Анықталған интеграл Ньютон Лейбниц формуласы туралы ақпарат


1. Қисық сызық трапеция ауданын есептеу.
2. Анықталған интегралдың бар болуы.
3. Анықталған интегралдың қасиеттері.
4. Ньютон.Лейбниц формуласы.
5. Анықталған интегралды есептеуде айнымалды ауыстыру
6. Жазық фигураның ауданы.
7. Қисық доғасының ұзындығы.
8. Айналу бетiнiң ауданы
1. Қисық сызық трапеция ауданын есептеу.
у=f(x)>0 функция [a,b] аралықта үзіліссіз болсын. Сонда жоғарыдан f(x) функция графигімен солдан x=a, оңнан х=в және Oх өсімен шекараланған фигура қыйсық сызықты трапеция деп аталады. Бұл трапеция ауданын есептеу үшін алдын [a,b] аралық a=x0 n
Sn=∑ f(ζi)∆ xi S ке жуықтау тең болып xi нүктелер саны артып
і=1
барған сайын (∆xi =xi+1-xi кішірейген сайын) Sn мәні Sке ұмтылып барады.
2. Анықталған интегралдың бар болуы.
Енді бұл мәселені жалпы қарап шығайық [a,b] сегментте үзіліссіз және шенелген y=f(x) берілген болып. [a,b] аралығын n бөлекке бөліп әрбір бөлектен xi<ζi xi+1-xi=∆ xi лерге көбейтіп. у
n
∑ f(ζi)∆ xi (1) жиындыны табамыз.
I=1
Анықтама. Жиынды (1) max∆ xi->0 да
n 0 а х1 х2 хі хі+1 в х
lim ∑ f(ζi)∆ xi шек бар болса оған f(x) функциядан адан в ға
n->∞ i=1
∆x->0
дейін f(x) тан алынған анықталған интеграл делінеді. Ол былай жазылады.
n
lim ∑ f(ζi)∆ xi= ∫ab[f(x)dx (2)
∆x->0 i=1
n->∞
(2) Риман интегралы немесе f(x) Риман мағынасында интегралданатын функция деп аталады.

1. Анықталған интегралдың қасиеттері.
Анық интеграл төмендегі қасиеттерге ие.
1) ∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx
2) ∫abf(x)+ (x)dx=∫ва[f(x)dx+∫ab (x)dx
3) ∫ab f(x)dx=-∫baf(x)dx
4) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx. Бұл теңдік c 5) ∫abf(x)dx= f(ζi)(b-a) (орта мән туралы теорема)
6) [a,b] да minf(x)=m; maxf(x)=М болса m(b-a)< ∫abf(x)dx≤М(b-a) болады.
7. кез-келген x [a,b] да f(x)< (x)< (x) болса ∫ab[f(x)dx<∫ab (x)dx<∫ab (x)dx

Ньютон-Лейбниц формуласы.
Берілген [a,b] сгментте f(x) үзіліссіз болып оның осы кесіндідегі алғашқы бейнесі F(U) болсын. Сонда ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x) ab (1) болады. Бұл теңдік Ньютон Лейбниц формуласы деп аталады.
Анықталған интегралдың геометриялық мәніне келсек. Егер кел-келген x [a,b] f(x)>0 болса ∫abf(x)dx жоғарыдан f(x) функция графигі төменнен Ox өсі солдан x=a оңнан x=b түзу сызықтармен шекараланған қыйсық сызықты трапеция ауданыны тең болады.
Ал кез-келген x[a,с] да f(x)>0 кез-келген x[с,b] да f(x)<0 болса онда ∫abf(x)dx==∫acf(x)dx-∫cbf(x)dx болады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Анықталған интеграл. Ньютон Лейбниц формуласы.

1. Қисық сызық трапеция ауданын есептеу.
у=f(x)0 функция [a,b] аралықта үзіліссіз болсын. Сонда жоғарыдан f(x)
функция графигімен солдан x=a, оңнан х=в және Oх өсімен шекараланған
фигура қыйсық сызықты трапеция деп аталады. Бұл трапеция ауданын есептеу
үшін алдын [a,b] аралық a=x0x1x2...xn=b нүктелер мен n бөлекке
бөлінеді. xi лердің ординаталары мен берілген трапеция n бөлекке бөлінеді.
Әрбір бөлектен xiζixi+1 шартты қанағаттандырушы ζi лер алынып f(ζi)
мәндері табылады. Сонда
n
Sn=∑ f(ζi)∆ xi S ке жуықтау тең болып xi нүктелер саны артып
і=1
барған сайын (∆xi =xi+1-xi кішірейген сайын) Sn мәні Sке ұмтылып барады.
2. Анықталған интегралдың бар болуы.
Енді бұл мәселені жалпы қарап шығайық [a,b] сегментте үзіліссіз және
шенелген y=f(x) берілген болып. [a,b] аралығын n бөлекке бөліп әрбір
бөлектен xiζixi+1 шартын қанағаттандырушы ζi лерді алып f(ζi) лерді
табамыз. Оны
xi+1-xi=∆ xi лерге көбейтіп. у
n
∑ f(ζi)∆ xi (1) жиындыны табамыз.
I=1
Анықтама. Жиынды (1) max∆ xi-0 да
n 0 а х1 х2 хі хі+1 в х
lim ∑ f(ζi)∆ xi шек бар болса оған f(x) функциядан адан в ға
n-∞ i=1
∆x-0
дейін f(x) тан алынған анықталған интеграл делінеді. Ол былай жазылады.
n
lim ∑ f(ζi)∆ xi= ∫ab[f(x)dx (2)
∆x-0 i=1
n-∞
2) Риман интегралы немесе f(x) Риман мағынасында интегралданатын
функция деп аталады.

1. Анықталған интегралдың қасиеттері.
Анық интеграл төмендегі қасиеттерге ие.
1) ∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx
2) ∫abf(x)+ (x)dx=∫ва[f(x)dx+∫ab(x)dx
3) ∫ab f(x)dx=-∫baf(x)dx
4) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx. Бұл теңдік ca; acb; abc болғанда да
орынды.
5) ∫abf(x)dx= f(ζi)(b-a) (орта мән туралы теорема)
6) [a,b] да minf(x)=m; maxf(x)=М болса m(b-a) ∫abf(x)dx≤М(b-a) болады.
7. кез-келген x[a,b] да f(x) (x) (x) болса
∫ab[f(x)dx∫ab (x)dx∫ab(x)dx

Ньютон-Лейбниц формуласы.
Берілген [a,b] сгментте f(x) үзіліссіз болып оның осы кесіндідегі алғашқы
бейнесі F(U) болсын. Сонда ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x) ab (1) болады. Бұл
теңдік Ньютон Лейбниц формуласы деп аталады.
Анықталған интегралдың геометриялық мәніне келсек. Егер кел-келген
x[a,b] f(x)0 болса ∫abf(x)dx жоғарыдан f(x) функция графигі
төменнен Ox өсі солдан x=a оңнан x=b түзу сызықтармен шекараланған қыйсық
сызықты трапеция ауданыны тең болады.
Ал кез-келген x[a,с] да f(x)0 кез-келген x[с,b] да f(x)0 болса
онда ∫abf(x)dx==∫acf(x)dx-∫cbf(x)dx болады.

1. Анықталған интегралды есептеуде айнымалды ауыстыру
Теорема: y=f(x) [a,b] сегментте ψ(t) [c,b] сегменте үзіліссіз болып a=ψ(c),
b=ψ(d) болса.
∫ab f(x)dx=∫cd f[φ(t)]φ’ (t)dt болады.
а
Мысалы. ∫√a2-x2 dx= x=asint x=0 болғанда asint=0=t=0

0 dx=acostdt x=a болғанда asint t=п2
п2
=∫0√a2-a2sin2t acostdt= =∫0п2 a2cos2tdt=a2∫0п2 (1-cos2t)dt= a2 t-sin2t
п2 = a2п
2
2 2 0 2
2. Анықталған интегралды есептеуде бөлшектеп интегралдау әдісі.
Бірер [a,b] сегментте U(x)=U және V(x)=V функциялары үзіліссіз және
дифференциалданушы болсын.
Сонда d(U*V)=VdU+UdV= UdV=d(U,V)-Vdy

∫abUdV=∫abdU*V-∫abVdU=∫abUdV=UV ab-∫abVdU болады.

Мысалы. ∫0п2 sinnxdx= u=sinn-1x dv=sinxdx =
du=(n-1)sinn-2xcosxdx v=cosx
=sin(n-1)xcosx 0п2-(n-1) ∫0п2 sinn-2 xcos 2xdx=(n-1) ∫0п2 sinn-2x(1-
sin2x)dx=
=(n-1) ∫0п2 sinn-2xdx-(n-1) ∫0п2 sinnxdx.

∫0п2 sinnxdx=(n-1) ∫0п2 sinn-2x-(n-1) ∫0п2 sinnxdx

n∫0п2 sinnxdx=(n-1) ∫0п2 sinn-2xdx; = In=n-1 In-2
n
n=2k+1 болса I1=∫0п2 sinxdx=1;
n=2k болса I2=∫0п2 dx= п
2
f(-x)=f(x) ∫-aa f(x)dx=2∫0a f(x)dx
1. Анықталған интегралды есептеуде жиі қолданылатын теңдіктер. Егерде f(-
x)=f(x) болса ∫-aa f(x)dx=2∫-aa f(x)dx болады.
Мысалы. 2
∫-п2п2 cosxdx=2∫0п2 cosx dx; ∫-55 x 2dx=2∫05 x 2dx

Егерде f(-x)=-f(x) болса ∫-aa f(x)dx=0 болады.

Мысалы: ∫-aa xdx=0 ∫0п2 sinxdx=0

3) Егерде f(x+2l)=f(x) болса

∫02l f(x)dx=∫a2l+a f(x)dx болады.

∫0 2п sin5xdx=∫2п4пsin5xdx=∫4п6п sin5xdx =0

Анықталған интеграл көмегімен кейбір геометрия есептерін шешу.
1. Жазық фигураның ауданы.
10. Жазық тiкбұрышты декарттық координаталар системасында ордината
осi тiк жоғары қарай бағытталған болсын. Абсцисса осiнен жоғары
орналасқан қисықсызықты трапецияның ауданы (3.3) формуласымен
анықталады. Егер интегралданушы функция болса, онда
“табаны” болатын қисықсызықты трапецияны қисығы төменнен
шектейдi. Аудан
.
(5.1)
Интегралданушы функцияның таңбасы -да өзгермелi болса, онда
кесіндiнi функцияның таңбасы тұрақты болатын бөлiктерге бөлемiз. Әрбiр
бөлiкке сай аудан (3.3) не (5.1) формуласының көмегiмен анықталады.
Олардың қосындысы бүкiл фигураның ауданын бередi.
Кесiндiде үзiксiз функцияларын қарастыралық.
Түзулермен: және қисықтарымен шектелген фигураның (5-
сурет) ауданы қисықтардың абсцисса осiне қарағанда қалай орналасқанына
... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі
Қисық сызықты трапецияның ауданы және интеграл
Математиканы тереңдетіп оқытудағы туындының алгебралық қолданылуы
Анықталған интеграл. Негізгі қасиеттері
Шектері шексіз интегралдар
Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы
Математикалық талдау пәнінің оқу бағдарламасында қарастырылмайтын бөлімдерін зерттеу
Математиктердің бекзадасы Карл Фридрих Гаусс
Фортран
Меншіксіз интегралдар туралы
Пәндер