Жиын (матемаитка)

Жоспар
Кіріспе

Жиын уғымы. Жиынның элементтері
Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері
Бос жиын
Тең жиындар
Ішкі жиындар
Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы)
Эйлер.Венн диаграммалары
Универсал жиын Жиындарға қолданылатын амалдар.
Жиындардың қиылысуы Жиындардың бірігуі Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы
Кортеж
Реттелген жұптар
Жиындардың декарттық көбейтіндісі
Сәйкестіктер
Жиындар арасындағы сәйкестік
Сәйкестік графигі
Кері сәйкестік
Сәйкестіктің жеке түрлері
Жиын элементтерінің арасындағы қатыстар
Жиынды өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлу. Классификациялау
Комбинаторика элементтері
Математикалық логика элементтері
Пікірлер
Құрама пікірлер
Пікірлерді теріске шығару
Пікірлер конъюнкциясы
Берілген импликацияға кері импликация
Пікірлер эквиваленциясы
Предикаттар
Предикаттардың теріске шығуы,
конъюнкциясы және дизъюнкциясы
Предикаттар импликациясы
Қажетті және жеткiлiктi шарт
Кванторлар
Теорема құрылысы
Кері теорема
Қарама.қарсы теорема
Қарсы жақтан дәлелдеу методы
Типтік есептер

Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым болып саналады. Сондықтан оны тек мысылдармен ғана түсіндіруге болады. Мысалы, қайсыбір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны туралы айтуға болады. «Жиын» сөзі математикада «жиынтық», «класс», «жинақ», «коллекция» деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықты бір ғана нәрсе болуы немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер, геометриялық фигуралар, сандар т. б.) оның элементтері деп аталады. Мысалы, 3 саны – бір таңбалы натурал сандар жиынының элементі. Жиын мен оның элементтерінің арасындағы «элементті болады» деген байланысты «тиісті» сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.
Соңғы сөйлемде символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3А. Бұл жазуда А әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген (жиынды латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді), ал  белгісі «тиісті» сөзін алмастырады.
Жалпы аА жазуы «а нәрсесі А жиынының элементті», немесе «а нәрсесі А жиынына тиісті», немесе «А жиынында а элементі бар» деп оқылады. аА жазуын «а нәрсесі А жиынына тиісті емес», немесе «А жиынында а элементті жоқ», немесе «а нәрсесі А жиынының элементі емес» деп оқуға болады.
Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз болуы мүмкін. Мысалы, қайсыбір педучилище оқушыларының жиының элементтерінің саны шектеулі, ал түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болады және онда кеңінен пайдаланылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде пайдаланылады, ал бір қатар эксперимент кітаптарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдалалынылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектептегі математика курсында теориялық – жиындық негізде жүзеге асады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

Жиын ғымы. Жиынның элементтері

Жиын ұғымы математикада негізгі (анықтауға болмайтын, бастапқы) ұғым
болып саналады. Сондықтан оны тек мысылдармен ғана түсіндіруге болады.
Мысалы, қайсыбір класс оқушыларының жиыны туралы, Әлемдегі планеталар жиыны
туралы айтуға болады. Жиын сөзі математикада жиынтық, класс, жинақ,
коллекция деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын
сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықты
бір ғана нәрсе болуы немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Жиын құратын кез-келген нәрселер (адамдар, үйлер, кітаптар, елдер,
геометриялық фигуралар, сандар т. б.) оның элементтері деп аталады. Мысалы,
3 саны – бір таңбалы натурал сандар жиынының элементі. Жиын мен оның
элементтерінің арасындағы элементті болады деген байланысты тиісті
сөзінің көмегімен де білдіруге болады. Мысалы, 3 саны бір таңбалы натурал
сандар жиынына тиісті деп айтуға болады.
Соңғы сөйлемде символдың көмегімен қысқаша жазуға болады: 3(А. Бұл
жазуда А әрпі арқылы бір таңбалы натурал сандар жиыны белгіленген (жиынды
латын алфавитінің бас әріптерімен белгілейді), ал ( белгісі тиісті сөзін
алмастырады.
Жалпы а(А жазуы а нәрсесі А жиынының элементті, немесе а нәрсесі А
жиынына тиісті, немесе А жиынында а элементі бар деп оқылады. а(А жазуын
а нәрсесі А жиынына тиісті емес, немесе А жиынында а элементті жоқ,
немесе а нәрсесі А жиынының элементі емес деп оқуға болады.
Жиын элементтерінің саны шектеулі де, шектеусіз болуы мүмкін. Мысалы,
қайсыбір педучилище оқушыларының жиының элементтерінің саны шектеулі, ал
түзудегі нүктелер жиыны шектеусіз.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да ұғымдар математиканы алғаш
оқытудың негізі болады және онда кеңінен пайдаланылады. Кейбір оқулықтарда
жиын термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде
пайдаланылады, ал бір қатар эксперимент кітаптарда жиын ұғымы
символикасымен қоса айқын түрде пайдалалынылады. Сан, натурал сандарды қосу
және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты
маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектептегі математика курсында теориялық –
жиындық негізде жүзеге асады.

Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері

Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін
айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер
де а, b, c, d – әр түрлі нәрселердің белгіленулері болса, онда осы
нәрселердің жиынын А={ а, b, c, d } түрінде жазып, оны А жиыны а, b, c, d
элементтерінен тұрады деп оқиды.
Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана енеді. Мысалы, 32 545 882 санының әр
түрлі цифрларынан тұратын жиын {3, 2, 5, 4, 8}, ал есеп деген сөздегі әр
түрлі әріптер жиыны {e, c, п} түрінде жазылады.
Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ
қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті cипаттамалық қасиет деп
атайды. Мысалға, 7-ден кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл
жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
олардың натурал және 7-ден кіші сан болуы аталып отыр. Қарастырылып
отырған А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді: А={1, 2, 3
,4, 5, 6}
Жиынның осылай берілу тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалға
радиусы r, центрі О болатын шеңбердің центрі О және радиусы r болатын
шеңбер деп жазықтықтың О нүктесінен r қашықтықта жататын нүктелер жиынын
атайды деген анықтамасын еске түсірейік. О-дан r қашықтықта және бір
жазықтықта жату – центрі О және радиусы r болатын шеңбердің барлық
нүктелеріне тән қасиет және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде бір
нүкте ие бола алмайды.
Элементтердің сипаттамалық қасиеті көрсетілген жиынды былай жазуға
болады: фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтерінің белгіленуін жазады.
Содан кейін вертикаль сызықша қояды да сызықшадан соң осы жиын
элементтеріне және тек соларға ғана тән қасиетті жазады. Мысалы, 7-ден кіші
натурал сандар жиыны А былайша жазылады:
А={xx- натурал сан, x7}
Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап
шығу, не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету керек. Екінші тәсіл
біріншіге қарағанда жалпылау екенін айта кетеміз. Мәселе мынада: жиынның
элементтерін атап шығу осы жиын шектеулі болғанда ғана мүмкін, ал жиын
элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болғанда ғана мү мкін, ал жиын
элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болса да, шектеусіз болса да
көрсетуге болады.
Бірақ кейбір кезде шектеусіз жиынды да бірінші тәсілді пайдаланып жазып
көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын N әрпі арқылы
белгілеп мына түрде

N= {1, 2, 3, 4, ...} жазуға болады.

Әрине жиынды тек көп нүктелер орнында не болатыны белгілі жағдайда ғана
осы түрде жазуға болады.
Барлық натурал сандардан және нольден тұратын жиынды N0 арқылы белгілеп,
былай жазады:
N0={1, 2, 3, 4, ...}

Бұл жиынды оң бүтін сандар жиыны деп атайды.
Барлық бүтін сандар жиынын Z әрпі арқылы белгілеу келісілген: Z={..., –5,
–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}
Математиканы оқып-үйрену барысында шешуге тура келетін көптеген есептер
элементтерінің ортақ қасиеті көрсетілген жиынды табумен байланысты болады.
Бірнеше мысалдар келтірейік.
1-мысал.

х(х-1)=0 теңдеуінің барлық түбірлерінің жиынын табу керек.
Ізделінді А жиынының барлық элементтеріне тән ортақ қасиет –х(х-1)=0
теңдеуінің түбірі болу, яғни А жиынын А={x x(x-1)=0} түрінде жазуға
болады. x(x-1)=0 – теңдеуін шешеміз. Екі х және х-1 сандарының
көбейтіндісі, тек сол сандардың біреуі ноль болғанда ғана, нольге тең
болатындықтан х1=0, х2=1 екендігін табамыз. Демек, А={0, 1}.
2-мысал. х(5 теңсіздігінің шешімдерінің жиының табу керек.
Ізделінді жиынды С деп белгілесек, оның барлық элементтеріне тән қасиет
х(5 теңсіздігінің шешімі болу, яғни С={x x5} болады. Бұл жерде C жиыны
шектеусіз, оның элементтерін сандық түзу бойында көрсеткен ыңғайлы (1-
сурет). 5 саны С жиынына тиісті болмағандықтан суретте оған сәйкес нүкте
ақ күйінде қалдырылды.

х≥5 теңсіздігінің шешімдерінің жиыны 2-суретте көрсетілген. Мұндағы
қарайтылған нүкте 5 санын өрнектейді, өйткені ол берілген теңсіздіктің
шешімдерінің жиынына тиісті.
Осыларға ұқсас 3–8 суреттерде х≤5 (3-сурет), х5 (4-сурет), –2х≤3 (5-
сурет), –2≤х3 (6-сурет), –2х3 (7-сурет), –2≤х≤3 (8-сурет) теңсіздіктерін
қанағаттандыратын барлық х сандарының жиындары көрсетілген.
Бастауыш кластардағы қазіргі математика оқулықтарында элементтері
берілген белгілі қасиетке ие болатын жиындарды табу қажет болатын көптеген
есептер бар. Мысалы, (7-ге бөлгенде қалдықтары 1 болатын үш сан
жазыңыздар(, (65-тен үлкен 75-тен кіші сандарды жазып шығыңыздар( деген
сияқты есептер.
Осыларға ұқсас есептерді бастауыш класс оқушылары қазақ тілі сабақтарында
(Қазақ алфавитіндегі барлық дауысты дыбыстарды атап шығыңыздар(; (Берілген
сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңыздар(; (Жаттығудағы барлық сын
есімдерді көшіріңіздер( т. с. с. тапсырмаларды орындағанда да шешеді.

Бос жиын

Әр түрлі жиындардың арасында бірде бір элементі жоқ жиынды да
кездестіруге болады. Мысалы, сіздің топтағы тенниспен айналысатын
оқушылардың тізімін немесе, қысқаша айтқанда, сіздің топтағы теннисші –
оқушылардың Т жиының құру керек дейік. Бірақ топта ондай оқушы жоқ болып
шықты. Ендеше Т жиынында бірде бір элемент жоқ.
Бірде бір элемент жоқ жиынды бос жиын деп атайды және оны ( белгісімен
белгілейді.
Бос жиынмен теңдеулерді шешуде де кездестіруге болады. Мысалы,
3х–7(3(х+5) теңдеуінің түбірлерінің жиынын іздестіру керек болсын. Берілген
теңдеу қажетті түрлендірулер арқылы 0(х(22 теңдігіне келтіріледі. Ал бұл
теңдік х-тің ешқандай мәнінде де тура емес. Бұл жағдайда берілген теңдеудің
түбірі жоқ немесе басқаша айтқанда, берілген теңдеудің түбірлерінің жиыны
бос жиын дейді.

Тең жиындар

Егер А және В екі жиын бірдей элементтерден тұратын болса, онда оларды
тең жиындар деп атайды және А(В түрінде жазады. Мысалы, А({3, 5, 7, 9} және
В({7, 3, 9, 5} жиындары өзара тең, өйткені бірдей элементтерден тұрады.
Элементтерінің орындарын ауыстарғаннан жиын өзгермейді.
Жиындардың тең болу ұғымы мына жағдаймен байланысты: бір ғана жиын мүлдем
әр түрлі сипаттамалық қасиеттер көмегімен берілуі мүмкін. Мысалы А({1, 2,
3, 4, 5} жиынын және 5 сандарының аралығындағы натурал сандар
жиыны немесе х6 теңсіздігінің натурал шешімдерінің жиыны деп те
қарастыруға болады.

Ішкі жиындар

Айталық, А – сіздің мектептегі барлық оқушылар жиыны, ал В – сіздің
кластағы оқушылар жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынынның бір бөлігі,
немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А жиынына кіреді. Мұндай жағдайда В
жиынын А жиынының ішкі жиыны деп атайды. Дәлірек айтсақ: В жиынының әрбір
элементі А жиынына тиісті болғанда және тек сонда ғана, В жиыны А жиынының
ішкі жиыны деп аталады, оны В(А (немесе А(В) түрінде жазып, (В жиыны А
жиынының ішкі жиыны( деп оқиды. ( белгісі жиындар арасындағы (ішкі жиыны
болады( деген мағынадағы байланыстықты көрсетеді.
Әрбір А жиыны өзінің ішкі жиыны болып табылады деп есептейді: А(А. Сондай-
ақ бос жиын ( кез келген А жиының ішкі жиыны болады деп есептеледі: ((А.
А жиынының бос емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса,
онда оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және ( ішкі жиындарын
оның меншікті емес ішкі жиындары деп атайды.
Мысалы, А({2, 4, 8} жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар. {2}, {4}, {8},
{2, 4}, {2, 8}, {4, 8}; екі меншікті емес ішкі жиыны бар: {2, 4, 8} және (.
Егер де А(В, ал В(С болса, онда А(С екендігіне көз жеткізу қиын емес.
Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал сонымен қатар В
жиынының әрбір элементі С жиынына тиісті.
Ұғымдар немесе нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда
біз әрдайым ішкі жиын ұғымын пайдаланым отырамыз. Қазақ тілінде сөйлемдегі
барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын – сын есімдері, зат
есімдері, етістіктерді, т. с. с. қарастырамыз. География және тарих
сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар т. с. с. жиындарының әр түрлі
ішкі жиындарын оқимыз. Осы сияқты күнделікті өмірде де ішкі жиын ұғымымен
пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол
елді мекендегі барлық үйлер жиынының ішкі жиыны болады; сіздің пәтердің
тұрғындары сіздің үйдің барлық түрғындары жиынының ішкі жиыны, бір
бөлмедегі орындықтар жиыны – сіздің пәтеріңіздегі барлық орындықтар
жиынының ішкі жиыны болып табылады т. с. с.
Ішкі жиын ұғымы математикада кеңінен пайданылады. 1-ден 10-ға дейінгі
сандар жиынын натурал сандар жиынының ішкі жиыны, ал натурал сандар
жиынының өзін барлық бүтін сандар жиынының ішкі жиыны деп қарауға болады.
Ромбылар, квадраттар, тік төртбұрыштар жиындары параллелограмдар жиынының
әр түрлі ішкі жиындары болып табылады.
(Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдерді сызыңдар(; (Әр түрлі ағаштардың
арасынан мәңгі көгеріп тұратындарын атаңыздар(, (1-ден 10-ға дейінгі
сандардың 2-ге бөлінетіндерін көрсетіңіздер(; (Берілген сандардың арасынан
үш таңбалы сандарды көрсетіңіздер(; (Әр түрлі фигуралардың арасынан
үшбұрыштарын табыңыздар( деген сияқты тапсырмаларды орындату арқылы қазақ
тілі сабағында да, табиғаттану сабағында да, математика сабағында да
төменгі класс оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.

Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы.)
Эйлер–Венн диаграммалары

Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін тұйық
контур сызамыз да, жиынның элементтері осы контурдың ішіндегі нүктелермен
кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті
емес. Мысалы, 9-суретте біз А және В жиындарының элементтерін көрмесек те,
тіпті олардың қандай жиындар екенін білмесек те, бұл сурет В жиыны А
жиынының құрамына енетінін, яғни В(А екенін айтып тұр. Мұндағы А қайсыбір
мектеп оқушыларының жиыны, ал В – осы мектептің екінші кластары
оқушыларының жиыны, ал В 5-ке бөлінетін барлық натурал сандар жиыны болуы
мүмкін.
Жиындарды осылай кескіндеу тәсілі Эйлер дөңгелектері немесе Венн
диаграммалары деп аталады. Осындай кескіндеулерді біз Эйлер–Венн
диаграммалары деп атайтын боламыз.

Универсал жиын

А–қайсыбір мектептегі ұл балалар жиыны, В–осы мектептегі қыз балалар
жиыны, ал С–осы мектептің спортсмендерінің жиыны болсын. Осы аталған
жиындардың барлығын мектептің барлық оқушыларының жиынының ішкі жиындары
деп қарастыруға болады. Барлық жиындары бір ғана I жиынының ішкі жиындары
ретінде қарастыратын жағдай аз кездеспейді. Осындай I жиынын универсал жиын
деп атайды. Ендеше, егер I – мектептің барлық оқушыларының жиыны болса,
онда А(I, В(I, С(I болады.
Универсал I жиынын тік төртбұрыш түрінде, ал оның ішкі жиындарын – осы
тік төртбұрыштың ішіндегі дөңгелектер түрінде кескіндеуге келісейік. Онда
біздің қарастырып отырған I, А, В, С жиындарын графикалық түрде мынадай (10-
сурет) етіп кескіндеуге болады.

Жиындарға қолданылатын амалдар.
Жиындардың қиылысуы

Екі жиынның элементтерінен жаңа жиындар құруға болады.
А({0, 2, 4, 6} және В({–2, –1, 0, 1, 2} екі жиын берілген болсын.
Элементтері берілген А және В жиындарының екеуіне де тиісті жаңа С жиынын
құрайық: С({0, 2}. Осылай құрылған С жиынын А және В жиындарының қиылысуы
деп атайды. Сонымен:
А және В жиындарының қиылысуы деп А және В жиындарының екеуіне де енетін
элементтерден және тек қана сол элементтерден тұратын жиынды атайды. А және
В жиындарының қиылысуын А∩В өрнегімен белгілейді, мұндағы ∩ – жиындардың
қиылысуы белгісі.
Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы бейнелесек, онда
А∩В жиыны штрихталған облыс болады (11-сурет).
А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың қиылысуы бос
жиын болады А∩В((. Бұл жағдайда А және В жиындары қиылыспайды деп айтады.

Жиындардың бірігуі

Берілген екі жиыннан жаңа жиын құрудың тағы бір тәсілін қарастырайық.
А және В жиындарының бірігуі деп не А, не В жиындарының ең болмағанда
біреуіне енетін элементтерден тұратын жиынды айтады.
А және В жиындарының бірігуін А∪В деп белгілейді, мұндағы ∪жиындардың
бірігуінің белгісі. Мысалы, А({1, 3, 5} және В({2, 4, 6, 8} жиындарының
бірігуі А∪В({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,} жиыны болады.
Егер бірігетін жиындардың ортақ элементтері бар болса, мысалға, А({а, б,
в, г, д, е} және В({г, е, ж, з} жиындары, онда олардың ортақ элементтері г,
е бірігуде тек бір қана жазылады; А∪В({а, б, в, г, д, е, ж, з}.
Мысалға, А – кластағы фотография үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны, ал
В – сол кластағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны болсын.
Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті – (фотография үйірмесіне
қатысуы(, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті – (математика
үйірмесіне қатысуы( болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне
аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл
оқушылардың ішінде не тек фотография үйірмесіне, не тек математика
үйірмесіне немесе екі үйірменің екуіне де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.
А∩В(( деп санап, А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндейік (12-сурет). Осы суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А∪В жиынын
көрсетеді.Бірігу ұғымы геометрияда үлкен роль атқарады. Екі немесе бірнеше
фигуралардың бірігуі деп осы фигуралардың ең болмағанда біреуіне тиісті
нүктелер жиынын айтады. F1 және F2 фигураларының бірігуін F1 ∪F2 түрінде
жазады. Мысалы, егер F1 – ABC үшбұрышы, ал F2 – ACDE төртбұрышы болса, онда
олардың F1∪F2 бірігуі ABCDE фигурасы болады. (13-сурет).
Бастауыш мектепте шешімдерін табу шын мәнінде жиындардың бірігуімен
байланысты болатын есептер қарастырылады. Бұған сандарды қосуға арналған
және басқа да көптеген есептер жатады. Мысалы: (14-суретте берілген тік
төртбұрышты фигураның ауданын есептеу керек. Ол үшін фигураны кішкене тік
төртбұрыштарға бөліп, қажетті өлшеулер жүргізіңіздер(. Берілген F фигурасын
кішкене F1 F2 және F3 тік төртбұрыштарға бөліп, F1∪ F2 ∪F 3 (F деп
есептейміз.

Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы

А – қайсыбір кластағы барлық парталар жиыны, ал В – осы кластағы бір
қатарда тұрған парталар жиыны, яғни В(А болсын. Егер В жиынына кластағы
басқа қатарда тұрған парталарды қоссақ, онда А жиыны шығады. Бұл жерде біз
В жиынын А жиынына дейін толықтырдық.
Сонымен, егер В(А болса, онда А жиынының В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындағы толықтауышы деп аталады және
арқылы белгіленеді.
Егер А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары арқылы кескіндесек, онда
А жиынындағы В жиынының толықтауышы штрихталған (15-сурет) бөлік болады.
жиынының қалай табылатынына тоқталайық. А({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ал
В({2, 4, 6} болсын. Онда жиынын табу үшін А жиынынан В жиынына
енетін элементтерді шығарып тастау керек: ({1, 3, 5, 7}. Басқаша
айтқанда, жиынын табу үшін А жиынынан В жиынын азайту керек екен.
А жиынынан в жиынын азайтуды В жиыны А жиынының ішкі жиыны болмаған
жағдайда да орындауға болады. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына
тиісті және В жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В
жиындарының айырмасын А\В символы арқылы белгілейді. Мысалы егер А({а, в,
с, д, е}, В({д, е, к, л} болса, онда А\В ( {а, в, с} болады.
А және В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары көмегімен кескіндесек, онда
А\В жиыны (16-сурет) штрихталған бөлік болады.
Бір жиынды екінші бір жиынға дейін толықтыру ұғымын бастауыш кластарға
натурал сандарды бірінен-бірі азайтудың негізі ретінде пайдаланады.

Кортеж

Жиынның әрбір элементі тек бір рет қана енетіні бізге белгілі. Сондықтан
да, мысалы, параллелограмм деген сөздегі әріптер жиының былайша жазады:
{п, а, р, л, е, о, г, м}. Бұл жерде элементтердің жазылуы маңызды роль
атқармайды. Бірақ бұл сөзді қатесіз дұрыс жазу үшін оған енетін әріптерді
ғана біліп қоймай, олардың жазылу ретін және де, мысалға, сөздің соңында
м әріпімен екі рет жазылатының да білу керек. Міне осы жағдайда біз
параллелограмм сөзіне енетін барлық әріптердің жиынтығымен жұмыс
жасаймыз.
Осыған ұқсас мәселелер математикада да бар: 133211 санын жазу үшін бізге
оның цифрларының жиыны, яғни {1, 3, 2} жиынымен қатар, ол санның
жазылуындағы барлық цифрлар жиынтығын, олардың ретін білу керек. Бұл
жиынтықта цифрлардың жазылу реті маңызды роль атқарады. Өйткені, мысалы,
133211 санындағы әрбір бірліктің мағынасы әр түрлі: бірінші бірлік
қарастырылып отырған санда бір жүзмыңдықтың бар екенін, екінші бірлік осы
санда бір ондықтаң, ал үшінші бірлік осы санда бір бірліктің бар екенін
көрсетеді.
Математикада осындай жиынтақтарды кортеждер деп атайды. Машиналар
кортежі, адамдар кортежі, сөздегі әріптер кортежі, санның цифрларының
кортежі туралы айтуға болады.
Кортежге енетін, әрбір нәрсені компонент немесе координата деп атайды.
Мысалы, 133211 саны цифрларының кортежі 1, 3, 3, 2, 1, 1 түрінде
жазылады.
Кортеждің компонеттерінің саны оның ұзындығы деп аталады қарастырылып
отырған кортеждің ұзындығы 6, ал параллелограмм сөзінің әріптері
кортежінің ұзындығы 14-ке тең.
Екі а1, а2, ..., аm, және b1, b2, ..., аn, кортеждердің ұзындықтары тең,
яғни m=n болса және бірінші кортеждің әрбір компоненті екінші кортеждің
әрбір сәйкес компонентіне тең, яғни а1( b1, а2( b 2 ..., аm( bn болса, онда
оларды тең кортеждер деп атайды. Мысалы, а, b1, с және а, b, с,
кортеждері тең кортеждер болып саналмайды.
Ұзындығы 2-ге тең кортеждерді реттелген жұптар немесе, қысқаша, жұптар,
ұзындығы 3-ке тең кортеждерді үштіктер деп т. е. с. атайды. Сонымен қатар,
ұзындықтары 1 және 0 болатын кортеждер де, қарастырылып, оларды а және
арқылы белгілейді. Дегенмен, бірқатар есептерді шешу кортеж ұғымы мен
байланысты болғандықтан, бұл ұғым пайдаланылады.
Мысалы, үшінші класта мынадай есепті шығарады: 1000001 саны қанша
цифрмен жазылған? Оқушылар бұл сурақтарға 1000001 саны 7 цифрмен
жазылған, олардың ішінде әр түрлі екі цифр ғана бар, олар 0 және 1 деп
жауап береді.
Осы жауаптың мағынасында бізге белгілі кортеж және жиын ұғымдары
жатқанын көреміз. Шынында да, 1000 001 саны дегеміз цифрлардың 1, 0, 0, 0,
0, 1 кортежі, ал ол сан жеті цифрмен жазылған дегенде біз кортеждің
ұзындығын айтып тұрмыз. Санның әр түрлі цифрлары туралы сұраққа жауап
бергенде біз ол санның цифрларының жиыны, яғни {1, 0} жиыны туралы айтамыз.
Үшінші класта мына сияқты есептер де қарастырылады: 2, 0, 7 цифрларын
пайдаланып: а) біртаңбалы үш сан; б) екі таңбалы төрт сан; в) жеті таңбалы
бір сан жазыңыздар.
Бұл есепте шешу үшін 2, 0 және 7 цифрларынан әр түрлі кортеждер құру
керек екені түсінікті. Атап айтқанда: а) ұзындығы 1-ге тең; б) ұзындығы 2-
ге тең; в) ұзындығы 7-ге тең кортеждер құру керек.
Әрине б) және в) жағдайларында бірінші компоненттері нольге тең болатын
кортеждер қарастырылмайды.
Қарастырылып отырған есептің а) жағдайының жауабы: 2, 0, 7 цифрларын
пайдаланып бір таңбалы үш сан, яғни 0, 2, 7 сандарын жазуға болады (бұл
жерде ұзындықтары 1-ге тең үш кортеж 0, 2 және 7 болады).
Есептің б) сұрағына жауап бергенде оқушылар екі таңбалы төрт санның әр
түрлі жиынтықтарын атаулары мүмкін. Мысалы, оқушылардың біреуі 20, 27, 72,
70 сандарын (яғни 2, 0, 2, 7, 7, 2, 7, 0 кортеждерін), екіншісі
–20, 22, 72, 77 сандарын, үшіншісі –22, 70, 27, 72 сандарын т. с. с. атауы
мүмкін.
Соңғы жағдайда да оқушылардың жауаптары әр түрлі болады, яғни оқушылар
2777002 санын да, 7777777 санын да, 2000000 санын да т. с. с. атаулары
мүмкін.
Реттелген жұптар

Жұп ұғымын біз күнделікті сөзімізде жиі пайдаланамыз. Мысалы, бишілер
жұбы, жұп ат, бір жұп етік, деп айта береміз. Жұп сөзі кездесетін сөз
тіркестерінің тізімін жалғастыра беруге болады. Қазақ тілі сабағында
мысалы, (сөйлемдегі сөздер қос мағынамен байланысты( деп айтады.
Математикада жұп туралы сөз болғанда оны ұзындығы 2-ге тең кортеж деп
түсінеміз. Егер жұптың компоненттері х және у болса, онда оны (х,у( түрінде
жазады. Сонымен, жұп дегеніміз ұзындығы 2-ге тең кортеж. Бұл анықтамадан
(х, у(((у, х( екенін, яғни (х, у( және (у, х( жұптары әр түрлі жұптар
екенін көреміз. Компоненттері тең емес жұптармен қатар (х, х( түріндегі
жұптар да қарастырылады.
Жұп ұғымымен мектеп математикасы курсында біз тік бұрышты координаталар
жүйесін пайдаланғанда кездескенбіз. Бұл координаталар системасында әрбір
нүктенің координаталары жұп сан болып табылады. Мысалы, А нүктесінің (17
–сурет) абсциссасы – 5-ке тең, ал ординатасы 3-ке тең, яғни А нүктесінің
координаталары мынадай жұп сан болады: (–5, 3(.

Жиындардың декарттық көбейтіндісі

Бізге Алматыдан және Астанадан, Стамбул, Москва және Пекин қалаларына
барлық мүмкін маршруттардың жиынын құру керек болсын. Бұл маршруттар:
Алматы-Стамбул, Алматы-Москва, Алматы-Пекин, Астана-Стамбул, Астана-Москва,
Астана-Пекин.
Алматы және Астана қалаларынан тұратын жиынды Х арқылы, ал Стамбул,
Москва, Пекин қалаларынан тұратын жиынды У арқылы белгілейік, яғни
Х({Алматы, Астана}, У({Стамбул, Москва, Пекин}. Онда маршруттардың жиыны
(18-сурет) бірінші компоненті Х жиынының, ал екінші компоненті У жиынының
элементі болатын жұптардың жиыны екенін көреміз. Олай болса, маршруттардың
жиынын былайша жазуға болады: {(Алматы-Стамбул(, (Алматы-Москва(, (Алматы-
Пекин(, (Астана-Стамбул(, (Астана-Москва(, (Астана-Пекин(}.

Осылайша құрылған жұптар жиыны Х және У жиындарының декарттық
көбейтіндісі деп аталады. Жалпы, Х және У жиындарының декарттық
көбейтіндісі деп бірінші компоненті х(Х, ал екінші компоненті у(У болатын
барлық (х, у( жұптарының жиынын айтады.
Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісін Х(У арқылы белгілейді, яғни
Х(У({(х, у( ( х(Х, у(У}.
Тағы да мысал келтірейік. Х({1, 2, 3, 4} және У({а, в, с} жиындарының
декарттық көбейтіндісін табу керек болсын. Анықтамасы бойынша ол мынадай
жұптардан тұрады: Х(У({(1, а(, (1, в(, (1, с(, (2, а(, (2, в(, (2, с(, (3,
а(, (3, в(, (3, с(, (4, а(, (4, в(, (4, с(}.
Осы декарттық көбейтіндіні таблица арқылы жазған қолайлы:
Х(У жиынының әрбір элементі таблицаның сәйкес жолы мен бағанасының
қиылысқан клеткасына жазылады. Олай болса, таблицаның клеткаларының жиыны
Х({1, 2, 3, 4} және У({а, в, с} жиындарының декарттық көбейтіндісін береді
екен.
Сәйкестіктер
Жиындар арасындағы сәйкестік

Қайсыбір класс оқушылары Арманға, Еділге, Қайратқа, Динаға, Талғатқа және
Сәулеге: (Сендер футбол, волейбол, жүзу, гимнастика және теннис сияқты
спорт түрлерімен шұғылданасыңдар ма?( деп сұрақ қойылған. Олардың жауаптары
кестеге орналастырылды.
Футбол Волейбол Жүзу Гимнастика Теннис
Арман
Талғат
Сәуле
Ш Ж
Ж Ш

Пікірлер конъюнкциясы

1-суретте ABCD паралеллограммы кескінделге. Параллелограмм туралы
бізге кейбір пікірлер белгілі:
1. AD қабырғасы BC қабырғасына параллель және оған тең
2. ABCD параллелограммының диагональдары бір нүктеде қиылысады және қақ
бөлінеді
осы қарастырылып отырған құрама пікірлердің екі элементар пікірлерді
және жалғаулығы арқылы қосудан шыққандығын көреміз.
А В А ( В
Ш Ш Ш
Ш Ж Ж
Ж Ш Ж
Ж Ж Ж

Егер бірінші пікірді А, ал екінші пікірді В әріптерімен белгілесек,
онда берілген сөйлемдерді қысқаша А және В деп жазады, яғни әр түрлі
мазмұндағы сөйлемдер логикалық бір ғана формамен жазылады.
А және В деген пікірді А, В пікірлерінің конъюнкциясы (латынша
conjunction – байланыстыррамын деген сөз) деп атайды.
Пікірлер конъюнкциясы , оны құрайтын А және В пікірлерінің екеуі де шы
болғанда ғана шындық болады. Ал егер А немесе В екеуінің бірі жалған болса,
онда коньюнкция да жалған болады. А және В пікірлерінен құралған
коньюнкцияны А ( В ( А және В деп оқылады) түрінде белгілейді.
Бұл анықтамадан А ( В конъюнкциясы үшін шындық таблицасы мынадай
болады:
Екі пікірдің коньюнкциясымен біз қос теңсіздіктерді қарастырғанда
кездесеміз. Шындығында, 2(5(10 теңсіздігі 2(5 және 5(10 деген екі
пікірдің коньюнкциясы болады.

Пікірлер дизъюнкциясы

Мынадай:
1. Жазда біз тауға шығамыз немесе теңізге кетеміз;
А В А ( В
Ш Ш Ш
Ш Ж Ш
Ж Ш Ш
Ж Ж Ж

2. 5х2+1(0 теңдеуінің нақты сандар жиынында шешуі болады немесе шешуі
болмайды;
Бұл келтірілген пікірлер құрамалы, олардың бәрінің формасы А немесе В
түрінде болады. А немесе В формасындағы пікірді А, В пікірлерінің
дизюнкциясы (латынша disiunctio – ажыратамын деген сөз) деп атайды. А және
В пікірлерінің екеуі де жалған болған жағдайда ғана дизъюнкция жалған
болады; қалған жағдайлардың бәрінде дизъюнкция шын болады.
А, В пікірлерінің дизъюнкциясын А ( В деп белгілейді. Бұл жазба А
немесе В деп оқылады.
Дизъюнкция анықтамасынан А ( В үшін шындық таблица.

Пікірлер импликациясы

Құрама пікірлерді элементар пікірлердің егер..., онда сөздері арқылы
алуға болатыны белгілі. Мысалы, Егер мен билет сатып алсам, онда театрға
барамын, Егер оқушы емтиханнан оң баға алса, онда ол бұл емтиханды
тапсырған болғаны, Егер 44 саны 8-ге еселі болса, онда ол 4-ке еселі.
Егер берілген құрама пікірлерді құрайтын элементар пікірлерді А және В
арқылы белгілесек, онда олардың (құрама пікірлердің) барлығы да егер А,
онда В түріндегі бірдей формада болатыны болатыны анық көрініп тұр.
Егер А, онда В түріндегі пікір А, В пікірлерінің импликациясы (латынша
implicatio – тығыз байланыстырамын деген сөз) деп аталады.
А және В пікірлерінің импликациясын А(В түрінде жазып оны егер А, онда
В деп оқиды. А пікірі импликация шарты деп, ал В пікірі – оның қорытындысы
деп аталады.
А(В импликациясы А шын, ал В жалған болатын жағдайдан басқа жағдайдың
барлығында шын деп саналады. Ендеше А(В пікірінің шындық таблицасы мынадай
болады:

А Ш Ш Ж Ж
В Ш Ж Ш Ж
А(В Ш Ж Ш Ш

Берілген импликацияға кері импликация
Пікірлер эквиваленциясы

А және В пікірлерінің импликациясы А(В берілген болсын. Оның шарты мен
қорытындыларының орындарын уыстырып, В(А импликациясын аламыз. Оңы берілген
А(В импликациясына кері импликация деп атайды. Мысалы, Егер сіздің жасыңыз
16-дан үлкен болса, онда сіздің паспортыңыз бар деген импликация берілген
болса, онда оған кері импликация: Егер сіздің паспортыңыз бар болса, онда
сіздің жасыңыз 16-дан үлкен түрінде болады.
Өзара кері екі А(В және В(А импликациялырының конъюнкциясын, яғни (А(В)
( (В(А) түріндегі пікірді қарастырайық. Осы пікірдің шындық таблицасын
құрайық.

А В А(В В(А (А(В) ( ( В(А)
Ш Ш Ш Ш Ш
Ш Ж Ж Ш Ж
Ж Ш Ш Ж Ж
Ж Ж Ш Ш Ш

Бұл таблицадан (А(В) ( ( В(А) пікірі тек А және В пікірлерінің екеуі де
не шын, не екеуі де жалған болған жағдайларда ғана шын болатындығын өріп
отырмыз. Қалған жағдайлардың барлығында ол пікір жалған.
(А(В) ( ( В(А) пікірің А және В пікірлерінің эквиваленциясы деп атайды
және оны А(В жазбасы В болғанда және тек сонда ғана А болады деп оқылады.
Сонымен, А(В эквиваленциясы. А және В пікірлерінің екеуі де шын немесе
екеуі де жалған болғанда және тек сонда ғана, шын болады екен.
Мысалы, А пікірі: 792 саны 9-ға еселі, ал В пікірі: 792 санының
цифрларының қосындысы 9-ға еселі болатын болса, онда берілген А және В
пікірлерінің импликациясы былайша естіледі: 792 саны оның цифрларының
қосындысы 9-ға еселі болғанда және тек сонда ғана 9-ға еселі болады. Бұл
эквиваленция шын, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де шындық.
2(3 сонда және тек сонда, қашан 35 импликациясы жалған, себебі оны
құрайтын пікірлердің бірі 2(3 жалған пікір.

Предикаттар
Айнымалысы бар мына төмендегі сөйлемдерді қарастырайық:
а) х10;
б) х+1(7;
в) х саны 5-ке қалдықсыз бөлінеді;
г) ху.

Осы сөйлемдердегі кездесетін х және у айнымалыларын тек натурал мәндері
ғана қабылдайды деп санайық, яғни х(N, у(N.
Бұл сөйлемдердің ешқайсысы да пікір бола алмайды, себебі олардың ішінде
белгісіз сандар болғандықтан, бұл сөйлемдердің шындығы туралы біз ештеңе
айта алмаймыз. Алайда, егер, мысалға, х10 теңсіздігіндегі х-тің орнына әр
түрлі натурал сандарды қойсақ, онда біз бірде шын, бірде жалған болатын
натурал сандар туралы пікірлер алатынымызды байқауға болады. Шынында, егер
х(12 болса, онда 1210 жалған пікір, ал егер х(5 болса, онда 510 шын
пікір. х10 теңсіздігін шын пікірге айналдыратын х-тің барлық натурал сан
мәндерінің {1, 2, 3...,9} жиынына жататынын көреміз.
Бір немесе бірнеше айнымалысы бар және олардың нақтылы мәндерінде
пікірге айналатын сөйлем пікірленетін форма немесе предикат деп аталады.
Предикатқа енетін айнымалылардың сандарына қарай бір орыны, екі орынды,
үш орынды т. с. с. предикаттар деп ажыратады.
Осы предикаттардың әрқайсысымен біз екі жиынды байланыстырдық: Оның
біріншісі N – барлық натурал сандар жиыны. Айнымалының мәндері осы жиыннан
алынса берілген сөйлемдер пікірлерге айналды (шын немесе жалған).
Екінші – айнымалының орнына қойылғанда сөйлемдерді шындық пікірлерге
айналдыратын натурал сандар жиыны. Мысалы, х10 предикаты үшін осындай жиын
болып {1,2,3...,9} жиыны саналады.
Бірінші жиынды предикаттың анықталу жиыны, ал екіншісін – оның шындық
жиыны деп атайды.
Жалпы, егер қандай да бір предикат берілген болса, онда онымен екі жиын
байланысты болады:
1. Анықталу жиыны (облысы) – айнымалының предикатты пікірге
айналдыратын барлық мәндерінің жиыны.
2. Шындық жиыны Т – айнымалының предикатты шын пікірге айналдыратын
мәндерінен тұратын жиын, әрі Т(Х
Мысалыб А(х)б х(N, х саны 5-ке еселі деген предикат болса, онда А(7)
– 7 саны 5–ке еселі деген жалған пікір болады, ал А(60) – 60 саны 5-
ке еселі деген шын пікір болады.
Екі орынды предикатты А(х,у) түрінде белгілейміз. Мұндағы х,у(Х.
Бастауыш кластардың математик оқулақтарында біз предикат терминің
кездестірмейміз, бірақ логикада предикат деп аталатын пікірмен үнемі ісіміз
болып тұрады. Үшінші класс оқулығында мынадай есеп бар:
а) а+1823; б) а+18(23; в) а+1823 жазбаларын қанағаттандыратын а
әрпінің мәндерін 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 сандар қатарынан алып жазыңыздар

Предикаттардың теріске шығуы,
конъюнкциясы және дизъюнкциясы

Пікірлер сияқты предикаттар да элементар және құрама болады. Құрама
предикаттар логикалық байланыс арқылы элементар предикаттардан құралады.
Х жиынында А(х) предикаты берілген болсын. Оның теріс предикаты сол Х
жиынында анықталатын және Х жиынының берілген А(х) жалған болатын х-тарында
ғана шын болатын предикат болады. Оны деп белгілейді.
Мысалы, Х({1, 2, 3, ..., 10} жиынында А(х): х саны 6-дан үлкен деген
предикат берілген болсын. Оның шындық Т жиыны 7, 8, 9, 10 сандарынан
тұрады, яғни Т({7, 8, 9, 10}. Ендеше оның теріс предикаты х саны 6-
дан үлкен емес. Оның шындық жиыны 6 санынан және Х жиынының 6-дан кіші
сандарынан тұрады. Бұл сандар Х жиынындағы Т жиынына қосымша жиын құрады.
Олай болса, предикатының шындық жиыны Т({1, 2, 3, 4, 5, 6} түрінде
болады.
Жалпы, егер Х жиынында берілген А(х) предикатының шындық жиыны Т
болатын болса (2-сурет). Онда предикатының шындық жиыны болады
және ол Х жиынында Т жиынына қосымша жиын болады (2 – суретте жиыны
штрихталған)
Х жиынында А(х) және В(х) екі предикаты берілген болсын. Онда олардың
конъюнкциясы болып А(х)(В(х) предикаты саналады. А(х)(В(х) предикаты Х
жиынының А(х) және В(х) предикаттарының екеуі де шын болатын х
элементтерінде шын болады.
Мәселен, егер Х({1, 2, 3, ...,11, 12} жиынында А(х): х саны 7-ден
кіші және В(х): және В(х): х саны жай сан деген екі предикат берілген
болса, онда олардың конъюнкциясы А(х)(В(х): х саны 7-ден кіші және жай
сан предикаты болады.
А(х) предикатының шындық жиыны Т1({1, 2, 3, 4, 5, 6}, ал В(х)
предикатының шындық жиыны Т2({2, 3, 5, 7, 11}. х саны 7-ден кіші және жай
сан предикаты х(2, х(3, х(5 мәндерінде шын пікірге айналады. Олай болса,
оның шындық жиыны – {2, 3, 5} жиыны Т1 және Т2 жиындарының қиылысуы болады.
Жалпы, егер А(х) предикатының шындық жиыны Т1 ал В(х) предикатының
шындық жиыны Т2 болатын болса, онда А(х)(В(х) предикатының шындық жиыны
Т1∩Т2 болады (3-сурет).
Х жиындағы А(х)(В(х) предикаты А(х) және В(х) предикатының
дизъюнкциясы деп аталады. Ол Х жиының А(х) және В(х) предикаттарының ең
болмағанда біреуі шын болатын х мәндерінде шын болады.
Мысалы, Х қайсыбір класс оқушыларының жиыны болсын. Осы жиында
А(х): оқушы х – спортсмен және В(х): оқушы х – қара шашты деген
екі предикат берілген. Осы предикаттардың дизъюнкциясы болып А(х)(В(х):
оқушы х – спортсмен немесе қара шашты предикаты саналады.
А(х) предикатының шындық жиыны болып кластағы спортпен айналысатын
оқушылар жиыны Т1, ал В(х) предикатының шындық жиыны болып кластағы барлық
қара шашты оқушылар жиыны Т2 болады. Дизъюнқция А(х)(В(х)–ның шындық жиынын
спортпен айналысатын немесе қара шашты оқушылар енетін болады, яғни Т1 және
Т2 жиындарының бiрлестiгiне жататын оқушылар енедi.
Жалпы, А(х)(В(х) предикатының шындық жиыны болып Т1 және Т2
жиындарының бiрлестiгi, яғни Т1(Т2 саналады (4-сурет).

Терiске шығару, конъюнкция жане дизъюнкция операцияларын пайдаланып әр
түрлi құрама, мысалы, А(х)(, т. с. сияқты предикаттарды құруға
болады. Мысалға, Х={-3, -2, -1, -0, 1, 2, 3, 4, 5} жиынында А(х): х саны 3-
ке еселi және В(х): х-10 деген екi предикат берiлген болсын.
турiндегi предикат құрайық. Бiздiң мысалымызда оны сөзбен айтқанда былайша
болып шығады: х саны 3-қе еселi және х-10 дегендерiмiз дұрыс емес.

Осы құрама предикаттың шындық жиынын табайық. Ол үшiн:

1. А(х) және В(х) предикаттарының шындық жиындарын табу қереқ. Олар Т1
={-3, 0, 3} және Т2 {2, 3, 4, 5) жиындары болады (Т1 жиыны А(х) үшiн, ал Т2
жиыны В(х) үшiн).

2. Берілген предикаттардың қонъюнкцияның шындық жиыны – Т1 және Т2
жиындарының қиылысуы екендiгiн табамыз, яғни Т1∩Т2(3

3. А(х)(В(х) предикатының терiс предикатының шындық жиынын
табайық.

А(х)(В(х) предикатының теріс предикаты болғандықтан, оның
шындық жиыны {3} жиынына Х жиынындағы қосымша жиын болады. Олай болса,
предикатының шындық жиыны болып {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 5) жиыны
саналады.

Предикаттар импликациясы

Х жиынында А(х) және В(х) предикаттары берілген болсын. х(Х үшiн
А(х)(В(х) предикатын берілген предикаттардың импликация деп атайды. Бұл
А(х)(В(х) предикаты Х жиынының А(х) предикаты шын, ал В(х) предикаты жалған
пiкірлер болатын х-тің мәндерінде ғана жалған пікірлерғе айналады. Х
жиынындағы х-тiң басқа мәндерiнде А(х)(В(х) предикаты шын болады.

Предикаттар импликацияларының мысалдарын қарастырайық.

1-м ы с а л. Х={1, 2, 3, ..., 10} жиынында А(х): х саны З-қе еселi
және В(х): х саны жұп деген екі предикат алайық. Сонда А(х)(В(х)
предикаты Егер х саны З-қе еселi болса, онда ол жұп сан болғаны деген
мағына бередi. Осы предикаттың шындық жиынын табайық.

Т1 арқылы А(х) предикатының шындық жиынын, ал Т2 арқылы В(х)
предикатының шындық жиынын белгілейді. Сонда Т1({3, 6, 9}, Т2({2, 4, 6, 8,
10} болатындықтарына оңай жеткiзуге болады. Эйлер — Венн диағраммасы
арқылы Х, Т1 және Т2 жиындарын кескiндейiк (5-сурет).

Импликация анықтамасы бойынша Егер х саны З-қе еселi болса, онда ол
жұп сан болғаны деген предикат х=3 және х=9 мәндерiнде жалған пікірге
айналатындығын анықтаймыз. х-тiң Х жиынындағы басқа мәндерi үшiн берілген
импликация шындық болады. Сонымен, Т3({1, 2, 3, 4, 6, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.