Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика әдістері
І тарау. Кездейсоқ окиғалар және олардың ықтималдықтары
1. Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
2. Қосылыстар теориясы элементтері.
3. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. Шартты ықтималдық.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Толық ықтималдық формуласы.Байес формулалары.
6.Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
7.Муавр . Лапластың шектік теоремалары.
8. Үлестіру сипаттамалары
9. Құрылымды орталар
10.Ауытқу өлшеуіштері
11. Бірнеше статистикалық жиынтықтар үшін арифметикалық ортамен дисперсияны есептеу
1. Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
2. Қосылыстар теориясы элементтері.
3. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. Шартты ықтималдық.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Толық ықтималдық формуласы.Байес формулалары.
6.Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
7.Муавр . Лапластың шектік теоремалары.
8. Үлестіру сипаттамалары
9. Құрылымды орталар
10.Ауытқу өлшеуіштері
11. Бірнеше статистикалық жиынтықтар үшін арифметикалық ортамен дисперсияны есептеу
1.1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, Бұл ұғымдарды түсіндіруді мысалдардан бастайық.
1 - м ы с а л. Теңгені (металл ақшаны) тептегіс еденге лақтырайық, сонда мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Теңгені лақтыру үшін өзімізді, белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен теңгенің бір ұшын жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір биіктікке дейін көтеріліп төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше рет секіректеп, жалпағынан не тиын жағы, не герб жағы жоғарықарап жатады. Сайып келгенде, теңге жалпағынан жатуы үшін көптеген кимыл әрекеттер жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Онын тиын (не герб) жағының. жоғары түсуі (жатуы)—осы комплексті шарттың орындалу нәтижссі — оқиға деп аталады.
2 - м ы с а л. Біртекті материалдардан жасалған симметриялы кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі қай жағы (нөмірі) түссе де оқиға болады.
3-мысал. 760 мм қысымдағы суды 100°С-гс дейін қыздырсақ, ол буға айналады. Судың буға айналуы — оқиға, ал осы бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болады.
Қомплексті шарт термині орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданамыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп ұғамыз. Әдетте оқиғаларды үлкен әріптер А, В, С, ... арқылы, ал бұларға қарамақарсы оқиғаларды А, В, С, . . . арқылы белгілейміз. Мысалы, теңгенің тиын жағының пайда болуы А оқиғасы болса, герб жағының пайда болуы А оқиғасымен белгіленді және т. с, с.
1.2. Оқиғаларды кластарға бөлу.
Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мұндай оқиғаларға 1, 2-мысал жатады, өйткені сынау нәтижесінде теңгенің (кубтың) белгіленген жағының пайда боларын күн ілгері айта алмаймыз. Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді. Сынау нәтижесінде оқиғаның (А оқиғасы) пайда болуы мумкін болмаса, ондай оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді.
Ақиқат оқиғаны U әрпімен, мүмкін емес оқиғаны V әрпімен белгілеу қабылданылған. Мысалы, қобдишаға салынған ақ шарлардың біреуін алсақ, оның ақ болып шығуы ақиқат
1 - м ы с а л. Теңгені (металл ақшаны) тептегіс еденге лақтырайық, сонда мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Теңгені лақтыру үшін өзімізді, белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен теңгенің бір ұшын жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір биіктікке дейін көтеріліп төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше рет секіректеп, жалпағынан не тиын жағы, не герб жағы жоғарықарап жатады. Сайып келгенде, теңге жалпағынан жатуы үшін көптеген кимыл әрекеттер жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Онын тиын (не герб) жағының. жоғары түсуі (жатуы)—осы комплексті шарттың орындалу нәтижссі — оқиға деп аталады.
2 - м ы с а л. Біртекті материалдардан жасалған симметриялы кубтың әрбір жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда (комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі қай жағы (нөмірі) түссе де оқиға болады.
3-мысал. 760 мм қысымдағы суды 100°С-гс дейін қыздырсақ, ол буға айналады. Судың буға айналуы — оқиға, ал осы бу пайда болғанға дейінгі барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болады.
Қомплексті шарт термині орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданамыз. Бұдан былай сынау нәтижесін оқиға деп ұғамыз. Әдетте оқиғаларды үлкен әріптер А, В, С, ... арқылы, ал бұларға қарамақарсы оқиғаларды А, В, С, . . . арқылы белгілейміз. Мысалы, теңгенің тиын жағының пайда болуы А оқиғасы болса, герб жағының пайда болуы А оқиғасымен белгіленді және т. с, с.
1.2. Оқиғаларды кластарға бөлу.
Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мұндай оқиғаларға 1, 2-мысал жатады, өйткені сынау нәтижесінде теңгенің (кубтың) белгіленген жағының пайда боларын күн ілгері айта алмаймыз. Сынау нәтижесінде оқиға (А оқиғасы) сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді. Сынау нәтижесінде оқиғаның (А оқиғасы) пайда болуы мумкін болмаса, ондай оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді.
Ақиқат оқиғаны U әрпімен, мүмкін емес оқиғаны V әрпімен белгілеу қабылданылған. Мысалы, қобдишаға салынған ақ шарлардың біреуін алсақ, оның ақ болып шығуы ақиқат
Кіріспе
Казіргі уакытта ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
әдістері барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана
емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл ғылымына, педагогика мен
психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға және т. с. с. еніп,
ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын ашатын пәрменді кұралға айналып
келеді. Бұл пән — кездейсоқ кұбылыстар заңдылығымен айналысатын математика
саласы.
Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы бірнеше
сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Еаропа ғалымдары Б. Паскаль {1623—
1662), П. Ферма (1601 —1665), X. Гюйгенс (1629—1695), Я. Бернулли
(1654—1775), А. Муавр (1667-1754), П. Лаплас (1749—1827), Ф. Гаусс
(1777—1855), С. Луассон (1781—1840) және орыс ғалымы Буяковский (1804-
1889) көп үлес қосты.
Бұл ғылымнын келесі дамуы ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев
(1821 — 1894) басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен
байланысты. Атап айтканда, П. Л. Чебышевтың XIX ғасырдың орта кезінде жарық
көрген іргелі зерттеулерінен бастап, Россияда ықтималдықтар теориясы
пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге колы
жеткен, орыс-совет ғалымдары А. А. Марков (1856— 1922). А. М. Лупунов
(1887— 1918), А. Я Хинчин (1894 — 1959), А. Н. Колмогоров (1903—1986), С. Н
Бериштейн (1880-1968), В. А. Романовский (1879-
1954), В. И. Слуцкий (1880—1948), В. И. Гливенко (1806— 1940) Б. В.
Гнеденко (1912 туған), Ю. В. Линник (1925— 1972), Ю. В. Прохоров (1929
туған) т. т. есімдері журтшылықа кеңінен мәлім.
I Б Ө Л I М
ықтималдықтар теориясы
І тарау
КЕЗДЕЙСОҚ ОКИҒАЛАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ЫҚТИМАЛДЫҚТАРЫ
1. Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
1.1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, Бұл ұғымдарды түсіндіруді
мысалдардан бастайық.
1. - м ы с а л. Теңгені (металл ақшаны) тептегіс еденге лақтырайық, сонда
мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Теңгені лақтыру үшін өзімізді,
белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен теңгенің бір ұшын
жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір
биіктікке дейін көтеріліп төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше
рет секіректеп, жалпағынан не тиын жағы, не герб жағы жоғарықарап жатады.
Сайып келгенде, теңге жалпағынан жатуы үшін көптеген кимыл әрекеттер
жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Онын тиын (не герб)
жағының. жоғары түсуі (жатуы)—осы комплексті шарттың орындалу нәтижссі —
оқиға деп аталады.
2. - м ы с а л. Біртекті материалдардан жасалған симметриялы кубтың әрбір
жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда
(комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі қай жағы
(нөмірі) түссе де оқиға болады.
3-мысал. 760 мм қысымдағы суды 100°С-гс дейін қыздырсақ, ол буға
айналады. Судың буға айналуы — оқиға, ал осы бу пайда болғанға дейінгі
барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болады.
Қомплексті шарт термині орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін
де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданамыз. Бұдан былай сынау
нәтижесін оқиға деп ұғамыз. Әдетте оқиғаларды үлкен әріптер А, В, С, ...
арқылы, ал бұларға қарамақарсы оқиғаларды А, В, С, . . . арқылы
белгілейміз. Мысалы, теңгенің тиын жағының пайда болуы А оқиғасы болса,
герб жағының пайда болуы А оқиғасымен белгіленді және т. с, с.
1.2. Оқиғаларды кластарға бөлу.
Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін
болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мұндай оқиғаларға 1, 2-
мысал жатады, өйткені сынау нәтижесінде теңгенің (кубтың) белгіленген
жағының пайда боларын күн ілгері айта алмаймыз. Сынау нәтижесінде оқиға (А
оқиғасы) сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді.
Сынау нәтижесінде оқиғаның (А оқиғасы) пайда болуы мумкін болмаса, ондай
оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді.
Ақиқат оқиғаны U әрпімен, мүмкін емес оқиғаны V әрпімен белгілеу
қабылданылған. Мысалы, қобдишаға салынған ақ шарлардың біреуін алсақ, оның
ақ болып шығуы ақиқат
оқиға да, басқа түсте болуы мүмкін емес оқиға. Сынау жургізгенде екі
оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғаларды үйлесімсіз
оқиғалар дейді. Мәселен 2-мысалдағы , А2 (бірінші және екінші нөмірлі
жақтар) оқиғалары — үйлесімсіз оқиғалар, Бұл мысалдағы кез келген екі оқиға
да үйлесімсіз. Кез келген екі оқиғасы үйлесімсіз болатын оқиғалар жиынын
қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар дейді.
Сынау жүргізілгенде оқиғаның бірінің, пайда болуы екіншісінің пайда
болуын жоққа шығармайтындай екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды.
Мысалы, кубтың жұп нөмірінің пайда болуы (А оқиғасы) мен үш санына еселік
нөмір пайда болуы В оқиғасы үйлесімді. Өйткені кубтың 6- нөмірінін пайда
болуын кәрсететін А6 оқиғасы В оқиғасы пайда болғанда да, А оқиғасы пайда
болғанда да пайда болуы мүмкін.
Сынау нәтижесінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір 6іреуінің сөзсіз пайда болуы
ақиқат болса, ондай оқиғаны жалғыз ғана мүмкіндікті оқиға дейді. Жалғыз
ғана мүмкіндікті оқиғалар оқиғалардың толық тобын немесе оқиғалардың толық
жүйесін (системасын) құрады. М.ысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының
біреуі (А оқиғасы) пайда болуы сөзсіз, сондықтан , А2, Аз, А4, А5, А6
оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар және олар оқиғалардың толық
тобын құрайды. Сонымен қатар бұлар қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар.
1.3. Ықпималдықтың геометриялық статистикалық және
аксиоматикалық анықтамалары
Бұған дейін ықтималдықтың классикалық анықтамасын келтіріп, теория
негізінде түрлі есептерді шығардық. Енді ықтималдықтың одан басқа да
анықтамаларын келтіре отырып классикалық анықтамамен салыстырып отырамыз.
1.3.1. Геометриялық анықтама. Өткен параграфта қарастырылған тәжірибе
нәтижелері шекті саналымды болыл келді, практикада кездесетін есептердің
басым кепшілігі бұл схемаға келе бермейді. Өйткені, тәжірибе нәтижелері
саналымды шексіз, я саналымсыз жиын болуы мүмкін. Сонымен,
ықтималдықтың классикалық анықтамасын сынау нәтижесінің саны шексіз тең
мүмкіндікті (тең ықтималды) тәжірибеге қолдануға болмайды. Осындай
жағдайды сипттауға ықтималдықтың геометриялық анықтамасы ыңғайлы. Ол үшін
біз G жиынында нүкте бірқалыпты үлестірілген деп ұйғарамыз, ал мұның
қандай да ішкі жиынын g деп белгілеуге болады (1сурет). Ол уақытта G
облысына лақтырылған нүктенің g облысына түсуін А оқиғасы деп белгілеп,
оның ыктималдығына мынадай анықтама беруге болады.
Анықтама. g облысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің (А оқиғасы) осы
облысқа түсу ықтималдығы g өлшемінін, G облыс өлшеміне (ұзындық, аудан,
көлем) катынасына тең, яғни
Мұнда да ықтималдықтың
классикалық анықтамасында айтылған үш қасиет орын алады.
1°. Р(g) теріс тақбалы емес, яғни Р0.
2°. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни Р(G) =1.
3°. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысынын ықтималдығы олардың
ықтималдықтарының, қосындысына тең.
Бұл соңғы қасиет үйлесімсіз оқиғалар саны шекті және саналымды шексіз болса
да орын алады дейміз.
Геометриялық ықтималдықтар схемасы астрономия, атомдық физика, биология
және т. с. с. салаларда пәрменді қолданыс тауып отыр. Ескертетін бір жайт —
реал құбылысты сипаттауға классикалық та, геометриялық та схеманы алуға
болады. Бірақ геометриялық ықтималдықтар схемасында алынған модель
классикалық схемаға қарағанда айқын емес. Әрине бір реал құбылысты
сипаттайтын әр түрлі модельге сәйкес түрлі ықтималдықтарды алуға болады.
Тарихи традициялық мына екі мысалды келтірейік.
1 мысал (кездесу туралы есеп). Екі адам (А мен В) сағат 18 бен 19
аралығында кездесуге уәделескен.
Қайсысы бұрын келсе, сонысы 20 минут күтеді,
сол
мезгілде екіншісі кемесе қайтып кетеді. Егер
әрқайсысының сол уәделескен уакытта келуі бір-
біріне тәуелсіз және кездесуі кездейсоқ болса,
онда А мен В-ның кездесу ықтималдығы неге тең.
Ш е шу і. А-ның уәделі жерге келу
уақытын х,
теңсіздіктермен анықталады:18(сағ)(сағ)
В-ның келуін у арқылы белгілейік. Уақыт
өлшемін минут деп минут деп қабылдасақ, онда
олар тек мин
13сурет
болғанда ғана кездеседі. Бұл жағдайда барлық нәтижелер жиыны мына
және
18 (сағ) (сағ) Кездесуге қолайлы нәтижелер жиыны мына тенсіздікпен
берілген: немесе -20 Осы колайлы нәтижелер сызылған
жолақта орналасқан (13сурет).
Бұл суретте
Ал, сол екі адам уәделі жерде 0, t уақыт аралығында
уақытта кездесетін болса, онда
Дербес жағдайда t = 1, = 13 ,болса онда
2мысал. (Бюффон есебі). Жазықтықка бір-бірінен 2а кашьіктықта
орналасқан шексіз көп параллель тузулер үйірі жүргізілген. Сол жазықтыққа
үзындығы 2l-ге (l) тең ине қалай болса солай лақтырылсын. Иненің үйір
түзулерінің кем дегенде әйтеуір біреуімен қиылысу ықтималдығын анықтау
керек.
Ш е ш у і. х арқылы кесінді ортасы 0-мен жақын тузуге дейінгі аралықты
белгілейік. Ал аркылы иненің осы параллель түзумен қиылысу бұрышын
белгілейік (2, а-сурет). Бұл х және шамалары жақын түзуге қатысты
кесіндінің жағдайын анықтайды. Сондықтан сынау нәтижелерінің жиыны ,
теңдсіздіктерімен сипатталады . Декарт оординаталарында (, х)
кабырғаларының ұзындығы а және болған тіктөртбұрыш болады (2, ә-
сурет).
Енді қолайлы нәтижелер жиыны g-ны табайық. Әрине, ине параллель
түзулердің бірін қиюы үшін болуы қажетті де жеткілікті (мұнда
х0). Бұл теңсіздіктерді қанағаттандыратын (, х) нүктелерін
абсциссалар өсімен бұрышын жасайтын сәулемен және қисығымен
шектелген фигура ішінде жатады. Олай болса, іздеген ықтималдық
Р(А) = Яғни
Бұл есеп нәтижесін ғалымдар дің жуық мәнін анықтауға пайдаланған.
Мұндай инені лақтырып тәжірибе жүргізгендер көп болған. Бұлар инені п рет
лақтырғанда түзуді қанша ретінде қиюын (m-ді) анықтап отырған. Бұл жағдайда
Р(А) ықтималдығы f(А)=mп салыстырмалы жиілігіне (ықтималдығына)
жақындайды, яғни
(2)
Бұл өрнектен
Осы фомуланы лайдаланып мәнін табу үшін мына кестедегі
мәліметтерді пайдаланайық.
Эксперимент Жылы Инені лақтыру саныСызықты қию саны -дің
жургізіңдер жуық мәні
Вольф 1850 5000 2532 3,1596 3,1795
Рейн 1925 2520 859
2-кесте
Оны мына мысалда көрсетейік. Вольф ине ұзындығын 7,2см етіп, ал
іргелес параллель тузулер аралығын 9см (яғни 2l = 7,2 см, 2а=9см )етіп
алады. Сонда
1.3.2. Статистикалық заңдылық және ықтималдықтың жиіліктік
анықтамасы.
Құбылыстарды сипаттауға ыктималдықтың статистикалық анықтамасын колданайық.
Статистикалық анықтама тәжірибені (сынауды) сан рет қайталап, нәтижелерін
(оқиғаны) регистрациядан өткізуге (тізбегін жасауға) сүйенеді. Сынау көп
жургізілгенде оқиғаныд бірнеше рет пайда болуы не болмауы мумкін. Оқиғаның
пайда болу (болмау) санын бұдан былай жиілік немесе абсолюттік жиілік
дейтін боламыз. Ал жиіліктің барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы
жиілік дейміз. Сонда сынаудың жалпы санын п десек А оқиғасының қайыра пайда
болу санын (жиілігін) m десек, онда А оқиғасының салыстырмалы жиілігі
мынаған тең болады: f(А) = тп. Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі
тұрақты болмай бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгеріс артып отырады.
Ал сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының
салыстырмалы жиілігі тұрақтана түседі. Мұндай жағдай физика техникалық
бақылауларда, биологияда, экономикада және т. с. с. байқалады.
Бұл айтылғандарға алдымен төменгі мысалдармен түсініктеме берейік.
3 -м ы с а л. Теңгені п рет лақтырып, оның герб жағының пайда болу
жиілігін анықтау үшін Бюффон және К. Пирсон жургізген тәжріибе
қорытындылары 3-таблицада келтіріліп отыр.
3-кесте
Эксперимент Лақтыру саныГерб тусу Салыстырмалы
жүргізгендер саны
ЖНіЛіГі
Бьюффон К.Пирсон 4040 12000 2048 6019 0,5080
К.Пирсон 24000 12012 0,5018
0,5005
Бұл келтірілген мысалдан сынау саны мейлінше көп болса, салыстырмалы жиілік
мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз, біздің мысалымызда 0,5-ке
жуықтайды. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да
объективті қасиеттер бар екені және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі.
Бұл қасиет сынау саны артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет кандай да
бір тұрақты шамамен (санмен) өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың
объективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақтыны (санды, мөлшерді)
кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп оны бұрынғыша Р(А) арқылы
белгілейміз. Осылай анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық
ықтиамалдық деп атайды. Сонымен, ықтималдықтың статистикалық анықтамасында
Р(А) f(А) деп қабылдайды.
Ықтималдықтың ілгеріде келтірілген қасиеттері статистикалық тұрғыдан
анықтағанда да орындалады:
1 Салыстырмалы жиілік mп теріс таңбалы болуы мумкін емес,
өйткені демек,
2°. Ақиқат оқиға сынауды эрбір қайталауда пайда болады, сондықтан т = п
демек, Р(А)=1
3°. А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, бұлардың косындысының
ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни п - сынаудың
жалпы саны, А оқиғасының пайда болу жиілігі т1 В оқиғасының пайда болу
жиілігі болса, онда
(3)
Классикалық анықтамада келтірілген осы негізгі үш қасиеттен шыққан басқа
қасиеттер орындалады. Ықтималдықтардың жоғарыда аталған қасиеттері әр
түрлі кездейсоқ оқиғалар жүйесі үшін орын алады.
Классикалық анықтама негізінде ықтималдықтар теориясын құрған сияқты,
статистикалық анықтама негізінде де аталмыш теорияны кұруға болады.Назар
аударатын бір мәселе — статистикалық ықтималдықтың сандық мәнінің белгісіз
болуы. Әдетте, сынау саны өте көп болғанда ықтималдық мәніне де А-ның
салыстырмалы жиілігінің өзі алынады, не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан
алынады. Ондай санға, мысалы жеткілікті үлкен бірнеше сериядан іріктеліп
алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады.Бұл
анықтаманын, іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар,
өйткені бас жиынды зерттеуге мүмкіндік болмай қалады, сондықтан оның,
бөлігін (таңдаманы) зерттеуге мәжбүр боламыз. Сөйтіп тандаманы зерттеу
нәтижесінде кездейсоқ оқиғанын, салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы
таңдамадағы салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сандық мәнін
бағалаймыз бұл қарастырып отырған кұбылыстың сандық сипаттамасы болып
табылады. Мұның, теориялық негіздемесі үлкен сандар заңына сүйенеді.
Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен практиканы (статистиканы) ұштастыратын
маңызды дәнекер модель — үлкен сандар заңы. Бұл заңның математикалық
дәлелдемелерін кейінге қалдыра отырып, қарапайым негіздемесін
келтірейік.Бұл негіздеме практикалық сенімділік принцип ұғымына байланысты.
Сондықтан алдымен осы ұғымды түсіндірейік. Іс жүзінде мүмкін емес және
ақиқат оқиғалар орнына практикалық мүмкін емес және практикалық ақиқат
оқиғалар болады. Өйткені қандай да оқиға ықтималдығы нөлге жуық болса,
ондай оқиғалар ете-мөте сирек пайда болатын емір тәжірибесінен аян.
Екінші сөзбен айтқанда, кейбір оқиға ықтималдығы мейлінше кіші болса,
ондай оқиға бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды деп ұйғарамыз. Бұнда
ол оқиғаның әйтеуір бір уақытта пайда болуын жоққа шығармаймыз. Бұл
принципті біз әрдайым күнделікті өмірімізде қолданып отырамыз. Сонымен,
практикалық мүмкін емес оқиға деп ықтималдығы нөлге тепе-тең. емес, бірақ
оған мейлінше жуық болған бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды
делінген оқиғаны айтамыз.Практикалық ақиқат оқиғаны да практикалық
мүмкін емес оқиға сияқты анықтайды. Өйткені оқиға мүмкін емес болса, оған
қарама-қарсы оқиға ақиқат оқиға болады. Олай болса, практикалық ақиқат
оқиға деп ықтималдығы бірге тең емес, бірақ оған мейлінше жуық болған
оқиғаны айтамыз. Ықтималдықтар теориясының практикалық колданылуы осы
практикалық ақиқат және практикалық мүмкін емес оқиғалар ұғымдарына
сүйенеді. Сондықтан бұл ұғымдардың алатын орны үлкен.Айтылып отырған
практикалық ақиқаттық (сенімділік) және практикалық мүмкін еместік
(сенімсіздік) ұғымдарын кейде практикалық сенімділік принципі деп атайды.
Бұл принциптің анықтамасы мынадай. Қарастырып отырған процесте А оқиғасының
ықтималдығы мейлінше аз (мейлінше үлкен) болса, онда тәжірибе бір рет
орындалғанда А оқиғасының пайда болмауын (болуын) іс жүзінде үлкен
сенімділікпен (ықтималдықпен) айта аламыз. Практикалық сенімділік принципін
математикалық дәлелдеуге де болмайды. Өйткені, оқиғаның практикалық
сенімділігі (сенімсіздігі) оның ықтималдығына байланысты анықталады.
Мысалы, самолеттің авария болу ықтималдығы 0,05 тіпті 0,01 болса, онда
авиациямен жолаушыларды тасу іс жүзінде пайдаланылмаған болар еді. Ал егер
де екі қала аралығын өлшеуде кететін қате ықтималдығы 0,05 болса, мысалы,
әр километрге 50 см қате болса, одан ешқандай зиян болмайды. Бұл қатені
ескермеуімізге болады.Сонымен, ықтималдықтар теориясының әрбір қолдану
саласына тән өзінін, практикалық сенімділігі (ықтималдығы) беріледі. Оны
біз шекаралық ықтималдық дейміз. Мұндай шекаралық ықтималдыққа көп жағдайда
0,90; 0,95; 0,99 сандары алынады. Аталған сандарды, мысалы 0,95
ықтималдығын былай ұғамыз: егерде кандай да бір оқиғаны бақылау үшін 100
рет тәжірибе жүргізілсе, оның 95 проценттей нәтижесін дұрыс деп айта аламыз
да, 5 проценттей қателесуіміз мүмкін.
1.3.3. Ықтималдықтың аксиоматикалық анықтамасы. Біз бірінші параграфта
оқиғалар алгебрасы туралы айтқанда сынау нәтижесі шекті оқиғалар болыл
оларға қолданатын операциялар шекті де, саналымды шексіз де және саналымсыз
да болуы мумкіндігін ескерткен едік. Енді оқиғалар алгебрасы ұғымын
кеңейтеміз. Бұл үшін оқиға болатын ішкі жиындар класын кұрудың қажеттігі
туады.
2. Қосылыстар теориясы элементтері.
Берілген Ω жиынының элементтерінен құрылған оған кірме әр түрлі
жиындары қосылыстар (комбинациялар) деп, математиканың қосылыстар
теориясын зерттейтін бөлімі комбинациялық талдау деп аталады. Бұл
бөлімнің негізгі принципі- көбейту ережесі : егер әрбір қосылысын
тәсілмен құру мүмкін болса, онда бірге алғанда олардың бәрі
тәсілмен құрылады.
Әр элементіне сандардың натурал қатарынан номер тағылған шекті
жиынды реттелген жиын дейміз. Реттелген шексіз жиын санамалы жиын
делінеді.
Бір-бірінен элементтерінің ретімен (орындарымен) ғана ажыратылатын
n элементті әр түрлі (реттелген) жиындар n элементтен жасалған
орынауыстырулар деп аталады. Олардың саны
!
(2.1)
Реттелген болуы міндетті емес Ω және ω (ω) жиындары сәйкес n
және m (m≤n) элементтен құрылған делік. Бір-бірінен құрамымен ғана (реті
ескерілмей) ажыратылатын барлық ω қосылыстары n элементтен
m-нен жасалған терулер деп аталады. Олардың саны
(2.2)
Ньютон биномның формуласын енді
(2.3)
түрінде жазуға болатындықтан (2.3) сандары биномдық коэффициенттер деп те
аталады. Олардың симметриялық қасиеті бар және рекурренттік қатынастарды
қанағаттандырады:
, (2.4)
Жеке жағдайда: a=b=1 (2.4)-тен
Бір-бірінен не құрамымен , не элементтерінің ретімен ажыратылаты n
элементтен m-нен (m≤n) жасалған қосылыстар n элементтен m-нен жасалған
орналастырулар деп аталады. Әрбір n элементтен m-нен жасалған теруден
орын ауыстырулар арқылы m! орыналастырын жасауға болады. Ендеше, n
элементтен m-нен жасалған орналастырулардың саны
(2.5)
Шекті (n элементі бар, реттелген болуы міндетті емес) Ω жиыны
кездейсоқ үлгіде сәйкес элементтен тұратын k кірме жиындарға
бөлшектенген десек , бөлшектеу әдістерінің саны
(2.6)
Бұл (полиномдық тәсіл) биномдық схеманың жалпыланған түрі.
Шынында да, (2.6)-де k=2 () десек, (2.2)-ке келеміз.
Енді Ω жиынына кірме құрамында
элементі бар реттелмеген қосылыс құралық. Әрбір
-ден элемент алсақ, (2.2)-нің және көбейту ережесінің
негізінде мұндай қосылыстардың саны
өрнегімен анықталады. Бір ғана қосылыс үшін бұл өрнек (2.2)-ге
айналады, яғни полиномдық схема биномдық жүйеге ауысады.
2-есеп. Сөреге (төртбұрышты) тәуекел қойылған 8 кітаптың қалаулы
екеуі қатар орналасуының ықтималдығын табыңыз.0
Шешу. Кітаптардың (нөмірленген) реттелген жиынын 8 элементтен жасалған
орын ауыстырулар деп қарасақ,. Сөреде көрші орындардың 7 қосағы бар.
Олардың әрқайсысында аталмыш кітаптар екі әдіспен орналаса алады. Қалған
кітаптардың орналасу мүмкіндіктерінің саны Көбейту ережесі
бойынша Талап етілген ықтималдық .
3. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. Шартты ықтималдық.
Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге
тең емес:0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда
екіншісінің ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз.
Қалған жағдайларда олар тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің
анықтамасы ретінде
(3.1)
теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін
тексеруге қолданылады.
Шекті оқиғалар жиынының кез келген m элементінен
жасалған теру үшін
(3.2)
болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n2)
жиынтығында тәуелсіз болуының қажетті шарты олардың қос-қостан тәуелсіз
болуында. Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін
(3.3)
теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп
аталады.
Тәуелді оқиғалар үшін
0,0 (3.4)
саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі пайда болғанда
екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады.
Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың
классикалық схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін
n=N(Ω) нәтижесінің A оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет)
десек, Оқиғаның (A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске
асқандығын көрсетеді.
Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже
мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның
да, демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе
(3.4)-тің екінші формуласына келтіреді:
Тәуелсіз оқиғалар үшін
Егер болса, (3.4)-тегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда
тәуелді оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
(3.5)
түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін
қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес оқиғалары үшін
(1.13)-ті жалпы түрде
(3.6)
деп жазуға болады.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің
пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
()
(4.1)
Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін , соның
ішінде оқиғасының пайда болуына нәтиже қолайлы болсын.
Оқиғаларға мүмкін (жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы
алынған оқиғаны күрделі оқиға дейміз. Күрделі оқиғасы пайда болу
үшін қосылғыш оқиғалардың кез келген біреуі пайда болса болғаны, демек,
оған нәтиже қолайлы.
Классикалық схема бойынша
оқиғалары толық топ құрайтын болса, және
ықтималдықтардың екінші аксиомасына сай . Әдетте (4.1)
ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен
дәлелдеусіз қабылданады.
Бірікпейтін (k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды): . Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ:
(4.1) түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін оқиғасының
пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда аймағына
сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(4.2) түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
(4.3)
түрінде жазылады.
Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі есептеулерді
талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда
болу ықтималдығы
(4.4)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-
қарсы оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(4.5)
Бұл шарт және қарама-қарсы оқиғалары үшін де
орындалады, демек, Жалпы түрде
.
(4.6)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
(4.7).
5. Толық ықтималдық формуласы.Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы
сол тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар
(болжамдар) деп аталатын нәтижелерінің бірімен ғана қосарласа
пайда бола алсын. Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын : 0
классикалық тәсіл бойынша тәжірибеге дейін (априорлық түрде) анықтауға
болады. Болжамдар қос-қостан бірікпейтін болғандықтан күрделі
оқиғалары да сол шартты қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының
қосындысы оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны
ықтималдықтарды қосу аксиомасының (4.3) және ықтималдықтарды көбейту
формуласының (4.6) көмегімен табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы
іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны. Сондықтан
(5.1)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп , оқиғасының пайда болғаны белгілі болды
делік. Бұл күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген
сөз; (3.6) бойынша
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
(5.2)
Байес формулалары деп аталатын бұл теңдіктер бақыланып отырған A
оқиғасының пайда болғаны туралы ақпарат алынғаннан кейін әрбір болжамның
орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді.
6.Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
6.1. Бернулли формуласы.
Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты
және ол р-ға тең болса, онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде, ол
оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы
(1)
Формуласымен есептеледі.
Дәлелдеуі. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде,
ол оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік.
Оқиғаның (Аоқиғасы) m рет пайда болуының және n-m рет пайда
болмауының ( – ның) барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық:
Бұл тізбек мүшелерінің бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу
ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет, оқиғасы
n-m рет енетін қайталамалы алмастыру деп қарастыруға болады. Олардың
саны
Тізбек мүшелері қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да
біреуінің орындалуынан В оқиғасы пайда болып отырады, бұл жағыдай
былай жазылады:
Қосу теоремасы бойынша
Теңдіктің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық. Ол
үшін Р(АА...А) ықтималдығын қарастырайық. Бұл А оқиғасының m
рет алынған р ықтималдылықтары мен оқиғасының n-m рет
алынған q ықтыималдылықтарының көбейтіндісіне тең, яғни
Р(АA...А) = Р(А)Р(А)...Р(А)Р()Р()...Р() = рр...
qq... q= .Қалған ықтималдылықтардың да осы өрнегіне тең
екенін байқауға болады. Енді қосылған ықтималдықтар санын ескеріп, Р(В)
ықтималдығын былай жазамыз: Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл
m рет пайда болу ықтималдылығы Р(В)-ны жеңіл түсіну үшін деп
жазамыз, сонда
Осымен теорема дәлелденді.
1-мысал.Нысанаға 3 рет оқ атылды. Әрқайсысының дәл тию
ықтималдылығы бірдей және ол 13-ге тең. Нысанаға дәл екі оқтың
тию ықтималдылығы неге тең ?
Шешуі. Бұл мысалда нысананы көздеп әрбір жеке ату сынау
болады. Сонда барлығы 3 сынау жүргізілді. Бір рет атылған оқтың
тию-тимеу нәтижесі екінші атылған оқтың тию-тимеуіне тәуелді емес, яғни
бұлар- тәуелсіз сынаулар. Оқтың бір атқанда нысанаға дәл тиюі А оқиғасы
десек, онда тимеуі оқиғасы болады. Олай болса, берілген шарт бойынша
p=P(А)=13, q=P()=1-p=23.
Оқ үш рет (n=3) атылғанда нысанаға дәл екі рет (m=2) тиюі В
оқиғасы болсын. Әрине, бұл күрделі оқиға. Өйткені бұл оқиғаның құрамында
алғашқы екі оқ тиіп, үшіншісі тимейтін (АА оқиғасы), не бірінші мен
үшінші оқ тиіп, екіншісі тимейтін (АА оқиғасы), не екінші және
үшінші оқ тиіп, біріншісі тимейтін (АА оқиғасы) оқиғалар ұшырасуы
мүмкін. Сонымен іздеген ықтималдық-
P(B)=
Ықтималдықтың бұл мәнін мынадай деп ұғамыз: әрбір үш реттен
атылған оқ бір серия құрап, мұндай серия өте көп орындалса, онда орта
есеппен әрбір 100 серияның 22 сериясында атылған үш оқтың дәл екеуі
нысанаға тиеді.
2-мысал. Туған нәрестенің ұл я қыз болу ықтималдығы бірдей болады
дейік. Үш баласы бар семья балаларының дәл екеуінің ұл болу ықтималдығы
қандай?
Шешуі. Мұнда n=3, m=2, p=q=0.5.Сонда P(2)=
(0,5)²(0,5)=0,375. Үш балалы өте көп семьяларды алсақ, онда олардың дәл
екеуі ұл, біреуі қыз бала болып кездесетін семья 37,5% болатынын, ал
қалған 62,5 % семьяларда не үшеуі де ұл бала, не біреуі ұл, екеуі қыз,
не үшеуі де қыз бала болып келеді дегенді білдіреді.
Келтірілген мысалдарда n мәні аз болады, n мәні үлкен
болғанда ықтималдықты (1) формуласы бойынша есептеу қиынға соғады.
Сондықтан, логарифмдеуді пайдаланып есептеуді немесе Бернулли
формуласын мейлінше жуық дәлдікпен анықтайтын шектік формулаларды
іздестіруді керек етеді. Мұндай формулалар келесі параграфта келтіріледі.
Алдымен факториалдар логарифмдерінің таблицасы мен Стирлинг
формуласын пайдаланып шығаруға бір мысал келтірейік.
3-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы -0,51. Жаңа туған 100
нәрестенің дәл 50-інің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шарт бойынша n=100, p=0,51, q=0,49. (1) формула
бойынша
=С.
Мұнда n мәндері үлкен, демек, тікелей (1) формуласы есептеу көп
уақытты талап етеді. Сондықтан жылдам есептеудің үш жолын келтірейік.
Олардың біріншісі факториалдар логарифмдеріне, екіншісі Стирлинг
формуласына, үшіншісі Лаплас формуласына сүйенеді.
1.Соңғы теңдіктің екі жақ бөлігін де логарифмдейміз. Сонда lg
P=lgC+50 lg 0,51+50 lg 0,49
Факториалдар логарифмдерінің таблица бойынша lgC=lg(100!)-
2lg(50!)=29,0038. Ал lg=0,5l=0,2924, lg0,49=0,3098; сонда lg (0,5l)=50
lg 0,5l=-l4,6200; lg(0,49)=50 lg 0,49=-l5,4900.
Демек lgP(50)=29,0038-14,6200-15,4900=-1, 1062=2,8938.
Бұдан іздеген ықтималдығымыз -P=0,07830,078 екені табылады
2.n! логарифмінің таблицасы болмаған жағдайда Стирлинг формуласын
пайдалануға болады:
n!= n, (2)
немесе n!.
Бұдан
lg n!=0,5 lg 2+0,5 lg n+n lg n-n lg e болады. Сонда lg 100!=0,5 lg
6028 +0,5 lg100 +100 lg100-100 lg2,71= 0,5*0,843+0,5*2+100*2-
100*0,4343=0,4215+1+200-43,43=158,1 202, lg
50!=0,5*0,843+0,5*1,6990+50*1,6990- 50*0,4343=64,5710.
Ақырындаlg C=158,1215-129,1426=28,9790. lgP(50)-28,9790-14,6200-
15,4900=-1,1310=2,8690.
Бұдан іздеген ықтималдығымыз-(50)=0,0741.
Сонымен, факториалды пайдаланып есептеу дәл есептеуден 0,004, яғни 4
мыңдық үлес қаңа айырмашылық берді. Сөйтіп, ықтималдықты Стирлинг
формуласын пайдалану арқылы есептегенде болатынын көрдік. Алайда бұл екі
тәсілмен есептеу көп уақытты алады, сондықтан алдағы параграфтарда
Бернулли формуласын мейлінше жуық аппроксималайтын формулаларды
келтіреміз.
6.2. Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
(1) формуладағы m-ның мәндері 0, 1, 2, ... , n болуы мүмкін.m-нің
көрсетілген мәндеріндегі оқиғалар бір-бірімен үйлесімсіз барлық
мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы
- ақиқат оқиға. Ал ақиқат оқиға ықтималшдығы бірге тең болғандықтан,
+немесе (3)
1) формуладағы осы теңдікке мәнін қойсақ, (3´) теңдігі
шығады.
(3) формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0, 1, 2, ... , n
мәндеріне сәйкес ықтималдықтарына жіктеледі. Сондықтан m=0, 1, 2, ...
,n болғанда формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестіруі заңы
деп атайды. Ал m-ның дербес мәніне сәйкес ықтималдық биномдық
ықтималдық деп аталады. Биномдық үлестіру заңын таблица арқылы
көрсетуге болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында m мәндері,
екіншісінде оларға сәйкес ықтималдығы мәндері келтірілген.
Жоғарыда аталған биномдық, биномдық ықтималдық
терминдерінің шығу төркінін түсіндіре кетейік. Әрбір сынауда А оқиғасы
не оқиғасы пайда болатындықтан, P(A)+P()=1 не p+q=1 n
рет тәуелсіз сынау жүргізсек, онда көбейту теоремасы бойынша
(4)
биномын Ньютон формуласы бойынша жіктесек,
болады.Бұл өрнекті шамасының коэффициенті - .Егер,t=1 десек,
онда (4) формуласы шығады, яғни
. (4´)
Сонымен мұндағы m=0, 1, 2, ..., n мәндеріне сәйкес ықтималдығын
биномдық деп аталу себебі оның биномдық Ньютон формуласы бойынша
жіктеуге ұқсастығында.
Бұл ықтималдықтарды график түрінде кескіндеуге де болады. Ол үшін
мысал келтірейік.
4-мысал. 1-мысал шартын пайдалану арқылы n=10, p= болғанда m=0,
1, 2, ..., 10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп, графигін сызу
керек.
Шешуі. Іздеп отырған ықтималдықтарды (1)формуласы бойынша
есептейміз,
болып шығады.
Ықтималдықтар мәнінің суретін салу үшін абсциссалар осіне m-ның мәңдерін,
ординаталар осіне мәндерін саламыз. Ал бұл суреттегі әрбір m=0, 1,
2, ... , 10 мәндеріне сәйкес мәндерінің ұштарын қоссақ, онда 2-суретте
көрсетілген көпбұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестіру көпбұрышы
деп те атайды.
Сонымен, биномдық ықтималдықтар үлестіруі формула, таблица және
график түрінде берілетінін көрдік.Бұлардың әрқайсысын биномдық заң
деуімізге болады.
6.3. Ең ықтималды сан. Биномдық ықтималдықтарды есептеудің
рекурренттік формуласы.
Енді ықтималдығын аргументі m бүтін сан болатын функция деп
қарастырайық. Сөйтіп, m-ның артуына байланысты қалай өзгеретінін
анықтайық.. 4-ші мысалға зер салсақ, функциясы аргумент m
артқанда, m-ның белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум мәнін
қабылдайды да, қалған мәндерінде мәні кеміп отырады. -ның
ен үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін мода немесе ең ықтималды
сан деп атайды. Бұл мәнді арқылы белгілейік. Енді осы ең
ықтималды сан -ді анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін
ең үлкен ықтималдықты деп ұйғарайық та, оның алдындағы мен
одан кейінгі ықтималдықтарын алайық. Сонымен,
(6)
болады. Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда
=
болып келеді. Бұдан екені шығады. Екінші теңсіздіктен
.
Бұдан mnp-q. Бұл екі теңсіздікті біріктіргенде np-
gmnp+p, болады бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін
түрлендірейік:
np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.
Сонымен, алдыңғы теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір
бүтін бірлікке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса,онда айырымы
бірге тең екі бөлшек сан шығады, бірақ m мәні бүтін сан
болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады.
Сонымен, функциясының m-ға байланысты өзгеруін толық
айқындадық деуге болады, яғни мәні m-ның мәні np-q-дан кем болғанға
дейін мәні артады, одан кейін келесі мәнінде бұл функция ең
үлкен мән қабылдайды, m-ның np+p –ден артық мәндерінде
кемиді. Қорыта айтқанда, ең ықтималды сан мәні np-q (не np+p)
мәніне тәуелді. Егер np-q (не np+p) бөлшек сан болса, онда
(7)
болады. Ал, np-q (не np+p) бүтін сан болса, онда мәндерінің
екеуі де ең ықтималды сан болады, өйткені яғни екі ықтималдықтың
да мәндері ең үлкен болады.
5-мысал. 4-мысал бойынша ең ықтималды сан
мәнін
анықтау керек.
Шешуі. np+p=10. 13+13= , демек, . Бұған сәйкес
ықтималдық-
Шынында да, бұл ықтималдық қлған ықтималдықтадың бінен де үлкен . Ең
ықималды санды пайдалану нәтижесінде биномдық ықтималдықтарды жылдам
есептеудің рекурренттік формуласын келтірейік. Бұл формуламен ЭВМ-ді
пайдалану арқылы биномдық ықтималдықтарды есептеу өте-мөте қолайлы.
Есептейтін ықтималдықтың мәні белгілі үлестегі дәлдікке дейін ғана
алынатын жағдайда бұл формуланы пайдалану аса қажет, өйткені m мәні
0-ге немесе n-ге жуық болғанда, оған сәйкес ықтималдық мәні
қалғандарынан мейлінше аз болып есепке алынбайды. Сонымен, мода
-ге сәйкес ең үлкен ықтималдық, мәні болып шығатынын
айқындаймыз.
Одан соң басқа ықтималдықтар төмендегі рекурренттік формула бойынша
оп-оңай есептеледі.
Бұл формулалардың (6) теңсіздіктерінен алынғандығын байқау қиын
емес. Сонымен, m болғанда,
(8)
теңдіктері шығады. Егер болса, онда
(8)'
...
болады, мұнда және .
6-мысал. 4-мысалдың шарты және 5-мысалда табылған ең ықтималды
сан m және оған сәйкес ең үлкен ықтималдық мәні 0,26 бойынша
барлық биномдық ықтималдықтардың мәнін жүздік үлеске дейінгі
дәлдікпен есептеу керек.
Шешуі. Бұл ықтималдықтарды (8) формуласы бойынша анықтаймыз.
Сонда m=3, P(3)=0.26 мәндері бойынша мына төмендегі
ықтималдықтар есептеледі;
(8)формуласымен есептесек, мынадай болады:
Қалған P(9)және P(10) ықтималдықтарын есептеудің қажеті жоқ,
өйткені олардың мәні 0,01-ден аз.
Біздің мысалымызда n-ның мәні аз, ал n үлкен болғанда
есептелетін биномдық ықтималдықтар саны көп азаяды. (7) теңдігін n
мейлінше үлкен болғанда, ең ықтималдық сан m жуық шамамен np-ға
тең, яғни np, ал m-нің n-ға қатынасы жуық шамамен оқиға
ықтималдығы р-ға тең. Келешекте көп жағдайда mмәні үшін осы np
мәнін аламыз.
Қарастырған мысалдарда n мәні тұрақты болып келді. Егер
р(q)мәні тұрақты болып, n өзгеріп отырса, онда ең ықтималды сан
mмәні n-ның өсуімен артады да оған сәйкес ықтималдық кеміп
отырады. Оны төмендегі 7-мысалдан және оның сәйкес 3-суретінен
байқауға болады.
7-мысал. P=13 (q=23)және n=5, 10, 20, 100 болғанда, ең
ықтималды сан m мәнін анықтау керек және оған сәйкес
ықтималдық мәнін есептеу керек; қалған ықтималдықтарды (8) және (8)
рекурренттік формулаларын пайдалану арқылы мыңдық үлеске дейінгі
дәлдікпен есептеуді оқушыларға тапсырамыз.
Шешуі: 1. n=5 болғанда және . 2. n=10 болғанда
және 3.n=20 болғанда және 4. n=100 болғанда
және Бұл келтірген мысалда ең ықтималды сандарға сәйкес
биномдық ықтималдықтарды график түрінде келтірсек, айтылған қасиет ап
айқын көрінеді.
6.4. Биномдық ықтималдықтар қосындысын есептеу.
Осы уақытқа дейін сынауды n рет қайталағанда, оқиғаның дәл m рет
пайда болу ықтималдығын есептедік. Бұған қарағанда оқиғаның m
реттен m ретке дейін пайда болу ықтималдықтарын анықтаудың
практикалық мәні зор. Сондықтан m, m+1, m+2,...,
m-1, m мәндеріне сәйкес Р (m), Р( m+1),
Р( m+2), ..., Р(m-1), Р(m) ықтималдықтары
қосындысын анықтаймыз. Ол , немесе (9)
болып келеді. Сондай - ақ, оқиғаның қайталану саны m ден кем
емес және m- ден артық емес болғанда сәйкес мынаған тең:
(10)
және
(11)
Әрине, (10) формуласындағы m саны 0-ге жуық болса, онда (10)
формуласын пайдалану нәтижесінде мынаны табамыз:
(12)
өйткені
Ал(11)формуласындағы mсаны n-ге жуық болса, оны былай жазамыз:
(13)
Көп жағдайда оқиғаның кемінде бір рет пайда болу ықтималдығын
анықтаудың айтарлықтай практикалық мәні бар. Ол ықтималдық мынадай:
(14)
Бұл формула бойынша оқиғаның кем дегенде бір рет пайда болу
ықтималдығымен әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы
берілсе, оған сәйкес сынау санын анықтауға болады. Ол үшін (14)
теңдігінің екі жағын да логарифм десек жеткілікті, сонда
(15)
8-мысал. 4-мысалдың шарты бойынша оқтың нысанаға:
а)кемінде бір рет;
ә)кемінде үш рет;
б)9-дан артық емес рет;
в)4 реттен 8 ретке дейін тию ықтималдығын анықтау керек. (4-
мысалды қараңыз.)
Шешуі. Берілгені n=10, p=13, q=23. a) (14) формуласы бойынша
ә) (12) формуласы бойынша
б) (13) формуласы бойынша в) (9) формуласы бойынша
7.Муавр – Лапластың шектік теоремалары.
Өткен параграфта n үлкен болғанда Бернулли формуласымен есептеудің
қиын екені айтылған-ды. Сондықтан ықтималдықтар теориясында дәл
формулаларды асимптотикалық немесе шектік деп аталатын формулалармен
ауыстыру кең пайдаланылады. Мұндай формулалармен ауыстырғанда тез
есептеумен қатар жіберілетін қатенің мейілінше аз болуын көздейді.
Бұл мәселе ықтималдық теориясында аса бір келелі мәселе болып
есептеледі. Сынау саны n мейілінше үлкен болып, р мәні О мен 1
аралығында(0 мен 1-ге аса жуық емес) болса Лаплас формуласы, ал р
мәні мейілінше 0-ге(не 1-ге) жуық болғанда, Пуассон формуласын
Бернулли формуласының асимптотикалық жуықтауы ретінде пайдаланамыз.
Енді осы формулаларды қорытайық.
7.1.Муавр-Лапластың локальдық теоремасы. Теорема. Егер А оқиғасының
әрбір сынаудағы пайда болу ықтималдылығы р тұрақты болып, 0 мен 1
санына тең болмаса (0p 1) және сынау саны n болса, онда
оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы (m) мен
санының көбейтіндісі
өрнегіне ұмтылады, былайша айтқанда n болғанда
Р(m)= (1)
m-ны ң барлық қабылдайтын мәндерінде (бұл мәндерде х шектеулі
интервалда жатуы тиіс) жинақтылық бірқалыпты болады, мұнда
(2)
Дәлелдеуі. (2) формуласынан бұдан екені шығады, өйткені
n-np=n(1-p)=nq. Енді Стирлинг формуласын пайдалану арқылы Бернулли
формуласын былайша жазамыз:
(3)
мұнда Стирлинг формуласынан
Ал шектеулі аралықтағы мәнді қабылдағанда n болғанда, m және
n- m шексіздікке ұмтылады. Олай болса, n болғанда
е1.Енді (3) теңдіктің оң бөлігіндегі екінші көбейткішті
логарифмдейміз, сонда
(4)
болып шығады.
Логарифмдік функцияны дәрежелік қатарға жіктеу формуласы
мынадай:
Осы формуланы қолдану нәтижесінде (4) теңдігіндегі логарифмдерді
былай жазамыз (қатарға жіктеудің екі мүшесімен қанағаттанамыз):
Қалдық мүшелер х-тің кез-келген өзгеру интервалында бірқалыпты
жинақты. Сонымен,
Бұдан екені шығады.
Сондықтан n болғанда . Енді (3) теңдігінің оң
жақ бөлігіндегі бірінші көбейткішті былай жазамыз:
(5)
n болғанда және х шектеулі аралықтағы мәнді қабылдағанда (5)
теңдігінің оң жағындағы екінші көбейткіші 1-ге ұмтылады. Олай болса,
(3) ,(5) теңдіктерінен теореманың дәлелдемесі шығады.
Сонымен, (1) теңдігінен n-ның мейлінше үлкен мәндерінде мына
жуық формула орын алады:
(1`)
Әдетте мұның оң жағын Р(х) арқылы белгілейді, сонда
(6)
теңдігі шығады, мұны Ланлас формуласы дейміз. Енді
десек, мұнда онда (6) былай болады:
(7)
Бұл ықтималдықты есептеу төмендегі схема бойынша орындалады.
1.Берілген n, р мәндері бойынша nр, , мәндерін есептейді.
2.(2) формуласы бойынша х-тің мәнін табады.
3.х мәні бойынша кітап соңындағы қосымшадағы 1-таблицадан
(х) мәнін табады.
4. (х) мәнін бөлшегіне көбейтіп, Р( m) мәнін
табады. (х) функциясының мынадай қарапайым қасиеттерін
байқау қиын емес.
1.(х) функциясы жұп және оның графигі 0у осіне
қатысты симметриялы, өйткені х-тің дәрежесі жұп, сондықтан (-х)=
(х).
2.Оу осімен қисығы нүктесінде қиылысады, ал х=0
нүктесінде (х)-тің туындысы нөлге тең болғандықтан және бұл
нүктеден өткенде функция мәнінің таңбасы - тен + ке
ауысқандықтан,
нүктесі (х) үшін максимумдық нүкте: х=0 болғанда
(х)-тің максимум мәні болады.
3 у=(х) қисығы 0х осімен қиылыспайды, бірақ оған
асимптоталы түрде жуықтайды. Ал 0х осі бұл қисық үшін горизонталь
асимптота болады, өйткені
4(х)-тің екінші туындысы арқылы, бұл функцияның иілу нүктелері (-
1; (-1) және (1; (1))болатынын табамыз;
5.х-тің 7-таблицада келтірілген бірнеше мәні мен максимумдық
және иілу нүктелері арқылы (х) графигін салу қиын емес. Ол 4-
суретте келтілілген. Бұл қисық ықтималдықтар қисығы делінеді.
7-
таблица
х ...-2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 ...
[pic...0,0540 0,1295 0,2420 0,3989 0,2420 0,1295 0,0540 ...
](х)
1-мысал. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Казіргі уакытта ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
әдістері барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана
емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл ғылымына, педагогика мен
психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға және т. с. с. еніп,
ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын ашатын пәрменді кұралға айналып
келеді. Бұл пән — кездейсоқ кұбылыстар заңдылығымен айналысатын математика
саласы.
Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы бірнеше
сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Еаропа ғалымдары Б. Паскаль {1623—
1662), П. Ферма (1601 —1665), X. Гюйгенс (1629—1695), Я. Бернулли
(1654—1775), А. Муавр (1667-1754), П. Лаплас (1749—1827), Ф. Гаусс
(1777—1855), С. Луассон (1781—1840) және орыс ғалымы Буяковский (1804-
1889) көп үлес қосты.
Бұл ғылымнын келесі дамуы ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев
(1821 — 1894) басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен
байланысты. Атап айтканда, П. Л. Чебышевтың XIX ғасырдың орта кезінде жарық
көрген іргелі зерттеулерінен бастап, Россияда ықтималдықтар теориясы
пәрменді дамыды. Аса ірі еңбектер сіңіріп, жаңа әрі құнды нәтижеге колы
жеткен, орыс-совет ғалымдары А. А. Марков (1856— 1922). А. М. Лупунов
(1887— 1918), А. Я Хинчин (1894 — 1959), А. Н. Колмогоров (1903—1986), С. Н
Бериштейн (1880-1968), В. А. Романовский (1879-
1954), В. И. Слуцкий (1880—1948), В. И. Гливенко (1806— 1940) Б. В.
Гнеденко (1912 туған), Ю. В. Линник (1925— 1972), Ю. В. Прохоров (1929
туған) т. т. есімдері журтшылықа кеңінен мәлім.
I Б Ө Л I М
ықтималдықтар теориясы
І тарау
КЕЗДЕЙСОҚ ОКИҒАЛАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ЫҚТИМАЛДЫҚТАРЫ
1. Оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
1.1. Комплексті шарт, сынау, оқиға, Бұл ұғымдарды түсіндіруді
мысалдардан бастайық.
1. - м ы с а л. Теңгені (металл ақшаны) тептегіс еденге лақтырайық, сонда
мына төмендегі құбылыстарды байқаймыз. Теңгені лақтыру үшін өзімізді,
белгілі бір қалыпқа келтіреміз. Одан соң бас бармақпен теңгенің бір ұшын
жоғары қарай түртіп жібереміз. Сонда ол шыр көбелек айналып, белгілі бір
биіктікке дейін көтеріліп төмен қарай құлдилап, еденге түседі де, бірнеше
рет секіректеп, жалпағынан не тиын жағы, не герб жағы жоғарықарап жатады.
Сайып келгенде, теңге жалпағынан жатуы үшін көптеген кимыл әрекеттер
жасалады, солардың жиыны комплексті шарт деп аталады. Онын тиын (не герб)
жағының. жоғары түсуі (жатуы)—осы комплексті шарттың орындалу нәтижссі —
оқиға деп аталады.
2. - м ы с а л. Біртекті материалдардан жасалған симметриялы кубтың әрбір
жағын 1-ден 6-ға дейінгі цифрлармен нөмірлейік. Оны бір рет лақтырғанда
(комплексті шарт орындалғанда) 6 жағының бірі жоғары қарап түседі қай жағы
(нөмірі) түссе де оқиға болады.
3-мысал. 760 мм қысымдағы суды 100°С-гс дейін қыздырсақ, ол буға
айналады. Судың буға айналуы — оқиға, ал осы бу пайда болғанға дейінгі
барлық әрекеттер жиыны комплексті шарт болады.
Қомплексті шарт термині орнына сынау, тәжірибе, эксперимент терминдерін
де пайдаланады. Біз көбінесе сынау терминін қолданамыз. Бұдан былай сынау
нәтижесін оқиға деп ұғамыз. Әдетте оқиғаларды үлкен әріптер А, В, С, ...
арқылы, ал бұларға қарамақарсы оқиғаларды А, В, С, . . . арқылы
белгілейміз. Мысалы, теңгенің тиын жағының пайда болуы А оқиғасы болса,
герб жағының пайда болуы А оқиғасымен белгіленді және т. с, с.
1.2. Оқиғаларды кластарға бөлу.
Сынау жүргізілгенде А оқиғасы пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін
болса, ондай оқиғаны кездейсоқ оқиға деп атайды. Мұндай оқиғаларға 1, 2-
мысал жатады, өйткені сынау нәтижесінде теңгенің (кубтың) белгіленген
жағының пайда боларын күн ілгері айта алмаймыз. Сынау нәтижесінде оқиға (А
оқиғасы) сөзсіз пайда болатын болса, ондай оқиғаны ақиқат оқиға дейді.
Сынау нәтижесінде оқиғаның (А оқиғасы) пайда болуы мумкін болмаса, ондай
оқиғаны мүмкін емес оқиға дейді.
Ақиқат оқиғаны U әрпімен, мүмкін емес оқиғаны V әрпімен белгілеу
қабылданылған. Мысалы, қобдишаға салынған ақ шарлардың біреуін алсақ, оның
ақ болып шығуы ақиқат
оқиға да, басқа түсте болуы мүмкін емес оқиға. Сынау жургізгенде екі
оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда болмайтын оқиғаларды үйлесімсіз
оқиғалар дейді. Мәселен 2-мысалдағы , А2 (бірінші және екінші нөмірлі
жақтар) оқиғалары — үйлесімсіз оқиғалар, Бұл мысалдағы кез келген екі оқиға
да үйлесімсіз. Кез келген екі оқиғасы үйлесімсіз болатын оқиғалар жиынын
қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар дейді.
Сынау жүргізілгенде оқиғаның бірінің, пайда болуы екіншісінің пайда
болуын жоққа шығармайтындай екі оқиғаны үйлесімді оқиғалар деп атайды.
Мысалы, кубтың жұп нөмірінің пайда болуы (А оқиғасы) мен үш санына еселік
нөмір пайда болуы В оқиғасы үйлесімді. Өйткені кубтың 6- нөмірінін пайда
болуын кәрсететін А6 оқиғасы В оқиғасы пайда болғанда да, А оқиғасы пайда
болғанда да пайда болуы мүмкін.
Сынау нәтижесінде мүмкін оқиғалардың әйтеуір 6іреуінің сөзсіз пайда болуы
ақиқат болса, ондай оқиғаны жалғыз ғана мүмкіндікті оқиға дейді. Жалғыз
ғана мүмкіндікті оқиғалар оқиғалардың толық тобын немесе оқиғалардың толық
жүйесін (системасын) құрады. М.ысалы, сынау нәтижесінде кубтың алты жағының
біреуі (А оқиғасы) пайда болуы сөзсіз, сондықтан , А2, Аз, А4, А5, А6
оқиғалары жалғыз ғана мүмкіндікті оқиғалар және олар оқиғалардың толық
тобын құрайды. Сонымен қатар бұлар қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар.
1.3. Ықпималдықтың геометриялық статистикалық және
аксиоматикалық анықтамалары
Бұған дейін ықтималдықтың классикалық анықтамасын келтіріп, теория
негізінде түрлі есептерді шығардық. Енді ықтималдықтың одан басқа да
анықтамаларын келтіре отырып классикалық анықтамамен салыстырып отырамыз.
1.3.1. Геометриялық анықтама. Өткен параграфта қарастырылған тәжірибе
нәтижелері шекті саналымды болыл келді, практикада кездесетін есептердің
басым кепшілігі бұл схемаға келе бермейді. Өйткені, тәжірибе нәтижелері
саналымды шексіз, я саналымсыз жиын болуы мүмкін. Сонымен,
ықтималдықтың классикалық анықтамасын сынау нәтижесінің саны шексіз тең
мүмкіндікті (тең ықтималды) тәжірибеге қолдануға болмайды. Осындай
жағдайды сипттауға ықтималдықтың геометриялық анықтамасы ыңғайлы. Ол үшін
біз G жиынында нүкте бірқалыпты үлестірілген деп ұйғарамыз, ал мұның
қандай да ішкі жиынын g деп белгілеуге болады (1сурет). Ол уақытта G
облысына лақтырылған нүктенің g облысына түсуін А оқиғасы деп белгілеп,
оның ыктималдығына мынадай анықтама беруге болады.
Анықтама. g облысына лақтырылған кездейсоқ нүктенің (А оқиғасы) осы
облысқа түсу ықтималдығы g өлшемінін, G облыс өлшеміне (ұзындық, аудан,
көлем) катынасына тең, яғни
Мұнда да ықтималдықтың
классикалық анықтамасында айтылған үш қасиет орын алады.
1°. Р(g) теріс тақбалы емес, яғни Р0.
2°. Ақиқат оқиға ықтималдығы бірге тең, яғни Р(G) =1.
3°. Қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар қосындысынын ықтималдығы олардың
ықтималдықтарының, қосындысына тең.
Бұл соңғы қасиет үйлесімсіз оқиғалар саны шекті және саналымды шексіз болса
да орын алады дейміз.
Геометриялық ықтималдықтар схемасы астрономия, атомдық физика, биология
және т. с. с. салаларда пәрменді қолданыс тауып отыр. Ескертетін бір жайт —
реал құбылысты сипаттауға классикалық та, геометриялық та схеманы алуға
болады. Бірақ геометриялық ықтималдықтар схемасында алынған модель
классикалық схемаға қарағанда айқын емес. Әрине бір реал құбылысты
сипаттайтын әр түрлі модельге сәйкес түрлі ықтималдықтарды алуға болады.
Тарихи традициялық мына екі мысалды келтірейік.
1 мысал (кездесу туралы есеп). Екі адам (А мен В) сағат 18 бен 19
аралығында кездесуге уәделескен.
Қайсысы бұрын келсе, сонысы 20 минут күтеді,
сол
мезгілде екіншісі кемесе қайтып кетеді. Егер
әрқайсысының сол уәделескен уакытта келуі бір-
біріне тәуелсіз және кездесуі кездейсоқ болса,
онда А мен В-ның кездесу ықтималдығы неге тең.
Ш е шу і. А-ның уәделі жерге келу
уақытын х,
теңсіздіктермен анықталады:18(сағ)(сағ)
В-ның келуін у арқылы белгілейік. Уақыт
өлшемін минут деп минут деп қабылдасақ, онда
олар тек мин
13сурет
болғанда ғана кездеседі. Бұл жағдайда барлық нәтижелер жиыны мына
және
18 (сағ) (сағ) Кездесуге қолайлы нәтижелер жиыны мына тенсіздікпен
берілген: немесе -20 Осы колайлы нәтижелер сызылған
жолақта орналасқан (13сурет).
Бұл суретте
Ал, сол екі адам уәделі жерде 0, t уақыт аралығында
уақытта кездесетін болса, онда
Дербес жағдайда t = 1, = 13 ,болса онда
2мысал. (Бюффон есебі). Жазықтықка бір-бірінен 2а кашьіктықта
орналасқан шексіз көп параллель тузулер үйірі жүргізілген. Сол жазықтыққа
үзындығы 2l-ге (l) тең ине қалай болса солай лақтырылсын. Иненің үйір
түзулерінің кем дегенде әйтеуір біреуімен қиылысу ықтималдығын анықтау
керек.
Ш е ш у і. х арқылы кесінді ортасы 0-мен жақын тузуге дейінгі аралықты
белгілейік. Ал аркылы иненің осы параллель түзумен қиылысу бұрышын
белгілейік (2, а-сурет). Бұл х және шамалары жақын түзуге қатысты
кесіндінің жағдайын анықтайды. Сондықтан сынау нәтижелерінің жиыны ,
теңдсіздіктерімен сипатталады . Декарт оординаталарында (, х)
кабырғаларының ұзындығы а және болған тіктөртбұрыш болады (2, ә-
сурет).
Енді қолайлы нәтижелер жиыны g-ны табайық. Әрине, ине параллель
түзулердің бірін қиюы үшін болуы қажетті де жеткілікті (мұнда
х0). Бұл теңсіздіктерді қанағаттандыратын (, х) нүктелерін
абсциссалар өсімен бұрышын жасайтын сәулемен және қисығымен
шектелген фигура ішінде жатады. Олай болса, іздеген ықтималдық
Р(А) = Яғни
Бұл есеп нәтижесін ғалымдар дің жуық мәнін анықтауға пайдаланған.
Мұндай инені лақтырып тәжірибе жүргізгендер көп болған. Бұлар инені п рет
лақтырғанда түзуді қанша ретінде қиюын (m-ді) анықтап отырған. Бұл жағдайда
Р(А) ықтималдығы f(А)=mп салыстырмалы жиілігіне (ықтималдығына)
жақындайды, яғни
(2)
Бұл өрнектен
Осы фомуланы лайдаланып мәнін табу үшін мына кестедегі
мәліметтерді пайдаланайық.
Эксперимент Жылы Инені лақтыру саныСызықты қию саны -дің
жургізіңдер жуық мәні
Вольф 1850 5000 2532 3,1596 3,1795
Рейн 1925 2520 859
2-кесте
Оны мына мысалда көрсетейік. Вольф ине ұзындығын 7,2см етіп, ал
іргелес параллель тузулер аралығын 9см (яғни 2l = 7,2 см, 2а=9см )етіп
алады. Сонда
1.3.2. Статистикалық заңдылық және ықтималдықтың жиіліктік
анықтамасы.
Құбылыстарды сипаттауға ыктималдықтың статистикалық анықтамасын колданайық.
Статистикалық анықтама тәжірибені (сынауды) сан рет қайталап, нәтижелерін
(оқиғаны) регистрациядан өткізуге (тізбегін жасауға) сүйенеді. Сынау көп
жургізілгенде оқиғаныд бірнеше рет пайда болуы не болмауы мумкін. Оқиғаның
пайда болу (болмау) санын бұдан былай жиілік немесе абсолюттік жиілік
дейтін боламыз. Ал жиіліктің барлық сынау санына қатынасын салыстырмалы
жиілік дейміз. Сонда сынаудың жалпы санын п десек А оқиғасының қайыра пайда
болу санын (жиілігін) m десек, онда А оқиғасының салыстырмалы жиілігі
мынаған тең болады: f(А) = тп. Жүргізілген сынау саны аз болса, жиілігі
тұрақты болмай бір сынаудан екінші сынауға дейінгі өзгеріс артып отырады.
Ал сынау жеткілікті дәрежеде қайталанып отырса, онда А оқиғасының
салыстырмалы жиілігі тұрақтана түседі. Мұндай жағдай физика техникалық
бақылауларда, биологияда, экономикада және т. с. с. байқалады.
Бұл айтылғандарға алдымен төменгі мысалдармен түсініктеме берейік.
3 -м ы с а л. Теңгені п рет лақтырып, оның герб жағының пайда болу
жиілігін анықтау үшін Бюффон және К. Пирсон жургізген тәжріибе
қорытындылары 3-таблицада келтіріліп отыр.
3-кесте
Эксперимент Лақтыру саныГерб тусу Салыстырмалы
жүргізгендер саны
ЖНіЛіГі
Бьюффон К.Пирсон 4040 12000 2048 6019 0,5080
К.Пирсон 24000 12012 0,5018
0,5005
Бұл келтірілген мысалдан сынау саны мейлінше көп болса, салыстырмалы жиілік
мәні тұрақтылық қалыпқа түсетінін байқаймыз, біздің мысалымызда 0,5-ке
жуықтайды. Екінші сөзбен айтқанда, кездейсоқ құбылыстарда қандай да
объективті қасиеттер бар екені және оның тұрақтануға бейімділігі сезіледі.
Бұл қасиет сынау саны артқан сайын айқындала түседі, ол қасиет кандай да
бір тұрақты шамамен (санмен) өлшенеді. Бұл шама бақылауға түскен құбылыстың
объективті сандық сипаты болып табылады. Осы тұрақтыны (санды, мөлшерді)
кездейсоқ оқиға А-ның ықтималдығы дейміз. Сөйтіп оны бұрынғыша Р(А) арқылы
белгілейміз. Осылай анықталған кездейсоқ оқиға ықтималдығын статистикалық
ықтиамалдық деп атайды. Сонымен, ықтималдықтың статистикалық анықтамасында
Р(А) f(А) деп қабылдайды.
Ықтималдықтың ілгеріде келтірілген қасиеттері статистикалық тұрғыдан
анықтағанда да орындалады:
1 Салыстырмалы жиілік mп теріс таңбалы болуы мумкін емес,
өйткені демек,
2°. Ақиқат оқиға сынауды эрбір қайталауда пайда болады, сондықтан т = п
демек, Р(А)=1
3°. А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, бұлардың косындысының
ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең, яғни п - сынаудың
жалпы саны, А оқиғасының пайда болу жиілігі т1 В оқиғасының пайда болу
жиілігі болса, онда
(3)
Классикалық анықтамада келтірілген осы негізгі үш қасиеттен шыққан басқа
қасиеттер орындалады. Ықтималдықтардың жоғарыда аталған қасиеттері әр
түрлі кездейсоқ оқиғалар жүйесі үшін орын алады.
Классикалық анықтама негізінде ықтималдықтар теориясын құрған сияқты,
статистикалық анықтама негізінде де аталмыш теорияны кұруға болады.Назар
аударатын бір мәселе — статистикалық ықтималдықтың сандық мәнінің белгісіз
болуы. Әдетте, сынау саны өте көп болғанда ықтималдық мәніне де А-ның
салыстырмалы жиілігінің өзі алынады, не осы салыстырмалы жиілікке жуық сан
алынады. Ондай санға, мысалы жеткілікті үлкен бірнеше сериядан іріктеліп
алынған салыстырмалы жиіліктің арифметикалық ортасы алынады.Бұл
анықтаманын, іс жүзінде орындалатын түрлі зерттеулерде ерекше мәні бар,
өйткені бас жиынды зерттеуге мүмкіндік болмай қалады, сондықтан оның,
бөлігін (таңдаманы) зерттеуге мәжбүр боламыз. Сөйтіп тандаманы зерттеу
нәтижесінде кездейсоқ оқиғанын, салыстырмалы жиілігін анықтаймыз. Осы
таңдамадағы салыстырмалы жиілік арқылы ықтималдықтың сандық мәнін
бағалаймыз бұл қарастырып отырған кұбылыстың сандық сипаттамасы болып
табылады. Мұның, теориялық негіздемесі үлкен сандар заңына сүйенеді.
Сонымен, ықтималдықтар теориясы мен практиканы (статистиканы) ұштастыратын
маңызды дәнекер модель — үлкен сандар заңы. Бұл заңның математикалық
дәлелдемелерін кейінге қалдыра отырып, қарапайым негіздемесін
келтірейік.Бұл негіздеме практикалық сенімділік принцип ұғымына байланысты.
Сондықтан алдымен осы ұғымды түсіндірейік. Іс жүзінде мүмкін емес және
ақиқат оқиғалар орнына практикалық мүмкін емес және практикалық ақиқат
оқиғалар болады. Өйткені қандай да оқиға ықтималдығы нөлге жуық болса,
ондай оқиғалар ете-мөте сирек пайда болатын емір тәжірибесінен аян.
Екінші сөзбен айтқанда, кейбір оқиға ықтималдығы мейлінше кіші болса,
ондай оқиға бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды деп ұйғарамыз. Бұнда
ол оқиғаның әйтеуір бір уақытта пайда болуын жоққа шығармаймыз. Бұл
принципті біз әрдайым күнделікті өмірімізде қолданып отырамыз. Сонымен,
практикалық мүмкін емес оқиға деп ықтималдығы нөлге тепе-тең. емес, бірақ
оған мейлінше жуық болған бір рет жүргізілген сынауда пайда болмайды
делінген оқиғаны айтамыз.Практикалық ақиқат оқиғаны да практикалық
мүмкін емес оқиға сияқты анықтайды. Өйткені оқиға мүмкін емес болса, оған
қарама-қарсы оқиға ақиқат оқиға болады. Олай болса, практикалық ақиқат
оқиға деп ықтималдығы бірге тең емес, бірақ оған мейлінше жуық болған
оқиғаны айтамыз. Ықтималдықтар теориясының практикалық колданылуы осы
практикалық ақиқат және практикалық мүмкін емес оқиғалар ұғымдарына
сүйенеді. Сондықтан бұл ұғымдардың алатын орны үлкен.Айтылып отырған
практикалық ақиқаттық (сенімділік) және практикалық мүмкін еместік
(сенімсіздік) ұғымдарын кейде практикалық сенімділік принципі деп атайды.
Бұл принциптің анықтамасы мынадай. Қарастырып отырған процесте А оқиғасының
ықтималдығы мейлінше аз (мейлінше үлкен) болса, онда тәжірибе бір рет
орындалғанда А оқиғасының пайда болмауын (болуын) іс жүзінде үлкен
сенімділікпен (ықтималдықпен) айта аламыз. Практикалық сенімділік принципін
математикалық дәлелдеуге де болмайды. Өйткені, оқиғаның практикалық
сенімділігі (сенімсіздігі) оның ықтималдығына байланысты анықталады.
Мысалы, самолеттің авария болу ықтималдығы 0,05 тіпті 0,01 болса, онда
авиациямен жолаушыларды тасу іс жүзінде пайдаланылмаған болар еді. Ал егер
де екі қала аралығын өлшеуде кететін қате ықтималдығы 0,05 болса, мысалы,
әр километрге 50 см қате болса, одан ешқандай зиян болмайды. Бұл қатені
ескермеуімізге болады.Сонымен, ықтималдықтар теориясының әрбір қолдану
саласына тән өзінін, практикалық сенімділігі (ықтималдығы) беріледі. Оны
біз шекаралық ықтималдық дейміз. Мұндай шекаралық ықтималдыққа көп жағдайда
0,90; 0,95; 0,99 сандары алынады. Аталған сандарды, мысалы 0,95
ықтималдығын былай ұғамыз: егерде кандай да бір оқиғаны бақылау үшін 100
рет тәжірибе жүргізілсе, оның 95 проценттей нәтижесін дұрыс деп айта аламыз
да, 5 проценттей қателесуіміз мүмкін.
1.3.3. Ықтималдықтың аксиоматикалық анықтамасы. Біз бірінші параграфта
оқиғалар алгебрасы туралы айтқанда сынау нәтижесі шекті оқиғалар болыл
оларға қолданатын операциялар шекті де, саналымды шексіз де және саналымсыз
да болуы мумкіндігін ескерткен едік. Енді оқиғалар алгебрасы ұғымын
кеңейтеміз. Бұл үшін оқиға болатын ішкі жиындар класын кұрудың қажеттігі
туады.
2. Қосылыстар теориясы элементтері.
Берілген Ω жиынының элементтерінен құрылған оған кірме әр түрлі
жиындары қосылыстар (комбинациялар) деп, математиканың қосылыстар
теориясын зерттейтін бөлімі комбинациялық талдау деп аталады. Бұл
бөлімнің негізгі принципі- көбейту ережесі : егер әрбір қосылысын
тәсілмен құру мүмкін болса, онда бірге алғанда олардың бәрі
тәсілмен құрылады.
Әр элементіне сандардың натурал қатарынан номер тағылған шекті
жиынды реттелген жиын дейміз. Реттелген шексіз жиын санамалы жиын
делінеді.
Бір-бірінен элементтерінің ретімен (орындарымен) ғана ажыратылатын
n элементті әр түрлі (реттелген) жиындар n элементтен жасалған
орынауыстырулар деп аталады. Олардың саны
!
(2.1)
Реттелген болуы міндетті емес Ω және ω (ω) жиындары сәйкес n
және m (m≤n) элементтен құрылған делік. Бір-бірінен құрамымен ғана (реті
ескерілмей) ажыратылатын барлық ω қосылыстары n элементтен
m-нен жасалған терулер деп аталады. Олардың саны
(2.2)
Ньютон биномның формуласын енді
(2.3)
түрінде жазуға болатындықтан (2.3) сандары биномдық коэффициенттер деп те
аталады. Олардың симметриялық қасиеті бар және рекурренттік қатынастарды
қанағаттандырады:
, (2.4)
Жеке жағдайда: a=b=1 (2.4)-тен
Бір-бірінен не құрамымен , не элементтерінің ретімен ажыратылаты n
элементтен m-нен (m≤n) жасалған қосылыстар n элементтен m-нен жасалған
орналастырулар деп аталады. Әрбір n элементтен m-нен жасалған теруден
орын ауыстырулар арқылы m! орыналастырын жасауға болады. Ендеше, n
элементтен m-нен жасалған орналастырулардың саны
(2.5)
Шекті (n элементі бар, реттелген болуы міндетті емес) Ω жиыны
кездейсоқ үлгіде сәйкес элементтен тұратын k кірме жиындарға
бөлшектенген десек , бөлшектеу әдістерінің саны
(2.6)
Бұл (полиномдық тәсіл) биномдық схеманың жалпыланған түрі.
Шынында да, (2.6)-де k=2 () десек, (2.2)-ке келеміз.
Енді Ω жиынына кірме құрамында
элементі бар реттелмеген қосылыс құралық. Әрбір
-ден элемент алсақ, (2.2)-нің және көбейту ережесінің
негізінде мұндай қосылыстардың саны
өрнегімен анықталады. Бір ғана қосылыс үшін бұл өрнек (2.2)-ге
айналады, яғни полиномдық схема биномдық жүйеге ауысады.
2-есеп. Сөреге (төртбұрышты) тәуекел қойылған 8 кітаптың қалаулы
екеуі қатар орналасуының ықтималдығын табыңыз.0
Шешу. Кітаптардың (нөмірленген) реттелген жиынын 8 элементтен жасалған
орын ауыстырулар деп қарасақ,. Сөреде көрші орындардың 7 қосағы бар.
Олардың әрқайсысында аталмыш кітаптар екі әдіспен орналаса алады. Қалған
кітаптардың орналасу мүмкіндіктерінің саны Көбейту ережесі
бойынша Талап етілген ықтималдық .
3. Ықтималдықтарды көбейту формуласы. Шартты ықтималдық.
Кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде пайда болу ықтималдықтары нөлге
тең емес:0 болатын A және B оқиғаларының бірі пайда болғанда
екіншісінің ықтималдығы өзгермейтін болса, оларды өзара тәуелсіз дейміз.
Қалған жағдайларда олар тәуелді болады. Екі оқиғаның тәуелсіздігінің
анықтамасы ретінде
(3.1)
теңдігін қабылдауға болады. Бірақ, ол көбіне оқиғалардың тәуелсіздігін
тексеруге қолданылады.
Шекті оқиғалар жиынының кез келген m элементінен
жасалған теру үшін
(3.2)
болса, бұл оқиғалар жиынтығында тәуелсіз дейміз. Оқиғалардың (n2)
жиынтығында тәуелсіз болуының қажетті шарты олардың қос-қостан тәуелсіз
болуында. Жиынтығында тәуелсіз оқиғалар үшін
(3.3)
теңдігі (n=2 болғанда (1.9)) ықтималдықтарды көбейту формуласы деп
аталады.
Тәуелді оқиғалар үшін
0,0 (3.4)
саны кездейсоқ эксперименттің нәтижесінде оқиғалардың бірі пайда болғанда
екіншісінің де пайда болуының шартты ықтималдығы деп аталады.
Шартты ықтималдықтың бұл аксиомалық түсінігі ықтималдықтың
классикалық схемасына қайшы келмейді. Мысалы, тәжірибенің барлық мүмкін
n=N(Ω) нәтижесінің A оқиғасының пайда болуына қолайлысы m (m≤n,4-сурет)
десек, Оқиғаның (A) пайда болуы осы m нәтиженің бірінің іске
асқандығын көрсетеді.
Енді A-мен қатар B оқиғасының пайда болуын қарағанда аталған m нәтиже
мүмкіндіктердің жалпы санын құрайды. Солардың ішінде k (k≤m) нәтиже B-ның
да, демек, AB оқиғасының да пайда болуына қолайлы болсын. Классикалық жүйе
(3.4)-тің екінші формуласына келтіреді:
Тәуелсіз оқиғалар үшін
Егер болса, (3.4)-тегі шартты ықтималдықтар тиісінше
анықталмаған болып саналады. Олардың екеуі де анықталған болса, онда
тәуелді оқиғалар үшін ықтималдықтарды көбейту формуласы
(3.5)
түрінде жазылып, оқиғалардың бірге пайда болуының ықтималдығын табу үшін
қолданыла алады. Жиынтығында тәуелсіз емес оқиғалары үшін
(1.13)-ті жалпы түрде
(3.6)
деп жазуға болады.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің
пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
()
(4.1)
Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін , соның
ішінде оқиғасының пайда болуына нәтиже қолайлы болсын.
Оқиғаларға мүмкін (жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы
алынған оқиғаны күрделі оқиға дейміз. Күрделі оқиғасы пайда болу
үшін қосылғыш оқиғалардың кез келген біреуі пайда болса болғаны, демек,
оған нәтиже қолайлы.
Классикалық схема бойынша
оқиғалары толық топ құрайтын болса, және
ықтималдықтардың екінші аксиомасына сай . Әдетте (4.1)
ықтималдықтарды қосу аксиомасы (үшінші аксиома) деген атпен
дәлелдеусіз қабылданады.
Бірікпейтін (k=2) оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары
қиылыспайды (айқаспайды): . Екі жиынның да барлық элементтері
оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ:
(4.1) түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін оқиғасының
пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда аймағына
сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу
теоремасын
(4.2) түрінде жазамыз.
Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы
(4.3)
түрінде жазылады.
Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі есептеулерді
талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда
болу ықтималдығы
(4.4)
Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-
қарсы оқиғалар қашанда толық топ құрайды:
(Ā)=p+q=1
(4.5)
Бұл шарт және қарама-қарсы оқиғалары үшін де
орындалады, демек, Жалпы түрде
.
(4.6)
Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:
(4.7).
5. Толық ықтималдық формуласы.Байес формулалары.
Белгілі бір кедейсоқ эксперименттің нәтижесінде байқалатын A оқиғасы
сол тәжірибенің толық топ құрайтын, A-ға қарағанда гипотезалар
(болжамдар) деп аталатын нәтижелерінің бірімен ғана қосарласа
пайда бола алсын. Болжамдардың шартсыз ықтималдықтарын : 0
классикалық тәсіл бойынша тәжірибеге дейін (априорлық түрде) анықтауға
болады. Болжамдар қос-қостан бірікпейтін болғандықтан күрделі
оқиғалары да сол шартты қанағаттандырады. Соңғылардың ықтималдықтарының
қосындысы оқиғасының толық ықтималдығы деп аталады. Оны
ықтималдықтарды қосу аксиомасының (4.3) және ықтималдықтарды көбейту
формуласының (4.6) көмегімен табуға болады. Бізге болжамдардың қайсысы
іске асса да бәрі бір, тек A оқиғасы пайда болса болғаны. Сондықтан
(5.1)
Соңғы теңдік толық ықтималдық формуласы деп аталады.
Енді тәжірибе өткізіліп , оқиғасының пайда болғаны белгілі болды
делік. Бұл күрделі оқиғаларының да бірі пайда болды деген
сөз; (3.6) бойынша
Бұдан болжамдардың тәжірибеден кейінгі (апостериорлық) ықтималдықтары
(5.2)
Байес формулалары деп аталатын бұл теңдіктер бақыланып отырған A
оқиғасының пайда болғаны туралы ақпарат алынғаннан кейін әрбір болжамның
орындалу ықтималдығын есептеуге (тексеруге) мүмкіндік береді.
6.Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
6.1. Бернулли формуласы.
Теорема. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты
және ол р-ға тең болса, онда n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде, ол
оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы
(1)
Формуласымен есептеледі.
Дәлелдеуі. Мұны дәлелдеу үшін n рет тәуелсіз сынау жүргізгенде,
ол оқиғаның дәл m рет пайда болуын В оқиғасы деп белгілейік.
Оқиғаның (Аоқиғасы) m рет пайда болуының және n-m рет пайда
болмауының ( – ның) барлық мүмкін болатын тізбегін құрайық:
Бұл тізбек мүшелерінің бір- бірінен айырмашылығы тек орналасу
ретінде ғана болып отыр, сондықтан оны А оқиғасы m рет, оқиғасы
n-m рет енетін қайталамалы алмастыру деп қарастыруға болады. Олардың
саны
Тізбек мүшелері қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар. Бұлардың қандай да
біреуінің орындалуынан В оқиғасы пайда болып отырады, бұл жағыдай
былай жазылады:
Қосу теоремасы бойынша
Теңдіктің оң жақ бөлігіндегі әрбір ықтималдықты анықтайық. Ол
үшін Р(АА...А) ықтималдығын қарастырайық. Бұл А оқиғасының m
рет алынған р ықтималдылықтары мен оқиғасының n-m рет
алынған q ықтыималдылықтарының көбейтіндісіне тең, яғни
Р(АA...А) = Р(А)Р(А)...Р(А)Р()Р()...Р() = рр...
qq... q= .Қалған ықтималдылықтардың да осы өрнегіне тең
екенін байқауға болады. Енді қосылған ықтималдықтар санын ескеріп, Р(В)
ықтималдығын былай жазамыз: Оқиғаның тәуелсіз n сынауда дәл
m рет пайда болу ықтималдылығы Р(В)-ны жеңіл түсіну үшін деп
жазамыз, сонда
Осымен теорема дәлелденді.
1-мысал.Нысанаға 3 рет оқ атылды. Әрқайсысының дәл тию
ықтималдылығы бірдей және ол 13-ге тең. Нысанаға дәл екі оқтың
тию ықтималдылығы неге тең ?
Шешуі. Бұл мысалда нысананы көздеп әрбір жеке ату сынау
болады. Сонда барлығы 3 сынау жүргізілді. Бір рет атылған оқтың
тию-тимеу нәтижесі екінші атылған оқтың тию-тимеуіне тәуелді емес, яғни
бұлар- тәуелсіз сынаулар. Оқтың бір атқанда нысанаға дәл тиюі А оқиғасы
десек, онда тимеуі оқиғасы болады. Олай болса, берілген шарт бойынша
p=P(А)=13, q=P()=1-p=23.
Оқ үш рет (n=3) атылғанда нысанаға дәл екі рет (m=2) тиюі В
оқиғасы болсын. Әрине, бұл күрделі оқиға. Өйткені бұл оқиғаның құрамында
алғашқы екі оқ тиіп, үшіншісі тимейтін (АА оқиғасы), не бірінші мен
үшінші оқ тиіп, екіншісі тимейтін (АА оқиғасы), не екінші және
үшінші оқ тиіп, біріншісі тимейтін (АА оқиғасы) оқиғалар ұшырасуы
мүмкін. Сонымен іздеген ықтималдық-
P(B)=
Ықтималдықтың бұл мәнін мынадай деп ұғамыз: әрбір үш реттен
атылған оқ бір серия құрап, мұндай серия өте көп орындалса, онда орта
есеппен әрбір 100 серияның 22 сериясында атылған үш оқтың дәл екеуі
нысанаға тиеді.
2-мысал. Туған нәрестенің ұл я қыз болу ықтималдығы бірдей болады
дейік. Үш баласы бар семья балаларының дәл екеуінің ұл болу ықтималдығы
қандай?
Шешуі. Мұнда n=3, m=2, p=q=0.5.Сонда P(2)=
(0,5)²(0,5)=0,375. Үш балалы өте көп семьяларды алсақ, онда олардың дәл
екеуі ұл, біреуі қыз бала болып кездесетін семья 37,5% болатынын, ал
қалған 62,5 % семьяларда не үшеуі де ұл бала, не біреуі ұл, екеуі қыз,
не үшеуі де қыз бала болып келеді дегенді білдіреді.
Келтірілген мысалдарда n мәні аз болады, n мәні үлкен
болғанда ықтималдықты (1) формуласы бойынша есептеу қиынға соғады.
Сондықтан, логарифмдеуді пайдаланып есептеуді немесе Бернулли
формуласын мейлінше жуық дәлдікпен анықтайтын шектік формулаларды
іздестіруді керек етеді. Мұндай формулалар келесі параграфта келтіріледі.
Алдымен факториалдар логарифмдерінің таблицасы мен Стирлинг
формуласын пайдаланып шығаруға бір мысал келтірейік.
3-мысал. Ұл баланың туу ықтималдығы -0,51. Жаңа туған 100
нәрестенің дәл 50-інің ұл бала болу ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі. Шарт бойынша n=100, p=0,51, q=0,49. (1) формула
бойынша
=С.
Мұнда n мәндері үлкен, демек, тікелей (1) формуласы есептеу көп
уақытты талап етеді. Сондықтан жылдам есептеудің үш жолын келтірейік.
Олардың біріншісі факториалдар логарифмдеріне, екіншісі Стирлинг
формуласына, үшіншісі Лаплас формуласына сүйенеді.
1.Соңғы теңдіктің екі жақ бөлігін де логарифмдейміз. Сонда lg
P=lgC+50 lg 0,51+50 lg 0,49
Факториалдар логарифмдерінің таблица бойынша lgC=lg(100!)-
2lg(50!)=29,0038. Ал lg=0,5l=0,2924, lg0,49=0,3098; сонда lg (0,5l)=50
lg 0,5l=-l4,6200; lg(0,49)=50 lg 0,49=-l5,4900.
Демек lgP(50)=29,0038-14,6200-15,4900=-1, 1062=2,8938.
Бұдан іздеген ықтималдығымыз -P=0,07830,078 екені табылады
2.n! логарифмінің таблицасы болмаған жағдайда Стирлинг формуласын
пайдалануға болады:
n!= n, (2)
немесе n!.
Бұдан
lg n!=0,5 lg 2+0,5 lg n+n lg n-n lg e болады. Сонда lg 100!=0,5 lg
6028 +0,5 lg100 +100 lg100-100 lg2,71= 0,5*0,843+0,5*2+100*2-
100*0,4343=0,4215+1+200-43,43=158,1 202, lg
50!=0,5*0,843+0,5*1,6990+50*1,6990- 50*0,4343=64,5710.
Ақырындаlg C=158,1215-129,1426=28,9790. lgP(50)-28,9790-14,6200-
15,4900=-1,1310=2,8690.
Бұдан іздеген ықтималдығымыз-(50)=0,0741.
Сонымен, факториалды пайдаланып есептеу дәл есептеуден 0,004, яғни 4
мыңдық үлес қаңа айырмашылық берді. Сөйтіп, ықтималдықты Стирлинг
формуласын пайдалану арқылы есептегенде болатынын көрдік. Алайда бұл екі
тәсілмен есептеу көп уақытты алады, сондықтан алдағы параграфтарда
Бернулли формуласын мейлінше жуық аппроксималайтын формулаларды
келтіреміз.
6.2. Ықтималдықтардың биномдық үлестіруі.
(1) формуладағы m-ның мәндері 0, 1, 2, ... , n болуы мүмкін.m-нің
көрсетілген мәндеріндегі оқиғалар бір-бірімен үйлесімсіз барлық
мүмкін оқиғалардың толық тобын құрайды. Сондықтан олардың қосындысы
- ақиқат оқиға. Ал ақиқат оқиға ықтималшдығы бірге тең болғандықтан,
+немесе (3)
1) формуладағы осы теңдікке мәнін қойсақ, (3´) теңдігі
шығады.
(3) формуладағы қосындысы бірге тең ықтималдықтар m=0, 1, 2, ... , n
мәндеріне сәйкес ықтималдықтарына жіктеледі. Сондықтан m=0, 1, 2, ...
,n болғанда формуласын ықтималдықтардың биномдық үлестіруі заңы
деп атайды. Ал m-ның дербес мәніне сәйкес ықтималдық биномдық
ықтималдық деп аталады. Биномдық үлестіру заңын таблица арқылы
көрсетуге болады. Бұл таблицаның бірінші қатарында m мәндері,
екіншісінде оларға сәйкес ықтималдығы мәндері келтірілген.
Жоғарыда аталған биномдық, биномдық ықтималдық
терминдерінің шығу төркінін түсіндіре кетейік. Әрбір сынауда А оқиғасы
не оқиғасы пайда болатындықтан, P(A)+P()=1 не p+q=1 n
рет тәуелсіз сынау жүргізсек, онда көбейту теоремасы бойынша
(4)
биномын Ньютон формуласы бойынша жіктесек,
болады.Бұл өрнекті шамасының коэффициенті - .Егер,t=1 десек,
онда (4) формуласы шығады, яғни
. (4´)
Сонымен мұндағы m=0, 1, 2, ..., n мәндеріне сәйкес ықтималдығын
биномдық деп аталу себебі оның биномдық Ньютон формуласы бойынша
жіктеуге ұқсастығында.
Бұл ықтималдықтарды график түрінде кескіндеуге де болады. Ол үшін
мысал келтірейік.
4-мысал. 1-мысал шартын пайдалану арқылы n=10, p= болғанда m=0,
1, 2, ..., 10 мәндеріне сәйкес ықтималдықтарды есептеп, графигін сызу
керек.
Шешуі. Іздеп отырған ықтималдықтарды (1)формуласы бойынша
есептейміз,
болып шығады.
Ықтималдықтар мәнінің суретін салу үшін абсциссалар осіне m-ның мәңдерін,
ординаталар осіне мәндерін саламыз. Ал бұл суреттегі әрбір m=0, 1,
2, ... , 10 мәндеріне сәйкес мәндерінің ұштарын қоссақ, онда 2-суретте
көрсетілген көпбұрыш шығады.Мұны ықтималдықтардың үлестіру көпбұрышы
деп те атайды.
Сонымен, биномдық ықтималдықтар үлестіруі формула, таблица және
график түрінде берілетінін көрдік.Бұлардың әрқайсысын биномдық заң
деуімізге болады.
6.3. Ең ықтималды сан. Биномдық ықтималдықтарды есептеудің
рекурренттік формуласы.
Енді ықтималдығын аргументі m бүтін сан болатын функция деп
қарастырайық. Сөйтіп, m-ның артуына байланысты қалай өзгеретінін
анықтайық.. 4-ші мысалға зер салсақ, функциясы аргумент m
артқанда, m-ның белгілі бір мәніне дейін өсіп, максимум мәнін
қабылдайды да, қалған мәндерінде мәні кеміп отырады. -ның
ен үлкен мәніне сәйкес келетін m мәнін мода немесе ең ықтималды
сан деп атайды. Бұл мәнді арқылы белгілейік. Енді осы ең
ықтималды сан -ді анықтаудың жалпы формуласын табайық. Ол үшін
ең үлкен ықтималдықты деп ұйғарайық та, оның алдындағы мен
одан кейінгі ықтималдықтарын алайық. Сонымен,
(6)
болады. Бұлардың әрқайсысын жеке-жеке қарастырайық, сонда
=
болып келеді. Бұдан екені шығады. Екінші теңсіздіктен
.
Бұдан mnp-q. Бұл екі теңсіздікті біріктіргенде np-
gmnp+p, болады бұл теңсіздіктің оң жақ бөлігін
түрлендірейік:
np+p=np+(1-q)=(np-q)+1.
Сонымен, алдыңғы теңсіздіктің оң жақ бөлігі сол жақ бөлігінен бір
бүтін бірлікке артық. np-q мен np+p сандары бөлшек болса,онда айырымы
бірге тең екі бөлшек сан шығады, бірақ m мәні бүтін сан
болғандықтан, ең ықтималды сан біреу ғана болады.
Сонымен, функциясының m-ға байланысты өзгеруін толық
айқындадық деуге болады, яғни мәні m-ның мәні np-q-дан кем болғанға
дейін мәні артады, одан кейін келесі мәнінде бұл функция ең
үлкен мән қабылдайды, m-ның np+p –ден артық мәндерінде
кемиді. Қорыта айтқанда, ең ықтималды сан мәні np-q (не np+p)
мәніне тәуелді. Егер np-q (не np+p) бөлшек сан болса, онда
(7)
болады. Ал, np-q (не np+p) бүтін сан болса, онда мәндерінің
екеуі де ең ықтималды сан болады, өйткені яғни екі ықтималдықтың
да мәндері ең үлкен болады.
5-мысал. 4-мысал бойынша ең ықтималды сан
мәнін
анықтау керек.
Шешуі. np+p=10. 13+13= , демек, . Бұған сәйкес
ықтималдық-
Шынында да, бұл ықтималдық қлған ықтималдықтадың бінен де үлкен . Ең
ықималды санды пайдалану нәтижесінде биномдық ықтималдықтарды жылдам
есептеудің рекурренттік формуласын келтірейік. Бұл формуламен ЭВМ-ді
пайдалану арқылы биномдық ықтималдықтарды есептеу өте-мөте қолайлы.
Есептейтін ықтималдықтың мәні белгілі үлестегі дәлдікке дейін ғана
алынатын жағдайда бұл формуланы пайдалану аса қажет, өйткені m мәні
0-ге немесе n-ге жуық болғанда, оған сәйкес ықтималдық мәні
қалғандарынан мейлінше аз болып есепке алынбайды. Сонымен, мода
-ге сәйкес ең үлкен ықтималдық, мәні болып шығатынын
айқындаймыз.
Одан соң басқа ықтималдықтар төмендегі рекурренттік формула бойынша
оп-оңай есептеледі.
Бұл формулалардың (6) теңсіздіктерінен алынғандығын байқау қиын
емес. Сонымен, m болғанда,
(8)
теңдіктері шығады. Егер болса, онда
(8)'
...
болады, мұнда және .
6-мысал. 4-мысалдың шарты және 5-мысалда табылған ең ықтималды
сан m және оған сәйкес ең үлкен ықтималдық мәні 0,26 бойынша
барлық биномдық ықтималдықтардың мәнін жүздік үлеске дейінгі
дәлдікпен есептеу керек.
Шешуі. Бұл ықтималдықтарды (8) формуласы бойынша анықтаймыз.
Сонда m=3, P(3)=0.26 мәндері бойынша мына төмендегі
ықтималдықтар есептеледі;
(8)формуласымен есептесек, мынадай болады:
Қалған P(9)және P(10) ықтималдықтарын есептеудің қажеті жоқ,
өйткені олардың мәні 0,01-ден аз.
Біздің мысалымызда n-ның мәні аз, ал n үлкен болғанда
есептелетін биномдық ықтималдықтар саны көп азаяды. (7) теңдігін n
мейлінше үлкен болғанда, ең ықтималдық сан m жуық шамамен np-ға
тең, яғни np, ал m-нің n-ға қатынасы жуық шамамен оқиға
ықтималдығы р-ға тең. Келешекте көп жағдайда mмәні үшін осы np
мәнін аламыз.
Қарастырған мысалдарда n мәні тұрақты болып келді. Егер
р(q)мәні тұрақты болып, n өзгеріп отырса, онда ең ықтималды сан
mмәні n-ның өсуімен артады да оған сәйкес ықтималдық кеміп
отырады. Оны төмендегі 7-мысалдан және оның сәйкес 3-суретінен
байқауға болады.
7-мысал. P=13 (q=23)және n=5, 10, 20, 100 болғанда, ең
ықтималды сан m мәнін анықтау керек және оған сәйкес
ықтималдық мәнін есептеу керек; қалған ықтималдықтарды (8) және (8)
рекурренттік формулаларын пайдалану арқылы мыңдық үлеске дейінгі
дәлдікпен есептеуді оқушыларға тапсырамыз.
Шешуі: 1. n=5 болғанда және . 2. n=10 болғанда
және 3.n=20 болғанда және 4. n=100 болғанда
және Бұл келтірген мысалда ең ықтималды сандарға сәйкес
биномдық ықтималдықтарды график түрінде келтірсек, айтылған қасиет ап
айқын көрінеді.
6.4. Биномдық ықтималдықтар қосындысын есептеу.
Осы уақытқа дейін сынауды n рет қайталағанда, оқиғаның дәл m рет
пайда болу ықтималдығын есептедік. Бұған қарағанда оқиғаның m
реттен m ретке дейін пайда болу ықтималдықтарын анықтаудың
практикалық мәні зор. Сондықтан m, m+1, m+2,...,
m-1, m мәндеріне сәйкес Р (m), Р( m+1),
Р( m+2), ..., Р(m-1), Р(m) ықтималдықтары
қосындысын анықтаймыз. Ол , немесе (9)
болып келеді. Сондай - ақ, оқиғаның қайталану саны m ден кем
емес және m- ден артық емес болғанда сәйкес мынаған тең:
(10)
және
(11)
Әрине, (10) формуласындағы m саны 0-ге жуық болса, онда (10)
формуласын пайдалану нәтижесінде мынаны табамыз:
(12)
өйткені
Ал(11)формуласындағы mсаны n-ге жуық болса, оны былай жазамыз:
(13)
Көп жағдайда оқиғаның кемінде бір рет пайда болу ықтималдығын
анықтаудың айтарлықтай практикалық мәні бар. Ол ықтималдық мынадай:
(14)
Бұл формула бойынша оқиғаның кем дегенде бір рет пайда болу
ықтималдығымен әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы
берілсе, оған сәйкес сынау санын анықтауға болады. Ол үшін (14)
теңдігінің екі жағын да логарифм десек жеткілікті, сонда
(15)
8-мысал. 4-мысалдың шарты бойынша оқтың нысанаға:
а)кемінде бір рет;
ә)кемінде үш рет;
б)9-дан артық емес рет;
в)4 реттен 8 ретке дейін тию ықтималдығын анықтау керек. (4-
мысалды қараңыз.)
Шешуі. Берілгені n=10, p=13, q=23. a) (14) формуласы бойынша
ә) (12) формуласы бойынша
б) (13) формуласы бойынша в) (9) формуласы бойынша
7.Муавр – Лапластың шектік теоремалары.
Өткен параграфта n үлкен болғанда Бернулли формуласымен есептеудің
қиын екені айтылған-ды. Сондықтан ықтималдықтар теориясында дәл
формулаларды асимптотикалық немесе шектік деп аталатын формулалармен
ауыстыру кең пайдаланылады. Мұндай формулалармен ауыстырғанда тез
есептеумен қатар жіберілетін қатенің мейілінше аз болуын көздейді.
Бұл мәселе ықтималдық теориясында аса бір келелі мәселе болып
есептеледі. Сынау саны n мейілінше үлкен болып, р мәні О мен 1
аралығында(0 мен 1-ге аса жуық емес) болса Лаплас формуласы, ал р
мәні мейілінше 0-ге(не 1-ге) жуық болғанда, Пуассон формуласын
Бернулли формуласының асимптотикалық жуықтауы ретінде пайдаланамыз.
Енді осы формулаларды қорытайық.
7.1.Муавр-Лапластың локальдық теоремасы. Теорема. Егер А оқиғасының
әрбір сынаудағы пайда болу ықтималдылығы р тұрақты болып, 0 мен 1
санына тең болмаса (0p 1) және сынау саны n болса, онда
оқиғаның дәл m рет пайда болу ықтималдығы (m) мен
санының көбейтіндісі
өрнегіне ұмтылады, былайша айтқанда n болғанда
Р(m)= (1)
m-ны ң барлық қабылдайтын мәндерінде (бұл мәндерде х шектеулі
интервалда жатуы тиіс) жинақтылық бірқалыпты болады, мұнда
(2)
Дәлелдеуі. (2) формуласынан бұдан екені шығады, өйткені
n-np=n(1-p)=nq. Енді Стирлинг формуласын пайдалану арқылы Бернулли
формуласын былайша жазамыз:
(3)
мұнда Стирлинг формуласынан
Ал шектеулі аралықтағы мәнді қабылдағанда n болғанда, m және
n- m шексіздікке ұмтылады. Олай болса, n болғанда
е1.Енді (3) теңдіктің оң бөлігіндегі екінші көбейткішті
логарифмдейміз, сонда
(4)
болып шығады.
Логарифмдік функцияны дәрежелік қатарға жіктеу формуласы
мынадай:
Осы формуланы қолдану нәтижесінде (4) теңдігіндегі логарифмдерді
былай жазамыз (қатарға жіктеудің екі мүшесімен қанағаттанамыз):
Қалдық мүшелер х-тің кез-келген өзгеру интервалында бірқалыпты
жинақты. Сонымен,
Бұдан екені шығады.
Сондықтан n болғанда . Енді (3) теңдігінің оң
жақ бөлігіндегі бірінші көбейткішті былай жазамыз:
(5)
n болғанда және х шектеулі аралықтағы мәнді қабылдағанда (5)
теңдігінің оң жағындағы екінші көбейткіші 1-ге ұмтылады. Олай болса,
(3) ,(5) теңдіктерінен теореманың дәлелдемесі шығады.
Сонымен, (1) теңдігінен n-ның мейлінше үлкен мәндерінде мына
жуық формула орын алады:
(1`)
Әдетте мұның оң жағын Р(х) арқылы белгілейді, сонда
(6)
теңдігі шығады, мұны Ланлас формуласы дейміз. Енді
десек, мұнда онда (6) былай болады:
(7)
Бұл ықтималдықты есептеу төмендегі схема бойынша орындалады.
1.Берілген n, р мәндері бойынша nр, , мәндерін есептейді.
2.(2) формуласы бойынша х-тің мәнін табады.
3.х мәні бойынша кітап соңындағы қосымшадағы 1-таблицадан
(х) мәнін табады.
4. (х) мәнін бөлшегіне көбейтіп, Р( m) мәнін
табады. (х) функциясының мынадай қарапайым қасиеттерін
байқау қиын емес.
1.(х) функциясы жұп және оның графигі 0у осіне
қатысты симметриялы, өйткені х-тің дәрежесі жұп, сондықтан (-х)=
(х).
2.Оу осімен қисығы нүктесінде қиылысады, ал х=0
нүктесінде (х)-тің туындысы нөлге тең болғандықтан және бұл
нүктеден өткенде функция мәнінің таңбасы - тен + ке
ауысқандықтан,
нүктесі (х) үшін максимумдық нүкте: х=0 болғанда
(х)-тің максимум мәні болады.
3 у=(х) қисығы 0х осімен қиылыспайды, бірақ оған
асимптоталы түрде жуықтайды. Ал 0х осі бұл қисық үшін горизонталь
асимптота болады, өйткені
4(х)-тің екінші туындысы арқылы, бұл функцияның иілу нүктелері (-
1; (-1) және (1; (1))болатынын табамыз;
5.х-тің 7-таблицада келтірілген бірнеше мәні мен максимумдық
және иілу нүктелері арқылы (х) графигін салу қиын емес. Ол 4-
суретте келтілілген. Бұл қисық ықтималдықтар қисығы делінеді.
7-
таблица
х ...-2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 ...
[pic...0,0540 0,1295 0,2420 0,3989 0,2420 0,1295 0,0540 ...
](х)
1-мысал. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz