Антье функциясына берілген теңдеулерді шешу

Кейбір математикалық олимпиадаларда белгісізі жақша ішінде орналасқан шеңдеулерді шешу кездеседі: [x]. Мұндай жазу нені білдіретінін және мұндай өрнектермен келген теңдеулердің алай шығарылатынын қарастырайық.
Нақты сан х – тің бүтін бөлігі деп (немесе антье – функйиясы, антьте деп) х – артық болмайтын ең үлкен бүтін санды айтамыз.
Анықтамадан шығатыны [x]≤x<[x]+1, бұл мына теңсіздікке мәндес: 0≤x-[x]-1.
Антье [x] немесе E[x] деп, мұндағы Е – француздың entire – бүтін сөзінің алғашқы әрпімен белгіленеді.
Кейбір сандардың бүтін бөліктерін табуға мысалдар келтірейік: [2,6]=2;[-3,4]=-4;[√3]=1;[π]=3;[sin〖247〗^0 ]=-1.
у=[x] функсицсының графигін санның бүтін бөлшегінің анықтамасын қолданып салуға болады.
Санның бүтін бөлігі арқылы теңдеулерді шешудің негізгі тәсілдерін қарастырайық
1 – мысал. Теңдеуді шешіңдер: [x]=-x.
Шешуі: теңдеудің сол жағы тек бүтін мәндер қабылдайтындықтан, теңдеудің оң жақ бөлігі де бүтін мәндер қабылдауы тиіс. Сондықтан айнымалы х тек бүтін мәндер қабылдайды. Онда теңдеу х=-x түріне келеді. Бұдан х=0.
Демек, берілген теңдеудің шешімі нольге тең.
Жауабы: 0
2 – мысал. Теңдеуді шешіңдер: [x]=-5.
Шешуі: -5 бүтін сан болғандықтан, санның бүтін бөлігінің анықтамасы бойынша -5≤x≤4 болады.
Демек, берілген теңдеудің шешімі мынаған тең: [5;4).
Жауабы: [5;4).
3 – мысал. Теңдеуді шешіңдер: [(5+6x)/8]=(15x-7)/5.
Шешуі: t=(15x-7)/5, мұндағы tϵz деп белгілейік. Бұдан алатынымыз x=(5t-7)/15 сонда берілген теңдеу мына түрге келеді: [(10t+39)/40]=t. Антьенің анықтамасынан шығатыны: 0≤(10t+39)/40-t<1.
Осы қос теңсіздікті шешіп табатынымыз: -1/30