Аралас туындылар


1 Аралас туындылар туралы теорема
2 Жоғарғы ретті дифференциалдар
3 Екі айнымалылы функция үшін Тейлор формуласы
4 Көп айнымалылы функцияның максимумы және минимумы
Теорема. Үзіліссіз функциясы берілсін және оның үзіліссіз екінші ретті аралас туындылары бар болсын, онда олар өзара тең болады: (16)
Бұл теореманы дәлелдеу өте маңызды, бірақ, өте күрделі. Сондықтан тек дәлелдеу желісін ғана келтіреміз. Мына өрнекті қарастырамыз:
A=[f(x+x,y+y)-f(x+x,y)]-[f(x,y+y)-f(x,y)].
Бұл айырмаға екі рет Лагранж теоремасы қолданылады: алдымен х айнымалысы, сонан кейін у айнымалысы бойынша, сонда:
.
А өрнегіндегі екінші және үшінші қосылғыштардың орындарын ауыстырамыз да, Лагранж теоремасын тағы да алдымен у бойынша, сонан кейін х бойынша қолданамыз:
.
Шекке көшу арқылы теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.
Теореманы жалпылаймыз: аралас туындылардың мәндері біртіндеп дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды:
. (16)
Алдыңғы қарастырылған 1,2-мысалдарда аралас туындылардың тең болатынын көруге болады:

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






§ 6.9 Аралас туындылар туралы теорема

Теорема. Үзіліссіз функциясы берілсін және оның үзіліссіз екінші
ретті аралас туындылары бар болсын, онда олар өзара тең болады:
(16)
Бұл теореманы дәлелдеу өте маңызды, бірақ, өте күрделі. Сондықтан тек
дәлелдеу желісін ғана келтіреміз. Мына өрнекті қарастырамыз:
A=[f(x+(x,y+(y)-f(x+(x,y)]-[f(x,y+( y)-f(x,y)].
Бұл айырмаға екі рет Лагранж теоремасы қолданылады: алдымен х айнымалысы,
сонан кейін у айнымалысы бойынша, сонда:
.
А өрнегіндегі екінші және үшінші қосылғыштардың орындарын ауыстырамыз да,
Лагранж теоремасын тағы да алдымен у бойынша, сонан кейін х бойынша
қолданамыз:
.
Шекке көшу арқылы теореманың дұрыстығын дәлелдейміз.
Теореманы жалпылаймыз: аралас туындылардың мәндері біртіндеп
дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды:
. (16()
Алдыңғы қарастырылған 1,2-мысалдарда аралас туындылардың тең болатынын
көруге болады:
;;

§ 6.10 Жоғарғы ретті дифференциалдар.

Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:
.
Анықтама. Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші ретті
дифференциал деп аталады:
.
Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың
көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:
,

сонымен,
(*)
Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (*) өрнегіндегі соңғы төрт мүше
нөлге айналады, өйткені dx пен dy –тен алынған туындылар мен
дифференциалдар нөлге тең.
Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х, у-тер басқа тәуелсіз
айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (*) формуласы
қолданылады.
Біз келешекте екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х,
у-тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде
беріледі:
.
Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;
.
Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:
.
Жақшаны ашқандағы дәреже туындының ретін ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Зияткерлік меншік дегеніміз не
Лопиталь ережесі және тейлор формуласы
Тейлор формуласының қолданылулары
Көп айнымалылар функциясы. Көп айнымалылар функциясы туралы негізгі ұғымдар мен шек
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ АУМАҒЫНДА АВТОРЛЫҚ ҚҰҚЫҚТЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
Ежелгі жырлар мен жыраулар поэзиясының ерекшеліктері
ЖЫРАУ МЕН ЖЫРШЫЛЫҚ ДӘСТҮРДІҢ ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТІНДЕГІ ҚАЛЫПТАСУЫ
Зияткерлік (интеллектуалды) меншік объектілерінің теориялық негіздері
Дербес туындылы
Авторлық құқықтың ұғымы және құқықтық қатынастардың реттелуі
Пәндер