Жиын (матемаитка)

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Жиын ғымы. Жиынның элементтері

Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым болып саналады. Сондықтан оны тек мысылдармен ғана түсіндіруге болады. Мысалы, қайсыбір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны туралы айтуға болады. «Жиын» сөзі математикада «жиынтық», «класс», «жинақ», «коллекция» деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықты бір ғана нәрсе болуы немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.

Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер, геометриялық фигуралар, сандар т. б. ) оның элементтері деп аталады. Мысалы, 3 саны - бір таңбалы натурал сандар жиынының элементі. Жиын мен оның элементтерінің арасындағы «элементті болады» деген байланысты «тиісті» сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.

Соңғы сөйлемде символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3∉А. Бұл жазуда А әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген (жиынды латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді), ал ∈ белгісі «тиісті» сөзін алмастырады.

Жалпы а∈А жазуы «а нәрсесі А жиынының элементті», немесе «а нәрсесі А жиынына тиісті», немесе «А жиынында а элементі бар» деп оқылады. а∉А жазуын «а нәрсесі А жиынына тиісті емес», немесе «А жиынында а элементті жоқ», немесе «а нәрсесі А жиынының элементі емес» деп оқуға болады.

Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз болуы мүмкін. Мысалы, қайсыбір педучилище оқушыларының жиының элементтерінің саны шектеулі, ал түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз.

Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болады және онда кеңінен пайдаланылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде пайдаланылады, ал бір қатар эксперимент кітаптарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдалалынылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектептегі математика курсында теориялық - жиындық негізде жүзеге асады.

Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері

Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.

Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер де а, b, c, d - әр түрлі нәрселердің белгіленулері болса, онда осы нәрселердің жиынын А={ а, b, c, d } түрінде жазып, оны «А жиыны а, b, c, d элементтерінен тұрады» деп оқиды.

Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана енеді. Мысалы, 32 545 882 санының әр түрлі цифрларынан тұратын жиын {3, 2, 5, 4, 8}, ал «есеп» деген сөздегі әр түрлі әріптер жиыны {e, c, п} түрінде жазылады.

Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті cипаттамалық қасиет деп атайды. Мысалға, 7-ден кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда, олардың «натурал және 7-ден кіші сан болуы» аталып отыр. Қарастырылып отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді: А={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Жиынның осылай берілу тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалға радиусы r, центрі О болатын шеңбердің «центрі О және радиусы r болатын шеңбер деп жазықтықтың О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелер жиынын атайды» деген анықтамасын еске түсірейік. О-дан r қашықтықта және бір жазықтықта жату - центрі О және радиусы r болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде бір нүкте ие бола алмайды.

Элементтердің сипаттамалық қасиеті көрсетілген жиынды былай жазуға болады: фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтерінің белгіленуін жазады. Содан кейін вертикаль сызықша қояды да сызықшадан соң осы жиын элементтеріне және тек соларға ғана тән қасиетті жазады. Мысалы, 7-ден кіші натурал сандар жиыны А былайша жазылады:

А={x/x- натурал сан, x<7}

Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап шығу, не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету керек. Екінші тәсіл біріншіге қарағанда жалпылау екенін айта кетеміз. Мәселе мынада: жиынның элементтерін атап шығу осы жиын шектеулі болғанда ғана мүмкін, ал жиын элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болғанда ғана мү мкін, ал жиын элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болса да, шектеусіз болса да көрсетуге болады.

Бірақ кейбір кезде шектеусіз жиынды да бірінші тәсілді пайдаланып жазып көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын N әрпі арқылы белгілеп мына түрде

N= {1, 2, 3, 4, …} жазуға болады.

Әрине жиынды тек көп нүктелер орнында не болатыны белгілі жағдайда ғана осы түрде жазуға болады.

Барлық натурал сандардан және нольден тұратын жиынды N ₀ арқылы белгілеп, былай жазады:

N ₀ ={1, 2, 3, 4, …}

Бұл жиынды оң бүтін сандар жиыны деп атайды.

Барлық бүтін сандар жиынын Z әрпі арқылы белгілеу келісілген: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}

Математиканы оқып-үйрену барысында шешуге тура келетін көптеген есептер элементтерінің ортақ қасиеті көрсетілген жиынды табумен байланысты болады. Бірнеше мысалдар келтірейік.

1-мысал.

х(х-1) =0 теңдеуінің барлық түбірлерінің жиынын табу керек.

Ізделінді А жиынының барлық элементтеріне тән ортақ қасиет -«х(х-1) =0 теңдеуінің түбірі болу», яғни А жиынын А={x x(x-1) =0} түрінде жазуға болады. x(x-1) =0 - теңдеуін шешеміз. Екі х және х-1 сандарының көбейтіндісі, тек сол сандардың біреуі ноль болғанда ғана, нольге тең болатындықтан х ₁ =0, х ₂ =1 екендігін табамыз. Демек, А={0, 1}.

2-мысал. х>5 теңсіздігінің шешімдерінің жиының табу керек.

Ізделінді жиынды С деп белгілесек, оның барлық элементтеріне тән қасиет «х>5 теңсіздігінің шешімі болу», яғни С={x x>5} болады. Бұл жерде C жиыны шектеусіз, оның элементтерін сандық түзу бойында көрсеткен ыңғайлы (1-сурет) . 5 саны С жиынына тиісті болмағандықтан суретте оған сәйкес нүкте ақ күйінде қалдырылды.

х≥5 теңсіздігінің шешімдерінің жиыны 2-суретте көрсетілген. Мұндағы қарайтылған нүкте 5 санын өрнектейді, өйткені ол берілген теңсіздіктің шешімдерінің жиынына тиісті.

Осыларға ұқсас 3-8 суреттерде х≤5 (3-сурет), х<5 (4-сурет), -2<х≤3 (5-сурет), -2≤х<3 (6-сурет), -2<х<3 (7-сурет), -2≤х≤3 (8-сурет) теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық х сандарының жиындары көрсетілген.

Бастауыш кластардағы қазіргі математика оқулықтарында элементтері берілген белгілі қасиетке ие болатын жиындарды табу қажет болатын көптеген есептер бар. Мысалы, ″7-ге бөлгенде қалдықтары 1 болатын үш сан жазыңыздар″, ″65-тен үлкен 75-тен кіші сандарды жазып шығыңыздар″ деген сияқты есептер.

Осыларға ұқсас есептерді бастауыш класс оқушылары қазақ тілі сабақтарында ″Қазақ алфавитіндегі барлық дауысты дыбыстарды атап шығыңыздар″; ″Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңыздар″; ″Жаттығудағы барлық сын есімдерді көшіріңіздер″ т. с. с. тапсырмаларды орындағанда да шешеді.

Бос жиын

Әр түрлі жиындардың арасында бірде бір элементі жоқ жиынды да кездестіруге болады. Мысалы, сіздің топтағы тенниспен айналысатын оқушылардың тізімін немесе, қысқаша айтқанда, сіздің топтағы теннисші - оқушылардың Т жиының құру керек дейік. Бірақ топта ондай оқушы жоқ болып шықты. Ендеше Т жиынында бірде бір элемент жоқ.

Бірде бір элемент жоқ жиынды бос жиын деп атайды және оны ∅ белгісімен белгілейді.

Бос жиынмен теңдеулерді шешуде де кездестіруге болады. Мысалы, 3х-7=3(х+5) теңдеуінің түбірлерінің жиынын іздестіру керек болсын. Берілген теңдеу қажетті түрлендірулер арқылы 0⋅х=22 теңдігіне келтіріледі. Ал бұл теңдік х-тің ешқандай мәнінде де тура емес. Бұл жағдайда берілген теңдеудің түбірі жоқ немесе басқаша айтқанда, берілген теңдеудің түбірлерінің жиыны бос жиын дейді.

Тең жиындар

Егер А және В екі жиын бірдей элементтерден тұратын болса, онда оларды тең жиындар деп атайды және А=В түрінде жазады. Мысалы, А={3, 5, 7, 9} және В={7, 3, 9, 5} жиындары өзара тең, өйткені бірдей элементтерден тұрады. Элементтерінің орындарын ауыстарғаннан жиын өзгермейді.

Жиындардың тең болу ұғымы мына жағдаймен байланысты: бір ғана жиын мүлдем әр түрлі сипаттамалық қасиеттер көмегімен берілуі мүмкін. Мысалы А={1, 2, 3, 4, 5} жиынын

\[\frac{\mid}{\overbrace{\sum}}\]

және 5

\[\frac{\mathcal{\mathbf{A}}}{\mathbf{A}}\]

сандарының аралығындағы натурал сандар жиыны немесе х<6 теңсіздігінің натурал шешімдерінің жиыны деп те қарастыруға болады.

Ішкі жиындар

Айталық, А - сіздің мектептегі барлық оқушылар жиыны, ал В - сіздің кластағы оқушылар жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынынның бір бөлігі, немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А жиынына кіреді. Мұндай жағдайда В жиынын А жиынының ішкі жиыны деп атайды. Дәлірек айтсақ: В жиынының әрбір элементі А жиынына тиісті болғанда және тек сонда ғана, В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады, оны В⊂А (немесе А⊃В) түрінде жазып, ″В жиыны А жиынының ішкі жиыны″ деп оқиды. ⊂ белгісі жиындар арасындағы ″ішкі жиыны болады″ деген мағынадағы байланыстықты көрсетеді.

Әрбір А жиыны өзінің ішкі жиыны болып табылады деп есептейді: А⊂А. Сондай-ақ бос жиын ∅ кез келген А жиының ішкі жиыны болады деп есептеледі: ∅⊂А.

А жиынының бос емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса, онда оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және ∅ ішкі жиындарын оның меншікті емес ішкі жиындары деп атайды.

Мысалы, А={2, 4, 8} жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар. {2}, {4}, {8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}; екі меншікті емес ішкі жиыны бар: {2, 4, 8} және ∅.

Егер де А⊂В, ал В⊂С болса, онда А⊂С екендігіне көз жеткізу қиын емес. Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал сонымен қатар В жиынының әрбір элементі С жиынына тиісті.

Ұғымдар немесе нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда біз әрдайым ішкі жиын ұғымын пайдаланым отырамыз. Қазақ тілінде сөйлемдегі барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын - сын есімдері, зат есімдері, етістіктерді, т. с. с. қарастырамыз. География және тарих сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар т. с. с. жиындарының әр түрлі ішкі жиындарын оқимыз. Осы сияқты күнделікті өмірде де ішкі жиын ұғымымен пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол елді мекендегі барлық үйлер жиынының ішкі жиыны болады; сіздің пәтердің тұрғындары сіздің үйдің барлық түрғындары жиынының ішкі жиыны, бір бөлмедегі орындықтар жиыны - сіздің пәтеріңіздегі барлық орындықтар жиынының ішкі жиыны болып табылады т. с. с.

Ішкі жиын ұғымы математикада кеңінен пайданылады. 1-ден 10-ға дейінгі сандар жиынын натурал сандар жиынының ішкі жиыны, ал натурал сандар жиынының өзін барлық бүтін сандар жиынының ішкі жиыны деп қарауға болады. Ромбылар, квадраттар, тік төртбұрыштар жиындары параллелограмдар жиынының әр түрлі ішкі жиындары болып табылады.

″Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңдар″; ″Әр түрлі ағаштардың арасынан мәңгі көгеріп тұратындарын атаңыздар″, ″1-ден 10-ға дейінгі сандардың 2-ге бөлінетіндерін көрсетіңіздер″; ″Берілген сандардың арасынан үш таңбалы сандарды көрсетіңіздер″; ″Әр түрлі фигуралардың арасынан үшбұрыштарын табыңыздар″ деген сияқты тапсырмаларды орындату арқылы қазақ тілі сабағында да, табиғаттану сабағында да, математика сабағында да төменгі класс оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.

Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы. )

Эйлер-Венн диаграммалары

Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін тұйық контур сызамыз да, жиынның элементтері осы контурдың ішіндегі нүктелермен кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті емес. Мысалы, 9-суретте біз А және В жиындарының элементтерін көрмесек те, тіпті олардың қандай жиындар екенін білмесек те, бұл сурет В жиыны А жиынының құрамына енетінін, яғни В⊂А екенін айтып тұр. Мұндағы А қайсыбір мектеп оқушыларының жиыны, ал В - осы мектептің екінші кластары оқушыларының жиыны, ал В 5-ке бөлінетін барлық натурал сандар жиыны болуы мүмкін.

Жиындарды осылай кескіндеу тәсілі Эйлер дөңгелектері немесе Венн диаграммалары деп аталады. Осындай кескіндеулерді біз Эйлер-Венн диаграммалары деп атайтын боламыз.

Универсал жиын

А-қайсыбір мектептегі ұл балалар жиыны, В-осы мектептегі қыз балалар жиыны, ал С-осы мектептің спортсмендерінің жиыны болсын. Осы аталған жиындардың барлығын мектептің барлық оқушыларының жиынының ішкі жиындары деп қарастыруға болады. Барлық жиындары бір ғана I жиынының ішкі жиындары ретінде қарастыратын жағдай аз кездеспейді. Осындай I жиынын универсал жиын деп атайды. Ендеше, егер I - мектептің барлық оқушыларының жиыны болса, онда А⊂I, В⊂I, С⊂I болады.

Универсал I жиынын тік төртбұрыш түрінде, ал оның ішкі жиындарын - осы тік төртбұрыштың ішіндегі дөңгелектер түрінде кескіндеуге келісейік. Онда біздің қарастырып отырған I, А, В, С жиындарын графикалық түрде мынадай (10-сурет) етіп кескіндеуге болады.

Жиындарға қолданылатын амалдар.

Жиындардың қиылысуы

Екі жиынның элементтерінен жаңа жиындар құруға болады.

А={0, 2, 4, 6} және В={-2, -1, 0, 1, 2} екі жиын берілген болсын. Элементтері берілген А және В жиындарының екеуіне де тиісті жаңа С жиынын құрайық: С={0, 2}. Осылай құрылған С жиынын А және В жиындарының қиылысуы деп атайды. Сонымен:

А және В жиындарының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де енетін элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды атайды. А және В жиындарының қиылысуын А∩В өрнегімен белгілейді, мұндағы ∩ - жиындардың қиылысуы белгісі.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы бейнелесек, онда А∩В жиыны штрихталған облыс болады (11-сурет) .

А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос жиын болады А∩В=∅. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.

Жиындардың бірігуі

Берілген екі жиыннан жаңа жиын құрудың тағы бір тәсілін қарастырайық.

А және В жиындарының бірігуі деп не А, не В жиындарының ең болмағанда біреуіне енетін элементтерден тұратын жиынды айтады.

А және В жиындарының бірігуін А∪В деп белгілейді, мұндағы ∪жиындардың бірігуінің белгісі. Мысалы, А={1, 3, 5} және В={2, 4, 6, 8} жиындарының бірігуі А∪В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, } жиыны болады.

Егер бірігетін жиындардың ортақ элементтері бар болса, мысалға, А={а, б, в, г, д, е} және В={г, е, ж, з} жиындары, онда олардың ортақ элементтері г, е бірігуде тек бір қана жазылады; А∪В={а, б, в, г, д, е, ж, з}.

Мысалға, А - кластағы фотография үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны, ал В - сол кластағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын. Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті - ″фотография үйірмесіне қатысуы″, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті - ″математика үйірмесіне қатысуы″ болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл оқушылардың ішінде не тек фотография үйірмесіне, не тек математика үйірмесіне немесе екі үйірменің екуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.

А∩В≠∅ деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндейік (12-сурет) . Осы суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А∪В жиынын көрсетеді. Бірігу ұғымы геометрияда үлкен роль атқарады. Екі немесе бірнеше фигуралардың бірігуі деп осы фигуралардың ең болмағанда біреуіне тиісті нүктелер жиынын айтады. F ₁ және F ₂ фигураларының бірігуін F ₁ ∪F ₂ түрінде жазады. Мысалы, егер F ₁ - ABC үшбұрышы, ал F ₂ - ACDE төртбұрышы болса, онда олардың F ₁ ∪F ₂ бірігуі ABCDE фигурасы болады. (13-сурет) .

Бастауыш мектепте шешімдерін табу шын мәнінде жиындардың бірігуімен байланысты болатын есептер қарастырылады. Бұған сандарды қосуға арналған және басқа да көптеген есептер жатады. Мысалы: ″14-суретте берілген тік төртбұрышты фигураның ауданын есептеу керек. Ол үшін фигураны кішкене тік төртбұрыштарға бөліп, қажетті өлшеулер жүргізіңіздер″. Берілген F фигурасын кішкене F ₁ F ₂ және F ₃ тік төртбұрыштарға бөліп, F ₁ ∪ F ₂ ∪F ₃ =F деп есептейміз.

Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы

\[\overline{{B}}_{A}\]

А - қайсыбір кластағы барлық парталар жиыны, ал В - осы кластағы бір қатарда тұрған парталар жиыны, яғни В⊂А болсын. Егер В жиынына кластағы басқа қатарда тұрған парталарды қоссақ, онда А жиыны шығады. Бұл жерде біз В жиынын А жиынына дейін толықтырдық.

Сонымен, егер В⊂А болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады және

\[{\overline{{B}}}_{A}\]

арқылы белгіленеді.

Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда А жиынындағы В жиынының толықтауышы штрихталған (15-сурет) бөлік болады.

\[{\overline{{B}}}_{A}\]

жиынының қалай табылатынына тоқталайық. А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ал В={2, 4, 6} болсын. Онда

\[{\overline{{B}}}_{A}\]

жиынын табу үшін А жиынынан В жиынына енетін элементтерді шығарып тастау керек:

\[{\overline{{B}}}_{A}\]

={1, 3, 5, 7}. Басқаша айтқанда,

\[{\overline{{B}}}_{A}\]

жиынын табу үшін А жиынынан В жиынын азайту керек екен.

А жиынынан в жиынын азайтуды В жиыны А жиынының ішкі жиыны болмаған жағдайда да орындауға болады. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгілейді. Мысалы егер А={а, в, с, д, е}, В={д, е, к, л} болса, онда А\В = {а, в, с} болады.

А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары көмегімен кескіндесек, онда А\В жиыны (16-сурет) штрихталған бөлік болады.

Бір жиынды екінші бір жиынға дейін толықтыру ұғымын бастауыш кластарға натурал сандарды бірінен-бірі азайтудың негізі ретінде пайдаланады.

Кортеж

Жиынның әрбір элементі тек бір рет қана енетіні бізге белгілі. Сондықтан да, мысалы, «параллелограмм» деген сөздегі әріптер жиының былайша жазады: {п, а, р, л, е, о, г, м}. Бұл жерде элементтердің жазылуы маңызды роль атқармайды. Бірақ бұл сөзді қатесіз дұрыс жазу үшін оған енетін әріптерді ғана біліп қоймай, олардың жазылу ретін және де, мысалға, сөздің соңында «м» әріпімен екі рет жазылатының да білу керек. Міне осы жағдайда біз «параллелограмм» сөзіне енетін барлық әріптердің жиынтығымен жұмыс жасаймыз.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.