Анықталған интеграл Ньютон Лейбниц формуласы туралы ақпарат

1. Қисық сызық трапеция ауданын есептеу.
2. Анықталған интегралдың бар болуы.
3. Анықталған интегралдың қасиеттері.
4. Ньютон.Лейбниц формуласы.
5. Анықталған интегралды есептеуде айнымалды ауыстыру
6. Жазық фигураның ауданы.
7. Қисық доғасының ұзындығы.
8. Айналу бетiнiң ауданы

1. Қисық сызық трапеция ауданын есептеу.
у=f(x)>0 функция [a,b] аралықта үзіліссіз болсын. Сонда жоғарыдан f(x) функция графигімен солдан x=a, оңнан х=в және Oх өсімен шекараланған фигура қыйсық сызықты трапеция деп аталады. Бұл трапеция ауданын есептеу үшін алдын [a,b] аралық a=x0 n
Sn=∑ f(ζi)∆ xi S ке жуықтау тең болып xi нүктелер саны артып
і=1
барған сайын (∆xi =xi+1-xi кішірейген сайын) Sn мәні Sке ұмтылып барады.
2. Анықталған интегралдың бар болуы.
Енді бұл мәселені жалпы қарап шығайық [a,b] сегментте үзіліссіз және шенелген y=f(x) берілген болып. [a,b] аралығын n бөлекке бөліп әрбір бөлектен xi<ζi xi+1-xi=∆ xi лерге көбейтіп. у
n
∑ f(ζi)∆ xi (1) жиындыны табамыз.
I=1
Анықтама. Жиынды (1) max∆ xi->0 да
n 0 а х1 х2 хі хі+1 в х
lim ∑ f(ζi)∆ xi шек бар болса оған f(x) функциядан адан в ға
n->∞ i=1
∆x->0
дейін f(x) тан алынған анықталған интеграл делінеді. Ол былай жазылады.
n
lim ∑ f(ζi)∆ xi= ∫ab[f(x)dx (2)
∆x->0 i=1
n->∞
(2) Риман интегралы немесе f(x) Риман мағынасында интегралданатын функция деп аталады.

1. Анықталған интегралдың қасиеттері.
Анық интеграл төмендегі қасиеттерге ие.
1) ∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx
2) ∫abf(x)+ (x)dx=∫ва[f(x)dx+∫ab (x)dx
3) ∫ab f(x)dx=-∫baf(x)dx
4) ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx. Бұл теңдік c 5) ∫abf(x)dx= f(ζi)(b-a) (орта мән туралы теорема)
6) [a,b] да minf(x)=m; maxf(x)=М болса m(b-a)< ∫abf(x)dx≤М(b-a) болады.
7. кез-келген x [a,b] да f(x)< (x)< (x) болса ∫ab[f(x)dx<∫ab (x)dx<∫ab (x)dx

Ньютон-Лейбниц формуласы.
Берілген [a,b] сгментте f(x) үзіліссіз болып оның осы кесіндідегі алғашқы бейнесі F(U) болсын. Сонда ∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x) ab (1) болады. Бұл теңдік Ньютон Лейбниц формуласы деп аталады.
Анықталған интегралдың геометриялық мәніне келсек. Егер кел-келген x [a,b] f(x)>0 болса ∫abf(x)dx жоғарыдан f(x) функция графигі төменнен Ox өсі солдан x=a оңнан x=b түзу сызықтармен шекараланған қыйсық сызықты трапеция ауданыны тең болады.
Ал кез-келген x[a,с] да f(x)>0 кез-келген x[с,b] да f(x)<0 болса онда ∫abf(x)dx==∫acf(x)dx-∫cbf(x)dx болады.