Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу
Кіріспе
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
1.1 Туындының анықтамасы. Туындының анықтамасының түрлері және туындының белгіленулері
1.2 Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
1.3 Тригонометриялық функциялардың туындылары
1.4 Элементар функциялардың туындылары туралы
1.5 Жоғарғы ретті туындылар
1.6 Лейбниц формуласы
1.7 Анықталмаған интеграл. «Анықталмаған интеграл» тақырыбының мазмұны
1.8 Анықталған интеграл анықтамасы және қасиеттері
II бөлім. Туынды мен анықталған интегралдың қолданулары
2.1 Туынды мен анықталған интегралдың физикада қолданылуы
2.2 Туынды мен анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы
2.3 Туынды мен анықталған интегралдың экономикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
1.1 Туындының анықтамасы. Туындының анықтамасының түрлері және туындының белгіленулері
1.2 Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
1.3 Тригонометриялық функциялардың туындылары
1.4 Элементар функциялардың туындылары туралы
1.5 Жоғарғы ретті туындылар
1.6 Лейбниц формуласы
1.7 Анықталмаған интеграл. «Анықталмаған интеграл» тақырыбының мазмұны
1.8 Анықталған интеграл анықтамасы және қасиеттері
II бөлім. Туынды мен анықталған интегралдың қолданулары
2.1 Туынды мен анықталған интегралдың физикада қолданылуы
2.2 Туынды мен анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы
2.3 Туынды мен анықталған интегралдың экономикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Көптеген математикалық оқулықтарда, анықтамаларда туынды мен интегралдың элементар қасиеттері, осы туынды мен интегралға жүргізілетін зерттеулер, олардың қолданылулары қарастырылған.Дипломдық жұмыста туынды мен интегралдың элементар, дәлірек айтқанда элементар функциялардың туындылары, тригонометриялық функциялардың туындылары, жоғарғы ретті туындылардының, анықталған интегралдың қасиеттерін математикалық талдау әдістерімен толығымен зерттеп, көптеген мысалдар (туынды мен интегралдың қолдануларын) қарастырдым.
Зерттеудің объектісі: Туынды, түрлері мен оның белгілену тәсілдері, Лейбниц формуласы, анықталған интеграл және оның қасиеттері, туынды мен анықталған интегралдың физикада,геометрияда және экономикада қолданылулары.
Зерттеудің мақсаты: Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу. Қазақ тілінде математикалық талдаумен оқу құралдарының жетіспеуіне байланысты өз еңбегіммен осы мәселені шешуге үлес қосу. Ізделінді тақырыпқа байланысты әдебиеттерді оқу. Математикалық талдаудағы теоремалар мен тұжырымдарды туынды мен интегралды зерттегенде қолданып математикалық талдау әдістерімен анықтау.
Зерттеудің болжамы: Туынды мен интегралды зерттеу арқылы математикалық талдау әдістерін байыту, есептерін шығару.
Зерттеудің теориялық маңызы: Математикалық талдаудың көптеген есептері табиғатта болатын құбылыстарды сипаттайтын математикалық моделі болып табылады. Математикалық талдау математиканың басқа да бөлімдерімен (аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, копмлекс айнымалылар теориясы, математикалық физика теңдеулері, функционалдық талдау т.б.) тығыз байланыста болғандықтан, математикалық талдаудың ұғымдары, тұжырымдары мен теоремалары осы аталған математиканың басқа да бөлімдерінде кеңінен қолданылады. Сондықтан да математикалық талдаудағы көптеген есептер тек қана математиканың басқа да бөлімдерінде ғана емес, физиканың, механиканың көптеген есептерінде өз қолданылуын табуда.
Зерттеудің объектісі: Туынды, түрлері мен оның белгілену тәсілдері, Лейбниц формуласы, анықталған интеграл және оның қасиеттері, туынды мен анықталған интегралдың физикада,геометрияда және экономикада қолданылулары.
Зерттеудің мақсаты: Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу. Қазақ тілінде математикалық талдаумен оқу құралдарының жетіспеуіне байланысты өз еңбегіммен осы мәселені шешуге үлес қосу. Ізделінді тақырыпқа байланысты әдебиеттерді оқу. Математикалық талдаудағы теоремалар мен тұжырымдарды туынды мен интегралды зерттегенде қолданып математикалық талдау әдістерімен анықтау.
Зерттеудің болжамы: Туынды мен интегралды зерттеу арқылы математикалық талдау әдістерін байыту, есептерін шығару.
Зерттеудің теориялық маңызы: Математикалық талдаудың көптеген есептері табиғатта болатын құбылыстарды сипаттайтын математикалық моделі болып табылады. Математикалық талдау математиканың басқа да бөлімдерімен (аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, копмлекс айнымалылар теориясы, математикалық физика теңдеулері, функционалдық талдау т.б.) тығыз байланыста болғандықтан, математикалық талдаудың ұғымдары, тұжырымдары мен теоремалары осы аталған математиканың басқа да бөлімдерінде кеңінен қолданылады. Сондықтан да математикалық талдаудағы көптеген есептер тек қана математиканың басқа да бөлімдерінде ғана емес, физиканың, механиканың көптеген есептерінде өз қолданылуын табуда.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 93 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 93 бет
Таңдаулыға:
Мазмұны
Кіріспе
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
0.1 Туындының анықтамасы. Туындының анықтамасының түрлері және туындының белгіленулері
0.2 Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
0.3 Тригонометриялық функциялардың туындылары
0.4 Элементар функциялардың туындылары туралы
0.5 Жоғарғы ретті туындылар
0.6 Лейбниц формуласы
0.7 Анықталмаған интеграл. Анықталмаған интеграл тақырыбының мазмұны
0.8 Анықталған интеграл анықтамасы және қасиеттері
II бөлім. Туынды мен анықталған интегралдың қолданулары
2.1 Туынды мен анықталған интегралдың физикада қолданылуы
2.2 Туынды мен анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы
2.3 Туынды мен анықталған интегралдың экономикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Зерттеудің өзектілігі: Көптеген математикалық оқулықтарда, анықтамаларда туынды мен интегралдың элементар қасиеттері, осы туынды мен интегралға жүргізілетін зерттеулер, олардың қолданылулары қарастырылған.Дипломдық жұмыста туынды мен интегралдың элементар, дәлірек айтқанда элементар функциялардың туындылары, тригонометриялық функциялардың туындылары, жоғарғы ретті туындылардының, анықталған интегралдың қасиеттерін математикалық талдау әдістерімен толығымен зерттеп, көптеген мысалдар (туынды мен интегралдың қолдануларын) қарастырдым.
Зерттеудің объектісі: Туынды, түрлері мен оның белгілену тәсілдері, Лейбниц формуласы, анықталған интеграл және оның қасиеттері, туынды мен анықталған интегралдың физикада,геометрияда және экономикада қолданылулары.
Зерттеудің мақсаты: Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу. Қазақ тілінде математикалық талдаумен оқу құралдарының жетіспеуіне байланысты өз еңбегіммен осы мәселені шешуге үлес қосу. Ізделінді тақырыпқа байланысты әдебиеттерді оқу. Математикалық талдаудағы теоремалар мен тұжырымдарды туынды мен интегралды зерттегенде қолданып математикалық талдау әдістерімен анықтау.
Зерттеудің болжамы: Туынды мен интегралды зерттеу арқылы математикалық талдау әдістерін байыту, есептерін шығару.
Зерттеудің теориялық маңызы: Математикалық талдаудың көптеген есептері табиғатта болатын құбылыстарды сипаттайтын математикалық моделі болып табылады. Математикалық талдау математиканың басқа да бөлімдерімен (аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, копмлекс айнымалылар теориясы, математикалық физика теңдеулері, функционалдық талдау т.б.) тығыз байланыста болғандықтан, математикалық талдаудың ұғымдары, тұжырымдары мен теоремалары осы аталған математиканың басқа да бөлімдерінде кеңінен қолданылады. Сондықтан да математикалық талдаудағы көптеген есептер тек қана математиканың басқа да бөлімдерінде ғана емес, физиканың, механиканың көптеген есептерінде өз қолданылуын табуда.
Зерттеудің жаңалығы: Туынды және интегралды математикалық талдау әдістерімен зерттеп, мектеп математикасымен байланыстыру. Осы зерттеулерге сүйене отырып қолданылуын атап, мысалдар келтіре отырып есептер шығару.
Зерттеудің әдістемесі: Дифференциалдық және интегралдық есептеулер.
Зерттеудің нәтижесі: Жоғарғы математика курсында туынды мен интегралды және олардың қасиеттерін тереңірек білуді талап етіледі. Әсіресе, математикалық талдау курсында әртүрлі есептеулер мен түрлендірулер жүргізу, туынды мен интеграл физикалық, геометриялық және экономикалық есептерді есептегенде көп қолданылады. Берілген дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интеграл зерттелді. Бұл дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интегралдың негізгі қасиеттері дәлелденді, әртүрлі жағдайларда берілетін туынды мен анықталған интегралдың қолданылулары қарастырылды. Туынды мен анықталған интегралға және олардың қолданылуларына көптеген мысалдары келтірілді.
Жұмыс көлемі: компьютерде терілген, электрондық нұсқасы түлектік жұмысымен бірге берілді.
Дипломдық жұмыс құрылымы: Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе бөлімде зерттеудің өзектілігі; обьектісі; мақсаты; зерттеудің болжамы; зерттеудің теориялық маңызы; зеттеудің жаңалығы; зеттеудің әдістемесі; зерттеудің нәтижесі баяндалған.
Туынды термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы және оны 1797 жылы француз математигі Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кездегі y', f' белгілеулерін де сол енгізген.Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады: f'(x) функциясы f'(x)-тен шығады, ƒ(x)-тің туындысы болып табылады.Ағылшын математигі И.Ньютон ( 1643-1727) функцияның туындысын флюксия деп атайды, ал функцияның өзін флюксия деп атаған. Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиi кездеседі. Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) df символын f функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. f функциясының дифференциалын - f'(x0) туындысының Δх өсімшесіне көбейтіндісі,яғни df=f'(x0). Δх; Δх белгілеуін dx -пен алмастырып,оны былай да жазуға болады:
df=f'(x0)dx
осыдан
f'x0=dfdx
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
1.1. Туындының анықтамасы. Түрлері және туындының белгіленулері
Туындының анықтамасы.
Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала екі есепте пайда болды - ол қисыққа жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.
Сонымен, қарастырылған екі есеп бір- бірінен өзге білім салалары - геометрия мен механикаға жатса да, олар тек қана бір математикалық амалға -
limx1--x0fx1-f(x0)x1-x0
түріндегі шекті табу есебіне әкеледі. Осы амалға әкелетін есептер санын калағанымызша көбейтуге болады. Мысалы, химиялық реакцияның жылдамдығы, сызықтық тығыздық туралы есептер де солай болады.
Әрине бұл амалдың арнаулы атауы болу керек. Ол амалдың өзін функцияны дифференциалдау, ал оның нәтижесін, яғни шектің мәнін функцияның туындысы дейді.
Сөйтіп, f функциясы I аралығында анықталсын . Егер x0∈I үшін
limx--x0fx- f(x0)x- x0
нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x0 нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін f функциясының x0 нүктесіндегі туындысы дейді де, f'(x0) символымен белгілейді.
Осы анықтамаға сүйеніп, жоғарыда талқыланған есептерді былай тұжырымдауға болады:
1°. Егер f функциясының x0 нуктесінде туындысы бар болса, онда сол нүктеде y = f (x) қисығының жанамасы бар болып, оның теңдеуі
y=f'x0∙x-x0+f(x0) (2)
болады. (2) түзуін f функциясының графигінің (x0,f(x0)) нүктесіндегі жанама деп те атайды. (2) теңдеуінен жанаманың бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі туындының мәніне тең екенін көреміз. Басқаша айтқанда, жанама мен x-тер осінің арасындағы бұрыш α болса, онда fx0=tgα теңдігі орындалады. Бұл туындының геометриялық мағынасы болады.
2°. Материялық нүктенің қозғалысы жоғарыда айтылғандай f (t) функциясы арқылы бейнеленген болсын. Егер f'(t0) туындысы бар болса, онда сол туынды материялық нүктенің t0 мезгіліндегі жылдамдығы деп аталады.
Туындының анықтамасының түрлері, туындының белгіленулері. Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып былай жазуға болады:
1°. limx--x0fx-fx0x-x0, 3°. lim∆x--0fx0+∆x-f(x0)∆x,
2°. limh--0fx0+h-f(x0)h, 4°. lim∆x--0∆f(x0)∆x=lim∆x--0∆y∆x .
Соңғы екі анықтамада ∆x=x-x0 , ∆y=fx-fx0 немесе ∆x=x0+∆x-x0, ∆fx0=∆y=fx0+∆x-f(x0)
белгілеулері қолданылған . x-x0=h=∆x сандары функцияның аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі деп аталады.
Туындының анықтамасындағы қатынас мағынасын жоғалтпауы ушін, h өсімшесі (анықтық үшін h-ты алдық) нольден өзге болуы қажетті. Бірақ бұл жағдайдың анықтамадағы шекке зияны болмайды, өйткені шектің таңбасынан кейін тұрған φh=fx+h-f(x)h өрнегі сол өсімшенің функциясы ретінде қарастырылып, limh--0φh шегінің өзі өсімше нольге ұмтылғанда алынады (φh функциясы шегі табылып тұрған 0 нүктесінде анықталмауы да мүмкін!).
Әрине, h өсімшесі оң да, теріс те бола алады, тек қана x0+h саны функцияның анықталу жиынынан шығып кетпеуі керек. fx-fx0=fx0+h-fx0=fx0+∆x-fx0=∆y сандарын функцияның өсімшесі дейді (тәуелсіз айнымалының өсімшесіне сәйкес).
Сөзбен 1°-4° анықтамалары былай айтылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болса, онда функция дифференциалданады деп, сол шектің мәні функцияның туындысы деп аталады.
Біз көбінесе туындының анықтамасының алғашқы екі түрімен пайдаланамыз.
Туындының мынадай белгіленулері бар:
Г. Лейбниц: dfdx, df(x0)dx немесе dydx (1675 ж. берілген),
Ж. Лагранж: f'(x0) немесе y' (1770 ж. берілген),
О. Коши: Df(x0) немесе Dy (1800 ж. берілген).
Бұл символдар былай оқылады: y'-игрек штрих, f'x0-эф штрих икс ноль, dfdx-дэ икс бойынша дэ эф, dydx- дэ икс бойынша дэ игрек, Dfx0- дэ эф икс ноль, Dy-дэ игрек. Лейбниц белгілеуі туындының анықтамасының 4°-ші түрін елестетеді.
Егер 1°-4°-гі шектерді оң жақты және сол жақты шектерге өзгертсек, онда f функциясының x0 нүктесіндегі сәйкес оң және сол жақты туындыларының анықтамаларына келеміз. Оң жақты туындыны f+'x0, ал сол жақты туындыны f-'x0 символдарымен белгілейді. Сонымен,
f+'x0=limx--x0+0fx-f(x0)x-x0=limh- -+0fx0+h-f(x0)h,
f-'x0=limx--x0-0fx-f(x0)x-x0=limh- --0fx0+h-f(x0)h.
[a, b] сегментінде анықталған f функциясының a нүктесінде тек қана оң жақты, ал b нүктесінде тек қана сол жақты туындылары туралы айтуға болады.
Әрине, f функциясының x0 нүктесінде жай (екі жақты) туындысы бар болуы үшін, оның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.
Егер 1°-4°-дегі өрнектердің жай, оң немесе сол жақты ақырсыз шегі бар болса, онда f функциясының x0 нүктесінде сәйкес жай,оң немесе сол жақты ақырсыз туындысы бар дейді.
Мысалы, егер limx--x0+0fx-f(x0)x-x0=-infinity болса, онда f функциясының x0 нүктесінде оң жақты ақырсыз -infinity-ке тең туындысы бар дейді де, былай f+'x0=-infinity белгілейді.
Ақырсыз туындылар сирек қолданылады, сондықтан ақырлы туындыны қысқаша туынды деп атайды. Сонымен, туынды дегенге ақырлы туынды мағынасында түсіну керек( кейбір маңызды жағдайларда, ақырлы туынды деп те толық айтамыз).
Туынды ұғымы - локальді ұғым.
Функцияның жиында дифференциалдануы, нүктеде дифференциалдануы арқылы анықталады:
f функциясы X жиынында анықталған болсын. Егер X жиынының әрбір нүктесінде f функциясының ақырлы туындысы бар болса, онда f функциясының X жиынында туындысы бар немесе f функциясы X жиынында дифференциалданады дейді де, f∈D(X) символымен белгіленеді.
Сонымен, D(X) символымен X жиынында анықталған және дифференциалданатын функциялардың бәрінен құрылған жиын белгіленеді.
Әрине, f функциясы X жиынында дифференциалданбайды деген f функциясының кемінде бір x0∈X нүктесінде ақырлы туындысы жоқ дегенмен пара-пар.
Е с к е р т у. Кез келген анықтама сияқты,
limx--x0fx-fx0x-x0=f'x0 (3)
туындының анықтамасы да келесі қарама-қарсы бағыттарда пайдаланылады:
1). Оңнан солға қарай - f функциясының x0 нүктесіндегі туындысы бар болатыны белгілі болса, онда (3) теңдігінің сол жағындағы шек те бар болып, мәні оң жағындағы санға тең болады.
2). Солдан оңға қарай - (3) теңдігінің сол жағындағы шек бар болатыны дәлелденсе, онда ол сол теңдіктің оң жағында тұрған символмен белгіленеді.
Әрине, бұл айтқанымыз 2°-4° түріндегі туындының анықтамалары үшін де орындалады.
Туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі.
Біз шек ұғымы арқылы функцияның екі қасиетін анықтадық - ол үзіліссіз болуы мен туындысы бар болуы.
Енді осы екі қасиеттің ара қатынасын қарастырайық.
f функциясы I аралығында анықталып, x0∈I болсын.
Т е о р е м а. Егер f функциясының x0 нүктесінде жай, оң немесе сол жақты ақырлы туындысы бар болса, онда f сол нүктеде сәйкес жай, оң немесе сол жақты үзіліссіз болады.
Д ә л е л д е у і. f функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болсын. Әрбір x!=x0 үшін fx-fx0=fx-f(x0)x-x0 ∙(x-x0) болады, демек, көбейтіндінің шегі туралы теорема бойынша fx-fx0--f'x0∙0=0 (x-- x0), яғни f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз.
Мұның ешқандай теоремаға сүйенбейтін тіке дәлелдеуін де беруге болады. Расында да, ε0 саны берілсін. Онда шектің анықтамасы бойынша 0∣x-x0∣δ0(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x∈I сандары үшін
│fx-fx0x-x0-f'(x0)∣ε (4)
теңсіздігі орындалатын δ0(ε) оң саны табылады. Аталған x сандары үшін (4)-тен келесі │fx-fx0│(ε+│f'(x0)│)∙ │x-x0│ теңсіздік шығады. Сондықтан, δε=min{δ0ε, εε+∣f'x0∣} болса, онда │x-x0│δε⇒│fx-f(x0)│ε шарты орындалады, ал бұл f функциясының x0 нүктесіндегі үзіліссіздігінің дәл өзі болады.
Біржақты туындылар жағдайында да теорема дәл осылай дәлелденеді.
С а л д а р. Егер x0 нүктесі f функциясының үзіліс нүктесі болса, онда сол нүктеде f-тің ақырлы туындысы болмайды.
Туынды табуға кейбір мысалдар. 1°. Функцияның бірде-бір нүктеде туындысы жоқ болуы мүмкін. Мысалы, Дирихле функциясы әрбір үзілісті болғандықтан, оның бірде-бір нүктеде туындысы болмайды.
2°. Функцияның тек қана бір нүктеде туындысы бар болуы мүмкін.
Мысалы, fx=x2, егер x рационал сан болса,0, егер x иррационал сан болса
функциясы сондай болады. Бұл функция әрбір x!=0 нүктелерінде үзілісті болғандықтан, туындысы да болмайды.
Енді x0=0 нүктесінде туындысы бар және 0-ге тең екенін көрсетейік. Ол үшін
lim x--0fx-f(0)x-0=limx--0f(x)x=0 (5)
теңдігін дәлелдесек болғаны. Әрине, x!=0 үщін
f(x)x=x, егер x рационал сан болса,0, егер x иррационал сан болса.
ε оң саны берілсін. Егер δε=ε болса, онда барлық 0xδε=ε үшін f(x)xε теңсіздігі орындалады, яғни (5) дәлелденді. Сонымен, f'0=0 болды. f функциясының 0 нүктесіндегі жанамасы y=0 болады да x-тер өсімен беттеседі.
Бұл мысал келесі сұраққа теріс жауап береді: Берілген f функциясының x0 нүктесінде ақырлы туындысы бар болсын (әрине, онда ол x0 нүктесінде үзіліссіз де болады). Онда кемінде тағы бір x!=x0 нүктесінде функцияның үзіліссіз болуы міндетті ме?
3°. Функцияның үзіліссіздік нүктесінде міндетті түрде туынды бар бола ма?
Бұл мысал келесі сұраққа теріс жауап береді: fx=x функциясы 0 нүктесінде үзіліссіз, оң және сол жақты туындылары бар болады да, бірақ жай (екі жақты) туындысы болмайды. Расында да, әрбір x!=0 үшін
fx-f(0)x-0=xx=1, егер x оң болса,-1, егер x теріс болса
демек, f+'0=limx--+0fx-f(0)x-0=limx--+01 =1 және f-'0=limx---0fx-f(0)x-0=limx---0- 1=-1 болады.
Сонымен, оң және сол жақты туындылары бар болып, өзара тең емес, демек, x функциясының 0 нүктесінде жай (екі жақты) туындысы болмайды.
Егер x0 нүктесінде f функциясының оң және сол жақты туындылары бар болып, бірақ жай туындысы болмаса, онда x0 нүктесін функцияның сыну нүктесі деп атайды. x0=0 нүктесі x функциясы үшін сыну нүктесі болады. (1-суреттен x=0 нүктесінің қасында (0,0) нүктесінен өтетін бірде-бір түзу x функциясының графигіне жақындамайтынын көреміз)
Келесі екі мысалда үзіліссіз функцияның ақырлы туындысы болмауының екі түрі келтірілген.
4°. fx=x23 үшін
f+'0=limx--+03x2x=limx--03x2x=+in finity,
f-'0=limx---03x2x=limx--03x2-x=-i nfinity
2 - суреттен бұл функцияның 0 нүктесіндегі жанамасы x=0 түзуі екенін көруге болады.
5°. fx=3x болсын, онда
f'0=limx--0fx-f(0)x-0=limx--03xx= +infinity
болады, өйткені x!=0 үшін
3xx=1x23 теңдігі орындалады.
Сонымен, бұл жағдайда туынды бар болып, ақырсыз болады.
3 - суреттен бұл функцияның жанамасы x=0 түзу екенін көруге болады.
6°. fx=xsin1x, егер x!=0 болса, 0, егер x=0 болса
функциясы 0 нүктесінде үзіліссіз болады. Бұл келесі
fx-f(0)=x∙sin1x=x (x!=0)
теңсіздігінен шығады. Әрбір x!=0 үшін
fx-f(0)x-0=x∙sin1xx=sin1x
теңдігі орындалады, демек, бұл жағдайда туындының анықтамасындағы қатынастың ешқандай біржақты шегі болмайды, себебі теңдіктің оң жағындағы функция сондай.
Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның оң және сол жақты туындылары болмауы мүмкін. 4 - суреттен ешқандай түзу бұл функцияның жанамасы бола алмайтынын көреміз. Расында да, кей түріндегі түзуге функцияның графигі жақындамайды да, ал басқа түрдегі түзуді график ақырсыз көп рет кесіп өтсе де, оған тығыз орналаспаған.
Е с к е р т у. Жоғарыда берілген мысалдарда үзіліссіз функцияның тек қана бір нүктеде туындысы жоқ болатыны көрсетілді.
Үзіліссіз функцияның барлық нүктелерде туындысы болмауы мүмкін. Мұндай функцияның мысалын алғашқы рет К.Вейерштрасс құрған.
1.2. Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
Дифференциалдау ережелері. f функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз де болады, яғни limh--0fx0+h-f(x0)h шегін 00 түріндегі анықталмағандық ретінде қарастыруға болатынын көреміз. Сондықтан, туындыны тапқанда 2-пунктте берілген шек табу тәсілдерін қолданған жөн. Олар келесі теореманың дәлелдеуінде пайдаланылады.
Т е о р е м а. f және g функциялары a,b сегментінде анықталып, x∈a,b нүктесінде дифференциалдансын. Онда c∙f (c- нақты сан), f+g, f-g, f∙g, fg функциялары да x нүктесінде дифференциалданып, келесі теңдіктер дифференциалдау ережелері орындалады:
I. c∙f'x=c∙f'(x).
II. f+g'x=f'x+g'(x) (қосындының туындысы);
III. f-g'x=f'x-g'(x) (айырымның туындысы);
IV. f∙g'x=f'x∙gx+fx∙g'x (көбейтіндінің туындысы);
V. fg'x= f'xgx-fxg'(x)g2(x) (бөліндінің туындысы);
Әрине, V тұжырымда алдын ала g(x)!=0 шарты орындалады деп ұйғарамыз.
Д ә л е л д е у і. Әрбір c нақты саны үшін
c∙f'x=c∙limh--0fx+h-f(x)h=limh--0 cfx+h-cf(x)h=c∙f'x (6)
болады, яғни I дәлелденді. Мұнда бірінші және соңғы теңдіктер қарама-қарсы қолданылған шектің анықтамалары болса (біріншісі - теореманың шартындағы f функциясының x нүктесіндегі туындысы бар болатынын бейнелесе, екіншісі - бар болатыны дәлелденген шектің туынды символы арқылы жазылуы), ортаңғы теңдік таңбасы шектің таңбасының астында теңдікті сақтап нақты санды енгізуге болатыны туралы теорема бойынша қойылған.
Келесі f'x+g'x=limh--0fx+h-fxh+limh--0gx +h-gxh=limh--0f+gx+h-f+g(x)h=f+g'x
теңдіктерден II ережесі шығады. Мұндағы шеткі теңдіктер (6) жағдайындағыдай түсіндіріледі, ал ортадағы теңдік таңбасы шегі бар функциялардың қосындысының шегі туралы теорема бойынша қойылған.
III ережесі алғашқы екеуінің салдары болады.
Енді IV-ті дәлелдейік. φ=f∙g болсын. Онда T0 тәсілі, дәл айтқанда, 0=fx∙gx+h-f(x)∙g(x+h) тепе-теңдігі келесі
φx+h-φ(x)h=gx+h∙fx+h-fxh+fx∙gx+h-gx h (7)
теңдікке әкеледі. g функциясы x нүктесінде дифференциалданғандықтан gx+h--gx (h--0) шарты орындалады, демек, (7)-нің оң жағындағы өрнекке көбейтінді мен қосындының шегі туралы теореманы қолдансақ, онда бізге дәлелдеу керек болатын
f∙g'x=limh--0φx+h-φ(x)h=f'x∙gx+f(x )∙g'(x)
теңдігіне келеміз.
V те IV тәрізді дәлелденеді: φ=fg болса, онда T0 тәсілі, дәл айтқанда 0=fx∙gx-f(x)∙g(x) тепе-теңдігі бойынша
φx+h-φxh=fx+hgx-fxgx+hgx+hgxh=1gx+h -gxx
xfx+h-f(h)h∙gx-fx∙(gx+h-gx)h
теңдігі орындалады. Бұл теңдіктің оң жағындағы өрнектің шегі бар болатыны IV жағдайындағыдай түсіндіріледі. Сонымен,
fg'x=limh--0φx+h-φ(x)h=f'xgx-fxg'( x)g2(x)
теңдігі орындалады, яғни V, сонымен бірге теорема да толық дәлелденді.
Күрделі функцияның туындысы.
u=f(x) функциясы a,b сегментінде анықталып, оның мәндерінің fa,b=fx:a=x=b жиыны y=g(u) функциясы анықталған c,d сегментінің жиыншасы болсын. Онда y=φx=g(f(x)) күрделі функциясы a,b сегментінде анықталған болады.
Т е о р е м а. Егер f функциясының x0∈a,b нүктесінде туындысы бар болып, g функциясының f(x0)∈c,dнүктесінде туындысы бар болса, онда φ күрделі функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болып,
I. φ'x0=g'(fx0)∙f'(x0) болады.
Сөзбен айтқанда, күрделі функцияның туындысы оның құрамындағы функциялардың өз нүктелеріндегі (g-дің f(x0), f-тің x0 нүктесіндегі) туындыларының көбейтіндісіне тең болады.
Е с е р т у. Туындының Лейбниц белгілеуінде VI ережесі есте сақталуы өте жеңіл болатын dydx=dydu∙dudx түрінде жазылады.
Д ә л е д д е у і. Алдымен f'(x0)!=0 болсын. Онда 0-дің белгілі бір ойылған маңайындағы барлық h сандары үшін функцияның мәндері шектің мәнін сақтайтыны туралы теорема бойынша fx0+h-f(x0)h!=0 болады, демек, fx0+h-f(x0)!=0 теңсіздігі орындалады.
Сондықтан, h--0 болғанда шегін табу керек болатын
φx0+h-φ(x0)h=gfx0+h-g(f(x0))h өрнегін
φx0+h-φ(x0)h=gfx0+h-g(f(x0))fx0+h-f (x0)∙fx0+h-f(x0)h
түрінде бейнелеуге болады. Бұдан VI теңдігі (ережесі) шығады, өйткені g функциясы fx0 нүктесінде, ал f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, С-тәсілі бойынша th=fx0+h, t0=f(x0) үшін
limh--0gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0=limt-- t0gt-gt0t-t0=g't0=g'(fx0)
теңдігі орындалады.
Енді f'x0=0 болсын. ψ t=gfx0+t-g(f(x0))t үшін туындының анықтамасы бойынша limt--0ψ t=g'(f(x0)) болады, демек, ψ t функциясы 0 нүктесінде локальді шенелген болады, яғни
0tη⇒ψ (t)=C (9)
шарты орындалатын η және C оң сандары табылады. 0εη теңсіздігін қанағаттандыратын ε саны берілсін. Онда limh--0fx0+h-f(x0)=0 (f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз) және
limh--0fx0+h-fx0h=0=f'x0 (10)
болғандықтан
0hδ1ε⇒fx0+h-fx0εη (11)
және
0hδ2ε⇒fx0+h-f(x0)hεC (12)
шарттары орындалатын δ1ε0 және δ2ε0 сандары табылады.
Егер δ=minδ1ε,δ2ε0 саны үшін
0hδε⇒fx0+h-f(x0)hε (13)
шарты орындалатынын дәлелдесек, онда біздің мақсатымыз болатын
φ'x0=limh--0φx0+h-φx0h=130=10g'(f( x0))∙f'(x0)
теңдігі де дәлелденген болатын.
Сонымен, (13)-ті дәлелдейік. 0hδ болсын. Алдымен h үшін fx0+h-fx0=0 болсын. Онда
φx0+h-φx0h=gfx0+h-gfx0h=gfx0-gfx0h= 0
болады, яғни сондай h үшін (13) орындалады. Ал fx0+h-fx0!=0 болғанда th=fx0+h-fx0 үшін (11) бойынша (өйткені 0hδ=δ1ε) 0t(h)ε η теңсіздігі орындалады, демек, (9) бойынша
gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0=ψth=C (14)
теңсіздігі орындалады.
Сонымен, (14) және (12) бойынша (өйткені 0hδ=δ2(ε))
φx0+h-φx0h=gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0∙fx0 +h-fx0hС∙εС=ε
болады, яғни (13) бұл жағдайда орындалады.
Теорема толық дәлелденді.
Е с к е р т у. f(2x)' өрнегін қалай түсіну керек - f функциясының 2x нүктесіндегі туындысы ма, әлде f және 2x функцияларынан құрылған күрделі функцияның x нүктесіндегі туындысы ма? Бұл жай сұрақ емес екені келесі мысалдан көрінеді: егер fx=x болса, онда біріншіден, f-тің 2x нүктесіндегі туындысы 1 санына тең:
limh--02x+h-2xh=limh--0hh=1;
екіншіден, fx=x және ψx=2x функцияларынан құрылған fψx=f2x=2x функциясының x нүктесіндегі туындысы 2 санына тең:
limh--02x+h-2xh=limh--02hh=2
Сонымен, f(2x)' өрнегінің мәні оны қалай түсінуімізге байланысты екен. f(2x)' жазуын екінші мағынада тусінуге өзіміз келісейік. Сөйтіп, fx=x үшін f2x'=f'2x∙2x'=2. Ал f функциясының 2x нүктесіндегі туындысын, мәселен, f'(t)t=2x деп белгілеуге болады.
Кері функцияның туындысы. y=f(x) функциясы a,b сегментінде өспелі (яғни x1x2⇒f(x1)f(x2) шартын қанағаттандыратын) және үзіліссіз болсын. Онда оның fa, f(b) сегментінде анықталған және үзіліссіз болатын f-1(y) кері функциясы бар болады.
Кемімелі (яғни x1x2⇒f(x1)f(x2) шартын қанағаттандыратын) функция туралы да дәл осыны айтуға болады.
Т е о р е м а. Егер y=f(x) функциясы a,b сегментінде үзіліссіз және өспелі болып, x0∈a,b нүктесінде нольге тең емес туындысы бар болса, онда x=f-1(y) кері функциясының да y0=f(x0) нүктесінде туындысы бар болып, VII f-1'y0=1f'(x0) немесе dxdy=1dydx теңдігі (ережесі) орындалады.
Д е л е л д е у і. f-1=g болсын. Кері функцияның анықтамасы бойынша әрбір y∈fa, f(b) саны үшін
y=fx, gy=gfx=x (15)
теңдіктерін қанағаттандыратын x∈a,b саны бар және жалғыз болады. g үзіліссіз болғандықтан y⟶y0⇒g(y)⟶g(y0) шарты, яғни (15) бойынша
y⟶y0⇒x⟶x0 (16)
шарты орындалады. Сондықтан, (15) және (16) бойынша
limy--y0gy-g(y0)y-y0=limx--x0x-x0 fx-f(x0)=1limx--x0fx-f(x0)x-x0=1f' (x0) (17)
теңдігі орындалады. Теорема толық дәлелденді.
1-е с к е р т у. Бұл теоремада негізгі мәселе g=f-1 функиясының y0=f(x0) нүктесінде туындысы бар болатынын дәлелдеу болды, өйткені ол орындалса, онда gfx=x тепе-теңдігін VI ережесі бойынша дифференциалдап, келесі g'fx∙f'x=1 теңдігіне, яғни VII ережесіне келеміз.
2-е с к е р т у. gy=f-1(y) кері функциясының графигі f функциясының графигіне y= x түзуі арқылы симметриялы. Сондықтан (5-суретті қараңыз), g функциясының y0 нүктесіндегі жанамаларының теңдеулері
y=f'x0x-x0+f(x0)
болады. Оны x арқылы шешсек, онда x=1f'x0 y-fx0+x0 яғни x0=gy0, y0=f(x0) болғандықтан x=1f'x0 y-y0+gy0 болады.
Туындының геометриялық мағынасы бойынша g функциясының y0 нүктесіндегі жанамасының теңдеуі x=g'y0y-y0+g(y0) болады, демек, g'y0=1f'x0 теңдігіне келеміз.
Әрине, бұл VII ережесінің дәлелдеуі емес, тек қана оның геометрия тіліндегі талқылауы.
3-е с к е р т у. (17) теңдігінен 6-пункттегі теорема бойынша келесі тұжырымдарға келеміз:
1) егер f'x0=+-infinity болса, онда g'y0=0 болады,
2) егер f'x0=+-0 болса, онда g'y0=+-infinity болады, демек, жалпылап айтқанда, егер f'x0=0 болса, онда f-1'fx0=g'y0=infinity болады.
Элементар функцияларды дифференциалдау
Негізгі элементар функциялардың туындылары
1°. Тұрақты функцияның туындысы. Егер f тұрақты функция болса, яғни әрбір x үшін fx=c (c - нақты сан) теңдігі орындалса, онда f'x0≡0 болады.
Расында да, әрбір x үшін fx+h-f(x)h=c-ch=0,
демек, 0=limh--0fx+h-f(x)h=f'(x)
2°. Дәрежелік функцияның туындысы. fx=xμ (μ- нақты сан) болсын. Бұл функцияның анықталу жиыны μ-ға тәуелді. x!=0 саны сол жиыннан болсын.
Онда
fx+h-f(x)h=(x+h)μ-xμh=xμ-11+hxμ-1hx
болады, демек, 2-пункттегі дәлелденген limt--0(1+t)μ-1t=μ теңдігі бойынша (t=hx үшін пайдаланылған)
f'x=xμ'=μ∙xμ-1 (1)
теңдігіне келеміз. (1) формуласы μ1 үшін x=0 нүктесінде де орындалады, өйткені
f'0=limh--0fh-f(0)h=limh--0hμh=li mh--0hμ-1=0.
Ал μ=1 болса, онда fx=x болады, демек, барлық x нақты сандары үшін
f'x=limh--0fx+h-f(x)h=limh--0x+h- xh=1.
(1)-дің бірнеше дербес жағдайларын қарастырайық.
Егер μ=-1 болса, онда
1x'=x-1'=-1∙x-1-1=-1x2 x!=0.
Ал μ=-12 болса, онда
1x'=x-12'=-12∙x-12-1=-12xx x0.
Соңында, μ=12 болсын. Онда
x'=x12'=12x12-1=12x x0.
3°. Көрсеткіштік функцияның туындысы. fx=ax (a0) болсын. Онда әрбір x нақты саны үшін
fx+h-f(x)h=ax+h-axh=ax∙ah-1h
болады, демек, 2-пункттегі дәлелденген limh--0ah-1h=lna теңдігі бойынша fx'=ax'=ax∙lna(-infinityx+infinit y) теңдігіне келеміз. Бұдан a=e болғанда, келесі тамаша
(ex)'=ex(-infinityx+infinity)
теңдігі шығады (ex функциясының туындысы өзіне тең!).
Логарифмдік функцияның туындысы. fx=logax (a0, a!=1, 0x+infinity) болсын. x оң саны берілсін. Онда
fx+h-f(x)h=logax+h-logaxh=1x∙loga1+ hxhx
болады, демек, 4-пункттегі дәлелденген limt--0loga(1+t)t=logae теңдігі бойынша (t=hx үшін пайдаланылған)
fx'=logax'=1x∙logae 0x+infinity (2)
теңдігіне келеміз. Егер a=e болса, онда (2)-нің түрі өте үнемді болады:
lnx'=1x.
2.3. Тригонометриялық функциялардың туындылары
sinx пен cosx (-infinityx+infinity) функцияларының туындылары. fx=sinx болсын. Онда
fx+h-f(x)h=sinx+h-sinxh=sinh2h2∙cos x+h2
болады, демек, 3-пункттегі дәлелденген limt--0sintt=1 теңдігі (t=h2 үшін пайдаланылған) және косинустың үзіліссіздігі бойынша (limh--0cosx+h2=cosx)
sinx'=cosx(-infinityx+infinity) (3)
теңдігі орындалады. Дәл осылай,
(cosx)'=-sinx-infinityx+infinity (4)
теңдігін де дәлелдеуге болады, бірақ оны біз күрделі функцияның туындысын табу ережесін қолданып дәлелдейміз:
(cosx)'=sinx+PI2'=cosx+PI2∙x+PI2'=- sinx.
tgx пен ctgx функцияларының туындылары. Әуелі fx=tgx болсын. Онда x!=PI2+kPI (k=0, +-1, +-2, ...) үшін бөлшекті дифференциялдаудың ережесі бойынша
tgx '=sinxcosx'=sinx'∙cosx-cosx'∙sinxco s2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=1++tg2x . (5)
дәл осылай, x!=kPI (k=0, +-1, +-2, ...) үшін
ctgx '=cosxsinx'=cosx'∙sinx-cosx∙sinx'si n2x=-sin2x-cos2xsin2x=-1sin2x=-1+ct g2x . (6)
arcsinx функциясының туындысы. fx=sinx функциясын -PI2, PI2 сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f - тің кері функциясы болып, ол -1,+1 сегментінде анықталған f-1y=arcsiny функциясы болады. Кері функцияның туындысы туралы теореманы қолданайық. f'x=cosx болғандықтан, f'x функциясы -PI2, PI2 интервалында нольге айналмайды. Сондықтан, arcsiny функциясының (-1,+1) интервалында ақырлы туындысы болады. Енді соның мәнін табайық. fx=sinx∈(-1,+1) үшін x=arcsiny∈-PI2, +PI2 болады, демек, кері функцияның туындысын табу ережесі мен (3) теңдігі бойынша
arcsiny'=f-1'y≡VII1f'x=31cosx=1cosa rcsiny (7)
теңдігі орындалады. Жалпы cost=+-1-sin2t болады, ал бұл жағдайда t=arcsiny∈-PI2,PI2 болғандықтан, радикалдың алдында (+) таңбасын алу керек:
cosarcsiny=1-sinarcsiny2=1-y2.
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, y-тен үйреншікті x айнымалысына көшсек, онда (7) былай жазылады
arcsinx'=11-x2 -1x1.
PI2 және PI2 нүктелерінде f-тің туындысы нольге тең болғандықтан f-1-дің оларға сәйкес -1 және 1 нүктелерінде арксинустың сәйкес оң және сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады.
arccosx функциясының туындысы. fx=cosx функциясын 0,PI сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол -1,1 сегментінде анықталған f-1y=arccosy функциясы болады. 7°-де айтылғанның бәрін де arccosy үшін де қолдануға болады. y=cosx∈(-1,1) үшін x=arccosy∈(0,PI) болады, демек, VII және (4) бойынша
arccosy'=f-1'y=1f'(x)=-1sinx=-1sina rccosy (8)
теңдігі орындалады. Жалпы sint=+-1-cos2t болады, ал бұл жағдайда t=arccosy∈(0,PI) болғандықтан, радикалдың алдында (+) алу керек:
sinarccosy=1-cosarccosy2=1-y2.
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, y-тен үйреншікті x айнымалысына көшсек, онда (8) былай жазылады:
arccosx'=-11-x2 -1x1.
Ал -1 және 1 нүктелерінде арккосинустың сәйкес оң және сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады (мұның себептері арксинус жағдайындағыдай).
arctgx функциясының туындысы. fx=tgx функциясын -PI2,PI2 интервалында қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол (-infinity,+infinity) интервалында анықталған f-1y=arctgx функциясы болады.
y=tgx∈(-infinity,+infinity) үшін x=arctgy∈-PI2,PI2
болады, демек, VII және (5) бойынша
arctgy'=f-1'y=1f'(x)=11+tg2x=11+tga rctgx2=11+y2.
Сөйтіп, әдеттегідей y-тің орнына x-ті қойсақ, онда
arctgy'=11+x2 (-infinityx+infinity)
теңдігіне келеміз.
arcctgx функциясының туындысы. fx=ctgx функциясы 0,PI интервалында қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол -infinity,+infinity интервалында анықталған f-1y=arcctgy функциясы болады. y=ctgx∈(-infinity,+infinity) үшін x=arcctgy∈(0,PI) болады, демек, VII және (6) бойынша
arcctgy'=f-1'y=1f'x=-11+ctg2x=-11+c tgarcctgy2=
=-11+y2.
Сөйтіп, соңғы теңдікте y-ті x-ке ауыстырып жазсақ, онда
arcctgx'=-11+x2 (-infinityx+infinity)
теңдігіне келеміз.
Енді туынды формулаларын жинақтайық.
1. fx=C, f'x=0 -infinityx+infinity. fx=x, f'x=1 -infinityx+infinity. fx=xμ, f'=μ∙xμ-1 (-infinityx+infinity, егер μ1 оң бүтін сан болса).
fx=1x, f'x=-1x2 x!=0. fx=x, f'x=12x (x0)
2. fx=ax a0, f'x=ax∙lna -infinityx+infinity. fx=ex, f'x=ex.
3. fx=logax a0, a!=1, f'x=1x logae x0. fx=lnx, f'x=1x.
4. fx=sinx, f'x=cosx -infinityx+infinity.
5. fx=cosx, f'x=-sinx -infinityx+infinity.
6. fx=tgx, f'x=1cos2x x!=PI2+kPI, k=0, +-1, ...
7. fx=ctgx, f'x=-1sin2x x!=kPI, k=0, +-1, ...
8. fx=arcsinx, f'x=11-x2 -1x1.
9. fx=arccosx, f'x=-11-x2 -1x1.
10. fx=arctgx, f'x=11+x2 -infinityx+infinity.
11. fx=arcctgx, f'x=-11+x2 -infinityx+infinity.
Бұдан негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функциялар болатыны байқалады.
2.4. Элементар функциялардың туындылары туралы
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, x=x2 элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталған болса да, x0=0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ, егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса, онда f' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген). Екіншіден, егер φ функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының нәтижесі болады (ол I - VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементар функцияның туындысын табу үшін I - VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар функциялардың туындыларының 1 - 11 формулалары жеткілікті екенін көреміз.
Енді сол ережелерді қолданау жөнінде кейбір нұсқаулар жасайық.
1°. Күрделі функцияның туындысын табу туралы. Әуелі негізгі элементар функциялардың туындылар таблицасын VI ереже бойынша былай жалпылап (өйткені ux=x үшін u'x=1) жазайық:
1. fx=u(x)μ үшін f'x=μ∙u(x)μ-1∙u'x,
2. fx=au(x) (a0) үшін f'x=au(x)∙lna∙u'x,
3. fx=eu(x) үшін f'x=eu(x)∙u'x,
4. fx=logau(x) (a0,a!=1) үшін f'x=u'xu(x)∙logae.
5. fx=lnu(x) үшін f'x=u'xu(x).
6. fx=sinu(x) үшін f'x=cosu(x)∙u'x.
7. fx=cosu(x) үшін f'x=-sinu(x)∙ u'x.
8. fx=tgu(x) үшін f'x=u'xcos2u(x),
9. fx=ctgu(x) үшін f'x=-u'xsin2u(x),
10. fx=arcsinu(x) үшін f'x=u'x1-u2(x),
11. fx=arccosu(x) үшін f'x=-u'x1-u2(x),
12. fx=arctgu(x) үшін f'x=u'x1+u2(x),
13. fx=arcctgu(x) үшін f'x=-u'x1+u2(x).
Әрине, бұндағы әрбір күрделі функция көрсетілген амалдар мағыналы болатындай шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарамыз.
Келтірілген таблицадан мынадай қорытынды жасауға болады: егер f функциясын сыртқы функциясы негізгі элементар болатындай, яғни 1 - 11 түрлеріндегідей, күрделі функция ретінде бейнелеу мүмкін болса, онда f' табу мәселесі ux ішкі функциясының туындысын табу мәселесіне келтіріледі. Әрине, ішкі функцияның туындысын табу үшін осының алдында айтылғанды қайталауға болады. Бұл тәсіл сырттан ішке дифференциалдау деп аталады.
Айтылғанды мысалдармен толықтырайық.
1. fx=e-x функциясының туындысын табу керек болсын. ux=-x үшін fx=eu(x), демек, 2 бойынша
f'x=e-x∙u'x=-e-x, (9)
өйткені u'x=(-x)'=-1∙x'=-1.
2. fx=tge-x функциясын дифференциалдау керек болсын. ux=e-x үшін fx=tgu(x),
демек, 6 мен (9) бойынша f'x=1cos2e-x. u'(x)(9)=-e-xcos2e-x.
3. fx=arctgsinecosx функциясының туындысын табу керек болсын. Онда u1x=sinecosx үшін fx=arctgu1x, демек, 10 бойынша
f'x=11+(sinecosx)2 ∙u1'x; (10)
u2x=ecosx үшін u1x=sinu2x, демек, 4 бойынша
u1'x=cosecosx∙u2'x; (11)
u3x=cosx үшін u2x=eu3x , демек, 3 пен 5 бойынша
u2'x=eu3x∙u3'x=-ecosx∙sinx. (12)
Сонымен, (10), (11) және (12) бойынша f'x=-11+sinecosx2∙cosecosx∙ecosx∙si nx.
Күрделі функцияның туындысын тапқанда, оны келтірілген мысалдардағыдай құраушы функцияларға жіктеудің қажеті жоқ. Жаттығулар арқылы сырттан ішке қарай бірден дифференциалдауға үйренген жөн.
Енді гиперболалық функциялардың туындыларын табайық.
2°. Гиперболалық функцияларды дифференциалдау.
(shx)'=ex-e-x2' III,(9)=ex+e-x2=chx, (13)
(chx)'=ex+e-x2' II,(1)=ex-e-x2=shx, (14)
thx'=shxchx'=Vshx'chx-chx'shxch2x=1 3,14ch2x-sh2xch2x=
=1ch2x,
cthx'=chxshx'=Vchx'shx-shx'chxsh2x= 13,14sh2x-ch2xsh2x=
=-1sh2x
Егер дәлеледенген формулаларды (4 - 7) формулаларымен салыстырсақ, онда гиперболалық пен тригонометриялық функцияларда дифференциялдау формулаларының арасында ұқсастық бар екенін көреміз.
3°.Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табу.
fx=uxvx дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табайық. Мұнда u және v функцияларының x нүктесінде туындысы бар болып, u функциясы x-тің белгілі бір маңайында деп ұйғарамыз.
f-ті анықтайтын тепе-теңдіктің екі жағын да логарифм деп, fx=v(x)∙lnux тепе-теңдігіне келеміз. Оның екі жағын да дифференциалдайық:
f'xfx=3,IVv'xlnux+vx∙u'xux.
Бұдан fx=uxvx екенін ескере отырып, мақсатымыз болатын
f'x=uxvx∙v'x∙lnux+vx∙u'xux (15)
формуласына келеміз.
М ы с а л д а р. 1. fx=x1x (x0) болсын. Онда ux=x, vx=1x болады, демек, (15) бойынша
x1x'=x1x-2∙1-lnx (16)
2. fx=(sinx)ex (0xPI) болсын. Онда ux=sinx, vx=ex болады, демек, (15) бойынша
f'x=(sinx)exexlnsinx+ex∙ctgx.
f'xfx функциясын fx-тің логарифмдік туындысы деп атайды.
Сөйтіп, логарифмдік туынды арқылы fx=uxvx функциясының туындысы (15) формуласымен берілетінін көрдік.
4°. Жалпы қорытынды. f функциясының x0 нүктесіндегі туындысын тапқанда, мына екі жағдайдың біреуі міндетті түрде орындалады. 1. x0 нүктесінің белгілі бір δ-маңайында f элементар функция болады, яғни x0-δxx0+δ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық x сандары үшін fx=g(x) теңдігі орыналатын g элементар функциясы табылады. 2. x0 нүктесінің әрбір маңайында f ешқандай элементар функцияға тепе-тең болмайды.
Бірінші, жағдайда, f'x0=g'(x0) теңдігінің орындалуы айқын, ал кез келген g элементар функциясының туындысын табу мәселесі жоғарыда талқыланған еді.
Екінші, жағдайда, туындының анықтамасын тікелей пайдалануға тура келеді, яғни limx--x0fx-f(x0)x-x0 шегін табу әдісін іздеу керек.
fx=x2sin1x, x!=0 болғанда,0, x=0 үшін
функциясының туындысын табайық.
Алдымен, x0!=0 болсын. Онда x0-дің x02-маңайында fx пен gx=x2sin1x элементар функциясы тепе-тең, демек,
f'x0=g'x0=2x0sin1x0-cos1x0 (x0!=0)
Ал x0=0 үшін, оның маңайы болатын әрбір (-δ,+δ) интервалында f функциясы бір-бірінен өзге φ(x)≡0 және gx=x2sin1x элементарфункцияларын араластыру арқылы құрылған, демек, f элементар бола алмайды. Сондықтан, туындының анықтамасы бойынша limh--0fh-f(0)h шегін табу керек.
fh-f(0)h-0=h∙sin1h=h (h!=0)
болғандықтан, f'0=0 болады.
Сонымен, f'x=2xsin1x-cos1x, x!=0 болса, 0 x=0 үшін.
Бұл мысалдың бір қызығы, бірінші туынды әрбір нүктеде бар болса да, f'-үзіліссіз функция емес. Расында да, f'x функциясы 0 нүктесінде үзілісті болады, өйткені xn=1nPI үшін xn⟶0 n⟶infinity, бірақ fxn=(-1)n.
Бұл екінші түрдегі үзіліс екенін арнай ескертейік.
13.3. Жоғарғы ретті туындылар.
f функциясы I аралығында дифференциалдансын. Онда әрбір x∈I санына f'x нақты санын сәйкес қоятын ереже функция болады. Ол f', f(1) dfdx немесе Df символдарымен белгіленеді. Әрине, f' функциясының x0∈I нүктесінде туындысы бар болуы туралы сұрақ қоюға болады (келісім бойынша туынды деген сөзді ақырлы туынды мағынасында түсіну керек екенін еске саламыз).
Егер f' функциясы x0 нүктесінде дифференциалданса, яғни
limh--0f'x0+h-f'(x0)h
нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті f функциясының x0 нүктесіндегі екінші туындысы деп атайды да, f''(x0) символымен белгілейді.
Егер I аралығының әрбір нүктесінде f функциясының екінші туындысы бар болса, онда f функциясы I аралығында екі рет дифференциалданады немесе екінші ретті туындысы бар дейді.
Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін n жағдайына таратылады:
f(1)=f' , f(2)=(f(1))', f3=(f(2))', ... , f(n)=(f(n-1))'.
f функциясын f(0) символымен белгілеген кейде ыңғайлы болады. f(n) функциясы f функциясының n-ші немесе n ретті туындысы деп аталады да, оны белгілеу үшін
dndxnf, ddxnf немесе Dnf
символдары да қолданылады.
f функциясының x нүктесіндегі n ретті туындысы
fnx=dnf(x)dxn=ddxnfx, Dnf(x)
символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес n-ші эф икс, дэ эн икс бойынша дэ эн эф, дэ эн эф икс).
Кейде бұл символдар fn функциясының өзін де белгілеу үшін қолданылады.
Келесі тұжырым өте маңызды болғандықтан, оқырманның назарын ерекше аударамыз: f функциясының x0 нүктесінде n-ші туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы (x0-δ, x0+δ) интервалында анықталып және (n-1) рет дифференциалданып, f(n-1) функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болады деп түсіну керек.
Расында да, бұл жоғарғы ретті туындының анықтамасының өзінен шығады: fn (x0) нақты саны анықтама бойынша
limh--0fn-1x0+h-fn-1x0h
шегіне тең, ал бұл шек мағыналы болу үшін fn-1 функциясы x0-дің белгілі бір δ маңайында анықталуы қажет.
fn-1 индукция бойынша анықталғандықтан, (x0-δ, x0+δ) интервалында f(n-2), f(n-3), ..., f(2), f(1) соңында f(0)=f функциялары анықталған.Бізге осыны көрсету керек еді.
Әрбір оң бүтін n саны үшін 0 нүктесінде n-ші туындысы бар болып, бірақ n+1-ші туындысы болмайтын функция табылады.
Мәселен, n жұп болғанда fx=xn+1, n тақ болғанда fx=xn+1sgnx функциялары сондай болады. Расында да, бұл екі жағдайда да fnx=x болады, ал x функциясы 0 нүктесінде дифференциалданбайтыны 6 -пунктінде дәлелденген еді.
Әрине, f функциясының x0 нүктесінде n-ші оң жақты (сол жақты) туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы x0,x0+δx0-δ,x0 жартылай интервалында анықталып және n-1 рет дифференциалданып, fn-1 функциясының x0 нүктесінде оң жақты (сол жақты) туындысы бар болады деп түсіну керек.
Мәселен, a, b сегментінде анықталған f функциясының a нүктесінде тек қана оң жақты, ал b нүктесінде тек қана сол жақты жоғарғы туындылары бар болуы мүмкін.
I аралығында анықталып, оның әрбір нүктесінде n-ретті (ақырлы) туындысы бар болатын барлық функциялардан құрылған жиынды Dn(I) символымен белгілейді.
I аралығында анықталған және n-ші туындысы сол аралықта бар және үзіліссіз болатын барлық функциялардан құрылған жиын Cn(I) символымен белгіленеді, яғни CnI=f:f∈DnI, fn∈C(I).
Соңында, екінші туындының механикалық мағынасын атап өтейік. Егер нүктенің қозғалысы f(t) функциясымен бейнеленсе, онда f'(t) сол нүктенің қозғалысының жылдамдығын бейнелейді, демек, f''(t) қаралып отырылған нүктенің қозғалысының жылдамдығының жылдамдығын, яғни қозғалыстың үдеуін бейнелейді.
4. Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары.
1°. Дәрежелік функцияның жоғарғы ретті туындылары. fx=xμ болсын. Оны бірте-бірте дифференциалдасақ, онда f'=μ∙xμ-1, f''x==μ(μ-1)xμ-2, ... болады. Мұнан әрбір n=1,2, ... үшін xμ(n)=μμ-1∙...∙(μ-n+1)xμ-n болатынын көреміз. Әрине, әрбір μ мен n үшін x саны xμ-n функциясының анықталу жиынынан алынады.
Егер μ=m оң бүтін сан болса, онда xm(m)=m!, демек, тұрақты функцияның туындысы нольге тең болғандықтан, әрбір nm үшін xm(n)=0 болады.
Бұдан, салдар ретінде, әрбір nm үшін кез келген m дәрежелі Pm x=a0+a1x-x0+ ... +am (x-x0)m көпмүшелігінің n-ретті туындысы нольге тепе-тең болатынын көреміз.
2°. Көрсеткіштік функциялардың жоғарғы ретті туындылары. fx=ax (a0) болсын. Оны бірте-бірте дифференциалдасақ, онда f'x=ax∙lna, f''x=ax∙ln2a, ... болады. Мұнан, әрбір n=1, 2, ... үщін ax(n)=ax∙lnn a(-infinityx+infinity) болатынын көреміз. Егер a=e болса, онда ex(n)=ex (n=1, 2, ...; -infinityx+infinity).
3°. Логарифмдік функцияның жоғарғы ретті туындылары. Алдымен a=e болсын, яғни fx=lnx x0. Онда f'x=1x, f''x=-1x2,f'''x=1∙2x3=(-1)21∙2x3, f4x=1∙2∙3x4=(-1)31∙2∙3x4, f5x=1∙2∙3∙4x5=(-1)431∙2∙3∙4x5, болады. Мұнан әрбір n=1,2,... үшін (lnx)(n)=(-1)n-1∙n-1!xn(x0) болатынын көреміз.
Әрине, жалны жағдайы да осы дербес жағдайдан шығады, өйткені
a0, a!=1 үшін logax=logexlogea.
4°.Тригонометриялық функциялардың жоғарғы ретті туындылары.
Алдымен fx=sinx болсын. f'x=sin(x+PI2) болғандықтан, әрбір дифференциалдауда аргументіне PI2 саны қосылатынын көреміз, демек, (sinx)(n)=sinx+n∙PI2(n=1,2,...). Дәл осылай, fx=cosx үшін f'x=-sinx=cos(x+PI2) болғандықтан, әрбір n=1,2,... үшін (cosx)(n)=cosx+n∙PI2 болады.
Ал тангенс, котангенс және кері тригонометриялық функциялар үшін жоғарыда қарастырылған жағдайлардағыдай қарапайым формулалар жоқ. Мәселен, математикалық индукция тәсілін қолданып
(arctgx)(n)=(n-1)!(1+x2)n2∙sinnarct gx+PI2 (n=1,2,...)
формуласын дәлелдеуге болады.
13.4. Лейбниц формуласы
Екі функцияның қосындысы мен айырымының туындысын табу ережесі n-ретті туынды жағдайына да оңай жалпыланады,ол,әрине, (f+-g)n=f(n)+-g(n) формулалары болады. Ал бөлінді мен көбейтіндіге келсек, онда бірінші амал үшін қолданылатындай формула жоқ болса,екінші амал үшін Ньютон биномының формуласына ұқсас формула бар екен. Ол Лейбниц формуласы деп аталады да, келесі түрдегі
(u∙ϑ)n=un∙ϑ+Cn1∙un-1∙ϑ'+Cn2∙un-2∙ϑ' '+...+Cnn-1∙u'∙ϑn-1+u∙ϑ(n) (17)
формула болады. Мұнда Cnk=nn-1∙...∙(n-k+1)k! биномдық коэффициенттер.
Лейбниц формуласын индукция бойынша дәлелдейік. n=1 үшін ол формула екі функцияның көбейтіндісінің дифференциалдану ережесіне айналады.
Енді оң бүтін n саны үшін (17) формуласы орындалады деп ұйғарып, n+1 үшін де орындалатынын көрсетейік. (17) теңдігінің екі жағын да дифференциалдап, қосындыларын төменде көрсетілгендей біріктірейік:
(u∙ϑ)n+1=un+1∙ϑ+Cn0un∙ϑ1+Cn1un∙ϑ1+C n1un-1∙ϑ2+Cn2un-1∙ϑ2+...+Cnn-1u1∙ϑn +Cnnu1∙ϑn+u∙ϑn+1. (18)
Cnk анықтамасынан Cnk-1+Cnk=Cn+1k (k=1,2,...,n) теңдігі оңай шығады. Сондықтан (18) теңдігін келесі
(u∙ϑ)n+1=un+1∙ϑ+Cn+11un∙ϑ1+Cn+12un- 1∙ϑ2+...+Cn+1nu1∙ϑn+u∙ϑn+1
түрінде жазуға болады, демек, (17) формуласы n+1 үшін орындалатыны, сонымен бірге Лейбниц формуласы да дәлелденді.
Егер u0=u, ϑ0=ϑ келісімімен пайдалансақ, онда Лейбниц формуласын келесі жинақты түрде жазуға болады:
(u∙ϑ)n=k=0nCnk∙u(n-k)∙ϑk.
М ы с а л д а р. 1. fx=x2∙ex функциясының n-ші туындысын табайық. Егер u=ex, ϑ=x2 болса, онда uk=exk=1,2,...; ϑ'=2x,ϑ''=2, ϑ(3)= ϑ(4)=...=0 болады, демек, Лейбниц формуласы бойынша
(x2ex)n=ex∙x2+Cn1ex∙2x+Cn2ex∙2=ex x2+2nx+nn-1.
Егер көбейтіліп тұрған функциялардың біреуінің туындылары белгілі бір реттен бастап нлоьге тепе-тең айналып, екіншісінің туындылары оңай табылса, онда Лейбниц формуласын қолдану нәтижелі болады. Қарастырылған мысалдағы функция сондай еді.
1. Лейбниц ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
0.1 Туындының анықтамасы. Туындының анықтамасының түрлері және туындының белгіленулері
0.2 Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
0.3 Тригонометриялық функциялардың туындылары
0.4 Элементар функциялардың туындылары туралы
0.5 Жоғарғы ретті туындылар
0.6 Лейбниц формуласы
0.7 Анықталмаған интеграл. Анықталмаған интеграл тақырыбының мазмұны
0.8 Анықталған интеграл анықтамасы және қасиеттері
II бөлім. Туынды мен анықталған интегралдың қолданулары
2.1 Туынды мен анықталған интегралдың физикада қолданылуы
2.2 Туынды мен анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы
2.3 Туынды мен анықталған интегралдың экономикада қолданылуы
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Зерттеудің өзектілігі: Көптеген математикалық оқулықтарда, анықтамаларда туынды мен интегралдың элементар қасиеттері, осы туынды мен интегралға жүргізілетін зерттеулер, олардың қолданылулары қарастырылған.Дипломдық жұмыста туынды мен интегралдың элементар, дәлірек айтқанда элементар функциялардың туындылары, тригонометриялық функциялардың туындылары, жоғарғы ретті туындылардының, анықталған интегралдың қасиеттерін математикалық талдау әдістерімен толығымен зерттеп, көптеген мысалдар (туынды мен интегралдың қолдануларын) қарастырдым.
Зерттеудің объектісі: Туынды, түрлері мен оның белгілену тәсілдері, Лейбниц формуласы, анықталған интеграл және оның қасиеттері, туынды мен анықталған интегралдың физикада,геометрияда және экономикада қолданылулары.
Зерттеудің мақсаты: Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу. Қазақ тілінде математикалық талдаумен оқу құралдарының жетіспеуіне байланысты өз еңбегіммен осы мәселені шешуге үлес қосу. Ізделінді тақырыпқа байланысты әдебиеттерді оқу. Математикалық талдаудағы теоремалар мен тұжырымдарды туынды мен интегралды зерттегенде қолданып математикалық талдау әдістерімен анықтау.
Зерттеудің болжамы: Туынды мен интегралды зерттеу арқылы математикалық талдау әдістерін байыту, есептерін шығару.
Зерттеудің теориялық маңызы: Математикалық талдаудың көптеген есептері табиғатта болатын құбылыстарды сипаттайтын математикалық моделі болып табылады. Математикалық талдау математиканың басқа да бөлімдерімен (аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, копмлекс айнымалылар теориясы, математикалық физика теңдеулері, функционалдық талдау т.б.) тығыз байланыста болғандықтан, математикалық талдаудың ұғымдары, тұжырымдары мен теоремалары осы аталған математиканың басқа да бөлімдерінде кеңінен қолданылады. Сондықтан да математикалық талдаудағы көптеген есептер тек қана математиканың басқа да бөлімдерінде ғана емес, физиканың, механиканың көптеген есептерінде өз қолданылуын табуда.
Зерттеудің жаңалығы: Туынды және интегралды математикалық талдау әдістерімен зерттеп, мектеп математикасымен байланыстыру. Осы зерттеулерге сүйене отырып қолданылуын атап, мысалдар келтіре отырып есептер шығару.
Зерттеудің әдістемесі: Дифференциалдық және интегралдық есептеулер.
Зерттеудің нәтижесі: Жоғарғы математика курсында туынды мен интегралды және олардың қасиеттерін тереңірек білуді талап етіледі. Әсіресе, математикалық талдау курсында әртүрлі есептеулер мен түрлендірулер жүргізу, туынды мен интеграл физикалық, геометриялық және экономикалық есептерді есептегенде көп қолданылады. Берілген дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интеграл зерттелді. Бұл дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интегралдың негізгі қасиеттері дәлелденді, әртүрлі жағдайларда берілетін туынды мен анықталған интегралдың қолданылулары қарастырылды. Туынды мен анықталған интегралға және олардың қолданылуларына көптеген мысалдары келтірілді.
Жұмыс көлемі: компьютерде терілген, электрондық нұсқасы түлектік жұмысымен бірге берілді.
Дипломдық жұмыс құрылымы: Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспе бөлімде зерттеудің өзектілігі; обьектісі; мақсаты; зерттеудің болжамы; зерттеудің теориялық маңызы; зеттеудің жаңалығы; зеттеудің әдістемесі; зерттеудің нәтижесі баяндалған.
Туынды термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы және оны 1797 жылы француз математигі Ж.Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кездегі y', f' белгілеулерін де сол енгізген.Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады: f'(x) функциясы f'(x)-тен шығады, ƒ(x)-тің туындысы болып табылады.Ағылшын математигі И.Ньютон ( 1643-1727) функцияның туындысын флюксия деп атайды, ал функцияның өзін флюксия деп атаған. Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиi кездеседі. Неміс математигі Г.Лейбниц (1646-1716) df символын f функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. f функциясының дифференциалын - f'(x0) туындысының Δх өсімшесіне көбейтіндісі,яғни df=f'(x0). Δх; Δх белгілеуін dx -пен алмастырып,оны былай да жазуға болады:
df=f'(x0)dx
осыдан
f'x0=dfdx
I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары
1.1. Туындының анықтамасы. Түрлері және туындының белгіленулері
Туындының анықтамасы.
Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала екі есепте пайда болды - ол қисыққа жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.
Сонымен, қарастырылған екі есеп бір- бірінен өзге білім салалары - геометрия мен механикаға жатса да, олар тек қана бір математикалық амалға -
limx1--x0fx1-f(x0)x1-x0
түріндегі шекті табу есебіне әкеледі. Осы амалға әкелетін есептер санын калағанымызша көбейтуге болады. Мысалы, химиялық реакцияның жылдамдығы, сызықтық тығыздық туралы есептер де солай болады.
Әрине бұл амалдың арнаулы атауы болу керек. Ол амалдың өзін функцияны дифференциалдау, ал оның нәтижесін, яғни шектің мәнін функцияның туындысы дейді.
Сөйтіп, f функциясы I аралығында анықталсын . Егер x0∈I үшін
limx--x0fx- f(x0)x- x0
нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x0 нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін f функциясының x0 нүктесіндегі туындысы дейді де, f'(x0) символымен белгілейді.
Осы анықтамаға сүйеніп, жоғарыда талқыланған есептерді былай тұжырымдауға болады:
1°. Егер f функциясының x0 нуктесінде туындысы бар болса, онда сол нүктеде y = f (x) қисығының жанамасы бар болып, оның теңдеуі
y=f'x0∙x-x0+f(x0) (2)
болады. (2) түзуін f функциясының графигінің (x0,f(x0)) нүктесіндегі жанама деп те атайды. (2) теңдеуінен жанаманың бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі туындының мәніне тең екенін көреміз. Басқаша айтқанда, жанама мен x-тер осінің арасындағы бұрыш α болса, онда fx0=tgα теңдігі орындалады. Бұл туындының геометриялық мағынасы болады.
2°. Материялық нүктенің қозғалысы жоғарыда айтылғандай f (t) функциясы арқылы бейнеленген болсын. Егер f'(t0) туындысы бар болса, онда сол туынды материялық нүктенің t0 мезгіліндегі жылдамдығы деп аталады.
Туындының анықтамасының түрлері, туындының белгіленулері. Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып былай жазуға болады:
1°. limx--x0fx-fx0x-x0, 3°. lim∆x--0fx0+∆x-f(x0)∆x,
2°. limh--0fx0+h-f(x0)h, 4°. lim∆x--0∆f(x0)∆x=lim∆x--0∆y∆x .
Соңғы екі анықтамада ∆x=x-x0 , ∆y=fx-fx0 немесе ∆x=x0+∆x-x0, ∆fx0=∆y=fx0+∆x-f(x0)
белгілеулері қолданылған . x-x0=h=∆x сандары функцияның аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі деп аталады.
Туындының анықтамасындағы қатынас мағынасын жоғалтпауы ушін, h өсімшесі (анықтық үшін h-ты алдық) нольден өзге болуы қажетті. Бірақ бұл жағдайдың анықтамадағы шекке зияны болмайды, өйткені шектің таңбасынан кейін тұрған φh=fx+h-f(x)h өрнегі сол өсімшенің функциясы ретінде қарастырылып, limh--0φh шегінің өзі өсімше нольге ұмтылғанда алынады (φh функциясы шегі табылып тұрған 0 нүктесінде анықталмауы да мүмкін!).
Әрине, h өсімшесі оң да, теріс те бола алады, тек қана x0+h саны функцияның анықталу жиынынан шығып кетпеуі керек. fx-fx0=fx0+h-fx0=fx0+∆x-fx0=∆y сандарын функцияның өсімшесі дейді (тәуелсіз айнымалының өсімшесіне сәйкес).
Сөзбен 1°-4° анықтамалары былай айтылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болса, онда функция дифференциалданады деп, сол шектің мәні функцияның туындысы деп аталады.
Біз көбінесе туындының анықтамасының алғашқы екі түрімен пайдаланамыз.
Туындының мынадай белгіленулері бар:
Г. Лейбниц: dfdx, df(x0)dx немесе dydx (1675 ж. берілген),
Ж. Лагранж: f'(x0) немесе y' (1770 ж. берілген),
О. Коши: Df(x0) немесе Dy (1800 ж. берілген).
Бұл символдар былай оқылады: y'-игрек штрих, f'x0-эф штрих икс ноль, dfdx-дэ икс бойынша дэ эф, dydx- дэ икс бойынша дэ игрек, Dfx0- дэ эф икс ноль, Dy-дэ игрек. Лейбниц белгілеуі туындының анықтамасының 4°-ші түрін елестетеді.
Егер 1°-4°-гі шектерді оң жақты және сол жақты шектерге өзгертсек, онда f функциясының x0 нүктесіндегі сәйкес оң және сол жақты туындыларының анықтамаларына келеміз. Оң жақты туындыны f+'x0, ал сол жақты туындыны f-'x0 символдарымен белгілейді. Сонымен,
f+'x0=limx--x0+0fx-f(x0)x-x0=limh- -+0fx0+h-f(x0)h,
f-'x0=limx--x0-0fx-f(x0)x-x0=limh- --0fx0+h-f(x0)h.
[a, b] сегментінде анықталған f функциясының a нүктесінде тек қана оң жақты, ал b нүктесінде тек қана сол жақты туындылары туралы айтуға болады.
Әрине, f функциясының x0 нүктесінде жай (екі жақты) туындысы бар болуы үшін, оның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.
Егер 1°-4°-дегі өрнектердің жай, оң немесе сол жақты ақырсыз шегі бар болса, онда f функциясының x0 нүктесінде сәйкес жай,оң немесе сол жақты ақырсыз туындысы бар дейді.
Мысалы, егер limx--x0+0fx-f(x0)x-x0=-infinity болса, онда f функциясының x0 нүктесінде оң жақты ақырсыз -infinity-ке тең туындысы бар дейді де, былай f+'x0=-infinity белгілейді.
Ақырсыз туындылар сирек қолданылады, сондықтан ақырлы туындыны қысқаша туынды деп атайды. Сонымен, туынды дегенге ақырлы туынды мағынасында түсіну керек( кейбір маңызды жағдайларда, ақырлы туынды деп те толық айтамыз).
Туынды ұғымы - локальді ұғым.
Функцияның жиында дифференциалдануы, нүктеде дифференциалдануы арқылы анықталады:
f функциясы X жиынында анықталған болсын. Егер X жиынының әрбір нүктесінде f функциясының ақырлы туындысы бар болса, онда f функциясының X жиынында туындысы бар немесе f функциясы X жиынында дифференциалданады дейді де, f∈D(X) символымен белгіленеді.
Сонымен, D(X) символымен X жиынында анықталған және дифференциалданатын функциялардың бәрінен құрылған жиын белгіленеді.
Әрине, f функциясы X жиынында дифференциалданбайды деген f функциясының кемінде бір x0∈X нүктесінде ақырлы туындысы жоқ дегенмен пара-пар.
Е с к е р т у. Кез келген анықтама сияқты,
limx--x0fx-fx0x-x0=f'x0 (3)
туындының анықтамасы да келесі қарама-қарсы бағыттарда пайдаланылады:
1). Оңнан солға қарай - f функциясының x0 нүктесіндегі туындысы бар болатыны белгілі болса, онда (3) теңдігінің сол жағындағы шек те бар болып, мәні оң жағындағы санға тең болады.
2). Солдан оңға қарай - (3) теңдігінің сол жағындағы шек бар болатыны дәлелденсе, онда ол сол теңдіктің оң жағында тұрған символмен белгіленеді.
Әрине, бұл айтқанымыз 2°-4° түріндегі туындының анықтамалары үшін де орындалады.
Туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі.
Біз шек ұғымы арқылы функцияның екі қасиетін анықтадық - ол үзіліссіз болуы мен туындысы бар болуы.
Енді осы екі қасиеттің ара қатынасын қарастырайық.
f функциясы I аралығында анықталып, x0∈I болсын.
Т е о р е м а. Егер f функциясының x0 нүктесінде жай, оң немесе сол жақты ақырлы туындысы бар болса, онда f сол нүктеде сәйкес жай, оң немесе сол жақты үзіліссіз болады.
Д ә л е л д е у і. f функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болсын. Әрбір x!=x0 үшін fx-fx0=fx-f(x0)x-x0 ∙(x-x0) болады, демек, көбейтіндінің шегі туралы теорема бойынша fx-fx0--f'x0∙0=0 (x-- x0), яғни f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз.
Мұның ешқандай теоремаға сүйенбейтін тіке дәлелдеуін де беруге болады. Расында да, ε0 саны берілсін. Онда шектің анықтамасы бойынша 0∣x-x0∣δ0(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық x∈I сандары үшін
│fx-fx0x-x0-f'(x0)∣ε (4)
теңсіздігі орындалатын δ0(ε) оң саны табылады. Аталған x сандары үшін (4)-тен келесі │fx-fx0│(ε+│f'(x0)│)∙ │x-x0│ теңсіздік шығады. Сондықтан, δε=min{δ0ε, εε+∣f'x0∣} болса, онда │x-x0│δε⇒│fx-f(x0)│ε шарты орындалады, ал бұл f функциясының x0 нүктесіндегі үзіліссіздігінің дәл өзі болады.
Біржақты туындылар жағдайында да теорема дәл осылай дәлелденеді.
С а л д а р. Егер x0 нүктесі f функциясының үзіліс нүктесі болса, онда сол нүктеде f-тің ақырлы туындысы болмайды.
Туынды табуға кейбір мысалдар. 1°. Функцияның бірде-бір нүктеде туындысы жоқ болуы мүмкін. Мысалы, Дирихле функциясы әрбір үзілісті болғандықтан, оның бірде-бір нүктеде туындысы болмайды.
2°. Функцияның тек қана бір нүктеде туындысы бар болуы мүмкін.
Мысалы, fx=x2, егер x рационал сан болса,0, егер x иррационал сан болса
функциясы сондай болады. Бұл функция әрбір x!=0 нүктелерінде үзілісті болғандықтан, туындысы да болмайды.
Енді x0=0 нүктесінде туындысы бар және 0-ге тең екенін көрсетейік. Ол үшін
lim x--0fx-f(0)x-0=limx--0f(x)x=0 (5)
теңдігін дәлелдесек болғаны. Әрине, x!=0 үщін
f(x)x=x, егер x рационал сан болса,0, егер x иррационал сан болса.
ε оң саны берілсін. Егер δε=ε болса, онда барлық 0xδε=ε үшін f(x)xε теңсіздігі орындалады, яғни (5) дәлелденді. Сонымен, f'0=0 болды. f функциясының 0 нүктесіндегі жанамасы y=0 болады да x-тер өсімен беттеседі.
Бұл мысал келесі сұраққа теріс жауап береді: Берілген f функциясының x0 нүктесінде ақырлы туындысы бар болсын (әрине, онда ол x0 нүктесінде үзіліссіз де болады). Онда кемінде тағы бір x!=x0 нүктесінде функцияның үзіліссіз болуы міндетті ме?
3°. Функцияның үзіліссіздік нүктесінде міндетті түрде туынды бар бола ма?
Бұл мысал келесі сұраққа теріс жауап береді: fx=x функциясы 0 нүктесінде үзіліссіз, оң және сол жақты туындылары бар болады да, бірақ жай (екі жақты) туындысы болмайды. Расында да, әрбір x!=0 үшін
fx-f(0)x-0=xx=1, егер x оң болса,-1, егер x теріс болса
демек, f+'0=limx--+0fx-f(0)x-0=limx--+01 =1 және f-'0=limx---0fx-f(0)x-0=limx---0- 1=-1 болады.
Сонымен, оң және сол жақты туындылары бар болып, өзара тең емес, демек, x функциясының 0 нүктесінде жай (екі жақты) туындысы болмайды.
Егер x0 нүктесінде f функциясының оң және сол жақты туындылары бар болып, бірақ жай туындысы болмаса, онда x0 нүктесін функцияның сыну нүктесі деп атайды. x0=0 нүктесі x функциясы үшін сыну нүктесі болады. (1-суреттен x=0 нүктесінің қасында (0,0) нүктесінен өтетін бірде-бір түзу x функциясының графигіне жақындамайтынын көреміз)
Келесі екі мысалда үзіліссіз функцияның ақырлы туындысы болмауының екі түрі келтірілген.
4°. fx=x23 үшін
f+'0=limx--+03x2x=limx--03x2x=+in finity,
f-'0=limx---03x2x=limx--03x2-x=-i nfinity
2 - суреттен бұл функцияның 0 нүктесіндегі жанамасы x=0 түзуі екенін көруге болады.
5°. fx=3x болсын, онда
f'0=limx--0fx-f(0)x-0=limx--03xx= +infinity
болады, өйткені x!=0 үшін
3xx=1x23 теңдігі орындалады.
Сонымен, бұл жағдайда туынды бар болып, ақырсыз болады.
3 - суреттен бұл функцияның жанамасы x=0 түзу екенін көруге болады.
6°. fx=xsin1x, егер x!=0 болса, 0, егер x=0 болса
функциясы 0 нүктесінде үзіліссіз болады. Бұл келесі
fx-f(0)=x∙sin1x=x (x!=0)
теңсіздігінен шығады. Әрбір x!=0 үшін
fx-f(0)x-0=x∙sin1xx=sin1x
теңдігі орындалады, демек, бұл жағдайда туындының анықтамасындағы қатынастың ешқандай біржақты шегі болмайды, себебі теңдіктің оң жағындағы функция сондай.
Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның оң және сол жақты туындылары болмауы мүмкін. 4 - суреттен ешқандай түзу бұл функцияның жанамасы бола алмайтынын көреміз. Расында да, кей түріндегі түзуге функцияның графигі жақындамайды да, ал басқа түрдегі түзуді график ақырсыз көп рет кесіп өтсе де, оған тығыз орналаспаған.
Е с к е р т у. Жоғарыда берілген мысалдарда үзіліссіз функцияның тек қана бір нүктеде туындысы жоқ болатыны көрсетілді.
Үзіліссіз функцияның барлық нүктелерде туындысы болмауы мүмкін. Мұндай функцияның мысалын алғашқы рет К.Вейерштрасс құрған.
1.2. Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
Дифференциалдау ережелері. f функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болса, онда ол сол нүктеде үзіліссіз де болады, яғни limh--0fx0+h-f(x0)h шегін 00 түріндегі анықталмағандық ретінде қарастыруға болатынын көреміз. Сондықтан, туындыны тапқанда 2-пунктте берілген шек табу тәсілдерін қолданған жөн. Олар келесі теореманың дәлелдеуінде пайдаланылады.
Т е о р е м а. f және g функциялары a,b сегментінде анықталып, x∈a,b нүктесінде дифференциалдансын. Онда c∙f (c- нақты сан), f+g, f-g, f∙g, fg функциялары да x нүктесінде дифференциалданып, келесі теңдіктер дифференциалдау ережелері орындалады:
I. c∙f'x=c∙f'(x).
II. f+g'x=f'x+g'(x) (қосындының туындысы);
III. f-g'x=f'x-g'(x) (айырымның туындысы);
IV. f∙g'x=f'x∙gx+fx∙g'x (көбейтіндінің туындысы);
V. fg'x= f'xgx-fxg'(x)g2(x) (бөліндінің туындысы);
Әрине, V тұжырымда алдын ала g(x)!=0 шарты орындалады деп ұйғарамыз.
Д ә л е л д е у і. Әрбір c нақты саны үшін
c∙f'x=c∙limh--0fx+h-f(x)h=limh--0 cfx+h-cf(x)h=c∙f'x (6)
болады, яғни I дәлелденді. Мұнда бірінші және соңғы теңдіктер қарама-қарсы қолданылған шектің анықтамалары болса (біріншісі - теореманың шартындағы f функциясының x нүктесіндегі туындысы бар болатынын бейнелесе, екіншісі - бар болатыны дәлелденген шектің туынды символы арқылы жазылуы), ортаңғы теңдік таңбасы шектің таңбасының астында теңдікті сақтап нақты санды енгізуге болатыны туралы теорема бойынша қойылған.
Келесі f'x+g'x=limh--0fx+h-fxh+limh--0gx +h-gxh=limh--0f+gx+h-f+g(x)h=f+g'x
теңдіктерден II ережесі шығады. Мұндағы шеткі теңдіктер (6) жағдайындағыдай түсіндіріледі, ал ортадағы теңдік таңбасы шегі бар функциялардың қосындысының шегі туралы теорема бойынша қойылған.
III ережесі алғашқы екеуінің салдары болады.
Енді IV-ті дәлелдейік. φ=f∙g болсын. Онда T0 тәсілі, дәл айтқанда, 0=fx∙gx+h-f(x)∙g(x+h) тепе-теңдігі келесі
φx+h-φ(x)h=gx+h∙fx+h-fxh+fx∙gx+h-gx h (7)
теңдікке әкеледі. g функциясы x нүктесінде дифференциалданғандықтан gx+h--gx (h--0) шарты орындалады, демек, (7)-нің оң жағындағы өрнекке көбейтінді мен қосындының шегі туралы теореманы қолдансақ, онда бізге дәлелдеу керек болатын
f∙g'x=limh--0φx+h-φ(x)h=f'x∙gx+f(x )∙g'(x)
теңдігіне келеміз.
V те IV тәрізді дәлелденеді: φ=fg болса, онда T0 тәсілі, дәл айтқанда 0=fx∙gx-f(x)∙g(x) тепе-теңдігі бойынша
φx+h-φxh=fx+hgx-fxgx+hgx+hgxh=1gx+h -gxx
xfx+h-f(h)h∙gx-fx∙(gx+h-gx)h
теңдігі орындалады. Бұл теңдіктің оң жағындағы өрнектің шегі бар болатыны IV жағдайындағыдай түсіндіріледі. Сонымен,
fg'x=limh--0φx+h-φ(x)h=f'xgx-fxg'( x)g2(x)
теңдігі орындалады, яғни V, сонымен бірге теорема да толық дәлелденді.
Күрделі функцияның туындысы.
u=f(x) функциясы a,b сегментінде анықталып, оның мәндерінің fa,b=fx:a=x=b жиыны y=g(u) функциясы анықталған c,d сегментінің жиыншасы болсын. Онда y=φx=g(f(x)) күрделі функциясы a,b сегментінде анықталған болады.
Т е о р е м а. Егер f функциясының x0∈a,b нүктесінде туындысы бар болып, g функциясының f(x0)∈c,dнүктесінде туындысы бар болса, онда φ күрделі функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болып,
I. φ'x0=g'(fx0)∙f'(x0) болады.
Сөзбен айтқанда, күрделі функцияның туындысы оның құрамындағы функциялардың өз нүктелеріндегі (g-дің f(x0), f-тің x0 нүктесіндегі) туындыларының көбейтіндісіне тең болады.
Е с е р т у. Туындының Лейбниц белгілеуінде VI ережесі есте сақталуы өте жеңіл болатын dydx=dydu∙dudx түрінде жазылады.
Д ә л е д д е у і. Алдымен f'(x0)!=0 болсын. Онда 0-дің белгілі бір ойылған маңайындағы барлық h сандары үшін функцияның мәндері шектің мәнін сақтайтыны туралы теорема бойынша fx0+h-f(x0)h!=0 болады, демек, fx0+h-f(x0)!=0 теңсіздігі орындалады.
Сондықтан, h--0 болғанда шегін табу керек болатын
φx0+h-φ(x0)h=gfx0+h-g(f(x0))h өрнегін
φx0+h-φ(x0)h=gfx0+h-g(f(x0))fx0+h-f (x0)∙fx0+h-f(x0)h
түрінде бейнелеуге болады. Бұдан VI теңдігі (ережесі) шығады, өйткені g функциясы fx0 нүктесінде, ал f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз болғандықтан, С-тәсілі бойынша th=fx0+h, t0=f(x0) үшін
limh--0gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0=limt-- t0gt-gt0t-t0=g't0=g'(fx0)
теңдігі орындалады.
Енді f'x0=0 болсын. ψ t=gfx0+t-g(f(x0))t үшін туындының анықтамасы бойынша limt--0ψ t=g'(f(x0)) болады, демек, ψ t функциясы 0 нүктесінде локальді шенелген болады, яғни
0tη⇒ψ (t)=C (9)
шарты орындалатын η және C оң сандары табылады. 0εη теңсіздігін қанағаттандыратын ε саны берілсін. Онда limh--0fx0+h-f(x0)=0 (f функциясы x0 нүктесінде үзіліссіз) және
limh--0fx0+h-fx0h=0=f'x0 (10)
болғандықтан
0hδ1ε⇒fx0+h-fx0εη (11)
және
0hδ2ε⇒fx0+h-f(x0)hεC (12)
шарттары орындалатын δ1ε0 және δ2ε0 сандары табылады.
Егер δ=minδ1ε,δ2ε0 саны үшін
0hδε⇒fx0+h-f(x0)hε (13)
шарты орындалатынын дәлелдесек, онда біздің мақсатымыз болатын
φ'x0=limh--0φx0+h-φx0h=130=10g'(f( x0))∙f'(x0)
теңдігі де дәлелденген болатын.
Сонымен, (13)-ті дәлелдейік. 0hδ болсын. Алдымен h үшін fx0+h-fx0=0 болсын. Онда
φx0+h-φx0h=gfx0+h-gfx0h=gfx0-gfx0h= 0
болады, яғни сондай h үшін (13) орындалады. Ал fx0+h-fx0!=0 болғанда th=fx0+h-fx0 үшін (11) бойынша (өйткені 0hδ=δ1ε) 0t(h)ε η теңсіздігі орындалады, демек, (9) бойынша
gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0=ψth=C (14)
теңсіздігі орындалады.
Сонымен, (14) және (12) бойынша (өйткені 0hδ=δ2(ε))
φx0+h-φx0h=gfx0+h-gfx0fx0+h-fx0∙fx0 +h-fx0hС∙εС=ε
болады, яғни (13) бұл жағдайда орындалады.
Теорема толық дәлелденді.
Е с к е р т у. f(2x)' өрнегін қалай түсіну керек - f функциясының 2x нүктесіндегі туындысы ма, әлде f және 2x функцияларынан құрылған күрделі функцияның x нүктесіндегі туындысы ма? Бұл жай сұрақ емес екені келесі мысалдан көрінеді: егер fx=x болса, онда біріншіден, f-тің 2x нүктесіндегі туындысы 1 санына тең:
limh--02x+h-2xh=limh--0hh=1;
екіншіден, fx=x және ψx=2x функцияларынан құрылған fψx=f2x=2x функциясының x нүктесіндегі туындысы 2 санына тең:
limh--02x+h-2xh=limh--02hh=2
Сонымен, f(2x)' өрнегінің мәні оны қалай түсінуімізге байланысты екен. f(2x)' жазуын екінші мағынада тусінуге өзіміз келісейік. Сөйтіп, fx=x үшін f2x'=f'2x∙2x'=2. Ал f функциясының 2x нүктесіндегі туындысын, мәселен, f'(t)t=2x деп белгілеуге болады.
Кері функцияның туындысы. y=f(x) функциясы a,b сегментінде өспелі (яғни x1x2⇒f(x1)f(x2) шартын қанағаттандыратын) және үзіліссіз болсын. Онда оның fa, f(b) сегментінде анықталған және үзіліссіз болатын f-1(y) кері функциясы бар болады.
Кемімелі (яғни x1x2⇒f(x1)f(x2) шартын қанағаттандыратын) функция туралы да дәл осыны айтуға болады.
Т е о р е м а. Егер y=f(x) функциясы a,b сегментінде үзіліссіз және өспелі болып, x0∈a,b нүктесінде нольге тең емес туындысы бар болса, онда x=f-1(y) кері функциясының да y0=f(x0) нүктесінде туындысы бар болып, VII f-1'y0=1f'(x0) немесе dxdy=1dydx теңдігі (ережесі) орындалады.
Д е л е л д е у і. f-1=g болсын. Кері функцияның анықтамасы бойынша әрбір y∈fa, f(b) саны үшін
y=fx, gy=gfx=x (15)
теңдіктерін қанағаттандыратын x∈a,b саны бар және жалғыз болады. g үзіліссіз болғандықтан y⟶y0⇒g(y)⟶g(y0) шарты, яғни (15) бойынша
y⟶y0⇒x⟶x0 (16)
шарты орындалады. Сондықтан, (15) және (16) бойынша
limy--y0gy-g(y0)y-y0=limx--x0x-x0 fx-f(x0)=1limx--x0fx-f(x0)x-x0=1f' (x0) (17)
теңдігі орындалады. Теорема толық дәлелденді.
1-е с к е р т у. Бұл теоремада негізгі мәселе g=f-1 функиясының y0=f(x0) нүктесінде туындысы бар болатынын дәлелдеу болды, өйткені ол орындалса, онда gfx=x тепе-теңдігін VI ережесі бойынша дифференциалдап, келесі g'fx∙f'x=1 теңдігіне, яғни VII ережесіне келеміз.
2-е с к е р т у. gy=f-1(y) кері функциясының графигі f функциясының графигіне y= x түзуі арқылы симметриялы. Сондықтан (5-суретті қараңыз), g функциясының y0 нүктесіндегі жанамаларының теңдеулері
y=f'x0x-x0+f(x0)
болады. Оны x арқылы шешсек, онда x=1f'x0 y-fx0+x0 яғни x0=gy0, y0=f(x0) болғандықтан x=1f'x0 y-y0+gy0 болады.
Туындының геометриялық мағынасы бойынша g функциясының y0 нүктесіндегі жанамасының теңдеуі x=g'y0y-y0+g(y0) болады, демек, g'y0=1f'x0 теңдігіне келеміз.
Әрине, бұл VII ережесінің дәлелдеуі емес, тек қана оның геометрия тіліндегі талқылауы.
3-е с к е р т у. (17) теңдігінен 6-пункттегі теорема бойынша келесі тұжырымдарға келеміз:
1) егер f'x0=+-infinity болса, онда g'y0=0 болады,
2) егер f'x0=+-0 болса, онда g'y0=+-infinity болады, демек, жалпылап айтқанда, егер f'x0=0 болса, онда f-1'fx0=g'y0=infinity болады.
Элементар функцияларды дифференциалдау
Негізгі элементар функциялардың туындылары
1°. Тұрақты функцияның туындысы. Егер f тұрақты функция болса, яғни әрбір x үшін fx=c (c - нақты сан) теңдігі орындалса, онда f'x0≡0 болады.
Расында да, әрбір x үшін fx+h-f(x)h=c-ch=0,
демек, 0=limh--0fx+h-f(x)h=f'(x)
2°. Дәрежелік функцияның туындысы. fx=xμ (μ- нақты сан) болсын. Бұл функцияның анықталу жиыны μ-ға тәуелді. x!=0 саны сол жиыннан болсын.
Онда
fx+h-f(x)h=(x+h)μ-xμh=xμ-11+hxμ-1hx
болады, демек, 2-пункттегі дәлелденген limt--0(1+t)μ-1t=μ теңдігі бойынша (t=hx үшін пайдаланылған)
f'x=xμ'=μ∙xμ-1 (1)
теңдігіне келеміз. (1) формуласы μ1 үшін x=0 нүктесінде де орындалады, өйткені
f'0=limh--0fh-f(0)h=limh--0hμh=li mh--0hμ-1=0.
Ал μ=1 болса, онда fx=x болады, демек, барлық x нақты сандары үшін
f'x=limh--0fx+h-f(x)h=limh--0x+h- xh=1.
(1)-дің бірнеше дербес жағдайларын қарастырайық.
Егер μ=-1 болса, онда
1x'=x-1'=-1∙x-1-1=-1x2 x!=0.
Ал μ=-12 болса, онда
1x'=x-12'=-12∙x-12-1=-12xx x0.
Соңында, μ=12 болсын. Онда
x'=x12'=12x12-1=12x x0.
3°. Көрсеткіштік функцияның туындысы. fx=ax (a0) болсын. Онда әрбір x нақты саны үшін
fx+h-f(x)h=ax+h-axh=ax∙ah-1h
болады, демек, 2-пункттегі дәлелденген limh--0ah-1h=lna теңдігі бойынша fx'=ax'=ax∙lna(-infinityx+infinit y) теңдігіне келеміз. Бұдан a=e болғанда, келесі тамаша
(ex)'=ex(-infinityx+infinity)
теңдігі шығады (ex функциясының туындысы өзіне тең!).
Логарифмдік функцияның туындысы. fx=logax (a0, a!=1, 0x+infinity) болсын. x оң саны берілсін. Онда
fx+h-f(x)h=logax+h-logaxh=1x∙loga1+ hxhx
болады, демек, 4-пункттегі дәлелденген limt--0loga(1+t)t=logae теңдігі бойынша (t=hx үшін пайдаланылған)
fx'=logax'=1x∙logae 0x+infinity (2)
теңдігіне келеміз. Егер a=e болса, онда (2)-нің түрі өте үнемді болады:
lnx'=1x.
2.3. Тригонометриялық функциялардың туындылары
sinx пен cosx (-infinityx+infinity) функцияларының туындылары. fx=sinx болсын. Онда
fx+h-f(x)h=sinx+h-sinxh=sinh2h2∙cos x+h2
болады, демек, 3-пункттегі дәлелденген limt--0sintt=1 теңдігі (t=h2 үшін пайдаланылған) және косинустың үзіліссіздігі бойынша (limh--0cosx+h2=cosx)
sinx'=cosx(-infinityx+infinity) (3)
теңдігі орындалады. Дәл осылай,
(cosx)'=-sinx-infinityx+infinity (4)
теңдігін де дәлелдеуге болады, бірақ оны біз күрделі функцияның туындысын табу ережесін қолданып дәлелдейміз:
(cosx)'=sinx+PI2'=cosx+PI2∙x+PI2'=- sinx.
tgx пен ctgx функцияларының туындылары. Әуелі fx=tgx болсын. Онда x!=PI2+kPI (k=0, +-1, +-2, ...) үшін бөлшекті дифференциялдаудың ережесі бойынша
tgx '=sinxcosx'=sinx'∙cosx-cosx'∙sinxco s2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=1++tg2x . (5)
дәл осылай, x!=kPI (k=0, +-1, +-2, ...) үшін
ctgx '=cosxsinx'=cosx'∙sinx-cosx∙sinx'si n2x=-sin2x-cos2xsin2x=-1sin2x=-1+ct g2x . (6)
arcsinx функциясының туындысы. fx=sinx функциясын -PI2, PI2 сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f - тің кері функциясы болып, ол -1,+1 сегментінде анықталған f-1y=arcsiny функциясы болады. Кері функцияның туындысы туралы теореманы қолданайық. f'x=cosx болғандықтан, f'x функциясы -PI2, PI2 интервалында нольге айналмайды. Сондықтан, arcsiny функциясының (-1,+1) интервалында ақырлы туындысы болады. Енді соның мәнін табайық. fx=sinx∈(-1,+1) үшін x=arcsiny∈-PI2, +PI2 болады, демек, кері функцияның туындысын табу ережесі мен (3) теңдігі бойынша
arcsiny'=f-1'y≡VII1f'x=31cosx=1cosa rcsiny (7)
теңдігі орындалады. Жалпы cost=+-1-sin2t болады, ал бұл жағдайда t=arcsiny∈-PI2,PI2 болғандықтан, радикалдың алдында (+) таңбасын алу керек:
cosarcsiny=1-sinarcsiny2=1-y2.
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, y-тен үйреншікті x айнымалысына көшсек, онда (7) былай жазылады
arcsinx'=11-x2 -1x1.
PI2 және PI2 нүктелерінде f-тің туындысы нольге тең болғандықтан f-1-дің оларға сәйкес -1 және 1 нүктелерінде арксинустың сәйкес оң және сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады.
arccosx функциясының туындысы. fx=cosx функциясын 0,PI сегментінде қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол -1,1 сегментінде анықталған f-1y=arccosy функциясы болады. 7°-де айтылғанның бәрін де arccosy үшін де қолдануға болады. y=cosx∈(-1,1) үшін x=arccosy∈(0,PI) болады, демек, VII және (4) бойынша
arccosy'=f-1'y=1f'(x)=-1sinx=-1sina rccosy (8)
теңдігі орындалады. Жалпы sint=+-1-cos2t болады, ал бұл жағдайда t=arccosy∈(0,PI) болғандықтан, радикалдың алдында (+) алу керек:
sinarccosy=1-cosarccosy2=1-y2.
Сонымен, соңғы теңдікті ескере отырып, y-тен үйреншікті x айнымалысына көшсек, онда (8) былай жазылады:
arccosx'=-11-x2 -1x1.
Ал -1 және 1 нүктелерінде арккосинустың сәйкес оң және сол жақты туындылары бар болып, ақырсыз болады (мұның себептері арксинус жағдайындағыдай).
arctgx функциясының туындысы. fx=tgx функциясын -PI2,PI2 интервалында қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол (-infinity,+infinity) интервалында анықталған f-1y=arctgx функциясы болады.
y=tgx∈(-infinity,+infinity) үшін x=arctgy∈-PI2,PI2
болады, демек, VII және (5) бойынша
arctgy'=f-1'y=1f'(x)=11+tg2x=11+tga rctgx2=11+y2.
Сөйтіп, әдеттегідей y-тің орнына x-ті қойсақ, онда
arctgy'=11+x2 (-infinityx+infinity)
теңдігіне келеміз.
arcctgx функциясының туындысы. fx=ctgx функциясы 0,PI интервалында қарастырайық. Әрине, онда f-тің кері функциясы бар болып, ол -infinity,+infinity интервалында анықталған f-1y=arcctgy функциясы болады. y=ctgx∈(-infinity,+infinity) үшін x=arcctgy∈(0,PI) болады, демек, VII және (6) бойынша
arcctgy'=f-1'y=1f'x=-11+ctg2x=-11+c tgarcctgy2=
=-11+y2.
Сөйтіп, соңғы теңдікте y-ті x-ке ауыстырып жазсақ, онда
arcctgx'=-11+x2 (-infinityx+infinity)
теңдігіне келеміз.
Енді туынды формулаларын жинақтайық.
1. fx=C, f'x=0 -infinityx+infinity. fx=x, f'x=1 -infinityx+infinity. fx=xμ, f'=μ∙xμ-1 (-infinityx+infinity, егер μ1 оң бүтін сан болса).
fx=1x, f'x=-1x2 x!=0. fx=x, f'x=12x (x0)
2. fx=ax a0, f'x=ax∙lna -infinityx+infinity. fx=ex, f'x=ex.
3. fx=logax a0, a!=1, f'x=1x logae x0. fx=lnx, f'x=1x.
4. fx=sinx, f'x=cosx -infinityx+infinity.
5. fx=cosx, f'x=-sinx -infinityx+infinity.
6. fx=tgx, f'x=1cos2x x!=PI2+kPI, k=0, +-1, ...
7. fx=ctgx, f'x=-1sin2x x!=kPI, k=0, +-1, ...
8. fx=arcsinx, f'x=11-x2 -1x1.
9. fx=arccosx, f'x=-11-x2 -1x1.
10. fx=arctgx, f'x=11+x2 -infinityx+infinity.
11. fx=arcctgx, f'x=-11+x2 -infinityx+infinity.
Бұдан негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функциялар болатыны байқалады.
2.4. Элементар функциялардың туындылары туралы
Әуелі элементар функция өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы да мүмкін екенін ескертейік.
Мәселен, x=x2 элементар функциясы барлық нақты сандар жиынында анықталған болса да, x0=0 нүктесінде туындысы (екі жақты) жоқ. Бірақ, егер f функциясы I аралығында элементар және дифференциалданатын болса, онда f' функциясы сол аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады.
Бұл өте маңызды қорытынды элементар функцияның анықтамасы мен келесі екі тұжырымнан шығады. Біріншіден, негізгі элементар функциялардың туындылары да элементар функция болады (ол алдыңғы пунктте дәлелденген). Екіншіден, егер φ функциясы дифференциалданатын f және g функцияларының қосындысы, айырымы, көбейтіндісі, бөліндісі немесе сол функциялардан құрылған күрделі функциясы болса, онда φ-дің туындысы бар болып, f, g, f', g' функцияларына аталған амалдардың кейбіреулерінің қолданылуының нәтижесі болады (ол I - VI дифференциалдау ережелерінен байқалады). Бұл екі тұжырымнан кез келген дифференциалданатын элементар функцияның туындысын табу үшін I - VI дифференциалдау ережелері мен негізгі элементар функциялардың туындыларының 1 - 11 формулалары жеткілікті екенін көреміз.
Енді сол ережелерді қолданау жөнінде кейбір нұсқаулар жасайық.
1°. Күрделі функцияның туындысын табу туралы. Әуелі негізгі элементар функциялардың туындылар таблицасын VI ереже бойынша былай жалпылап (өйткені ux=x үшін u'x=1) жазайық:
1. fx=u(x)μ үшін f'x=μ∙u(x)μ-1∙u'x,
2. fx=au(x) (a0) үшін f'x=au(x)∙lna∙u'x,
3. fx=eu(x) үшін f'x=eu(x)∙u'x,
4. fx=logau(x) (a0,a!=1) үшін f'x=u'xu(x)∙logae.
5. fx=lnu(x) үшін f'x=u'xu(x).
6. fx=sinu(x) үшін f'x=cosu(x)∙u'x.
7. fx=cosu(x) үшін f'x=-sinu(x)∙ u'x.
8. fx=tgu(x) үшін f'x=u'xcos2u(x),
9. fx=ctgu(x) үшін f'x=-u'xsin2u(x),
10. fx=arcsinu(x) үшін f'x=u'x1-u2(x),
11. fx=arccosu(x) үшін f'x=-u'x1-u2(x),
12. fx=arctgu(x) үшін f'x=u'x1+u2(x),
13. fx=arcctgu(x) үшін f'x=-u'x1+u2(x).
Әрине, бұндағы әрбір күрделі функция көрсетілген амалдар мағыналы болатындай шарттарды қанағаттандырады деп ұйғарамыз.
Келтірілген таблицадан мынадай қорытынды жасауға болады: егер f функциясын сыртқы функциясы негізгі элементар болатындай, яғни 1 - 11 түрлеріндегідей, күрделі функция ретінде бейнелеу мүмкін болса, онда f' табу мәселесі ux ішкі функциясының туындысын табу мәселесіне келтіріледі. Әрине, ішкі функцияның туындысын табу үшін осының алдында айтылғанды қайталауға болады. Бұл тәсіл сырттан ішке дифференциалдау деп аталады.
Айтылғанды мысалдармен толықтырайық.
1. fx=e-x функциясының туындысын табу керек болсын. ux=-x үшін fx=eu(x), демек, 2 бойынша
f'x=e-x∙u'x=-e-x, (9)
өйткені u'x=(-x)'=-1∙x'=-1.
2. fx=tge-x функциясын дифференциалдау керек болсын. ux=e-x үшін fx=tgu(x),
демек, 6 мен (9) бойынша f'x=1cos2e-x. u'(x)(9)=-e-xcos2e-x.
3. fx=arctgsinecosx функциясының туындысын табу керек болсын. Онда u1x=sinecosx үшін fx=arctgu1x, демек, 10 бойынша
f'x=11+(sinecosx)2 ∙u1'x; (10)
u2x=ecosx үшін u1x=sinu2x, демек, 4 бойынша
u1'x=cosecosx∙u2'x; (11)
u3x=cosx үшін u2x=eu3x , демек, 3 пен 5 бойынша
u2'x=eu3x∙u3'x=-ecosx∙sinx. (12)
Сонымен, (10), (11) және (12) бойынша f'x=-11+sinecosx2∙cosecosx∙ecosx∙si nx.
Күрделі функцияның туындысын тапқанда, оны келтірілген мысалдардағыдай құраушы функцияларға жіктеудің қажеті жоқ. Жаттығулар арқылы сырттан ішке қарай бірден дифференциалдауға үйренген жөн.
Енді гиперболалық функциялардың туындыларын табайық.
2°. Гиперболалық функцияларды дифференциалдау.
(shx)'=ex-e-x2' III,(9)=ex+e-x2=chx, (13)
(chx)'=ex+e-x2' II,(1)=ex-e-x2=shx, (14)
thx'=shxchx'=Vshx'chx-chx'shxch2x=1 3,14ch2x-sh2xch2x=
=1ch2x,
cthx'=chxshx'=Vchx'shx-shx'chxsh2x= 13,14sh2x-ch2xsh2x=
=-1sh2x
Егер дәлеледенген формулаларды (4 - 7) формулаларымен салыстырсақ, онда гиперболалық пен тригонометриялық функцияларда дифференциялдау формулаларының арасында ұқсастық бар екенін көреміз.
3°.Дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табу.
fx=uxvx дәрежелі-көрсеткіштік функцияның туындысын табайық. Мұнда u және v функцияларының x нүктесінде туындысы бар болып, u функциясы x-тің белгілі бір маңайында деп ұйғарамыз.
f-ті анықтайтын тепе-теңдіктің екі жағын да логарифм деп, fx=v(x)∙lnux тепе-теңдігіне келеміз. Оның екі жағын да дифференциалдайық:
f'xfx=3,IVv'xlnux+vx∙u'xux.
Бұдан fx=uxvx екенін ескере отырып, мақсатымыз болатын
f'x=uxvx∙v'x∙lnux+vx∙u'xux (15)
формуласына келеміз.
М ы с а л д а р. 1. fx=x1x (x0) болсын. Онда ux=x, vx=1x болады, демек, (15) бойынша
x1x'=x1x-2∙1-lnx (16)
2. fx=(sinx)ex (0xPI) болсын. Онда ux=sinx, vx=ex болады, демек, (15) бойынша
f'x=(sinx)exexlnsinx+ex∙ctgx.
f'xfx функциясын fx-тің логарифмдік туындысы деп атайды.
Сөйтіп, логарифмдік туынды арқылы fx=uxvx функциясының туындысы (15) формуласымен берілетінін көрдік.
4°. Жалпы қорытынды. f функциясының x0 нүктесіндегі туындысын тапқанда, мына екі жағдайдың біреуі міндетті түрде орындалады. 1. x0 нүктесінің белгілі бір δ-маңайында f элементар функция болады, яғни x0-δxx0+δ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық x сандары үшін fx=g(x) теңдігі орыналатын g элементар функциясы табылады. 2. x0 нүктесінің әрбір маңайында f ешқандай элементар функцияға тепе-тең болмайды.
Бірінші, жағдайда, f'x0=g'(x0) теңдігінің орындалуы айқын, ал кез келген g элементар функциясының туындысын табу мәселесі жоғарыда талқыланған еді.
Екінші, жағдайда, туындының анықтамасын тікелей пайдалануға тура келеді, яғни limx--x0fx-f(x0)x-x0 шегін табу әдісін іздеу керек.
fx=x2sin1x, x!=0 болғанда,0, x=0 үшін
функциясының туындысын табайық.
Алдымен, x0!=0 болсын. Онда x0-дің x02-маңайында fx пен gx=x2sin1x элементар функциясы тепе-тең, демек,
f'x0=g'x0=2x0sin1x0-cos1x0 (x0!=0)
Ал x0=0 үшін, оның маңайы болатын әрбір (-δ,+δ) интервалында f функциясы бір-бірінен өзге φ(x)≡0 және gx=x2sin1x элементарфункцияларын араластыру арқылы құрылған, демек, f элементар бола алмайды. Сондықтан, туындының анықтамасы бойынша limh--0fh-f(0)h шегін табу керек.
fh-f(0)h-0=h∙sin1h=h (h!=0)
болғандықтан, f'0=0 болады.
Сонымен, f'x=2xsin1x-cos1x, x!=0 болса, 0 x=0 үшін.
Бұл мысалдың бір қызығы, бірінші туынды әрбір нүктеде бар болса да, f'-үзіліссіз функция емес. Расында да, f'x функциясы 0 нүктесінде үзілісті болады, өйткені xn=1nPI үшін xn⟶0 n⟶infinity, бірақ fxn=(-1)n.
Бұл екінші түрдегі үзіліс екенін арнай ескертейік.
13.3. Жоғарғы ретті туындылар.
f функциясы I аралығында дифференциалдансын. Онда әрбір x∈I санына f'x нақты санын сәйкес қоятын ереже функция болады. Ол f', f(1) dfdx немесе Df символдарымен белгіленеді. Әрине, f' функциясының x0∈I нүктесінде туындысы бар болуы туралы сұрақ қоюға болады (келісім бойынша туынды деген сөзді ақырлы туынды мағынасында түсіну керек екенін еске саламыз).
Егер f' функциясы x0 нүктесінде дифференциалданса, яғни
limh--0f'x0+h-f'(x0)h
нақты мәнді шегі бар болса, онда сол шекті f функциясының x0 нүктесіндегі екінші туындысы деп атайды да, f''(x0) символымен белгілейді.
Егер I аралығының әрбір нүктесінде f функциясының екінші туындысы бар болса, онда f функциясы I аралығында екі рет дифференциалданады немесе екінші ретті туындысы бар дейді.
Индукция бойынша бұл анықтамалар кез келген оң бүтін n жағдайына таратылады:
f(1)=f' , f(2)=(f(1))', f3=(f(2))', ... , f(n)=(f(n-1))'.
f функциясын f(0) символымен белгілеген кейде ыңғайлы болады. f(n) функциясы f функциясының n-ші немесе n ретті туындысы деп аталады да, оны белгілеу үшін
dndxnf, ddxnf немесе Dnf
символдары да қолданылады.
f функциясының x нүктесіндегі n ретті туындысы
fnx=dnf(x)dxn=ddxnfx, Dnf(x)
символдарының бірімен белгіленеді (оқылуы сәйкес n-ші эф икс, дэ эн икс бойынша дэ эн эф, дэ эн эф икс).
Кейде бұл символдар fn функциясының өзін де белгілеу үшін қолданылады.
Келесі тұжырым өте маңызды болғандықтан, оқырманның назарын ерекше аударамыз: f функциясының x0 нүктесінде n-ші туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы (x0-δ, x0+δ) интервалында анықталып және (n-1) рет дифференциалданып, f(n-1) функциясының x0 нүктесінде туындысы бар болады деп түсіну керек.
Расында да, бұл жоғарғы ретті туындының анықтамасының өзінен шығады: fn (x0) нақты саны анықтама бойынша
limh--0fn-1x0+h-fn-1x0h
шегіне тең, ал бұл шек мағыналы болу үшін fn-1 функциясы x0-дің белгілі бір δ маңайында анықталуы қажет.
fn-1 индукция бойынша анықталғандықтан, (x0-δ, x0+δ) интервалында f(n-2), f(n-3), ..., f(2), f(1) соңында f(0)=f функциялары анықталған.Бізге осыны көрсету керек еді.
Әрбір оң бүтін n саны үшін 0 нүктесінде n-ші туындысы бар болып, бірақ n+1-ші туындысы болмайтын функция табылады.
Мәселен, n жұп болғанда fx=xn+1, n тақ болғанда fx=xn+1sgnx функциялары сондай болады. Расында да, бұл екі жағдайда да fnx=x болады, ал x функциясы 0 нүктесінде дифференциалданбайтыны 6 -пунктінде дәлелденген еді.
Әрине, f функциясының x0 нүктесінде n-ші оң жақты (сол жақты) туындысы бар деген сөйлемді белгілі бір δ оң саны үшін f функциясы x0,x0+δx0-δ,x0 жартылай интервалында анықталып және n-1 рет дифференциалданып, fn-1 функциясының x0 нүктесінде оң жақты (сол жақты) туындысы бар болады деп түсіну керек.
Мәселен, a, b сегментінде анықталған f функциясының a нүктесінде тек қана оң жақты, ал b нүктесінде тек қана сол жақты жоғарғы туындылары бар болуы мүмкін.
I аралығында анықталып, оның әрбір нүктесінде n-ретті (ақырлы) туындысы бар болатын барлық функциялардан құрылған жиынды Dn(I) символымен белгілейді.
I аралығында анықталған және n-ші туындысы сол аралықта бар және үзіліссіз болатын барлық функциялардан құрылған жиын Cn(I) символымен белгіленеді, яғни CnI=f:f∈DnI, fn∈C(I).
Соңында, екінші туындының механикалық мағынасын атап өтейік. Егер нүктенің қозғалысы f(t) функциясымен бейнеленсе, онда f'(t) сол нүктенің қозғалысының жылдамдығын бейнелейді, демек, f''(t) қаралып отырылған нүктенің қозғалысының жылдамдығының жылдамдығын, яғни қозғалыстың үдеуін бейнелейді.
4. Негізгі элементар функцияларының жоғарғы ретті туындылары.
1°. Дәрежелік функцияның жоғарғы ретті туындылары. fx=xμ болсын. Оны бірте-бірте дифференциалдасақ, онда f'=μ∙xμ-1, f''x==μ(μ-1)xμ-2, ... болады. Мұнан әрбір n=1,2, ... үшін xμ(n)=μμ-1∙...∙(μ-n+1)xμ-n болатынын көреміз. Әрине, әрбір μ мен n үшін x саны xμ-n функциясының анықталу жиынынан алынады.
Егер μ=m оң бүтін сан болса, онда xm(m)=m!, демек, тұрақты функцияның туындысы нольге тең болғандықтан, әрбір nm үшін xm(n)=0 болады.
Бұдан, салдар ретінде, әрбір nm үшін кез келген m дәрежелі Pm x=a0+a1x-x0+ ... +am (x-x0)m көпмүшелігінің n-ретті туындысы нольге тепе-тең болатынын көреміз.
2°. Көрсеткіштік функциялардың жоғарғы ретті туындылары. fx=ax (a0) болсын. Оны бірте-бірте дифференциалдасақ, онда f'x=ax∙lna, f''x=ax∙ln2a, ... болады. Мұнан, әрбір n=1, 2, ... үщін ax(n)=ax∙lnn a(-infinityx+infinity) болатынын көреміз. Егер a=e болса, онда ex(n)=ex (n=1, 2, ...; -infinityx+infinity).
3°. Логарифмдік функцияның жоғарғы ретті туындылары. Алдымен a=e болсын, яғни fx=lnx x0. Онда f'x=1x, f''x=-1x2,f'''x=1∙2x3=(-1)21∙2x3, f4x=1∙2∙3x4=(-1)31∙2∙3x4, f5x=1∙2∙3∙4x5=(-1)431∙2∙3∙4x5, болады. Мұнан әрбір n=1,2,... үшін (lnx)(n)=(-1)n-1∙n-1!xn(x0) болатынын көреміз.
Әрине, жалны жағдайы да осы дербес жағдайдан шығады, өйткені
a0, a!=1 үшін logax=logexlogea.
4°.Тригонометриялық функциялардың жоғарғы ретті туындылары.
Алдымен fx=sinx болсын. f'x=sin(x+PI2) болғандықтан, әрбір дифференциалдауда аргументіне PI2 саны қосылатынын көреміз, демек, (sinx)(n)=sinx+n∙PI2(n=1,2,...). Дәл осылай, fx=cosx үшін f'x=-sinx=cos(x+PI2) болғандықтан, әрбір n=1,2,... үшін (cosx)(n)=cosx+n∙PI2 болады.
Ал тангенс, котангенс және кері тригонометриялық функциялар үшін жоғарыда қарастырылған жағдайлардағыдай қарапайым формулалар жоқ. Мәселен, математикалық индукция тәсілін қолданып
(arctgx)(n)=(n-1)!(1+x2)n2∙sinnarct gx+PI2 (n=1,2,...)
формуласын дәлелдеуге болады.
13.4. Лейбниц формуласы
Екі функцияның қосындысы мен айырымының туындысын табу ережесі n-ретті туынды жағдайына да оңай жалпыланады,ол,әрине, (f+-g)n=f(n)+-g(n) формулалары болады. Ал бөлінді мен көбейтіндіге келсек, онда бірінші амал үшін қолданылатындай формула жоқ болса,екінші амал үшін Ньютон биномының формуласына ұқсас формула бар екен. Ол Лейбниц формуласы деп аталады да, келесі түрдегі
(u∙ϑ)n=un∙ϑ+Cn1∙un-1∙ϑ'+Cn2∙un-2∙ϑ' '+...+Cnn-1∙u'∙ϑn-1+u∙ϑ(n) (17)
формула болады. Мұнда Cnk=nn-1∙...∙(n-k+1)k! биномдық коэффициенттер.
Лейбниц формуласын индукция бойынша дәлелдейік. n=1 үшін ол формула екі функцияның көбейтіндісінің дифференциалдану ережесіне айналады.
Енді оң бүтін n саны үшін (17) формуласы орындалады деп ұйғарып, n+1 үшін де орындалатынын көрсетейік. (17) теңдігінің екі жағын да дифференциалдап, қосындыларын төменде көрсетілгендей біріктірейік:
(u∙ϑ)n+1=un+1∙ϑ+Cn0un∙ϑ1+Cn1un∙ϑ1+C n1un-1∙ϑ2+Cn2un-1∙ϑ2+...+Cnn-1u1∙ϑn +Cnnu1∙ϑn+u∙ϑn+1. (18)
Cnk анықтамасынан Cnk-1+Cnk=Cn+1k (k=1,2,...,n) теңдігі оңай шығады. Сондықтан (18) теңдігін келесі
(u∙ϑ)n+1=un+1∙ϑ+Cn+11un∙ϑ1+Cn+12un- 1∙ϑ2+...+Cn+1nu1∙ϑn+u∙ϑn+1
түрінде жазуға болады, демек, (17) формуласы n+1 үшін орындалатыны, сонымен бірге Лейбниц формуласы да дәлелденді.
Егер u0=u, ϑ0=ϑ келісімімен пайдалансақ, онда Лейбниц формуласын келесі жинақты түрде жазуға болады:
(u∙ϑ)n=k=0nCnk∙u(n-k)∙ϑk.
М ы с а л д а р. 1. fx=x2∙ex функциясының n-ші туындысын табайық. Егер u=ex, ϑ=x2 болса, онда uk=exk=1,2,...; ϑ'=2x,ϑ''=2, ϑ(3)= ϑ(4)=...=0 болады, демек, Лейбниц формуласы бойынша
(x2ex)n=ex∙x2+Cn1ex∙2x+Cn2ex∙2=ex x2+2nx+nn-1.
Егер көбейтіліп тұрған функциялардың біреуінің туындылары белгілі бір реттен бастап нлоьге тепе-тең айналып, екіншісінің туындылары оңай табылса, онда Лейбниц формуласын қолдану нәтижелі болады. Қарастырылған мысалдағы функция сондай еді.
1. Лейбниц ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz