Беттің майысуы
1.Изометриялық беттер
2.Беттің ішкі геометриясы жайында түсінік
§ІІ.Беттегі қисықтың геодезиялық иілімі.
1. Геодезиялық иілімдерді анықтау
2.Геодезиялық иілім.ішкі геометрияның объектісі
§ІІІ.Беттегі геодезиялық сызықтар
1.Геодезиялық сызықтың анықталуы
2.Геодезиялық сызықтардың бар екендігі туралы теорема
2.Беттің ішкі геометриясы жайында түсінік
§ІІ.Беттегі қисықтың геодезиялық иілімі.
1. Геодезиялық иілімдерді анықтау
2.Геодезиялық иілім.ішкі геометрияның объектісі
§ІІІ.Беттегі геодезиялық сызықтар
1.Геодезиялық сызықтың анықталуы
2.Геодезиялық сызықтардың бар екендігі туралы теорема
Ұзындықтары сәйкес келетін қисық және беттерде тең болса және осы беттің нүктелерінің арасында бір мәнді сәйкестік орнатылса, онда және беттері изометриялық деп аталады. Егер екі бет изометриялық болса, онда оның әрқайсысы екіншісіне майысуы болып табылады. Басқаша айтқанда,беттің майысуы – беттегі қисықтың ұзындығы өзгермейтін деформация.
Жазықтықтың екіжақты бұрышқа немесе параболалық цилиндрге майысуын көз алдыңа елестету оңай (1-сурет). Көпжақты дөңес бұрыштың майысуы мысалы, берілген көпжақты бұрыш сияқты жазылуы және жазық бұрыштары бар үшжақты конустық бетке үштік мысал болып табылады (2-сурет).
Мысал келтірейік, егер сферасынан жазық сфералық сегмент кесіп алатын болсақ, онда қабырғасы бар және сферасына изометриялы болатын ойыс бетін аламыз (3-сурет).
- жатық беттер үшін келесі жеткілікті изометрия белгісі дұрыс.
Жазықтықтың екіжақты бұрышқа немесе параболалық цилиндрге майысуын көз алдыңа елестету оңай (1-сурет). Көпжақты дөңес бұрыштың майысуы мысалы, берілген көпжақты бұрыш сияқты жазылуы және жазық бұрыштары бар үшжақты конустық бетке үштік мысал болып табылады (2-сурет).
Мысал келтірейік, егер сферасынан жазық сфералық сегмент кесіп алатын болсақ, онда қабырғасы бар және сферасына изометриялы болатын ойыс бетін аламыз (3-сурет).
- жатық беттер үшін келесі жеткілікті изометрия белгісі дұрыс.
II тарау
§5.Беттің майысуы
1.Изометриялық беттер. Ұзындықтары сәйкес келетін қисық және
беттерде тең болса және осы беттің нүктелерінің арасында бір мәнді
сәйкестік орнатылса, онда және беттері изометриялық деп
аталады. Егер екі бет изометриялық болса, онда оның әрқайсысы екіншісіне
майысуы болып табылады. Басқаша айтқанда,беттің майысуы – беттегі қисықтың
ұзындығы өзгермейтін деформация.
Жазықтықтың екіжақты бұрышқа немесе параболалық цилиндрге
майысуын көз алдыңа елестету оңай (1-сурет). Көпжақты дөңес бұрыштың
майысуы мысалы, берілген көпжақты бұрыш сияқты жазылуы және жазық бұрыштары
бар үшжақты конустық бетке үштік мысал болып табылады (2-сурет).
Мысал келтірейік, егер сферасынан жазық сфералық сегмент
кесіп алатын болсақ, онда қабырғасы бар және сферасына изометриялы
болатын ойыс бетін аламыз (3-сурет).
- жатық беттер үшін келесі жеткілікті изометрия белгісі дұрыс.
1- сурет
3- сурет
2- сурет
Теорема1 және беттері - класының
және вектор функциясы түрінде берілген болса, онда . Егер
және беттерінің бірінші квадраттық формасының коэффициенттері D
облысына тең болса, онда барлық болады.
(1)
болса, онда және изометриялық.
Дәлелдеу: және беттің нүктелерінің арасындағы келесі
сәйкестікті орнатамыз: және нүктелері координаталарымен
сәйкес келеді деп есептейік. Егер - жатық қисық, ал -ге
мына теңдеу түрінде берілсе
Онда оған сәйкесінше қисық дәл сол теңдеу түрінде беріледі. Ондай
жағдайда (1) теңдеуді қолданамыз
бұдан және беттерінің изометрияля екендігі шығады.
Теорема дәлелденді.
(1) шарт изометриялық екі беттің қажетті шарттары және белгілі
мәндері болып табылады. Ал негізі келесі теорема дұрысырақ.
Теорема2. –жатық беттер және -ге изометриялы
болсын, -ның кез келген облысында берілген болса,және
вектор-функцияларының параметрленуіне жол береді. Онда, егер изометрия
бойынша сәйкес нүктелер ішкі координаталары бірдей болса, теңдік орны
(1) болады.
Дәлелдеу: - D облысының туынды нуктесі болсын.бетіндегі
u сызықтарын қарастыратын болсақ, ол сызықтар ішкі теңдеумен
берілген , жазықтығы қисық D облысында жатқан
осы теңдеумен берілген ең кіші мәнін аламыз.
нүктелеріне параметрі жауапты. және беттерінің
ұзындықтарымен тең болады.
Сондықтан
(2)
теңдігі кез келген үшін дұрыс. және беттері
класына кіргендіктен, бірінші квадраттық форманың және
коэффициенттері үздіксіз болады. Орта туралы теореманы қолдана отырып, (2)
теңдіктен мынаны аламыз
- аралығында жататын t параметрінің кейбір мәндері болып
табылады. ұмтылғанда, мынадай теңдік аламыз
(3)
және нүктелері арқылы өтетін, және
беттеріндегі v сызықтарын қарастырсақ, мынадай теңдік аламыз
(4)
Сонымен, егер төмендегі ішкі теңдеумен берілген және
беттеріндегі қисықтың доғаларын қарастырсақ
сірә, сәйкесінше және нүктелері арқылы өтетін және
және изометриясымен қолдансақ, онда мынадай теңдік аламыз
кез келген мәндері үшін орынды. Орта туралы теореманы қолдана және
ұмтылдыра отырып, мынадай теңдік аламыз:
Бұл теңдіктен және (3),(4) теңдіктерден мынаны аламыз
(5) Теорема дәлелденді.
2.Беттің ішкі геометриясы жайында түсінік. Екі бетті алып
қараса, алынған майысумен олардың көптеген қасиеттерінің бірдей, ал
формалры әр түрлі болатынын көрсетеді. Сондықтан майысуда өзгермейтін
беттер теориясының осындай түсініктері мен фактілерін үйрену мақсатқа сай
келеді. Бұл түсініктер мен фактілер беттің ішкі геометриясының мазмұнын
құрайды.
Егер беттер класында жататын болса, жатық беттің ішкі
геометриясы тек бірінші квадраттық формаы ғана анықтайтын түсініктер мен
фактілердіүйретеді. Беттегі қисық ұзындықтары, қисықтар арасындағы
бұрыштар, облыстардың аудандары ішкі геометрияға қатысты. Гаусс теңдеуінен
гаустық беттің иілімі ішкі геометрия объектісі болып табылады және беттің
майысуларында өзгермейді деген тұжырым шығады.Бұл фактінің Гаусқа әсер
еткені сондай, ол оны жарқыраған теорема деп атады. Гаустың теоремасынан
беттегі нүктелердің типі майысуларда өзгермейді, яғни ішкі беттеріне
тиісті. Сондықтан майысумен элиптикалық нүктені параболалық немесе
гиперболалыққа аударуға болмайды.
Беттердің ішкі геометриясы түсінігін Гаусс енгізген.
§6.Беттегі қисықтың геодезиялық иілімі.
1. Геодезиялық иілімдерді анықтау. бетіндегі класының
-жатық қисық түрінде берілген деп есептейік. – Х
нүктесіндегі -ға жанама бірлік вектор, ал - Х нүктесіндегі
бетіне нормаль, - қисығының нүктесіндегі иілім
векторы, - қисығының натурал параметрі.
Х нүктесіндегі ортонормаланған базисін қарастырайық
(1-сурет). Онда
Х нүктесіндегі қисығының иілім векторын базисі бойынша
жіктейміз. болғандықтан, бұл жіктеу мынадай түрде болады:
,
(1)
одан,
(2)
және
(3) екені белгілі.
ені нүктесіндегі
қисығының геодезиялық иілімі деп
аталады және -мен белгіленеді.
Осылайша
Френенің бірінші формуласынан
(4) 1 - сурет
теңдеу аламыз.
Бұдан, иілім векторы
,
онда нормаль иілімінің векторы деп аталады,ал -геодезиялық
иілімнің векторы деп аталады. Х нүктесіндегі қисығының нормалі және
геодезиялық иілімнің модулі осы вектордың ұзындығымен сәйкес болады.
(5)
Геодезиялық иілімнің геометриялық мағынасын қарастырсақ, келесі теоремаға
келеміз.
Теорема1. класының бетінде класының қисығы
жатсын және қисығының Х-кейбір нүктесі болсын. бетіндегі Х
нүктесінде жанасушы жазықтыққа -ортогональдық проекция болсын.
Онда Х нүктесіндегі қисығының геодезиялық иілімінің абсолюттік еніне
тең ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
§5.Беттің майысуы
1.Изометриялық беттер. Ұзындықтары сәйкес келетін қисық және
беттерде тең болса және осы беттің нүктелерінің арасында бір мәнді
сәйкестік орнатылса, онда және беттері изометриялық деп
аталады. Егер екі бет изометриялық болса, онда оның әрқайсысы екіншісіне
майысуы болып табылады. Басқаша айтқанда,беттің майысуы – беттегі қисықтың
ұзындығы өзгермейтін деформация.
Жазықтықтың екіжақты бұрышқа немесе параболалық цилиндрге
майысуын көз алдыңа елестету оңай (1-сурет). Көпжақты дөңес бұрыштың
майысуы мысалы, берілген көпжақты бұрыш сияқты жазылуы және жазық бұрыштары
бар үшжақты конустық бетке үштік мысал болып табылады (2-сурет).
Мысал келтірейік, егер сферасынан жазық сфералық сегмент
кесіп алатын болсақ, онда қабырғасы бар және сферасына изометриялы
болатын ойыс бетін аламыз (3-сурет).
- жатық беттер үшін келесі жеткілікті изометрия белгісі дұрыс.
1- сурет
3- сурет
2- сурет
Теорема1 және беттері - класының
және вектор функциясы түрінде берілген болса, онда . Егер
және беттерінің бірінші квадраттық формасының коэффициенттері D
облысына тең болса, онда барлық болады.
(1)
болса, онда және изометриялық.
Дәлелдеу: және беттің нүктелерінің арасындағы келесі
сәйкестікті орнатамыз: және нүктелері координаталарымен
сәйкес келеді деп есептейік. Егер - жатық қисық, ал -ге
мына теңдеу түрінде берілсе
Онда оған сәйкесінше қисық дәл сол теңдеу түрінде беріледі. Ондай
жағдайда (1) теңдеуді қолданамыз
бұдан және беттерінің изометрияля екендігі шығады.
Теорема дәлелденді.
(1) шарт изометриялық екі беттің қажетті шарттары және белгілі
мәндері болып табылады. Ал негізі келесі теорема дұрысырақ.
Теорема2. –жатық беттер және -ге изометриялы
болсын, -ның кез келген облысында берілген болса,және
вектор-функцияларының параметрленуіне жол береді. Онда, егер изометрия
бойынша сәйкес нүктелер ішкі координаталары бірдей болса, теңдік орны
(1) болады.
Дәлелдеу: - D облысының туынды нуктесі болсын.бетіндегі
u сызықтарын қарастыратын болсақ, ол сызықтар ішкі теңдеумен
берілген , жазықтығы қисық D облысында жатқан
осы теңдеумен берілген ең кіші мәнін аламыз.
нүктелеріне параметрі жауапты. және беттерінің
ұзындықтарымен тең болады.
Сондықтан
(2)
теңдігі кез келген үшін дұрыс. және беттері
класына кіргендіктен, бірінші квадраттық форманың және
коэффициенттері үздіксіз болады. Орта туралы теореманы қолдана отырып, (2)
теңдіктен мынаны аламыз
- аралығында жататын t параметрінің кейбір мәндері болып
табылады. ұмтылғанда, мынадай теңдік аламыз
(3)
және нүктелері арқылы өтетін, және
беттеріндегі v сызықтарын қарастырсақ, мынадай теңдік аламыз
(4)
Сонымен, егер төмендегі ішкі теңдеумен берілген және
беттеріндегі қисықтың доғаларын қарастырсақ
сірә, сәйкесінше және нүктелері арқылы өтетін және
және изометриясымен қолдансақ, онда мынадай теңдік аламыз
кез келген мәндері үшін орынды. Орта туралы теореманы қолдана және
ұмтылдыра отырып, мынадай теңдік аламыз:
Бұл теңдіктен және (3),(4) теңдіктерден мынаны аламыз
(5) Теорема дәлелденді.
2.Беттің ішкі геометриясы жайында түсінік. Екі бетті алып
қараса, алынған майысумен олардың көптеген қасиеттерінің бірдей, ал
формалры әр түрлі болатынын көрсетеді. Сондықтан майысуда өзгермейтін
беттер теориясының осындай түсініктері мен фактілерін үйрену мақсатқа сай
келеді. Бұл түсініктер мен фактілер беттің ішкі геометриясының мазмұнын
құрайды.
Егер беттер класында жататын болса, жатық беттің ішкі
геометриясы тек бірінші квадраттық формаы ғана анықтайтын түсініктер мен
фактілердіүйретеді. Беттегі қисық ұзындықтары, қисықтар арасындағы
бұрыштар, облыстардың аудандары ішкі геометрияға қатысты. Гаусс теңдеуінен
гаустық беттің иілімі ішкі геометрия объектісі болып табылады және беттің
майысуларында өзгермейді деген тұжырым шығады.Бұл фактінің Гаусқа әсер
еткені сондай, ол оны жарқыраған теорема деп атады. Гаустың теоремасынан
беттегі нүктелердің типі майысуларда өзгермейді, яғни ішкі беттеріне
тиісті. Сондықтан майысумен элиптикалық нүктені параболалық немесе
гиперболалыққа аударуға болмайды.
Беттердің ішкі геометриясы түсінігін Гаусс енгізген.
§6.Беттегі қисықтың геодезиялық иілімі.
1. Геодезиялық иілімдерді анықтау. бетіндегі класының
-жатық қисық түрінде берілген деп есептейік. – Х
нүктесіндегі -ға жанама бірлік вектор, ал - Х нүктесіндегі
бетіне нормаль, - қисығының нүктесіндегі иілім
векторы, - қисығының натурал параметрі.
Х нүктесіндегі ортонормаланған базисін қарастырайық
(1-сурет). Онда
Х нүктесіндегі қисығының иілім векторын базисі бойынша
жіктейміз. болғандықтан, бұл жіктеу мынадай түрде болады:
,
(1)
одан,
(2)
және
(3) екені белгілі.
ені нүктесіндегі
қисығының геодезиялық иілімі деп
аталады және -мен белгіленеді.
Осылайша
Френенің бірінші формуласынан
(4) 1 - сурет
теңдеу аламыз.
Бұдан, иілім векторы
,
онда нормаль иілімінің векторы деп аталады,ал -геодезиялық
иілімнің векторы деп аталады. Х нүктесіндегі қисығының нормалі және
геодезиялық иілімнің модулі осы вектордың ұзындығымен сәйкес болады.
(5)
Геодезиялық иілімнің геометриялық мағынасын қарастырсақ, келесі теоремаға
келеміз.
Теорема1. класының бетінде класының қисығы
жатсын және қисығының Х-кейбір нүктесі болсын. бетіндегі Х
нүктесінде жанасушы жазықтыққа -ортогональдық проекция болсын.
Онда Х нүктесіндегі қисығының геодезиялық иілімінің абсолюттік еніне
тең ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz