Комплекс айнымалы функцияларының туындылары, аналитикалық қасиеттері және конформдық бейнелеу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

;

функциялары орындалады және барлық тригонометриялық формулалар орындалады:

; и т. д.

Гиперболалық функциялар нақты аргументтің функциялары тәрізді анықталады:

;

Бұлар тригонометриялық функциялармен былай байланысады:

; ;

(өздерің тексеріңдер) .

5 ⁰ . функциялары сәйкес , , , функцияларына кері функциялар ретінде анықталады, және де олардың бәрі де көп мәнді функциялар.

Дәлелдеңдер: , , , .

§14. 2 Комплекс айнымалылы функцияның туындысы

Z облысының бір мәнді функциясын қарастырамыз.

Анықтама. Егер

(2)

ақырлы шегі бар болса, онда ол шек функциясының туындысы деп аталады және былай белгіленеді:

Бұл шек ∆ z -тің нөлге қалай ұмтылғанына тәуелсіз.

Анықтама. Z облысының нүктесінде үзіліссіз туындысы бар функциясы осы облыстың аналитикалық функциясы деп аталады.

Шектің қасиеттері негізінде туындының негізгі қасиеттері шығады.

Қасиеттері:

,
,
.
Егер күрделі функциятүрінде берілсе, мұнда- комплекс айнымалы функция, және туындыларыменбар болса, онда мына формула орынды:

14. 2. Функциялардың туындыларының кестесі. 1. , мұндағы n - бүтін сан. Туындысын табамыз, ол үшін функцияның өсімшесін анықтаймыз:

Сонда туынды мынаған тең:

Көрсеткіштік және тригонометриялық функцияларды қарастырамыз:

;

Бұл қатарлар z- ң кез келген мәндерінде жинақты, . Осының негізінде бұл қатарларды дифференциалдауға болады.

Оң бөлігі Маклорен қатарына дәл келеді ( -ң жіктелуі) . )

Осы тәрізді қалған қатарларды да дифференциалдаймыз:

; яғни .

5. .

6. .

7. ,

; , ,

(өздерің табыңдар) .

14. 2. 2 Нөлге тең емес туындының геометриялық кескіні. Комплекс сандар жазықтығын және оның Z нүктесін қарастырамыз.

z+∆zy0 x:

z+∆z

0 x

Zоблысының басқаz+∆zнүктесін аламыз.w=f(z)- функциясы осыZжазықтығын басқа бірWжазықтығына бейнелейді, яғниzнүктесін→ wнүктесіне,z+∆zнүктесін→w+∆w-нүктесіне көшіреді.:

Z облысының басқа z+∆z нүктесін аламыз. w=f(z) - функциясы осы Z жазықтығын басқа бір W жазықтығына бейнелейді, яғни z нүктесін → w нүктесіне,

z+∆z нүктесін → w+∆w- нүктесіне көшіреді.

z+∆zy0 x:

w+∆w

w W

0 u

Туындысын қарастырамыз:

Equation. 3 .

Шектер туралы негізгі теоремалар бойынша:

ақырсыз аз шама.

; ;

- функция өсімшесінің бас мәні.

туындысын көрсеткіштік функция түрінде береміз:

f ′(z) =re ^iϕ .

Бас мәнінің берілуінен мынаны аламыз:

∆w ≈ r∙ρe ^i(φ+θ) .

Функцияның өсімшесінің аргументі сол θ және кейбір ϕ бұрышы, ал ол ∆z- ң аргументі болып табылады: .

Анықтама. Егер Z облысының барлық нүктелерінде нөлден өзге үзіліссіз туындысы бар болса, онда бейнелеу конформдық деп аталады. Бұл бейнелеуде екі жатық қисық арасындағы бұрыш өзгермейді.

w=f(z) аналитикалық функциясы жәрдемімен орындалған бейнелеу конформдық болып табылады.

yF2F1θzx:

F ₂

F ₁