Параметрлі теңдеулерді функциялық әдіспен шешу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Параметрлі теңдеулерді функциялық әдіспен шешу

Айталық біз мына теңдеуді ƒ (х, а) = (1)

айнымалы шама х-ке қатысты шешу қажет болсан.

(1) теңдеу параметр а- ға байланысты оңай шешілетін

а = φ (х) (2)

және бұл функциясының графигі элементар әдістермен немесе туынды жәрдемімен оңай салынатын функция болсын.

Егер параметр а - ның мәнін (1) теңдеуге апарып қойсақ, онда құрамныда параметрі болмайтын мынадай теңдеу шығады.

ƒ[(х, φ) (х) ] = 0 (3)

Бұл теңдеудің кез келген х= b шешімі (1) теңдеудің де шешімі болып табылады өйткені ƒ[(b, φ) (b) ] = 0 (4) теңбе - теңдігінен (1) теңдеуге сәйкес

φ (b) = a (5) теңбе - теңдігі келіп шығады.

Сонымен, біз (1) теңдеумен (2) теңдеудің өзара мәндес екендігі дәлелдедік.

ƒ (х, а) =0 ↔︎ a= φ (х) (6)

а = φ (х) функциясының графигін білу үшін (1) теңдеудің пішімдерін параметр а - ға байланысты табуға толық мүмкіндік береді.

Параметрлі теңдеулерлі функциялық әдіспен шешудің алгоритмі мынадай сатылардын тұрады:

Теңдеудің анықталу облысын табамыз.
Параметра-ных-тың функциясы ретінде өрнектейміз.
а = φ (х) функциясының графигін хоа координата жүйесінде белгісіздің мүмкін мәндерінің жиынында (теңдеудің анықталу облысында) саламыз.
у=a түзуі мен а = φ (х) функция графигінің қиылысу нүктесін анықтаймыз.

Егер у=a түзуі мен а = φ (х) функциясының графиктер өзара қиылыспайтын болса, онда параметрдің бұл мәндерінде берілген теңдеудің нақты шешімдері болмайды.

Егер а = φ (х) функциясының графигі мен у = a түзуі қиылысатын болса, онда а = φ (х) теңдеуін х -ке қатысты шешіп, қиылысыу нүктелерінің абсциссаларын (берілген теңдеудің нақты шешімдерін) табамыз.

5) Ең соңында а = φ (х) функциясының графигіне қарап, берілген

теңдеудің параметр а - ның әртүрлі нақты мәндеріне сәйкес келетін шешімдерін (есептің жауабын) жазамыз.

Енді параметрлері теңдеуді функция әдіспен шешуге мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Параметр а- ның қандай мәндерінде х ³ - 4х -а=0 теңдеудің нақты шешімдерін болатындығын анықтаңдар.

Шешуі: Бұл теңдеуді жоғары алгебра курсында Кардано формуласы бойынша шығаруға болады. Бұл формула орта мектепте өтілмейді. Функциялық әдіспен бұл теңдеуді біршама оңай шешуге болады. Берілген теңдеуден параметр анықтасақ:

а =х ³ - 4 х, х $\epsilon$ R

Енді осы функцияның графигін салайық.

Ол үшін функцияны экстремумге зерттейміз.

а’(х) = 0 ↔︎ 3x ² -4=0 ↔︎ (√3 - 2) (√3 + 2) =0 ↔︎ $\begin{bmatrix} х = \ \ & - & \frac{2}{\sqrt{}3} \\ & & \\ х = & - & \frac{2}{\sqrt{}3} \end{bmatrix}$

Енді а’(х) функциясының осы стационар нүктелердің аймағындағы туындысының таңбасын зерттейміз. Оны мынадай таблица арқылы анықтаған қолайлы.

\left( - \infty; - \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right)

- \ \frac{2}{\sqrt{3}}

\left( - \frac{2}{\sqrt{3}}; \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right)

\frac{2}{\sqrt{3}}

\left( \ \frac{2}{\sqrt{3}}; \ + \infty \right)

х: а'(х)

(−∞;−23)\left( - \infty; - \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right): +

−23- \ \frac{2}{\sqrt{3}}: 0

(−23;23)\left( - \frac{2}{\sqrt{3}}; \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right): -

23\frac{2}{\sqrt{3}}: 0

(23;+∞)\left( \ \frac{2}{\sqrt{3}}; \ + \infty \right): +

х: а(х)

(−∞;−23)\left( - \infty; - \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right):

−23- \ \frac{2}{\sqrt{3}}:

\widehat{\max}

(−23;23)\left( - \frac{2}{\sqrt{3}}; \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right):

23\frac{2}{\sqrt{3}}:

\breve{\min}

(23;+∞)\left( \ \frac{2}{\sqrt{3}}; \ + \infty \right):

Демек, а _max = a $\left( - \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$ = $\frac{16}{3\sqrt{3}}$ ; а _min = a $\left( - \ \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$ = - $\frac{16}{3\sqrt{3}}$ ;

Абсцисса осьімен зерттеліп отырған а(х) функциясы мынан нүктелерде қиылысады:

а(х) = 0 ↔︎ х ³ - 4х =0 ↔︎ х (х-2) (х+2) =0 ↔︎ [ х ₁ = -2,

x ₂ =0,

x ₃ = 2.

3) Сонымен бірге, мұнда lim а(х) = lim (х ³ - 4х) = ± $\infty$

Өйткені х- тің үш дәрежесі х-тің бір дәрежесіне қарағанда тез қарқынмен өседі (кемиді)

Осы табылған мәліметтер бойынша а(х) функциясының графигін саламыз.

$C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\Новая папка\Безимени-1.jpg$

Параметр а- ның белгілі бір тиянақты мәніндегі берілген теңдеудің шешімін табыуын үшін оа осьіндегі параметр а -ның сол мәні арқылы ох осьіне параллель түзу жүргіземіз. Сондағы осы түзудің а(х) функцияның графигімен қиылысу нүктелерінің абсциссасы параметр а-ның сол мәніндегі берілген теңдеудің шешімі болып табылады.

Функция графигіне қарағанда берілген теңдеудің шешімдерінің мынадай болатыныдғы байқалады.

Жауабы: 1) Егер а > $\frac{16}{3\sqrt{}3}$ болса, онда теңдеудің тек бір ғана нақты шешімдері болады. ; 2) егер 0<а< $\frac{16}{3\sqrt{}3}$ болса, онда -2<х ₁ < - $\frac{2}{\sqrt{}3}$ - $\frac{2}{\sqrt{}3}$ <х ₂ <0, х ₃ >2; ал $\frac{16}{3\sqrt{}3}$ < а <0 болса, онда х ₁ <-2, 0< х ₂ < $\frac{2}{\sqrt{}3}$ , $\frac{2}{\sqrt{}3}$ <х ₃ >2 болады.

2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: $\sqrt{х - а = 2х - 1}$

Шешуі: х $\ \geq$ $\frac{1}{2}$ болғанда берілген теңдеу мына теңдеуге мәндес болады:

х-а = (2х-1) ²

Берілген теңдеуден параметр а -ны анықтасақ а =- 4х ² +5 х-1= -4 $\left( x - \frac{5}{8} \right)$ ² + $\frac{9}{16}$ Енді х $\geq$ $\frac{1}{2}$ үшін а =4х ² +5х -1 функциясының графигін саламыз.

$C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\Новая папка\Безимени-2.jpg$ Сонда функция графигінен берілген теңдеудің шешімдерінің мынадай болатындығын бірден анықтауға болады.

Жауабы: 1) Егер а< $\frac{1}{2}$ болса, онда $x = \frac{5 + \sqrt{9 - 16}}{8}$ 2) егер а $\leq$ $\frac{9}{2}$ болса, онда $x_{1, 2} = \frac{5 \mp \sqrt{9 - 16а}}{8}$ ; 3) егер а $>$ $\frac{9}{16}$ болса, онда теңдеудің нақты шешімдері болмайды.

3-мысал. Параметр а- ның мәндеріне байланысты теңдеуді шешіңдер.

4х ² + (а-2) х+(а-5) =0 (7)

Параметр а- ның қандай мәндерінде осы теңдеудің а) оң шешімге, б) теріс шешімге, в) бір оң шешімге г) өзара тең шешімге д) бірде - бір нақты шешімге не болмайтын жағдайларын анықтаңдар.

Шешуі: (7) теңдеуді параметр а-ға қарағанда шешейік: $а = \frac{4x^{2} + 2х + 5}{х + 1}$ мұнда х $\neq$ -1 (8) . Енді параметр а-ны (- $\infty; - 1$ ) $\cup$ ( $- 1$ ; + $\infty$ ) аралығында анықталған х-тің функциясы деп қарастырамыз.

Функцияның экстремум нүктелерін анықтау үішн (8) теңдеуді былайша түрлендіреміз, сөйтіп оны экстремумге зерттейміз. а=a(x) = -4х+6 - $\frac{1}{х + 1}$ а(х) =4+ $\frac{1}{(х + 1) \ {}^{2}}$ а’(х)

а'(х)

а'(х): а(х)

-: -1, 5

+: -1

+: 0, 5

х:

функциясы мына нүктелерде х ₂ = -1, 5 нольге айналады.

Енді осы нүктелердің аймағындағы а(х) функциясының таңбасын зерттейміз.

$C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\Новая папка\Безимени-2.jpg$ а _mun = а (-1, 5) =14

а _max = а (-0, 5) = 5

Одан әрі мыналарды табамыз: lim a(x) = + $\infty$ , lim a(x) = - $\infty$ , lim a(x) = - $\infty$ , lim a(x) = + $\infty$ . Енді осы табылған мәліметтер бойынша а(х) функциясының графигін хоа координата жазықтығында саламыз.

Біз a(x) функциясының нольдік нүктелерін ойыстығы мен дөңестігін анықтаймыз, өйткені (7) теңдеудің шешімін табу үшін олардың қажеті жоқ.

Сонда функция графигіне қарағанда (7) теңдеудің шешімдері параметр а-ның мәндеріне байланысты былайша анықталатынын көреміз.

Егер 6<а<14 болса, онда теңдеудің нақты шешімдері болмайды; егер а=6 болса, онда х ₁ х ₂ = - 0, 5 егер 5<а<6 болса, онда х ₁ <0; егер а=5 болса, онда х _1< =0 х ₂ = 0; а<5 болса, онда х1<0 ; х ₂ > 0; а $\in$ (- $\infty; \ - 6$ ) $\cup$ (14; + $\infty$ ) болса онда теңдеудің екі шешімі болады х _{1, 2 =} $\frac{(2 - а) \pm \sqrt{а - 20a + 84}}{8}$