Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуге пайдалану
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1. ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТ
1.1 Теңдеу, теңдеудің шешімдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері 17
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы ... ... 17
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі .
2. ТЕҢДЕУ ШЕШУДІ. ОҚУШЫЛАРДЫ ТЕҢДЕУ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ. МӘНДЕС ТҮРЛЕНДІРУЛЕРДІ ҮЙРЕТУ
2.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.2 Иррационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... 30
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... 32
2.3 Логарифмдік теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... .. 39
2.4 Компьютерлік технологияны теңдеулер шешуде тиімді пайдалану ... .. 43
2.5 Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, компьютерде модельдеп оқыту әдістері ... ... 50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... 52
Пайдаланған әдебиеттер ... ... .. 53
1. ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТ
1.1 Теңдеу, теңдеудің шешімдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері 17
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы ... ... 17
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі .
2. ТЕҢДЕУ ШЕШУДІ. ОҚУШЫЛАРДЫ ТЕҢДЕУ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ. МӘНДЕС ТҮРЛЕНДІРУЛЕРДІ ҮЙРЕТУ
2.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.2 Иррационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... ... 30
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... 32
2.3 Логарифмдік теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ... ... ... .. 39
2.4 Компьютерлік технологияны теңдеулер шешуде тиімді пайдалану ... .. 43
2.5 Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, компьютерде модельдеп оқыту әдістері ... ... 50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... 52
Пайдаланған әдебиеттер ... ... .. 53
Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстанды құру бізден жеке адамдардың, қоғамның және еңбек нарығының талаптарын қанағаттандыра алатын бәсекеге қабілетті білім беру жүйесін қалыптастыруды талап етеді.
Тәуелсіздіктің ертеңі оқу-білімнің тереңділігімен өлшенеді. Еш толас- сыз, үздіксіз өзгеріп тұрған әле
м адамынан да қабілет пен қажеттіліктерді толассыз, үздіксіз дамытуды талап етеді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың “Қазақстан-2050” даму бағдарламасын- да Қазақстан халқына арналған жолдауында “Біздің жас мемелекетіміз өсіп, жетіліп кемелденеді, жас шәкірттер онымен бірге ер жетеді. Олар өз ұрпағының жауапты да шегерлі, білім өрісі биік денсаулықтары мықты өкілдері болады” деп көрсеткендей шәкіртерді тәрбиелеуде физика пәнінің алатын орны бөлек.
Қазақстан Республикасының Президенті өз Жолдауында білім беру жүйесін жаңғырту барысында жүзеге асырылуға тиісті 6 түрлі міндетті алдымызға қойып отыр. Ол міндеттер мынадай: оқыту үдерісіне қазіргі заманғы әдістемелер мен инновациялық технологияларды кеңінен енгізу; педагогтар құрамының сапасын арттыру; біліктілікті бекітудің тәуелсіз жүйесін құру; жастарды әлеуметтік бейімделуге үйрету; оқыту үдерісінің тәрбиелік құрамдасын күшейту.
Қазақстан Республикасының «Білім туралы» жаңа Заңы дәл осы бәсеке- ге қабілетті отандық білім беру жүйесін қалыптастыруға бағытталған.
Жаңа заң туралы айтқанда оның құрылымына айрықша назар аударған жөн. Ол республикадағы жетілдірілген жаңа білім беру ортасын қалып- тастырудың концептуалдық идеясына сәйкес құрылған. Білім беру қызметі іштей жүйелендіріліп, оның барлық аспектілері құрылымға бағындырылған, қисындық сабақтастыққа сәйкес заңның мазмұнынан көрініс тапқан. Заң «білім беру жүйесі» ұғымы мен оны құрайтын білім беру деңгейлерінің анықтамасынан басталады. Одан әрі әр түрлі деңгейдегі оқу бағдарламалары арқылы білім берудің мазмұны ашылады. Келесі кезекте білім беруді ұйымдастыру, білім алушыларға қойылатын талаптар, қабылдау ережелері, оқу түрлері, білім берудің оқу, тәрбие, ғылыми және оқу-әдістемелік жұмыс сияқты түрлі бағыттары сипатталады.
Тәуелсіздіктің ертеңі оқу-білімнің тереңділігімен өлшенеді. Еш толас- сыз, үздіксіз өзгеріп тұрған әле
м адамынан да қабілет пен қажеттіліктерді толассыз, үздіксіз дамытуды талап етеді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың “Қазақстан-2050” даму бағдарламасын- да Қазақстан халқына арналған жолдауында “Біздің жас мемелекетіміз өсіп, жетіліп кемелденеді, жас шәкірттер онымен бірге ер жетеді. Олар өз ұрпағының жауапты да шегерлі, білім өрісі биік денсаулықтары мықты өкілдері болады” деп көрсеткендей шәкіртерді тәрбиелеуде физика пәнінің алатын орны бөлек.
Қазақстан Республикасының Президенті өз Жолдауында білім беру жүйесін жаңғырту барысында жүзеге асырылуға тиісті 6 түрлі міндетті алдымызға қойып отыр. Ол міндеттер мынадай: оқыту үдерісіне қазіргі заманғы әдістемелер мен инновациялық технологияларды кеңінен енгізу; педагогтар құрамының сапасын арттыру; біліктілікті бекітудің тәуелсіз жүйесін құру; жастарды әлеуметтік бейімделуге үйрету; оқыту үдерісінің тәрбиелік құрамдасын күшейту.
Қазақстан Республикасының «Білім туралы» жаңа Заңы дәл осы бәсеке- ге қабілетті отандық білім беру жүйесін қалыптастыруға бағытталған.
Жаңа заң туралы айтқанда оның құрылымына айрықша назар аударған жөн. Ол республикадағы жетілдірілген жаңа білім беру ортасын қалып- тастырудың концептуалдық идеясына сәйкес құрылған. Білім беру қызметі іштей жүйелендіріліп, оның барлық аспектілері құрылымға бағындырылған, қисындық сабақтастыққа сәйкес заңның мазмұнынан көрініс тапқан. Заң «білім беру жүйесі» ұғымы мен оны құрайтын білім беру деңгейлерінің анықтамасынан басталады. Одан әрі әр түрлі деңгейдегі оқу бағдарламалары арқылы білім берудің мазмұны ашылады. Келесі кезекте білім беруді ұйымдастыру, білім алушыларға қойылатын талаптар, қабылдау ережелері, оқу түрлері, білім берудің оқу, тәрбие, ғылыми және оқу-әдістемелік жұмыс сияқты түрлі бағыттары сипатталады.
1. Рахымбек Д. Математиканы оқытудың дербес әдістемесі: арифметика, алгебра, анализ бастамалары /оқулық/-Шымкент: «Әлем» баспасы, 2015.-432б.
2. Бейсеков Ж., Мирсоатов А., Назанова Д. /Алгебрадан ҰБТ-ге дайындалуға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы/-Шымкент,2016.-628б.
3. Бейсеков Ж., Мақанова В., Мирсоатов А. /Тригонометриядан ҰБТ-ге дайындалу үшін тест тапсырмаларын шығаруға арналған әдістемелік құрал/- Шымкент,2015.-196.
4. Абылқасымова А.Е., Майкотов Н.Р., Қаңлыбаев А.С. /9-сынып. «Алгебра»/ Алматы: «Жазушы» 2005,208б.
5. Шыныбеков Ә.Н. /7-сынып. «Алгебра»/ Алматы: «Атамұра»,2004.-176б.
6. Шыныбеков Ә.Н. /11-сынып. «Алгебра және анализ бастамалары»/ Алматы: «Атамұра»,2007.-256б.
7. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н, Шевченко Ю.А. «3000 конкурсных задач по математике» Москва: «Айрис-пресс»,2008.-624с.
8. Бейсеков Ж., Маханбетов О., Мирсоатов А. /Алгебра және анализ бастамаларынан ҰБТ-ге дайындалуға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы/ Шымкент: 2016,-320б.
9. Абылкасымова А.Е. Современный урок. Оқу құралы: Современные методы обучения.-Алматы, НИЦ «Ғылым», 2003, 85б.
10. Бейсеков Ж., Мақанова В., Мирсоатов А. /Жалпы білім беретін орта мектептің оқушыларын мәтіндік есептерді шешуге үйретуге арналған қолданбалы курс/ Шымкент: 2014,-516б.
11. Балаян Э.Н. /1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике/ Ростов-на-Дону: «Феникс»,2008,-364с.
12. Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т./ Пособие для подготовки к ЕНТ по математике/ Алматы: 2011,-716с.
13. Жақыпова Н. Математика сабағында компьютерлік технологияны тиімді пайдалану /Н. Жақыпова// Математика және физика. – 2002, №4, 61б.
14. Қ. Сұлтанова.Математика пәнін компьютерде модельдеп оқыту әдістері. Математика және физика журналы. - 2010, №3, 10б.
15. Математика, информатика, физика журналы №5, 6, 2003ж.
16. Брадис В.М. төрт таңбалы математикалық таблицалар –
М.:Просвещение, 1990
17.Ә.Н.Шыныбеков, Алгебра 8-сынып, Алматы «Атамұра» 2004
18.Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-
8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.
19. Қ.Қаңлыбаев, К.Әбдімәжитова, Ш.Бекбаулиев. «Тригонометриялық функциялар және олардың теңдеулері мен теңсіздіктері». Республикалық баспа – Алматы, 1995ж.
20. Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Жоғары оку орындарына түсушілерге арналған МАТЕМАТИКА. – Алматы: Дәуір, 2006. – 464 6.
21. Алгебра в 6–8 классах: Пособие для учителя/Ф.М.Барчунова А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др. Сост. Ю.Н.Макарачев, Н.Г.Миндюк. – М.: Просвещение, 1988. – 384 с.
22. Алгебра и начала анализа в 9–10 классах: Пособие для учителей/А.М.Абрамов, Б.М.Ивлев, З.Н.Моисеева и др. – М.:Просвещение, 1982. – 336 с.
23. Әбілқасымова А., Рузанова Р. Алгебра және анализ бастамалары. – Алматы: Мектеп, 1988. – 144 б.
24. Әбілова С., Әкімбекова К., Бейсеков Ж., Байшенов Қ. 7–сыныпта алгебраны оқыту, – Шымкент, 1999. – 132 б.
25. Әбілова С., Әкімбекова К., Бейсеков Ж., Байіленов Қ. 8–сыныпта алгебраны оқыту, – Шымкент, 1999. – 143 б.
26. Баймұханов Б.Б. Математика есептерін шығаруға үйрету.–Алматы: Мектеп, 1988. – 144 б.
27. Баймұханов Б., Егізбаев С. Алгебра анализ бастамалары бойынша оқушыпар білімін бағалау.– Алматы: Мектеп, 1988. – 74 б.
28. Ержанов Д.Ж. Теңдеулер құруға берілген есептерді шығару.–Алматы: Мектеп, 1970. – 79 б.
29. Есмуканов М.Е. Теңдеулер. – Алматы: Мектеп, 1976. – 144 6.
30. Рахымбек Д. Математикалық өрнектерлі теңбе тең түрлендіру: Оку құралы,– Шымкент: М. Әуезов атындағы ОҚМУ, 2008.–98 б.
31. Толымбекова К.Е., Хасенова Р.Ж. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер. Әдістемелік құрал. – Алматы: Рауан, 1995. – 128 б.
Сайттар: www.magistr.kz, www.bilim.idhost.kz, www.testent.ru
2. Бейсеков Ж., Мирсоатов А., Назанова Д. /Алгебрадан ҰБТ-ге дайындалуға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы/-Шымкент,2016.-628б.
3. Бейсеков Ж., Мақанова В., Мирсоатов А. /Тригонометриядан ҰБТ-ге дайындалу үшін тест тапсырмаларын шығаруға арналған әдістемелік құрал/- Шымкент,2015.-196.
4. Абылқасымова А.Е., Майкотов Н.Р., Қаңлыбаев А.С. /9-сынып. «Алгебра»/ Алматы: «Жазушы» 2005,208б.
5. Шыныбеков Ә.Н. /7-сынып. «Алгебра»/ Алматы: «Атамұра»,2004.-176б.
6. Шыныбеков Ә.Н. /11-сынып. «Алгебра және анализ бастамалары»/ Алматы: «Атамұра»,2007.-256б.
7. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н, Шевченко Ю.А. «3000 конкурсных задач по математике» Москва: «Айрис-пресс»,2008.-624с.
8. Бейсеков Ж., Маханбетов О., Мирсоатов А. /Алгебра және анализ бастамаларынан ҰБТ-ге дайындалуға арналған әртүрлі деңгейдегі тест тапсырмаларының жинағы/ Шымкент: 2016,-320б.
9. Абылкасымова А.Е. Современный урок. Оқу құралы: Современные методы обучения.-Алматы, НИЦ «Ғылым», 2003, 85б.
10. Бейсеков Ж., Мақанова В., Мирсоатов А. /Жалпы білім беретін орта мектептің оқушыларын мәтіндік есептерді шешуге үйретуге арналған қолданбалы курс/ Шымкент: 2014,-516б.
11. Балаян Э.Н. /1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике/ Ростов-на-Дону: «Феникс»,2008,-364с.
12. Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т./ Пособие для подготовки к ЕНТ по математике/ Алматы: 2011,-716с.
13. Жақыпова Н. Математика сабағында компьютерлік технологияны тиімді пайдалану /Н. Жақыпова// Математика және физика. – 2002, №4, 61б.
14. Қ. Сұлтанова.Математика пәнін компьютерде модельдеп оқыту әдістері. Математика және физика журналы. - 2010, №3, 10б.
15. Математика, информатика, физика журналы №5, 6, 2003ж.
16. Брадис В.М. төрт таңбалы математикалық таблицалар –
М.:Просвещение, 1990
17.Ә.Н.Шыныбеков, Алгебра 8-сынып, Алматы «Атамұра» 2004
18.Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-
8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.
19. Қ.Қаңлыбаев, К.Әбдімәжитова, Ш.Бекбаулиев. «Тригонометриялық функциялар және олардың теңдеулері мен теңсіздіктері». Республикалық баспа – Алматы, 1995ж.
20. Айдос Е.Ж., Балықбаев Т.О. Жоғары оку орындарына түсушілерге арналған МАТЕМАТИКА. – Алматы: Дәуір, 2006. – 464 6.
21. Алгебра в 6–8 классах: Пособие для учителя/Ф.М.Барчунова А.А. Бесчинская, Л.О. Денищева и др. Сост. Ю.Н.Макарачев, Н.Г.Миндюк. – М.: Просвещение, 1988. – 384 с.
22. Алгебра и начала анализа в 9–10 классах: Пособие для учителей/А.М.Абрамов, Б.М.Ивлев, З.Н.Моисеева и др. – М.:Просвещение, 1982. – 336 с.
23. Әбілқасымова А., Рузанова Р. Алгебра және анализ бастамалары. – Алматы: Мектеп, 1988. – 144 б.
24. Әбілова С., Әкімбекова К., Бейсеков Ж., Байшенов Қ. 7–сыныпта алгебраны оқыту, – Шымкент, 1999. – 132 б.
25. Әбілова С., Әкімбекова К., Бейсеков Ж., Байіленов Қ. 8–сыныпта алгебраны оқыту, – Шымкент, 1999. – 143 б.
26. Баймұханов Б.Б. Математика есептерін шығаруға үйрету.–Алматы: Мектеп, 1988. – 144 б.
27. Баймұханов Б., Егізбаев С. Алгебра анализ бастамалары бойынша оқушыпар білімін бағалау.– Алматы: Мектеп, 1988. – 74 б.
28. Ержанов Д.Ж. Теңдеулер құруға берілген есептерді шығару.–Алматы: Мектеп, 1970. – 79 б.
29. Есмуканов М.Е. Теңдеулер. – Алматы: Мектеп, 1976. – 144 6.
30. Рахымбек Д. Математикалық өрнектерлі теңбе тең түрлендіру: Оку құралы,– Шымкент: М. Әуезов атындағы ОҚМУ, 2008.–98 б.
31. Толымбекова К.Е., Хасенова Р.Ж. Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер. Әдістемелік құрал. – Алматы: Рауан, 1995. – 128 б.
Сайттар: www.magistr.kz, www.bilim.idhost.kz, www.testent.ru
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:
Диплом жұмыстың тақырыбы: Мәндес түрлендірулерді теңдеулер
шешуге пайдалану.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТ
1.1 Теңдеу, теңдеудің шешімдері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 11
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 19
2. ТЕҢДЕУ ШЕШУДІ. ОҚУШЫЛАРДЫ ТЕҢДЕУ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ. МӘНДЕС ТҮРЛЕНДІРУЛЕРДІ
ҮЙРЕТУ
2.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.2 Иррационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... 30
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ...
32
2.3 Логарифмдік теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... .. 39
2.4 Компьютерлік технологияны теңдеулер шешуде тиімді пайдалану ... .. 43
2.5 Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, компьютерде
модельдеп оқыту әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... 50
ҚОРЫТЫНДЫ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .. 52
Пайдаланған әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .. 53
К І Р І С П Е
Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстанды құру бізден жеке адамдардың,
қоғамның және еңбек нарығының талаптарын қанағаттандыра алатын бәсекеге
қабілетті білім беру жүйесін қалыптастыруды талап етеді.
Тәуелсіздіктің ертеңі оқу-білімнің тереңділігімен өлшенеді. Еш
толас- сыз, үздіксіз өзгеріп тұрған әле
м адамынан да қабілет пен қажеттіліктерді толассыз, үздіксіз дамытуды талап
етеді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың “Қазақстан-2050” даму бағдарламасын-
да Қазақстан халқына арналған жолдауында “Біздің жас мемелекетіміз өсіп,
жетіліп кемелденеді, жас шәкірттер онымен бірге ер жетеді. Олар өз
ұрпағының жауапты да шегерлі, білім өрісі биік денсаулықтары мықты өкілдері
болады” деп көрсеткендей шәкіртерді тәрбиелеуде физика пәнінің алатын орны
бөлек.
Қазақстан Республикасының Президенті өз Жолдауында білім беру жүйесін
жаңғырту барысында жүзеге асырылуға тиісті 6 түрлі міндетті алдымызға қойып
отыр. Ол міндеттер мынадай: оқыту үдерісіне қазіргі заманғы әдістемелер мен
инновациялық технологияларды кеңінен енгізу; педагогтар құрамының сапасын
арттыру; біліктілікті бекітудің тәуелсіз жүйесін құру; жастарды әлеуметтік
бейімделуге үйрету; оқыту үдерісінің тәрбиелік құрамдасын күшейту.
Қазақстан Республикасының Білім туралы жаңа Заңы дәл осы бәсеке-
ге қабілетті отандық білім беру жүйесін қалыптастыруға бағытталған.
Жаңа заң туралы айтқанда оның құрылымына айрықша назар аударған
жөн. Ол республикадағы жетілдірілген жаңа білім беру ортасын қалып-
тастырудың концептуалдық идеясына сәйкес құрылған. Білім беру қызметі
іштей жүйелендіріліп, оның барлық аспектілері құрылымға бағындырылған,
қисындық сабақтастыққа сәйкес заңның мазмұнынан көрініс тапқан. Заң білім
беру жүйесі ұғымы мен оны құрайтын білім беру деңгейлерінің анықтамасынан
басталады. Одан әрі әр түрлі деңгейдегі оқу бағдарламалары арқылы білім
берудің мазмұны ашылады. Келесі кезекте білім беруді ұйымдастыру, білім
алушыларға қойылатын талаптар, қабылдау ережелері, оқу түрлері, білім
берудің оқу, тәрбие, ғылыми және оқу-әдістемелік жұмыс сияқты түрлі
бағыттары сипатталады.
Кезінде Ахмет Байтұрсынов айтқан екен: оқытудың үш жағы бар,
үшеуі үш нәрсеге тіреледі: біреуі оқу құралдарына, екіншісі ақша –
қаражатқа, үшіншісі жақсы мұғалімге деп. Егер осы айтылған үш мәселенің
бірі біріне сай келіп жатса, оқыту үрдісінде қиындықтар болмас па еді? Мен
өзім мұғалімдік мамандықта оқып жатқандықтан осы айтылған үш мәселенің
екеуі мұғалімге қатысты айтылған деп есептеймін. Осы орайда мұғалімге
тікелей қатысты мәселе – оқушылардың пәнге қызығушылығын ояту, ендеше буған
қол жеткізетіндей жолдарды іздестіру керек.
Қазіргі оқыту процесіне жаңа педагогикалық технологиялар көптеп
енуде. Оқушыны пәнге қызықтырумен қатар, саналы да салмақты ойлауға
тәрбиелейтін, қоғамдық көзқарастарын қалыптастыра алатын, өзіндік пікірі
бар, өмірдегі, қоғамдағы болып жатқан түрлі қарама-қайшылықтарды түсіне
білетін, еркін сөйлеп, өз пікірін ашып айта алатын ойлы ұрпақ тәрбиелеуде
білім мен ғылымның маңызы зор. Оқытудың әдіс-тәсілдерін түрлендіріп
жетілдіру арқылы мектеп қабырғасында жүрген кезінде оқушылардың білім
деңгейін, тәрбиесін жоғарлатып, таным деңгейін арттыру, пәнге қызықтыру
әрбір мұғалімнің басты мақсаты болуы тиіс. Тиімді оқыту әдісі оқушыларды
алғырлыққа, байқампаздыққа баулып, олардың ойлау қабілеттерінің жетілуі-
не, ең бастысы, ғылым негізіне ынтасын арттыруға мүмкіндік туғызады.
Математиканы оқыту арқылы мәселені талдай білуге, нақтылауға,
ұғымдарды анықтауға, ой қорытулар жасауға, дәлелдеуге тағы басқа іс –
жүзінде қадам сайын логикалық білім беріледі. Математиканың өмірмен
байланысы анық. Миды жаттықтыру үшін адамға математиканы үйрену, есеп
шығару, математиканың бүкіл заңдарын басқа ғылымдарды оқығанда пайдаланады.
Біздің өміріміздегінің бәрі бір – бірімен тығыз байланысты. Тіршілік
құбылыстарын бір – бірінен бөліп зерттеуге болмайды.
Математиканың басқа ғылымдармен байланысын анықтайық. Оның химиямен,
физикамен, биологиямен, информатикамен тығыз байлыныстылығында дау жоқ. Ал
тарихпен ше? Тарих толығымен мерзімдер және оған сәйкес оқиғалардан
тұрады. Оларды есте сақтау үшін ойлау қабілеті немесе оқиғалардың
логикалық тізбегін қадағалай білу қажет. Географиямен байланысына келсек,
қалалардың ара қашықтығын анықтағанда масштаб, қолда бар карталар есепке
алынады, қарапайым математикалық есептеулер арқылы қажетті деректерді алуға
болады.
Матемтиканы оқып – үйрену, есеп шығаруды үйрену үшін ғана емес, кез –
келген проблеманы шеше білуге, өз қабілетіңді жетілдіру үшін де
қажет. Сондықтан, Мен ақша санаймын, өз кірісім мен шығысымды есептей
аламын, одан өзге математиканың маған қажеті шамалы деуге болмайды. Егер
олай десеңіз, адам өмірінің мәнін түсінбегеніңізді көрсетесіз, өмір деп
отырғаныңыз шын мағынасында өмір емес, жай ғана тіршілік болады. Біз тек
сол үшін жаратылған жоқпыз, бізге ақыл – ой сол үшін берілмеген. Біз өз
өмірімізді мәнді қылып, барлық жетістіктерге жету үшін табиғаттағы барлық
білімді пайдалана білуіміз керек.
Дипломдық жұмысымның зерттеу обьектісі: орта мектепте математика
пәнін оқыту үрдісі.
Дипломдық жұмысымның орындалу мақсаты: Мәндес түрлендірулерді
теңдеулер шешуде пайдаланып, оқытудың маңыздылығын көрсетіп, оқушыларға
мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде тиімді әдістерді үйлестіру арқылы
оқыту әдістемесін ұсыну.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
- Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, орта мектепте
оқыту мәселесін зерделеу;
- Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытында
Тригонометриялық теңдеулерді шешу тарауын оқытудың теориялық
негізіндерін айқындау;
- Квадрат теңдеулер тарауын оқытуда оқушылардың танымдық әрекетіне
негізделген тиімді әдістерді саралау;
- Математика курсының Рационал теңдеу, Тригонометриялық теңдеу,
Логарифмдік теңдеу тарауларын оқыту әдістемесін жетілдіруге бағытталған
ұсыныстар жасау.
Зерттеу әдістері: бақылау әдісі, салыстыру әдісі, оқу процесіне ену,
талдау, тестілеу.
Дипломдық жұмыстың құрылымы:
Кіріспе, екі тарау, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі,
қосымша.
Бірінші тарауда теңдеу ұғымы, теңдеу дегеніміз, теңдеу туралы жалпы
мәліметтер мектеп курсында ашылып көрсетілген: теңдеу, теңдеу шешімдері;
теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер; теңдеу шешудің әдістері.
Екінші тарау теңдеу шешуді, оқушыларды теңдеулер шешуде мәндес
түрлендірулерді үйрету, Тригонометриялық теңдеулер тарауының оқыту
әдістемесін жетілдіру жолдары көрсетілген: тақырыпқа қатысты тарихи
материалдар; Тригонометриялық теңдеулер тарауын оқыту әдістемесі; жаңа
оқыту технологиялардың кейбір түрлері және осы технологияларды пайдалана
отырып, тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендіре отырып,
оқытуда оқушылардың қызығушылығын арттыру мәселесі; тарау тақырыптарына
есептер шығару; тарауды компьютерде модельдеп оқыту әдістері.
Дипломдық жұмыстың нәтижелері Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік
педагогикалық институты студенттерінің ғылыми конференциясында және алдын-
ала қорғау семинарында баяндалған.
1. Теңдеу туралы жалпы мәлімет
1.1 Теңдеу. Теңдеудің шешімдері
Мектепте теңдеу мен теңсіздікті және олардың жүйелерін ерте бастан
жүйелі түрде оқыту дәстүрі қалыптасты. Бұл дәстүр қазіргі бағдарламаларда
да көрініс тапқан: теңдеу ұғымы, сызықтық теңдеу, екі белгісізі бар
сызықтық теңдеулер жүйесі 6-сыныпта, квадрат теңдеулер мен рационал
теңдеулер 7,8-сыныпта, мәндес теңдеулер мен теңсіздіктер және
тригонометриялық теңдеулер 10-сыныпта, дифференциалдық теңдеулер туралы
ұғым, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер 11-сыныпта оқытылады.
Теңдеу туралы теориялық мәліметтерді баяндау мектептегі алгебра
курсының басқа тақырыптарын: нақты сандар, өрнектер мен функцияларды теңбе-
тең түрлендіру, математикалық талдаудың бастамалары курсын өтудің мазмұны
мен ретіне қарай жүргізіледі [1].
Орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді олардың түрлеріне
байланысты баяндаудың әртүрлі нұсқаулары кездеседі, кейде теңдеулер мен
теңсіздіктерді параллель оқыту туралы ұсыныста бар.
Әдістемелік әдебиеттерде теңдеудің мынадай анықтамалары кездеседі.
1. Екі алгебралық өрнекке енетін әріптің қандай да бір мәндерінде
бірдей сандық мәндер қабылдайтын теңдікті теңдеу деп атайды.
2. Бір белгісізі бар теңдеу бойынша жазылады: Егер саны
біріншіден және функцияларының анықталу облысына енетін болса,
екіншіден мына сандық теңдік орындалатын болса, онда саны
теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу деп оның барлық түбірлерін
табуды айтады.
3. Бір айнымалысы бар теңдеу деп осы айнымалы арқылы құрылған
теңдікті айтады. Теңдіктегі айнымалыны әдетте белгісіз шама деп атайды.
Белгісіздің орнына апарып қойғанда берілген теңдеуді дұрыс теңдікке
айналдыратын айнымалының мәнін теңдеудің түбірі (шешімі) деп атайды.
4. Белгісізі бар теңдікті теңдеу деп атайды. Белгісіздің теңдікті
дұрыс
сандық теңдікке айналдыратын мәндері теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді
шешу дегеніміз оның барлық түбірлерін табу.
Теңдеу ұғымының бұл анықтамаларын бір-біріне қарсы қоюға болмайды.
Бұл анықтамалардың әрқайсысы теңдеулерді шешудің теориялық және практикалық
мәселелерінде қолданылады.
Мектеп оқулықтарында қазіргі кезде теңдеудің анықтамасы 4-анықтама
негізінде алынған.
Теңдеу ұғымына ең жақын ұғым теңбе-теңдік. Бірақ ол көбінесе
теңдеу ұғымына байланыссыз анықталады. Бұл әдетте теңбе-теңдік теңдеуден
бұрын өтілген жағдайда кездеседі. Алдымен теңбе-теңдік айнымалының кез
келген мәнінде дұрыс болатын теңдік деп қарастырылады. Кейінірек рационал
бөлшектерді қарастырғанда теңбе-теңдік ұғымы дәлірек анықталады:
айнымалының барлық мүмкін мәндерінде орындалатын теңдікті теңбе-теңдік деп
атайды.
Теңдеу мен теңбе-теңдік ұғымдарының арасындағы тікелей байланыс
мынадай анықтамамен беріледі: егер теңдеуінің шешімдерінің жиыны
берілген теңдеудің анықталу облысымен сәйкес келетін болса, онда бұл
теңдеуді теңбе-теңдік деп атайды [1, 2].
Сызықтық теңдеуді шешу бастауыш сынып математикасын оқытудан
басталады.
1. Бастауыш сыныптарда мынадай сызықтық теңдеуді шешу
қарастырылады: т.с.с. Белгісіз санды алдымен іріктеп,
таңдап алу әдісін пайдаланып теңдеудің түбірі табылады. Кейін, теңдеудің
түбірін табу арифметикалық амалдардың компоненттері мен нәтижелерінің
арасындағы байланысқа сүйеніп табуға үйретіледі. Мысалы, бірінші теңдеуді
шешкенде оқушылар былайша пайымдайды: Белгісіз қосылғышты анықтау үшін
қосындыдан белгілі қосылғышты алуымыз қажет: .
Теңдеулермен танысу формальді түрде жүргізілмейді. Мысалы, мынадай
есеп қарастырылады: Белгісіз санға -ті қосқанда шыққан.
Белгісіз санды анықтаңдар. Есеп қысқаша түрде былай жазылады:
сымволының орнына қойылатын сан таңдап алу әдісімен анықталады. Бұдан кейін
белгісіз санды арқылы белгілеп оны былайша жазуға болатындығы
айтылады:
2. 5-сыныпта теңдеулер арифметикалық амалдардың компоненттері
мен нәтижелерінің арасындағы байланыс бойынша шешіледі, көбінесе алдын-ала
өрнектерді ықшамдап алады. Мысалы, Оқушылар көбейтудің қосу (азайту)
амалына қатысты үлестірілімдік заңын пайдаланып, мынадай т.с.с.
теңдеулерді шешеді. Ондық бөлшектерді өту кезінде мынадай теңдеулер
шешіледі:
Бұл теңдеулерді шешу де арифметикалық амалдардың нәтижесі мен
компоненттерінің қасиеттеріне негізделген [1, 3].
3. 6-сыныпта оң таңбалы және теріс таңбалы сандарды өткенде
сызықтық теңдеудің жаңа мысалдары, кейбір сызықтық емес теңдеулер
қарастырылады. Қарама-қарсы сандардың анықтамасына сүйеніп, мынадай
теңдеулердің шешімдері анықталады. Модульдің анықтамасына
сүйеніп теңдеулерінің шешімдері табылады. 6-сыныпта
жақшаларды ашу теңбе-тең түрлендіруімен танысқаннан кейін
теңдеулерді шешудің жолы қысқартылады. Көбейтіндінің нольге тең болу шартын
өткен соң мынадай теңдеулер шығарылады: т.с.с. Оқушыларды
теңдеулерді шешудің тәсілімен таныстырудың жаңа қадамы қосылғыштарды
теңдеудің бір жағынан екінші жағына өткізу ережесі болып табылады. Осы
ережеге сүйеніп, олар мынадай теңдеуді шешеді: т.с.с.
4. Одан кейін (6 сыныптың соңы немесе 7 сыныпта) сызықтық теңдеуді
шешуге байланысты мәліметтер жүйеленеді. Кейбір оқу құралдарында бірінші
дәрежелі теңдеу мен сызықтық теңдеудің айырмашылығы қарастырылады. Бірінші
дәрежелі теңдеуің сызықтық теңдеудің дербес жағдайы екендігі айтылады.
Әдетте сызықтық теңдеу мына теңдікпен анықталады, мұндағы
саны белгісіз алдында тұрған коэффицент деп, ал -бос мүше деп
аталады.
Бір белгісізі бар сызықтық теңдеуді шешудің жалпы тәсілін көрсеткен тиімді:
Оқушыларға бір теңдеуді шешудің бірнеше тәсілдерін табуға үйреткен
пайдалы.
Мысалы, теңдеуін мынадай тәсілдермен шешуге болады:
1) алдымен бұл теңдеуді мына түрде жазып аламыз: одан кейін
белгілі айырма мен белгісіз азайғыштың арасындағы байланысқа сүйеніп,
мынаны табамыз:
2) қарама-қарсы сандардың анықтамасына сәйкес, белгісіз саны
санына қарама-қарсы. Сондықтан
3) мәндес теңдеулер туралы екінші теоремаға сүйенсек,
болады. Бұдан
Математиканы оқытудың психологиялық аспектілерінің бірі жаңа оқу
материалын өтудің себебін негіздеу болып табылады. Осы мәселені
теңдеулердің жаңа түрін енгізу үшін қарастырайық. Математиканы оқыту
әдістемесінде кері есеп ұғымды кездеседі. Бұл ұғымды түсіндірейік. Бір
және айнымалыларды туралы сөз болып, мұндағы және
айнымалы шамалары берілген, ал -ізделінді айнымалы шама. Енді мынадай
есеп қарастырайық, мысалы және айнымалы шамалары берілген, ал
- ізделінді айнымалы шама болсын. Есептің мазмұны мен айнымалы
шамалардың арасындағы арақатыстар өзгермейтін болсын. Сонда мұндай екі есеп
өзара кері есептер деп аталады. Өзара кері есептерді шешу үшін әртүрлі
теңдеудің түрлері қолданылады. Сондықтан кері есептерді шешу мен құрастыру
теңдеулердің жаңа түрін оқытуды негіздеудің пайдалы әдістемелік негізі
болып табылады[1].
Осындай есептерге мысалдар келтірейік.
1) санына қандай да бір санды қосқанда санына кері сан
шыққан. Қандай сан қосылған?
2) Қайсыбір оң санға -ті қосқанда, бірінші санға кері сан
шыққан. Осы сандарды табыңдар.
Бірінші есепті шешу мынадай сызықтық теңдеуге келтіріледі:
бұдан Екінші есептің шешуі немесе теңдеуіне келтіріледі.
Сонымен, екінші есепті шығару үшін теңдеуді шеше білуі қажет.
Теңдеулерді шешу әдісі көбейген сайын оқушыларда оларды
таңдап алу қиындығы туа бастайды. Осыған байланысты теңдеуді шешудің
тәсілдерін анықтауға арнаулы тапсырмалар қарастырған пайдалы. Мұндай
тапсырмаларды орындауды екі кезеңмен жүргізген тиімді:
1) алдымен берілген теңдеулер үшін тек шешу жолдарын ғана көрсету;
2) одан соң теңдеулерді шешу.
Теңдеулер мен теңсіздіктер оқулықта әртүрлі баяндалады. Біз
төменде Т.А.Алдамұратованың Математика-6 оқулығындағы Теңдеу
тақырыбының баяндалуын қарастырайық.
Құрамында әріппен белгіленген белгісізі (айнымалысы) бар
теңдік теңдеу деп аталады. Мысалы, теңдеулер, -
белгісіз (айнымалы). Мұндай теңдеулерді бір белгісізі бар немесе бір
айнымалысы бар теңдеулер деп атайды.
Теңдеулердің оң жағы және сол жағы болады. Мысалы,
теңдеудегі - теңдеудің сол жағы, ал -теңдеудің оң жағы.
Теңдеудегі алгебралық қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелері деп аталады
-мүшелер. Мұндағы -белгісізі бар мүше, -бос
мүшелер.
Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығарғанда,
ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз.
Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді дұрыс санды
теңдікке айналдыратын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.
Теңдеуді шешу дегеніміз – оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің
жоқ екенін дәлелдеу. Теңдеулерді шешкенде кейде түбірлері бірдей болатын
теңдеулер де кездеседі. Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес
теңдеулер деп атаймыз. Мысалы, теңдеуімен және теңдеулері
мәндес теңдеулер. Түбірлері бірдей: Ескеретін жағдай, кейде теңдеудің
түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып
саналады [1, 2, 3].
Теңдеулерді мәндес түрлендіргенде мынадай қасиеттер пайдаланылады.
1. Теңдеуді екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда
(азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.
2. Теңдеудегі қосылғыштардың таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп, оны
теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге
түрленеді.
3. Теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбейткенде немесе
бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.
Бір айнымалысы бар екі өрнектің теңдігін ықшамдап, түріне
келтіріледі.
1. Егер болса, теңдеудің бір ғана түбірі болады.
Мысалы:
2. Егер болса теңдігі -тің ешбір мәнінде дұрыс теңдік
болмайтындықтан, теңдеудің түбірі болмайды.
Мысалы:
бұл теңдеудің түбірі болмайды.
3. Егер болса теңдігі -тің кез келген мәнінде дұрыс
санды теңдік, сондықтан бұл жағдайда теңдеудің шексіз көп түбірі болады.
Мысалы:
Теңдеудің түбірі – кез келген сан.
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер
Теңдеулерді шешу кезінде әр түрлі түрлендірулер жүргізіп,
алдыңғымен салыстырғанда қарапайым түрге келтіреді. Түрлендірулер тізбегі
нәтижесінде пайда болған, соңғы теңдеудің шешімдері берілген теңдеудің
түбірлері бола ма, бөгде түбірлер қайдан пайда болды немесе теңдеудің
түбірлеінің жоғалып кету жағдайлары неліктен орын алды деген мәселелер
мәндес теңдеулер ұғымымен байланысты. Қандай теңдеулер мәндес деп
аталынады, қандай түрлендірулер мәндес түрлендірулер болады, қандай
жағдайда мәндес емес, оны қалай білуге болады, т.б. мәселелерді оқушылар
саналы түрде меңгеруі керек.
Мектеп математика курсында мәндес түрлендіру ұғымы біртіндеп,
оқушыларда ол ұғымға деген қажеттілік пайда болып, белгілі бір тәжірибе
жинақталғанда енгізіледі. Математика тілінде қандай да бір терминнің пайда
болуы, оған деген қажеттілік болғанда ғана енгізілетінін оқушы түсінуі
тиіс.
Сызықтық теңдеулер мен квадрат теңдеулерді оқып үйрену кезінде
мәндес теңдеу және мәндес түрлендіру туралы мәселе келтірілмейді. Себебі
бұл жерде мәндес емес түрлендіру мүлде болмайды, сондықтан мәндес теңдеу
терминін енгізуге деген қажеттілік те жоқ.
Алгебралық бөлшектерді оқып үйренуге байланысты, бөлшек рационал
теңдеулердің бөлімінен құтылу кезінде бөгде түбірлердің пайда болуы туралы
алғашқы түсінік беріледі. Сол кезде бірінші рет мәндес теңдеу термині
енгізіледі. Осы кезде мәндес теңдеу ұғымын енгізуге деген қажеттілік те
пайда болады, тәжірибеде жинақталады[1].
Түбірлері бірдей болатын екі теңдеуді өзара мәндес теңдеулер деп
атайды. Бір теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеуді де қанағаттандырса және
керісінше, екінші теңдеудің кез келген түбірі бірінші теңдеуді
қанағаттандырса, онда олар мәндес немесе эквивалент теңдеулер делінеді.
Дербес жағдайда, түбірлері жоқ барлық теңдеулер өзара мәндес. Мысалы, мына
теңдеулер мәндес:
және
және
Егер теңдеуінің әрбір түбірі бір уақытта теңдеуінің де
түбірлері болса, онда теңдеуі теңдеуінің салдары деп, немесе
теңдеу-салдар деп аталады.
теңдеуі теңдеуінің салдары екендігін көрсету үшін,
теңдеуін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері теңдеуін
қанағаттандыратындығына көз жеткізу жеткілікті.
теңдеуінің салдары теңдеуі болатындығын көрсету үшін
теңдеуінің әрбір түбірі теңдеуінің де шешімі болатындығына көз
жеткізіледі.
Егер екі теңдеудің бірі екіншісінің салдары және керісінше болса,
онда екі теңдеу мәндес болады.
Қандай жағдайда бір теңдеуден екінші теңдеуге өткенде мәндес
түрлендіру болады деген мәселеге тоқталайық.
Төмендегідей үш теорема орындалатындай түрлендіру жасағанда бір
теңдеуден екінші теңдеуге өту әр уақытта мәндес түрлендіру болады.
1-теорема. Егер теңдеудің қандай да бір мүшесін кері таңбамен
теңдіктің бір жағынан екінші жағына шығарса, онда пайда болған теңдеу
берілген теңдеумен мәндес болады [1, 20].
2-теорема. Егер теңдеудің екі жағын да бірдей тақ көрсеткішті
дәрежеге шығарсақ, онда пайда болған теңдеу берілген теңдеумен мәндес
болады.
3-теорема. (мұндағы ) теңдеуі теңдеуімен мәндес.
Бұл теоремаларды қолданғанда бөгде түбір пайда болмайды, түбірлердің
жоғалып кетуі де мүмкін емес.
Ал мына төмендегі теоремалар белгілі бір шарттар орындалғанда ғана
жұмыс істейді, яғни оларды қолдану кезінде ұқыптылықты қажет етеді.
4-теорема. Егер теңдеуінің екі жағын да бірдей, берілген
теңдеудің анықталу облысының барлық жерінде мағынасы бар, осы облыстың
ешбір жерінде нөлге айналмайтын өрнегіне көбейтсе, онда берілген
теңдеуге мәндес теңдеуі пайда болады.
Бұл теоремамен жұмыс істегенде теңдіктің екі жағына да көбейтілетін
өрнегінің:
берілген теңдеудің анықталу облысында мағынасы болуы;
берілген теңдеудің анықталу облысында нөлге айналмайтын болуы
ескерілуі керек.
4-теоремадан ешқандай шартты талап етпейтін төмендегі салдар шығады:
егер теңдіктің екі жағын да нөлден өзгеше с санына көбейтсе немесе бөлсе
берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.
5-теорема. Егер теңдеуінің анықталу облысында теңдіктің екі
жағы да теріс емес болса, онда теңдіктің екі жағын да бірдей жұп дәрежеге
шығарғаннан кейін пайда болған теңдеуі берілген теңдеуге мәндес.
теңдеуінің екі жағын да жұп дәрежеге шығару үшін, теңдеудің
анықталу облысында шарттар орындалуы қажет.
6-теорема. және болса, онда болғанда теңдеуі
теңдеуімен мәндес.
Бұл теорема бойынша теңдеуінен теңдеуіне өту үшін
теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыру керек.
Егер теңдеуді шешу үдерісінде 4,5,6-теоремаларының шартындағы
шектеулердің бірінің орындалуын тексерместен, қорытындысын ғана пайдалансақ
теорема-салдар аламыз. Оған негізгі себеп, берілген теңдеудің анықталу
облысының кеңейіп кетуінде[1].
Егер теңдеуді шешудің белгілі бір кезеңінде теңдеудің екі жағын да
қандайда бір өрнекке көбейтсек (әрине ол өрнек теңдеудің анықталу облысында
мағынасы бар болуы керек), немесе теңдіктің екі жағын да жұп дәрежеге
шығарсақ, немесе логарифмдік теңдеулерді шығару барысында теңдіктің екі
жағындағы бірдей негіздегі логарифм таңбасын тастап кетіп жазатын болсақ,
онда табылған барлық түбірлерді міндетті тексеру керек.
Басқаша: теңдеудің түрлендіру үдерісінің белгілі бір кезеңінде
теңдеудің анықталу облысының кеңеюі орын алса, онда міндетті түрде барлық
табылған түбірлерді тексеруге тура келеді.
Енді мектеп математика курсы деңгейінде қандай түрлендірулер жасаған
кезде теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кетуі мүмкін деген орынды сұрақ
туады.
Теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кету жағдайлары үшеу:
1.Бөлшекті бөлімінен құтқару кезінде. Теңдеудің құрамындағы
бөлшектің бөлімінде өрнегі болса, теңдеудің екі жағын да
өрнегіне көбейтіп, немесе бөлшекті қысқарту арқылы бөлшек бөлімсіз
жазылады. Мұны еркін сөйлеу кезінде бөлшекті бөлімінен құтқару деп айта
береді. Теңдеуде бөлім болмағаннан кейін шектеу де жоқ деген сөз. Демек,
теңдеудің анықталу облысы кеңейеді.
2.Логарифмді тастап кету кезінде. Бірдей негіздері логарифмдердің
теңдігінен логарифм таңбасының астындағы өрнектердің теңдігіне көшу
теңдеудің анықталу облысын кеңейтеді. Себебі логарифм таңбасы астындағы
өрнектердің оң болатындығы ескерілмей отыр.
3.n жұп болғандағы формуласын пайдалану кезінде. Шындығында
да, егер мысалы, өрнегінің анықталу облысы теңсіздігімен
беріледі. Егер өрнегін өрнегімен алмастырылса, еркін
қарастырылады да шектелуі алынып тасталады, яғни анықталу облысы
кеңейеді.
Теңдеудің түбірлерін тексеру екі жолмен жүргізіледі:
барлық түбірлерді берілген теңдеуге қойып тексергенде, теңдеуді
қанағаттандыратындар (дұрыс санды теңдікке айналдыратындар) теңдеудің
түбірлері, ал қанағаттандырмайтындары бөгде түбірлер
болады.
табылған түбірлердің берілген теңдеудің анықталу облысына тиістілігі
тексеріледі. Түбір анықталу облысында жататын болса, ол берілген теңдеудің
түбірі, ал жатпаса бөгде түбір болғаны.
Теңдеудің түбірлерін анықталу облысы бойынша тексеру тәсілі. Бір
теңдеуден екінші теңдеуге өту кезіндегі анықталу облысының кеңейіп кетуінен
басқа мәндес емес түрлендірулер болмаған жағдайда ғана тиімді. Бұл
логарифмдік теңдеулерді шешу кезінде орынды.
Ал, иррационалдық теңдеулерді шешу кезінде мәселе күрделілеу:
теңдеудің табылған түбірлері анықталу облысына тиісті болғанымен де,
олардың ішінде бөгде түбірлер болуы мүмкін. Мұндай жағдай теңдіктің екі
жағын жұп дәрежеге шығаруға байланысты болады.
Енді теңдеудің түбірлері жоғалып кететін жағдайларға тоқталайық.
Мектеп математика курсы деңгейінде теңдеудің түбірінің жоғалып кетуі
негізінен екі себепке байланысты:
теңдіктің екі жағын да бірдей өрнегіне бөлу кезінде
екендігі анық белгілі болған жағдайдан басқа);
бір теңдеуден екінші теңдеуге өту кезінде теңдеудің анықталу
облысының таралып кетуі.
Бірінші жағдайдағы кемшіліктерімен күресу қиын емес: өрнектің нөлге
тең емес екендігі алдын ала белгілі болмаса, теңдеудің екі жағында бірдей
ол өрнекке бөліп жіберуге тыйым салынады.
Оқушыны
деп шешуге үйрету керек.
Екінші жағдай күрделі. Мұнда теңдеуді шешу үдерісінде формулаларды
дұрыс қолданбауға байланысты түбірлердің жоғалып кетуі орын алады:
деп жазудың орнына
деп қате жібереді.
деп жазудың орнына
деп жазады.
деп жазудың орнына
деп қателеседі.
Тригономериялық теңдеулерді шешуде түбірлердің жоғалып кетуіне алып
келетін тригонометриялық формулаларды келтіріп кетейік.
Теңдіктің сол жағының анықталу облысы оң жағының
анықталу облысы екі шарттың орындалуына байланысты: яғни
яғни ты пен алмастырғанда анықталу облысы тарылады:
шектеуінен басқа, қосымша шектелуі пайда болады, осының салдарынан
түбірлердің жоғалып кетуі мүмкін.
формуласын пайдаланғанда мәнін бастапқы
теңдеуге қойып тексеру керек. Теңдеуді қанағаттандырса, ол теңдеудің түбірі
болғаны[1].
Теңдіктің сол жағының анықталу облысы
яғни немесе теңдіктің оң жағының анықталу облысы екі шарттың
орындалуы арқылы табылады: яғни және яғни Теңдіктің
сол жағын оң жағымен алмастырғанда деген қосымша шектеу пайда болады.
тексеру керек.
Бұл жерде теңдіктің сол жағын оң жағымен
алмастырғанда шектеу пайда болады.
үшін яғни ал үшін
Анықталу облысы тарылды: шектелуіне қосымша шектелуі
пайда болды.
Ал осы формулаға ұқсас формуласын пайдаланғаннан анықталу
облысында тарылу болмайды. Теңдіктің сол жағы мен оң жағының анықталу
облыстары бірдей:
5. Мұндай алмастырулар арқылы шешілетін теңдеудің
түбірінің жоғалып кетуі мүмкін. Бұл мәнді бастапқы теңдеуге қойып тексеру
керек.
Түбірдің жоғалып кетуі тің кез келген мәнінде анықталған
пен өрнегін, анықталу облысының тарылуына алып келетін
өрнегімен алмастырылуына байланысты болады.
Мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Теңдеуді шешу үшін формуласын пайдаланып,
алмастыруын жасаймыз. -тің анықталу облысы яғни
Берілген теңдеу мына түрге келеді бұдан яғни
Бірақ, берілген теңдеуді мәндері де қанағаттандырады. Теңдеу
түбірлерінің бұл мәндерінің жоғалып кетуі тің кез келген мәнінде
анықталған пен өрнегін, олардың анықталу облысын тарылтатын
өрнегімен алмастыруымызға байланысты келіп шықты.
Жауабы:
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы
1.3.2 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады. Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын
тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл
мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту
әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың
орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр
тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай
болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын
орны, салмағы зор[18].
Бұл дипломдық жұмысым алгебра курсында қарастырылатын квадрат
теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп
отыр.
Квадрат теңдеулер мектептегі алгебра курсының маңызды
тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с.
мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі.
Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум
нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді
табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу
қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және
логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының
есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.
Дипломдық жұмыс барысында мектеп оқушыларына квадрат теңдеулерді
шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігін
анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады: Зерттеу
барысында квадрат теңдеулерді шешу жолдарының 10 түрлі әдісін
қарастырдым. Ол тәсілдерге алда жеке – жеке тоқталамын.
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы.
2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д II мыңжылдықта Ежелгі
Вавилонда шығара білген. Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді
геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі
қатынастарға бөлу арқылы шешкен. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы
бірнеше рет қайтадан ашылған . Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші
бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан (жуықтап 598 ж.). Орта
азия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің Китаб аль-джебр валь -мукабала
трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын геометриялық
интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен[20].
Ертедегі Диофанттың есебі.
Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі
санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.
Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса
назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп
санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.
Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен
түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының
қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші
квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші
квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.
Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты
бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:
5х² -8х+13=13
5х² -8х=0
х(5х-8)=0 5x-8=0
5x=8
x=
Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+ 2=, екіншісінікі
2х-3=2*-3=-3=.
Квадраттың аудандары: ()² =
()² =
Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті
қанағаттандырады.
Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы
Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен,
әл-Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.
Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне
келтіріп, сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық
тәсілдері келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты
белгілер кітапта атымен жоқ болғандықтан, әл-Хорезмидің алгебрасы
толығымен сөзбен сипаттау арқылы баяндалған. Гректің Арифметикасында
немесе Браһмагуптаның еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем
қолданылмаған. Тіпті сандар арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен
сөздер ретінде жазылған!Сондықтан теңдеулер сөзбен шаршы деп (яғни
бүгіндері “x2” деп), түбір деп (бүгін оны “x” деп) және сандар деп
(мысалы, қырық екі, жеті деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп
отырды. Бүгінгі күннің шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты
түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax2 = bx)
2) квадраттар санға тең (ax2 = c)
3) түбірлер санға тең (bx = c)
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c)
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2)
Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) (толықтыру) амалы: теріс шаманы
теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4x2”
теңдеуі әл-жәбр амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x2 = 40x”
Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс
сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) (теңдестіру) дегеніміз –
теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу:
“x2 + 5 = 40x + 4x2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x2“. Осы ережені
қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты)
теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге
болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде
қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан
мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған[20].
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі
1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу.
х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х -
2).
Демек, теңдеуді былай жазуға болады:
(х + 12)(х - 2) = 0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі
нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2
және х = - 12 сандары х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып
табылады.
2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі.
Мысал: х2 + 6х - 7 = 0=0 теңдеуін шешейік.
Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2 + 6х өрнегін
төмендегідей жазып аламыз:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х
пен 3-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 32-ын қосу керек. Сонда
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 32 -ын қосып,
алып тастаймыз. Сонда шығатыны:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 -
16.
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Бұдан , х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, немесе х + 3 = -4, х2 = -7.
3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ахb + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
Д0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады:
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі
түрлі түбірі болады.
б) 4х2 - 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, болғандықтан, бір ғана түбір бар болады
Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, b2 - 4ac = 0, онда
ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады
в) 2х2 + 3х + 4 = 0, теңдеуін шешейік.
а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D
0.
Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды..
Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. b2 - 4ac
0 онда ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің түбірі болмайды
4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешуКелтірілген түбірлері
Виет теоремасын қанағаттандырады.
Ол былай беріледі: х2 + px + c = 0.
(1)
а=1 болғанда,
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:
а) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі
бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р0, онда екі түбірі де теріс болады,
егер р0, онда түбірлері оң болады.
Мысал, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 және x2 = 1, мұнда q = 2 0 , p =
- 3 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 және x2 = - 1, мұнда q = 7 0 , p= 8 0.
б) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q 0), онда теңдеудің
екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң
болады, егер р 0 болса, теріс болады, егер р 0.
Мысал:
x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 , x2 = 1, мұнда q= - 5 0 , p = 4 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, мұнда q = - 9 0 , p = - 8 0.
5-әдіс. Теңдеуді асыра лақтыру әдісімен шешу
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын да а-ға көбейтіп,
мынаны аламыз:
а2х2 + аbх + ас = 0.
ах = у деп белгілесек, х = уа
Олай болса
у2 + by + ас = 0,
теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін у1,
у2 –ні Виет теоремасы арқылы табамыз.
Соңында х1 = у1а , х1 = у2а -ны аламыз. Бұл жағдайда а
коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан да бұл әдісті асыра
лақтыру әдісі деп атайды . Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып
түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.
мысалы, 2х2 – 11х + 15 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз,
нәтижесінде:
у2 – 11у + 30 = 0.
Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 2,5; 3.
6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану.
ах2 + bх + с = 0, , а ≠ 0 квадрат теңдеуі берілген.
1) Егер, а+ b + с = 0 (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса,
онда х1 = 1,
х2 = са.
Дәлелдеу: а ≠ 0, келесідей квадрат теңдеуге келеміз.
x2 + ba • x + ca = 0.
Виет теоремасы арқылы
x1 + x2 = - ba,
x1x2 = 1• ca.
а – b + с = 0 шарты бойынша, b = а + с аламыз. Олай болса,
x1 + x2 = - а + ba= -1 –
ca,
x1x2 = - 1• ( - ca),
х1 = -1 , х2 = ca болатынын дәлелдндік.
1) Мысал: 345х2 – 137х – 208 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0),
онда
х1 = 1, х2 = ca = -208345.
Жауабы: 1; -208345.
2) 132х2 – 247х + 115 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0),
онда
х1 = 1, х2 = ca = 115132.
Жауабы: 1; 115132.
7-әдіс Квадрат теңдеуді шешудің графиктік түрі
теңдеуінен екінші, үшінші мүшелерін оң жағына шығар сақ, аламыз.
функциялардың графиктерін тұрғызамыз.
Бірінші функцияның графигі – координат басынан өтетін парабола, екінші
функцияның графигі – түзу (1-сурет). Енді келесі жағдайлар болуы мүмкін:
-түзу және парабола екі нүктеде қиылысуы мүмкін, қиылысу нүктесінің
абциссасы квадрат теңдеудің түбірі болады.
- түзу және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
шешуге пайдалану.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. ТЕҢДЕУ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТ
1.1 Теңдеу, теңдеудің шешімдері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 11
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 19
2. ТЕҢДЕУ ШЕШУДІ. ОҚУШЫЛАРДЫ ТЕҢДЕУ ШЕШУГЕ ҮЙРЕТУ. МӘНДЕС ТҮРЛЕНДІРУЛЕРДІ
ҮЙРЕТУ
2.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.1 Рационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... ... 27
2.1.2 Иррационал теңдеулер шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... ... 30
2.2 Тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер ... ... ...
32
2.3 Логарифмдік теңдеулерді шешуде мәндес түрлендірулер
... ... ... ... ... .. 39
2.4 Компьютерлік технологияны теңдеулер шешуде тиімді пайдалану ... .. 43
2.5 Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, компьютерде
модельдеп оқыту әдістері
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... 50
ҚОРЫТЫНДЫ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .. 52
Пайдаланған әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .. 53
К І Р І С П Е
Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстанды құру бізден жеке адамдардың,
қоғамның және еңбек нарығының талаптарын қанағаттандыра алатын бәсекеге
қабілетті білім беру жүйесін қалыптастыруды талап етеді.
Тәуелсіздіктің ертеңі оқу-білімнің тереңділігімен өлшенеді. Еш
толас- сыз, үздіксіз өзгеріп тұрған әле
м адамынан да қабілет пен қажеттіліктерді толассыз, үздіксіз дамытуды талап
етеді.
Елбасымыз Н.Ә.Назарбаевтың “Қазақстан-2050” даму бағдарламасын-
да Қазақстан халқына арналған жолдауында “Біздің жас мемелекетіміз өсіп,
жетіліп кемелденеді, жас шәкірттер онымен бірге ер жетеді. Олар өз
ұрпағының жауапты да шегерлі, білім өрісі биік денсаулықтары мықты өкілдері
болады” деп көрсеткендей шәкіртерді тәрбиелеуде физика пәнінің алатын орны
бөлек.
Қазақстан Республикасының Президенті өз Жолдауында білім беру жүйесін
жаңғырту барысында жүзеге асырылуға тиісті 6 түрлі міндетті алдымызға қойып
отыр. Ол міндеттер мынадай: оқыту үдерісіне қазіргі заманғы әдістемелер мен
инновациялық технологияларды кеңінен енгізу; педагогтар құрамының сапасын
арттыру; біліктілікті бекітудің тәуелсіз жүйесін құру; жастарды әлеуметтік
бейімделуге үйрету; оқыту үдерісінің тәрбиелік құрамдасын күшейту.
Қазақстан Республикасының Білім туралы жаңа Заңы дәл осы бәсеке-
ге қабілетті отандық білім беру жүйесін қалыптастыруға бағытталған.
Жаңа заң туралы айтқанда оның құрылымына айрықша назар аударған
жөн. Ол республикадағы жетілдірілген жаңа білім беру ортасын қалып-
тастырудың концептуалдық идеясына сәйкес құрылған. Білім беру қызметі
іштей жүйелендіріліп, оның барлық аспектілері құрылымға бағындырылған,
қисындық сабақтастыққа сәйкес заңның мазмұнынан көрініс тапқан. Заң білім
беру жүйесі ұғымы мен оны құрайтын білім беру деңгейлерінің анықтамасынан
басталады. Одан әрі әр түрлі деңгейдегі оқу бағдарламалары арқылы білім
берудің мазмұны ашылады. Келесі кезекте білім беруді ұйымдастыру, білім
алушыларға қойылатын талаптар, қабылдау ережелері, оқу түрлері, білім
берудің оқу, тәрбие, ғылыми және оқу-әдістемелік жұмыс сияқты түрлі
бағыттары сипатталады.
Кезінде Ахмет Байтұрсынов айтқан екен: оқытудың үш жағы бар,
үшеуі үш нәрсеге тіреледі: біреуі оқу құралдарына, екіншісі ақша –
қаражатқа, үшіншісі жақсы мұғалімге деп. Егер осы айтылған үш мәселенің
бірі біріне сай келіп жатса, оқыту үрдісінде қиындықтар болмас па еді? Мен
өзім мұғалімдік мамандықта оқып жатқандықтан осы айтылған үш мәселенің
екеуі мұғалімге қатысты айтылған деп есептеймін. Осы орайда мұғалімге
тікелей қатысты мәселе – оқушылардың пәнге қызығушылығын ояту, ендеше буған
қол жеткізетіндей жолдарды іздестіру керек.
Қазіргі оқыту процесіне жаңа педагогикалық технологиялар көптеп
енуде. Оқушыны пәнге қызықтырумен қатар, саналы да салмақты ойлауға
тәрбиелейтін, қоғамдық көзқарастарын қалыптастыра алатын, өзіндік пікірі
бар, өмірдегі, қоғамдағы болып жатқан түрлі қарама-қайшылықтарды түсіне
білетін, еркін сөйлеп, өз пікірін ашып айта алатын ойлы ұрпақ тәрбиелеуде
білім мен ғылымның маңызы зор. Оқытудың әдіс-тәсілдерін түрлендіріп
жетілдіру арқылы мектеп қабырғасында жүрген кезінде оқушылардың білім
деңгейін, тәрбиесін жоғарлатып, таным деңгейін арттыру, пәнге қызықтыру
әрбір мұғалімнің басты мақсаты болуы тиіс. Тиімді оқыту әдісі оқушыларды
алғырлыққа, байқампаздыққа баулып, олардың ойлау қабілеттерінің жетілуі-
не, ең бастысы, ғылым негізіне ынтасын арттыруға мүмкіндік туғызады.
Математиканы оқыту арқылы мәселені талдай білуге, нақтылауға,
ұғымдарды анықтауға, ой қорытулар жасауға, дәлелдеуге тағы басқа іс –
жүзінде қадам сайын логикалық білім беріледі. Математиканың өмірмен
байланысы анық. Миды жаттықтыру үшін адамға математиканы үйрену, есеп
шығару, математиканың бүкіл заңдарын басқа ғылымдарды оқығанда пайдаланады.
Біздің өміріміздегінің бәрі бір – бірімен тығыз байланысты. Тіршілік
құбылыстарын бір – бірінен бөліп зерттеуге болмайды.
Математиканың басқа ғылымдармен байланысын анықтайық. Оның химиямен,
физикамен, биологиямен, информатикамен тығыз байлыныстылығында дау жоқ. Ал
тарихпен ше? Тарих толығымен мерзімдер және оған сәйкес оқиғалардан
тұрады. Оларды есте сақтау үшін ойлау қабілеті немесе оқиғалардың
логикалық тізбегін қадағалай білу қажет. Географиямен байланысына келсек,
қалалардың ара қашықтығын анықтағанда масштаб, қолда бар карталар есепке
алынады, қарапайым математикалық есептеулер арқылы қажетті деректерді алуға
болады.
Матемтиканы оқып – үйрену, есеп шығаруды үйрену үшін ғана емес, кез –
келген проблеманы шеше білуге, өз қабілетіңді жетілдіру үшін де
қажет. Сондықтан, Мен ақша санаймын, өз кірісім мен шығысымды есептей
аламын, одан өзге математиканың маған қажеті шамалы деуге болмайды. Егер
олай десеңіз, адам өмірінің мәнін түсінбегеніңізді көрсетесіз, өмір деп
отырғаныңыз шын мағынасында өмір емес, жай ғана тіршілік болады. Біз тек
сол үшін жаратылған жоқпыз, бізге ақыл – ой сол үшін берілмеген. Біз өз
өмірімізді мәнді қылып, барлық жетістіктерге жету үшін табиғаттағы барлық
білімді пайдалана білуіміз керек.
Дипломдық жұмысымның зерттеу обьектісі: орта мектепте математика
пәнін оқыту үрдісі.
Дипломдық жұмысымның орындалу мақсаты: Мәндес түрлендірулерді
теңдеулер шешуде пайдаланып, оқытудың маңыздылығын көрсетіп, оқушыларға
мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде тиімді әдістерді үйлестіру арқылы
оқыту әдістемесін ұсыну.
Дипломдық жұмыстың міндеттері:
- Мәндес түрлендірулерді теңдеулер шешуде пайдаланып, орта мектепте
оқыту мәселесін зерделеу;
- Жалпы білім беретін мектептің жаратылыстану-математика бағытында
Тригонометриялық теңдеулерді шешу тарауын оқытудың теориялық
негізіндерін айқындау;
- Квадрат теңдеулер тарауын оқытуда оқушылардың танымдық әрекетіне
негізделген тиімді әдістерді саралау;
- Математика курсының Рационал теңдеу, Тригонометриялық теңдеу,
Логарифмдік теңдеу тарауларын оқыту әдістемесін жетілдіруге бағытталған
ұсыныстар жасау.
Зерттеу әдістері: бақылау әдісі, салыстыру әдісі, оқу процесіне ену,
талдау, тестілеу.
Дипломдық жұмыстың құрылымы:
Кіріспе, екі тарау, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі,
қосымша.
Бірінші тарауда теңдеу ұғымы, теңдеу дегеніміз, теңдеу туралы жалпы
мәліметтер мектеп курсында ашылып көрсетілген: теңдеу, теңдеу шешімдері;
теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер; теңдеу шешудің әдістері.
Екінші тарау теңдеу шешуді, оқушыларды теңдеулер шешуде мәндес
түрлендірулерді үйрету, Тригонометриялық теңдеулер тарауының оқыту
әдістемесін жетілдіру жолдары көрсетілген: тақырыпқа қатысты тарихи
материалдар; Тригонометриялық теңдеулер тарауын оқыту әдістемесі; жаңа
оқыту технологиялардың кейбір түрлері және осы технологияларды пайдалана
отырып, тригонометриялық теңдеулерді шешуде мәндес түрлендіре отырып,
оқытуда оқушылардың қызығушылығын арттыру мәселесі; тарау тақырыптарына
есептер шығару; тарауды компьютерде модельдеп оқыту әдістері.
Дипломдық жұмыстың нәтижелері Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік
педагогикалық институты студенттерінің ғылыми конференциясында және алдын-
ала қорғау семинарында баяндалған.
1. Теңдеу туралы жалпы мәлімет
1.1 Теңдеу. Теңдеудің шешімдері
Мектепте теңдеу мен теңсіздікті және олардың жүйелерін ерте бастан
жүйелі түрде оқыту дәстүрі қалыптасты. Бұл дәстүр қазіргі бағдарламаларда
да көрініс тапқан: теңдеу ұғымы, сызықтық теңдеу, екі белгісізі бар
сызықтық теңдеулер жүйесі 6-сыныпта, квадрат теңдеулер мен рационал
теңдеулер 7,8-сыныпта, мәндес теңдеулер мен теңсіздіктер және
тригонометриялық теңдеулер 10-сыныпта, дифференциалдық теңдеулер туралы
ұғым, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер 11-сыныпта оқытылады.
Теңдеу туралы теориялық мәліметтерді баяндау мектептегі алгебра
курсының басқа тақырыптарын: нақты сандар, өрнектер мен функцияларды теңбе-
тең түрлендіру, математикалық талдаудың бастамалары курсын өтудің мазмұны
мен ретіне қарай жүргізіледі [1].
Орта мектепте теңдеулер мен теңсіздіктерді олардың түрлеріне
байланысты баяндаудың әртүрлі нұсқаулары кездеседі, кейде теңдеулер мен
теңсіздіктерді параллель оқыту туралы ұсыныста бар.
Әдістемелік әдебиеттерде теңдеудің мынадай анықтамалары кездеседі.
1. Екі алгебралық өрнекке енетін әріптің қандай да бір мәндерінде
бірдей сандық мәндер қабылдайтын теңдікті теңдеу деп атайды.
2. Бір белгісізі бар теңдеу бойынша жазылады: Егер саны
біріншіден және функцияларының анықталу облысына енетін болса,
екіншіден мына сандық теңдік орындалатын болса, онда саны
теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді шешу деп оның барлық түбірлерін
табуды айтады.
3. Бір айнымалысы бар теңдеу деп осы айнымалы арқылы құрылған
теңдікті айтады. Теңдіктегі айнымалыны әдетте белгісіз шама деп атайды.
Белгісіздің орнына апарып қойғанда берілген теңдеуді дұрыс теңдікке
айналдыратын айнымалының мәнін теңдеудің түбірі (шешімі) деп атайды.
4. Белгісізі бар теңдікті теңдеу деп атайды. Белгісіздің теңдікті
дұрыс
сандық теңдікке айналдыратын мәндері теңдеудің түбірі деп аталады. Теңдеуді
шешу дегеніміз оның барлық түбірлерін табу.
Теңдеу ұғымының бұл анықтамаларын бір-біріне қарсы қоюға болмайды.
Бұл анықтамалардың әрқайсысы теңдеулерді шешудің теориялық және практикалық
мәселелерінде қолданылады.
Мектеп оқулықтарында қазіргі кезде теңдеудің анықтамасы 4-анықтама
негізінде алынған.
Теңдеу ұғымына ең жақын ұғым теңбе-теңдік. Бірақ ол көбінесе
теңдеу ұғымына байланыссыз анықталады. Бұл әдетте теңбе-теңдік теңдеуден
бұрын өтілген жағдайда кездеседі. Алдымен теңбе-теңдік айнымалының кез
келген мәнінде дұрыс болатын теңдік деп қарастырылады. Кейінірек рационал
бөлшектерді қарастырғанда теңбе-теңдік ұғымы дәлірек анықталады:
айнымалының барлық мүмкін мәндерінде орындалатын теңдікті теңбе-теңдік деп
атайды.
Теңдеу мен теңбе-теңдік ұғымдарының арасындағы тікелей байланыс
мынадай анықтамамен беріледі: егер теңдеуінің шешімдерінің жиыны
берілген теңдеудің анықталу облысымен сәйкес келетін болса, онда бұл
теңдеуді теңбе-теңдік деп атайды [1, 2].
Сызықтық теңдеуді шешу бастауыш сынып математикасын оқытудан
басталады.
1. Бастауыш сыныптарда мынадай сызықтық теңдеуді шешу
қарастырылады: т.с.с. Белгісіз санды алдымен іріктеп,
таңдап алу әдісін пайдаланып теңдеудің түбірі табылады. Кейін, теңдеудің
түбірін табу арифметикалық амалдардың компоненттері мен нәтижелерінің
арасындағы байланысқа сүйеніп табуға үйретіледі. Мысалы, бірінші теңдеуді
шешкенде оқушылар былайша пайымдайды: Белгісіз қосылғышты анықтау үшін
қосындыдан белгілі қосылғышты алуымыз қажет: .
Теңдеулермен танысу формальді түрде жүргізілмейді. Мысалы, мынадай
есеп қарастырылады: Белгісіз санға -ті қосқанда шыққан.
Белгісіз санды анықтаңдар. Есеп қысқаша түрде былай жазылады:
сымволының орнына қойылатын сан таңдап алу әдісімен анықталады. Бұдан кейін
белгісіз санды арқылы белгілеп оны былайша жазуға болатындығы
айтылады:
2. 5-сыныпта теңдеулер арифметикалық амалдардың компоненттері
мен нәтижелерінің арасындағы байланыс бойынша шешіледі, көбінесе алдын-ала
өрнектерді ықшамдап алады. Мысалы, Оқушылар көбейтудің қосу (азайту)
амалына қатысты үлестірілімдік заңын пайдаланып, мынадай т.с.с.
теңдеулерді шешеді. Ондық бөлшектерді өту кезінде мынадай теңдеулер
шешіледі:
Бұл теңдеулерді шешу де арифметикалық амалдардың нәтижесі мен
компоненттерінің қасиеттеріне негізделген [1, 3].
3. 6-сыныпта оң таңбалы және теріс таңбалы сандарды өткенде
сызықтық теңдеудің жаңа мысалдары, кейбір сызықтық емес теңдеулер
қарастырылады. Қарама-қарсы сандардың анықтамасына сүйеніп, мынадай
теңдеулердің шешімдері анықталады. Модульдің анықтамасына
сүйеніп теңдеулерінің шешімдері табылады. 6-сыныпта
жақшаларды ашу теңбе-тең түрлендіруімен танысқаннан кейін
теңдеулерді шешудің жолы қысқартылады. Көбейтіндінің нольге тең болу шартын
өткен соң мынадай теңдеулер шығарылады: т.с.с. Оқушыларды
теңдеулерді шешудің тәсілімен таныстырудың жаңа қадамы қосылғыштарды
теңдеудің бір жағынан екінші жағына өткізу ережесі болып табылады. Осы
ережеге сүйеніп, олар мынадай теңдеуді шешеді: т.с.с.
4. Одан кейін (6 сыныптың соңы немесе 7 сыныпта) сызықтық теңдеуді
шешуге байланысты мәліметтер жүйеленеді. Кейбір оқу құралдарында бірінші
дәрежелі теңдеу мен сызықтық теңдеудің айырмашылығы қарастырылады. Бірінші
дәрежелі теңдеуің сызықтық теңдеудің дербес жағдайы екендігі айтылады.
Әдетте сызықтық теңдеу мына теңдікпен анықталады, мұндағы
саны белгісіз алдында тұрған коэффицент деп, ал -бос мүше деп
аталады.
Бір белгісізі бар сызықтық теңдеуді шешудің жалпы тәсілін көрсеткен тиімді:
Оқушыларға бір теңдеуді шешудің бірнеше тәсілдерін табуға үйреткен
пайдалы.
Мысалы, теңдеуін мынадай тәсілдермен шешуге болады:
1) алдымен бұл теңдеуді мына түрде жазып аламыз: одан кейін
белгілі айырма мен белгісіз азайғыштың арасындағы байланысқа сүйеніп,
мынаны табамыз:
2) қарама-қарсы сандардың анықтамасына сәйкес, белгісіз саны
санына қарама-қарсы. Сондықтан
3) мәндес теңдеулер туралы екінші теоремаға сүйенсек,
болады. Бұдан
Математиканы оқытудың психологиялық аспектілерінің бірі жаңа оқу
материалын өтудің себебін негіздеу болып табылады. Осы мәселені
теңдеулердің жаңа түрін енгізу үшін қарастырайық. Математиканы оқыту
әдістемесінде кері есеп ұғымды кездеседі. Бұл ұғымды түсіндірейік. Бір
және айнымалыларды туралы сөз болып, мұндағы және
айнымалы шамалары берілген, ал -ізделінді айнымалы шама. Енді мынадай
есеп қарастырайық, мысалы және айнымалы шамалары берілген, ал
- ізделінді айнымалы шама болсын. Есептің мазмұны мен айнымалы
шамалардың арасындағы арақатыстар өзгермейтін болсын. Сонда мұндай екі есеп
өзара кері есептер деп аталады. Өзара кері есептерді шешу үшін әртүрлі
теңдеудің түрлері қолданылады. Сондықтан кері есептерді шешу мен құрастыру
теңдеулердің жаңа түрін оқытуды негіздеудің пайдалы әдістемелік негізі
болып табылады[1].
Осындай есептерге мысалдар келтірейік.
1) санына қандай да бір санды қосқанда санына кері сан
шыққан. Қандай сан қосылған?
2) Қайсыбір оң санға -ті қосқанда, бірінші санға кері сан
шыққан. Осы сандарды табыңдар.
Бірінші есепті шешу мынадай сызықтық теңдеуге келтіріледі:
бұдан Екінші есептің шешуі немесе теңдеуіне келтіріледі.
Сонымен, екінші есепті шығару үшін теңдеуді шеше білуі қажет.
Теңдеулерді шешу әдісі көбейген сайын оқушыларда оларды
таңдап алу қиындығы туа бастайды. Осыған байланысты теңдеуді шешудің
тәсілдерін анықтауға арнаулы тапсырмалар қарастырған пайдалы. Мұндай
тапсырмаларды орындауды екі кезеңмен жүргізген тиімді:
1) алдымен берілген теңдеулер үшін тек шешу жолдарын ғана көрсету;
2) одан соң теңдеулерді шешу.
Теңдеулер мен теңсіздіктер оқулықта әртүрлі баяндалады. Біз
төменде Т.А.Алдамұратованың Математика-6 оқулығындағы Теңдеу
тақырыбының баяндалуын қарастырайық.
Құрамында әріппен белгіленген белгісізі (айнымалысы) бар
теңдік теңдеу деп аталады. Мысалы, теңдеулер, -
белгісіз (айнымалы). Мұндай теңдеулерді бір белгісізі бар немесе бір
айнымалысы бар теңдеулер деп атайды.
Теңдеулердің оң жағы және сол жағы болады. Мысалы,
теңдеудегі - теңдеудің сол жағы, ал -теңдеудің оң жағы.
Теңдеудегі алгебралық қосылғыштардың әрқайсысы оның мүшелері деп аталады
-мүшелер. Мұндағы -белгісізі бар мүше, -бос
мүшелер.
Теңдеумен берілген мысалдар мен есептерді шығарғанда,
ондағы әріппен берілген белгісіздің немесе айнымалының сан мәнін табамыз.
Белгісіз санның немесе айнымалының теңдеуді дұрыс санды
теңдікке айналдыратын мәні теңдеудің түбірі деп аталады.
Теңдеуді шешу дегеніміз – оның түбірлерін табу немесе түбірлерінің
жоқ екенін дәлелдеу. Теңдеулерді шешкенде кейде түбірлері бірдей болатын
теңдеулер де кездеседі. Түбірлері бірдей болатын теңдеулерді мәндес
теңдеулер деп атаймыз. Мысалы, теңдеуімен және теңдеулері
мәндес теңдеулер. Түбірлері бірдей: Ескеретін жағдай, кейде теңдеудің
түбірі болмайды. Түбірлері болмайтын теңдеулер де мәндес теңдеулер болып
саналады [1, 2, 3].
Теңдеулерді мәндес түрлендіргенде мынадай қасиеттер пайдаланылады.
1. Теңдеуді екі жағына да бірдей санды немесе әріпті өрнекті қосқанда
(азайтқанда) теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.
2. Теңдеудегі қосылғыштардың таңбасын қарама-қарсыға өзгертіп, оны
теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіргенде теңдеу мәндес теңдеуге
түрленеді.
3. Теңдеудің екі жағын да нөлден өзге бірдей санға көбейткенде немесе
бөлгенде теңдеу мәндес теңдеуге түрленеді.
Бір айнымалысы бар екі өрнектің теңдігін ықшамдап, түріне
келтіріледі.
1. Егер болса, теңдеудің бір ғана түбірі болады.
Мысалы:
2. Егер болса теңдігі -тің ешбір мәнінде дұрыс теңдік
болмайтындықтан, теңдеудің түбірі болмайды.
Мысалы:
бұл теңдеудің түбірі болмайды.
3. Егер болса теңдігі -тің кез келген мәнінде дұрыс
санды теңдік, сондықтан бұл жағдайда теңдеудің шексіз көп түбірі болады.
Мысалы:
Теңдеудің түбірі – кез келген сан.
1.2 Теңдеу шешудегі мәндес түрлендірулер
Теңдеулерді шешу кезінде әр түрлі түрлендірулер жүргізіп,
алдыңғымен салыстырғанда қарапайым түрге келтіреді. Түрлендірулер тізбегі
нәтижесінде пайда болған, соңғы теңдеудің шешімдері берілген теңдеудің
түбірлері бола ма, бөгде түбірлер қайдан пайда болды немесе теңдеудің
түбірлеінің жоғалып кету жағдайлары неліктен орын алды деген мәселелер
мәндес теңдеулер ұғымымен байланысты. Қандай теңдеулер мәндес деп
аталынады, қандай түрлендірулер мәндес түрлендірулер болады, қандай
жағдайда мәндес емес, оны қалай білуге болады, т.б. мәселелерді оқушылар
саналы түрде меңгеруі керек.
Мектеп математика курсында мәндес түрлендіру ұғымы біртіндеп,
оқушыларда ол ұғымға деген қажеттілік пайда болып, белгілі бір тәжірибе
жинақталғанда енгізіледі. Математика тілінде қандай да бір терминнің пайда
болуы, оған деген қажеттілік болғанда ғана енгізілетінін оқушы түсінуі
тиіс.
Сызықтық теңдеулер мен квадрат теңдеулерді оқып үйрену кезінде
мәндес теңдеу және мәндес түрлендіру туралы мәселе келтірілмейді. Себебі
бұл жерде мәндес емес түрлендіру мүлде болмайды, сондықтан мәндес теңдеу
терминін енгізуге деген қажеттілік те жоқ.
Алгебралық бөлшектерді оқып үйренуге байланысты, бөлшек рационал
теңдеулердің бөлімінен құтылу кезінде бөгде түбірлердің пайда болуы туралы
алғашқы түсінік беріледі. Сол кезде бірінші рет мәндес теңдеу термині
енгізіледі. Осы кезде мәндес теңдеу ұғымын енгізуге деген қажеттілік те
пайда болады, тәжірибеде жинақталады[1].
Түбірлері бірдей болатын екі теңдеуді өзара мәндес теңдеулер деп
атайды. Бір теңдеудің әрбір түбірі екінші теңдеуді де қанағаттандырса және
керісінше, екінші теңдеудің кез келген түбірі бірінші теңдеуді
қанағаттандырса, онда олар мәндес немесе эквивалент теңдеулер делінеді.
Дербес жағдайда, түбірлері жоқ барлық теңдеулер өзара мәндес. Мысалы, мына
теңдеулер мәндес:
және
және
Егер теңдеуінің әрбір түбірі бір уақытта теңдеуінің де
түбірлері болса, онда теңдеуі теңдеуінің салдары деп, немесе
теңдеу-салдар деп аталады.
теңдеуі теңдеуінің салдары екендігін көрсету үшін,
теңдеуін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері теңдеуін
қанағаттандыратындығына көз жеткізу жеткілікті.
теңдеуінің салдары теңдеуі болатындығын көрсету үшін
теңдеуінің әрбір түбірі теңдеуінің де шешімі болатындығына көз
жеткізіледі.
Егер екі теңдеудің бірі екіншісінің салдары және керісінше болса,
онда екі теңдеу мәндес болады.
Қандай жағдайда бір теңдеуден екінші теңдеуге өткенде мәндес
түрлендіру болады деген мәселеге тоқталайық.
Төмендегідей үш теорема орындалатындай түрлендіру жасағанда бір
теңдеуден екінші теңдеуге өту әр уақытта мәндес түрлендіру болады.
1-теорема. Егер теңдеудің қандай да бір мүшесін кері таңбамен
теңдіктің бір жағынан екінші жағына шығарса, онда пайда болған теңдеу
берілген теңдеумен мәндес болады [1, 20].
2-теорема. Егер теңдеудің екі жағын да бірдей тақ көрсеткішті
дәрежеге шығарсақ, онда пайда болған теңдеу берілген теңдеумен мәндес
болады.
3-теорема. (мұндағы ) теңдеуі теңдеуімен мәндес.
Бұл теоремаларды қолданғанда бөгде түбір пайда болмайды, түбірлердің
жоғалып кетуі де мүмкін емес.
Ал мына төмендегі теоремалар белгілі бір шарттар орындалғанда ғана
жұмыс істейді, яғни оларды қолдану кезінде ұқыптылықты қажет етеді.
4-теорема. Егер теңдеуінің екі жағын да бірдей, берілген
теңдеудің анықталу облысының барлық жерінде мағынасы бар, осы облыстың
ешбір жерінде нөлге айналмайтын өрнегіне көбейтсе, онда берілген
теңдеуге мәндес теңдеуі пайда болады.
Бұл теоремамен жұмыс істегенде теңдіктің екі жағына да көбейтілетін
өрнегінің:
берілген теңдеудің анықталу облысында мағынасы болуы;
берілген теңдеудің анықталу облысында нөлге айналмайтын болуы
ескерілуі керек.
4-теоремадан ешқандай шартты талап етпейтін төмендегі салдар шығады:
егер теңдіктің екі жағын да нөлден өзгеше с санына көбейтсе немесе бөлсе
берілген теңдеуге мәндес теңдеу шығады.
5-теорема. Егер теңдеуінің анықталу облысында теңдіктің екі
жағы да теріс емес болса, онда теңдіктің екі жағын да бірдей жұп дәрежеге
шығарғаннан кейін пайда болған теңдеуі берілген теңдеуге мәндес.
теңдеуінің екі жағын да жұп дәрежеге шығару үшін, теңдеудің
анықталу облысында шарттар орындалуы қажет.
6-теорема. және болса, онда болғанда теңдеуі
теңдеуімен мәндес.
Бұл теорема бойынша теңдеуінен теңдеуіне өту үшін
теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыру керек.
Егер теңдеуді шешу үдерісінде 4,5,6-теоремаларының шартындағы
шектеулердің бірінің орындалуын тексерместен, қорытындысын ғана пайдалансақ
теорема-салдар аламыз. Оған негізгі себеп, берілген теңдеудің анықталу
облысының кеңейіп кетуінде[1].
Егер теңдеуді шешудің белгілі бір кезеңінде теңдеудің екі жағын да
қандайда бір өрнекке көбейтсек (әрине ол өрнек теңдеудің анықталу облысында
мағынасы бар болуы керек), немесе теңдіктің екі жағын да жұп дәрежеге
шығарсақ, немесе логарифмдік теңдеулерді шығару барысында теңдіктің екі
жағындағы бірдей негіздегі логарифм таңбасын тастап кетіп жазатын болсақ,
онда табылған барлық түбірлерді міндетті тексеру керек.
Басқаша: теңдеудің түрлендіру үдерісінің белгілі бір кезеңінде
теңдеудің анықталу облысының кеңеюі орын алса, онда міндетті түрде барлық
табылған түбірлерді тексеруге тура келеді.
Енді мектеп математика курсы деңгейінде қандай түрлендірулер жасаған
кезде теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кетуі мүмкін деген орынды сұрақ
туады.
Теңдеудің анықталу облысының кеңейіп кету жағдайлары үшеу:
1.Бөлшекті бөлімінен құтқару кезінде. Теңдеудің құрамындағы
бөлшектің бөлімінде өрнегі болса, теңдеудің екі жағын да
өрнегіне көбейтіп, немесе бөлшекті қысқарту арқылы бөлшек бөлімсіз
жазылады. Мұны еркін сөйлеу кезінде бөлшекті бөлімінен құтқару деп айта
береді. Теңдеуде бөлім болмағаннан кейін шектеу де жоқ деген сөз. Демек,
теңдеудің анықталу облысы кеңейеді.
2.Логарифмді тастап кету кезінде. Бірдей негіздері логарифмдердің
теңдігінен логарифм таңбасының астындағы өрнектердің теңдігіне көшу
теңдеудің анықталу облысын кеңейтеді. Себебі логарифм таңбасы астындағы
өрнектердің оң болатындығы ескерілмей отыр.
3.n жұп болғандағы формуласын пайдалану кезінде. Шындығында
да, егер мысалы, өрнегінің анықталу облысы теңсіздігімен
беріледі. Егер өрнегін өрнегімен алмастырылса, еркін
қарастырылады да шектелуі алынып тасталады, яғни анықталу облысы
кеңейеді.
Теңдеудің түбірлерін тексеру екі жолмен жүргізіледі:
барлық түбірлерді берілген теңдеуге қойып тексергенде, теңдеуді
қанағаттандыратындар (дұрыс санды теңдікке айналдыратындар) теңдеудің
түбірлері, ал қанағаттандырмайтындары бөгде түбірлер
болады.
табылған түбірлердің берілген теңдеудің анықталу облысына тиістілігі
тексеріледі. Түбір анықталу облысында жататын болса, ол берілген теңдеудің
түбірі, ал жатпаса бөгде түбір болғаны.
Теңдеудің түбірлерін анықталу облысы бойынша тексеру тәсілі. Бір
теңдеуден екінші теңдеуге өту кезіндегі анықталу облысының кеңейіп кетуінен
басқа мәндес емес түрлендірулер болмаған жағдайда ғана тиімді. Бұл
логарифмдік теңдеулерді шешу кезінде орынды.
Ал, иррационалдық теңдеулерді шешу кезінде мәселе күрделілеу:
теңдеудің табылған түбірлері анықталу облысына тиісті болғанымен де,
олардың ішінде бөгде түбірлер болуы мүмкін. Мұндай жағдай теңдіктің екі
жағын жұп дәрежеге шығаруға байланысты болады.
Енді теңдеудің түбірлері жоғалып кететін жағдайларға тоқталайық.
Мектеп математика курсы деңгейінде теңдеудің түбірінің жоғалып кетуі
негізінен екі себепке байланысты:
теңдіктің екі жағын да бірдей өрнегіне бөлу кезінде
екендігі анық белгілі болған жағдайдан басқа);
бір теңдеуден екінші теңдеуге өту кезінде теңдеудің анықталу
облысының таралып кетуі.
Бірінші жағдайдағы кемшіліктерімен күресу қиын емес: өрнектің нөлге
тең емес екендігі алдын ала белгілі болмаса, теңдеудің екі жағында бірдей
ол өрнекке бөліп жіберуге тыйым салынады.
Оқушыны
деп шешуге үйрету керек.
Екінші жағдай күрделі. Мұнда теңдеуді шешу үдерісінде формулаларды
дұрыс қолданбауға байланысты түбірлердің жоғалып кетуі орын алады:
деп жазудың орнына
деп қате жібереді.
деп жазудың орнына
деп жазады.
деп жазудың орнына
деп қателеседі.
Тригономериялық теңдеулерді шешуде түбірлердің жоғалып кетуіне алып
келетін тригонометриялық формулаларды келтіріп кетейік.
Теңдіктің сол жағының анықталу облысы оң жағының
анықталу облысы екі шарттың орындалуына байланысты: яғни
яғни ты пен алмастырғанда анықталу облысы тарылады:
шектеуінен басқа, қосымша шектелуі пайда болады, осының салдарынан
түбірлердің жоғалып кетуі мүмкін.
формуласын пайдаланғанда мәнін бастапқы
теңдеуге қойып тексеру керек. Теңдеуді қанағаттандырса, ол теңдеудің түбірі
болғаны[1].
Теңдіктің сол жағының анықталу облысы
яғни немесе теңдіктің оң жағының анықталу облысы екі шарттың
орындалуы арқылы табылады: яғни және яғни Теңдіктің
сол жағын оң жағымен алмастырғанда деген қосымша шектеу пайда болады.
тексеру керек.
Бұл жерде теңдіктің сол жағын оң жағымен
алмастырғанда шектеу пайда болады.
үшін яғни ал үшін
Анықталу облысы тарылды: шектелуіне қосымша шектелуі
пайда болды.
Ал осы формулаға ұқсас формуласын пайдаланғаннан анықталу
облысында тарылу болмайды. Теңдіктің сол жағы мен оң жағының анықталу
облыстары бірдей:
5. Мұндай алмастырулар арқылы шешілетін теңдеудің
түбірінің жоғалып кетуі мүмкін. Бұл мәнді бастапқы теңдеуге қойып тексеру
керек.
Түбірдің жоғалып кетуі тің кез келген мәнінде анықталған
пен өрнегін, анықталу облысының тарылуына алып келетін
өрнегімен алмастырылуына байланысты болады.
Мысал. теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Теңдеуді шешу үшін формуласын пайдаланып,
алмастыруын жасаймыз. -тің анықталу облысы яғни
Берілген теңдеу мына түрге келеді бұдан яғни
Бірақ, берілген теңдеуді мәндері де қанағаттандырады. Теңдеу
түбірлерінің бұл мәндерінің жоғалып кетуі тің кез келген мәнінде
анықталған пен өрнегін, олардың анықталу облысын тарылтатын
өрнегімен алмастыруымызға байланысты келіп шықты.
Жауабы:
1.3 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы
1.3.2 Квадрат теңдеулер шешудің әдістері
Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып табылатындықтан
кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі білім деңгейіне
байланысты бағаланады. Жан-жақты үйлесімді, өркениетті елдің ұрпағын
тәрбиелеп шығу бүгінгі мектептің алдына қойылған мақсаттардың бірі. Бұл
мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту
әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың
орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің әр тарауының әр
тақырыбын оқушы санасына жететіндей етіп оқытқанда ғана орындалады. Олай
болса, оқушыларды жеке тұлға етіп тәрбиелеуде математика пәнінің де алатын
орны, салмағы зор[18].
Бұл дипломдық жұмысым алгебра курсында қарастырылатын квадрат
теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп
отыр.
Квадрат теңдеулер мектептегі алгебра курсының маңызды
тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с.
мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі.
Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу (функцияның нөлдерін, экстремум
нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу), ең үлкен және ең кіші мәндерді
табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу
қажеттігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және
логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының
есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.
Дипломдық жұмыс барысында мектеп оқушыларына квадрат теңдеулерді
шешу жолдарының тоғыз түрлі әдісімен таныстыруға мүмкіндік бар екендігін
анықтадық. Атап айтқанда, олар төмендегідей болып табылады: Зерттеу
барысында квадрат теңдеулерді шешу жолдарының 10 түрлі әдісін
қарастырдым. Ол тәсілдерге алда жеке – жеке тоқталамын.
1.3.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы.
2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д II мыңжылдықта Ежелгі
Вавилонда шығара білген. Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді
геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі
қатынастарға бөлу арқылы шешкен. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы
бірнеше рет қайтадан ашылған . Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші
бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан (жуықтап 598 ж.). Орта
азия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің Китаб аль-джебр валь -мукабала
трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын геометриялық
интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен[20].
Ертедегі Диофанттың есебі.
Есеп. Екі санның квадраттарының қосындысына тең санды басқа екі
санның квадраттарының қосындысына тең болатындай жаз.
Диофант теңдеулердің оң бүтін және бөлшек шешулерін табуға баса
назар аударады. Шешуі теріс сан болатындай теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп
санап, бүтіндей қарастырмайды. Тек бір оң түбір табумен қанағаттанады.
Алдыңғы есепке оралайық. Бұл проблеманы шешуі мынадай есеппен
түсіндіреді: Берілген сан 13 болсын, ол 2 мен 3-тің квадраттарының
қосындысына тең. Бір квадраттың қабырғасының ұзындығы х+2 болсын, ал екінші
квадрат қабырғасының ұзындығы 2х-тен 3-і кем, яғни 2х-3. Сонда бірінші
квадраттың ауданы (х+2)² =x² +4x+4, екіншісінікі (2х-3)² =4х² -12х+9.
Екеуінің ауданың қоссақ (х² +4х+4) + (4х² -12х+9)=5х²-8х+13. Есептің шарты
бойынша бұл 13-ке тең болуы керек:
5х² -8х+13=13
5х² -8х=0
х(5х-8)=0 5x-8=0
5x=8
x=
Сонымен бірінші квадраттың қабырғасы х+2=+ 2=, екіншісінікі
2х-3=2*-3=-3=.
Квадраттың аудандары: ()² =
()² =
Бұл сандардың қосындысы +==13 болады, яғни есепті
қанағаттандырады.
Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы
Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен,
әл-Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.
Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне
келтіріп, сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық
тәсілдері келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты
белгілер кітапта атымен жоқ болғандықтан, әл-Хорезмидің алгебрасы
толығымен сөзбен сипаттау арқылы баяндалған. Гректің Арифметикасында
немесе Браһмагуптаның еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем
қолданылмаған. Тіпті сандар арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен
сөздер ретінде жазылған!Сондықтан теңдеулер сөзбен шаршы деп (яғни
бүгіндері “x2” деп), түбір деп (бүгін оны “x” деп) және сандар деп
(мысалы, қырық екі, жеті деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп
отырды. Бүгінгі күннің шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты
түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax2 = bx)
2) квадраттар санға тең (ax2 = c)
3) түбірлер санға тең (bx = c)
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c)
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2)
Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) (толықтыру) амалы: теріс шаманы
теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4x2”
теңдеуі әл-жәбр амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x2 = 40x”
Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс
сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) (теңдестіру) дегеніміз –
теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу:
“x2 + 5 = 40x + 4x2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x2“. Осы ережені
қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты)
теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге
болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде
қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан
мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған[20].
1.3.2 Квадрат теңдеулерді шешудің 10 әдісі
1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу.
х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х -
2).
Демек, теңдеуді былай жазуға болады:
(х + 12)(х - 2) = 0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі
нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2
және х = - 12 сандары х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып
табылады.
2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі.
Мысал: х2 + 6х - 7 = 0=0 теңдеуін шешейік.
Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2 + 6х өрнегін
төмендегідей жазып аламыз:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х
пен 3-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 32-ын қосу керек. Сонда
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 32 -ын қосып,
алып тастаймыз. Сонда шығатыны:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 -
16.
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Бұдан , х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, немесе х + 3 = -4, х2 = -7.
3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ахb + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,
Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
Д0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады:
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі
түрлі түбірі болады.
б) 4х2 - 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, болғандықтан, бір ғана түбір бар болады
Сонымен, егер дискриминант нөлге тең болса, b2 - 4ac = 0, онда
ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады
в) 2х2 + 3х + 4 = 0, теңдеуін шешейік.
а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 , D
0.
Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды..
Д0 болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі болмайды. b2 - 4ac
0 онда ах2 + bх + с = 0 теңдеуінің түбірі болмайды
4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешуКелтірілген түбірлері
Виет теоремасын қанағаттандырады.
Ол былай беріледі: х2 + px + c = 0.
(1)
а=1 болғанда,
x1 x2 = q,
x1 + x2 = - p
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:
а) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі оң болса (q0) онда теңдеудің екі
бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р0, онда екі түбірі де теріс болады,
егер р0, онда түбірлері оң болады.
Мысал, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 және x2 = 1, мұнда q = 2 0 , p =
- 3 0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 және x2 = - 1, мұнда q = 7 0 , p= 8 0.
б) Егер q (1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q 0), онда теңдеудің
екі түрлі, таңбалы екі түбірі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң
болады, егер р 0 болса, теріс болады, егер р 0.
Мысал:
x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 , x2 = 1, мұнда q= - 5 0 , p = 4 0;
x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, мұнда q = - 9 0 , p = - 8 0.
5-әдіс. Теңдеуді асыра лақтыру әдісімен шешу
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын да а-ға көбейтіп,
мынаны аламыз:
а2х2 + аbх + ас = 0.
ах = у деп белгілесек, х = уа
Олай болса
у2 + by + ас = 0,
теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін у1,
у2 –ні Виет теоремасы арқылы табамыз.
Соңында х1 = у1а , х1 = у2а -ны аламыз. Бұл жағдайда а
коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтан да бұл әдісті асыра
лақтыру әдісі деп атайды . Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып
түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.
мысалы, 2х2 – 11х + 15 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз,
нәтижесінде:
у2 – 11у + 30 = 0.
Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 2,5; 3.
6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану.
ах2 + bх + с = 0, , а ≠ 0 квадрат теңдеуі берілген.
1) Егер, а+ b + с = 0 (яғни коэффициенттер қосындысы 0-ге тең) болса,
онда х1 = 1,
х2 = са.
Дәлелдеу: а ≠ 0, келесідей квадрат теңдеуге келеміз.
x2 + ba • x + ca = 0.
Виет теоремасы арқылы
x1 + x2 = - ba,
x1x2 = 1• ca.
а – b + с = 0 шарты бойынша, b = а + с аламыз. Олай болса,
x1 + x2 = - а + ba= -1 –
ca,
x1x2 = - 1• ( - ca),
х1 = -1 , х2 = ca болатынын дәлелдндік.
1) Мысал: 345х2 – 137х – 208 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0),
онда
х1 = 1, х2 = ca = -208345.
Жауабы: 1; -208345.
2) 132х2 – 247х + 115 = 0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0),
онда
х1 = 1, х2 = ca = 115132.
Жауабы: 1; 115132.
7-әдіс Квадрат теңдеуді шешудің графиктік түрі
теңдеуінен екінші, үшінші мүшелерін оң жағына шығар сақ, аламыз.
функциялардың графиктерін тұрғызамыз.
Бірінші функцияның графигі – координат басынан өтетін парабола, екінші
функцияның графигі – түзу (1-сурет). Енді келесі жағдайлар болуы мүмкін:
-түзу және парабола екі нүктеде қиылысуы мүмкін, қиылысу нүктесінің
абциссасы квадрат теңдеудің түбірі болады.
- түзу және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz