Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы

Кіріспе . . . . . . . . . . . .
І. Теориялық бөлім . . . . . . . . . .
1.1 Сызықты кеңістік . . . . . . . . .
1.2 Метрикалық кеңістік . . . . . . . .
1.3 Нормаланған кеңістік . . . . . . . .
1.4 Гильберт кеңістігі . . . . . . . . .
1.5 Сызықты оператор . . . . . . . . .
1.6 Түйіндес оператор . . . . . . . . .
ІІ. Гиперболалық түрдегі теңдеулер . . . . . . .
2.1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің
классификациясы . . . . . . . . .
2.2 Даламбер формуласы және оның мысалдары . . . .
2.3 Толқындық теңдеудің тарихы . . . . . . .
2.4 Біртекті және біртекті емес толқындық теңдеулер . . . .
2.5 Фурье түрлендіруі және айналу формуласы
2.6 Айнымалыны ажырату әдісі немесе Фурье әдісі . . . .
ІІІ. Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі
туралы . . . . . . . . . . .
ІV. Қорытынды . . . . . . . . . . .
V. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . . . . .

Дипломдық жұмысымның тақырыбы «Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы». Дипломдық жұмыс математикалық физика теңдеулері және функционалдық анализ пәні бойынша жазылған. Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімін табу тақырыптың өзектілігі болып табылады. Бұл дипломдық жұмыстың негізгі мақсаты шектелген облыста толқындық теңдеуді шешімін таба отырып, теоремаға келу. Сонымен қатар біртекті емес теңдеуді біртекті теңдеу арқылы шешу жолдарын зерттеу болып табылады.
Дипломдық жұмысым үш бөлімнен тұрады. Кіріспе, бірінші бөлім - теориялық бөлім. Бөлім функционалдық анализ пәніне байланысты керекті анықтамалар мен теоремалар жазылған. Олар: сызықты кеңістік, метрикалық кеңістік, нормаланған кеңістік, гильберт кеңістігі, сызықты оператор, түйіндес оператор. Екінші бөлімнің тақырбы гиперболалық түрдегі теңдеулер. Бұл бөлім алты тақырыпшадан тұрады: екінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің классификациясы, Даламбер формуласы және оның мысалдары, толқындық теңдеудің тарихы, біртекті және біртекті емес толқындық теңдеулер, Фурье түрлендіруі және айналу формуласы, айнымалыны ажырату әдісі немесе Фурье әдісі. Бұл бөлімде мен жұмысымды толықтай ашу үшін қажетті мағлұматтарды жаздым. Ал үшінші бөлімнің тақырыбы шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы, яғни қорытынды бөлім. Осы бөлімдерді зерттей отырып, қорытынды жасадым. Және де тақырыпты ашу үшін қолданылған әдебиеттер тізімін жаздым.

1. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский Уравнения математической физики. М., Наука. 1977 – 50, 58, 82 бет.

2. Ә.Сейдалиева, Т.Айнабеков. Математика есептерінің жинағы. Алма-
ты. Мектеп. 1987 – 56 бет.

3. Информатика, математика, физика. Ғылыми әдістемелік журналы.
№3.2001 – 30 бет.

4. Математика және физика. Ғылыми әдістемелік журналы. №1.2009
192 бет.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:

Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы
тақырыбына жазылған М - 28 - 1 тобының білімгері Рысбаева Динараның
дипломдық жұмысына

АННОТАЦИЯ

Бұл дипломдық жұмыста шектелген облыста берілген біртекті емес
толқындық оператордың шешімін табу мақсатында екінші ретті дербес туындылы
дифференциал теңдеудің классификациясының маңызы, Даламбер формуласы және
оның мысалдары, толқындық теңдеудің тарихы, сондай-ақ біртекті және
біртекті емес толқындық теңдеулері және айнымалыны ажырату немесе Фурье
әдістеріне талдау жүргізілген.

Дипломдық жұмыс 3 бөлімнен, 7 сызбадан және 50 беттен тұрады.

АННОТАЦИЯ

На дипломную работу студента группы М - 28 - 1 Рысбаевой Динары на
тему Оценка и его совершенствовать систем управления формирование рынка
труда в регионе (на примере данных отдела Трудоустроиства и социальных
программ акимата Т.Рыскуловского района Жамбылской области)

В данной дипломной работе рассмотрено научный-теоретичная сущность в
период рыночных отнашений в регионе рынка труда и управления значения и
спрос, предложения и особенности равенства рынке труда, а также проведен
анализ выполнения плана структуры местного рынка и основной социально-
экономическое состояние в регионе покозателей динамики. На основе
проведенного анализа предложены совершенствовать механизмы управления от
государства в регионе рынка труда и снижать уровня безработицы повысить
рациональность местных жителей с помощью экспертного метода.

Дипломная работа состоит из 3 разделов, 7 графиков и 50 страниц.

Мазмұны

Кіріспе . . . . . . . . . . .
.
І. Теориялық бөлім . . . . . . . . . .
1.1 Сызықты кеңістік . . . . . . . . .
1.2 Метрикалық кеңістік . . . . . . . .
1.3 Нормаланған кеңістік . . . . . . . .
1.4 Гильберт кеңістігі . . . . . . . . .
1.5 Сызықты оператор . . . . . . . . .
1.6 Түйіндес оператор . . . . . . . . .
ІІ. Гиперболалық түрдегі теңдеулер . . . . . . .
2.1 Екінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің
классификациясы . . . . . . .
. .
2.2 Даламбер формуласы және оның мысалдары . . . .
2.3 Толқындық теңдеудің тарихы . . . . . .
.
2.4 Біртекті және біртекті емес толқындық теңдеулер . .
. .
2.5 Фурье түрлендіруі және айналу формуласы
2.6 Айнымалыны ажырату әдісі немесе Фурье әдісі . . .
.
ІІІ. Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі
туралы . . . . . . . . . . .
ІV. Қорытынды . . . . . . . . . . .
V. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . . . . .

Кіріспе

Дипломдық жұмысымның тақырыбы Шектелген облыста берілген толқындық
оператордың шешімі туралы. Дипломдық жұмыс математикалық физика теңдеулері
және функционалдық анализ пәні бойынша жазылған. Шектелген облыста берілген
толқындық оператордың шешімін табу тақырыптың өзектілігі болып табылады.
Бұл дипломдық жұмыстың негізгі мақсаты шектелген облыста толқындық теңдеуді
шешімін таба отырып, теоремаға келу. Сонымен қатар біртекті емес теңдеуді
біртекті теңдеу арқылы шешу жолдарын зерттеу болып табылады.
Дипломдық жұмысым үш бөлімнен тұрады. Кіріспе, бірінші бөлім -
теориялық бөлім. Бөлім функционалдық анализ пәніне байланысты керекті
анықтамалар мен теоремалар жазылған. Олар: сызықты кеңістік, метрикалық
кеңістік, нормаланған кеңістік, гильберт кеңістігі, сызықты оператор,
түйіндес оператор. Екінші бөлімнің тақырбы гиперболалық түрдегі теңдеулер.
Бұл бөлім алты тақырыпшадан тұрады: екінші ретті дербес туындылы
дифференциал теңдеудің классификациясы, Даламбер формуласы және оның
мысалдары, толқындық теңдеудің тарихы, біртекті және біртекті емес
толқындық теңдеулер, Фурье түрлендіруі және айналу формуласы, айнымалыны
ажырату әдісі немесе Фурье әдісі. Бұл бөлімде мен жұмысымды толықтай ашу
үшін қажетті мағлұматтарды жаздым. Ал үшінші бөлімнің тақырыбы шектелген
облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы, яғни қорытынды бөлім.
Осы бөлімдерді зерттей отырып, қорытынды жасадым. Және де тақырыпты ашу
үшін қолданылған әдебиеттер тізімін жаздым.
Даламбер операторы (толқындық оператор) — екінші ретті дифференциалдық
оператор

Ол Ж.Д’аламбер атымен аталған (J. D’Alembert, 1747). Даламбер
бірөлшемді толқындық теңдеу үшін оның қарапайым түрін қарастырған.
Электродинамикада, акустикада және толқынның таралуының басқа да
есептерінде пайдаланылады. Даламбер операторы кез келген өлшемді толқындық
теңдеуде шығады, және оның негізін құра отырып, тағы сол сияқты Клейна –
Гордона - Фока теңдеуі де шығады.
Математикада толқындық теңдеу – дербес туындылы сызықты
гиперболалық дифференциалдық теңдеу.
Екінші ретті дербес туындылы гиперболалық түрдегі теңдеу
тербелістің процесстерімен байланысты физикалық есептерде жиі кездеседі.
Қарапайым гиперболалық түрдегі теңдеуді струнның тербеліс теңдеуі деп
атайды.

(1)
теңдеудің шешімі толқын деп, ал (1) теңдеудің өзі толқындық деп аталады.
(1) теңдеуге сәйкес келетін сипаттамалық формасы мынадай
түрде болғандықтан

ол гиперболалық түрдегі теңдеу болып табылады.

І - бөлім. Теориялық бөлім

1.1. Сызықты кеңістік

Сызықты кеңістіктің түсінігі қазіргі математиканың маңызды түсінігінің
бірі болып табылады. Жазықтықта немесе үш өлшемді кеңістікте барлық
вектордың жиынтығы, әртүрлі функциялар жиындарында (функционалдық кеңістік)
сызықтылықтың тек сол бір жалпы қасиетін сипаттауға болатыны өте маңызды.
Математикада қабылданған аксиоматикалық қадаммен, сызықты кеңістіктің жалпы
түсінігін анықтайтын, аксиома жүйесінде осы қасиеттен негізгілері
ерекшеленеді.
А н ы қ т а м а. Егер келесі екі операция анықталса, онда Е жиынының
элементтері сызықты кеңістік деп аталады.
1. Қосынды деп аталатын, анықталған элементі әрбір екі
элементке сәйкесінше қойылған.
2. анықталған элементке – элементін скалярына
көбейтіндісі кез келген және кез келген үшін келесі қасиеттер
орындалатын әрбір элементіне және әрбір (скалярға) санға
сәйкесінше қойылған:
1)
2)
3) болатындай, элементі бар болады;
4)
5) (сол жағында 0 - скаляр, ал оң жағында Е
жиынының элементі);
6)
7)
Сызықты кеңістікте сандық (скаляр) көбейткіш ретінде нақты
немесе комплекстік сандар алынады. Бірінші жағдайда Е нақты сызықты
кеңістік деп аталады, ал екіншіде – комплексті сызықты кеңістік деп
аталады. Барлық элементі үшін барлық Е сызықты кеңістігінде қарама-
қарсы элементін анықтауға болады, бұл дегеніміз, элементтерді
азайту операциясы. Анықтама бойынша қоямыз. Сонда, 5) және 7)
аксиомаға сүйеніп,

аламыз. Ары қарай айырымы деп мына өрнекті

түсінетін боламыз. Енді сызықты кеңістіктің анықтамасынан шығатын, кейбір
жай зерттеулер келтіреміз.
1-з е р т т е у. Нөлдік элемент жалғыз.
Д ә л е л д еу. және - Е-дегі нөлдер деп ұйғарамыз; сонда
( 3) аксиомаға сүйеніп). Бұдан, 1) аксиома бойынша, .
2-з е р т т е у. Егер болса, мұндағы , онда
Д ә л е л д е у. теңдіктің екі жағында -ке көбейтіп,
аламыз. Егер болса, онда бұдан, 4) аксиома бойынша қарама-
қайшылық алынды. Сондықтанда,
3-з е р т т е у. Егер және болса, мұндағы , онда

Д ә л е л д е у. теңдіктің екі жағында -ке көбейтіп,
аламыз. Егер болса, онда бұдан
М ы с а л д а р: . Барлық мүмкін векторлар жиыны (үш өлшемді
кеңістікте, жазықтықта немесе түзуде) сызықты кеңістікті жасайды. Вектордың
қосындысы параллелограммның ережесі бойынша анықталатынын, ал
векторының нақты санына көбейтіндісі векторы арқылы
анықталатынын еске түсіреміз, егер және оған қарама-қарсы
болса, оның ұзындығы ұзындығына көбейтіндісі, ал бағыты
бағытына дәл келеді. Сызықты кеңістіктің аксиомалары – бұл векторлармен
атақты операция қасиеттері.
Осылайша, сызықты кеңістіктің элементтері міндетті түрде жалпыланған
векторлар ретінде қарастырылады. Сызықты кеңістік терминінің орнына
векторлық кеңістік термині де қолданылады. Ары қарай, сызықты кеңістіктің
элементтерін айтқанда, біз оны вектор деп те атайтын боламыз.
. жиынын барлық мүмкін нақты сандарынан реттелген
терулермен қарастырамыз.

сандарын бағандарының координаталары деп атаймыз.
бағандарының қосындысынан бағанды түсінетін боламыз, олардың координаталары
- және бағандарына сәйкес келетін координата, яғни
бағаннан бағанын түсінетін боламыз, мұндағы - нақты сан. Нөлдің
рөлін бағаны ойнайды. Бағандар операциясы координаттар операциясына,
яғни сызықты кеңістік аксиомалары тривиальді орындалатын нақты сандарға
келтірілетіндіктен, осы аксиомалар бағандарға да орындалады. Осылайша,
сызықты кеңістік болып табылады.
Комплекстік сандар бағандарын комплекстік сандарға көбейтіп
қарастыруға болады. Қорыта келгенде бағандардың комплексті сызықты
кеңістігін аламыз.
Енді функцияның сызықты кеңістігіне мысал қарастырамыз. Алдымен
кейбір жалпы ескертулер жасаймыз. - кез келген табиғаттың кейбір
жиынының элементтері және әрбір -ға Е сызықты кеңістігінде
элементі сәйкес қойылған болсын, яғни анықталған облысында
функциясы және Е-де облыстың мәндері берілген. және екі
функцияның қосындысынан функциясын түсінетін боламыз.
функциясын санына көбейтіндісінен функциясын түсінетін
боламыз.
Төменде ұсынылған мысалдарда нақты немесе комплексті мәнді функция
қарастырылған, Е – нақты ось немесе комплексті жазықтық. 2 мысалдағысияқы,
осындай функциялардың операциясы нақты немесе комплексті сандар
операциясына жинақталады. деп белгілеп және сол немесе басқа
функциялар классын таңдай отырып, біз автоматты түрде сызықты кеңістіктің
аксиомаларының орындалуын аламыз, егер тек және таңдалынған
функциялар классына және -пен бірге жататын болса.

. Скалярлық элементтері арқылы ретпен барлық тіктөртбұрышты
матрицалық жиынын қарастырамыз.

операциясын анықтаймыз

Матрицалардан алынған операция сандардан алынған операцияға жинайтын
болса, онда аксиоманың дұрыстығы белгілі. Егер матрицаның және
скалярларының элементтері нақты (комплексті) болса, онда біз нақты
(комплексті) сызықты кеңістікке келеміз.

1.2. Метрикалық кеңістік

А н ы қ т а м а. қайсыбір бос емес жиын болсын. Егер кез келген
үшін нақты мәнді функция анықталып, төмендегі шарттары
орындалса,
1) және
2) (симметриялық қасиет),
3) (үшбұрыш теңсіздігі)
онда ол функцияны (шындығында функционал) жиынындағы метрика немесе
ара қашықтық функциясы деп атайды, ал саны және
нүктелерінің арасындағы ара қашықтық.
А н ы қ т а м а. Бос емес жиыны мен анықталған метрика, яғни
пары, метрикалық кеңістік деп аталады.
Осылайша, пар: жиыны мен функциясы метрикалық кеңістікті
жасайды; оны
немесе
арқылы белгілейтін боламыз, немесе егер қандай метрика екендігі белгілі
болса, онда жай арқылы белгілейміз.
Егер 3)-ке қойсақ, онда 1) және 2) ескере отырып, аламыз,
яғни ара қашықтық функциясы - өзінің аргументтерінің теріс емес функциясы.
Көрсетілген үш қасиет метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп
аталынады.
Бір жиында бірнеше метрика анықтап, бірнеше метрикалық кеңістік алуға
болады.
Жиі кездесетін метрикалық кеңістікке мысалдар келтіреміз.
М ы с а л д а р. . ( өлшемді кеңістік) болсын. Егер
және бұл кеңістіктің кез келген екі нүктесі болсы, онда
метрикасын мына өрнекпен

анықтауға болады, себебі жоғарыдағы шарттарын қанағаттандырады. Олай
болса, - метрикалық кеңістік.
. Егер пен нүктелері берілген болса, онда ара
қашықтығын

өрнегі бойынша да анықтауға болады. Олай болса, - метрикалық
кеңістік.
. - нақты сандар жиыны болсын, пен
нүктелерінің ара қашықтығын өрнегі бойынша анықтауға болады. Мұндағы
барлық үшін анықталған, екі рет үзіліссіз дифференциалданатын,
монотонды өспелі және болатын функция. Бастапқы 1), 2)
қасиеттерін тексеру қиын емес, ал үшбұрыш теңсіздігі қатынасынан
шығады. Сондықтан метрикалық кеңістік. Егер деп алсақ, онда

өрнегі де 1) – 3) шарттарын қанағаттандырады. Олай болса, -
метрикалық кеңістік. Бұл жағдайда
.
. Комплекс сандар жазықтығындағы радиус бірге тең ашық
дөңгелектің екі нүктесі - мен нүктелерінің ара
қашықтығын

өрнегімен анықтауға болады. Метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындалуы
себепті бұл метрикалық кеңістік.
Бастапқы үш мысалдағы кеңістіктер векторлық (сызықтық) кеңістіктер
болса, соңғы мысалдағы кеңістігіміз сызықты емес метрикалық кеңістік.
. ; бұл жиынның нүктелері

шартын қанағаттандыратын (яғни абсолют жинақталатын қатарлар) сан
тізбектері. Егер (мұндағы болса, онда метриканы

өрнегімен анықтауға болады. Бұл жағдайда да бастапқы екі қасиет оңай
тексеріледі, ал үшіншісін былай тексеруге болады. Егер және
болса, онда кез келген үшін
теңсіздігінен шекке көшу арқылы теңсіздігін алуға болады. Олай
болса, - метрикалық кеңістік. Кейде бұл кеңістікті арқылы ғана
белгілейтін боламыз.
. болсын. Бұл жиынның нүктелері

шартын қанағаттандыратын сан тізбектері.
Метриканы

өрнегімен анықтауға болады.
. болсын. Бұл жиынның нүктелері , шартын
қанағаттандыратын сандар тізбегі. Егер , шартын
қанағаттандыратын екінші бір кез келген сандар тізбегі болса, онда
метриканы өрнегі бойынша алуға болады, себебі теңсіздігінен
оның мағынасы болатыны шығады. Метриканың 1) – 2) аксиомалары бұл
жағдайда да тез тексеріледі, ал 3) аксиомасын теңсіздігінен
алуға болады. Сонымен - метрикалық кеңістік, оны шектелген сан
тізбектері кеңістігі деп атайды.
А н ы қ т а м а. Егер оның толықтыруы ашық болса, онда метрикалық
кеңістікте жиын тұйық деп аталады.
А н ы қ т а м а. және метрикалық кеңістіктегі екі
жиын болсын. Егер болса, онда -да жиыны тығыз деп аталады.
Егер болса, онда -та жиыны барлық жерде тағыз деп аталады.

1.3. Нормаланған кеңістік

А н ы қ т а м а. векторлық кеңістігінің әрбір элементіне теріс
емес нақты санды сәйкес қоятын ережені арқылы белгілеп, ол
төмендегідей шарттарды (аксиомаларды):
1) және ;
2) ;
3)
қанағаттандырса, онда ол ереже норма деп, ал кеңістіктің өзі нормаланған
векторлық кеңістік деп аталады.
Теріс емес нақты санды элементінің (векторының) ұзындығы
деп қарастыруға болады. Ұзындығы бірге тең векторын нормаланған
вектор деп атайды.
Нормаланған кеңістігінде үшін өрнегімен метрика
анықтасақ, онда ол метрикалық кеңістік болады. Егер норма бойынша
анықталған метриканы пайдалансақ, онда тізбектің шегі және оның жинақталуы
мынадай:
немесе
Осыған байланысты нормаланған кеңістіктегі жинақталуды норма бойынша
жинақталуы деп атайды.
Метрикалық кеңістіктегідей нормаланған кеңістікті де бірнеше норма
анықталуы мүмкін, бұл жағдайда оларды арқылы белгілейді.
Норманың мына қасиеттерін атап өтейік: бұларды дәлелдеу қиын
емес.
Нормаланған кеңістігіндегі шар (тұйық шар)

жиындары арқылы анықталады. Бұдан нормаланған кеңістікте метрикалық
кеңістіктегі барлық түсініктердің орындалатыны шығады.
М ы с а л. элементінің нормасы
-де ,
-де
-де
-да
-да
өрнектерімен анықталады.
Басқа кеңістіктерден кеңістігінің бір айырмашылығы – онда -
ны, норманың 2) аксиомасы орындалмауына байланысты, норма ретінде
қабылдауға болмайды.
Негізгі алгебралық амалдардың нормаланған кеңістікте үзіліссіздігін
көрсетейік:
а) Егер болса, онда Шынында да,
ә) Егер болса, онда . Шынында да
Нормаланған кеңістіктің маңыздысы – тұйық векторлық, яғни өзінің
шектік нүктелерін қамтитын, ішкі кеңістіктер. Ақырлы өлшемді кеңістікте кез
келген ішкі кеңістік тұйық. Ал ақырсыз өлшемді кеңістікте, төмендегі мысал
көрсететіндей, бұл жағдай бола бермейді.
кеңістігінде бірқалыпты норма бойынша дәрежелері -нен
аспайтын көпмүшелер жиыны тұйық емес ішкі кеңістікті құрайды.
кеңістігінде нөлден ерекше ақырлы санды компоненттері бар векторлар жиынды
нормасы бойынша тұйық емес ішкі кеңістік құрады.
А н ы қ т а м а. Нормаланған кеңістігінің ішкі кеңістігі деп
оның кез келген тұйық векторлық ішкі жиынын айтады.
Нормаланған векторлық кеңістіктің мына леммадағы ішкі кеңістігінің
қасиетін Рисс ашқан.
Л е м м а. векторлық кеңістігінің, оның өзімен бірдей
болмайтын, ішкі кеңістігі болсын. Онда кез келген үшін нормасы
бірге тең элементі табылып, барлық үшін болады.
Д ә л е л д е у. ішкі кеңістігінде тиісті емес кез келген
элементін алып, деп белгілейік. Онда , себебі басқа жағдайда
жиынның шектік нүктесі ретінде -дің өзіне тиісті болар еді. Ал
бұл шарт бойынша мүмкін емес. Кез келген саны үшін элементі
табылып, төменгі шектің анықтамасы бойынша теңсіздігі орындалады.
Егер

деп белгілесек, онда және . Кез келген үшін болсын.
Онда

- векторлық кеңістік, ал болсын. Онда элементтері
жиынын түзу деп, ал элементтер жиынын мен нүктелерін
қосатын кесінді деп атайды. кеңістігінің А жиыны өзінің екі
нүктесімен қатар оларды қосатын кесіндіні де қамтитын болса, онда ол жиынды
дөңес жиын деп атайды.
Нормаланған кеңістікте шардың дөңес болу қасиеті соншалықты, тіпті
оны үшбұрыш аксиомасына ауыстыруға болады.
Шынында да, егер нөлден ерекше болса, онда . Сондықтан
(мұнда ) элементі теңсіздігін қанағаттандыруына байланысты
шарының нүктесі болады. Егер

деп алсақ, онда

бұдан үшбұрыш теңсіздігі шығады.
Енді нормаланған кеңістікте бірнеше нормалар анықталған жағдайды
қарастырайық.
А н ы қ т а м а. Векторлық нормаланған кеңістігінде және
нормалары берілсін. Егер -тегі норма бойынша жинақталатын
кез келген тізбек норма бойынша да жинақталатын, және керісінше де,
болса, онда және нормаларын өзара эквивалентті нормалар деп
атайды.
Т е о р е м а. Ақырлы өлшемді векторлық кеңістікте кез келген екі
норма өзара эквивалентті. Ондағы қарастырылып отырған норма бойынша тек
жалғыз ғана ашық жиындар, тұйық жиындар т.т. жүйесі бар болады.
Дәлелдеу. Нормалардың эквиваленттігі транзитивті болуынан кез келген
норма Евклид нормасына

(мұндағы кейбір базасындағы векторының координаттары)
эквивалентті болатынын көрсету жеткілікті.
Кез келген үшін (1) (), кез келген үшін
табылып, теңсіздіктері орындалатынын көрсетейік.
Қарсы жорып тізбегі үшін теңсіздігі орындалсын делік.
Егер деп белгілесек, онда

(2)
болады. Сондықтан кез келген үшін
Евклид кеңістігіндегі шар жинақы болатынынан тізбегінен
жинақталатын тізбекше бөліп алуға болады. Жаңадан белгілеулер енгізбеу үшін
сол тізбегінің өзі кейбір векторына жинақталады деп есептейміз.
Бұл жағдайда

(2) теңдікті шекке көшсек, онда шығады да . Бірақ (1) теңсіздік
бойынша болады. Ал екінші жағынан

болады да Шыққан қайшылық теореманы дәлелдейді.
Метрикалық кеңістіктің маңызды қасиеттерінің бірі оның толық болуы.
Сәйкес түсінік нормаланған кеңістікте де бар.
А н ы қ т а м а. Нормаланған толық векторлық кеңістікті Банах
кеңістігі немесе В кеңістігі деп атайды. Кейде мұндай кеңістікті В типтес
кеңістік деп те атайды.

1.4. Гильберт кеңістігі

1 - анықтама. Келесі қасиеттерді иемденетін жиынының
элементтері Гильберт кеңістігі деп аталады
1) сызықты кеңістік болып табылады, яғни -та
элементтерді құру амалдары және оларды нақты немесе комплексті сандарға
көбейту анықталған (осыған тәуелді нақты немесе комплексті кеңістік
деп аталады);
2) -та скалярлы көбейтінді енгізілген, яғни аксиомаларды
қанағаттандыратын және аргументтер парынан сандық
функция:
а) Кез келген саны үшін ;
б) ;
в) , мұндағы сызық комплексті түйіндесті білдіреді;
г) үшін ; үшін ;
3) ара қашықтығына қатысты толық метрикалық
кеңістік болып табылады, мұндағы кез келген элементі үшін оның
нормасы қатынастан анықталады.
Кейбір мысалдар келтірейік.
М ы с а л д а р. . Гильберт кеңістігінің қарапайым мысалы
болып шекті өлшемді сызықты кеңістігі табылады, егер онда 1-
анықтамадағы 2 аксиоманы қанағаттандыратын болса.
. Элементтері , сандар тізбегі болып табылатын,
кеңістігін қарастырамыз. Бұл кеңістікте сызықты операция міндетті
түрде анықталады: егер болса, онда , мұндағы және -
кейбір сандар.
Бұл кеңістікке

формула бойынша элементтерінің скалярлы көбейтіндісін енгіземіз.
Коши – Буняковский теңсіздігі бойынша

аламыз. Сондықтанда скалярлы көбейтіндіні берілген ереже бойынша енгізуге
болады. Және сол сияқты скалярлы көбейтіндінің барлық аксиомаларының
дұрыстығына көз жеткізу қиын емес.
Осылайша, - гильберт кеңістігі.
. кесіндісінде Лебег функциясы бойынша модульдің
квадратымен интегралданатын жиынын қарастырамыз. Жиындардың өлшемін
Лебег бойынша интегралдағанда нөлді елемеуге болатын болғандықтан,
шындығында да өзара эквивалентті функциялар классы болып табылады.
Бұл кеңістікте сызықты операцияны енгізуге болады – қарапайым
функцияны құру және функцияны санға көбейту.
Бұл кеңістікте скалярлы көбейтінді
мұндағы
ереже бойынша енгізіледі.
Егер болса, онда теңсіздіктен көбейтінді де
тиісті екендігі шығады. Скалярлы көбейтіндінің аксиомасы тікелей
нәтиже бойынша Лебег интегралының қасиетінен тексеріледі. Осылайша, -
гильберт кеңістігі.
. - нормаланған кеңістік болсын. Бұдан мынадай сұрақ
туады: қандай қосымша шарттармен кейбір скалярлы көбейтінді анықталатын
-да норма қанағаттандыруы қажет? Ол үшін кез келген және
екі элементтер үшін

теңдігі орындалатыны қажетті және жеткілікті. Бір жағынан бұл бекіту
тікелей тексеріледі. Керісін көрсету үшін ережесі бойынша берілген
функциясын қарастырамыз және егер алдынғы теңдік орындалатын болса,
онда функциясы скалярлы көбейтіндінің барлық аксиомасын
қанағаттандырады.
гильберт кеңістігінде Коши-Буняковский теңсіздігі маңызды
орынға ие. Оның дәлелдеуі қазір көрсетіледі. Айталық - нақты сан
болсын. Егер қоятын болсақ, онда болғандықтан,

аламыз.
Зерттей келе, осындай квадратты үшмүшенің ( қатысты)
әртүрлі нақты түбірлері бар болмайды. Сондықтанда оның дискриминанты оң
болмайды, яғни

Осылайша, ( жағдайда да)

немесе
.
Алынған теңсіздігіміз Коши-Буняковский теңсіздігі деп аталады. Теңдіктің
белгісі немесе тривиальды жағдайға жақын, сонда тек сонда ғана,
егер кейбір мән үшін болса, яғни және векторлары
коллинеарлы болғанда.
Коши-Буняковский теңсіздігін қолдана отырып, және
ара қашықтығы норма аксиомасы мен ара қашықтықты сәйкесінше
қанағаттандырады.
Ол үшін және үшбұрыштар теңсіздігін тексеру ғана
қажет (немесе дәл сол сияқты ). Бірақ бұл теңсіздіктер Коши -
Буняковский теңсіздігінің зерттеуі болып табылады.
Гильберт кеңістігінде метриканың қолма қолдығы шекке көшумен
байланысты түсінікті қарастыруға мүмкіндік береді.
скалярлы көбейтінді және екі айнымалыдағы
үзіліссіз функция болып табылады. Шынында да, Коши - Буняковский
теңсізідігі бойынша

аламыз, мұндағы

Сондықтан үшін , бізге керегіде осы етін.
Скалярлы көбейтінді -та векторлар нөлден екі өте жақсы
арасында косинус бұрышының түсінігін енгізуге мүмкіндік береді ( -
нақты кеңістік):

Косинус бұрышының түсінігі екі векторды ортогональды деуге мүмкіндік
береді, егер олардың арасындағы косинус бұрышы нөлге тең болса.
Басқаша айтқанда, егер болса, онда нақты және комплексті
кеңістіктің және векторлары ортогональды деп аталады. Екі
ортогональды векторларды белгілеу үшін символы қолданылады.
Егер және - -тағы ішкі жиын болса, онда
символы кез келген және үшін көрсетеді.
Егер векторы векторларымен ортогональды болса, онда
ол ортогональды және олардың сызықты комбинациясы . Егер
векторлары және векторларға ортогональды болса, онда
векторы да векторға ортогональды.
Шынында да, скалярлы көбейтіндінің үзіліссіздігі арқылы

аламыз, бізге керегі осы.
Айтылғаннан векторларының ортогональдығы барлық
векторлардың жиынтығы тұйық сызықты көпбейне жасайтынын көреміз, яғни
жиынға ортогональды толықтыру деп аталатын ішкі кеңістік.
Егер және векеторлары ортогональды болса, онда
келесі теңдікті тексеру оңай: - Пифагор теоремасы немесе жалпы
қатынас:
егер болса, онда
Гильберт кеңістігінде векторлардың ортогональды жүйесі маңызды
орын алады. Мұндай жүйені алу үшін берілген ортогональды емес жүйесіне
ортогонализациялау әдісін қолданады – ол Шмидт әдісі.
-та кейбір элементтерінің тізбегін аламыз, олардың
әрқайсысы сызықты тәуелсіз.
Оны ортонормаланған тізбекпен ауыстыруға болатынын
көрсетеміз, яғни және әрбір элемент нөмірлерімен
элементінің сызықты комбинациясын көрсетеді және керісінше, әрбір
элементтерінің сызықты комбинациясы болады:

Құруды индукция бойынша енгізетін боламыз. қоямыз, сонда
. -ден айырымы векторына ортогональды болатын кейбір
сандық жиынмен элементін есептейміз: . Зерттей келе, -
ған тең ғып таңдалуы керек.
және болғандықтан, ал зерттей келе, және
сызықты тәуелсіз болса, онда және біз қоямыз. Сонымен
қатар, және -дің сызықты комбинациясы болатынын көреміз;
және керісінше, және арқылы сызықты өрнектеледі. Жоғарыда
көрсетілген жүйесінің құруы индукция бойынша аяқтау оңай.
Келесі анықтаманы береміз.
2 – а н ы қ т а м а. Егер ол барлық кеңістікті туғызса, онда
гильберт кеңістігінің жүйесін біз -та толық деп атаймыз, яғни
егер кез келген элемент бұл системаның элементтерінің сызықты
комбинациясы норма бойынша нақты жуық болса.

1.5. Сызықты оператор

нормаланған векторлық кеңістер, ал , сәйкес
пен -тегі кейбір жиындар болсын. Егер әр үшін қайсыбір
векторы сәйкес қойылып бұл векторлар кемінде бір векторының
бейнесі болса, онда -тегі жиынға түрлендіретін, анықталу облысы
мәндер облысы болатын оператор берілді дейді.
Егер болса, онда -тегі оператор деп аталады.
Егер , және
1)
2)
шарттары орындалса, онда ол операторларды өзара тең деп атап арқылы
белгілейді.
Егер болса, онда оператордың мәндері сан болады, мұндай
операторды функционал деп атайды. Функционалды бұрынғыша , арқылы
белгілейміз.
Егер 1) , 2) шарттары орындалса, онда
операторын -ның жалғасы, ал операторын -ның тарылуы деп
атайды. Егер операторы -ның жалғасы (онда -ның
тарылуы) болса, онда немесе деп жазады.
Операторды қарастырған кезде біз негізінен екі жағдайды
қарастыратын боламыз:
1. Оператордың анықталу облысы жиынымен беттеседі

Бұл жағдайда операторы барлық жерде анықталған.
2. операторының анықталу облысы жиынының ішкі
жиыны. Бұл жағдайда операторы барлық жерде тығыз.
М ы с а л ы: . , мұндағы -
аралығында анықталған үзіліссіз дифференциалданатын функциялар жиыны
болсын. Бұл жағдайда , ал -ны жиынына түрлендіреді.
. Бұрынғыдай , ал ; , яғни
оператордың анықталу облысы аралығында үзіліссіз дифференциалданатын,
оның шеткі нүктелерінде мәндері нөлге тең функциялар жиыны болсын. Бұл
оператор да алдыңғы мысалдағыдай кеңістігін жиыны түрлендіреді.
-мысалдағы операторы осы мысалдағы операторының жалғасы
немесе операторы -ның тарылуы.
Егер операторы барлық және үшін ,
шарттарын қанағаттандырса, онда операторын сызықты оператор деп
атайды.
Операторларға амалдар қолдану. а) Операторларды қосу.
-ті -тегі жиынға түрлендіретін және операторларының
қосындысы деп, -ті -тегі жиынға түрлендіретін, ал анықталу облысы
1) ; 2) шарттарын қанағаттандыратын, оператор аталады да, ол
арқылы белгілейді.
ә) Операторды санға көбейту. операторының санына
көбейтіндісі деп, -ті -тегі жиынға түрлендіретін және 1) ;
2) шарттарымен анықталатын оператор аталады да, ол арқылы
белгіленеді.
Анықталған амалдың , , сияқты қасиеттері бар.
Мысалға бірінші қасиетті тексерейік. Анықтауымыз бойынша ,
, сондықтан . Оның үстіне болғанда . Бұл қатыстардан
операторлар теңдігінің анықтамасы бойынша
б) Операторлардың көбейтіндісі. операторлары -ті
-тегі жиынға түрлендірсін. және операторларының
көбейтіндісі деп анықталу облысы болатын векторлары тек солар
үшін ғана болатын және , теңдігі бойынша анықталатын
оператор аталады да ол деп белгіленеді.
Анықталған амал , және, егер сызықты оператор
болса, онда теңдіктерін қанағаттандыратынын тексеруге болады.
Егер оператры шарттарын қанағаттандырса, онда оны
бірлік не тепе - тең оператор деп атайды.
Бұл оператор кез келген операторы үшін теңдігін
қанағаттандырады.
в) Операторлардың дәрежесі. Оператор бойынша көпмүше.
операторының әсері -те болсын, көбейтіндісін операторының
квадраты деп атап арқылы белгілейді. Одан соң көбейтіндісін
операторының кубы деп атап арқылы белгілейді. Осы әдіспен
индукция бойынша кез келген натурал сан бойынша операторының
дәрежесін анықтап, деп жазады. Бұл анықтама бойынша
, ал .
Енді арқылы көпмүшесін белгілейік. Оператордың
көпмүшесі деп теңдігімен анықталған -тегі оператор аталады.
Операторларды қосу, операторларды санға көбейту және
операторларды көбейту амалдарының қасиеттерінен қорытатынымыз: тиянақты
сызықты операторы үшін сәйкестігінің мынадай қасиеттері бар: 1)
егер болса, онда 2) егер болса, онда .
е) Кері оператор. операторы -ті -тегі жиынға
түрлендіріп, 1) ; 2) (*) шарттарымен анықталса, онда
операторы операторының кері операторы деп деп аталады.
Бұл ретте сонымен бірге 1) , 2) шарттары орындалады,
олай болса, операторы -ға кері оператор.
Шынында да, облысының бойында, барлық
облысында болады, сондықтан барлық -да болады, басқаша айтқанда,
. Енді (*) теңдіктің екі жағына бірдей операторын қолдана отырып
десек, онда теңдігін аламыз, мұнда .
операторына кері операторды арқылы белгілейді.
Сонымен кері оператордың анықтамасы бойынша және .
Бұл қатыстарға және операторлары симметриялы түрде кіруіне
байланысты -да -ге кері:

Операторлардың көбейтіндісі коммутативті заңдылыққа бағынбайды, яғни
.
М ы с а л ы, кеңістігінде мына теңдіктер бойынша
анықталатын операторларды қарастырайық:
.
Сонда , яғни .
Енді және оператордың қосындысының түсінігін келесі
түрде енгіземіз: , - сызықты оператор екендігі белгілі, .
Дәл солай скалярына сызықты операторының көбейтіндісінің
түсінігі енгізіледі, дәлірек айтқанда кез келген үшін . Соңында,
егер және болса, онда және сызықты операторының
көбейтіндісі ереже бойынша анықталады. көбейтіндісі -те
-ді бейнелейді және сызықты оператор болып табылады.
Осылайша, біз маңызды түсінікке келеміз – сызықты операторлар
кеңістігі.
А н ы қ т а м а. -де сызықты кеңістікті бейнелейтін
барлық сызықты оператордың жиынтығы, жоғарыда енгізілген операциялар
және операторларының құрылуы және скалярына операторының
көбейтіндісімен сызықты ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.