Параметрлі теңдеулерді функциялық әдіспен шешу

Кіріспе

Айталық біз мына теңдеуді ƒ (х,а) = (1)
айнымалы шама х-ке қатысты шешу қажет болсан.
(1) теңдеу параметр а- ға байланысты оңай шешілетін
а = φ (х) (2)
және бұл функциясының графигі элементар әдістермен немесе туынды жәрдемімен оңай салынатын функция болсын.
Егер параметр а – ның мәнін (1) теңдеуге апарып қойсақ, онда құрамныда параметрі болмайтын мынадай теңдеу шығады.
ƒ[(х,φ) (х)] = 0 (3)
Бұл теңдеудің кез келген х= b шешімі (1) теңдеудің де шешімі болып табылады өйткені ƒ[(b,φ) (b)] = 0 (4) теңбе – теңдігінен (1) теңдеуге сәйкес
φ (b) = a (5) теңбе – теңдігі келіп шығады.
Сонымен, біз (1) теңдеумен (2) теңдеудің өзара мәндес екендігі дәлелдедік.
ƒ (х,а) =0 ↔ a= φ (х) (6)
а = φ (х) функциясының графигін білу үшін (1) теңдеудің пішімдерін параметр а – ға байланысты табуға толық мүмкіндік береді.
Параметрлі теңдеулерлі функциялық әдіспен шешудің алгоритмі мынадай сатылардын тұрады:
Теңдеудің анықталу облысын табамыз.
Параметр а –ны х- тың функциясы ретінде өрнектейміз.
а = φ (х) функциясының графигін хоа координата жүйесінде белгісіздің мүмкін мәндерінің жиынында (теңдеудің анықталу облысында) саламыз.
у=a түзуі мен а = φ (х) функция графигінің қиылысу нүктесін анықтаймыз.
Егер у=a түзуі мен а = φ (х) функциясының графиктер өзара қиылыспайтын болса,онда параметрдің бұл мәндерінде берілген теңдеудің нақты шешімдері болмайды.
Егер а = φ (х) функциясының графигі мен у = a түзуі қиылысатын болса, онда а = φ (х) теңдеуін х –ке қатысты шешіп, қиылысыу нүктелерінің абсциссаларын (берілген теңдеудің нақты шешімдерін) табамыз.
5) Ең соңында а = φ (х) функциясының графигіне қарап, берілген
теңдеудің параметр а – ның әртүрлі нақты мәндеріне сәйкес келетін шешімдерін (есептің жауабын) жазамыз.
Енді параметрлері теңдеуді функция әдіспен шешуге мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Параметр а- ның қандай мәндерінде х3 – 4х -а=0 теңдеудің нақты шешімдерін болатындығын анықтаңдар.
Шешуі: Бұл теңдеуді жоғары алгебра курсында Кардано формуласы бойынша шығаруға болады. Бұл формула орта мектепте өтілмейді. Функциялық әдіспен бұл теңдеуді біршама оңай шешуге болады. Берілген теңдеуден параметр анықтасақ:
а =х3 - 4 х, х ϵ R
Енді осы функцияның графигін салайық.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Параметрлі теңдеулерді функциялық әдіспен шешу

Айталық біз мына теңдеуді ƒ (х,а) = (1)
айнымалы шама х-ке қатысты шешу қажет болсан.
(1) теңдеу параметр а- ға байланысты оңай шешілетін
а = φ (х) (2)
және бұл функциясының графигі элементар әдістермен немесе туынды жәрдемімен оңай салынатын функция болсын.
Егер параметр а - ның мәнін (1) теңдеуге апарып қойсақ, онда құрамныда параметрі болмайтын мынадай теңдеу шығады.
ƒ[(х,φ) (х)] = 0 (3)
Бұл теңдеудің кез келген х= b шешімі (1) теңдеудің де шешімі болып табылады өйткені ƒ[(b,φ) (b)] = 0 (4) теңбе - теңдігінен (1) теңдеуге сәйкес
φ (b) = a (5) теңбе - теңдігі келіп шығады.
Сонымен, біз (1) теңдеумен (2) теңдеудің өзара мәндес екендігі дәлелдедік.
ƒ (х,а) =0 -- a= φ (х) (6)
а = φ (х) функциясының графигін білу үшін (1) теңдеудің пішімдерін параметр а - ға байланысты табуға толық мүмкіндік береді.
Параметрлі теңдеулерлі функциялық әдіспен шешудің алгоритмі мынадай сатылардын тұрады:
1) Теңдеудің анықталу облысын табамыз.
2) Параметр а - ны х- тың функциясы ретінде өрнектейміз.
3) а = φ (х) функциясының графигін хоа координата жүйесінде белгісіздің мүмкін мәндерінің жиынында (теңдеудің анықталу облысында) саламыз.
4) у=a түзуі мен а = φ (х) функция графигінің қиылысу нүктесін анықтаймыз.
Егер у=a түзуі мен а = φ (х) функциясының графиктер өзара қиылыспайтын болса,онда параметрдің бұл мәндерінде берілген теңдеудің нақты шешімдері болмайды.
Егер а = φ (х) функциясының графигі мен у = a түзуі қиылысатын болса, онда а = φ (х) теңдеуін х - ке қатысты шешіп, қиылысыу нүктелерінің абсциссаларын (берілген теңдеудің нақты шешімдерін) табамыз.
5) Ең соңында а = φ (х) функциясының графигіне қарап, берілген
теңдеудің параметр а - ның әртүрлі нақты мәндеріне сәйкес келетін шешімдерін (есептің жауабын) жазамыз.
Енді параметрлері теңдеуді функция әдіспен шешуге мысалдар қарастырайық.
1-мысал. Параметр а- ның қандай мәндерінде х3 - 4х -а=0 теңдеудің нақты шешімдерін болатындығын анықтаңдар.
Шешуі: Бұл теңдеуді жоғары алгебра курсында Кардано формуласы бойынша шығаруға болады. Бұл формула орта мектепте өтілмейді. Функциялық әдіспен бұл теңдеуді біршама оңай шешуге болады. Берілген теңдеуден параметр анықтасақ:
а =х3 - 4 х, х ϵ R
Енді осы функцияның графигін салайық.
1) Ол үшін функцияны экстремумге зерттейміз.
а'(х) = 0 -- 3x 2 -4=0 -- (√3 - 2) (√3 + 2) =0 -- х= -2√3х=-2√3

Енді а'(х) функциясының осы стационар нүктелердің аймағындағы туындысының таңбасын зерттейміз. Оны мынадай таблица арқылы анықтаған қолайлы.

х
-infinity;- 23
- 23
-23; 23
23
23; +infinity
а'(х)
+
0
-
0
+
а(х)

max

min

Демек, а max = a - 23 = 1633; а min = a - 23 = - 1633;

2) Абсцисса осьімен зерттеліп отырған а(х) функциясы мынан нүктелерде қиылысады:
а(х) = 0 -- х3 - 4х =0 -- х (х-2)(х+2) =0 -- [х1 = -2,
x2=0,
x3 = 2.

3) Сонымен бірге , мұнда lim а(х) = lim (х3 - 4х) = +- infinity
Өйткені х- тің үш дәрежесі х-тің бір дәрежесіне қарағанда тез қарқынмен өседі (кемиді)
Осы табылған мәліметтер бойынша а(х) функциясының графигін саламыз.

Параметр а- ның белгілі бір тиянақты мәніндегі берілген теңдеудің шешімін табыуын үшін оа осьіндегі параметр а-ның сол мәні арқылы ох осьіне параллель түзу жүргіземіз. Сондағы осы түзудің а(х) функцияның графигімен қиылысу нүктелерінің абсциссасы параметр а-ның сол мәніндегі берілген теңдеудің шешімі болып табылады.
Функция графигіне қарағанда берілген теңдеудің шешімдерінің мынадай болатыныдғы байқалады.
Жауабы: 1) Егер а 163√3 болса, онда теңдеудің тек бір ғана нақты шешімдері болады.; 2) егер 0а163√3 болса, онда -2х1 -2√3 - 2√3 х2 0, х32; ал 163√3 а 0 болса, онда х1-2, 0 х2 2√3, 2√3 х3 2 болады.
2-мысал. Теңдеуді шешіңдер: х-а=2х-1
Шешуі: х = 12 болғанда берілген теңдеу мына теңдеуге мәндес болады:
х-а = ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.