Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 93 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе

I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары

Туындының анықтамасы. Туындының анықтамасының түрлері және туындының белгіленулері
Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
Тригонометриялық функциялардың туындылары
Элементар функциялардың туындылары туралы
Жоғарғы ретті туындылар
Лейбниц формуласы
Анықталмаған интеграл. «Анықталмаған интеграл» тақырыбының мазмұны
Анықталған интеграл анықтамасы және қасиеттері

II бөлім. Туынды мен анықталған интегралдың қолданулары

2. 1 Туынды мен анықталған интегралдың физикада қолданылуы

2. 2 Туынды мен анықталған интегралдың геометрияда қолданылуы

2. 3 Туынды мен анықталған интегралдың экономикада қолданылуы

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Кіріспе

Зерттеудің өзектілігі: Көптеген математикалық оқулықтарда, анықтамаларда туынды мен интегралдың элементар қасиеттері, осы туынды мен интегралға жүргізілетін зерттеулер, олардың қолданылулары қарастырылған. Дипломдық жұмыста туынды мен интегралдың элементар, дәлірек айтқанда элементар функциялардың туындылары, тригонометриялық функциялардың туындылары, жоғарғы ретті туындылардының, анықталған интегралдың қасиеттерін математикалық талдау әдістерімен толығымен зерттеп, көптеген мысалдар (туынды мен интегралдың қолдануларын) қарастырдым.

Зерттеудің объектісі: Туынды, түрлері мен оның белгілену тәсілдері, Лейбниц формуласы, анықталған интеграл және оның қасиеттері, туынды мен анықталған интегралдың физикада, геометрияда және экономикада қолданылулары.

Зерттеудің мақсаты: Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу. Қазақ тілінде математикалық талдаумен оқу құралдарының жетіспеуіне байланысты өз еңбегіммен осы мәселені шешуге үлес қосу. Ізделінді тақырыпқа байланысты әдебиеттерді оқу. Математикалық талдаудағы теоремалар мен тұжырымдарды туынды мен интегралды зерттегенде қолданып математикалық талдау әдістерімен анықтау.

Зерттеудің болжамы: Туынды мен интегралды зерттеу арқылы математикалық талдау әдістерін байыту, есептерін шығару.

Зерттеудің теориялық маңызы: Математикалық талдаудың көптеген есептері табиғатта болатын құбылыстарды сипаттайтын математикалық моделі болып табылады. Математикалық талдау математиканың басқа да бөлімдерімен (аналитикалық геометрия, дифференциалдық геометрия, дифференциалдық теңдеулер, копмлекс айнымалылар теориясы, математикалық физика теңдеулері, функционалдық талдау т. б. ) тығыз байланыста болғандықтан, математикалық талдаудың ұғымдары, тұжырымдары мен теоремалары осы аталған математиканың басқа да бөлімдерінде кеңінен қолданылады. Сондықтан да математикалық талдаудағы көптеген есептер тек қана математиканың басқа да бөлімдерінде ғана емес, физиканың, механиканың көптеген есептерінде өз қолданылуын табуда.

Зерттеудің жаңалығы: Туынды және интегралды математикалық талдау әдістерімен зерттеп, мектеп математикасымен байланыстыру. Осы зерттеулерге сүйене отырып қолданылуын атап, мысалдар келтіре отырып есептер шығару.

Зерттеудің әдістемесі: Дифференциалдық және интегралдық есептеулер.

Зерттеудің нәтижесі: Жоғарғы математика курсында туынды мен интегралды және олардың қасиеттерін тереңірек білуді талап етіледі. Әсіресе, математикалық талдау курсында әртүрлі есептеулер мен түрлендірулер жүргізу, туынды мен интеграл физикалық, геометриялық және экономикалық есептерді есептегенде көп қолданылады. Берілген дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интеграл зерттелді. Бұл дипломдық жұмыста туынды мен анықталған интегралдың негізгі қасиеттері дәлелденді, әртүрлі жағдайларда берілетін туынды мен анықталған интегралдың қолданылулары қарастырылды. Туынды мен анықталған интегралға және олардың қолданылуларына көптеген мысалдары келтірілді.

Жұмыс көлемі: компьютерде терілген, электрондық нұсқасы түлектік жұмысымен бірге берілді.

Дипломдық жұмыс құрылымы: Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспе бөлімде зерттеудің өзектілігі; обьектісі; мақсаты; зерттеудің болжамы; зерттеудің теориялық маңызы; зеттеудің жаңалығы; зеттеудің әдістемесі; зерттеудің нәтижесі баяндалған.

«Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы және оны 1797 жылы француз математигі Ж. Лагранж (1736-1813) енгізген, қазіргі кездегі $y', \ f'$ белгілеулерін де сол енгізген. Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады: $f'(x)$ функциясы $f'(x)$ -тен шығады, ƒ( x ) -тің туындысы болып табылады. Ағылшын математигі И. Ньютон ( 1643-1727) функцияның туындысын флюксия деп атайды, ал функцияның өзін флюксия деп атаған. Неміс математигі Г. Лейбниц (1646-1716) дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиi кездеседі. Неміс математигі Г. Лейбниц (1646-1716) df символын f функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған. f функциясының дифференциалын - $f'(x_{0})$ туындысының Δ х өсімшесіне көбейтіндісі, яғни ${df = f}'(x_{0})$ . Δ х ; Δ х белгілеуін dx -пен алмастырып, оны былай да жазуға болады:

${df = f}'(x_{0}) dx$

осыдан

$f'\left( x_{0} \right) = \frac{df}{dx}$

I бөлім. Туынды мен интегралдың анықтамалары

1. 1. Туындының анықтамасы. Түрлері және туындының белгіленулері

Туындының анықтамасы.

Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала екі есепте пайда болды - ол қисыққа жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.

Сонымен, қарастырылған екі есеп бір- бірінен өзге білім салалары - геометрия мен механикаға жатса да, олар тек қана бір математикалық амалға -
$\lim_{x_{1} \rightarrow x_{0}}\frac{f\left( x_{1} \right) - f(x_{0}) }{x_{1} - x_{0}}$

түріндегі шекті табу есебіне әкеледі. Осы амалға әкелетін есептер санын калағанымызша көбейтуге болады. Мысалы, химиялық реакцияның жылдамдығы, сызықтық тығыздық туралы есептер де солай болады.

Әрине бұл амалдың арнаулы атауы болу керек. Ол амалдың өзін функцияны дифференциалдау , ал оның нәтижесін, яғни шектің мәнін функцияның туындысы дейді.

Сөйтіп, f функциясы I аралығында анықталсын . Егер $x_{0} \in I$ үшін

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - \ f(x_{0}) }{x - \ x_{0}}$

нақты мәнді шегі бар болса, онда f функциясын x ₀ нүктесінде дифференциалданады, ал шектің мәнін f функциясының $x_{0}$ нүктесіндегі туындысы дейді де, $f'(x_{0})$ символымен белгілейді.

Осы анықтамаға сүйеніп, жоғарыда талқыланған есептерді былай тұжырымдауға болады:

1 ^° . Егер f функциясының x ₀ нуктесінде туындысы бар болса, онда сол нүктеде y = f ( x ) қисығының жанамасы бар болып, оның теңдеуі

$y = f'\left( x_{0} \right) \bullet \left( x - x_{0} \right) + f(x_{0})$ (2)

болады. (2) түзуін f функциясының графигінің $(x_{0}, f(x_{0}) )$ нүктесіндегі жанама деп те атайды. (2) теңдеуінен жанаманың бұрыштық коэффициенті сол нүктедегі туындының мәніне тең екенін көреміз. Басқаша айтқанда, жанама мен x -тер осінің арасындағы бұрыш α болса, онда $f\left( x_{0} \right) = tg\alpha$ теңдігі орындалады. Бұл туындының геометриялық мағынасы болады.

2°. Материялық нүктенің қозғалысы жоғарыда айтылғандай f ( t ) функциясы арқылы бейнеленген болсын. Егер $f'(t_{0})$ туындысы бар болса, онда сол туынды материялық нүктенің $t_{0}$ мезгіліндегі жылдамдығы деп аталады.

Туындының анықтамасының түрлері, туындының белгіленулері. Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып былай жазуға болады:

${1{^\circ}. \ \ \ \lim_{x \rightarrow x_{0}}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right) }{x - x_{0}},$ $3{^\circ}. \ \ \ \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f(x_{0}) }{\mathrm{\Delta}x},$

$2{^\circ}. \ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0}) }{h},$ $4{^\circ}. \ \ \ \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}{\frac{\mathrm{\Delta}f(x_{0}) }{\mathrm{\Delta}x} = \lim_{\mathrm{\Delta}x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}}\ .$

Соңғы екі анықтамада $\mathrm{\Delta}x = x - x_{0\ }, \ \ \mathrm{\Delta}y = f(x) - f\left( x_{0} \right)$ немесе $\mathrm{\Delta}x = \left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - x_{0}, \ \ \ \mathrm{\Delta}f\left( x_{0} \right) = \mathrm{\Delta}y = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f(x_{0})$

белгілеулері қолданылған . $x - x_{0} = h = \mathrm{\Delta}x$ сандары функцияның аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының өсімшесі деп аталады.

Туындының анықтамасындағы қатынас мағынасын жоғалтпауы ушін, h өсімшесі (анықтық үшін h -ты алдық) нольден өзге болуы қажетті. Бірақ бұл жағдайдың анықтамадағы шекке зияны болмайды, өйткені шектің таңбасынан кейін тұрған $\varphi(h) = \frac{f(x + h) - f(x) }{h}$ өрнегі сол өсімшенің функциясы ретінде қарастырылып, $\lim_{h \rightarrow 0}{\varphi(h) }$ шегінің өзі өсімше нольге ұмтылғанда алынады ( $\varphi(h)$ функциясы шегі табылып тұрған 0 нүктесінде анықталмауы да мүмкін!) .

Әрине, h өсімшесі оң да, теріс те бола алады, тек қана $x_{0} + h$ саны функцияның анықталу жиынынан шығып кетпеуі керек. $f(x) - f\left( x_{0} \right) = f\left( x_{0} + h \right) - f\left( x_{0} \right) = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f\left( x_{0} \right) = \mathrm{\Delta}y$ сандарын функцияның өсімшесі дейді (тәуелсіз айнымалының өсімшесіне сәйкес) .

Сөзбен $1{^\circ} - 4{^\circ}$ анықтамалары былай айтылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда нақты мәнді шегі бар болса, онда функция дифференциалданады деп, сол шектің мәні функцияның туындысы деп аталады.

Біз көбінесе туындының анықтамасының алғашқы екі түрімен пайдаланамыз.

Туындының мынадай белгіленулері бар:

Г. Лейбниц: $\frac{df}{dx}, \ \frac{df(x_{0}) }{dx}$ немесе $\frac{dy}{dx}$ (1675 ж. берілген),

Ж. Лагранж: $f'(x_{0})$ немесе $y'$ (1770 ж. берілген),

О. Коши: $Df(x_{0})$ немесе $Dy$ (1800 ж. берілген) .

Бұл символдар былай оқылады: $y' -$ игрек штрих, $f'\left( x_{0} \right) -$ эф штрих икс ноль, $\frac{df}{dx} -$ дэ икс бойынша дэ эф, $\frac{dy}{dx} -$ дэ икс бойынша дэ игрек, $Df\left( x_{0} \right) -$ дэ эф икс ноль, $Dy -$ дэ игрек. Лейбниц белгілеуі туындының анықтамасының $4{^\circ}$ -ші түрін елестетеді.

Егер $1{^\circ} - 4{^\circ}$ -гі шектерді оң жақты және сол жақты шектерге өзгертсек, онда $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесіндегі сәйкес оң және сол жақты туындыларының анықтамаларына келеміз. Оң жақты туындыны $f_{+}'\left( x_{0} \right)$ , ал сол жақты туындыны $f_{-}'\left( x_{0} \right)$ символдарымен белгілейді. Сонымен,

$f_{+}'\left( x_{0} \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0} + 0}{\frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0}} = \lim_{h \rightarrow + 0}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0}) }{h}},$

$f_{-}'\left( x_{0} \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0} - 0}{\frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0}} =}\lim_{h \rightarrow - 0}{\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0}) }{h}. }$

[ a, b ] сегментінде анықталған $f$ функциясының a нүктесінде тек қана оң жақты, ал b нүктесінде тек қана сол жақты туындылары туралы айтуға болады.

Әрине, $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде жай (екі жақты) туындысы бар болуы үшін, оның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

Егер $1{^\circ} - 4{^\circ}$ -дегі өрнектердің жай, оң немесе сол жақты ақырсыз шегі бар болса, онда $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде сәйкес жай, оң немесе сол жақты ақырсыз туындысы бар дейді.

Мысалы, егер $\lim_{x \rightarrow x_{0} + 0}{\frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0}} = - \infty}$ болса, онда $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде оң жақты ақырсыз $- \infty$ -ке тең туындысы бар дейді де, былай $f_{+}'\left( x_{0} \right) = - \infty$ белгілейді.

Ақырсыз туындылар сирек қолданылады, сондықтан ақырлы туындыны қысқаша туынды деп атайды. Сонымен, «туынды» дегенге «ақырлы туынды» мағынасында түсіну керек( кейбір маңызды жағдайларда, «ақырлы туынды» деп те толық айтамыз) .

Туынды ұғымы $-$ локальді ұғым.

Функцияның жиында дифференциалдануы, нүктеде дифференциалдануы арқылы анықталады:

$f$ функциясы X жиынында анықталған болсын. Егер X жиынының әрбір нүктесінде $f$ функциясының ақырлы туындысы бар болса, онда $f$ функциясының X жиынында туындысы бар немесе $f$ функциясы X жиынында дифференциалданады дейді де, $f \in D(X)$ символымен белгіленеді.

Сонымен, $D(X)$ символымен X жиынында анықталған және дифференциалданатын функциялардың бәрінен құрылған жиын белгіленеді.

Әрине, « $f$ функциясы X жиынында дифференциалданбайды» деген « $f$ функциясының кемінде бір $x_{0} \in X$ нүктесінде ақырлы туындысы жоқ» дегенмен пара-пар.

Е с к е р т у. Кез келген анықтама сияқты,

${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{x \rightarrow x_{0}}}{\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right) }{x - x_{0}} = f'\left( x_{0} \right) }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (3)

туындының анықтамасы да келесі қарама-қарсы бағыттарда пайдаланылады:

1) . Оңнан солға қарай $-f$ функциясының $x_{0}$ нүктесіндегі туындысы бар болатыны белгілі болса, онда (3) теңдігінің сол жағындағы шек те бар болып, мәні оң жағындағы санға тең болады.

2) . Солдан оңға қарай $-$ (3) теңдігінің сол жағындағы шек бар болатыны дәлелденсе, онда ол сол теңдіктің оң жағында тұрған символмен белгіленеді.

Әрине, бұл айтқанымыз $2{^\circ} - 4{^\circ}$ түріндегі туындының анықтамалары үшін де орындалады.

Туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі.

Біз шек ұғымы арқылы функцияның екі қасиетін анықтадық $-$ ол үзіліссіз болуы мен туындысы бар болуы.

Енді осы екі қасиеттің ара қатынасын қарастырайық.

$f$ функциясы $I$ аралығында анықталып, $x_{0} \in I$ болсын.

Т е о р е м а. Егер $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде жай, оң немесе сол жақты ақырлы туындысы бар болса, онда $f$ сол нүктеде сәйкес жай, оң немесе сол жақты үзіліссіз болады.

Д ә л е л д е у і. $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесінде туындысы бар болсын. Әрбір $x \neq x_{0}$ үшін $f(x) - f\left( x_{0} \right) = \frac{f(x) - f(x_{0}) }{x - x_{0}}\ \bullet (x - x_{0})$ болады, демек, көбейтіндінің шегі туралы теорема бойынша $f(x) - f\left( x_{0} \right) \rightarrow f'\left( x_{0} \right) \bullet 0 = 0\ (x \rightarrow \ x_{0})$ , яғни $f$ функциясы $x_{0}$ нүктесінде үзіліссіз.

Мұның ешқандай теоремаға сүйенбейтін тіке дәлелдеуін де беруге болады. Расында да, $\varepsilon > 0$ саны берілсін. Онда шектің анықтамасы бойынша $0 < \mid x - x_{0} \mid < \delta_{0}(\varepsilon)$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық $x \in I$ сандары үшін

$│\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right) }{x - x_{0}} - f'(x_{0}) \mid < \varepsilon$ (4)

теңсіздігі орындалатын $\delta_{0}(\varepsilon)$ оң саны табылады. Аталған $x$ сандары үшін (4) -тен келесі $│f(x) - f\left( x_{0} \right) │ < (\varepsilon + │f'(x_{0}) │) \bullet \ │x - x_{0}│$ теңсіздік шығады. Сондықтан, $\delta(\varepsilon) = \min\{\delta_{0}(\varepsilon), \ \ \frac{\varepsilon}{\varepsilon + \mid f'\left( x_{0} \right) \mid}\}$ болса, онда $│x - x_{0}│ < \delta(\varepsilon) \Rightarrow │f(x) - f(x_{0}) │ < \varepsilon$ шарты орындалады, ал бұл $f$ функциясының $x_{0}$ нүктесіндегі үзіліссіздігінің дәл өзі болады.

Біржақты туындылар жағдайында да теорема дәл осылай дәлелденеді.

С а л д а р. Егер $x_{0}$ нүктесі $f$ функциясының үзіліс нүктесі болса, онда сол нүктеде $f$ -тің ақырлы туындысы болмайды.

Туынды табуға кейбір мысалдар. 1°. Функцияның бірде-бір нүктеде туындысы жоқ болуы мүмкін. Мысалы, Дирихле функциясы әрбір үзілісті болғандықтан, оның бірде-бір нүктеде туындысы болмайды.

2°. Функцияның тек қана бір нүктеде туындысы бар болуы мүмкін.

Мысалы, $f(x) = \left\{ \begin{array}{r} x^{2}, \ \ \ \ егер\ \ x\ \ рационал\ сан\ болса, \\ 0, \ \ егер\ x\ \ иррационал\ сан\ болса \end{array} \right. \$

функциясы сондай болады. Бұл функция әрбір $x \neq 0$ нүктелерінде үзілісті болғандықтан, туындысы да болмайды.

Енді $x_{0} = 0$ нүктесінде туындысы бар және 0-ге тең екенін көрсетейік. Ол үшін

$\underset{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \rightarrow 0}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lim}\frac{f(x) - f(0) }{x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x) }{x} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$