Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

Жоспар:

Кіріспе

Негізгі бөлім

Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар

а) туынды топология

б) ашық және тұйық жиындар

в) топологияларды салыстыру

2. Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал

а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база

б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)

3. Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.

а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.

б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.

4. Топологияны анықтау жолдары.

а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)

б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта

Қорытынды

Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар

а) туынды топология

б) ашық және тұйық жиындар

в) топологияларды салыстыру

Анықтама 1. Х-жиыны берілсін. Осы жиынның $\tau$ топологиясы деп- төменгі щарттарды қанағаттандыратын осы жиынның іш жиындарының жүйесін айтады.

Х- жиыны өзі және⌀−τ\varnothing - \tau-ға тиісті. (Х, ⌀∈τ) (Х, \varnothing \in \tau)
τ\tau-ға тиістіGGжиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі⋃αGα\bigcup_{\alpha}^{}G_{\alpha}τ\ \ \tau-ға тиісті. (⋃αGα∈τ\bigcup_{\alpha}^{}G_{\alpha} \in \tau)
τ\tau-ға тиістіGGжиындарының кез келген ақырлы және қиылысуы⋂k=1nGk\bigcap_{k = 1}^{n}G_{k}τ\ \ \tau-ға тиісті. (⋂k=1nGk∈τ\bigcap_{k = 1}^{n}G_{k} \in \tau)

Мысал . Метрикалық кеңістікте анықталған ашық жиындар Анықтама 1-дегі 3 аксиоманы қанағаттандырады. Демек метрикалық кеңістікте топологияляқ кеңістік болып есептелінеді. Бірақ, маңызы үлкен болсада топологияляқ кеңістіктің дербес түрі болып саналанады.

а) Х- жиыны өзін $\varnothing$ жиынды және Х жиынының барлық іш жиындарын ашық жиындар деп есептесек, онда Ан. 1-дегі 1-3 аксиомалар орындалады. Бұндай топология туынды топология деп аталады.

б) $\tau$ жүйесіне тісті жиындар ашық жиындар деп аталады.

$A \in \tau$ жиынның толықтауышы $Х - А = С_{А}$ тұйық жиын деп аталады. Сонымен кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын деп аталады.

Анықтама 1- ден қосалқылық қасиет бойынша:

τ\tau-ға тиісті тұйық жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі де тұйық жиын.
. тұйық\ жиындардың\ ақырлы\ бірігуі\ де\ тұйық\ жиын.

с) Х жиынында $\tau_{1}$ және $\tau_{2}$ топологиялары берілсін, егер $\tau_{2} \subset \tau_{1}$ болса, онда $\tau_{1}$ күштірек топология ( $\tau_{2} - ден$ ), ал $\tau_{2}$ әлсізірек топология деп аталады

Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал

а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база

б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)

Анықтама. Ашық жиындардың $\sigma$ жүйесі T кеңістігі топологиясының базасы деп аталады, егер T кеңістігіндегі әрбір ашық жиын $\sigma$ жүйесі жиындарының (ақырлы не ақырсыз) бірігуі болса.

Мысалы, метрикалық кеңістікте барлық ашық шарлардың (центрлері кез келген нүктедегі және кез келген радиусы) жиыны база болады.

Сонымен T кеңістігінде оның қайсыбір $\sigma$ базасы көрсетілсе, онда оның топологиясы $\tau$ анықталады, ол $\sigma$ базасы жиындарының бірігулерінің жүйесі болады.

Төменгі қасиеттер T=(X, $\ \tau$ ) топологиялық кеңістіктің кез келген $\sigma$ базасына тең:

1. Әрбір x $\in$ X нүктесі кемінде бір G $\ \in \sigma$ жиынына тиісті.

2. Егер x $\in$ G ₁ $\cap$ G ₂ , G ₁ $\in$ $\sigma$ , G ₂ $\in \sigma$ , болса онда x $\in$ G ₃ $\subset$ G ₁ $\cap$ G ₂ болатын G ₃ $\ \in \sigma$ жиыны табылады.

Шынында X жиынының өзі $\tau$ топологиясына тиісті ашық жиын болғандықтан, ол $\sigma$ базаға тиісті қайсыбір жиындардың бірігуі болады. Бұдан 1) қасиет шығады. Ал 2) пункттегі G ₁ $\cap$ G ₂ ашық жиын, сондықтан ол да базаға кіретін қайсыбір жиындардың бірігуі. Демек, 2) қасиет те орынды.

Төменде саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер класының маңызын көреміз. Ондай кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.

Егер T топологиялық кеңістікте саналымды база бар болса, онда барлық жерде тығыз саналымды жиын да табылытынына, демек, T сеперабель кеңістік болатынына көз жеткізейік. $\left\{ G_{n} \right\}$ - саналымды база дейік. Онда әрбір $G_{n}$ жиынынан бір x _n нүктеден алып, X = $\left\{ x_{n} \right\}$ саналымды жиынын құрастырамыз. Осы саналымды жиын барлық жерде тығыз $\left( \overline{X} = T \right)$ болады. Болмаған жағдайда G = T - $\overline{X}$ $\neq$ $\varnothing$ ашық жиынында X-тың ешбір нүктесі табылмас еді. Бұл мүмкін емес, себебі G ашық жиын ретінде $\left\{ G_{n} \right\}$ базаның қайсыбір жиындарының бірігуі болар еді, ал x _n $\in$ $G_{n}$

Метрикалық кеңістіктер үшін дәлелденген сөйлемге кері сөйлем де орынды.

Егер M-сеперабель метрикалық кеңістік болса, онда оның саналымды базасы бар. Шынында сеперабель кеңістікте барлық жерде тығыз X = $\left\{ x_{n} \right\}$ саналымды жиын бар болғандықтан S $\left( x_{n}, \frac{1}{m} \right)$ ашық шарлары саналымды база береді. Мұндағы n, m бір бірінен байланыссыз натурал сандар. Осыдан төменгі теорема шығады.

1-теорема. Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелі. Метрикалық кеңістік топологиялық кеңістік болғандықтан, егер саналымды базисі бар болса, онда метрикалық кеңістік сепарабель болатындығы жоғарғы топологиялық кеңістік айтылғанынан шығады. Сонымен барлық сеперабель метрикалық кеңістіктер екінші саналымдылық аксиомалы кеңістіктер болды.

Х-метрикалық кеңістігінде саналымды барлық жерде тығыз N={ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$ } жиыны бар дейік, яғни ( $x = \overline{N}$ ) ⇒ S( $x_{n}, \frac{1}{m}, \ldots$ ), n, m- кез келген натурал сандар, ашық шарлар жүйесі саналымды базис болады.

Метрикаық кеңістіктер сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішжиыны бар топологиялық кеңістік сеперабель кеңстік деп аталады.

Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.

а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.

б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.

Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, $(X, \rho)$ метрикалық кеңістігі сеперабль кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның $\forall x \in X$ элементіне жинпқталатын іштізбегі бар, тізбек $x_{1}, x_{2}, \ldots(1)$ табылса, яғни $\ \ \forall x \in X$ және $\ \forall\varepsilon > 0\$ үшін $\rho\left( x, x_{n_{0}} \right) < \varepsilon$ болатын $x_{n_{0}}$ элементі бар $(1) \$ тізбек бар болса.

Мысал: C[a, b] - сеперабель кеңістік. Қандай $\varepsilon > 0$ алсақ та кез келген $x(t) \in C\lbrack a, b\rbrack\$ үшін $\max_{t}{\left x(t) - p(t) \right < \varepsilon/2}$ болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын $p_{0}(t)$ көпмүшелік табылып $\max_{t}{\left p(t) - p_{0}(t) \ \right < \varepsilon/2}$ болады. Сондықтан $\rho\left( x, p_{0} \right) = \max_{t}{\left x(t) - p_{0}(t) \ \right < \varepsilon/2}$ . Ал коэффициенттері рационал болатын көпмүшеліктердің жиыны саналымды.

а) Метрикалық M кеңістігінің әрбір x нүктесі үшін оның $S\left( x, \frac{1}{n} \right), \ \ n = 1, 2, \ldots,$ ашық шарлардан тұратын маңайлардың саналымды U жүйесін тұрғызуға болады. Сонда $x \in M$ нүктесін қамтитын қандай ашық G жиын алсақта, осы G жиынында түгел жататын x нүктесінің маңайы $S\left( x, \frac{1}{n} \right)$ табылады. Осындай қасиеттери бар маңайлардың жүйесі x нүктесінің маңайларының анықтауыш жүйесі деп аталады.

Егер Т топологиялық кеңістігінің x нүктесінің маңайларының саналымды анықтауыш жүйесі бар болса, онда осы нүктеде бірінші саналымдылық аксиома орынды дейді. Егер ол топологиялық Т кеңістігінің әр нүктесінде орындалса онда Т бірінші саналымдылық аксиомалы кеңістік деп аталады.

Кез келген метрикалық кеңістікте (сеперабль болмасада) бірінші саналымдылық аксиома орындалады. Ал кез келген топологиялық кеңістікте, егер ол тек қана саналымды нүктелерден тұрса да, бірінші саналымдылық аксиома орынды болмауы мүмкін. Топологиялық сеперабль кеңістікте бірінші саналымдылық аксиома орынды болса да, саналымды база болмауы мүмкін.

б) Ашық жиындардың $\sigma$ жүйесі Т кеңістігі топологиясының базасы деп аталады егер Т кеңістігіндегі әрбір ашық жиын $\sigma\$ жүйесі жиындарының ақырлы не ақырсыз бірігуі болса. Саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.

Саналымды базалы Т кеңістігі және ашық бүркеу (теорема)

а) Байланысты кеңістік, мысал.

б) сеперабель кеңістік және саналымды база (теорема)

Теорема. Егер Т-топологиялық кеңістігінде саналымды база бар болса, онда Т-кеңістігінің кез келген ашық бүркеуінен ақырлы не саналымды ішбүркеу бөлінеді.

Дәлелі: $\left\{ G_{\alpha} \right\}$ жиындар жүйесі Т-ның бүркеуі болсын. Онда кез келген $x\epsilon X$ оны қамтитын кемінде бір $G_{\alpha}$ жиыны табылады, яғни

$G_{\alpha}:x\epsilon G_{\alpha}$

$\left\{ G_{n_{k}} \right\}$ -Ткеңістігінің саналымды базасы дейік. Онда кез келген $x\epsilon T$ үшін қамтитын кемінді бір $G_{n}$ жиын табылады, яғни

${{X \in G}_{n_{k}} \subset G}_{\alpha}$

Мұндай жиындардың саны ақырлы не саналымды болуы мүмкін және бұл жиынның жүйесі $\left\{ G_{n_{k}} \right\} \supset X$ бүркейді.

Жалпы топологиялық кеңістік Сеперабель кеңістік болып, онда бірінші саналымды аксиома орындалса да кеңістіктің саналымды базисы болмауы мүмкін .

Топологиялық кеңістіктің анықтамасы бойынша кеңістіктің өзі, $X, \varnothing$ әрі ашық, әрі тұйық болатын басқа ( $X, \varnothing - өзі$ ) жиындар жоқ болса, ондай кеңістің байланысты кеңістік деп аталады.

$\bigcup_{k}^{}{G_{n_{k}} \supset X}$

Енді әрбір $G_{n_{k}}$ іш жиыны болмайтын жиын $G_{\alpha_{k}}$ -деп бнлгілесек, онда $\{ G_{\alpha_{k}}\}$ $\subset \{ G_{\alpha}\}$ , онда $\bigcup_{k}^{}{G_{\alpha_{k}} \supset X}$ , яәни бастапқы берілген ашық бүркеудегі ақырлы не саналымды жиындардан тұратын ${\{ G_{\alpha_{k}}\}}_{k}$ ішбүркеу $бөлінеді.$