Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
Кіріспе
Негізгі бөлім
1. Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
2. Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
3. Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
4.Топологияны анықтау жолдары.
а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)
б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта
Қорытынды
Негізгі бөлім
1. Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
2. Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
3. Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
4.Топологияны анықтау жолдары.
а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)
б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта
Қорытынды
Анықтама 1. Х-жиыны берілсін. Осы жиынның τ топологиясы деп- төменгі щарттарды қанағаттандыратын осы жиынның іш жиындарының жүйесін айтады.
Х- жиыны өзі және ∅-τ-ға тиісті. (Х,∅∈τ)
τ-ға тиісті G жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі ⋃_α▒G_α τ-ға тиісті. (⋃_α▒G_α ∈τ)
τ -ға тиісті G жиындарының кез келген ақырлы және қиылысуы ⋂_(k=1)^n▒G_k τ-ға тиісті. (⋂_(k=1)^n▒G_k ∈τ)
Мысал. Метрикалық кеңістікте анықталған ашық жиындар Анықтама 1-дегі 3 аксиоманы қанағаттандырады. Демек метрикалық кеңістікте топологияляқ кеңістік болып есептелінеді. Бірақ, маңызы үлкен болсада топологияляқ кеңістіктің дербес түрі болып саналанады.
а) Х- жиыны өзін ∅ жиынды және Х жиынының барлық іш жиындарын ашық жиындар деп есептесек, онда Ан. 1-дегі 1-3 аксиомалар орындалады. Бұндай топология туынды топология деп аталады.
б) τ жүйесіне тісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
A∈τ жиынның толықтауышы Х-А=С_А тұйық жиын деп аталады. Сонымен кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын деп аталады.
Анықтама 1- ден қосалқылық қасиет бойынша:
τ-ға тиісті тұйық жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі де тұйық жиын.
тұйық жиындардың ақырлы бірігуі де тұйық жиын.
с) Х жиынында τ_1 және τ_2 топологиялары берілсін, егер τ_2⊂τ_1 болса, онда τ_1 күштірек топология (τ_2-ден), ал τ_2 әлсізірек топология деп аталады
Х- жиыны өзі және ∅-τ-ға тиісті. (Х,∅∈τ)
τ-ға тиісті G жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі ⋃_α▒G_α τ-ға тиісті. (⋃_α▒G_α ∈τ)
τ -ға тиісті G жиындарының кез келген ақырлы және қиылысуы ⋂_(k=1)^n▒G_k τ-ға тиісті. (⋂_(k=1)^n▒G_k ∈τ)
Мысал. Метрикалық кеңістікте анықталған ашық жиындар Анықтама 1-дегі 3 аксиоманы қанағаттандырады. Демек метрикалық кеңістікте топологияляқ кеңістік болып есептелінеді. Бірақ, маңызы үлкен болсада топологияляқ кеңістіктің дербес түрі болып саналанады.
а) Х- жиыны өзін ∅ жиынды және Х жиынының барлық іш жиындарын ашық жиындар деп есептесек, онда Ан. 1-дегі 1-3 аксиомалар орындалады. Бұндай топология туынды топология деп аталады.
б) τ жүйесіне тісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
A∈τ жиынның толықтауышы Х-А=С_А тұйық жиын деп аталады. Сонымен кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын деп аталады.
Анықтама 1- ден қосалқылық қасиет бойынша:
τ-ға тиісті тұйық жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі де тұйық жиын.
тұйық жиындардың ақырлы бірігуі де тұйық жиын.
с) Х жиынында τ_1 және τ_2 топологиялары берілсін, егер τ_2⊂τ_1 болса, онда τ_1 күштірек топология (τ_2-ден), ал τ_2 әлсізірек топология деп аталады
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
Жоспар:
Кіріспе
Негізгі бөлім
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
2. Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
3. Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
4.Топологияны анықтау жолдары.
а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)
б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта
Қорытынды
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
Анықтама 1. Х-жиыны берілсін. Осы жиынның τ топологиясы деп- төменгі щарттарды қанағаттандыратын осы жиынның іш жиындарының жүйесін айтады.
Х- жиыны өзі және ∅-τ-ға тиісті. (Х,∅∈τ)
τ-ға тиісті G жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі αGα τ-ға тиісті. (αGα∈τ)
τ -ға тиісті G жиындарының кез келген ақырлы және қиылысуы k=1nGk τ-ға тиісті. (k=1nGk∈τ)
Мысал. Метрикалық кеңістікте анықталған ашық жиындар Анықтама 1-дегі 3 аксиоманы қанағаттандырады. Демек метрикалық кеңістікте топологияляқ кеңістік болып есептелінеді. Бірақ, маңызы үлкен болсада топологияляқ кеңістіктің дербес түрі болып саналанады.
а) Х- жиыны өзін ∅ жиынды және Х жиынының барлық іш жиындарын ашық жиындар деп есептесек, онда Ан. 1-дегі 1-3 аксиомалар орындалады. Бұндай топология туынды топология деп аталады.
б) τ жүйесіне тісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
A∈τ жиынның толықтауышы Х-А=СА тұйық жиын деп аталады. Сонымен кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын деп аталады.
Анықтама 1- ден қосалқылық қасиет бойынша:
τ-ға тиісті тұйық жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі де тұйық жиын.
тұйық жиындардың ақырлы бірігуі де тұйық жиын.
с) Х жиынында τ1 және τ2 топологиялары берілсін, егер τ2⊂τ1 болса, онда τ1 күштірек топология (τ2-ден), ал τ2 әлсізірек топология деп аталады
Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
Анықтама. Ашық жиындардың σ жүйесі T кеңістігі топологиясының базасы деп аталады,егер T кеңістігіндегі әрбір ашық жиын σ жүйесі жиындарының (ақырлы не ақырсыз)бірігуі болса.
Мысалы,метрикалық кеңістікте барлық ашық шарлардың (центрлері кез келген нүктедегі және кез келген радиусы)жиыны база болады.
Сонымен T кеңістігінде оның қайсыбір σ базасы көрсетілсе,онда оның топологиясы τ анықталады,ол σ базасы жиындарының бірігулерінің жүйесі болады.
Төменгі қасиеттер T=(X, τ) топологиялық кеңістіктің кез келген σ базасына тең:
1.Әрбір x∈X нүктесі кемінде бір G ∈σ жиынына тиісті.
2.Егер x∈G1 ∩ G2 , G1∈ σ , G2∈σ, болса онда x∈G3⊂ G1∩ G2 болатын G3 ∈σ жиыны табылады.
Шынында X жиынының өзі τ топологиясына тиісті ашық жиын болғандықтан,ол σ базаға тиісті қайсыбір жиындардың бірігуі болады.Бұдан 1)қасиет шығады.Ал 2)пункттегі G1 ∩ G2 ашық жиын,сондықтан ол да базаға кіретін қайсыбір жиындардың бірігуі.Демек,2)қасиет те орынды.
Төменде саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер класының маңызын көреміз.Ондай кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.
Егер T топологиялық кеңістікте саналымды база бар болса,онда барлық жерде тығыз саналымды жиын да табылытынына,демек, T сеперабель кеңістік болатынына көз жеткізейік.Gn - саналымды база дейік.Онда әрбір Gn жиынынан бір xn нүктеден алып,X = xn саналымды жиынын құрастырамыз.Осы саналымды жиын барлық жерде тығыз X=T болады. Болмаған жағдайда G = T - X != ∅ ашық жиынында X-тың ешбір нүктесі табылмас еді.Бұл мүмкін емес,себебі G ашық жиын ретінде Gn базаның қайсыбір жиындарының бірігуі болар еді,ал xn∈ Gn
Метрикалық кеңістіктер үшін дәлелденген сөйлемге кері сөйлем де орынды.
Егер M-сеперабель метрикалық кеңістік болса,онда оның саналымды базасы бар.Шынында сеперабель кеңістікте барлық жерде тығыз X = xn саналымды жиын бар болғандықтан Sxn,1m ашық шарлары саналымды база береді.Мұндағы n,m бір бірінен байланыссыз натурал сандар.Осыдан төменгі теорема шығады.
1-теорема.Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелі. Метрикалық кеңістік топологиялық кеңістік болғандықтан, егер саналымды базисі бар болса, онда метрикалық кеңістік сепарабель болатындығы жоғарғы топологиялық кеңістік айтылғанынан шығады. Сонымен барлық сеперабель метрикалық кеңістіктер екінші саналымдылық аксиомалы кеңістіктер болды.
Х-метрикалық кеңістігінде саналымды барлық жерде тығыз N={x1,x2,...,xn,...} жиыны бар дейік, яғни (x=N) ⇒ S(xn,1m,...), n,m- кез келген натурал сандар, ашық шарлар жүйесі саналымды базис болады.
Метрикаық кеңістіктер сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішжиыны бар топологиялық кеңістік сеперабель кеңстік деп аталады.
Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, (X,ρ) метрикалық кеңістігі сеперабль кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның ∀x∈X элементіне жинпқталатын іштізбегі бар, тізбек x1,x2,...1 табылса, яғни ∀x∈X және ∀ε0 үшін ρx,xn0ε болатын xn0 элементі бар 1 тізбек бар болса.
Мысал: C[a,b] - сеперабель кеңістік. Қандай ε0 алсақ та кез келген x(t)∈C[a,b] үшін maxtxt-p(t)ε2 болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын p0(t) көпмүшелік табылып ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жоспар:
Кіріспе
Негізгі бөлім
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
2. Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
3. Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
4.Топологияны анықтау жолдары.
а) Саналымды база және кеңістіктің сеперабельділігі (теорема)
б) Метрикалық кеңістікте топологияны анықта
Қорытынды
Топологиялық кеңістік, анықтамасы, мысалдар
а) туынды топология
б) ашық және тұйық жиындар
в) топологияларды салыстыру
Анықтама 1. Х-жиыны берілсін. Осы жиынның τ топологиясы деп- төменгі щарттарды қанағаттандыратын осы жиынның іш жиындарының жүйесін айтады.
Х- жиыны өзі және ∅-τ-ға тиісті. (Х,∅∈τ)
τ-ға тиісті G жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі αGα τ-ға тиісті. (αGα∈τ)
τ -ға тиісті G жиындарының кез келген ақырлы және қиылысуы k=1nGk τ-ға тиісті. (k=1nGk∈τ)
Мысал. Метрикалық кеңістікте анықталған ашық жиындар Анықтама 1-дегі 3 аксиоманы қанағаттандырады. Демек метрикалық кеңістікте топологияляқ кеңістік болып есептелінеді. Бірақ, маңызы үлкен болсада топологияляқ кеңістіктің дербес түрі болып саналанады.
а) Х- жиыны өзін ∅ жиынды және Х жиынының барлық іш жиындарын ашық жиындар деп есептесек, онда Ан. 1-дегі 1-3 аксиомалар орындалады. Бұндай топология туынды топология деп аталады.
б) τ жүйесіне тісті жиындар ашық жиындар деп аталады.
A∈τ жиынның толықтауышы Х-А=СА тұйық жиын деп аталады. Сонымен кез келген ашық жиынның толықтауышы тұйық жиын деп аталады.
Анықтама 1- ден қосалқылық қасиет бойынша:
τ-ға тиісті тұйық жиындарының қаншасыныңда (саны ақырлы және ақырсыз) бірігуі де тұйық жиын.
тұйық жиындардың ақырлы бірігуі де тұйық жиын.
с) Х жиынында τ1 және τ2 топологиялары берілсін, егер τ2⊂τ1 болса, онда τ1 күштірек топология (τ2-ден), ал τ2 әлсізірек топология деп аталады
Топологияның базасы, метрикалық кеңістікте мысал
а) екінші саналымдылық аксиома. Саналымды база
б) Теорема (саналымды база, сепарабельділік)
Анықтама. Ашық жиындардың σ жүйесі T кеңістігі топологиясының базасы деп аталады,егер T кеңістігіндегі әрбір ашық жиын σ жүйесі жиындарының (ақырлы не ақырсыз)бірігуі болса.
Мысалы,метрикалық кеңістікте барлық ашық шарлардың (центрлері кез келген нүктедегі және кез келген радиусы)жиыны база болады.
Сонымен T кеңістігінде оның қайсыбір σ базасы көрсетілсе,онда оның топологиясы τ анықталады,ол σ базасы жиындарының бірігулерінің жүйесі болады.
Төменгі қасиеттер T=(X, τ) топологиялық кеңістіктің кез келген σ базасына тең:
1.Әрбір x∈X нүктесі кемінде бір G ∈σ жиынына тиісті.
2.Егер x∈G1 ∩ G2 , G1∈ σ , G2∈σ, болса онда x∈G3⊂ G1∩ G2 болатын G3 ∈σ жиыны табылады.
Шынында X жиынының өзі τ топологиясына тиісті ашық жиын болғандықтан,ол σ базаға тиісті қайсыбір жиындардың бірігуі болады.Бұдан 1)қасиет шығады.Ал 2)пункттегі G1 ∩ G2 ашық жиын,сондықтан ол да базаға кіретін қайсыбір жиындардың бірігуі.Демек,2)қасиет те орынды.
Төменде саналымды жиыннан аспайтын кемінде бір базасы бар топологиялық кеңістіктер класының маңызын көреміз.Ондай кеңістіктер саналымды базалы немесе екінші саналымдылық аксиомалы топологиялық кеңістіктер деп аталады.
Егер T топологиялық кеңістікте саналымды база бар болса,онда барлық жерде тығыз саналымды жиын да табылытынына,демек, T сеперабель кеңістік болатынына көз жеткізейік.Gn - саналымды база дейік.Онда әрбір Gn жиынынан бір xn нүктеден алып,X = xn саналымды жиынын құрастырамыз.Осы саналымды жиын барлық жерде тығыз X=T болады. Болмаған жағдайда G = T - X != ∅ ашық жиынында X-тың ешбір нүктесі табылмас еді.Бұл мүмкін емес,себебі G ашық жиын ретінде Gn базаның қайсыбір жиындарының бірігуі болар еді,ал xn∈ Gn
Метрикалық кеңістіктер үшін дәлелденген сөйлемге кері сөйлем де орынды.
Егер M-сеперабель метрикалық кеңістік болса,онда оның саналымды базасы бар.Шынында сеперабель кеңістікте барлық жерде тығыз X = xn саналымды жиын бар болғандықтан Sxn,1m ашық шарлары саналымды база береді.Мұндағы n,m бір бірінен байланыссыз натурал сандар.Осыдан төменгі теорема шығады.
1-теорема.Метрикалық кеңістік саналымды базалы болу үшін оның сеперабель кеңістік болуы қажет және жеткілікті.
Дәлелі. Метрикалық кеңістік топологиялық кеңістік болғандықтан, егер саналымды базисі бар болса, онда метрикалық кеңістік сепарабель болатындығы жоғарғы топологиялық кеңістік айтылғанынан шығады. Сонымен барлық сеперабель метрикалық кеңістіктер екінші саналымдылық аксиомалы кеңістіктер болды.
Х-метрикалық кеңістігінде саналымды барлық жерде тығыз N={x1,x2,...,xn,...} жиыны бар дейік, яғни (x=N) ⇒ S(xn,1m,...), n,m- кез келген натурал сандар, ашық шарлар жүйесі саналымды базис болады.
Метрикаық кеңістіктер сияқты барлық жерде тығыз болатын саналымды ішжиыны бар топологиялық кеңістік сеперабель кеңстік деп аталады.
Сеперабель топологиялық кеңістік, мысал.
а) бірінші саналымдылық аксиома, маңайлардың анықтауыш жүйесі, мысал.
б) саналымды база. Бірінші саналымды аксиомалы кеңістікке мысал.
Анықтама. Егер кеңістікте барлық жерде тығыз болатын саналымды жиын бар болса, онда ондай кеңістік сеперабель кеңістік деп аталады. Басқаша айтқанда, (X,ρ) метрикалық кеңістігі сеперабль кеңістік деп аталады, егер осы кеңістікте, оның ∀x∈X элементіне жинпқталатын іштізбегі бар, тізбек x1,x2,...1 табылса, яғни ∀x∈X және ∀ε0 үшін ρx,xn0ε болатын xn0 элементі бар 1 тізбек бар болса.
Мысал: C[a,b] - сеперабель кеңістік. Қандай ε0 алсақ та кез келген x(t)∈C[a,b] үшін maxtxt-p(t)ε2 болатын p(t) көпмүшелігі Вейерштрасс теоремасы бойынша табылады. R нақты сандар кеңістігінде рационал сандар жиыны Q тығыз болғандықтан, коэффициенттері рационал болатын p0(t) көпмүшелік табылып ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz