Зерттеу нәрсесі ретінде түгелдей тұтқыр сұйықтықпен толтырылған немесе оған батырылған, сондай-ақ, скважиналардағы мінсіз сұйықтықпен толтырылған түзу және қисық сызықты трубалардағы динамикалық процестер болып табылады. Деформацияланатын динамикалы серпімді денелердің есептері ғалымдардың назарын аударуда. Бұл маңызды қолданбалы шешу қажеттілігімен түсіндіріледі. Машина жасау және құрылыс салаларының заманға сай дамуы конструкциялардың әртүрлі динамикалық әсер ету түрлеріндегі кернеулі-деформациялану жағдайларын дәл білуді қажет етеді. Жаңа техниканың түрлі салаларындағы өнім мен нысандарды жобалауда, сонымен қатар, сейсмотұрақтылық есептеріне байланысты конструкцияға қоршаған ортаның әсер етуі есебінің қажеттілігі туындайды. Басқа жағынан қарағанда, мұндай модельдер мысалы, шөгінді түрлерінде кездесетін сейсмология мен сейсмабарлаудың қабаттық құрылымдарында баламалы болып табылады.
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ
Бұл бөлімде диссапативті механикалық жүйенің негізгі қатынасы жәнекейбір жаңа түсініктер келтірілген.
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары
Мұнда S денеден (Sк - қатты, Sе - тұтқырсерпімді; ) тұратын механикалық жүйенің өзіндік тербелісі қарастырылады.Денелер жүйесі бір-бірімен және массасыз (немесе массалық негізде) тұтқырсерпімді элементтермен байланысқан. Материалдардың тұтқырсерпімді құрамы Больцман-Вольтердің интегралдық арақатынасыменсипатталады [14,18]. Деформацияланған элементтердің кейбірісерпімді болуы мүмкін, элементтердің реологиялық құрамын сипаттайтын жағдайда мұрагерлік ядросы нөлге тең. Деформацияланған элементтердің реологиялық құрамы бірдей жүйені (элементтердің мұрагерлік ядросы өзара тең) диссипативті біртекті, ал деформацияланған элементтердің реологиялық құрамы әр түрлі жүйені - диссипативті біртексіз деп атаймыз [15].
Жұмыстың негізгі мақсаты - нүктелік тіреуі және шоғырланған массалары бар пластиналық жүйенің диссипативті (демпфирленетін) құрамын зерттеу болып табылады. Еркін тербелістерде сөну жылдамдығы жүйенің диссипативті құрамымен сандық бағаланады: жылдамдық неғұрлым жоғары болса, диссипация да соғұрлым жоғары. Жүйенің диссипативті құрамын сандық бағалау үшін екі шама ұсынылады, олар: меншік тербелісінің минималды сөну жылдамдығы мен максималды резонансты амплитуда. Жүйенің диссипативті құрамы, ең алдымен элементтердің демпфирленусипаты арқылы анықталады [29]. Бұл пайымдау диссипативті біртекті жүйелерге бұл таптырмас тұжырым болса, ал диссипативті біртексіз жүйелерге мүлдем қолдануға келмейтін тұжырым. Демпфмирленудің глобальдық коэффиценті ұғымы енгізілді.Ол үшін демпфирленудің глобальды демпфмирлену сипаттауыш сін серпімді құрамды элементтермен ғана анықталмайды, сонымен қатар, әр түрлі формадағы тербеліс байланысымен , яғни, құрамы, конструкциясы, геометриясымен, жұмсақтық байланысымен, өлшемімен, орналасқан элементтері арқылы анықталады [30, 31, 32].
Комплексті меншік жиілігі сөну тербеліс жиілігіне тең, жалған - демпфирленудің меншік тербеліс коэффициенті. Меншік және еріксіз тербеліс тапсырмасын орындау барысында, мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі пайдаланылады (мұнда жалпы белсенді күштер сомасы, инерция күшін қоса есептегенде нөлге тең) [32].
1.1. суретте көрсетілгендей диссипативті біртексіз механикалық конструкция РЭА жүйесінің динамикалық коэффициент анализін жүргізейік.
2.1. сурет. Екі дәрежелі еркіндік жүйесі
1.1.суретте - серіппе қаттылық операторы, ол (j=1,2,3) мынадай түрде көрсетілген [15]:
(1.1)
- уақыт функциясы; - релаксация ядросы. Әрі қарай тоңазыту рәсімін қолдана отырып [30] арақатынасты былайша түрлендіреміз (5)
,
Мұнда , , сәйкесінше косинус пен синус - релаксация материалының Фурье ядросы образы. Жұмсақ материал мысалы ретінде үшпараметрлі ядро релаксациясынқарастырайық (бұл мысалда ядро әлсіз сингулярлы) [29].
Мысал ретінде еріксіз жұмсақ жүйенің шектік санды еркіндік тербелісін қарастырайық. Кеңістіктеqii=1,...,n координатасымен жинақталған сызықтық тербеліс жүйесі берілген. Жүйеге жинақталған екі типті жинақтық күші әсер етеді деп болжануда. Біріншіден, бұл күштер жинақтық кординаталарына сызықты тәуелді, бұл тәуелділік мұралық сипаттауыш мен түсіндіріледі:
Qit=j=1nCijqjt--infinitytRijt-sqjsd s
Мұнда Qi - мұралық жинақтық типті күштер; Cij- сондай белгілі константалар, квадрат формасы
j=1nCijqiqj
оң анықталған, ал Rij - белгілі ықпалдық функциясы. Екіншіден, уақытқа тәуелді жинақтық күштермен түсіндіріледі және осы тәуелділік гармоникалық. Сызықтық күш тапсырма жағдайын қарастырғанда нақты уақытқа тәуелді жинақтық күштер теңдей фаза мен кезеңдерді құрайды:
Qit=Qi0sinpt (i=1,...,n) ( 1.2)
Қарастырылып отырған жүйе үшін (1.1) Лагранж көбейткіші былайша түрленеді:
j=1naijqj+Cijqjt--infinitytRijt-sqj sds=Qi0sinpt. (1.3)
Мұнда коэффициенттер оң белгілі квадрат формада
12i,j=1naijqiqj.
Тапсырмада жүйенің периодты шешімін табу (1.3) керек. (1.3) жүйені Rij=0 болғанда, бірқалыпты серпімді жүйе координатына келтіреміз. Оны былайша түрлендіреміз:
qj=k=1nbikΘk,
Θk - бірқалыпты координаттар, bjk- матрица түрленуінің коэффициенті, мұнда detbjk!=0 тең. Θkкоординатасында (1.3) жүйе былайша өрнектеледі
Θi+ωi2Θi--infinitytk=1nRikt-sΘksds= Qi0sinpt i=1,...,n, (1.4)
ωi- серпімді жүйенің меншік жиілігі, Θ0i- жинақталған күштердің амплитудасы, сәйкесінше бірқалыпты координаттар арақатынасы былайша анықталады
Θ0i=k=1nbkiΘ0k,
Мұнда Rik - әсер ету функциясы:
Rik=j=1nRijbjk.
(1.3 )жүйенің периодтық шешімін мына түрде анықтаймыз
Θit=A0isinpt+φi, (1.5)
Мұнда A0i, φi - константалар, трансцендентті жүйе теңдеулерімен анықталады.
ωi2-p2A0icosφi-k=1nUcikcosφk+Usiksi nφkA0k=Θ0i,
ωi2-p2A0isinφi-k=1nUciksinφk+Usikco sφkA0k=Θ0i (1.6)
мұнда
Ucik=0infinityRikscospsds, Usik=0infinityRikssinpsds .
(1.6) жүйе (1.5) және (1.4) жүйелерінің коэффициенттерін sinptжәне cospt- мен салыстыру арқылы алынған. Мұнда мына өрнек қолданылады.
-infinitytRt-ssinpsds=Ucpsinpt-Uspc ospt,
мұнда
Ucp=0infinityRscospsds,Usp=0infinit yRssinpsds,
(1.6) жүйесін белгісіз Ai=A0icosφi, Bi=A0isinφi қатысты сызықтық алгебралық жүйе ретінде қарастыруға болады. Ai, Bi іздеп отырған константаларымызды тауып болған соң, арақатынастан табамыз.
A0i=Ai2+Bi2, φi=arctgBiAi.
Rij мен әсер ету функциясы бір - біріне пропорционалды болғандықтан тапсырма жеңілдей түседі, ал пропорция коэффициенті болып жинақты қаттылық Cij болғанда
Qit=j=1nCijqjt--infinitytRt-sqjsds.
Бұл жүйенің мысалы ретінде амортизаторға орнатылған біртекті мұралы жұмсақ параметрлі абсолютті қатты дене болуы мүмкін. Қарастырылып отырған (1.4) жүйені былайша түрлендіреміз
Θi+ωi2=Θit--infinitytRt-sΘisds=Qi0s inpti=1,...,n.
Тапсырманың шешімі (1.5)формуламен анықталады, мұнда
A0i=Θ0ip2-ωi21-Uc+ωi4Uc2, φi=arctgω2Usp2-ωi21-Uc.
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы
Сызықты механикалы жүйені n еркіндік дәрежелі төзімді тең салмақ формасын қарастырайық. Жүйедегі қозғалысты xjt жинақтық орын ауыстыру формасымен сипатталады, мұнда тепе-теңдік нөлге тең. Сонда V потенциалды энергияны квадрат формалы орын ауыстырулар арқылы, ал Т кинетикалық энергияны және D функциясын квадрат формадағы жинақтық жылдамдығы xjt арқылы сипаттаймыз. Лагранж теңдеуін қолдана отырып, біз жылдамдық көбейткішін аламыз
ddtdTdxj+dDdxj+dVdxj=fjt, j=1,..., n. (1.7)
Жинақтық сырт күш fjt әрбір координат үшін кординат қозғалысын құрайтын белсенді күш немесе берілген координаттар қозғалысымен пайда болған күш болуы мүмкін. (1.7) жүйе матрицалы түрде матрица бағаны X=colonx1,...,xnкелесідей түрді құрайды:
MX+CX+KX=f, (1.8)
Мұнда инерция матрицасы [M], демпфирлену матрицасы [С] және қаттылық матрицасының [К] барлығы симметриялы n реттік матрицасы болып табылады.
Ауытқу f матрица жолымен сипатталады. Матрица коэффициентінің физикалық мағынасы мынадай: Mjk- j бірқалыпты жылдамдығы бойынша қимыл-қозғалыс саны, мұнда k,Cjk - j бірқалыпты жылдамдығы бойынша демпфирленген күш, k,Kjk - j бойынша жұмсақ күш, k бірқалыпты орын ауысу.
Периодты тербеліс. Орнатылған периодты тербеліс - бұл периодты уақыт функциясының толқын формалы тербелісі.
a=Akcosωkt-Фk=ReAkeiωkt-Фk=
=Aksinωkt-Θk=ReAkeiωkt-Θk, (1.9)
мұнда ωk=2PIfk, ωk- бұрыштық жиілік, fk- сәйкестік жиілік. Егер барлық fk негізгі жиілік еселігі болса, онда нәтижедегі толқын формасы периодты түрде қайталанып отырады. Керісінше жағдайда ол квазипериодты немесе жартылай периодты болып келеді.
Комплексті экспоненциалды функция тригонометриялық функцияның орныа теориялық анализ үшін пайдаланылады. Теориялық анализ туындысының уақыты қолайлы және комплексті кіріс сандар амплитуда тербелісі мен фаза өзгерістерін тудырады.
Стандартты фундаментальді әдіс арқылы амплитуданы анықтау дегеніміз - резонансты жинақтық жабдықтары белгілі, алдымен реакцияның жиілікке тәуелді қым-қуыт қатынасы белгілі жағдайды айтамыз. Жоғарыда келтірілген сызықты қорыта келе, әрбір синусоида түпкілікті санға көбейтіліп, әртүрлі жиіліктерге жинақталуы мүмкін.
Сипаттауыш нің қым-қуытқа қатынасы жиі фазаның жылжу информациясын құрайтын комплексті сан түрінде айқындалады. Егер сипаттауыш мен қым- қуыт екеуі бір бірлікте (мысалы,үдеу ретінде) берілген болса, онда бұл қатынас энергия беру зейіні деген атаумен белгілі. Егер сипаттауыш қозғалысқа (немесе жылдамдыққа) қатысты болса, ал қым- қуыт күш болса, онда мұндай қатынас қозғалғыштық қатынас деп аталады; егер сипаттауыш мен қым- қуыт нүктелері сәйкес келмесе, онда тасымал қозғалғыштығы мен қарсылық қозғалғыштығы термині қолданылады. Үдеуді біз, сәйкесінше, дифференциалдау формуласымен 2PIf жылдамдығына немесе i2PIf комплексті белгілеріне көбейту арқылы анықтауға болады. Жалған сан iәріпімен белгіленеді және ол 90[0]тең.
Орнатылған тербелістер шартты математикалық түсінікті береді. Егер Ak, ФkжәнеΘk ақырын өзгеретін уақыт функциясын береді. Бұл функция (1.9) квазипериодты тербеліс (квазисинусоида қосындысы) түрін сипаттайды. Периодты тербелісті сипаттау үшін тек Ak аумағы немесе сәйкесінше ортаквадратты түсініктермен қарастырамыз. Фkнемесе Θk фазалық бұрыштары есепке алынбайды. бірақ лезде үдеріс арифметикалы орналасса, синусоида аумағы осындай жиілікте ереже бойынша вектор үстінен орналасады. Резнансты жиіліктер экспериментальды жолмен анықталған жағдайда іс жүзінде фаза түрлілігі резонанс белгісін атқарады. Рта жиілік жанында фаза сипаттауыш сі жиілік аумағына қарағанда жылдам өзгеріске ұшырайды.
Егер матрица қым-қуыты f=0, онда (1.8)теңдігі жүйенің еркін тербелісін сипаттайды, егер f!=0 - онда еріксіз тербеліс.
Диссипативті жүйенің еркін тербелісі.[М], [С] және [К] қозғалыс матрицаларының сызықты диссипативті жүйесін қарастырайық. (1.8) теңдіктің шешімін былайша табуға болады:
Xt=Weλt (1.10)
Мұнда λ - комплексті сан, W- комплексті сандық матрица - бағана. λ санын сипаттауыш көрсеткіш, ал iλ (немесе -iλ) - комплексті жиілік деп атайды. сипаттауыш көрсеткіштер сипаттауыш теңдіктің негізі болуы тиіс
detMλ2+Cλ+K=0, (1.11)
немесе
a11λ2+b11λ+C11a12λ2+b12λ+C12a21λ2+b 21λ+C21a22λ2+b22λ+C22...a1nλ2+b1nλ+ C1n...a2nλ2+b2nλ+C2n⋮⋮an1λ2+bn1λ+Cn 1an2λ2+bn2λ+Cn2⋮⋮...annλ2+bnnλ+Cnn= 0.
n еркін дәрежелі жүйеде 2n сипаттауыш λ1,..., λ2n көрсеткіштерін құрайды. Егер барлық сипаттауыш көрсеткіштері (1.11) теңдігінің жай түбірі болса, онда жалпы (1.8) теңдік шешімі 2n меншік шешімі сомасына тең болады.
Xt=k=12nCkWke-iλkt. (1.12)
мұнда Ck - еркін комплексті тұрақтылар, ал Wk - сандық матрица - бағаналар.
Сипаттауыш көрсеткішті былайша түрлендірейік
λk=ωRk-iωIk,
λn-k=ωRk+iωIk, k=1,...,n, (1.13)
мұнда ωIk0 және ωRk0 - нақтылы сандар, демпфирлену коэффициенті және демпфирленген жүйенің меншік жиілігі деп аталады. Егер Wk және λk (1.11) теңдікті қанағаттандырса, онда комплексті қабысу Wkc және λkc дәл солай теңдікті қанағаттандырады. Демпфирлену болмаған жағдайда, барлық түбірлер жалған осьтің жанына жинақталады. Демпфирлену болған жағдайда, түбірлер ойдағы осьтің жанына жинақталады
Сәйкесінше 2n меншік векторлары ортогональды шарттарды қанағаттандырады:
ωR+ωIXRTMXI+XRTCXI=0,
XRTMXI+ωRωIXRTMXI=0, (1.14)
мұнда Т-индексі орын ауыстыруды білдіреді. ωR!=ωIболған жағдайдағы ортогональды шарттарды, еселік түбірмен байланысқан сәйкес меншік векторы бойынша еселік түбір ретінде түрлендіреміз.
Демпфирлену сипаттауыш сі.ωIдемпфирлену коэффициенті (1.13) формуласымен берілген және C-1 өлшемді . өлшемсіз сипаттауыш лі демфирлену келесідей бөлінеді:
δΩk=ωIkΩ - өшу коэффициентіне қатысты;
δωRk=ωIkωRk - өшу коэффициентінің жиілік коэффициенті;
δPIk=2PIδωRk- логарифмді сөну декременті,
сонымен қатар, сөну декременті екі кезектес жиілігі ωRk амплитуда тербелісі қатынасына тең:
δek=eδPIkxjPIωRkmxj2PIωRkm+1m=1,2,. ..,
мұнда кейбір базисті (масштабты) жиілікті білдіреді. Егер ωIk сөну коэффициенті оң болса, онда δPIk және δek параметрлерін өсу тербелісі инкременті деп атаймыз. ωI сөну коэффициенті мен тербеліс амплитудасы арақатынасын мынадай түрде келтіре аламыз:
ωI=ωR2PIlnAn+1An.
Комплексті өзіндік мән тапсырмасын табу. Инерцияның симметриялы матрица болуы, демпфирлену мен [М], [С] және [К] қаттылықтарының тапсырмасы меншік мағынасы λk=ωRk-iωIk және комплексті меншік векторларын Xk=XRk+iXIk қанағаттанарлық теңдікті анықтау (1.11). Бұл тапсырма әлдеқайда қиын және терең зерттелмеген (1.11). Консервативті жүйе үшін барлық сипаттауыш лік көрсеткіштер тек жалған (1.1,а сурет) және +i меншік жиілік жүйесінің көбейткішіне периодтық функциялары, ал қозғалыс жалпы жағдайда стационарлы болады.
1.2. - сурет. Сипаттау көрсеткіштерінің жүйеде орналасуы:
а- консервативті, б-толық диссипативті, в-толық емес диссипативті, г-теріс диссипативті.
Егер жүйе диссипативті және толық дисипациялы болса, онда барлық сипаттауыш лік көрсеткіштер төменгі ауыспалы кешеннің жартылай жазықтығында орналасады (1.2,б сурет). Барлық меншік тапсырмалар - сөну функциялы, демек, жалпы айтқанда ол - уақыттың сөну функциясы. Егер жүйе толық еммес диссипациялы болса, онда оның көрсеткішінің бір бөлігі сол жақ жартылай жазықтықта, ал бір бөлігі - жалған осьте орналасады. Меншік шешімдер арасында демпфирленбеген еркіндік дәрежесіне жауап беретін периодтылық кездеседі. Егер жүйе теріс диссипативті болса, онда сипаттауыш лік көрсеткішінің ішінен шынайы теріс бөлшектерді байқауға болады (1.2,г сурет). Сәйкесінше, меншік және жалпылама шешімдер уақыт функциясында шексіз өсіп отырады.
Амалсыз тербелістің демпфирленуі. Стационарлы тапсырмада f вектор функциясы берілген жиілік пен амплитуда арқылы Fωүйлесімділік заңымен f=Fe-iωt өзгереді. Бастапқы шарт қойылмайды. Шарттардың орнына ω: Xt=Weiωt жиілігі шешімінің периодты орындалуы талап етіледі. Нәтижесінде біз ізделген Wвектор компонент кешенінің алгебралық теңдік жүйесін аламыз:
-ω2M+iωC+KW=F. (1.15)
Комплексті коэффициент (1.9) жүйесін Гаусс әдісімен шешуге болады.
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы
Біртекті серпімді изотропты пластинаны қарастырайық, пластина қалыңдығы h, a, b өлшемді тікбұрышпен шектелген. Пластина Mqq=1,...,Q массасымен нүктелі байланысқан және серпімді, сәйкесінше S ішкі нүктелерімен L[]-ге тіректелген. Топсалы тірек нүктемен барлық бағытта қысып ұстау арқылы қабысады. Тірек пен нүктелік масса пластина жазықтығында еркін орналасады. Шектік шарттар пластинаны әр жағында: топсалы тірек, қысу немесе еркін шек болуы мүмкін. 2.1. суретте пластинаның координата жүйесінде осьтер арқылы шартты тірек, қысу, топтық массалы, шартты шектер көрсетілген. Меншік жиілік пен пластинаның көлденең тербеліс формасын табу керек.
Жиілік тербелісті анықтау барысында пластинді жұқа (басқа өлшемдерге қарағанда жұқалау) деп есептейміз.
Математикалық тапсырма келесідей образ алады: пластина үйлесімділік заңы бойынша тербеліс жасасын, яғни,
Wx,y,t=W0x,ysinωt, (2.1)
мұнда ω- меншік жиілік, ал W0x,y - өзіндік тербеліс формасы. Кирхгоф - Лева гипотезасын тура деп болжасақ, серпімді теорияның қозғалыс пен деформацияға тәуелділігін былайша жазамыз:
εx=-zd2Wdx2, εy=-zd2Wdy2, εxy=-2zd2Wdxdy (2.2)
мұнда z - жазықтыққа перпендикуляр бағытталған координата нүктесі, εx, εy, εxy- пластина тензор деформациясының компоненті.
Кернеу компоненті
Gx=-Ez1-v2d2Wdx2+vd2Wdy2,
Gy=-Ez1-v2d2Wdy2+vd2Wdx2,
Gxy=Gyx=-Ez1-v2d2Wdxdy, (2.3)тең.
Сурет-2.1. Пластинаның координата осіне қатысты орналасуы:
қысылған шек,
еркін шек,
топсалы тірек шегі,
* нүктелі топсалы тірек шегі
қысыңқы тіректі,
# топтық массалы
мұнда Е - Юнга модулі, ал v - Пуассон коэффициенті. Gz қалыпты компоненті көлденең бұрылыста Gхжәне Gу - ке қарағанда аз, сондықтан Gz=0.
Серпімді деформация кезінде пластинада жинақталған потенциалды энергия жоғарыда көрсетілген түрлендіру бойынша:
G=12VGxεx+Gyεy+Gxyεxy dxdydz, (2.4)
мұнда V - пластина көлемі. Компонент деформациясы (2.4) мен кернеу (2.2), (2.3) тіреу етіп, серпімді тіректің потенциальді энергиясын есепке алсақ,
G*=D20a0bd2Wdx2+d2Wdy22-
-21-vd2Wdx2d2Wdy2-d2Wdxdy2dxdy+12l =1Lc1W2xl, yl; (2.5)
мұнда D=Eh3121-v2-1 - пластинаның цилиндрлік қаттылығы, ал
Clxl, yl - серпімді тірек қаттылығы мен координатасы. (2.5) - тегі екі еселенген интегралдар бейтарап қабат бетінен алынады.
Массалармен байланысқан пластинаның кинетикалық энергиясы былай түрленеді:
T=ρh20a0bdWdt2dxdy+12q=1QMqdWxq,yq, tdt2, (2.6)
мұнда ρ - пластина материалының тығыздығы, x[q], y[q] - q шоғырланған массамен байланысқан координаталар.
Пластина екі тербелістің бірін орындағанда (2.1) потенциалды және кинетикалық энергияларының мәні мынадай формуламен анықталады:
Gmax*=D20a0bd2W0dx2+d2W0dy22-
-21-vd2W0dx2d2W0dy2-d2W0dxdy2dxdy+
+12l=1LClW02xl, yl,
Tmax=ρω22h0a0bW02x,ydxdy+ω22q=1QMqW 02xq,yq. (2.7)
Остроградский - Гамильтон функционалын қарастырайық
L=tHtbT-G*dt
Басты тербелістердің 2PIω периодындағы қосылысы. Соңғы арақатынасты интегралдағанда, вариациялы теңдігін аламыз.
δTmax-Gmax*=0, (2.8)
Пластинаның басты тербелісн өзіндік формалары W0x,y қанағаттандыруы тиіс. Сонымен қатар S нүктедегі пластинаның қатаң тіреуі айналманы бекіту шартын қанағаттандыру керек:
W0xs,ys=0 s=1,...,S (2.9)
x[s], y[s] - S ішкі тіректің координаталары. Мұнымен қоса кейбір қатты тіректер αs - тің ОХ осіне қатынасты қысулы болса,онда (2.9) мынадай шарт қосылады:
dW0xs,ysdαs=0 s=1,2,..., sα; 0=αs=PI2, (2.10)
Sα қысу саны S тірек санына тең болуы шарт емес. Осылайша, берілген модель өзіне әр түрлі тіректер мен қысуларды қосып алады.
(2.8)-(2.10) арақатынастары өз алдына шартты экстремумды есепті құрайды. (2.9) бен (2.10) арақатынастарын ескере отырып, Лагранж көбейткіштерімен ақырғы вариациялы теңдікті аламыз.
δs=1SλsW0xs,ys+s=1SαλsαdW0xs,ysdαs+ Gmax*-Tmax=0, (2.11)
мұнда λs, λsα - Лагранж көбейткіштері, δ - қозғалыс вариациясы.
(2.11) арақатынасы кейбір түсініктерде Раус теңдігімен көрсетіледі [11].
ω1,ω2 және W01, W02 формасындағы меншік жиілік спекторын табу талап етіледі, олар (2.11) теңдігін және пластина контурының шектік шарттарын тривиальсіз образбен қанағаттандырады.
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру
(2.11) теңдігінің шешімін ортогональді базис функциясынан таба аламыз. Базисті функцияны тек геометриялық шекаралық шарттарды орындаумен шектелуге болады. Қысу немесе тірек шарттарын орындау барысында әр базистік функция үшін ішкі нүктелік функция талап етілмейді.
Әдетте тікбұрышты пластина үшін Akx,y өзіндік формалары екі функцияның туындысы түрінде орындалады, олардың бірі тек х функциясы, ал екіншісі тек у:
Akx,y=Xmx∙Yny, (2.12)
мұнда m, n - пластинаның обертон реті, олар әрбір k индекске беріледі. Xm(x) және Yn(y) функция ретінде қарапайым полиномдар немесе біртекті стержнің меншік тербеліс формалары, пластинкалардың сәйкес шектеріне шекаралық шартын қанағаттандыратын жиі алынады. Берілген жұмыста стержндердің меншік формалары қолданылған. (2.11) вариациялық теңдікті қанағаттандыратын минимализацияланған форма мен шектік шарттары берілген Akx,y базис формаларынан алынған қосынды арқылы аламыз:
W0x,y=k=1KγkAkx,y (2.13)
γk- мұнда ізделініп отырған коэффициенттер берілген.
Ak формалары ортонормаланған деп есептесек, онда
0a0bAk2x,ydxdy=1.
(2.13) формуласын (2.11) қойып және (2.7) ескере отырып, келесі жүйені аламыз K+S+Sα, ол K+S+Sα қатысты белгісіз λ1,..., λS, λ1α,...,λSαα,γ1,...,γK арқылы өрнектелген біртекті сызықтық теңдік:
ddλSQλS, λsα,γk=0 s=1,...,S,
ddλsαQλS, λsα,γk=0 s=1,...,Sα,
ddγkQλS, λsα,γk=0 s=1,...,K, (2.14)
оның ішінде:
QλS, λsα,γk=k=1KγkAkxs,ys+
+s=1Sαλsαddαsk=1KγkAkxs,ys+Gmax*+Tm ax.
(2.14) жүйені матрицалы түрді былай келтіруге болады:
A-ω2Bξ=0, (2.15)
мұнда А, В - (K+S+Sα)x (K+S+Sα) өлшемді матрицалары, ξ- λS, λsα,γk белгісіз векторлары. А және В матрицалары симметриялы және төрт ішкі матрицалардан құралады:
A=0AbAHA0, B=000B0, (2.16)
мұнда А[0], В[0] - KxK өлшемдерінің симметриялы матрицалары
Ab=AHT=A1x1,y1 ... AKx1,y1 ⋮ ... ⋮ A1xs,ys ... AKxs,ysdA1x1,y1dα1 ... dAKx1,y1dα1 ⋮ ... ⋮ dA1xαSα,yαSαdαSα ... dA1xαSα,yαSαdαSα.
А[0], В[0] ішкі матрица элементтері (2.14) формуласымен анықталатын, Akx,y бірқалыпты жағдайда мынадай формуламен анықталады
akk0=0a0bDd2Akdx22+d2Akdy22+2vd2Akd x2d2Akdy2+
+21-vd2Akdxdy2dxdy+l=1LClAk2xl, yl,
akl0=alk0=D0a0bvd2Akdx2d2Aldy2+d2Al dx2d2Akdy2+
+21-vd2Akdxdyd2Aldxdydxdy+l=1LCl Akxl, ylAlxl, yl
bkk0=ρh+q=1QMqAk2xq,yq,
bkl0=blk0=-q=1QMqAk2xq,yqAl2xq,yq. (2.17)
Механикалық пікір бойынша, А[0], В[0] - матрицалары - серпімді тіректі және шоғырланған массалы пластинаның потенциалды және кинетикалық энергиясы. (2.15) теңдік жүйесі ω2 және ξ меншік векторларының жалпылама мәнін табу тапсырмасын орындайды. Жүйе тривиальды емес шешімі болу үшін, анықтауышы нөлге тең болуы қажет.
A-ω2B=0. (2.18)
В матрица сингулярлы, сондықтан кері В[-1] матрицасы болмайды. Тапсырманы классикалықтүрге келтіру үшін, (2.9) және (2.10) байланыстарынан пайда болған жүйенің сызықты тәуелді координаталарды алып тастау қажет. Басты элементті бағанаға бөліп Гаусс әдісі арқылы жүйедегі А матрицасын Аb жәнеАН матрицашаларын үшбұрышты қалыпқа келтіреміз (S[]- тен төмен S+Sα қосындысы)
0
a1,S+1 0 0
a2,S+1 a2,S+2 0
⋮
aS,S+1 aS,S+2 aS,2S 0 0
aS+1,1 aS+1,S
0 aS+2,S
⋮
0 a2S,S
0 0
⋮
0 0
A
А және В матрицалары бірге түрленеді. Түрлене келе Аb және АН үшбұрышты матрица элементіне жауап беретін 2(S+Sα) бағаналар мен қатарлар қысқарады. Нәтижесінде A-ω2B матрицасын (K-S-Sα)x (K-S-Sα) өлшемде аламыз, мұнда B, В-ға қарағанда туынды болмайды. A және B матрицаларының механикалық интерпритациясы сол қалпы қалады, сондықтан олар оң түрде анықталған. Вектор - бағанадан тұратын сызықтық тәуелсіз жалпылама координаттар.
Осылайша, біз өзіндік мәні қарапайым жинақталған тапсырма аламыз:
A-ω2Bξ=0, (2.19)
мұнда ξ - белгісіз γS+1,..., γK вектор бағанасы. Бастапқы жүйедегі сызықтар мен бағаналарға жауап беретін 2S[] белгісізі әзірге қарастырылмайды. Жоғарыда көрсетілгендей Aжәне B матрицалар мөлшері, басқаша айтқанда, тәуелсіз жалпылама координата саны бастапқы санға қарағанда аз, яғни, S+Sα. Демек, меншік жиілігі ω2соған сәйкес қысқарады.
Тапсырманы (2.19) белгілі әдістермен шешу арқылы, ω1,...,ωK-S жиілік секторын және сәйкесінше ξ1,...,ξK-S меншік векторын аламыз. Меншік векторы өлшемі K-S-ге тең. ξ1,..., ξK-S векторын табу үшін, ξiвекторына жетпейтін кмпненттерді анықтап алуымыз қажет, ол үшін келесідей операция орындалады: түрлендірілмеген жүйеге (2.15)ξi табылған векторларының орнына қойып, бірінші жүйедегі 2S[] сызықтық біртексіз теңдіктің 2S[]-ке қатысты қажет элементтерін анықтау керек. Akx,y ортогональді базис форма күшінің бір ғана шешімі болады. Осындай әдіспен алынған γS+1,..., γK коэффициенттері (2.13) меншік пластинаға тірек форма тербелісімен анықталатын болады. (2.13) пластина координатасының кез-келген нүктесі тербеліс амплитудасын корсетеді. Лагранж көбейткіші λ1,...,λS,λα,...,λSαα байланыс реакциясы түсінігін береді. Топсалы тірек үшін Лагранж көбейткіші тек тірек реакциясын береді. Сәйкесінше, қысылған α бағытына қарай λSααнүктелерінің реактивті сәті анықталады.
Еске саларлық жағдай, бұл жерде меншік жиіліктері мен байланыс реакцияларын анықтауда тәуелсіз алгоритм әдісі қолданылады. Басқа әдістерден ерекшелігі, мұнда меншік және пластина пішінінің байланыс нүктелері реакция байланысын анықтамай-ақ шешімін табады. Ол үшін ξiжүйедегі векторын (2.13) алмастырған соң S[]- дің γ1,...γS алғашқы бір тексіз теңдікті шешу жеткілікті.
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы
Берілген жұмыста қатаң жинақтық әдісі матиматикалық жолмен қарастырылмайды. Оның бірнеше себебі бар. Тапсырмада энергетикалық амалдар Ритц әдісімен орындалған, яғни, жұмыс барысында сәйкестіктер дәлелденген [12, 13]. Нүктелік байланыстарды Лагранж көбейткіші есебінен бөлек, шартты эктремум әдісімен есептеуге болады. Төменде көрсетілгендей, берілген нүктелік байланыстар сәйкестіктің өзіне емес, тек жылдамдық сәйкестігіне әсер етеді.
Сәйкестік әдісінің тәжірибелік көрінісін ( теория және экспериминтальді жолмен) ғылыми тұрғыда қолданып көрелік. Алдымен бастапқы түрлі шартты шектік функциясын қаралық. Xm(x) (Yn(y) үшін олар аналогті ) келесідей түрленеді:
1. x=0 және x=a шектері еркін:
Xm*x=chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa-
-shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa;
2. x=0 және x=a шектері тірелген:
Xm*x=sinPImax;
3. x=0 және x=a шектері бекітілген:
Xm*x=shrm-sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm-cosrmshrmxa-sinrmxa;
4. x=0 бекітілген, x=a тірелген:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa;
5. x=0 тірелген, x=a еркін:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa;
6. x=0 еркін, x=a тірелген:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa+cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa+sinrmxa.
Әдісті жүзеге асыру бағдарламасында бұл функциялар нормаланады:
Xmx=Xm*x0aXm*x2dx12. (2.20)
Ym*x аналогті нормаланған. Сандар сәйкес сипаттауыш теңдеулердің түбірі болып табылады.
1. [3] жұмыста тікбұрышты пластинаның меншік жиілік теңдігі берілген (пластина тірек шекті көбінесе, орталық бір тіректі квадрат пластиналар үшін ) ассимтотикалы формула берілген, мұнда ең төмен меншік жиілік анықталады:
ω1=ϖaPIa2Dρh, (2.21)
мұнда ϖa - жиілік коэффиценті немесе берілген жиілік. ϖ берілген жиілік шешімін салыстыра келе, ассимптотикалық (ϖa=5.33)2.1 кестесінде (К әріпімен шегеріген қатар саны (2.13), ал δ - пайыздық қатынас қателігі ).
Кесте - 2.1.
К
4
9
16
25
ϖa
5,33
ϖK
6,05
5,82
5,65
5,5
δ1%
13,5
9,2
6,1
3,2
(2.21) формуласы барлық меншік жиілігінен ғана емес, тек ішкі тірекке әсер ететін меншік жиіліктерінен алынған. Келтірілген әдіс арқылы спектр жиілігін толық анықтауға болады. Егер қысқартылған (2.13) алып қарасақ, онда жиілік шешімдері салыстырмасы төртінші белгіге дейін сәйкес.
2.[6, 7] жұмыстарында квадрат пластина шектеріне тіректі негізгі жиілікті бірінші жуықтау қатынасын ала аламыз, мұнда Ммассасы берілген:
ω1=2PI2a2Dρh+4Ma2. (2.22)
Екі қатарды (2.13) шегерудің өзі (2.22) шамасын алады. Зерттеу көрсеткендей шектік тірек пластинаның бірінші ω1тура есепке жақын. Фундаментальді функцияны К=16 - ға дейін өсіретін болсақ, онда меншік жиілік 1-2% - ға дейін дұрыс болады; ал егер жалғанған жүк массасы пластина массасына тең келсе, онда К=16 қателік қатынасы 6% - ға дейін көтеріледі.
3.Шекті пластинаның экспериментальді нәтижелері жұмыста [2] келтірілген.Төрт симметриялы тіректі шексіз квадрат пластина, көлденең орналасқан. Мұндай тапсырмаларға негізгі меншік жиілігін анықтау үшін экспериментальді теориалық формула берілген:
ω1=ϖa2Dρh, (2.23)
мұнда ϖ - жиілік коэффициенті, көлденең орналасқан тіректерге тәуелді коэффициент. Екі мүмкін жағдайды қарастыралық: бұрыштық тірек және орталық бір тіректі (кесте .2.2) жағдай.
Анализдеу барысында екі әдістің сәйкестігі анықталды; мұнымен қоса, тірек сандардың жылдамдық тәулділік сәйкестігі байқалды. Пластинада неғұрлым нүктелік байланыс көп болса, соғұрлым қатар ұзындығын анықтау қателігі көп болады.
4.[1] экспериментальді алғашқы жиіліктің меншік тербелісіне симметриялылығы қарастырылған, бұл жағдайда еркін контурлы, төрт симметриялы нүктеге тіректі және бұрыштардан r=0,5 см арақашықтықтағы дюралюминді квадрат пластина (а=13 см, h=0,193 см)
ω1=246, ω2=1290, ω3=2815, ω4=3840.
К=25 формуласында (1.11) жиілік есебі:
ω 1=250,7; ω 2=1380,3;ω 3=2839,8;ω 4=4077,3.
Қателік сәйкесінше 1,9%;7%; 0,8%; 6,2%.
5. Еркін жиекті және тірек бұрышты квадрат пластинаның төменгі жиілік коэффициенті кестелік әдіспен анықталады (симметриялы тербеліс үшін):
λ1=ωaρhD, (2.24)
мұндаωa - пластинаның айналмалы меншік жиілігі. v=0.3, λ=2.73,v=0,3; λ=2,73 үшін (1.11) қатардан 25 және 36 мүшелерін шегеру арқылы біз λ1[(25)]=2,84және λ1[(36)]=2,79 аламыз, яғни, айырмашылық қатынасы 7,7% және 2,2% көрсеткіштерге тең.
Кесте - 2.2.
К
6
9
16
25
Бұрыштық тіректер
ϖ
10,9
ϖK
13,8
-
11,6
11,5
δ1%
20
-
6,9
5,7
Орталық тіректер
ϖ
6,78
ϖK
-
7,27
7,23
6,82
δ1%
-
7,2
6,7
0,6
Нәтижелерді салыстыру (2.3кестесін қараңыз) арқылы біз келесідей шешім қабылдауымызға болады: берілген алгоритм есебі меншік жиілігімен нүктелік байланысмен топты массалы тікбұрышты пластиналар бір - біріне байланысты болып келеді:
Жылдамдық сәйкестігі ішкі тіректер мен жалғау массаларына, сонымен қатар контурдың шектік шартына тәуелді.
Кесте - 2.3.
Суперпозиция әдісі
[18]
МКР
[19]
Эксперимент
[19]
Ұсынылатын әдіс
δ1%
ϖ1
7,18
7,09
7,2
7,28
1,1
ϖ2
15,16
14,68
15,5
16,03
3,4
ϖ3
19,22
15,66
19,5
20,16
3,3
ϖ4
38,36
33,94
38,2
36,6
4,4
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау
Бұл параграфта біз әдістерді күрделенген механикалық конструкцияға біріктіреміз - тікбұрышты пластина, пластина айналма қабықшасы берілген және жүйеде коаксальді орналасқан.
Меншік тербеліс құрылымын талғаудан бастайық. Жүйеде ішкі қатты және серпімді тіректі серіппе топты массамен толықтырылған тікбұрышты пластина тербелісі берілген. Пластина топсалы түрдегі қатты және серпімді нүктелік тіректі, олар бір-бірімен қысыңқы келуі мүмкін. Тірек бағаналар жуықтауын топтық деп қарастыруымызға болады. Пластина шекарасы біртекті шек шарты - тіреу, қысу, шексіз болып берілген. Меншік тербеліс құрылым жиілігі мен формасын анықтау қажет.
Бұл тапсырманың сапалы математикалық қойылымы бірлік пластинаға қойылған есептен көп айырмашылық жасамайды. n-пластинаның көлденең тербелісін мынадай күйде жазалық
Wnx,y,t=Wn0x,ysinωt n=1,...,N,
мұнда N - пластина саны, Wn0x,y- n-пластинаның тербеліс формасы.
n-пластинаның Wnx,y,t арқылы түрлендіріп кернеу мен деформацияны (2.2), (2.3) формуласымен аламыз. Массалары шоғырланған n-пластинаның максимальды кинетикалық және потенциальді энергиясын Tmaxn,Gmax*n арқылы белгілейміз. Олар аналогті (2.7) формуласымен анықталады, бірақ a, b, ρ, h, Mq, D, v шамалары n индексті болады. n және (n+1) пластина аралық серпімді бағаналардың (серіппе) максимальді потенциалдық энергия теңдігі беріледі:
Gmax1n=12l=1LnClnWn0xl,yl-Wn+10xl,y l2,
мұнда Cln,xl,yl - l серіппенің қаттылығы мен координатасы, Ln- n және (n+1)-ші пластина аралық серіппе саны.
Аналогті формулаға (2.8) вариациялы теңдеуді жазайық:
δTmax-Gmax=0, (2.25)
мұнда
Tmax=n=1NTmaxn, Gmax=n=1NCmax*n+Gmax1n.
Топсалы бекіту шарты n пластиналар S ішкі нүктелік тіректе және Snα қысу тіректе аналогті (2.9), (2.10) формулаларымен анықталады. Сонымен қатар n және (n+1)-ші пластиналар арасындағы қатты байланысқа бекіту шарты да қосылады:
Wn0xr,yr-Wn+10xr,yr=0 (r=1,..., Rn), (2.26)
мұнда xr, yr - n және (n+1)-ші пластина аралық r-ші қатты бағана координатасы.
Лагранж көбейткіштері арқылы (2.9), (2.10) және (2.25) байланысқан вариациялық теңдікті (2.25) қарастыралық:
δn=1Ns=1SλnsWn0xs,ys+n=1Ns=1Snaκnsd Wn0xs,ysdαns+
+n=1Nr=1RnμnrWn0xr,yr-Wn+10xr,yr++G max-Tmax=0, (2.27)
мұнда λns, κns, μnr - Лагранж көбейткіштері. ω және Wn0n∈1,N меншік жиілік спекторын анықтау қажет. Пластинаның барлық контурында шекаралық шарттарын және (2.27) теңдікті қанағаттандыруы қажет.
Шешу әдісі §2.2 тақырыбында айтылғандай ізделінді формаларды арқылы жазықтықта белгілі негізгі Ankx,y функциясын іздейміз.
Wnx,y=k=1KγnkAnkx,y (n=1,...,N) (2.28)
(2.28)-ді (2.27) орнына қою арқылы өзіндік тапсырманы аламыз. Әрі қарай тапсырма §2.2-де көрсетілгендей шешіледі.
Серпімді изотропты қабықша айналымды сипаттап өтелік (байланыс тіректі және массалы). Деформирленген кернеу жағдайын Кирхгоф-Льява гипотезасы арқылы қарастырамыз. Пластина тапсырмаларына қарағанда, мұнда қарапайым біртекті шектік шарттар берілген. Тек спектрдің қабықша тербелісі мен меншік жиілігін анықтау керек.
Қабықша қозғалысы еркін тербеліс процесінде заңға бағынады делік
UX1,X2,t=U0X1,X2e-iωt, (2.29)
мұнда Х1, Х2 - орта қабат координаталары, U0X1,X2- меншік тербеліс векторы, U, V, W сәйкесінше қабықша бетіне бағытталған, ω- меншік жиілігі.
Біз тапсырманы мүмкін болатын орын ауыстырулар әдісімен тұжырымдаймыз. δU мүмкін болатын орын ауыстырулар (шектік ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ 4
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ 9
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары 9
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы 13
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ 18
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы 18
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру 21
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы 25
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау 29
2.5. Серпімді есептерді шешу және талдау 34
3 НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ МЕХАНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ӨЗІНДІК ТЕРБЕЛІСІ 43
3.1. Нүктелік байланысты құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебінің вариациялық қойылымы 43
3.2. Өзіндік тербелістің тұтқырсерпімді есебін шешудегі вариациялық әдіс алгоритмі. 48
3.3.Құрлымы біртекті емес нүктелік байланысты тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербеліс есебін талдау және шешу 50
4 ҚҰРЛЫМЫ БІРТЕКТІ ЕМЕС ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ НҮКТЕЛІК БАЙЛАНЫСТЫ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ТҰРАҚТАЛҒАН СЫЗЫҚТЫ ТЕРБЕЛІСІ 57
4.1 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербеліс есебінің математикалық қойылымы. 57
4.2 Тұтқырсерпімді нүктелік байланысты жүйелердің мәжбүрлі тербелісінің сызықты есебінің теідеулерінің шешу құрлымы. 59
4.3. Тұрақталған тербеліс есебін шешу және талдаудың сандық алгоритмі. 61
ҚОРЫТЫНДЫ 65
Пайдалынылған әдебиеттер тізімі 66
КІРІСПЕ
Жұмыстың жалпы сипаттамасы
Магистрлік жұмыс вариациялық әдіс негізінде математикалық модельдеу әдісін дамытуға арналған. Сонымен қатар,серпімді және тұтқыр серпімді, пластиналық және қабықша жүйелердің нүктелік байланысы мен шоғырланңан массалары бар динамикалық есептер шешіміне және теориялық-зерттеушілік сипаттамаларға ие.
Зерттеу тақырыбының өзектілігі. Заманауи техникада пластиналар мен қабықшалар кеңінен қолданылуда. Олар, ережеге сәйкес, конструкция элементтері бола тұра, басқа элементтермен түйіндес немесе тіреу нүктелеріне ие,шоғырланған сипаттағы массаларды атқарады. Тіреу нүктелерінің, сонымен қатар, шоғырланған массалардың болуы елеулі түрде пластиналар мен қабықшалардың(өзіндік жиілігі және тербеліс формасы) динамикалық сипаттағы есептеуін қиындата түседі. Серпімді тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналмалы қабықшасының динамикалық өзгеруін есептейтін қолданыстағы әдістер, ережеге сәйкес, нақты есептерді шешуге бағытталған (шекаралық шарттары, нүктелік байланыстың саны мен түріне, олардың орналасуы және т.б. бойынша). Серпімді динамикалық есептердің бүтін класына арналған бірыңғай әдісті құруды ұсыну маңызды. Полимерлі материалдардың кең қолданыста болуын,пластиналармен қабықшалардың тұтқырсерпімді жүйелерін модельдеудегі осы әдісті жинақтау қажеттілігімен түсіндіруге болады.
Диссертациялық жұмыстың мақсаты: Әмбебаптылыққа, салыстырмалы түрде қаралатын, жақсы жинақтылыққа ие, меншікті және мәжбүрлі сызықтық тербелістердің,серпімді және құрылымды біртексіз,тікбұрышты пластиналар мен нүктелік байланысы бар айналыу қабықшаларының тұтқырсерпімді жүйелері және шоғырланған массалары туралы есептердің алгоритмін құру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы. Серпімді тікбұрышты пластиналар үшін кинематикалық сипаттағы нүктелік байланыс пен шектеулерді есептеу тәсілі ұсынылады. Виртуалды орын ауысудың термин принциптеріндегі динамикалық сипаттағы пластиналарға көрсетілген байланыстардың әсер етуі Лагранж көбейткіштері әдісі арқылы зерттеледі. Классикалық жинақталған қойылымға меншіктік мәндер туралы туынды есебінің мәлімет әдісі көрсетілген. Әдістеме серпімді және құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді тікбұрышты пластиналар жүйесі немесе нүктелік байланысы бар айналу қабықшалары және шоғырланған массалары жағдайында таратылған. Құрылымды біртексіз тұтқырсерпімді меншіктік және мәжбүрлі тербелістерге арналған бірнеше есептер шығарылады.
Зерттеу нәтижелерінің практикалық және теориялық маңыздылығы. Нүктелік байланыстары мен шоғырланған массалары бар пластинаның және қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеуге арналған алгоритм ДК ЭЕМ-ге арналған стандартты бағдарламалар үшін кеңінен қолданылады, сондықтан, ол инженер құрастырушыға ыңғайлы. Әдістің есептеу тиімділігі қанағаттанарлықтай нәтижелерде зерттеу және есептеу жұмыстарын жүргізуге мүмкіндік береді.
Математикалық модельдеу - бұл құбылыстарды зерттеу, процестерді, олардың модельдерін құрастыру және оқып үйрену жолы арқылы, жүйелер мен объектілерді соңғысының сипаттамасын анықтау немесе нақтылау үшін пайдалану және қайта құрастырылатын технологиялық процестерді, жүйелерді және объектілерді зерттеу. Математикалық модельдеу негізіне түпнұсқа мен модельдің айнымалы параметрлерінің біртектес немесе ұқсас теңдеулермен сипатталуы алынады. Математикалық модельдеу көбінесе компьютерлер арқылы зерттеледі, сондықтан оны кейде компютерлік модельдеу деп те атайды.
Математикалық модель - бұл шынайы әлемнің абстракциясы, мұндағы зерттеушіні қызықтыратын шынайы элементтер арасындағы қатынас сәйкесінше математикалық категориялар арасындағы қатынаспен алмастырылған. Бұл қатынастар, ережеге сәйкес, модельдеуші шынайы жүйенің жұмыс істеуін сипаттайтын теңдеу немесе теңсіздік түрінде көрсетілген. Математикалық модель құру өнері, математикалық сират тұрғысындағы неғұрлым ықшамдылықты зерттеушіні қызықтыратын шынайылықтың дәл сол тұстарын жеткілікті модельдік дәлдікпен жаңадан өндіріп, қиылыстыру болып табылады.
Аналитикалық, имитациялық, сандық, функционалдық және матрицалық математикалық модельдер белгілі. Аталған модельдердің кез-келгені төмендегідей классификациялануы мүмкін:
уақыт тәртібі бойынша (динамикалық, статикалық, квазистатикалық);
кіру ақпаратының түрі бойынша (детерминдендірілген, стахастикалық, үздіксіз, дискреттік);
математикалық аппараттың қолданылу түрі бойынша (сызықтық, сызықтық емес, оптимизациялық, оптимизациялық емес).
Нақтылығы - сандық әдіс бойынша негізделген ақиқаттың бар болу формасы, мысалы, тәжірибе арқылы, субъектіні тану үшін логикалық дәлелдеу. Математикалық модельдеудегі нәтижелердің нақтылығы - модель тиімділігінің негізгі көрсеткіші. Модельдеу нәтижелерінің нақтылығын бағалау процедурасының өзін, оның модельдеуші объектіге, жүйеге және процесске модельдің баламалығының анализі деп атайды.
Қазіргі таңда көптеген техникалық конструкцияларда қабықшалы және пластина түріндегі конструкциялар кеңінен қолданылуда [1,2,3,4]. Жұқа қабатты трубалар мен панелдер шынайы жағдайларда, ережеге сәйкес басқа конструкциялар және денелермен өзара әрекеттеседі, нүктелік қатты және(немесе) серпімді, шарнирлік және(немесе) қысылған тіректерге тіреледі және нүктелік жалғасқан массалары бар [6,7]. Шекаралық шарттары біркелкі шарттардан жиі ерекшеленеді. Егер статикалық нүктелерде бұл ерекшеліктер деформация мен кернеу өзгерістерінде локальді қайта орналастыруды туғызса, онда динамикалық есептерде нүктелік байланыстар пластиналардың барлық диннамикалық сипаттамаларына немесе қабықшаларға - өзіндік спектр жиілігіне, өзіндік тербеліс формасына, резонансты жиілікпен амплитудаға және т.б. тікелей әсер етеді. Соңғы кездері, әсіресе виброқорғаныс жүйелерінде өте өзекті болып жатқан, егер пластина мен қабықша мұрагерлік қасиеттерге ие болса, онда есеп күрделене түседі [8,9,10]. Көрсетілген есептер класының динамикасына байланысты көптеген басылымдар пластиналар мен нүктелік байланысы бар қабықшалардың динамикалық тәртібінің серпімді есебіне арналған [11,12].
Ішкі нүктелерге тірелген және жинақталған жүгі бар пластиналар мен басқа да конфигурацияларға (трапеция, шеңбер және т.б.) арналған бірқатар динамикалық есептеулер бар [13, 14]. Өзіндік жиілік пен формаларды алу үшін негізінен диференциалдық тәсіл пайдаланылады.
Серпімді қабықшалардың өзіндік тербелісі бойынша жұмыс анализі [15, 16, 17], жоғарыда сипатталған барлық нүктелік байланыс түрі бар қабықшалы конструкциялардың динамикалық есептеу әдістерінің айтарлықтай жетілдірілгендігін көрстеді.
Диссипатиялық қасиеттері бар жүйелерге арналған динамикалық есептер де үлкен қызығушылық тудыруда [18, 19].
Әрі қарай құрылымдық біркелкі емес тұтқырсерпімді жүйелерді әртүрлі геологиялық қасиеттері бар элементтерді механикалық жүйелер деп атаймыз [19, 20]. Ғылыми әдебиеттерде проблемаларды барлық жағынан алып қарағанда, еркін дәрежелі соңғы сандары бар динамикалық тұтқырсерпімді жүйелердің сөнуін пайдалану сұрақтары сирек қарастырылады [21, 22]. Сонда да, екі серпімді тіректердегі қатты дене түріндегі объектіні қорғау есептері инженерлік тәжірибе үшін маңызы зор, өйткені, балдық түрдегі жүйелер тасымалдаушы динамикада кеңінен қолданылады [23, 24, 25, 26].
Бірінші тарауда өзіндік және мәжбүрлі тербелісті есептердің қойылуы сипатталады. Тек қана қатты денелерден тұратын, бір-бірімен өзара массасыз тұтқырсерпімді элементтерімен байланстырылған механикалық жүйелердің тербелісі қарастырылады.
Екінші тарауда өзіндік тербелістердің серпімді есебі қарастырылады. Тікбұрышты пластиналарды Гамильтон - Остроградский принципі бойынша варияциялық теңдеуі алынып, варияциялық қойылым ұсынылады. Серпімді тіректермен шоғырланған массалар, тіректің және варияциялық теңдеулердің потенциалды және кинетикалық энергияларды ендірумен есептеледі.
Ритц әдісі арқылы варияциялық теңдеуді шешу, пластинаның геометриялық шеттік нүктелік емес байланысын қанағаттандыратын базисті функциялық класта орналастырылған. Алынған сызықты біртекті теңдеулер жүйесі өзіндік мәнін табуға арналған есеп болып табылады, оны шығаруға болмайды, өйткені, массалардың жалпылама матрицасы, көп жағдайларда массалардың жалпылама қатаңдығы, жұмсалған нүктелік байланыстар арқылы туындайды. Туынды емес қайта келтіруден (Гаусс әдісі) сызықты тәуелді жалпылама кординаталар алынып тасталады және жүйе есептеуге болатын дәстүрлі өз мәндері бар жалпылама есепке келтіріледі.
Нәтижелері бар сандық тәжірибелер және салыстырулар әдістің қанағаттанарлық сәйкестігін көрсетеді.
Әдіс қатты тіректермен, серіппелермен байланысқан және нүктелік тірек пен жинақталған массалары бар тікбұрышты пластиналар жүйелері үшін де жалпыланған. Оның айналу қабықшасы мен айналу қабықшасының жүйесіне таратылуы варияциялық тәсіл шеңберінде де келтірілген, бірақ орын ауысу мүмкіндігі бар принцип терминдерінде бірқатар серпімді есептер шешілді. Пластиналарды қосатын, екі квадрат пластинаның серіппелерінің қатаңдығына қарай, пакеттің өзіндік формасы мен жиілігінің өзгеруіне талдау жасалды. Мысалдарда тікбұрышты пластиналардың үзілісті шекаралық шарттарының нүктелік апроксимациялануының қанағаттанарлық мүмкіндіктері берілген. Бұл қазіргі таңдағы аз зерттелген есептерді зерттеуге мүмкіндік береді, оның ішінде, ішкі нүктелерде тірелген және контурында шекаралық шарттары бар тікбұрышты пластинаның өзіндік тербелісінің формасы мен жиілігін аныч(қтауға мүмкіндік бар.
Үшінші тарау нүктелік байланыстары бар құрлымы біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзіндік тербелістеріне арналған. Өзара серпімді немесе тұтқырсерпімді байланысқан (серіппелер, амортизаторлар) тұтқырсерпімді пластиналардың немесе коаксиалды орналасқан айналу қабықшаларының пакеті қарастырылады. Тұтқырсерпімді элементтерінің өзгерісі ерекшеленген параметрлері бар мұрагерлік түйіндері арқылы сипатталады. Мұндай жүйенің вариациялық қойылымдағы, орын ауысу мүмкіндігінің принциптері негізіндегі өзіндік жиілік пен демпфирлену коэффициенті зерттеледі. Варияциялық есептегі серпімділігінің тұрақты шамасы интегралды операторлар арқылы ауыстырылады. Шешімді серпімді есептің аналогиясы бойынша іздейміз. Қатыру әдісінің көмегімен интегралды теңдеулер жүйесі алгебралық сызықтық біртекті комплекстік теңдеулер жүйесіне келтіріледі. Жиіліктік теңдеуінің өзіндік жиілігі мен демпфирлену коэффицентін іздеу жүйе анықтауышын ашпай Мюллер әдісі арқылы іске асырылады. Бірқатар есептердің нәтижелерінің қортындысы пластиналар мен айналу қабықшалардан құралған құрлымдық біртекті емес тұтқырсерпімді жүйелердің өзара сөнуі кезінде пайда болатын өзіндік формалардың өзара әсерлесу эффектісі байқалатындығын көрсетті. Бұл эффектінің пайда болу шарттары анықталды, амортизаторлардың мезеттік қатаңдылығының өзгеруінде демпфирлену коэффиценттерінің графигінде жүйенің алғашқы екі формасы қиылысады, ал қиылысу нүктесіндегі энергияның диссипациясы жүйеде максималды. Сонымен қатар, құрылымдық біртекті емес тұтқырсерпімді жүйенің демфирлену коэффицентін анықтайтын, оның өзіндік жиілік спектрінде айтарлықтай өзгермеген геометриялық параметрлердің (массаның, амортизаторлардың орналасуы, т.б.) маңызды тәуелділік эффектісі анықталады.
Төртінші тарауда варияциялық тәсілмен құрастырылған сызықтық тербелістердің есептері шешілді. Алдыңғы тараудан ерекшелігі варияциялық теңдеуге гармоникалық заңы бойынша өзгеретін жоғарғы күштердің виртуалды жұмысы қосылған. Шешімді сонымен қатар, нүктелік байланысы жоқ пластиналардың (қабықшалардың) гармоникалық шектік шарттарын қанағаттандыратын функциялар класынан іздейтін боламыз. Сызықтық біртекті емес теңдеулер жүйесі Гаусс әдісі бойынша негізгі элементті матрицаның бағаны мен қатарынан белгілеу арқылы шығарылады. Кейбір нақты есептер үшін амплитудалы - жиіліктік сипаттамалар алынды. Олар алдыңғы тараудағы анықталған механикалық эффектілердің барын растайды. Зерттеу нәрсесі ретінде түгелдей тұтқыр сұйықтықпен толтырылған немесе оған батырылған, сондай-ақ, скважиналардағы мінсіз сұйықтықпен толтырылған түзу және қисық сызықты трубалардағы динамикалық процестер болып табылады. Деформацияланатын динамикалы серпімді денелердің есептері ғалымдардың назарын аударуда. Бұл маңызды қолданбалы шешу қажеттілігімен түсіндіріледі. Машина жасау және құрылыс салаларының заманға сай дамуы конструкциялардың әртүрлі динамикалық әсер ету түрлеріндегі кернеулі-деформациялану жағдайларын дәл білуді қажет етеді. Жаңа техниканың түрлі салаларындағы өнім мен нысандарды жобалауда, сонымен қатар, сейсмотұрақтылық есептеріне байланысты конструкцияға қоршаған ортаның әсер етуі есебінің қажеттілігі туындайды. Басқа жағынан қарағанда, мұндай модельдер мысалы, шөгінді түрлерінде кездесетін сейсмология мен сейсмабарлаудың қабаттық құрылымдарында баламалы болып табылады.
1 ТҰТҚЫРСЕРПІМДІ ЖҮЙЕДЕГІ СЫЗЫҚТЫҚ ТЕРБЕЛІСТІҢ ДЕМПФИРЛЕНУІ
Бұл бөлімде диссапативті механикалық жүйенің негізгі қатынасы жәнекейбір жаңа түсініктер келтірілген.
1.1 Жалпылама ұғым мен негізгі арақатынастары
Мұнда S денеден (Sк - қатты, Sе - тұтқырсерпімді; ) тұратын механикалық жүйенің өзіндік тербелісі қарастырылады.Денелер жүйесі бір-бірімен және массасыз (немесе массалық негізде) тұтқырсерпімді элементтермен байланысқан. Материалдардың тұтқырсерпімді құрамы Больцман-Вольтердің интегралдық арақатынасыменсипатталады [14,18]. Деформацияланған элементтердің кейбірісерпімді болуы мүмкін, элементтердің реологиялық құрамын сипаттайтын жағдайда мұрагерлік ядросы нөлге тең. Деформацияланған элементтердің реологиялық құрамы бірдей жүйені (элементтердің мұрагерлік ядросы өзара тең) диссипативті біртекті, ал деформацияланған элементтердің реологиялық құрамы әр түрлі жүйені - диссипативті біртексіз деп атаймыз [15].
Жұмыстың негізгі мақсаты - нүктелік тіреуі және шоғырланған массалары бар пластиналық жүйенің диссипативті (демпфирленетін) құрамын зерттеу болып табылады. Еркін тербелістерде сөну жылдамдығы жүйенің диссипативті құрамымен сандық бағаланады: жылдамдық неғұрлым жоғары болса, диссипация да соғұрлым жоғары. Жүйенің диссипативті құрамын сандық бағалау үшін екі шама ұсынылады, олар: меншік тербелісінің минималды сөну жылдамдығы мен максималды резонансты амплитуда. Жүйенің диссипативті құрамы, ең алдымен элементтердің демпфирленусипаты арқылы анықталады [29]. Бұл пайымдау диссипативті біртекті жүйелерге бұл таптырмас тұжырым болса, ал диссипативті біртексіз жүйелерге мүлдем қолдануға келмейтін тұжырым. Демпфмирленудің глобальдық коэффиценті ұғымы енгізілді.Ол үшін демпфирленудің глобальды демпфмирлену сипаттауыш сін серпімді құрамды элементтермен ғана анықталмайды, сонымен қатар, әр түрлі формадағы тербеліс байланысымен , яғни, құрамы, конструкциясы, геометриясымен, жұмсақтық байланысымен, өлшемімен, орналасқан элементтері арқылы анықталады [30, 31, 32].
Комплексті меншік жиілігі сөну тербеліс жиілігіне тең, жалған - демпфирленудің меншік тербеліс коэффициенті. Меншік және еріксіз тербеліс тапсырмасын орындау барысында, мүмкін болатын орын ауыстырулар принципі пайдаланылады (мұнда жалпы белсенді күштер сомасы, инерция күшін қоса есептегенде нөлге тең) [32].
1.1. суретте көрсетілгендей диссипативті біртексіз механикалық конструкция РЭА жүйесінің динамикалық коэффициент анализін жүргізейік.
2.1. сурет. Екі дәрежелі еркіндік жүйесі
1.1.суретте - серіппе қаттылық операторы, ол (j=1,2,3) мынадай түрде көрсетілген [15]:
(1.1)
- уақыт функциясы; - релаксация ядросы. Әрі қарай тоңазыту рәсімін қолдана отырып [30] арақатынасты былайша түрлендіреміз (5)
,
Мұнда , , сәйкесінше косинус пен синус - релаксация материалының Фурье ядросы образы. Жұмсақ материал мысалы ретінде үшпараметрлі ядро релаксациясынқарастырайық (бұл мысалда ядро әлсіз сингулярлы) [29].
Мысал ретінде еріксіз жұмсақ жүйенің шектік санды еркіндік тербелісін қарастырайық. Кеңістіктеqii=1,...,n координатасымен жинақталған сызықтық тербеліс жүйесі берілген. Жүйеге жинақталған екі типті жинақтық күші әсер етеді деп болжануда. Біріншіден, бұл күштер жинақтық кординаталарына сызықты тәуелді, бұл тәуелділік мұралық сипаттауыш мен түсіндіріледі:
Qit=j=1nCijqjt--infinitytRijt-sqjsd s
Мұнда Qi - мұралық жинақтық типті күштер; Cij- сондай белгілі константалар, квадрат формасы
j=1nCijqiqj
оң анықталған, ал Rij - белгілі ықпалдық функциясы. Екіншіден, уақытқа тәуелді жинақтық күштермен түсіндіріледі және осы тәуелділік гармоникалық. Сызықтық күш тапсырма жағдайын қарастырғанда нақты уақытқа тәуелді жинақтық күштер теңдей фаза мен кезеңдерді құрайды:
Qit=Qi0sinpt (i=1,...,n) ( 1.2)
Қарастырылып отырған жүйе үшін (1.1) Лагранж көбейткіші былайша түрленеді:
j=1naijqj+Cijqjt--infinitytRijt-sqj sds=Qi0sinpt. (1.3)
Мұнда коэффициенттер оң белгілі квадрат формада
12i,j=1naijqiqj.
Тапсырмада жүйенің периодты шешімін табу (1.3) керек. (1.3) жүйені Rij=0 болғанда, бірқалыпты серпімді жүйе координатына келтіреміз. Оны былайша түрлендіреміз:
qj=k=1nbikΘk,
Θk - бірқалыпты координаттар, bjk- матрица түрленуінің коэффициенті, мұнда detbjk!=0 тең. Θkкоординатасында (1.3) жүйе былайша өрнектеледі
Θi+ωi2Θi--infinitytk=1nRikt-sΘksds= Qi0sinpt i=1,...,n, (1.4)
ωi- серпімді жүйенің меншік жиілігі, Θ0i- жинақталған күштердің амплитудасы, сәйкесінше бірқалыпты координаттар арақатынасы былайша анықталады
Θ0i=k=1nbkiΘ0k,
Мұнда Rik - әсер ету функциясы:
Rik=j=1nRijbjk.
(1.3 )жүйенің периодтық шешімін мына түрде анықтаймыз
Θit=A0isinpt+φi, (1.5)
Мұнда A0i, φi - константалар, трансцендентті жүйе теңдеулерімен анықталады.
ωi2-p2A0icosφi-k=1nUcikcosφk+Usiksi nφkA0k=Θ0i,
ωi2-p2A0isinφi-k=1nUciksinφk+Usikco sφkA0k=Θ0i (1.6)
мұнда
Ucik=0infinityRikscospsds, Usik=0infinityRikssinpsds .
(1.6) жүйе (1.5) және (1.4) жүйелерінің коэффициенттерін sinptжәне cospt- мен салыстыру арқылы алынған. Мұнда мына өрнек қолданылады.
-infinitytRt-ssinpsds=Ucpsinpt-Uspc ospt,
мұнда
Ucp=0infinityRscospsds,Usp=0infinit yRssinpsds,
(1.6) жүйесін белгісіз Ai=A0icosφi, Bi=A0isinφi қатысты сызықтық алгебралық жүйе ретінде қарастыруға болады. Ai, Bi іздеп отырған константаларымызды тауып болған соң, арақатынастан табамыз.
A0i=Ai2+Bi2, φi=arctgBiAi.
Rij мен әсер ету функциясы бір - біріне пропорционалды болғандықтан тапсырма жеңілдей түседі, ал пропорция коэффициенті болып жинақты қаттылық Cij болғанда
Qit=j=1nCijqjt--infinitytRt-sqjsds.
Бұл жүйенің мысалы ретінде амортизаторға орнатылған біртекті мұралы жұмсақ параметрлі абсолютті қатты дене болуы мүмкін. Қарастырылып отырған (1.4) жүйені былайша түрлендіреміз
Θi+ωi2=Θit--infinitytRt-sΘisds=Qi0s inpti=1,...,n.
Тапсырманың шешімі (1.5)формуламен анықталады, мұнда
A0i=Θ0ip2-ωi21-Uc+ωi4Uc2, φi=arctgω2Usp2-ωi21-Uc.
1.2 Меншікті және мәжбүрлі тербеліс есебінің қойылымы
Сызықты механикалы жүйені n еркіндік дәрежелі төзімді тең салмақ формасын қарастырайық. Жүйедегі қозғалысты xjt жинақтық орын ауыстыру формасымен сипатталады, мұнда тепе-теңдік нөлге тең. Сонда V потенциалды энергияны квадрат формалы орын ауыстырулар арқылы, ал Т кинетикалық энергияны және D функциясын квадрат формадағы жинақтық жылдамдығы xjt арқылы сипаттаймыз. Лагранж теңдеуін қолдана отырып, біз жылдамдық көбейткішін аламыз
ddtdTdxj+dDdxj+dVdxj=fjt, j=1,..., n. (1.7)
Жинақтық сырт күш fjt әрбір координат үшін кординат қозғалысын құрайтын белсенді күш немесе берілген координаттар қозғалысымен пайда болған күш болуы мүмкін. (1.7) жүйе матрицалы түрде матрица бағаны X=colonx1,...,xnкелесідей түрді құрайды:
MX+CX+KX=f, (1.8)
Мұнда инерция матрицасы [M], демпфирлену матрицасы [С] және қаттылық матрицасының [К] барлығы симметриялы n реттік матрицасы болып табылады.
Ауытқу f матрица жолымен сипатталады. Матрица коэффициентінің физикалық мағынасы мынадай: Mjk- j бірқалыпты жылдамдығы бойынша қимыл-қозғалыс саны, мұнда k,Cjk - j бірқалыпты жылдамдығы бойынша демпфирленген күш, k,Kjk - j бойынша жұмсақ күш, k бірқалыпты орын ауысу.
Периодты тербеліс. Орнатылған периодты тербеліс - бұл периодты уақыт функциясының толқын формалы тербелісі.
a=Akcosωkt-Фk=ReAkeiωkt-Фk=
=Aksinωkt-Θk=ReAkeiωkt-Θk, (1.9)
мұнда ωk=2PIfk, ωk- бұрыштық жиілік, fk- сәйкестік жиілік. Егер барлық fk негізгі жиілік еселігі болса, онда нәтижедегі толқын формасы периодты түрде қайталанып отырады. Керісінше жағдайда ол квазипериодты немесе жартылай периодты болып келеді.
Комплексті экспоненциалды функция тригонометриялық функцияның орныа теориялық анализ үшін пайдаланылады. Теориялық анализ туындысының уақыты қолайлы және комплексті кіріс сандар амплитуда тербелісі мен фаза өзгерістерін тудырады.
Стандартты фундаментальді әдіс арқылы амплитуданы анықтау дегеніміз - резонансты жинақтық жабдықтары белгілі, алдымен реакцияның жиілікке тәуелді қым-қуыт қатынасы белгілі жағдайды айтамыз. Жоғарыда келтірілген сызықты қорыта келе, әрбір синусоида түпкілікті санға көбейтіліп, әртүрлі жиіліктерге жинақталуы мүмкін.
Сипаттауыш нің қым-қуытқа қатынасы жиі фазаның жылжу информациясын құрайтын комплексті сан түрінде айқындалады. Егер сипаттауыш мен қым- қуыт екеуі бір бірлікте (мысалы,үдеу ретінде) берілген болса, онда бұл қатынас энергия беру зейіні деген атаумен белгілі. Егер сипаттауыш қозғалысқа (немесе жылдамдыққа) қатысты болса, ал қым- қуыт күш болса, онда мұндай қатынас қозғалғыштық қатынас деп аталады; егер сипаттауыш мен қым- қуыт нүктелері сәйкес келмесе, онда тасымал қозғалғыштығы мен қарсылық қозғалғыштығы термині қолданылады. Үдеуді біз, сәйкесінше, дифференциалдау формуласымен 2PIf жылдамдығына немесе i2PIf комплексті белгілеріне көбейту арқылы анықтауға болады. Жалған сан iәріпімен белгіленеді және ол 90[0]тең.
Орнатылған тербелістер шартты математикалық түсінікті береді. Егер Ak, ФkжәнеΘk ақырын өзгеретін уақыт функциясын береді. Бұл функция (1.9) квазипериодты тербеліс (квазисинусоида қосындысы) түрін сипаттайды. Периодты тербелісті сипаттау үшін тек Ak аумағы немесе сәйкесінше ортаквадратты түсініктермен қарастырамыз. Фkнемесе Θk фазалық бұрыштары есепке алынбайды. бірақ лезде үдеріс арифметикалы орналасса, синусоида аумағы осындай жиілікте ереже бойынша вектор үстінен орналасады. Резнансты жиіліктер экспериментальды жолмен анықталған жағдайда іс жүзінде фаза түрлілігі резонанс белгісін атқарады. Рта жиілік жанында фаза сипаттауыш сі жиілік аумағына қарағанда жылдам өзгеріске ұшырайды.
Егер матрица қым-қуыты f=0, онда (1.8)теңдігі жүйенің еркін тербелісін сипаттайды, егер f!=0 - онда еріксіз тербеліс.
Диссипативті жүйенің еркін тербелісі.[М], [С] және [К] қозғалыс матрицаларының сызықты диссипативті жүйесін қарастырайық. (1.8) теңдіктің шешімін былайша табуға болады:
Xt=Weλt (1.10)
Мұнда λ - комплексті сан, W- комплексті сандық матрица - бағана. λ санын сипаттауыш көрсеткіш, ал iλ (немесе -iλ) - комплексті жиілік деп атайды. сипаттауыш көрсеткіштер сипаттауыш теңдіктің негізі болуы тиіс
detMλ2+Cλ+K=0, (1.11)
немесе
a11λ2+b11λ+C11a12λ2+b12λ+C12a21λ2+b 21λ+C21a22λ2+b22λ+C22...a1nλ2+b1nλ+ C1n...a2nλ2+b2nλ+C2n⋮⋮an1λ2+bn1λ+Cn 1an2λ2+bn2λ+Cn2⋮⋮...annλ2+bnnλ+Cnn= 0.
n еркін дәрежелі жүйеде 2n сипаттауыш λ1,..., λ2n көрсеткіштерін құрайды. Егер барлық сипаттауыш көрсеткіштері (1.11) теңдігінің жай түбірі болса, онда жалпы (1.8) теңдік шешімі 2n меншік шешімі сомасына тең болады.
Xt=k=12nCkWke-iλkt. (1.12)
мұнда Ck - еркін комплексті тұрақтылар, ал Wk - сандық матрица - бағаналар.
Сипаттауыш көрсеткішті былайша түрлендірейік
λk=ωRk-iωIk,
λn-k=ωRk+iωIk, k=1,...,n, (1.13)
мұнда ωIk0 және ωRk0 - нақтылы сандар, демпфирлену коэффициенті және демпфирленген жүйенің меншік жиілігі деп аталады. Егер Wk және λk (1.11) теңдікті қанағаттандырса, онда комплексті қабысу Wkc және λkc дәл солай теңдікті қанағаттандырады. Демпфирлену болмаған жағдайда, барлық түбірлер жалған осьтің жанына жинақталады. Демпфирлену болған жағдайда, түбірлер ойдағы осьтің жанына жинақталады
Сәйкесінше 2n меншік векторлары ортогональды шарттарды қанағаттандырады:
ωR+ωIXRTMXI+XRTCXI=0,
XRTMXI+ωRωIXRTMXI=0, (1.14)
мұнда Т-индексі орын ауыстыруды білдіреді. ωR!=ωIболған жағдайдағы ортогональды шарттарды, еселік түбірмен байланысқан сәйкес меншік векторы бойынша еселік түбір ретінде түрлендіреміз.
Демпфирлену сипаттауыш сі.ωIдемпфирлену коэффициенті (1.13) формуласымен берілген және C-1 өлшемді . өлшемсіз сипаттауыш лі демфирлену келесідей бөлінеді:
δΩk=ωIkΩ - өшу коэффициентіне қатысты;
δωRk=ωIkωRk - өшу коэффициентінің жиілік коэффициенті;
δPIk=2PIδωRk- логарифмді сөну декременті,
сонымен қатар, сөну декременті екі кезектес жиілігі ωRk амплитуда тербелісі қатынасына тең:
δek=eδPIkxjPIωRkmxj2PIωRkm+1m=1,2,. ..,
мұнда кейбір базисті (масштабты) жиілікті білдіреді. Егер ωIk сөну коэффициенті оң болса, онда δPIk және δek параметрлерін өсу тербелісі инкременті деп атаймыз. ωI сөну коэффициенті мен тербеліс амплитудасы арақатынасын мынадай түрде келтіре аламыз:
ωI=ωR2PIlnAn+1An.
Комплексті өзіндік мән тапсырмасын табу. Инерцияның симметриялы матрица болуы, демпфирлену мен [М], [С] және [К] қаттылықтарының тапсырмасы меншік мағынасы λk=ωRk-iωIk және комплексті меншік векторларын Xk=XRk+iXIk қанағаттанарлық теңдікті анықтау (1.11). Бұл тапсырма әлдеқайда қиын және терең зерттелмеген (1.11). Консервативті жүйе үшін барлық сипаттауыш лік көрсеткіштер тек жалған (1.1,а сурет) және +i меншік жиілік жүйесінің көбейткішіне периодтық функциялары, ал қозғалыс жалпы жағдайда стационарлы болады.
1.2. - сурет. Сипаттау көрсеткіштерінің жүйеде орналасуы:
а- консервативті, б-толық диссипативті, в-толық емес диссипативті, г-теріс диссипативті.
Егер жүйе диссипативті және толық дисипациялы болса, онда барлық сипаттауыш лік көрсеткіштер төменгі ауыспалы кешеннің жартылай жазықтығында орналасады (1.2,б сурет). Барлық меншік тапсырмалар - сөну функциялы, демек, жалпы айтқанда ол - уақыттың сөну функциясы. Егер жүйе толық еммес диссипациялы болса, онда оның көрсеткішінің бір бөлігі сол жақ жартылай жазықтықта, ал бір бөлігі - жалған осьте орналасады. Меншік шешімдер арасында демпфирленбеген еркіндік дәрежесіне жауап беретін периодтылық кездеседі. Егер жүйе теріс диссипативті болса, онда сипаттауыш лік көрсеткішінің ішінен шынайы теріс бөлшектерді байқауға болады (1.2,г сурет). Сәйкесінше, меншік және жалпылама шешімдер уақыт функциясында шексіз өсіп отырады.
Амалсыз тербелістің демпфирленуі. Стационарлы тапсырмада f вектор функциясы берілген жиілік пен амплитуда арқылы Fωүйлесімділік заңымен f=Fe-iωt өзгереді. Бастапқы шарт қойылмайды. Шарттардың орнына ω: Xt=Weiωt жиілігі шешімінің периодты орындалуы талап етіледі. Нәтижесінде біз ізделген Wвектор компонент кешенінің алгебралық теңдік жүйесін аламыз:
-ω2M+iωC+KW=F. (1.15)
Комплексті коэффициент (1.9) жүйесін Гаусс әдісімен шешуге болады.
2 ІШКІ ТІРЕКТІ,ШОҒЫРЛАНҒАН МАССАЛЫ АЙНАЛУ ҚАБЫҚШАНЫҢ ЖӘНЕ СЕРПІМДІ ПЛАСТИНАНЫҢ МЕНШІКТІ ТЕРБЕЛІСТЕРІ
2.1. Нүктелік байланысты серпімді тікбұрышты пластинаның өзіндік тербеліс есебінің математикалық қойылымы
Біртекті серпімді изотропты пластинаны қарастырайық, пластина қалыңдығы h, a, b өлшемді тікбұрышпен шектелген. Пластина Mqq=1,...,Q массасымен нүктелі байланысқан және серпімді, сәйкесінше S ішкі нүктелерімен L[]-ге тіректелген. Топсалы тірек нүктемен барлық бағытта қысып ұстау арқылы қабысады. Тірек пен нүктелік масса пластина жазықтығында еркін орналасады. Шектік шарттар пластинаны әр жағында: топсалы тірек, қысу немесе еркін шек болуы мүмкін. 2.1. суретте пластинаның координата жүйесінде осьтер арқылы шартты тірек, қысу, топтық массалы, шартты шектер көрсетілген. Меншік жиілік пен пластинаның көлденең тербеліс формасын табу керек.
Жиілік тербелісті анықтау барысында пластинді жұқа (басқа өлшемдерге қарағанда жұқалау) деп есептейміз.
Математикалық тапсырма келесідей образ алады: пластина үйлесімділік заңы бойынша тербеліс жасасын, яғни,
Wx,y,t=W0x,ysinωt, (2.1)
мұнда ω- меншік жиілік, ал W0x,y - өзіндік тербеліс формасы. Кирхгоф - Лева гипотезасын тура деп болжасақ, серпімді теорияның қозғалыс пен деформацияға тәуелділігін былайша жазамыз:
εx=-zd2Wdx2, εy=-zd2Wdy2, εxy=-2zd2Wdxdy (2.2)
мұнда z - жазықтыққа перпендикуляр бағытталған координата нүктесі, εx, εy, εxy- пластина тензор деформациясының компоненті.
Кернеу компоненті
Gx=-Ez1-v2d2Wdx2+vd2Wdy2,
Gy=-Ez1-v2d2Wdy2+vd2Wdx2,
Gxy=Gyx=-Ez1-v2d2Wdxdy, (2.3)тең.
Сурет-2.1. Пластинаның координата осіне қатысты орналасуы:
қысылған шек,
еркін шек,
топсалы тірек шегі,
* нүктелі топсалы тірек шегі
қысыңқы тіректі,
# топтық массалы
мұнда Е - Юнга модулі, ал v - Пуассон коэффициенті. Gz қалыпты компоненті көлденең бұрылыста Gхжәне Gу - ке қарағанда аз, сондықтан Gz=0.
Серпімді деформация кезінде пластинада жинақталған потенциалды энергия жоғарыда көрсетілген түрлендіру бойынша:
G=12VGxεx+Gyεy+Gxyεxy dxdydz, (2.4)
мұнда V - пластина көлемі. Компонент деформациясы (2.4) мен кернеу (2.2), (2.3) тіреу етіп, серпімді тіректің потенциальді энергиясын есепке алсақ,
G*=D20a0bd2Wdx2+d2Wdy22-
-21-vd2Wdx2d2Wdy2-d2Wdxdy2dxdy+12l =1Lc1W2xl, yl; (2.5)
мұнда D=Eh3121-v2-1 - пластинаның цилиндрлік қаттылығы, ал
Clxl, yl - серпімді тірек қаттылығы мен координатасы. (2.5) - тегі екі еселенген интегралдар бейтарап қабат бетінен алынады.
Массалармен байланысқан пластинаның кинетикалық энергиясы былай түрленеді:
T=ρh20a0bdWdt2dxdy+12q=1QMqdWxq,yq, tdt2, (2.6)
мұнда ρ - пластина материалының тығыздығы, x[q], y[q] - q шоғырланған массамен байланысқан координаталар.
Пластина екі тербелістің бірін орындағанда (2.1) потенциалды және кинетикалық энергияларының мәні мынадай формуламен анықталады:
Gmax*=D20a0bd2W0dx2+d2W0dy22-
-21-vd2W0dx2d2W0dy2-d2W0dxdy2dxdy+
+12l=1LClW02xl, yl,
Tmax=ρω22h0a0bW02x,ydxdy+ω22q=1QMqW 02xq,yq. (2.7)
Остроградский - Гамильтон функционалын қарастырайық
L=tHtbT-G*dt
Басты тербелістердің 2PIω периодындағы қосылысы. Соңғы арақатынасты интегралдағанда, вариациялы теңдігін аламыз.
δTmax-Gmax*=0, (2.8)
Пластинаның басты тербелісн өзіндік формалары W0x,y қанағаттандыруы тиіс. Сонымен қатар S нүктедегі пластинаның қатаң тіреуі айналманы бекіту шартын қанағаттандыру керек:
W0xs,ys=0 s=1,...,S (2.9)
x[s], y[s] - S ішкі тіректің координаталары. Мұнымен қоса кейбір қатты тіректер αs - тің ОХ осіне қатынасты қысулы болса,онда (2.9) мынадай шарт қосылады:
dW0xs,ysdαs=0 s=1,2,..., sα; 0=αs=PI2, (2.10)
Sα қысу саны S тірек санына тең болуы шарт емес. Осылайша, берілген модель өзіне әр түрлі тіректер мен қысуларды қосып алады.
(2.8)-(2.10) арақатынастары өз алдына шартты экстремумды есепті құрайды. (2.9) бен (2.10) арақатынастарын ескере отырып, Лагранж көбейткіштерімен ақырғы вариациялы теңдікті аламыз.
δs=1SλsW0xs,ys+s=1SαλsαdW0xs,ysdαs+ Gmax*-Tmax=0, (2.11)
мұнда λs, λsα - Лагранж көбейткіштері, δ - қозғалыс вариациясы.
(2.11) арақатынасы кейбір түсініктерде Раус теңдігімен көрсетіледі [11].
ω1,ω2 және W01, W02 формасындағы меншік жиілік спекторын табу талап етіледі, олар (2.11) теңдігін және пластина контурының шектік шарттарын тривиальсіз образбен қанағаттандырады.
2.2. Нүктелік байланысты пластиналардың өзіндік тербеліс есебінің шешімі бар теңдеулерін құру
(2.11) теңдігінің шешімін ортогональді базис функциясынан таба аламыз. Базисті функцияны тек геометриялық шекаралық шарттарды орындаумен шектелуге болады. Қысу немесе тірек шарттарын орындау барысында әр базистік функция үшін ішкі нүктелік функция талап етілмейді.
Әдетте тікбұрышты пластина үшін Akx,y өзіндік формалары екі функцияның туындысы түрінде орындалады, олардың бірі тек х функциясы, ал екіншісі тек у:
Akx,y=Xmx∙Yny, (2.12)
мұнда m, n - пластинаның обертон реті, олар әрбір k индекске беріледі. Xm(x) және Yn(y) функция ретінде қарапайым полиномдар немесе біртекті стержнің меншік тербеліс формалары, пластинкалардың сәйкес шектеріне шекаралық шартын қанағаттандыратын жиі алынады. Берілген жұмыста стержндердің меншік формалары қолданылған. (2.11) вариациялық теңдікті қанағаттандыратын минимализацияланған форма мен шектік шарттары берілген Akx,y базис формаларынан алынған қосынды арқылы аламыз:
W0x,y=k=1KγkAkx,y (2.13)
γk- мұнда ізделініп отырған коэффициенттер берілген.
Ak формалары ортонормаланған деп есептесек, онда
0a0bAk2x,ydxdy=1.
(2.13) формуласын (2.11) қойып және (2.7) ескере отырып, келесі жүйені аламыз K+S+Sα, ол K+S+Sα қатысты белгісіз λ1,..., λS, λ1α,...,λSαα,γ1,...,γK арқылы өрнектелген біртекті сызықтық теңдік:
ddλSQλS, λsα,γk=0 s=1,...,S,
ddλsαQλS, λsα,γk=0 s=1,...,Sα,
ddγkQλS, λsα,γk=0 s=1,...,K, (2.14)
оның ішінде:
QλS, λsα,γk=k=1KγkAkxs,ys+
+s=1Sαλsαddαsk=1KγkAkxs,ys+Gmax*+Tm ax.
(2.14) жүйені матрицалы түрді былай келтіруге болады:
A-ω2Bξ=0, (2.15)
мұнда А, В - (K+S+Sα)x (K+S+Sα) өлшемді матрицалары, ξ- λS, λsα,γk белгісіз векторлары. А және В матрицалары симметриялы және төрт ішкі матрицалардан құралады:
A=0AbAHA0, B=000B0, (2.16)
мұнда А[0], В[0] - KxK өлшемдерінің симметриялы матрицалары
Ab=AHT=A1x1,y1 ... AKx1,y1 ⋮ ... ⋮ A1xs,ys ... AKxs,ysdA1x1,y1dα1 ... dAKx1,y1dα1 ⋮ ... ⋮ dA1xαSα,yαSαdαSα ... dA1xαSα,yαSαdαSα.
А[0], В[0] ішкі матрица элементтері (2.14) формуласымен анықталатын, Akx,y бірқалыпты жағдайда мынадай формуламен анықталады
akk0=0a0bDd2Akdx22+d2Akdy22+2vd2Akd x2d2Akdy2+
+21-vd2Akdxdy2dxdy+l=1LClAk2xl, yl,
akl0=alk0=D0a0bvd2Akdx2d2Aldy2+d2Al dx2d2Akdy2+
+21-vd2Akdxdyd2Aldxdydxdy+l=1LCl Akxl, ylAlxl, yl
bkk0=ρh+q=1QMqAk2xq,yq,
bkl0=blk0=-q=1QMqAk2xq,yqAl2xq,yq. (2.17)
Механикалық пікір бойынша, А[0], В[0] - матрицалары - серпімді тіректі және шоғырланған массалы пластинаның потенциалды және кинетикалық энергиясы. (2.15) теңдік жүйесі ω2 және ξ меншік векторларының жалпылама мәнін табу тапсырмасын орындайды. Жүйе тривиальды емес шешімі болу үшін, анықтауышы нөлге тең болуы қажет.
A-ω2B=0. (2.18)
В матрица сингулярлы, сондықтан кері В[-1] матрицасы болмайды. Тапсырманы классикалықтүрге келтіру үшін, (2.9) және (2.10) байланыстарынан пайда болған жүйенің сызықты тәуелді координаталарды алып тастау қажет. Басты элементті бағанаға бөліп Гаусс әдісі арқылы жүйедегі А матрицасын Аb жәнеАН матрицашаларын үшбұрышты қалыпқа келтіреміз (S[]- тен төмен S+Sα қосындысы)
0
a1,S+1 0 0
a2,S+1 a2,S+2 0
⋮
aS,S+1 aS,S+2 aS,2S 0 0
aS+1,1 aS+1,S
0 aS+2,S
⋮
0 a2S,S
0 0
⋮
0 0
A
А және В матрицалары бірге түрленеді. Түрлене келе Аb және АН үшбұрышты матрица элементіне жауап беретін 2(S+Sα) бағаналар мен қатарлар қысқарады. Нәтижесінде A-ω2B матрицасын (K-S-Sα)x (K-S-Sα) өлшемде аламыз, мұнда B, В-ға қарағанда туынды болмайды. A және B матрицаларының механикалық интерпритациясы сол қалпы қалады, сондықтан олар оң түрде анықталған. Вектор - бағанадан тұратын сызықтық тәуелсіз жалпылама координаттар.
Осылайша, біз өзіндік мәні қарапайым жинақталған тапсырма аламыз:
A-ω2Bξ=0, (2.19)
мұнда ξ - белгісіз γS+1,..., γK вектор бағанасы. Бастапқы жүйедегі сызықтар мен бағаналарға жауап беретін 2S[] белгісізі әзірге қарастырылмайды. Жоғарыда көрсетілгендей Aжәне B матрицалар мөлшері, басқаша айтқанда, тәуелсіз жалпылама координата саны бастапқы санға қарағанда аз, яғни, S+Sα. Демек, меншік жиілігі ω2соған сәйкес қысқарады.
Тапсырманы (2.19) белгілі әдістермен шешу арқылы, ω1,...,ωK-S жиілік секторын және сәйкесінше ξ1,...,ξK-S меншік векторын аламыз. Меншік векторы өлшемі K-S-ге тең. ξ1,..., ξK-S векторын табу үшін, ξiвекторына жетпейтін кмпненттерді анықтап алуымыз қажет, ол үшін келесідей операция орындалады: түрлендірілмеген жүйеге (2.15)ξi табылған векторларының орнына қойып, бірінші жүйедегі 2S[] сызықтық біртексіз теңдіктің 2S[]-ке қатысты қажет элементтерін анықтау керек. Akx,y ортогональді базис форма күшінің бір ғана шешімі болады. Осындай әдіспен алынған γS+1,..., γK коэффициенттері (2.13) меншік пластинаға тірек форма тербелісімен анықталатын болады. (2.13) пластина координатасының кез-келген нүктесі тербеліс амплитудасын корсетеді. Лагранж көбейткіші λ1,...,λS,λα,...,λSαα байланыс реакциясы түсінігін береді. Топсалы тірек үшін Лагранж көбейткіші тек тірек реакциясын береді. Сәйкесінше, қысылған α бағытына қарай λSααнүктелерінің реактивті сәті анықталады.
Еске саларлық жағдай, бұл жерде меншік жиіліктері мен байланыс реакцияларын анықтауда тәуелсіз алгоритм әдісі қолданылады. Басқа әдістерден ерекшелігі, мұнда меншік және пластина пішінінің байланыс нүктелері реакция байланысын анықтамай-ақ шешімін табады. Ол үшін ξiжүйедегі векторын (2.13) алмастырған соң S[]- дің γ1,...γS алғашқы бір тексіз теңдікті шешу жеткілікті.
2.3. Нүктелік байланысты серпімді пластинаның өзіндік тербеліс есебіндегі әдістерде жинақтылығы тәжірибеде бағалануы
Берілген жұмыста қатаң жинақтық әдісі матиматикалық жолмен қарастырылмайды. Оның бірнеше себебі бар. Тапсырмада энергетикалық амалдар Ритц әдісімен орындалған, яғни, жұмыс барысында сәйкестіктер дәлелденген [12, 13]. Нүктелік байланыстарды Лагранж көбейткіші есебінен бөлек, шартты эктремум әдісімен есептеуге болады. Төменде көрсетілгендей, берілген нүктелік байланыстар сәйкестіктің өзіне емес, тек жылдамдық сәйкестігіне әсер етеді.
Сәйкестік әдісінің тәжірибелік көрінісін ( теория және экспериминтальді жолмен) ғылыми тұрғыда қолданып көрелік. Алдымен бастапқы түрлі шартты шектік функциясын қаралық. Xm(x) (Yn(y) үшін олар аналогті ) келесідей түрленеді:
1. x=0 және x=a шектері еркін:
Xm*x=chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa-
-shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa;
2. x=0 және x=a шектері тірелген:
Xm*x=sinPImax;
3. x=0 және x=a шектері бекітілген:
Xm*x=shrm-sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm-cosrmshrmxa-sinrmxa;
4. x=0 бекітілген, x=a тірелген:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa;
5. x=0 тірелген, x=a еркін:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa-cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa-sinrmxa;
6. x=0 еркін, x=a тірелген:
Xm*x=shrm+sinrmchrmxa+cosrmxa-
-chrm+cosrmshrmxa+sinrmxa.
Әдісті жүзеге асыру бағдарламасында бұл функциялар нормаланады:
Xmx=Xm*x0aXm*x2dx12. (2.20)
Ym*x аналогті нормаланған. Сандар сәйкес сипаттауыш теңдеулердің түбірі болып табылады.
1. [3] жұмыста тікбұрышты пластинаның меншік жиілік теңдігі берілген (пластина тірек шекті көбінесе, орталық бір тіректі квадрат пластиналар үшін ) ассимтотикалы формула берілген, мұнда ең төмен меншік жиілік анықталады:
ω1=ϖaPIa2Dρh, (2.21)
мұнда ϖa - жиілік коэффиценті немесе берілген жиілік. ϖ берілген жиілік шешімін салыстыра келе, ассимптотикалық (ϖa=5.33)2.1 кестесінде (К әріпімен шегеріген қатар саны (2.13), ал δ - пайыздық қатынас қателігі ).
Кесте - 2.1.
К
4
9
16
25
ϖa
5,33
ϖK
6,05
5,82
5,65
5,5
δ1%
13,5
9,2
6,1
3,2
(2.21) формуласы барлық меншік жиілігінен ғана емес, тек ішкі тірекке әсер ететін меншік жиіліктерінен алынған. Келтірілген әдіс арқылы спектр жиілігін толық анықтауға болады. Егер қысқартылған (2.13) алып қарасақ, онда жиілік шешімдері салыстырмасы төртінші белгіге дейін сәйкес.
2.[6, 7] жұмыстарында квадрат пластина шектеріне тіректі негізгі жиілікті бірінші жуықтау қатынасын ала аламыз, мұнда Ммассасы берілген:
ω1=2PI2a2Dρh+4Ma2. (2.22)
Екі қатарды (2.13) шегерудің өзі (2.22) шамасын алады. Зерттеу көрсеткендей шектік тірек пластинаның бірінші ω1тура есепке жақын. Фундаментальді функцияны К=16 - ға дейін өсіретін болсақ, онда меншік жиілік 1-2% - ға дейін дұрыс болады; ал егер жалғанған жүк массасы пластина массасына тең келсе, онда К=16 қателік қатынасы 6% - ға дейін көтеріледі.
3.Шекті пластинаның экспериментальді нәтижелері жұмыста [2] келтірілген.Төрт симметриялы тіректі шексіз квадрат пластина, көлденең орналасқан. Мұндай тапсырмаларға негізгі меншік жиілігін анықтау үшін экспериментальді теориалық формула берілген:
ω1=ϖa2Dρh, (2.23)
мұнда ϖ - жиілік коэффициенті, көлденең орналасқан тіректерге тәуелді коэффициент. Екі мүмкін жағдайды қарастыралық: бұрыштық тірек және орталық бір тіректі (кесте .2.2) жағдай.
Анализдеу барысында екі әдістің сәйкестігі анықталды; мұнымен қоса, тірек сандардың жылдамдық тәулділік сәйкестігі байқалды. Пластинада неғұрлым нүктелік байланыс көп болса, соғұрлым қатар ұзындығын анықтау қателігі көп болады.
4.[1] экспериментальді алғашқы жиіліктің меншік тербелісіне симметриялылығы қарастырылған, бұл жағдайда еркін контурлы, төрт симметриялы нүктеге тіректі және бұрыштардан r=0,5 см арақашықтықтағы дюралюминді квадрат пластина (а=13 см, h=0,193 см)
ω1=246, ω2=1290, ω3=2815, ω4=3840.
К=25 формуласында (1.11) жиілік есебі:
ω 1=250,7; ω 2=1380,3;ω 3=2839,8;ω 4=4077,3.
Қателік сәйкесінше 1,9%;7%; 0,8%; 6,2%.
5. Еркін жиекті және тірек бұрышты квадрат пластинаның төменгі жиілік коэффициенті кестелік әдіспен анықталады (симметриялы тербеліс үшін):
λ1=ωaρhD, (2.24)
мұндаωa - пластинаның айналмалы меншік жиілігі. v=0.3, λ=2.73,v=0,3; λ=2,73 үшін (1.11) қатардан 25 және 36 мүшелерін шегеру арқылы біз λ1[(25)]=2,84және λ1[(36)]=2,79 аламыз, яғни, айырмашылық қатынасы 7,7% және 2,2% көрсеткіштерге тең.
Кесте - 2.2.
К
6
9
16
25
Бұрыштық тіректер
ϖ
10,9
ϖK
13,8
-
11,6
11,5
δ1%
20
-
6,9
5,7
Орталық тіректер
ϖ
6,78
ϖK
-
7,27
7,23
6,82
δ1%
-
7,2
6,7
0,6
Нәтижелерді салыстыру (2.3кестесін қараңыз) арқылы біз келесідей шешім қабылдауымызға болады: берілген алгоритм есебі меншік жиілігімен нүктелік байланысмен топты массалы тікбұрышты пластиналар бір - біріне байланысты болып келеді:
Жылдамдық сәйкестігі ішкі тіректер мен жалғау массаларына, сонымен қатар контурдың шектік шартына тәуелді.
Кесте - 2.3.
Суперпозиция әдісі
[18]
МКР
[19]
Эксперимент
[19]
Ұсынылатын әдіс
δ1%
ϖ1
7,18
7,09
7,2
7,28
1,1
ϖ2
15,16
14,68
15,5
16,03
3,4
ϖ3
19,22
15,66
19,5
20,16
3,3
ϖ4
38,36
33,94
38,2
36,6
4,4
2.4. Айналу қабықшасы және айналу қабықшалар жүйесі әдістерін жалпылау
Бұл параграфта біз әдістерді күрделенген механикалық конструкцияға біріктіреміз - тікбұрышты пластина, пластина айналма қабықшасы берілген және жүйеде коаксальді орналасқан.
Меншік тербеліс құрылымын талғаудан бастайық. Жүйеде ішкі қатты және серпімді тіректі серіппе топты массамен толықтырылған тікбұрышты пластина тербелісі берілген. Пластина топсалы түрдегі қатты және серпімді нүктелік тіректі, олар бір-бірімен қысыңқы келуі мүмкін. Тірек бағаналар жуықтауын топтық деп қарастыруымызға болады. Пластина шекарасы біртекті шек шарты - тіреу, қысу, шексіз болып берілген. Меншік тербеліс құрылым жиілігі мен формасын анықтау қажет.
Бұл тапсырманың сапалы математикалық қойылымы бірлік пластинаға қойылған есептен көп айырмашылық жасамайды. n-пластинаның көлденең тербелісін мынадай күйде жазалық
Wnx,y,t=Wn0x,ysinωt n=1,...,N,
мұнда N - пластина саны, Wn0x,y- n-пластинаның тербеліс формасы.
n-пластинаның Wnx,y,t арқылы түрлендіріп кернеу мен деформацияны (2.2), (2.3) формуласымен аламыз. Массалары шоғырланған n-пластинаның максимальды кинетикалық және потенциальді энергиясын Tmaxn,Gmax*n арқылы белгілейміз. Олар аналогті (2.7) формуласымен анықталады, бірақ a, b, ρ, h, Mq, D, v шамалары n индексті болады. n және (n+1) пластина аралық серпімді бағаналардың (серіппе) максимальді потенциалдық энергия теңдігі беріледі:
Gmax1n=12l=1LnClnWn0xl,yl-Wn+10xl,y l2,
мұнда Cln,xl,yl - l серіппенің қаттылығы мен координатасы, Ln- n және (n+1)-ші пластина аралық серіппе саны.
Аналогті формулаға (2.8) вариациялы теңдеуді жазайық:
δTmax-Gmax=0, (2.25)
мұнда
Tmax=n=1NTmaxn, Gmax=n=1NCmax*n+Gmax1n.
Топсалы бекіту шарты n пластиналар S ішкі нүктелік тіректе және Snα қысу тіректе аналогті (2.9), (2.10) формулаларымен анықталады. Сонымен қатар n және (n+1)-ші пластиналар арасындағы қатты байланысқа бекіту шарты да қосылады:
Wn0xr,yr-Wn+10xr,yr=0 (r=1,..., Rn), (2.26)
мұнда xr, yr - n және (n+1)-ші пластина аралық r-ші қатты бағана координатасы.
Лагранж көбейткіштері арқылы (2.9), (2.10) және (2.25) байланысқан вариациялық теңдікті (2.25) қарастыралық:
δn=1Ns=1SλnsWn0xs,ys+n=1Ns=1Snaκnsd Wn0xs,ysdαns+
+n=1Nr=1RnμnrWn0xr,yr-Wn+10xr,yr++G max-Tmax=0, (2.27)
мұнда λns, κns, μnr - Лагранж көбейткіштері. ω және Wn0n∈1,N меншік жиілік спекторын анықтау қажет. Пластинаның барлық контурында шекаралық шарттарын және (2.27) теңдікті қанағаттандыруы қажет.
Шешу әдісі §2.2 тақырыбында айтылғандай ізделінді формаларды арқылы жазықтықта белгілі негізгі Ankx,y функциясын іздейміз.
Wnx,y=k=1KγnkAnkx,y (n=1,...,N) (2.28)
(2.28)-ді (2.27) орнына қою арқылы өзіндік тапсырманы аламыз. Әрі қарай тапсырма §2.2-де көрсетілгендей шешіледі.
Серпімді изотропты қабықша айналымды сипаттап өтелік (байланыс тіректі және массалы). Деформирленген кернеу жағдайын Кирхгоф-Льява гипотезасы арқылы қарастырамыз. Пластина тапсырмаларына қарағанда, мұнда қарапайым біртекті шектік шарттар берілген. Тек спектрдің қабықша тербелісі мен меншік жиілігін анықтау керек.
Қабықша қозғалысы еркін тербеліс процесінде заңға бағынады делік
UX1,X2,t=U0X1,X2e-iωt, (2.29)
мұнда Х1, Х2 - орта қабат координаталары, U0X1,X2- меншік тербеліс векторы, U, V, W сәйкесінше қабықша бетіне бағытталған, ω- меншік жиілігі.
Біз тапсырманы мүмкін болатын орын ауыстырулар әдісімен тұжырымдаймыз. δU мүмкін болатын орын ауыстырулар (шектік ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz