Аралас туындылар туралы теорема, жоғарғы ретті толық дифференциалдар, екі айнымалылы функциялар үшін Тейлор формуласы және экстремумдар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

§ 6. 9 Аралас туындылар туралы теорема

Теорема. Үзіліссіз функциясы берілсін және оның үзіліссіз екінші ретті аралас туындылары бар болсын, онда олар өзара тең болады:

(16)

Бұл теореманы дәлелдеу өте маңызды, бірақ, өте күрделі. Сондықтан тек дәлелдеу желісін ғана келтіреміз. Мына өрнекті қарастырамыз:

A=[f(x+∆x, y+∆y) -f(x+∆x, y) ] -[f(x, y+∆y) -f(x, y) ] .

Бұл айырмаға екі рет Лагранж теоремасы қолданылады: алдымен х айнымалысы, сонан кейін у айнымалысы бойынша, сонда:

А өрнегіндегі екінші және үшінші қосылғыштардың орындарын ауыстырамыз да, Лагранж теоремасын тағы да алдымен у бойынша, сонан кейін х бойынша қолданамыз:

Шекке көшу арқылы теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.

Теореманы жалпылаймыз: аралас туындылардың мәндері біртіндеп дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды:

. (16′)

Алдыңғы қарастырылған 1, 2-мысалдарда аралас туындылардың тең болатынын көруге болады:

; ;

§ 6. 10 Жоғарғы ретті дифференциалдар.

Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:

Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші ретті дифференциал деп аталады:

Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:

сонымен,

(*)

Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (*) өрнегіндегі соңғы төрт мүше нөлге айналады, өйткені dx пен dy - тен алынған туындылар мен дифференциалдар нөлге тең.

Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х , у- тер басқа тәуелсіз айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (*) формуласы қолданылады.

Біз келешекте екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х, у- тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде беріледі:

Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;

Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:

Жақшаны ашқандағы дәреже туындының ретін көрсетеді, ал әртүрлі дәрежелердің көбейтіндісі функцияның реті әртүрлі аралас туындыларды көрсетеді деп алу керек. Екі тәуелсіз айнымалылы функцияның жоғарғы ретті дифференциалы биномды еске түсіреді. Сонымен, алдыңғы айтқанымыздай:

(17)

Мысал үшін, n=4 болғанда Ньютон биномы бойынша ашып, төртінші ретті дифференциалды аламыз:

Мысал. Екінші ретті дифференциалды табу керек.

z=e ^xy , z′ _x =ye ^xy , z′′ _xx =y ² e ^xy , z′′ _xy =(xу+1) e ^xy ,

z′ _y =xe ^xy , z′′ _yy =x ² e ^xy , z′′ _yx =(yх+1) e ^xy ,

§ 6. 11 Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласы.

D облысында үзіліссіз және кез келген үзіліссіз аралас туындылары бар екі айнымалылы функциясы берілсін. D облысының берілсін. функциясын және -ң дәрежелері бойынша жіктеу керек.

Шешуі. функциясын, х- ті тұрақты деп есептеп, бір у айнымалысының функциясы деп аламызда оны Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

(*)

Әрі қарай , функцияларын аргумент -тің функциялары деп Тейлор формуласы бойынша жіктейміз.

(**)

(**) қатысты (*) өрнегіне қоямыз:

Функцияны -дің дәрежелерінің өсуіне қарай орналастырамыз:

Соңғы тік жақшаның ішіндегі өрнек Тейлор формуласының қалдық мүшесі деп аталады. -дерді сәйкес және деп белгілейік. Сонда екі айнымалының функциясы үшін болғандағы Тейлор формуласының түрі былай болады:

Бұл өрнекте бірінші және екінші ретті толық дифференциал беріліп тұрғанын көреміз (мұнда dx- тің орнына ∆ х, ал dу- тің орнына ∆ у алынған) . Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласын кез келген үшін жазуға болады.