Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу

Кіріспе
І. Функционалдық анализдің негізгі ұғымдары
1.1. Сызықты және нормаланған кеңістік
1.2. Гильберт кеңістігі, кеңістігі
1.3. Сызықты операторлар теориясының элементтері
1.4. Сызықты оператордың ядросы , образы, рангі
1.5. Кері оператор,сызықты оператордың спектрі
ІІ. Математикалық физиканың теңдеулері мен шешу әдістері
2.1. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің классификациясы
2.2. Гиперболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін есептер
2.3. Фурье әдісі(айнымалыларды ажырату әдісі)
ІІІ. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу
3.1. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі
3.2. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің апроксимативтік қасиеттері
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер

Математикалық физиканың көптеген сұрақтары дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті функцияларын анықтауға және кез келген функцияны меншікті функциясы бойынша қатарға жіктеуге алып келеді.
Гиперболалық түрдегі теңдеулер шектің тербеліс теңдеуін,толқындық теңдеулерді және т.с.с. процестерді сипаттайды.
Гиперболалық типті дербес туындылы дифференциалдық операторлар теорясындағы физикалық есептерді шешу кезінде екінші ретті дифференциалдық теңдеу маңызды орын алады.
Гиперболалық түрдегі теңдеулер үшiн қойылған есептердiң шешiмiн табу үшiн әртүрлi әдiстер қолданылады. Олардың iшiнде жиi қолданылатыны априорлы бағалау әдiсi, Фурье әдiсi т.б.
Гиперболалық теңдеудің зерттеу кезіндегі жекелеген нәтижелерді жүйелендіру және гиперболалық теңдеулердің жалпы теориясын құру Ж.Б.Фурье, О-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурса, Б.Риман, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамардың жұмыстарынан бастау алды.
Гиперболалық түрдегі теңдеулердің қасиеттері Мұратбеков М.Б., Мұратбеков М.М., Ахметжанов М.А.,Жүсіпназаров Р.М. жұмыстарында қарастырылған.
Гиперболалық типті дифференциалдық теңдеулер үшін көптеген сұрақтар, яғни спектральдік қасиеттері арнайы зерттеуді қажет етеді.
Жұмыстың мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу.
Зерттеу әдістемесі. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу барысында төмендегідей әдістер пайдаланылды: априорлы бағалау әдісі және М.Б.Мұратбеков пен М.Өтелбаевтың жұмыстарында ұсынылған әдістер қолданылды.

1.А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций функционального анализа. Москва: Наука, 1972г, стр.125-170
2.В.Н.Садовничий. Теория операторов. Москва: Наука, 1986г, стр. 112-18
3.Л.И.Головина. Линейнач алгебра и некоторые ее приложения. Москва, 1971г, стр.56-92
4.Т.Б.Досымов. Функционалдық анализ негіздері. Алматы: Мектеп, 1982ж, 3-95 беттер.
5.Н.И.Ахизер, И.М.Глазма. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Москва: Наука, 1966г, стр. 189-201
6.Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Краткий курс функционального анализа. Москва: высшей школы 1982г, стр. 62-95
7.В.А.Треногин. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980г, стр.250-294
8.М.Б.Мұратбеков.Б.М. Мүсілімов. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы .Тараз,1998 ж,74-85-беттер.
9.М.О.Өтелбаев. Оценки спектора оператора Штурма-Лиувилля.Алматы: Ғылым 1990 г.
10. Муратбеков М.Б. Разделимость и спектр дифференциальных операторов
смешанного типа. Тараз:-2006г. -С.163.
11. Муратбеков М.Б., Ахметжанов М.А. Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа //Труды международной конференции « Современные проблемы математической физики и информационной технологии»// г.Ташкент .18-24 апреля 2005г. Т.1-С.119-124.
12. Муратбеков М.Б., Ахметжанов М.А. Двусторонние оценки распределения s-чисел одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа //Международная конференция «Функциональные пространства,теория приближений, нелинейный анализ» посвященная столетию С.М.Никольского г.Москва 23-29 мая 2009г –С157.
13. Муратбеков М.Б., Ахметжанов М.А.Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа. «Математический журнал, Алматы,-2005г –Т.5, №2(16)-С.57-65.
14. Муратбеков М.Б., Жусипназаров Р.М.,Шыракбаев А.Б. О существовании решений некоторых классов гиперболических уравнений с растущими коэффициентами //Межд. конф. «Проблемы современной математики и механики». Алматы, 20-22 сентября, 2005.
15. Муратбеков М.Б., Д.Дашкеева, И.Аманкулова Существование решений одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа в прямоугольнике. Вестник ТарГПИ, -2011г. №8-С.230-234.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 56 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе

І. Функционалдық анализдің негізгі ұғымдары

1.1. Сызықты және нормаланған кеңістік

1.2. Гильберт кеңістігі, кеңістігі

1.3. Сызықты операторлар теориясының элементтері

1.4. Сызықты оператордың ядросы , образы, рангі

1.5. Кері оператор,сызықты оператордың спектрі

ІІ. Математикалық физиканың теңдеулері мен шешу әдістері

2.1. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің классификациясы

2.2. Гиперболалық түрдегі теңдеулерге келтірілетін есептер

2.3. Фурье әдісі(айнымалыларды ажырату әдісі)

ІІІ. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі
мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу

3.1. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің
тегістігі

3.2. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің
апроксимативтік қасиеттері

Қорытынды

Пайдаланған әдебиеттер

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Математикалық физиканың көптеген сұрақтары
дифференциалдық операторлардың меншікті мәндері мен меншікті
функцияларын анықтауға және кез келген функцияны меншікті функциясы
бойынша қатарға жіктеуге алып келеді.
Гиперболалық түрдегі теңдеулер шектің тербеліс теңдеуін,толқындық
теңдеулерді және т.с.с. процестерді сипаттайды.
Гиперболалық типті дербес туындылы дифференциалдық операторлар
теорясындағы физикалық есептерді шешу кезінде екінші ретті
дифференциалдық теңдеу маңызды орын алады.
Гиперболалық түрдегі теңдеулер үшiн қойылған есептердiң шешiмiн табу
үшiн әртүрлi әдiстер қолданылады. Олардың iшiнде жиi қолданылатыны
априорлы бағалау әдiсi, Фурье әдiсi т.б.
Гиперболалық теңдеудің зерттеу кезіндегі жекелеген нәтижелерді
жүйелендіру және гиперболалық теңдеулердің жалпы теориясын құру
Ж.Б.Фурье, О-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурса, Б.Риман,
П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамардың жұмыстарынан бастау алды.
Гиперболалық түрдегі теңдеулердің қасиеттері Мұратбеков М.Б.,
Мұратбеков М.М., Ахметжанов М.А.,Жүсіпназаров Р.М. жұмыстарында
қарастырылған.
Гиперболалық типті дифференциалдық теңдеулер үшін көптеген
сұрақтар, яғни спектральдік қасиеттері арнайы зерттеуді қажет етеді.
Жұмыстың мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты гиперболалық түрдегі
теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік
қасиеттерін зерттеу.
Зерттеу әдістемесі. Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін
шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу
барысында төмендегідей әдістер пайдаланылды: априорлы бағалау әдісі және
М.Б.Мұратбеков пен М.Өтелбаевтың жұмыстарында ұсынылған әдістер қолданылды.

Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:
1. гиперболалық түрдегі теңдеулер үшін шешімнің тегістігі.
2. Жоғарыда көрсетілген оператор үшін Шмидт бойынша меншікті мәндерінің
екі жақты бағалары алынды. (-сандары).

Теориялық және практикалық құндылығы. Кванттық физикада,
дифференциялды операторлардың спектральді теориясында, жоғары курс
студенттеріне арнайы курс оқу барысында қолданылатын нәтижелер алынды.
Жұмыста алынған нәтижелерді семинарларда пайдалануға болады.

Жұмыстың апробациясы. Диссертациялық жұмыс сұрақтары Қазақстан
Республикасындағы білім мен ғылым интеграциясы проблемалары мен болашағы
атты Республикалық ғылыми-практикалық конференцияда және ф-м.ғ.
докторы, профессор М.Б Мұратбековтың семинарларында талқыланды.

Диссертация құрылымы. Қарастырылып отырған жұмыс кіріспе, үш бөлім,
қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспеде тақырыптың өзектілігі, жұмыстың ғылыми жаңашылдығы мен
теориялық және практикалық құндылығы айқындалған.
Бірінші бөлімде функционалдық анализдің негізгі ұғымдары мен
анықтамалары қарастырылған.
Екінші бөлімде математикалық физиканың теңдеулері қарастырылып,
оларды шешу әдістері туралы бірқатар мағлұматтар берілген.
Үшінші бөлімде гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің
тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттері көрсетілген.

жиынында анықталған гиперболалық түрдегі дифференциалдық
оперторады қарастырайық:

мұндағы - шексіз дифференциалданатын, у айнымалысы бойынша финитті
және келесі шарттарды қанағаттандыратын функциялар жиыны:

-тіктөртбұрыш

Келесі шарт орындалсын:

және [-1,1] кесіндісінде үзіліссіз функциялар .

Теорема1. Айталық шарты орындалсын. Онда болғанда
операторы үзіліссіз қайтарымды болады.

функциясының тасымалдаушысы деп жиынында анықталған
жиынын айтамыз және деп белгілейміз.

жиынында үзіліссіз және болатын функциялар финитті
функциялар деп аталады.

Анықтама 1. Егер үшін өрнегінен теңдігін алсақ,
онда операторы өзара бірмәнді оператор деп аталады.

Анықтама 2. Егер тізбегі үшін және өрнегінен

және екендігі белгілі болса , онда операторы тұйық
деп аталады.
Осы анықтамадан тікелей шығатыны : егер операторы тұйық
емес болса, онда оны тұйықтауға болады. Бұл операция
операторының тұйықталуы, ал оператордың өзі тұйықталған болады.

Айталық және – нормаланған кеңістіктер болсын және
кеңістігін кеңістігіне бейнелейтін операторын
қарастырайық.

функционалын келесі формуламен анықтайық:

(3.1.5)

кеңістігі - кеңістігіне түйіндес кеңістік. (3.1.5)
формуласы бойынша әрбір элементіне саны сәйкес
қойылған, кеңістігі -
кеңістігіне түйіндес кеңістік.
Осылайша сызықты үзілісіз операторын анықтадық.
операторы операторына түйіндес деп аталады. -дің бірнеше
қасиеттерін жазайық:

1) ;
2) - сызықты, себебі
;

3) - шенелген, өйткені
.

Лемма 1. Егер болса, онда .

Дәлелдеуі. 3)-ші қасиеттен, сызықты функционал нормасының
анықтамасына сәйкес,

, яғни .

Әрі қарай, , әрбір үшін,, немесе болатын,
фунционалы табылады.

Бұдан

өрнегін аламыз.

Бұдан теңсіздігі шығады. Сондықтан теңдігі орынды
болады.

Анықтама 3. Егер болса, яғни оператор өзінің
түйіндесімен беттессе, онда операторы өз-өзіне түйіндес деп
аталады.

Анықтамаға сәйкес элементтері үшін

теңдігі орынды болса, онда өз-өзіне түйіндес оператор болады.

Анықтама 4. Егер операторы кез келген шенелген жиынды компакт
жиынға бейнелесе немес әрбір шенелген тізбегінің тізбегінде
жинақты ішкі тізбегі бар болса онда операторы жете үзілісіз деп
аталады.
Айталық жете үзіліссіз оператор болсын. Онда операторының
меншікті мәндері операторының сандары деп аталады (Шмидт
бойынша меншікті сандары).
Еселіктерін ескере отырып нөлдік емес сандарын кему ретімен
жазамыз

сандарының екінші анықтамасын берейік.

Алдымен Колмогоров бойынша көлденеңдері ұғымының анықтамасы мен
олардың қасиеттеріне тоқталайық.

Айталық кеңістігіндегі центральді-симметриялы ішкі жиын болсын,
яғни

мәні жиының к олмогоров бойынша көлденеңдері деп аталады, мұндағы
өлшемді ішкі кеңістік.

Көлденеңдер келесі қасиеттерге ие:

1.

2.

3.

Келесі теорема сандарының екінші анықтамасын береді.
Теорема 2. Айталық кез келген жете үзіліссіз оператор
болсын. Онда саны жиынының -шы Колмогоров көлденеңімен
сәйкес келеді, мұнда операторы жиынын бірлік шарына
бейнелейді.
Лемма 2. Айталық шарты орындалсын. Онда болғанда
кеңістігінде анықталаған кері оператор табылады, мұндағы
тұйық операторына кері оператор.

Лемма 3. Айталық шарты орындалсын. Онда болғанда
операторы үзіліссіз қайтарымды және ол үшін келесі теңдік
орынды:

І. Функционалдық анализдің негізгі ұғымдары

1.1.Сызықты және нормаланған кеңістік

Анықтама 1.1.1. Сызықты кеңістік деп элементтерінің мына
төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын жиынын айтады:

І. жиынында

1) Егер болса, онда .

2)

3)

4) жиынында барлық үшін теңдігі орындалатындай нөлдік
элементтің бар болуы;

5) әрбір үшін элементі бар, теңдігі дұрыс болатындай
(қарама-қарсы элементтің бар болуы) қасиеттерін қанағаттандыратын кез
келген үшін қосындысы анықталған.

ІІ. жиынында элементтің санына көбейтіндісі
анықталған, сонымен қатар ол мына қасиеттерге ие (мұндағы скаляр
шама);

1. – скалярлар

2.

3.

4.

5.

жиынының элементтерін қосу және оларды санға көбейту
амалдары үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің
аксиомалары деп аталады. Қандай сандар қорын (барлық нақты
сандар немесе комплекс сандар) пайдаланғанға байланысты, комплекс немесе
нақты сызықты кеңістіктер деп ажыратамыз.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын
болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл
аксиомалар орындалатыны белгілі. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе
кеңістіктегі векторларды қосу және оларды санға көбейту амалдары
үшін де бұл шарттар анықталған.
Демек, қарапайым амалдар анықталған сандар жиыны немесе векторлар
жиыны сызықтық кеңістіктің мысалдары болып табылады.
Сонымен, қайсыбір жиында кез келген екі элементтің қосындысы және
элементтің нақты немесе комплекс санға көбейтіндісі анықталса және бұл
амалдар жоғарыдағы аксиомаларды қанағаттандарыса, онда бұл жиын сызықтық
кеңістікке айналады.
Сызықтық кеңістікке бірқатар мысалдар келтірейік:

1. түзу сызығы, яғни қарапайым қосу және көбейту арифметикалық
операциялары мен нақты сандар жинағы сызықтық кеңістік болады.

2. Нақты сандар тізбектерінің жиыны реттелген нақты немесе комплекс
сандардың барлық жиыны қосу және санға көбейту операциялары мына
формалармен анықталса,онда жиын сызықтық кеңістік болады,

1) +

2)

Бұл жиын арифметикалық кеңістік деп аталады және символымен
белгіленеді. Осы сияқты комплекс -өлшемді арифметикалық кеңістік
реттелген комплекс сандарының жиыны ретінде анықталады( қандай да бір
комплекс санға көбейту анықталған болса).

3. Функционалдық анализ үшін маңызды болып табылатын аралығындағы
үзіліссіз функциялар жиыны қарапайым функцияларды қосу және санға
көбейту операцияларымен бірге сызықтық кеңістігін құрайды. Үзіліссіз екі
функцияның қосындысы да , үзілісіз функцияның санға көбейтіндісі де
үзіліссіз функция болғандықтан жиынында бұл амалдар анықталған.
Қай функцияның да мәні сан болғандықтан, қарастырып отырған мысалда
аксиомалардың орындалуы олардың нақты немесе комплекс сандар үшін
орындалатындығынан шығады. Нөлдік элемент ретінде бұл кеңістікте
үшін , яғни кесіндісінде нөлге тепе-тең функция деп
аталады.

4. таңбасымен дәрежесі нен аспайтын көпмүшелер жиынын
қарастырайық. Осы жиыннан алынған көпмүшенің қосындысы, санға
көбейтіндісі осы жиынға тиісті екендігі белгілі. Сондықтан жиын
элементтері сызықтық кеңістік аксиомаларын қанағаттандырады.

5. кеңістігі сызықты кеңістік, өйткені оның элементтері

шартын қанағаттандыратын сандар (нақты немесе комплекс)тізбегі

алынады, ол сандар үшін

1)

2) амалдары орындалған.

Сызықты кеңістікке қатысты кейбір ұғымдар мен анықтамаларды
келтірейік.

сызықты кеңістігіне тиісті элементтерінің әрқайсысын
сандарына көбейтіп нәтижелерін қосу арқылы табылған
векторы берілген векторларының сызықты комбинациясы деп
аталады.

сызықтық кеңістігіне тиісті элементтері үшін олардың
сызықтық комбинациясы теңдігін тек болған жағдайда
ғана қанағаттандыратын болса, онда векторлар сызықты тәуелсіз
векторлар деп аталады. Егер бұл шарт орындалмайтын болса, яғни
болатындай бәрі бірдей нөлге тең емес коэффициенттер
табылса, онда элементтері сызықты тәуелді деп аталады. Егер
элементтері сызықты тәуелді болса, онда бұлардың ең
болмағанда бірін басқаларының сызықты комбинациялары түрінде
өрнектеуге болады.

Мысал. кеңістігінен функцияларын қарастырайық. Бұл
функциялардың сызықты комбинациясы теңдігі тепе-
теңдігімен пара-пар. Квадраттық үшмүше нүктелерінде нөлге
айналады, ал кері жағдайда нөлге айналатын нүктелерінің саны екіден
аспайтыны белгілі. Сонымен бұл үш функция кеңістігіндегі
тәуелсіз элементтердің мысалы болады.

Егер сызықтық кеңістікте сызықты тәуелсіз элемент
табылса, бірақ осы кеңістікте жатқан кезкелген элемент
сызықты тәуелді болса, онда бұл өлшемі -ге тең кеңістік деп
аталады. Егер кез келген натурал сан үшін кеңістікте жатқан,
сызықты тәуелсіз элемент табылатын болса, онда өлшемі ақырсыз
кеңістік деп аталады.

ішкі жиыны өз бетінше сызықты кеңістік құрайтын болса,
онда ішкі жиыны кеңістігінің ішкі кеңістігі деп
аталады. Анығырақ айтқанда, ішкі жиынындағы элементтерге
кеңістігінде анықталған амалдар қолдану нәтижесінде пайда болған
элементтер жиынында болу керек.

Сызықтық кеңістікте ішкі кеңсітік ұғымына тығыз байланысты тағы
бір ұғымды анықтайық. Егер кез келген векторлары мен бірге
олардың кез-келген сызықты комбинациясы да осы жиынында
жататын болса, онда жиыны сызықты көпбейнелік деп аталады.

Анықтама 1.1.2. және сызықтық кеңістіктер изоморфты деп
аталады, егер олардың элементтерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестік
орнатуға болса және ол сәйкестік және кеңістіктеріндегі
операцияларымен былай байланыссын:

Егер , болса, мұндағы , ,

Анықтама 1.1.3. Егер барлық үшін нақты сан мәнді
функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса
:

1) және тек болғанда ғана (норманың теріс еместік
шарты);

2) кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);

3) кез келген үшін (үшбұрыш теңсіздігі),

онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.

Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шарттары норманың
аксиомалары деп аталады.

Норма анықталған сызықты кеңістік нормаланған сызықты кеңістік деп
аталады.

Берілген сызықтық кеңістігінде норманы әртүрлі
анықтауға болады. Осыған байланысты бір жиынның негізінде әртүрлі
нормаланған сызықтық кеңістіктер пайда болатыны төмендегі
мысалдардан байқалады.

Мысалдар:

1.-сызықтық кеңсітігін нормаланған сызықты кеңістікке
айналдырамыз. Кеңістікке тиісті әрбір элемент үшін норманы

(1.1.1.)

теңдігімен анықтаймыз. Осылай анықталған норма норманың
аксиомаларын қанағаттандыратынын тексеру қажет. Бірінші шарттың
орындалатындығы (1.1.1) теңдігінің оң жағындағы өрнектің теріс емес
екендігінен көруге болады.

Егер болса, онда барлық . Себебі, егер қайсыбір болса,
онда (1.1.1) теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болатыны
айқын. Сонымен, егер болса, онда векторының барлық координаттары
нөлге тең: Керісінше, егер болса, онда екені айқын.

Екінші аксиома оңай тексеріледі:

(1.1.2)

Үшінші аксиома, яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалатынын дәлеледеу үшін
алдымен Коши теңсіздігін еске алайық. Кез келген нақты сандары
үшін

(1.1.3)

теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір
алып, оны мына түрде жазуға болады:

(1.1.4)

Енді осы теңсіздікті пайдаланып (1.1.1) нормасы үшін үшбұрыш
теңсіздігін дәлелдейік:

Теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып, үшбұрыш теңсіздігіне
келеміз.

Сонымен (1.1.1) теңдігімен анықталған норма аксиомаларын
қанағаттандыратыны айқын болды. жиыны нормаланған сызықты кеңсітікке
айналды. Бұл кеңістік, негізінен, арифметикалық Евклид кеңістігі деп, ал
норма (1.1.1) – Евклид нормасы деп аталады.

2. сызықты кеңістігінде норманы басқаша, атап айтқанда,

(1.1.5)

Теңдігі арқылы енгізіліп, сол жиында анықталған тағы бір нормаланған
сызықты кеңістікті аламыз.. Норманың аксиомалары орындалатынын тексеру
бұл жолы оңай. Расында, (1.1.5) өрнегінен норманың теріс болмайтындығын
көруге болады және болуы барлық болғанда, тек қана осы
жағдайда болады, яғни

Сондай-ақ, екінші , үшінші аксиомалардың тексерілуі де қиын емес:

(1.1.7)

Егер және кеңістіктің кез келген екі векторы болса,онда

яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалады.

3. символымен сызықты кеңістігінде норманы

(1.1.8)

теңдігімен анықтау нәтижесінде пайда болған нормаланған сызықты
кеңістікті белгілейміз.

4. сызықты кеңістігіндегі функциясының нормасы

(1.1.9)

теңдігімен анықталады. функциясы кесіндісінде үзіліссіз
болғандықтан , оның модулі де үзілісіз, демек, осы кесіндіде максимумы
бар. Сондықтан (1.1.9) теңдігі жиынынң әрбір элементі үшін
оның нормасының мәнін бір мәнді анықтайды. Модулінің максимумы нөлге
тең функция тек қана екендігі түсінікті. Сонымен бірінші
аксиоманың орныдалуы айқын. Енді

теңдігі мен

теңсіздігі норманың қалған екі аксиомасы да орындалатынын көрсетеді.

2. Гильберт кеңістігі, кеңістігі

Анықтама 1.2.1. Егер сызықты кеңістігінде кез келген
үшін екі айнымалылы, сан мәнді функция анықталған және
ол төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса:

1) (симметриялық қасиеті);

2) (аддитивтік қасиеті);

3) (біртектілік қасиеті);

4) және тек қана болғанда ғана мүмкін, онда

кеңістігінде скаляр көбейтінді анықталған дейміз. 1)-4) шарттары
скаляр көбейтіндінің аксиомалары деп аталады.

Анықтама 1.2.2. Скаляр көбейтінді анықталған сызықтық кеңістік
гильберт кеңістігі деп аталады. Гильберт кеңістігін арқылы
белгілейміз.

Егер анықтама бойынша скаляр көбейтіндінің мәндері нақты сандар
болса
және векторлар нақты сандарға көбейтілетін болса, онда анықталған
гильберт кеңістігі нақты кеңістік деп аталады.Комплекс кеңістік
жағдайында симметриялық жағдайы түрінде жазылады., яғни
элементердің орындары ауысқанда скаляр көбейтіндінің мәні түйіндес
комплекс санға өзгереді.

2)-3) аксиомалар бірінші аргументтке қатысты болса да,
симметриялық аксиоманың салдарынан олар екінші аргумент үшін де
орындалады. Расында,

Осыған ұқсас, 3)-аксиомадағы санын екінші аргументтің қасынан
көбейтіндінің алдына шығаруға болатынын, яғни екнін байқаймыз.
Бұл теңдік комплекс кеңістік жағдайында түрінде болады. Расында,

Гильберт кеңістігінде элементінің нормасын

(1.2.1)

теңдігімен анықтауға болады.м Норма аксиомалары орындалатыны скаляр
көбейтіндінің аксиомаларының салдары ретінде шығады.

Расында, норманың бірінші аксиомасы скаляр көбейтіндінің төртінші
аксиомасынан тікелей шығатыны айқын. Норманың екінші аксиомасы
орындалатыны да скаляр көбейтіндінің үшінші қасиетінен тікелей
шығады:

Енді (1.2.1) теңдігімен анықталған норма үшбұрыш теңсіздігін
қанағаттандыратынын дәлелдейік. Сол үшін элементтері және кез
келген саны үшін элементінің скаляр квадратын
қарастырайық:

Скаляр көбейтіндінің 4)- аксиомасы боынша элементтің скаляр
квадраты теріс емес сан, демек, санының мәні қандай болса да
.

Басқаша айтқанда, квадрат үшмүшенің дискриминанты оң сан емес:
яғни

Осы теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып, мына түрде

.

Соңғы теңсіздіктен скаляр көбейтіндінің абсолют шамасы көбейтілген
векторлардың нормаларының көбейтіндісінен аспайтынын көреміз.

Лебег кеңістігі. жиынында қосындыланатын функциялардың
жиыны сызықты кеңістік құрайды. Бұл кеңістік түрінде
таңбаланады. Енді кез келген нақты сан болсын. жиынында
дәрежесі қосындыланатын функцияларының жиыны да сызықты
кеңістік құрайтыны белгілі. Осы сызықты кеңістік

(1.2.2)

теңдігімен анықталған норма енгізу арқылы нормаланған сызықты
кеңістікке айналады. Бұл кеңістік әдетте түрінде белгіленеді.
Сонымен, әрбір

санына сәйкес сызықты кеңістік анықталды. Осы кеңістіктер Лебег
кеңістіктері деп аталады. Егер болса, онда түрінде
жазылып, қосындыланатын функциялар кеңістігін белгілейді.

(1.2.2) теңдігі арқылы анықталған норманың тиісті аксиомалары
қанағаттандыратынына тоқталайық. Онда теріс емес сан екендігі айқын.
Егер қайсыбір үшін нормасының нөлге тең болуы, теңдіктің
оң жағындағы интеграл нөлге тең емес екендігін көрсетеді. Демек,
Лебег интегралының қасиеті бойынша функциясы нөлге пара-пар
функция. Осыған байланысты Лебег кеңістіктерінде қабылданған маңызды
келісім - бұл кеңістікте пара-пар функциялар ажыратылмайды, өзара пара-
пар функциялардың барлығы кеңістіктің бір элементі болып есептеледі.

кеңістігінде нөлге пара-пар, яғни осы жиынның барлық
жерінде дерлік нөлге тең функция кеңістіктің нөлдік элементі
ретінде қабылданады. Сондықтан (1.2.2) теңдігімен анықталған норма
норманың бірінші аксиомасын қанағаттандырады. Екінші аксиоманың орындалуы
біртектілік қасиеттен шығады. Ендігі кезекте норма (1.2.2) үшбұрыш
теңсіздігін атап айтқанда,

(1.2.3)

теңсіздігін қанағаттандыратындығын дәлелдеу.

Алдымен Гелдер теңсіздігін еске алайық ().

. (1.2.4)

Мұнда немесе осыдан, Енді (1.2.3) теңсіздігін
дәлелдейік. Келесі түрлендіруде , сондай-ақ екендігі
пайдаланылды. Ықшамдық үшін норманың қасындағы белгісін
жазбаймыз.

Мұнда бірінші теңдік - анықтама бойынша. Екінші теңдіктен кейін
қосындының бір дәрежесі жеке жазылды да, келесі теңсіздіктен кейін екі
қосындыға жіктеліп, олардың әрқайсысына гельдер теңсіздігі
қолданылды. Соңында ортақ көбейткіш тік жақша сыртына шығарылды.
Алынған теңсізідік норманың анықтамасы бойнынша мына түрде жазылады:

осы теңсіздіктің екі жағын санына бөліп, (1.2.3) теңдігіне
келеміз. Сонымен теңдік (1.2.2) норма анықтайтыны дәлелденді,
демек, нормаланған сызықты кеңістік болады.
кеңістігіндегі ашық облыс, арқылы жиынының
тұйықталуын белгілейміз.
Анықтама 1.2.3. кеңістігі деп жиынында лебег бойынша
өлшемді функциялардан құралған гильберт кеңістігін айтады. Бұл
кеңістікте норма келесі түрде анықталады:

1.3. Сызықты операторлар теориясының элемменттері

Анықтама 1.3.1. кез келген сызықты кеңістік болсын. Осы
кеңістіктің элементтерінде анықталған сан мәнді функциясы
функционал деп аталады. Мұнда, әдеттегідей, сәйкестікті анықтайтын
ережені, ал таңбасы элементіне сәйкес қойылған санды
белгілейді. Кеңістігінің құрылымына қарай нақты не комплекс мәнді
функционал болуы мүмкін. Мысалы, әрқашан нақты мәнді функционал.

Егер функционалы үшін мына екі шарт орындалатын болса:

1. кез келген үшін (аддитивтік шарты)

2.кез келген саны үшін (біртектілік шарты)

онда сызықтық функционал деп аталады. Бұл екі шартты
біріктіріп, мына бір теңдік түрінде қолдануға да болады:

,

мұнда және кез келген сандар. Бұл теңдік анықтамадағы екі
шартқа пара-пар болғандықтан, функционалдың сызықтылығын тексеру үшін
теңдігін тексеру жеткілікті.

Сызықты функционалдарға мысалдар келтірейік.

1. кеңістігінің элементінде функционалының мәні

теңдігімен анықталған, мұнда тұрақты сандар. Бұл функционалдың
аддитивтік және біртектілік қасиеттерін тексеру оңай. кеңістігінде
анықталған бұл функционалдың сызықты функция екендігіне зер салайық. Кейін
кеңістігіндегі сызықтық функционал тек осы түрде болатын
айқындалады.

2. сызықты кеңістігінде функционалының
элементіндегі
мәні

теңдігімен анықталған. Бұл функционалдың сызықты қасиеті интегралдың
аддитивтік және біртектілік қасиеттерінен тікелей шығады.

3. қосындыланатын функциялар кеңістігінде функционалының
элементіндегі мәні қайсыбір шенелген, тиянақты функциясы
арқылы

теңдігімен анықталған. Бұл функционалдың да сызықтық қасиеті
интегралдың қасиеттерінен шығады және бұл функционалының
жалпыланған түрі .

4. кеңістігінде анықталған тағы бір функционал

,

яғни функционалының элементіндегі мәні санына тең.
Анықтаушы теңдік бойынша

демек бұл сызықты функционал.

Функционал - оператордың дербес жағдайы, атап айтқанда,
функционал дегеніміз операторы екені көрінеді.

Анықтама 1.3.2. Кейбір бос емес жиынының әрбір
элементіне сәйкесінше бос емес жиынының бір ғана элементі сәйкес
қойылу ережесі оператор деп аталады.
операторының элементке бейнеленуін былай белгілейді:

Анықтама 1.3.3. жиыны операторының анықталу облысы
деп аталады. элементі элементінің бейнесі деп , ал -
тің өзі -тің алғашқы бейнесі деп аталады. Барлық образдар
жиыны операторының мәндер облысы деп аталады.

Анықтама 1.3.4. нақты және комплекс сандар өрісінде
және сызықты кеңістіктер берілсін. Анықталу облысы
кеңістігі , ал мәндер облысы кеңістігіндегі жиын болып табылатын
операторын қарастырайық.

операторы сызықты деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:

1) , кез келген үшін;

2) кез келген және үшін.

Сызықты операторларға мысалдар:

1. сызықты кеңістігінің әрбір элементіне
кеңістігінің нольдік элементін сәйкес қоятын оператор болады. Ол
нольдік оператор деп аталады да, былай белгіленеді:

2. Әрбір элементке осы элементті сәйкес қоямыз. Сонда біз
кеңістігінен кеңістігіне әсер ететін операторын аламыз. Бұл
оператор теңбе-тең немесе бірлік оператор деп аталады. Анықтама
бойынша .

3. Кез келген α санын белгілеп алып, әрбір элементке элементін
сәйкес қоямыз. Осылайша құрылған оператор сызықты оператор болады. Бұл
оператор скаляр оператор деп аталады.

4. Функцияға көбейту оперторы. кеңістігінен жеке алынған тиянақты
функциясы және кез кез келген үшін операторы

,

теңдігімен анықталған болсын. Бұл функциясына көбейту операторы
деп аталады. Бұл сызықты операторы екені айқын.

5. Интегралдық оператор. функциясы квадратында үзілісісз
болсын. Кез келген функциясы үшін операторды

(1.3.1)

теңдігімен анықтайық. Онда , яғни (1.2.1) теңдігімен
операторы анықталды. Интегралдың сызықты қасиеті бұл оператордың да
сызықты оператор екендігі тікелей шығады.

Операторларға қолданылатын амалдар. Сызықты кеңістікте анықталған
операторларға қосу, көбейту және операторды санға көбейту амалдарын
қолданып, жаңа сызықты оператор анықтауға болады. Осы айтылған амалдарды
анықтайық.

1. операторы кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін
және операторларының қосындысы деп аталады, егер барлық
элементтері үшін

теңдігі орындалатын болса. Белгіленуі: .

2. операторы кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін
операторының өрісіндегі санына көбейтіндісі деп аталады, егер
барлық элементтері үшін

теңдігі орындалса. Белгіленуі: .

4. кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін операторы
оперторының операторына көбейтіндісі деп аталады, егер барлық

теңдігі орындалса. Белгіленуі: .

5. Оператордың дәрежелері. Егер операторы кеңістігінде
анықталған және оның мәндері осы кеңістікте жататын болса,
онда операторының дәрежелері келесі түрде болады:

Сызықты операторлардың шектеулілігі мен үзіліссіздігі. сызықтық
операторын қарастрайық.

Анықтама 1.3.5. Егер кез келген элементі үшін

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌, (1.3.2)

теңсіздігі орындалатын тұрақты саны табылса, онда операторы
шенелген деп аталады.
Мұнда теңсіздіктің сол жағындағы норма кеңсітігіндегі, ал оң
жағындағы норма кеңістігіндегі шенелген жиынды кеңістігіндегі шенелген
жиынға аударатыны теңсіздіктен көрінеді.
Анықтама 1.3.6.

,

теңсіздігі орындалатындай сандарының инфимумы операторының
нормасы деп аталады және түрінде белгіленеді. Оператордың
нормасын

,
(1.3.3)

теңдігімен анықтауға болады.

Бұл анықтамалар өзара пара-пар екеніне көз жеткізейік. Екінші
анықтамадан супремумның анықтамасы бойынша , теңсіздігі, ал
осыдан
теңсіздігі шығатыны айқын. Соңғы теңсіздікті (1.3.2) теңсіздігімен
салыстырып,

теңсіздігіне сай саны табылатынын көреміз. Егер деп
жорысақ, онда (1.3.1) теңсіздігі бойынша , ал мұның екі жағынан
супремум алып теңсіздігіне келеміз. Демек, (1.3.2) теңсіздігіндегі
саны (1.3.3) өрнегімен анықталған санынан кіші бола
алмайды.
Норманы анықтайтын (1.3.3) теңдігінде санын бөлшектің
алымындағы норманың ішіне енгізіп, сызықты оператор екенін
ескеріп, түрінде жазайық. Сонда, векторының нормасы 1-ге тең.
Осыған орай, норманың анықтамасын үшінші түрде жаза аламыз:

(1.3.4)

Сызықтық оператордың нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандырады.
Егер болса, онда , демек , яғни нөл оператор.
Норманың біртектілік қасиеті оның анықтамасынан айқын. Енді үшбұрыш
теңсіздігін тексеру үшін (1.3.4) теңдігін пайдаланайық. Жоғарыдағы
теңсіздігін және операторлардың қосындысының анықтамасын секрер
отырып,

теңісіздігін, сонан соң бұл теңсіздіктің екі жағынан шартын
қанағаттандыратын элементтер векторлары бойынша супремум алып,

ртеңсіздігіне келеміз. Ұқсас жолмен

теңсіздігі дәлелденді.
Анықтама 1.3.7. кеңістігінің кеңістігіне әсер ететін
операторы (мұндағы өлшемді кеңістік өлшемді кеңістік)
нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер шартынан
кеңістігіндегі кез келген тізбегі үшін шарты орындалса.
Егер оператор кеңістігінің әрбір нүктесінде үзіліссіз болса,
онда ол барлық жерде дерлік үзіліссіз немесе үзіліссіз деп аталады.

Теорема 1.3.1. Айталық - нормаланған, -банах кеңістігі және
болатын сызықты операторы болсын,оған қоса және
жиынында операторы шенелген. Онда

1) кез келген үшін теңдігі орынды ,
2) болатын сызықты шенелген операторы бар болады.
Дәлелдеу. Егер болса, дейік. ,бірақ .
толықтығынан Х-тегі х-не жинақталатын табылады. болсын
делік.Берілген анықтама дұрыс қойылған дейік:көрсетілген шек бар және х-ке
ұмтылатын тізбекті таңдауға тәуелсіз.

Ол үшін екенін ескерейік, бұдан фундаменталь тізтек
екендігі, кеңістігінің толықтығынан жинақтылығы шығады. Сонымен
бар болады. Енді болсын,мұндағы .

Айталық болсын, онда

себебі

.

мұнда ұмтылғанда теңсіздігін аламыз,яғни.Бірақ

мен А операторларының сызықтығы шектің сызықтық қасиетінен шығады.
Теорема дәлелденді. оператордың жалғасы оператордың
үзіліссіздік бойынша жалғасы деп аталады.

Операторлар мен функционалдардың нормасын есептеудің мысалдарын
келтірейік.
1.Бірлік оператор. Демек, , осыдан, , анықтама боынша,

2. Функцияға көбейту операторы. Бұл кеңістіктегі норманың
анықтамасы бойынша

(1.3.5)

теңсіздігін аламыз, ал одан

(1.3.6)

деген қорытынды шығады.

Екінші жағынан, осы кеңістікте жатқан жеке функция үшін
, демек , ал норманың (1.3.4) теңдігімен анықталуы бойынша

дәлелденген (1.3.5), (1.3.6) теңсіздіктерінен теңсіздіктірінен

екені шығады.

3.Интералдық оператор.

Ядро және квадратында үзіліссіз функция болсын.
кеңістігіндегі норманың анықтамасы бойынша

Бұл теңсіздіктен, опертордың нормасының анықтамасы бойынша

(1.3.7)

теңсіздігі шығады. Ал жеке функция үшін ,сондықтан

Демек, (1.3.4) өргені түріндегі анықтама бойынша

(1.3.8)

(1.3.7),(1.3.8) теңсіздігінен

1.4. Сызықты оператордың ядросы, рангі, образы

Айталық сызықты кеңістігі берілсін. Мұнда

(1.4.1)

теңдігі орындалатын элементін қарастырамыз.

Анықтама 1.4.1. (1.4.1.) шартын қанағаттандыратын элементтер
жиыны операторының ядросы деп аталады және деп белгіленетін
жиын құрайды.
Ядроның өлшемі операторының дефекті деп аталады. Сонымен
операторының әсерінен нольге ұмтылатын элементтер жиынынан
ядро құралады.
сызықты оператор, ал оператор кеңістіктің өзіне бейнеленуі
болғандықтан, элементтерінің бейнесі сызықты оператордың
бейнесі деп аталады да , былай белгіленеді:

Сызықты оператордың бейнесінің өлшемділігі сызықты оператордың рангі
деп аталады. Сонымен сызықты оператордың дефекті оның анықталу облысы, ал
бейнесі—мәндер облысы болып табылады .

сызықты операторы берілсін, мұндағы -сызықты кеңістіктер және
оның анықталу облысы D(A) ал мәндер облысы .
А операторының нөлдер жиыны болатын жиынды енгізейік.
бос емес екенін ескере кетейік, себебі .
Теорема 1.4.1. А операторы -ны -ға өзара бірмәнді
бейнелейді сонда тек сонда ғана егер болса (яғни нөлдер жиыны
тек 0 элементінен тұрса).
Дәлелдеу. Айталық теңдігі орынды болсын. Кез келген екі
элемент үшін , бірақ бейнесі бар элементі табылады.
Бірінші теңдіктен екінші теңдікті азайтып, өрнегін аламыз. Бірақ бұл
екенін көрсетеді. Алынған қайшылық -ның өзара бірмәнділігін
дәлелдейді.
Енді өзара бірмәнді болсын. Дегенмен, болсын делік.
теңдігін алайық.
Айталық болсын, онда теңдеуінің шешімі болды. Енді
ті қарастырайық. және екені анық. Әрбір кем дегенде
екі әртүрлі және кері бейнесі бар болады.
Теорема шартынан қайшылық алдық, яғни дұрыс емес, теорема
дәлелденді.
1.5. Кері оператор, сызықты оператордың спектрі

Анықтама 1.5.1. операторы -ті -тегі жиынға
түрлендіріп,

1)

(1.5.1)

шарттарымен анықталса, онда операторы операторына кері оператор
деп аталады.

Бұл ретте сонымен бірге

1)

2) шарттары орындалады, олай болса, операторы В-ға кері
оператор.

Расында, облысының бойында, барлық облысында
болады, сондықтан барлық –да болады, басқаша айтқанда:
Енді (1.5.1) теңдіктің екі жағына бірдей операторын қолдана отырып
десек, онда теңдігін аламыз, мұнда

операторына кері операторды арқылы белгілейді.

Сонымен кері оператордың анықтамасы бойынша және Бұл
қатынастарға мен операторлары симметриялы түрде кіруіне
байланысты операторы да операторына кері:

Операторлардың көбейтіндісі коммутативтік заңдылыққа бағынбайды, яғни
.

Мысал. кеңістігінде мына теңдіктер бойынша анықталатын
операторларды қарастырайық:

Сонда яғни .

Интегералдық, дифференциалдық және т. б. теңдеулерді (мұндағы
сызықты оператор) түрінде жазуға болады.

Егер кері операторы бар болса, онда сәйкес есептің шешуі мына
түрде болады: Сонымен кері операторының бар болу шартын
анықтаудың мәні бар. Осыған байланысты бірнеше теорема берілген:

Теорема 1.5.1. Егер сызықты үзіліссіз операторы нормаланған
толық кеңістігін бірмәнді түрде нормаланған толық кеңістігіне
түрлендірсе, онда оған кері оператор сызықты және үзіліссіз болады.

Дәлелдеу. болсын. Ашық түрлендіру туралы теорема бойынша
түрлендіруі ашық жиынды ашық жиынға көшіреді, сондықтан үзіліссіз.
Енді ол оператордың сызықты болатынын көрсетейік, ол ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.