Вариациялық есептеулер пәні
№ 1 Лекция
Кіріспе.
№ 2 Лекция
Сызықтық функционал
№ 3 лекция.
Қарапайым функционалдардың
жекелеген түрлері.
№ 4 лекция.
Қарапайым функционалының
жекелеген түрлері (жалғасы).
Бір айнымалыға тәуелді бірнеше функцияның және олардың бірінші туындыларының
функционалдары.
№ 6 лекция.
Жоғарғы ретті туындыларға тәуелді функционалдар
№ 7 лекция.
Бірнеше тәуелсіз айнымалылардың функцияларының
функционалдары.
№ 8 лекция.
Бірнеше айнымалыға тәуелді функцияның және оның
туындыларының функционалдары
№ 9 лекция.
Жылжымалы шекаралы қарапайым вариациялық есеп
№ 10 лекция.
түріндегі функционалдардың жылжымалы
шекаралық есебі
№ 11 лекция.
Бұрыштық нүктелері бар экстремалдар.
№ 12 лекция.
Экстремалдардың сынуы.
№ 13 лекция.
Бірбағытты вариациялар.
№ 14 лекция.
ЭКСТРЕМУМНЫҢ ЖЕТКІЛІКТІ ШАРТТАРЫ
№ 15 лекция.
Якоби шарты. Якоби теңдеуі.
№16 лекция.
Вейерштрасс теңдеуі.
№17 Лекция.
Шартты экстремумның вариациялық есептері.
№ 18 Лекция
10.шы тарау. ВАРИАЦИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДЕГІ ТІКЕЛЕЙ ӘДІСТЕР.
№ 19 Лекция
Ритц әдісі.
№ 20 Лекция
ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІ
Кіріспе.
№ 2 Лекция
Сызықтық функционал
№ 3 лекция.
Қарапайым функционалдардың
жекелеген түрлері.
№ 4 лекция.
Қарапайым функционалының
жекелеген түрлері (жалғасы).
Бір айнымалыға тәуелді бірнеше функцияның және олардың бірінші туындыларының
функционалдары.
№ 6 лекция.
Жоғарғы ретті туындыларға тәуелді функционалдар
№ 7 лекция.
Бірнеше тәуелсіз айнымалылардың функцияларының
функционалдары.
№ 8 лекция.
Бірнеше айнымалыға тәуелді функцияның және оның
туындыларының функционалдары
№ 9 лекция.
Жылжымалы шекаралы қарапайым вариациялық есеп
№ 10 лекция.
түріндегі функционалдардың жылжымалы
шекаралық есебі
№ 11 лекция.
Бұрыштық нүктелері бар экстремалдар.
№ 12 лекция.
Экстремалдардың сынуы.
№ 13 лекция.
Бірбағытты вариациялар.
№ 14 лекция.
ЭКСТРЕМУМНЫҢ ЖЕТКІЛІКТІ ШАРТТАРЫ
№ 15 лекция.
Якоби шарты. Якоби теңдеуі.
№16 лекция.
Вейерштрасс теңдеуі.
№17 Лекция.
Шартты экстремумның вариациялық есептері.
№ 18 Лекция
10.шы тарау. ВАРИАЦИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДЕГІ ТІКЕЛЕЙ ӘДІСТЕР.
№ 19 Лекция
Ритц әдісі.
№ 20 Лекция
ШЕКТІ ЭЛЕМЕНТТЕР ӘДІСІ
Белгілі бір функциясының экстремал мәндерін (min,max) анықтауды қажет ететін есептермен қатар, жаратылыстану ғылымдарында функционал деп аталатын ерекше бір шамалардың экстремал мәндерін анықтау қажеттілігі туады. Функционал деп, мәндері бір немесе бірнеше функцияларды таңдау арқылы анықталатын, айнымалы шамаларды айтады.
Сол сияқты, кеңістіктегі кез келген беттің ауданы да функционал. Себебі, ауданының шамасы беттің теңдеуіндегі функциясының түріне тәуелді:
.Бұл жерде, - қарастырылып отырған бетінің жазықтығына проекциясы.
Функционалға мысал ретінде, механика ғылымында қолданылатын инерция моменттері, статикалық моменттер, кеңістіктегі қисықтың немесе беттің ауырлық орталығының координаталары сияқты шамаларды айтуға болады.
Варияциялық есептеулер ғылымы
Вариациялық есептеулер ғылымы функционалдардың экстремумдарын (min немесе max) табудың әдістерін зерттейді. Ал функционалдардың min немесе max-ын іздеуді қажет ететін есептер вариациялық есептер деп аталады.
Вариациялық есептер, механика және физика ғылымдарында зерттелетін көптеген процестерде белгілі бір функционалмен сипатталатын шамалардың min немесе max-ға тең болуын талап ететін заңдардан туындайды. Осылайша сипатталған заңдар вариациялық принциптер деп аталады. Вариациялық принциптерге : энергияның сақталу заңы, импульстің сақталу заңы, қозғалыс мөлшерінің моментінің сақталу заңы және т.б жатады. Сонымен қатар, вариациялық принциптерге - оптикада Ферма принципін, серпімділік теориясында Кастилиано принципін және т.б. атауға болады.
Шеткі нүктелері қозғалмайтын есептерге вариация әдісін қолдану.
Вариация және оның қасиеттері.
Анықтама: Егер белгілі бір класынан алынған әрбір функциясына нақты бір мәні сәйкес келетін болса, онда бұл айнымалы шамасы функционал деп аталады да, былайша белгіленеді: .
Бірнеше функцияға тәуелді, немесе, бірнеше айнымалының функциясына тәуелді функционалдар да осылайша анықталады.
Функционалға мысалдар:
.
Вариациялық есептеулер теориясында функционалының аргументінің өсіндісі немесе варияциясы деп екі функцияның айырымын айтады. Бұл жердегі функциясы функциялардың белгілі бір класында еркін өзгереді деп есептеледі. Егер функциясының шағын өзгеруіне функционалының шағын өзгеруі сәйкес келсе, онда бұл функционал үздіксіз функционал деп аталады.
Сол сияқты, кеңістіктегі кез келген беттің ауданы да функционал. Себебі, ауданының шамасы беттің теңдеуіндегі функциясының түріне тәуелді:
.Бұл жерде, - қарастырылып отырған бетінің жазықтығына проекциясы.
Функционалға мысал ретінде, механика ғылымында қолданылатын инерция моменттері, статикалық моменттер, кеңістіктегі қисықтың немесе беттің ауырлық орталығының координаталары сияқты шамаларды айтуға болады.
Варияциялық есептеулер ғылымы
Вариациялық есептеулер ғылымы функционалдардың экстремумдарын (min немесе max) табудың әдістерін зерттейді. Ал функционалдардың min немесе max-ын іздеуді қажет ететін есептер вариациялық есептер деп аталады.
Вариациялық есептер, механика және физика ғылымдарында зерттелетін көптеген процестерде белгілі бір функционалмен сипатталатын шамалардың min немесе max-ға тең болуын талап ететін заңдардан туындайды. Осылайша сипатталған заңдар вариациялық принциптер деп аталады. Вариациялық принциптерге : энергияның сақталу заңы, импульстің сақталу заңы, қозғалыс мөлшерінің моментінің сақталу заңы және т.б жатады. Сонымен қатар, вариациялық принциптерге - оптикада Ферма принципін, серпімділік теориясында Кастилиано принципін және т.б. атауға болады.
Шеткі нүктелері қозғалмайтын есептерге вариация әдісін қолдану.
Вариация және оның қасиеттері.
Анықтама: Егер белгілі бір класынан алынған әрбір функциясына нақты бір мәні сәйкес келетін болса, онда бұл айнымалы шамасы функционал деп аталады да, былайша белгіленеді: .
Бірнеше функцияға тәуелді, немесе, бірнеше айнымалының функциясына тәуелді функционалдар да осылайша анықталады.
Функционалға мысалдар:
.
Вариациялық есептеулер теориясында функционалының аргументінің өсіндісі немесе варияциясы деп екі функцияның айырымын айтады. Бұл жердегі функциясы функциялардың белгілі бір класында еркін өзгереді деп есептеледі. Егер функциясының шағын өзгеруіне функционалының шағын өзгеруі сәйкес келсе, онда бұл функционал үздіксіз функционал деп аталады.
вариациялық есептеулер пәні.
№ 1 Лекция
Кіріспе.
Белгілі бір функциясының экстремал мәндерін (min,max)
анықтауды қажет ететін есептермен қатар, жаратылыстану ғылымдарында
функционал деп аталатын ерекше бір шамалардың экстремал мәндерін анықтау
қажеттілігі туады. Функционал деп, мәндері бір немесе бірнеше функцияларды
таңдау арқылы анықталатын, айнымалы шамаларды айтады.
Мысалы, жазықтықта берілген және нүктелерінің арасын
қосатын кез келген қисықтың ұзындығы функционал болады. Егер қисықтың
теңдеуі түрінде берілген болса, онда ұзындығы былайша
анықталады:
.
Сол сияқты, кеңістіктегі кез келген беттің ауданы да
функционал. Себебі, ауданының шамасы беттің теңдеуіндегі
функциясының түріне тәуелді:
.
Бұл жерде, - қарастырылып отырған бетінің жазықтығына
проекциясы.
Функционалға мысал ретінде, механика ғылымында қолданылатын инерция
моменттері, статикалық моменттер, кеңістіктегі қисықтың немесе беттің
ауырлық орталығының координаталары сияқты шамаларды айтуға болады.
Варияциялық есептеулер ғылымы
Вариациялық есептеулер ғылымы функционалдардың экстремумдарын (min
немесе max) табудың әдістерін зерттейді. Ал функционалдардың min немесе max-
ын іздеуді қажет ететін есептер вариациялық есептер деп аталады.
Вариациялық есептер, механика және физика ғылымдарында зерттелетін
көптеген процестерде белгілі бір функционалмен сипатталатын шамалардың min
немесе max-ға тең болуын талап ететін заңдардан туындайды. Осылайша
сипатталған заңдар вариациялық принциптер деп аталады. Вариациялық
принциптерге : энергияның сақталу заңы, импульстің сақталу заңы, қозғалыс
мөлшерінің моментінің сақталу заңы және т.б жатады. Сонымен қатар,
вариациялық принциптерге - оптикада Ферма принципін, серпімділік
теориясында Кастилиано принципін және т.б. атауға болады.
Шеткі нүктелері қозғалмайтын есептерге вариация әдісін қолдану.
Вариация және оның қасиеттері.
Анықтама: Егер белгілі бір класынан алынған әрбір
функциясына нақты бір мәні сәйкес келетін болса, онда бұл айнымалы
шамасы функционал деп аталады да, былайша белгіленеді: .
Бірнеше функцияға тәуелді, немесе, бірнеше айнымалының функциясына
тәуелді функционалдар да осылайша анықталады.
Функционалға мысалдар:
.
Вариациялық есептеулер теориясында функционалының
аргументінің өсіндісі немесе варияциясы деп екі функцияның айырымын
айтады. Бұл жердегі функциясы функциялардың белгілі бір класында
еркін өзгереді деп есептеледі. Егер функциясының шағын өзгеруіне
функционалының шағын өзгеруі сәйкес келсе, онда бұл функционал
үздіксіз функционал деп аталады.
Енді функционалдың және аргументтерінің айырымы
арқылы функциялардың өзара жақындық деңгейін бағалайық.
Егер айырымының модулі -тың барлық мәндері үшін кіші сан
болатын болса, онда бұл функциялардың ординаталары өзара жақын мәнді сандар
болады да және функциялары өзара жақын функциялар деп аталады.
Бірақ, кейбір жағдайларда, әсіресе функционалын қарастырған
кезде пен функцияларының ординаталары өзара жақын болғанымен,
олардың, белгілі бір нүктесіндегі және жанамаларының
айырымы өте үлкен болуы мүмкін.
Сондықтан, екі функцияны өзара жақын деп айту үшін олардың
ординаталарының айырымымен қатар олардың жанамаларынының айырымының да кіші
болуын талап ету қажет. Демек, жалпы жағдайда, пен
қисықтарын өзара жақын деп есептеу үшін
айрымдарының бәрінің де модульдері кіші сандар болуы керек. Осыған
байланысты мынадай анықтама енгіземіз.
Анықтама: Егер айырымының модулі кіші сан болса, онда және
қисықтары нолдік реттегі өзара жақын функциялар деп аталады. Ал егер
ординаталар айырымы мен жанамалар айырымының модулдері кіші сан
болса, онда және функцияларының жақындығы бірінші ретті деп
аталады.
Жалпы жағдайда
айырымдарының модулдері кіші сан болса, онда бұл функциялар өзара
ретті жақын функциялар деп аталады.
Келесі суретте өзара нолдік реттегі жақын функциялар көрсетілген.
Бірақ оның жақындығы бірінші ретке жетпейді. Себебі жанамалардың айырымы
кіші сан емес.
Осы айтылғандарды қорыта келе функционалдың үздіксіздігіне жаңаша
анықтама берейік.
Анықтама: Егер саны үшін теңсіздігі орындалса және осы
теңсіздік үшін келесі:
теңсіздіктер орындалатындай санын таңдауға болатын болса, онда
функционалы ретті үздіксіз функционал деп аталады.
№ 2 Лекция
Сызықтық функционал
Анықтама: шартына бағынатын функционалы сызықтық
функционал деп аталады. Бұл жерде кез келген тұрақты шама, және ол
үшін
теңдігі орындалады.
Мысалы:
функционалын қарастырсақ, онда
болуы керек.
Егер функционалдың өсіндісін
түріне келтіру мүмкін болса, онда бұл өсіндінің сызықтық бөлігі, демек,
шамасы функционалдың вариациясы деп аталып, - арқылы
белгіленеді. Бұл жерде, вариация үшін болған кезде шарты
орындалады да, функционалының варияциясы нолге теңеседі:
.
Бұл жерде параметрі өте кіші сан.
Анықтама: Егер функционалының мәні ешқашан функционалының
мәнінен артық болмайтын болса, басқаша айтқанда, болса, онда
функционалы қисығында өзінің максимумына жетеді.
Егер болса, және тек болғанда ғана шарты орындалса,
онда қисығында функционал өзінің қатаң максимумына жетеді.
Эйлер теңдеуі
Теорема: Егер функционалы қисығында өзінің максимумына немесе
минимумына жететін болса, онда оның қисығындағы варияциясы нолге тең:
.
Демек, белгілі бір және шамалары үшін
өрнегі еркін таңдалған параметрінің функциясы болады да,
болғанда функционал өзінің максимумы немесе минимумына (экстремумға)
жетеді. Олай болса, функционалдың экстремумға жету шарты , немесе,
түрінде жазылады.
Қорыта келгенде, өзінің экстремумын беретін қисықтың бойында
функционалдың варияциясы әрқашан нолге тең болады .
Бұл теореманы былайша қолдануға болады: Функционалға экстремум беретін
қисығын іздеу есебін функционалдың варияциясы 0-ге тең болу
шартымен, басқаша айтқанда, теңдеуін шешу есебімен айырбастауға
болады.
Енді функционалын экстремумға зерттейік. Бұл жерде функционалдың
анықталу аймағының екі шеткі нүктесі қатаң бекітілген деп қабылданған.
Олай болса, функционалға экстремум беретін қисығы екі шеткі нүктеден
басқа жердің бәрінде еркін өзгеруі мүмкін, тек, сол өзгеру жағдайларының
ішінде бір ғана жағдай функционалға экстремум береді. Функционалдың бұл
түрі бір айнымалыға тәуелді бір функцияның және оның, тәуелсіз айнымалы
бойынша, бірінші туындысының функционалы деп аталады. Бұл жерде
функциясының үш рет дифференциялдануы шарт. Енді қисығында функционал
өзінің экстремумына жетеді деп болжайық. Егер қисығына жақын
орналасқан қисығын алып, кез келген параметрінің көмегімен
өрнегін құрастырсақ, онда параметріне тәуелді қисықтар жиынын
аламыз және болған кезде өрнектің мәні болады, ал болған
кезде . Бұл жерде салыстыру қисығы деп аталады. Ал айрымы
функциясының варияциясы деп аталып арқылы белгіленеді және ол
-тың функциясы болады. Бұл функция бойынша бірнеше рет
дифференциялданады және оның туындылары былайша есептеледі:
----------------------------
Енді, жоғарыда аталған қисықтар жиынын қарастырайық. Егер
кезінде болса, ал кезінде болса, онда параметрін
енгізу арқылы функционалын параметрінің функциясына
айналдырамыз. Осылайша анықталған функциясы болған кезде өзінің
экстремумына жетеді. Демек, оның экстремумының қажетті шарты түрінде
жазылады. Енді, осылайша анықталған функциясының параметрі
бойынша туындысын
түрінде анықтайық. Бұл жерде
,
,
,
,
,
.
Функционалдың экстремумының шарты функционалы үшін енді
былайша жазылады
(*)
Интеграл астындағы екінші қосындыны бөлектеп интегралдасақ және
екенін ескерсек, онда . Бірақ
, болады. Себебі функционалдың анықталу аймағының екі басы
қатаң бекітілген болғандықтан функционалдың ол нүктелердегі варияциялары 0-
ге тең: . Олай болса
.
Бұл функционалдың варияциясын есептеу формуласы. Демек, экстремумның
қажетті шарты енді былайша жазылады:
.
Интеграл астындағы бірінші көбейткіші берілген үзіліссіз функция, ал
екінші көбейткіш кез келген үзіліссіз шама, себебі салыстыру
қисығы еркін таңдалады. Оның үстіне вариациясы функционалдың анықталу
аймағының шекаралық және нүктелерінде 0-ге тең. Алынған
нәтижені қарапайым түрге келтіру үшін келесі лемманы қолданамыз.
Вариациялық есептеулердің негізгі леммасы:
Егер әрбір үздіксіз функциясы үшін
шарты орындалса, онда, аралығында үздіксіз функциясы әрқашан
болады.
Енді осы лемманы жоғарыда алынған функционалдың экстремумға жетуінің
шартына қолдансақ, онда, әрқашан
(**)
болуы керек екенін көреміз. Шынында, жоғарыда келтіріліген шарттарды
көбейткіші қанағаттандырады.
Функционалдың экстремумға жету шартының
түрі Эйлер теңдеуі деп аталып, бойынша туынды алынғаннан кейін,
екінші ретті кәдуілгі диффренциалдық теңдеу түрінде былайша ашылады:
.
№ 3 лекция.
Қарапайым функционалдардың
жекелеген түрлері.
Енді, функционалына сәйкес алынған Эйлер теңдеуінің
шекаралық шарттарды қанағаттандыратын шешімі барлық кезде табыла
бермейтінін, ал, табылған кездің өзінде, шешімнің жалғыз болмауы мүмкін
екенін ескерейік. Ол үшін функционалдың интеграл астындағы
функциясының түріне байланысты аталған шекаралық есептің шешімі әр түрлі
болатынына мысалдар келтірейік.
Мысал: Шекаралық шарттары түрінде берілген функционалының
экстремалын іздейік. Бұл жерде интеграл астындағы функция
түрінде берілген. Енді Эйлер теңдеуінің құрамындағы шамаларды есептейік:
Алынған шамаларды Эйлер теңдеуінің ашылып жазылған формуласына
қойсақ, онда түріндегі екінші ретті, кәдуілгі сызықтық
дифференциалдық теңдеу аламыз. Бұл теңдеудің жалпы шешімі болады.
Шекаралық шарттардан екенін анықтаймыз. Олай болса, берілген
функционал тек қисығында ғана өзінің экстремумына жетеді.
1) жағдайы.
Енді функционалдың туындысына тәуелсіз болатын кезін
қарастырайық. Бұл кезде интегралдың астындағы функция түрінде
жазылады да, сәйкес Эйлер теңдеуі болғандықтан түрінде алынады.
Бұл теңдеу дифференциалдық теңдеу болмағандықтан, оның құрамында
интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз коэффициенттері болмайды.
Сол себептен мұндай вариациялық есептің жалпы жағдайда шешімі болмайды. Тек
қисығы шекаралық нүктелері арқылы өткен кезде ғана функционалға
экстремум беретін қисық табылуы мүмкін.
Мысал: ; вариациялық есебінің Эйлер теңдеуі немесе
түрінде жазылады. Бұл қисық болған кезде ғана шекаралық
нүктелері арқылы өтеді. Қалған жағдайлардың бәрінде де экстремалдық
қисықтың теңдеуін үзіліссіз функциялар класынан табу мүмкін емес.
2) функциясы -қа сызықты түрде тәуелді.
Бұл жағдайды жалпы түрде былайша жазамыз: . Демек, енді
функционал былайша
жазылады да, Эйлер теңдеуі
түрінде, немесе
түрінде, немесе
түрінде алынады. Тағы да, алдыңғы жағдай сияқты, Эйлер теңдеуі
дифференциалдық түрде емес, шекті түрде алынды. Демек, шекаралық шарттар
арқылы анықталатын белгісіз коэффиенттері болмағандықтан
қисығы жалпы жағдайда шекаралық шарттарды қанағаттандырмайды да,
вариациялық есептің үзіліссіз функциялар класында шешімі болмайды. Ал егер
болса, онда өрнегі толық дифференциал болады да
функционалының мәні интегралдау жолына тәуелсіз болып қалып, вариациялық
есеп мағынасын жоғалтады.
Мысал:
Вариациялық есеп
;
түрінде берілсін. Олай болса Эйлер теңдеуі немесе түрінде
алынады. Бұл кезде бірінші шекаралық шарт орындалады, ал екінші
шекаралық шарт тек болса ғана орындалады да, қалған жағдайдың
бәрінде шекаралық шарттарды қанағаттандыратын экстремал табылмайды.
№ 4 лекция.
Қарапайым функционалының
жекелеген түрлері (жалғасы).
3) жағдайы.
Бұл кезде интеграл астындағы функциясы тек туындысына ғана
тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуі болғандықтан түрінде алынады.
Осыдан, егер болса, онда оның шешімі екіпараметрлік түзу
сызықтар жинағын береді. Ал, егер болса, онда бұл теңдеудің
немесе түріндегі бір, немесе бірнеше шешімі, құрамында, жоғарыда
алынған, шешімі бар, бірпараметрлік түзу сызықтар жинағын береді.
Демек, жағдайында функционалдың экстремалдары жалпы жағдайда
түрінде алынады.
4) жағдайы.
Бұл кезде Эйлер теңдеуі түрінде жазылады да, оның бірінше
интегралы теңдеуін береді. Бұл теңдеудің құрамында да
айнымалысы болмайды. Бұл теңдеуді туындысына қатысты тікелей шешіп
алып интегралдауға, немесе, қосымша көмекші параметр енгізу арқылы
интегралдауға болады.
Мысал.
түрінде функционал берілсін. Бұл функционал арқылы жазықтықтағы
қисығы бойымен бір нүктеден екінші нүктеге жету уақыты анықталады.
Шынында да, жазықтықтағы қисығының доғасының ұзындығы
интегралы арқылы анықталатыны белгілі. Егер деп алсақ, онда
болады. Демек, . Бұл функционал үшін Эйлер теңдеуінің бірінші
интегралы немесе түрінде алынады. Енді түрінде жаңа
параметр енгізсек, онда немесе болады. Бұл жерде . Келесі
түрлендірулер арқылы дифференциалдық
теңдеуін аламыз. Интегралдау арқылы алынады.
Демек, , . Осыдан параметрін шығарып тастасақ:
.
Демек, вариациялық есептің шешімі орталығы ордината осінде орналасқан
шеңберлер жинағының теңдеулері.
4) жағдайы.
Бұл кезде интеграл астындағы функциясы функциясы мен оның
туындысына тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуі түрінде жазылады. Егер
осы теңдеудің барлық мүшелерін шамасына көбейтсек, алынған нәтиже
толық туындысына тең болатынын көреміз.
Шынында да:
Олай болса Эйлер теңдеуінің бірінші интегралы теңдеуін береді.
Бұл теңдеу айнымалысына айқын түрде тәуелді болмағандықтан, оны
туындысына қатысты тікелей шешіп алып интегралдауға, немесе, қосымша
көмекші параметр енгізу арқылы интегралдауға болады.
Мысал. Абсцисса осі бойымен айналғанда ауданы ең кіші бет туындататын,
екі басы қатаң бекітілген қисықтың теңдеуін табу қажет болсын.
Қисық сызықтың айналуынан туатын беттің ауданы формуласымен
анықталады. Бұл жерде интеграл астындағы функциясы тек
функциясы мен оның туындысына тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуінің
бірінші интегралы түрінде алынады. Берілген есеп жағдайында
және Эйлер теңдеуі түрінде жазылады. Түрлендірулерден кейін
теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді алмастыруларын қолданып интегралдаймыз.
Келесі түрлендірулерді қолданып және шешімін аламыз.
Алынған нәтижеден параметрін шығарып тастасақ, онда шешімін
аламыз.
Алынған шешім шынжырлық сызықтардың жинағын береді. Ал олардың
абсцисса осі бойымен айналуынан туатын беттер катеноидтар деп аталады.
Белгісіз мен параметрлері табылған қисықтың шекаралық
нүктелерден өту шарттарынан табылады.
Шекаралық нүктелердің кеңістікте орналасуына байланысты бұл есептің
бір, екі шешімі, немесе, бір де бір шешімі болмауы мүмкін.
№ 5 Лекция.
Бір айнымалыға тәуелді бірнеше функцияның және олардың бірінші
туындыларының
функционалдары.
Құрамындағы барлық функциялардың шекаралық шарттары
түрінде берілген
функционалының экстремалын алудың қажетті шарттарын табу үшін белгісіз
функциялардың кез келген біреуін ғана вариациялаймыз да, қалғандарын
өзгеріссіз қалдырамыз. Бұл кезде функционалы вариацияланатын бір ғана
функциясының функционалына айналады. Демек, экстремум беретін
функциясы Эйлердің теңдеуін қанағаттандыруы тиіс. Бұл жерде
индексі 1 мен аралығында кез келген мән қабылдайтын
болғандықтан, жалпы жағдайда кеңістіктігінде берілген вариациялық
есептің экстремалдар жинағын анықтайтын параметрлік интегралдық
қисықтар жиыны Эйлердің дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі
болады.
Жекелеген жағдайда, егер функционал тек пен
функцияларына ғана тәуелді болса, онда вариациялық есеп
функционалының
шекаралық шарттарын қанағаттандыратын экстремалын табуға қойылады (1-
ші сурет).
1-ші сурет
Бұл кезде алдымен функциясы тұрақты деп алынады да,
функциясы проекциясы жазықтығында өзгермейтіндей етіп вариацияланады.
2-ші сурет
Демек, вариацияланатын қисық әрқашан цилиндрінің бетінде қалып
отырады. Келесі кезекте, дәл осылайша, функциясы тұрақты деп алынып,
функциясы проекциясы жазықтығында өзгермейтіндей етіп
вариацияланады. Нәтижесінде Эйлер теңдеулерінің келесі жүйесін аламыз:
Мысал.
вариациялық есебін шешу керек.
Эйлер теңдеулері былайша жазылады:
.
Жүйеден функциясын шығарып тастасақ теңдеуін аламыз.
Төртінші ретті бұл дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
түрінде алынады. Шекаралық шарттардан екенін анықтаймыз. Демек,
функционалға экстремум беретін кеңістіктегі функциялар түрінде
табылады.
№ 6 лекция.
Жоғарғы ретті туындыларға тәуелді функционалдар
Енді = түрінде берілген функционалды зерттейік. Бұл жерде
функциясы барлық аргументтері бойынша рет дифференциалданатын
болсын және шекаралық шарттар мынадай түрде берілсін:
Функционал өзінің экстремумына рет дифференциалданатын
қисығында жетеді деп болжайық. Салыстыру қисығы деп аталатын
қисығы да рет дифференциалданатын болсын.
Функциялардың бір параметрлік
жинағын қарастырайық.
Егер функционал өзінің экстремумына тек қана жинағының
қисықтарында жететін болса, онда бұл функционал параметрінің
функциясына айналады да, өзінің экстремумына функционалдың бойынша
туындысының мәнінде жетеді. Демек, экстремумға жетудің қажетті шарты
түрінде жазылатын болады. Бұл туынды функционалдың вариациясы деп
аталады да, арқылы белгіленеді:
Соңғы интегралды 2-ші қосылғыштан бастап бөлшектеп интегралдсақ, онда
2-ші қосылғыш былайша түрленеді:
Дәл осылайша 3-қосылғышты екі рет бөліктеп интегралдасақ мынадай нәтиже
шығады
Осы ретпен соңғы -ші қосылғышты рет бөліктеп
интегралдасақ:
Шекаралық шарттар бойынша функционалдың анықталу аймағының шеткі
нүктелерінде функциясы мен оның туындыларының вариациялары нольге
тең: . Демек, функционалдың вариациясы былайша анықталады:
Функционалға экстремум беретін функциясында функционалдың
вариациясы болатыны белгілі. Олай болса, негізгі лемманы қолданып
мына тепе-теңдікті аламыз:
.
Демек, экстремум беретін функциясы мына теңдеудің шешімі болады:
.
Бұл дифференциалдық теңдеу Эйлер-Пуассон теңдеуі деп аталады. Ал, оның
интегралдық қисықтары вариациялық есептің экстремалдары деп аталады.
Мысал.
функционалының экстремалы
шекаралық шарттардан анықталсын.
Эйлер-Пуассон теңдеуі түрінде жазылып, түрге келеді.
Алынған дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі түрде алынады.
Шекаралық шарттардан белгісіз тұрақтылардың болатынын анықтаймыз.
Демек, дифференциалдық теңдеудің шешімі түзуі түрінде алынады.
Екі функция мен олардың жоғары ретті туындыларына тәуелді
функционалдар
Егер функционал түрінде берілсе, онда функциясын
өзгеріссіз қалдырып функциясын вариациялаймыз. Бұл кезде
функционалға экстремум беретін және функциялары келесі Пуассон
теңдеуін қанағаттандыруы керек:
Сол сияқты, функциясын тұрақты сақтап, функциясын
вариацияласақ, Эйлер-Пуассон теңдеуі былайша жазылады.
.
Осылайша алынған теңдеулер жүйесін шешу арқылы экстремалдық беттен
өрнектерін аламыз.
Жалпы жағдайда, функциялар саны екіден көп болса
функционалының экстремумын табу үшін кез-келген функциясын
вариациялап, қалған функцияларды өзгертпей қалдыру арқылы Эйлер-Пуассон
теңдеулерінің келесі жүйесін аламыз:
.
№ 7 лекция.
Бірнеше тәуелсіз айнымалылардың функцияларының
функционалдары.
функционалын экстремумға зерттейік. Вариациялық есепте
функциясының аймағының шекарасындағы мәндері, демек,
барлық мүмкін беттер өтетін кеңістіктегі контуры берілген. Жазбаларды
қысқарту үшін мынадай белгілеулерді енгізейік. Интеграл астындағы
функциясы үш рет, ал экстремум беретін беттің функциясы екі рет
дифференциялданатын болсын. Енді, тағы да бір параметрлік беттер
жинағын қарастырамыз. Бұл жерде , ал функциясы
параметрінің мәнінде экстремум беретін функциясын, ал
мәнінде кез келген бір салыстыру бетін береді. Демек, жинағында
функционал параметрінің функциясына айналады. Бұл функцияның
болғанда экстремумға жету шарты былайша жазылады:
.
Бұл туындыны функционалының вариациясы деп атап, арқылы
белгілейді. Туындыны ашып жазсақ:
Бұл жерде
,
,
.
Бірақ
,
болғандықтан, алынған нәтижені өзара қосып интегралдасақ
Бұл жерде шамалары пен бойынша алынған толық дербес
туындылар деп аталады. Мысалы: есептелінгенде тұрақты деп
есептеліп, бойынша туынды алынады:
.
Енді тұрақты деп есепеп, бойынша туынды алсақ:
.
Енді белгілі Грин формуласын қолдансақ
теңдігін аламыз.
Соңғы интеграл нолге теңеседі, себебі барлық мүмкін беттер кеңістіктегі
контуры арқылы өтетін болғандықтан контурында функционалдың
вариациясы нолге тең болады. Демек, болады да, соңғы интеграл нолге
айналып кетеді. Олай болса
.
Сонымен, функционалдың вариациясының
шарты енді былайша түрге енеді
.
Экстремалдык беттің варияциясы еркін таңдалады, оған тек үздіксіз
болу, дифференциялдану және контурында нолге айналу шарттары
қойылады. Ал, бірінші көбейткішке вариациялық есептеудің негізгі леммасын
қолдансақ
болуы керек.
Демек, экстремалдық функциясы дербес туындылы, екінші ретті
дифференциалдық теңдеудің шешімі болады. Бұл теңдеу Остроградский теңдеуі
деп аталады.
1-ші мысал:
функционалы үшін Остроградский теңдеуін алайық. Функционалға экстремум
беретін функциясының аймағының контурындағы мәні
белгілі. Бұл жерде интеграл астындағы функция түрінде берілген. Енді
Остроградский теңдеуінің құрамындағы шамаларды есептейік:
Алынған мәндерді Остроградский теңдеуіне қойсақ, дербес туындылы, екінші
ретті біртекті дифференциалдық теңдеу аламыз:
.
Бұл теңдеу Лаплас теңдеуі деп аталады. Лаплас теңдеуінің контурындағы
шекаралық шартқа сәйкес болатын үздіксіз шешімін табу математикалық физика
ғылымындағы негізгі есептердің бірі. Бұл есеп Дирихле есебі деп аталады.
2-ші мысал:
Енді функционал
түрінде берілсін. Функционалға экстремум беретін функциясының
аймағының контурындағы мәні белгілі. Бұл жерде интеграл
астындағы функция түрінде берілген. Бұл кезде Остроградский теңдеуі
түрінде алынады да, Пуассон теңдеуі деп аталады. Пуассон теңдеуі де
математикалық физика есептерінде жиі қолданылады.
№ 8 лекция.
Бірнеше айнымалыға тәуелді функцияның және оның
туындыларының функционалдары
функционалының экстремумға жетуінің қажетті шарты үшін Остроградский
теңдеуі, алдыңғы жағдайға ұқсас, былайша жазылады:
Бұл жерде , ал функционалға экстремум беретін функциясы.
Мысалы
функционалы үшін Остроградский теңдеуі мынадай түрде жазылады:
.
Егер функционалдың интеграл асты функциясы функциялардың жоғары ретті
туындыларына да тәуелді болса, онда Остроградский теңдеуін алуда
қолданылған амалдарды бірнеше рет қайталау арқылы экстремумның қажетті
шарты ретінде Эйлер-Пуассон теңдеуіне ұқсас өрнектер аламыз.
Мысалы
функционалының экстремумға жету шарты
түрінде жазылады. Бұл жерде , , .
Мысалы
фунгкционалы үшін экстремум беретін функциясы, бигармоникалық теңдеу
деп аталатын, төртінші ретті дербес туындылы дифференциалдық
теңдеуді қанағаттандыруы керек. Бұл теңдеу, қысқаша түрінде жазылады.
Ал
функционалына экстремум беретін функциясы теңдеуінің шешімі
болады.
Параметрлік түрдегі вариациялық есептер
Көптеген вариациялық есептердің шешімін параметрлік түрде іздеген
ыңғайлы. Мысалы, ең үлкен ауданын қоршайтын, ұзындығы тұрақты тұйық
қисықтың ұзындығын табу үшін шешімді түрінде іздеген ыңғайсыз.
Себебі, есептің қойылуынан ақ шешімнің жалғыз болмауы мүмкін екені
түсінікті.
Демек, бұл жағдайда шешім параметрлік және түрінде
ізделеді де, ауданды есептейтін
функционалының экстремумы тұйық сызықтың ұзындығын есептейтін және
пен функцияларын өзара байланыстыратын шартының көмегімен
анықталады.
Жалпы жағдайда,
(*)
функционалының экстремалын параметрлік және функциялар түрінде
іздеу ыңғайлы болсын делік. Бұл кезде (*) функционалы былайша түрленеді:
.
Түрлендіруден кейін алынған функционалдың интеграл астындағы
функциясының құрамына айнымалысы айқын түрде қатыспайды және бұл
функция және айнымалыларына қатысты біртекті функция болып
келеді. Сонымен бірге, функционалы жалпы түрдегі
функционалдарға жатпайды. Себебі оның құрамына айнымалысы айқын түрде
қатыспайды және бұл функция және айнымалыларына қатысты
біртекті функция.
Демек, қарастырылып отырған түрдегі
функционалы үшін Эйлер теңдеулерінің келесі жүйесін шешу қажет:
.
Бірақ, мұндай жекелеген жағдайда Эйлер теңдеулері өзара тәуелсіз емес.
Сондықтан, өзара тәуелді бұл екі теңдеуді шешу үшін, Эйлер теңдеулерінің
біреуін қосымша бір шартпен бірге шешу қажет. Қосымша шарттың құрамында
ізделіп отырған экстремалдық қисықтың параметрлері болуы шарт.
Вариациялық принциптің механикада қолданылуына мысалдар
Механикадағы негізгі вариациялық принциптердің біреуі, Остроградский-
Гамильтон принципі. Бұл принцип бойынша материялық нүктелер жүйесінің
байланыстар рұхсат беретін барлық мүмкін қозғалыстарының ішінен шындығында
іске асатыны тек
интегралына стационар мән беретін қозғалыс қана. Демек, бұл қозғалыс үшін
кезінде аталған функционалдың вариациясы нолге тең болуы керек. Бұл жерде
-жүйенің кинетикалық, ал -потенциалдық энергиялары.
1-ші мысал.
Материялық нүктелер жүйесінің әрбір нүктесінің массалары мен
координаталары берілсін және оған күштік потенциалы арқылы
түрінде анықталатын күштері әсер етсін делік. Жүйенің қозғалысының
дифференциалдық теңдеуін құру керек.
Жүйенің кинетикалық энергиясы
формуласы арқылы анықталады. Ал жүйенің потенциалдық энергиясы -ға
тең. Берілген интегралы үшін Эйлер теңдеулерінің жүйесі
немесе
түрінде жазылады. Алынған теңдеулер жүйесінен материалық нүктелер
қозғалысының дифференциалдық теңдеуін көреміз. Бұл белгілі Ньютон заңы.
№ 9 лекция.
Жылжымалы шекаралы қарапайым вариациялық есеп
Осыған дейін,
функционалын экстремумға зерттеген кезде, шекаралық және
нүктелері тұрақты деп есептелінген болатын.
Енді шекаралық нүктелердің біреуі, немесе, екеуі де жылжымалы болатын
жағдайды қарастырайық. Бұл кезде мүмкін қисықтардың класы кеңейеді, себебі,
ізделініп отырған экстремал қисық пен шекаралары ортақ салыстыру
қисықтарымен қатар, шекаралық нүктелері ауытқып кеткен қисықтарды да
қарастыруға болады.
Сондықтан, егер шекаралары жылжымалы есепте, кез келген бір
қисығында экстремум табылса, онда бұл қисық шекаралары бекітілген
қисықтардың тар класы үшін де өзінен өзі экстремал болады. Демек, бұл қисық
үшін шекаралары бекітілген функционалдың экстремумға жетуінің қажетті шарты
орындалуы тиіс, басқаша айтқанда экстремалдық функциясы Эйлердің
теңдеуінің шешімі болуы керек. Демек, шекаралары жылжымалы вариациялық
есепте экстремум беретін қисықтары экстремалдар болуы керек.
Эйлер теңдеуінің жалпы шешімінде белгісіз екі тұрақты шама болады да,
оларды анықтау үшін шекаралық және шарттары пайдаланылады. Ал
шекаралары жылжымалы есепте бұл шарттардың біреуі, немесе екеуі де
берілмейді. Белгісіз тұрақты шамаларды анықтауға жетіспей тұрған қосымша
шарттар экстремумның негізгі қажетті шартынан, функционалдың
вариацияның нолге тең болу шартынан алынуы керек.
Шекаралары жылжымалы есепте экстремум Эйлер теңдеуінің
шешімдерінің ішінен табылатын болғандықтан, бұдан кейін функционалдың мәнін
осы шоғырдың функциялары ішінде қарастыруға болады. Бұл кезде
функционалы осы және параметрлері мен интегралдаудың және
шектерінің функциясына айналады да, оның вариациясы осы функцияның
толық дифференциалына айналады.
Алдымен шекаралық нүктелердің біреуінің, мысалы нүктесінің,
бекітілген жағдайын қарастырайық. Екінші нүктесі жылжып
нүктесіне, немесе, вариациялық есептеулерде қабылданғандай, нүктесіне
орын ауыстырсын.
Мүмкін және қисықтарын өзара жақын деп есептеу үшін
олардың және вариацияларының модульдері мен және
өсінділерінің модульдері кіші мәндер болуы шарт.
Тұрақты нүктесі арқылы өтетін экстремалдар экстремалдар
шоғырын құрайды. Бұл шоғырдың қисықтарында функционалы мен
параметрлерінің функциясына айналады.
1-ші сурет
Егер шоғырының қисықтары қарастырылып отырған экстремалдың
маңайында өзара қыйылыспайтын болса, онда функционалын мен
шамаларының функциясы деп қарастыруға болады, себебі, нүктесін
тағайындау (1-ші сурет) шоғырдағы нақты экстремалды таңдаумен, басқаша
айтқанда, функционалдың мәнін анықтаумен бірдей.
Енді функционалының шоғырының бір қисығынан екінші
қисығына өткендегі, басқаша айтқанда, шекаралық нүктесі арқылы
өтетін қисықтан нүктесі арқылы өтетін қисыққа ауысқандағы өсіндісін
есептейік. Шоғырдың қисықтарында функционал мен -дің функциясына
айналғандықтан, оның вариациясы осы функцияның дифференциалына айналады.
Енді өсіндісінің мен мәндеріне қатысты басты сызықтық
бөлігін жеке қарастырайық:
(*)
Теңдіктің оң жағындағы бірінше қосылғышқа орташа мән туралы теореманы
қолданамыз:
.
Бұл жерде . Енді функциясының үзіліссіз екенін ескерсек
болады және кезінде .
Енді (*) теңдігінің екінші қосылғышындағы интеграл астындағы
функцияны Тейлор формуласы арқылы жіктеп, түрлендірсек:
.
Бұл жерде кішілігінің реті пен -тің кішілік ретінен көп
жоғары шексіз кіші сан.
Алынған теңдіктің негізгі сызықтық
бөлігінің екінші қосылғышын жекелеп интегралдасақ
.
Бірақ, функционалдың мәндері тек экстремал қисықтарда ізделінетін
болғандықтан, екені түсінікті. Оның үстіне, шекаралық нүктесі
қатаң бекітілгендіктен болады. Олай болса
теңдігін аламыз. Бұл жерде белгісі теңдіктің оң жағының таңбасы
экстремумның вариациясының мәнінің таңбасы арқылы анықталатынын
көрсетеді.
2-ші сурет
Айта кету керек, бұл жерде мен өзара тең емес. Себебі, -
бұл шамасының нүктесіне орын ауыстырғандағы өсіндісі, ал
шамасы функциясының және нүктелері арқылы өтетін
функционалдан және нүктелері арқылы өтетін экстремалға өткен
кездегі өсіндісі. Олардың өзара тең емес екенін 2-ші суреттен көруге
болады. Бұл суреттен
екенін, немесе, екенін көреміз. Бұл жердегі жуық теңдіктің өте жоғары
дәлдікпен алынатыны түсінікті. Сонымен
екенін дәлелдедік. Бұл жердегі жуық теңдіктер мен -дің
дәлдігінен көп жоғары дәлдікпен алынғаны түсінікті.
Олай болса (*) теңдігін енді былайша жазуға болады:
немесе
.
Бұл жерде экстремалдарында берілген функционалының
функциясына айналатыны ескерілген. Ал, арқылы шекаралық нүктенің
координатасының өсінділері белгіленген. Осыдан кейін экстремумның негізгі
қажетті шарты былайша түрленеді:
(**)
Егер мен өсінділері өзара тәуелсіз болса, онда және
шарттары алынады. Бірақ, көп жағдайда мен өсінділері өзара
байланысты болады. Мысалы, оң жақтағы шекаралық нүкте белгілі бір
қисығының бойымен жылжуға мәжбүр болуы мүмкін. Бұл кезде болады да,
(**) шарты түрінде, немесе, еркін өзгеретін болғандықтан,
түрінде жазылады. Бұл шарт шекаралық нүктесінде бұрыштық және
коэффициентерінің арасындағы байланысты орнатады және трансверсалдық
шарты деп аталады.
Трансверсалдық шарты шартымен бірігіп шоғырының ішінен
экстремум беретін бір, немесе бірнеше экстремал қисықтарын анықтауға
мүмкіндік береді. Егер нүктесі де кез келген бір қисығының
бойымен жылжитын болса, онда дәл осылайша нүктесіндегі трансверсалдық
шартын алуға болады:
.
Мысал:
Берілген түріндегі функционалдар үшін трансверсалдық шартын
анықтау қажет болсын. Бұл кезде трансверсалдықтың шарты былайша
жазылады:
немесе .
Шекаралық нүктеде болады деп болжап, трансверсалдық шартын
немесе түрінде аламыз. Бұл шарт аналитикалық геометрияда ортогоналдық
шарты деп аталады. Демек, шекаралық нүкте жылжитын қисығы мен
ізделініп отырған экстремал қисығы өзара тік бұрыш құрап қиылысады екен.
№ 10 лекция.
түріндегі функционалдардың жылжымалы
шекаралық есебі
Егер функционалын экстремумға зерттеген кезде шекаралық
нүктелердің біреуі, мысалы, нүктесі жылжымалы болып, ал екінші
нүктесі қатаң бекітілген болса, онда экстремум Эйлер теңдеулерінің
және жүйесінің интегралдық қисықтарының ішінен табылады.
Шынында, егер шекаралары жылжымалы есепте кез келген бір
қисығында экстремум алынатын болса, онда шекаралық нүктелері бекітілген
есепте қисығында өзінен өзі экстремум анықталады.
Демек, қисығында шекаралық нүктелері бекітілген есепте
экстремумның қажетті шарты орындалуы керек. Басқаша айтқанда, қисығы
Эйлер теңдеулері жүйесінің интегралдық қисығы болуы тиіс.
Эйлер теңдеулері жүйесінің жалпы шешімінде төрт белгісіз тұрақты шама
болады. Шекаралық нүктесінің координаталары белгілі болғандықтан,
олардың екеуі жеңіл анықталады. Қалған екеуін анықтау үшін экстремумның
қажетті шартын пайдаланып, қосымша тағы екі шартты анықтау қажет. Бұл
кезде функционал тек Эйлер теңдеулері жүйесінің шешімдерінде анықталған деп
қабылдауымыз керек. Олай болса, функционалы нүктесінің
координаталарының функциясына айналып кетеді де, оның вариациясы осы
функцияның толық дифференциалына тең болады.
Функционалдың вариациясын есептеу жолы дәл алдыңғы параграфтағыдай
болады:
. (*)
Теңдіктің оң жағындағы бірінше қосылғышқа орташа мән туралы теореманы
функциясының үзіліссіздігін ескеріп қолдансақ, екінші қосылғыштағы
интеграл астындағы функцияны Тейлор формуласы арқылы жіктеп түрлендіріп,
алынған нәтиженің негізгі сызықтық бөлігін жекелегеннен кейін:
өрнегін аламыз. Өрнектің соңғы екі қосылғышын жекелеп интегралдасақ:
.
Бірақ, функционал тек экстремалдарда ғана есептелетін болғандықтан:
.
Олай болса
.
Енді алдыңғы параграфта қолданған сараптауларды қолдансақ, және
болады. Демек, болады.
Егер вариациялары өзара тәуелсіз болса, онда шартынан
шарттарын аламыз.
Егер шекаралық нүктесі , қисығының бойымен жылжитын
болса, онда және болады да, немесе шарты
шартына айналады. Осыдан еркін таңдалатын болғандықтан
шартын аламыз. Бұл шарт функционалын экстремумға зерттеу есебіндегі
транверсалдық шарты деп аталады. Трансверсалдық шарты ,
теңдеулерімен бірге Эйлер теңдеулері жүйесінің жалпы шешіміндегі белгісіз
тұрақты шамаларды анықтауға қажетті жетіспейтін теңдеулерді береді.
Егер шекаралық нүктесі кез келген бір кеңістіктегі беттің
бойымен жылжитын болса, онда болады да, экстремумның немесе
шарты
шартына ауысады. Осыдан мен шамаларының тәуелсіздігін ескеріп
және шарттарын аламыз. Бұл екі шарт теңдеуімен бірге
Эйлер теңдеулері жүйесіндегі екі белгісіз тұрақты шамаларды табуға
мүмкіндік береді.
Ал егер, екінші нүктесі де жылжымалы болса, онда бұл нүкте үшін
де экстремумның шарты дәл жоғарыда келтірілген әдіспен анықталады.
Функционалдардың түрі үшін трансверсалдық шарты
түрінде жазылады.
Мысал.
Келесі
функционалы үшін болған кездегі трансверсалдық шартын анықтау
керек.
Шешуі:
Трансверсалдықтың және
шарты бұл кезде былайша жазылады: үшін және немесе
болады. Бұл шартты ізделіп отырған экстремалға нүктесінде
тұрғызылған жанамасы мен аталған нүктеде бетіне тұрғызылған
жанамасының өзара параллельдік шарты деп түсіну керек. Басқаша
айтқанда, бұл кезде трасверсалдық шарты ізделіп отырған экстремалдың
бетіне ортогоналдық шартына айналып отыр.
№ 11 лекция.
Бұрыштық нүктелері бар экстремалдар.
Осы кезге дейін біз ізделіп отырған экстремалдың функциясы мен
оның туындысы үзіліссіз болатын вариациялық есептерді қарастырып келдік.
Бірақ көп жағдайда вариациялық есептің шешімі бұрыштық нүктелері бар
экстремалдарда жатады. Мұндай есептердің қатарына экстремалдардың шағылуы
мен сынуы туралы есептерді жатқызуға болады. Жарық сәулесінің шағылуы мен
сынуы туралы есеп бұған мысал бола алады.
Экстремалдардың шағылуы туралы есеп.
Кез келген функционалының берілген және нүктелері
арқылы өтетін экстремалын табу керек болсын делік. Бірақ бұл қисық соңғы
нүктесіне берілген қисығынан шағылып барып жетуі керек.
Экстремалдың бұрыштық нүктесі шағылу нүктесінде орналасқан деп
жорамалдауымыз заңды. Әрине, бұл нүктеде қисығына жүргізілетін
жанаманың сол жақ мәні мен оң жақ мәні жалпы жағдайда өзара тең
болмайтыны түсінікті. Сондықтан қарастырылып отырған функционалды келесі
қосынды түрінде алған ыңғайлы:
.
Сонымен қатар және аралықтарының әрқайсында функциясы
үзіліссіз деп болжанады. Сондықтан, алдыңғы параграфта қарастырылған,
шекаралары жылжымалы есептің нәтижелерін осы жерде қолдануға болады.
Экстремумның негізгі шарты енді былайша жазылады:
.
Ортаңғы нүктесі қисығының бойымен жылжи алатын
болғандықтан, және вариацияларын есептеген кезде біз шекаралары
жылжымалы вариациялық есептің жағдайында боламыз. Бұл жерде және
доғалары экстремалдар болады, себебі, бұл доғалардың бойында
функциясы Эйлер теңдеуінің шешімі болады. Шынында да, егер бұл қисықтардың
біреуін анықталған экстремал деп алып, екіншісін вариациялайтын болсақ,
онда (немесе ) функционалы үшін шекаралары бекітілген
вариациялық есеп аламыз. Сондықтан функционалдың вариациясын есептеген
кезде функционал тек бұрыштық нүктесі бар экстремалдарда
қарастырылады деп есептейміз. Олай болса
және
.
Бұл жерде және белгілеулері нүктесіне сол немесе оң
жағынан жақындағандағы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
№ 1 Лекция
Кіріспе.
Белгілі бір функциясының экстремал мәндерін (min,max)
анықтауды қажет ететін есептермен қатар, жаратылыстану ғылымдарында
функционал деп аталатын ерекше бір шамалардың экстремал мәндерін анықтау
қажеттілігі туады. Функционал деп, мәндері бір немесе бірнеше функцияларды
таңдау арқылы анықталатын, айнымалы шамаларды айтады.
Мысалы, жазықтықта берілген және нүктелерінің арасын
қосатын кез келген қисықтың ұзындығы функционал болады. Егер қисықтың
теңдеуі түрінде берілген болса, онда ұзындығы былайша
анықталады:
.
Сол сияқты, кеңістіктегі кез келген беттің ауданы да
функционал. Себебі, ауданының шамасы беттің теңдеуіндегі
функциясының түріне тәуелді:
.
Бұл жерде, - қарастырылып отырған бетінің жазықтығына
проекциясы.
Функционалға мысал ретінде, механика ғылымында қолданылатын инерция
моменттері, статикалық моменттер, кеңістіктегі қисықтың немесе беттің
ауырлық орталығының координаталары сияқты шамаларды айтуға болады.
Варияциялық есептеулер ғылымы
Вариациялық есептеулер ғылымы функционалдардың экстремумдарын (min
немесе max) табудың әдістерін зерттейді. Ал функционалдардың min немесе max-
ын іздеуді қажет ететін есептер вариациялық есептер деп аталады.
Вариациялық есептер, механика және физика ғылымдарында зерттелетін
көптеген процестерде белгілі бір функционалмен сипатталатын шамалардың min
немесе max-ға тең болуын талап ететін заңдардан туындайды. Осылайша
сипатталған заңдар вариациялық принциптер деп аталады. Вариациялық
принциптерге : энергияның сақталу заңы, импульстің сақталу заңы, қозғалыс
мөлшерінің моментінің сақталу заңы және т.б жатады. Сонымен қатар,
вариациялық принциптерге - оптикада Ферма принципін, серпімділік
теориясында Кастилиано принципін және т.б. атауға болады.
Шеткі нүктелері қозғалмайтын есептерге вариация әдісін қолдану.
Вариация және оның қасиеттері.
Анықтама: Егер белгілі бір класынан алынған әрбір
функциясына нақты бір мәні сәйкес келетін болса, онда бұл айнымалы
шамасы функционал деп аталады да, былайша белгіленеді: .
Бірнеше функцияға тәуелді, немесе, бірнеше айнымалының функциясына
тәуелді функционалдар да осылайша анықталады.
Функционалға мысалдар:
.
Вариациялық есептеулер теориясында функционалының
аргументінің өсіндісі немесе варияциясы деп екі функцияның айырымын
айтады. Бұл жердегі функциясы функциялардың белгілі бір класында
еркін өзгереді деп есептеледі. Егер функциясының шағын өзгеруіне
функционалының шағын өзгеруі сәйкес келсе, онда бұл функционал
үздіксіз функционал деп аталады.
Енді функционалдың және аргументтерінің айырымы
арқылы функциялардың өзара жақындық деңгейін бағалайық.
Егер айырымының модулі -тың барлық мәндері үшін кіші сан
болатын болса, онда бұл функциялардың ординаталары өзара жақын мәнді сандар
болады да және функциялары өзара жақын функциялар деп аталады.
Бірақ, кейбір жағдайларда, әсіресе функционалын қарастырған
кезде пен функцияларының ординаталары өзара жақын болғанымен,
олардың, белгілі бір нүктесіндегі және жанамаларының
айырымы өте үлкен болуы мүмкін.
Сондықтан, екі функцияны өзара жақын деп айту үшін олардың
ординаталарының айырымымен қатар олардың жанамаларынының айырымының да кіші
болуын талап ету қажет. Демек, жалпы жағдайда, пен
қисықтарын өзара жақын деп есептеу үшін
айрымдарының бәрінің де модульдері кіші сандар болуы керек. Осыған
байланысты мынадай анықтама енгіземіз.
Анықтама: Егер айырымының модулі кіші сан болса, онда және
қисықтары нолдік реттегі өзара жақын функциялар деп аталады. Ал егер
ординаталар айырымы мен жанамалар айырымының модулдері кіші сан
болса, онда және функцияларының жақындығы бірінші ретті деп
аталады.
Жалпы жағдайда
айырымдарының модулдері кіші сан болса, онда бұл функциялар өзара
ретті жақын функциялар деп аталады.
Келесі суретте өзара нолдік реттегі жақын функциялар көрсетілген.
Бірақ оның жақындығы бірінші ретке жетпейді. Себебі жанамалардың айырымы
кіші сан емес.
Осы айтылғандарды қорыта келе функционалдың үздіксіздігіне жаңаша
анықтама берейік.
Анықтама: Егер саны үшін теңсіздігі орындалса және осы
теңсіздік үшін келесі:
теңсіздіктер орындалатындай санын таңдауға болатын болса, онда
функционалы ретті үздіксіз функционал деп аталады.
№ 2 Лекция
Сызықтық функционал
Анықтама: шартына бағынатын функционалы сызықтық
функционал деп аталады. Бұл жерде кез келген тұрақты шама, және ол
үшін
теңдігі орындалады.
Мысалы:
функционалын қарастырсақ, онда
болуы керек.
Егер функционалдың өсіндісін
түріне келтіру мүмкін болса, онда бұл өсіндінің сызықтық бөлігі, демек,
шамасы функционалдың вариациясы деп аталып, - арқылы
белгіленеді. Бұл жерде, вариация үшін болған кезде шарты
орындалады да, функционалының варияциясы нолге теңеседі:
.
Бұл жерде параметрі өте кіші сан.
Анықтама: Егер функционалының мәні ешқашан функционалының
мәнінен артық болмайтын болса, басқаша айтқанда, болса, онда
функционалы қисығында өзінің максимумына жетеді.
Егер болса, және тек болғанда ғана шарты орындалса,
онда қисығында функционал өзінің қатаң максимумына жетеді.
Эйлер теңдеуі
Теорема: Егер функционалы қисығында өзінің максимумына немесе
минимумына жететін болса, онда оның қисығындағы варияциясы нолге тең:
.
Демек, белгілі бір және шамалары үшін
өрнегі еркін таңдалған параметрінің функциясы болады да,
болғанда функционал өзінің максимумы немесе минимумына (экстремумға)
жетеді. Олай болса, функционалдың экстремумға жету шарты , немесе,
түрінде жазылады.
Қорыта келгенде, өзінің экстремумын беретін қисықтың бойында
функционалдың варияциясы әрқашан нолге тең болады .
Бұл теореманы былайша қолдануға болады: Функционалға экстремум беретін
қисығын іздеу есебін функционалдың варияциясы 0-ге тең болу
шартымен, басқаша айтқанда, теңдеуін шешу есебімен айырбастауға
болады.
Енді функционалын экстремумға зерттейік. Бұл жерде функционалдың
анықталу аймағының екі шеткі нүктесі қатаң бекітілген деп қабылданған.
Олай болса, функционалға экстремум беретін қисығы екі шеткі нүктеден
басқа жердің бәрінде еркін өзгеруі мүмкін, тек, сол өзгеру жағдайларының
ішінде бір ғана жағдай функционалға экстремум береді. Функционалдың бұл
түрі бір айнымалыға тәуелді бір функцияның және оның, тәуелсіз айнымалы
бойынша, бірінші туындысының функционалы деп аталады. Бұл жерде
функциясының үш рет дифференциялдануы шарт. Енді қисығында функционал
өзінің экстремумына жетеді деп болжайық. Егер қисығына жақын
орналасқан қисығын алып, кез келген параметрінің көмегімен
өрнегін құрастырсақ, онда параметріне тәуелді қисықтар жиынын
аламыз және болған кезде өрнектің мәні болады, ал болған
кезде . Бұл жерде салыстыру қисығы деп аталады. Ал айрымы
функциясының варияциясы деп аталып арқылы белгіленеді және ол
-тың функциясы болады. Бұл функция бойынша бірнеше рет
дифференциялданады және оның туындылары былайша есептеледі:
----------------------------
Енді, жоғарыда аталған қисықтар жиынын қарастырайық. Егер
кезінде болса, ал кезінде болса, онда параметрін
енгізу арқылы функционалын параметрінің функциясына
айналдырамыз. Осылайша анықталған функциясы болған кезде өзінің
экстремумына жетеді. Демек, оның экстремумының қажетті шарты түрінде
жазылады. Енді, осылайша анықталған функциясының параметрі
бойынша туындысын
түрінде анықтайық. Бұл жерде
,
,
,
,
,
.
Функционалдың экстремумының шарты функционалы үшін енді
былайша жазылады
(*)
Интеграл астындағы екінші қосындыны бөлектеп интегралдасақ және
екенін ескерсек, онда . Бірақ
, болады. Себебі функционалдың анықталу аймағының екі басы
қатаң бекітілген болғандықтан функционалдың ол нүктелердегі варияциялары 0-
ге тең: . Олай болса
.
Бұл функционалдың варияциясын есептеу формуласы. Демек, экстремумның
қажетті шарты енді былайша жазылады:
.
Интеграл астындағы бірінші көбейткіші берілген үзіліссіз функция, ал
екінші көбейткіш кез келген үзіліссіз шама, себебі салыстыру
қисығы еркін таңдалады. Оның үстіне вариациясы функционалдың анықталу
аймағының шекаралық және нүктелерінде 0-ге тең. Алынған
нәтижені қарапайым түрге келтіру үшін келесі лемманы қолданамыз.
Вариациялық есептеулердің негізгі леммасы:
Егер әрбір үздіксіз функциясы үшін
шарты орындалса, онда, аралығында үздіксіз функциясы әрқашан
болады.
Енді осы лемманы жоғарыда алынған функционалдың экстремумға жетуінің
шартына қолдансақ, онда, әрқашан
(**)
болуы керек екенін көреміз. Шынында, жоғарыда келтіріліген шарттарды
көбейткіші қанағаттандырады.
Функционалдың экстремумға жету шартының
түрі Эйлер теңдеуі деп аталып, бойынша туынды алынғаннан кейін,
екінші ретті кәдуілгі диффренциалдық теңдеу түрінде былайша ашылады:
.
№ 3 лекция.
Қарапайым функционалдардың
жекелеген түрлері.
Енді, функционалына сәйкес алынған Эйлер теңдеуінің
шекаралық шарттарды қанағаттандыратын шешімі барлық кезде табыла
бермейтінін, ал, табылған кездің өзінде, шешімнің жалғыз болмауы мүмкін
екенін ескерейік. Ол үшін функционалдың интеграл астындағы
функциясының түріне байланысты аталған шекаралық есептің шешімі әр түрлі
болатынына мысалдар келтірейік.
Мысал: Шекаралық шарттары түрінде берілген функционалының
экстремалын іздейік. Бұл жерде интеграл астындағы функция
түрінде берілген. Енді Эйлер теңдеуінің құрамындағы шамаларды есептейік:
Алынған шамаларды Эйлер теңдеуінің ашылып жазылған формуласына
қойсақ, онда түріндегі екінші ретті, кәдуілгі сызықтық
дифференциалдық теңдеу аламыз. Бұл теңдеудің жалпы шешімі болады.
Шекаралық шарттардан екенін анықтаймыз. Олай болса, берілген
функционал тек қисығында ғана өзінің экстремумына жетеді.
1) жағдайы.
Енді функционалдың туындысына тәуелсіз болатын кезін
қарастырайық. Бұл кезде интегралдың астындағы функция түрінде
жазылады да, сәйкес Эйлер теңдеуі болғандықтан түрінде алынады.
Бұл теңдеу дифференциалдық теңдеу болмағандықтан, оның құрамында
интегралдау кезінде пайда болатын белгісіз коэффициенттері болмайды.
Сол себептен мұндай вариациялық есептің жалпы жағдайда шешімі болмайды. Тек
қисығы шекаралық нүктелері арқылы өткен кезде ғана функционалға
экстремум беретін қисық табылуы мүмкін.
Мысал: ; вариациялық есебінің Эйлер теңдеуі немесе
түрінде жазылады. Бұл қисық болған кезде ғана шекаралық
нүктелері арқылы өтеді. Қалған жағдайлардың бәрінде де экстремалдық
қисықтың теңдеуін үзіліссіз функциялар класынан табу мүмкін емес.
2) функциясы -қа сызықты түрде тәуелді.
Бұл жағдайды жалпы түрде былайша жазамыз: . Демек, енді
функционал былайша
жазылады да, Эйлер теңдеуі
түрінде, немесе
түрінде, немесе
түрінде алынады. Тағы да, алдыңғы жағдай сияқты, Эйлер теңдеуі
дифференциалдық түрде емес, шекті түрде алынды. Демек, шекаралық шарттар
арқылы анықталатын белгісіз коэффиенттері болмағандықтан
қисығы жалпы жағдайда шекаралық шарттарды қанағаттандырмайды да,
вариациялық есептің үзіліссіз функциялар класында шешімі болмайды. Ал егер
болса, онда өрнегі толық дифференциал болады да
функционалының мәні интегралдау жолына тәуелсіз болып қалып, вариациялық
есеп мағынасын жоғалтады.
Мысал:
Вариациялық есеп
;
түрінде берілсін. Олай болса Эйлер теңдеуі немесе түрінде
алынады. Бұл кезде бірінші шекаралық шарт орындалады, ал екінші
шекаралық шарт тек болса ғана орындалады да, қалған жағдайдың
бәрінде шекаралық шарттарды қанағаттандыратын экстремал табылмайды.
№ 4 лекция.
Қарапайым функционалының
жекелеген түрлері (жалғасы).
3) жағдайы.
Бұл кезде интеграл астындағы функциясы тек туындысына ғана
тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуі болғандықтан түрінде алынады.
Осыдан, егер болса, онда оның шешімі екіпараметрлік түзу
сызықтар жинағын береді. Ал, егер болса, онда бұл теңдеудің
немесе түріндегі бір, немесе бірнеше шешімі, құрамында, жоғарыда
алынған, шешімі бар, бірпараметрлік түзу сызықтар жинағын береді.
Демек, жағдайында функционалдың экстремалдары жалпы жағдайда
түрінде алынады.
4) жағдайы.
Бұл кезде Эйлер теңдеуі түрінде жазылады да, оның бірінше
интегралы теңдеуін береді. Бұл теңдеудің құрамында да
айнымалысы болмайды. Бұл теңдеуді туындысына қатысты тікелей шешіп
алып интегралдауға, немесе, қосымша көмекші параметр енгізу арқылы
интегралдауға болады.
Мысал.
түрінде функционал берілсін. Бұл функционал арқылы жазықтықтағы
қисығы бойымен бір нүктеден екінші нүктеге жету уақыты анықталады.
Шынында да, жазықтықтағы қисығының доғасының ұзындығы
интегралы арқылы анықталатыны белгілі. Егер деп алсақ, онда
болады. Демек, . Бұл функционал үшін Эйлер теңдеуінің бірінші
интегралы немесе түрінде алынады. Енді түрінде жаңа
параметр енгізсек, онда немесе болады. Бұл жерде . Келесі
түрлендірулер арқылы дифференциалдық
теңдеуін аламыз. Интегралдау арқылы алынады.
Демек, , . Осыдан параметрін шығарып тастасақ:
.
Демек, вариациялық есептің шешімі орталығы ордината осінде орналасқан
шеңберлер жинағының теңдеулері.
4) жағдайы.
Бұл кезде интеграл астындағы функциясы функциясы мен оның
туындысына тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуі түрінде жазылады. Егер
осы теңдеудің барлық мүшелерін шамасына көбейтсек, алынған нәтиже
толық туындысына тең болатынын көреміз.
Шынында да:
Олай болса Эйлер теңдеуінің бірінші интегралы теңдеуін береді.
Бұл теңдеу айнымалысына айқын түрде тәуелді болмағандықтан, оны
туындысына қатысты тікелей шешіп алып интегралдауға, немесе, қосымша
көмекші параметр енгізу арқылы интегралдауға болады.
Мысал. Абсцисса осі бойымен айналғанда ауданы ең кіші бет туындататын,
екі басы қатаң бекітілген қисықтың теңдеуін табу қажет болсын.
Қисық сызықтың айналуынан туатын беттің ауданы формуласымен
анықталады. Бұл жерде интеграл астындағы функциясы тек
функциясы мен оның туындысына тәуелді. Демек, Эйлер теңдеуінің
бірінші интегралы түрінде алынады. Берілген есеп жағдайында
және Эйлер теңдеуі түрінде жазылады. Түрлендірулерден кейін
теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді алмастыруларын қолданып интегралдаймыз.
Келесі түрлендірулерді қолданып және шешімін аламыз.
Алынған нәтижеден параметрін шығарып тастасақ, онда шешімін
аламыз.
Алынған шешім шынжырлық сызықтардың жинағын береді. Ал олардың
абсцисса осі бойымен айналуынан туатын беттер катеноидтар деп аталады.
Белгісіз мен параметрлері табылған қисықтың шекаралық
нүктелерден өту шарттарынан табылады.
Шекаралық нүктелердің кеңістікте орналасуына байланысты бұл есептің
бір, екі шешімі, немесе, бір де бір шешімі болмауы мүмкін.
№ 5 Лекция.
Бір айнымалыға тәуелді бірнеше функцияның және олардың бірінші
туындыларының
функционалдары.
Құрамындағы барлық функциялардың шекаралық шарттары
түрінде берілген
функционалының экстремалын алудың қажетті шарттарын табу үшін белгісіз
функциялардың кез келген біреуін ғана вариациялаймыз да, қалғандарын
өзгеріссіз қалдырамыз. Бұл кезде функционалы вариацияланатын бір ғана
функциясының функционалына айналады. Демек, экстремум беретін
функциясы Эйлердің теңдеуін қанағаттандыруы тиіс. Бұл жерде
индексі 1 мен аралығында кез келген мән қабылдайтын
болғандықтан, жалпы жағдайда кеңістіктігінде берілген вариациялық
есептің экстремалдар жинағын анықтайтын параметрлік интегралдық
қисықтар жиыны Эйлердің дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімі
болады.
Жекелеген жағдайда, егер функционал тек пен
функцияларына ғана тәуелді болса, онда вариациялық есеп
функционалының
шекаралық шарттарын қанағаттандыратын экстремалын табуға қойылады (1-
ші сурет).
1-ші сурет
Бұл кезде алдымен функциясы тұрақты деп алынады да,
функциясы проекциясы жазықтығында өзгермейтіндей етіп вариацияланады.
2-ші сурет
Демек, вариацияланатын қисық әрқашан цилиндрінің бетінде қалып
отырады. Келесі кезекте, дәл осылайша, функциясы тұрақты деп алынып,
функциясы проекциясы жазықтығында өзгермейтіндей етіп
вариацияланады. Нәтижесінде Эйлер теңдеулерінің келесі жүйесін аламыз:
Мысал.
вариациялық есебін шешу керек.
Эйлер теңдеулері былайша жазылады:
.
Жүйеден функциясын шығарып тастасақ теңдеуін аламыз.
Төртінші ретті бұл дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
түрінде алынады. Шекаралық шарттардан екенін анықтаймыз. Демек,
функционалға экстремум беретін кеңістіктегі функциялар түрінде
табылады.
№ 6 лекция.
Жоғарғы ретті туындыларға тәуелді функционалдар
Енді = түрінде берілген функционалды зерттейік. Бұл жерде
функциясы барлық аргументтері бойынша рет дифференциалданатын
болсын және шекаралық шарттар мынадай түрде берілсін:
Функционал өзінің экстремумына рет дифференциалданатын
қисығында жетеді деп болжайық. Салыстыру қисығы деп аталатын
қисығы да рет дифференциалданатын болсын.
Функциялардың бір параметрлік
жинағын қарастырайық.
Егер функционал өзінің экстремумына тек қана жинағының
қисықтарында жететін болса, онда бұл функционал параметрінің
функциясына айналады да, өзінің экстремумына функционалдың бойынша
туындысының мәнінде жетеді. Демек, экстремумға жетудің қажетті шарты
түрінде жазылатын болады. Бұл туынды функционалдың вариациясы деп
аталады да, арқылы белгіленеді:
Соңғы интегралды 2-ші қосылғыштан бастап бөлшектеп интегралдсақ, онда
2-ші қосылғыш былайша түрленеді:
Дәл осылайша 3-қосылғышты екі рет бөліктеп интегралдасақ мынадай нәтиже
шығады
Осы ретпен соңғы -ші қосылғышты рет бөліктеп
интегралдасақ:
Шекаралық шарттар бойынша функционалдың анықталу аймағының шеткі
нүктелерінде функциясы мен оның туындыларының вариациялары нольге
тең: . Демек, функционалдың вариациясы былайша анықталады:
Функционалға экстремум беретін функциясында функционалдың
вариациясы болатыны белгілі. Олай болса, негізгі лемманы қолданып
мына тепе-теңдікті аламыз:
.
Демек, экстремум беретін функциясы мына теңдеудің шешімі болады:
.
Бұл дифференциалдық теңдеу Эйлер-Пуассон теңдеуі деп аталады. Ал, оның
интегралдық қисықтары вариациялық есептің экстремалдары деп аталады.
Мысал.
функционалының экстремалы
шекаралық шарттардан анықталсын.
Эйлер-Пуассон теңдеуі түрінде жазылып, түрге келеді.
Алынған дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі түрде алынады.
Шекаралық шарттардан белгісіз тұрақтылардың болатынын анықтаймыз.
Демек, дифференциалдық теңдеудің шешімі түзуі түрінде алынады.
Екі функция мен олардың жоғары ретті туындыларына тәуелді
функционалдар
Егер функционал түрінде берілсе, онда функциясын
өзгеріссіз қалдырып функциясын вариациялаймыз. Бұл кезде
функционалға экстремум беретін және функциялары келесі Пуассон
теңдеуін қанағаттандыруы керек:
Сол сияқты, функциясын тұрақты сақтап, функциясын
вариацияласақ, Эйлер-Пуассон теңдеуі былайша жазылады.
.
Осылайша алынған теңдеулер жүйесін шешу арқылы экстремалдық беттен
өрнектерін аламыз.
Жалпы жағдайда, функциялар саны екіден көп болса
функционалының экстремумын табу үшін кез-келген функциясын
вариациялап, қалған функцияларды өзгертпей қалдыру арқылы Эйлер-Пуассон
теңдеулерінің келесі жүйесін аламыз:
.
№ 7 лекция.
Бірнеше тәуелсіз айнымалылардың функцияларының
функционалдары.
функционалын экстремумға зерттейік. Вариациялық есепте
функциясының аймағының шекарасындағы мәндері, демек,
барлық мүмкін беттер өтетін кеңістіктегі контуры берілген. Жазбаларды
қысқарту үшін мынадай белгілеулерді енгізейік. Интеграл астындағы
функциясы үш рет, ал экстремум беретін беттің функциясы екі рет
дифференциялданатын болсын. Енді, тағы да бір параметрлік беттер
жинағын қарастырамыз. Бұл жерде , ал функциясы
параметрінің мәнінде экстремум беретін функциясын, ал
мәнінде кез келген бір салыстыру бетін береді. Демек, жинағында
функционал параметрінің функциясына айналады. Бұл функцияның
болғанда экстремумға жету шарты былайша жазылады:
.
Бұл туындыны функционалының вариациясы деп атап, арқылы
белгілейді. Туындыны ашып жазсақ:
Бұл жерде
,
,
.
Бірақ
,
болғандықтан, алынған нәтижені өзара қосып интегралдасақ
Бұл жерде шамалары пен бойынша алынған толық дербес
туындылар деп аталады. Мысалы: есептелінгенде тұрақты деп
есептеліп, бойынша туынды алынады:
.
Енді тұрақты деп есепеп, бойынша туынды алсақ:
.
Енді белгілі Грин формуласын қолдансақ
теңдігін аламыз.
Соңғы интеграл нолге теңеседі, себебі барлық мүмкін беттер кеңістіктегі
контуры арқылы өтетін болғандықтан контурында функционалдың
вариациясы нолге тең болады. Демек, болады да, соңғы интеграл нолге
айналып кетеді. Олай болса
.
Сонымен, функционалдың вариациясының
шарты енді былайша түрге енеді
.
Экстремалдык беттің варияциясы еркін таңдалады, оған тек үздіксіз
болу, дифференциялдану және контурында нолге айналу шарттары
қойылады. Ал, бірінші көбейткішке вариациялық есептеудің негізгі леммасын
қолдансақ
болуы керек.
Демек, экстремалдық функциясы дербес туындылы, екінші ретті
дифференциалдық теңдеудің шешімі болады. Бұл теңдеу Остроградский теңдеуі
деп аталады.
1-ші мысал:
функционалы үшін Остроградский теңдеуін алайық. Функционалға экстремум
беретін функциясының аймағының контурындағы мәні
белгілі. Бұл жерде интеграл астындағы функция түрінде берілген. Енді
Остроградский теңдеуінің құрамындағы шамаларды есептейік:
Алынған мәндерді Остроградский теңдеуіне қойсақ, дербес туындылы, екінші
ретті біртекті дифференциалдық теңдеу аламыз:
.
Бұл теңдеу Лаплас теңдеуі деп аталады. Лаплас теңдеуінің контурындағы
шекаралық шартқа сәйкес болатын үздіксіз шешімін табу математикалық физика
ғылымындағы негізгі есептердің бірі. Бұл есеп Дирихле есебі деп аталады.
2-ші мысал:
Енді функционал
түрінде берілсін. Функционалға экстремум беретін функциясының
аймағының контурындағы мәні белгілі. Бұл жерде интеграл
астындағы функция түрінде берілген. Бұл кезде Остроградский теңдеуі
түрінде алынады да, Пуассон теңдеуі деп аталады. Пуассон теңдеуі де
математикалық физика есептерінде жиі қолданылады.
№ 8 лекция.
Бірнеше айнымалыға тәуелді функцияның және оның
туындыларының функционалдары
функционалының экстремумға жетуінің қажетті шарты үшін Остроградский
теңдеуі, алдыңғы жағдайға ұқсас, былайша жазылады:
Бұл жерде , ал функционалға экстремум беретін функциясы.
Мысалы
функционалы үшін Остроградский теңдеуі мынадай түрде жазылады:
.
Егер функционалдың интеграл асты функциясы функциялардың жоғары ретті
туындыларына да тәуелді болса, онда Остроградский теңдеуін алуда
қолданылған амалдарды бірнеше рет қайталау арқылы экстремумның қажетті
шарты ретінде Эйлер-Пуассон теңдеуіне ұқсас өрнектер аламыз.
Мысалы
функционалының экстремумға жету шарты
түрінде жазылады. Бұл жерде , , .
Мысалы
фунгкционалы үшін экстремум беретін функциясы, бигармоникалық теңдеу
деп аталатын, төртінші ретті дербес туындылы дифференциалдық
теңдеуді қанағаттандыруы керек. Бұл теңдеу, қысқаша түрінде жазылады.
Ал
функционалына экстремум беретін функциясы теңдеуінің шешімі
болады.
Параметрлік түрдегі вариациялық есептер
Көптеген вариациялық есептердің шешімін параметрлік түрде іздеген
ыңғайлы. Мысалы, ең үлкен ауданын қоршайтын, ұзындығы тұрақты тұйық
қисықтың ұзындығын табу үшін шешімді түрінде іздеген ыңғайсыз.
Себебі, есептің қойылуынан ақ шешімнің жалғыз болмауы мүмкін екені
түсінікті.
Демек, бұл жағдайда шешім параметрлік және түрінде
ізделеді де, ауданды есептейтін
функционалының экстремумы тұйық сызықтың ұзындығын есептейтін және
пен функцияларын өзара байланыстыратын шартының көмегімен
анықталады.
Жалпы жағдайда,
(*)
функционалының экстремалын параметрлік және функциялар түрінде
іздеу ыңғайлы болсын делік. Бұл кезде (*) функционалы былайша түрленеді:
.
Түрлендіруден кейін алынған функционалдың интеграл астындағы
функциясының құрамына айнымалысы айқын түрде қатыспайды және бұл
функция және айнымалыларына қатысты біртекті функция болып
келеді. Сонымен бірге, функционалы жалпы түрдегі
функционалдарға жатпайды. Себебі оның құрамына айнымалысы айқын түрде
қатыспайды және бұл функция және айнымалыларына қатысты
біртекті функция.
Демек, қарастырылып отырған түрдегі
функционалы үшін Эйлер теңдеулерінің келесі жүйесін шешу қажет:
.
Бірақ, мұндай жекелеген жағдайда Эйлер теңдеулері өзара тәуелсіз емес.
Сондықтан, өзара тәуелді бұл екі теңдеуді шешу үшін, Эйлер теңдеулерінің
біреуін қосымша бір шартпен бірге шешу қажет. Қосымша шарттың құрамында
ізделіп отырған экстремалдық қисықтың параметрлері болуы шарт.
Вариациялық принциптің механикада қолданылуына мысалдар
Механикадағы негізгі вариациялық принциптердің біреуі, Остроградский-
Гамильтон принципі. Бұл принцип бойынша материялық нүктелер жүйесінің
байланыстар рұхсат беретін барлық мүмкін қозғалыстарының ішінен шындығында
іске асатыны тек
интегралына стационар мән беретін қозғалыс қана. Демек, бұл қозғалыс үшін
кезінде аталған функционалдың вариациясы нолге тең болуы керек. Бұл жерде
-жүйенің кинетикалық, ал -потенциалдық энергиялары.
1-ші мысал.
Материялық нүктелер жүйесінің әрбір нүктесінің массалары мен
координаталары берілсін және оған күштік потенциалы арқылы
түрінде анықталатын күштері әсер етсін делік. Жүйенің қозғалысының
дифференциалдық теңдеуін құру керек.
Жүйенің кинетикалық энергиясы
формуласы арқылы анықталады. Ал жүйенің потенциалдық энергиясы -ға
тең. Берілген интегралы үшін Эйлер теңдеулерінің жүйесі
немесе
түрінде жазылады. Алынған теңдеулер жүйесінен материалық нүктелер
қозғалысының дифференциалдық теңдеуін көреміз. Бұл белгілі Ньютон заңы.
№ 9 лекция.
Жылжымалы шекаралы қарапайым вариациялық есеп
Осыған дейін,
функционалын экстремумға зерттеген кезде, шекаралық және
нүктелері тұрақты деп есептелінген болатын.
Енді шекаралық нүктелердің біреуі, немесе, екеуі де жылжымалы болатын
жағдайды қарастырайық. Бұл кезде мүмкін қисықтардың класы кеңейеді, себебі,
ізделініп отырған экстремал қисық пен шекаралары ортақ салыстыру
қисықтарымен қатар, шекаралық нүктелері ауытқып кеткен қисықтарды да
қарастыруға болады.
Сондықтан, егер шекаралары жылжымалы есепте, кез келген бір
қисығында экстремум табылса, онда бұл қисық шекаралары бекітілген
қисықтардың тар класы үшін де өзінен өзі экстремал болады. Демек, бұл қисық
үшін шекаралары бекітілген функционалдың экстремумға жетуінің қажетті шарты
орындалуы тиіс, басқаша айтқанда экстремалдық функциясы Эйлердің
теңдеуінің шешімі болуы керек. Демек, шекаралары жылжымалы вариациялық
есепте экстремум беретін қисықтары экстремалдар болуы керек.
Эйлер теңдеуінің жалпы шешімінде белгісіз екі тұрақты шама болады да,
оларды анықтау үшін шекаралық және шарттары пайдаланылады. Ал
шекаралары жылжымалы есепте бұл шарттардың біреуі, немесе екеуі де
берілмейді. Белгісіз тұрақты шамаларды анықтауға жетіспей тұрған қосымша
шарттар экстремумның негізгі қажетті шартынан, функционалдың
вариацияның нолге тең болу шартынан алынуы керек.
Шекаралары жылжымалы есепте экстремум Эйлер теңдеуінің
шешімдерінің ішінен табылатын болғандықтан, бұдан кейін функционалдың мәнін
осы шоғырдың функциялары ішінде қарастыруға болады. Бұл кезде
функционалы осы және параметрлері мен интегралдаудың және
шектерінің функциясына айналады да, оның вариациясы осы функцияның
толық дифференциалына айналады.
Алдымен шекаралық нүктелердің біреуінің, мысалы нүктесінің,
бекітілген жағдайын қарастырайық. Екінші нүктесі жылжып
нүктесіне, немесе, вариациялық есептеулерде қабылданғандай, нүктесіне
орын ауыстырсын.
Мүмкін және қисықтарын өзара жақын деп есептеу үшін
олардың және вариацияларының модульдері мен және
өсінділерінің модульдері кіші мәндер болуы шарт.
Тұрақты нүктесі арқылы өтетін экстремалдар экстремалдар
шоғырын құрайды. Бұл шоғырдың қисықтарында функционалы мен
параметрлерінің функциясына айналады.
1-ші сурет
Егер шоғырының қисықтары қарастырылып отырған экстремалдың
маңайында өзара қыйылыспайтын болса, онда функционалын мен
шамаларының функциясы деп қарастыруға болады, себебі, нүктесін
тағайындау (1-ші сурет) шоғырдағы нақты экстремалды таңдаумен, басқаша
айтқанда, функционалдың мәнін анықтаумен бірдей.
Енді функционалының шоғырының бір қисығынан екінші
қисығына өткендегі, басқаша айтқанда, шекаралық нүктесі арқылы
өтетін қисықтан нүктесі арқылы өтетін қисыққа ауысқандағы өсіндісін
есептейік. Шоғырдың қисықтарында функционал мен -дің функциясына
айналғандықтан, оның вариациясы осы функцияның дифференциалына айналады.
Енді өсіндісінің мен мәндеріне қатысты басты сызықтық
бөлігін жеке қарастырайық:
(*)
Теңдіктің оң жағындағы бірінше қосылғышқа орташа мән туралы теореманы
қолданамыз:
.
Бұл жерде . Енді функциясының үзіліссіз екенін ескерсек
болады және кезінде .
Енді (*) теңдігінің екінші қосылғышындағы интеграл астындағы
функцияны Тейлор формуласы арқылы жіктеп, түрлендірсек:
.
Бұл жерде кішілігінің реті пен -тің кішілік ретінен көп
жоғары шексіз кіші сан.
Алынған теңдіктің негізгі сызықтық
бөлігінің екінші қосылғышын жекелеп интегралдасақ
.
Бірақ, функционалдың мәндері тек экстремал қисықтарда ізделінетін
болғандықтан, екені түсінікті. Оның үстіне, шекаралық нүктесі
қатаң бекітілгендіктен болады. Олай болса
теңдігін аламыз. Бұл жерде белгісі теңдіктің оң жағының таңбасы
экстремумның вариациясының мәнінің таңбасы арқылы анықталатынын
көрсетеді.
2-ші сурет
Айта кету керек, бұл жерде мен өзара тең емес. Себебі, -
бұл шамасының нүктесіне орын ауыстырғандағы өсіндісі, ал
шамасы функциясының және нүктелері арқылы өтетін
функционалдан және нүктелері арқылы өтетін экстремалға өткен
кездегі өсіндісі. Олардың өзара тең емес екенін 2-ші суреттен көруге
болады. Бұл суреттен
екенін, немесе, екенін көреміз. Бұл жердегі жуық теңдіктің өте жоғары
дәлдікпен алынатыны түсінікті. Сонымен
екенін дәлелдедік. Бұл жердегі жуық теңдіктер мен -дің
дәлдігінен көп жоғары дәлдікпен алынғаны түсінікті.
Олай болса (*) теңдігін енді былайша жазуға болады:
немесе
.
Бұл жерде экстремалдарында берілген функционалының
функциясына айналатыны ескерілген. Ал, арқылы шекаралық нүктенің
координатасының өсінділері белгіленген. Осыдан кейін экстремумның негізгі
қажетті шарты былайша түрленеді:
(**)
Егер мен өсінділері өзара тәуелсіз болса, онда және
шарттары алынады. Бірақ, көп жағдайда мен өсінділері өзара
байланысты болады. Мысалы, оң жақтағы шекаралық нүкте белгілі бір
қисығының бойымен жылжуға мәжбүр болуы мүмкін. Бұл кезде болады да,
(**) шарты түрінде, немесе, еркін өзгеретін болғандықтан,
түрінде жазылады. Бұл шарт шекаралық нүктесінде бұрыштық және
коэффициентерінің арасындағы байланысты орнатады және трансверсалдық
шарты деп аталады.
Трансверсалдық шарты шартымен бірігіп шоғырының ішінен
экстремум беретін бір, немесе бірнеше экстремал қисықтарын анықтауға
мүмкіндік береді. Егер нүктесі де кез келген бір қисығының
бойымен жылжитын болса, онда дәл осылайша нүктесіндегі трансверсалдық
шартын алуға болады:
.
Мысал:
Берілген түріндегі функционалдар үшін трансверсалдық шартын
анықтау қажет болсын. Бұл кезде трансверсалдықтың шарты былайша
жазылады:
немесе .
Шекаралық нүктеде болады деп болжап, трансверсалдық шартын
немесе түрінде аламыз. Бұл шарт аналитикалық геометрияда ортогоналдық
шарты деп аталады. Демек, шекаралық нүкте жылжитын қисығы мен
ізделініп отырған экстремал қисығы өзара тік бұрыш құрап қиылысады екен.
№ 10 лекция.
түріндегі функционалдардың жылжымалы
шекаралық есебі
Егер функционалын экстремумға зерттеген кезде шекаралық
нүктелердің біреуі, мысалы, нүктесі жылжымалы болып, ал екінші
нүктесі қатаң бекітілген болса, онда экстремум Эйлер теңдеулерінің
және жүйесінің интегралдық қисықтарының ішінен табылады.
Шынында, егер шекаралары жылжымалы есепте кез келген бір
қисығында экстремум алынатын болса, онда шекаралық нүктелері бекітілген
есепте қисығында өзінен өзі экстремум анықталады.
Демек, қисығында шекаралық нүктелері бекітілген есепте
экстремумның қажетті шарты орындалуы керек. Басқаша айтқанда, қисығы
Эйлер теңдеулері жүйесінің интегралдық қисығы болуы тиіс.
Эйлер теңдеулері жүйесінің жалпы шешімінде төрт белгісіз тұрақты шама
болады. Шекаралық нүктесінің координаталары белгілі болғандықтан,
олардың екеуі жеңіл анықталады. Қалған екеуін анықтау үшін экстремумның
қажетті шартын пайдаланып, қосымша тағы екі шартты анықтау қажет. Бұл
кезде функционал тек Эйлер теңдеулері жүйесінің шешімдерінде анықталған деп
қабылдауымыз керек. Олай болса, функционалы нүктесінің
координаталарының функциясына айналып кетеді де, оның вариациясы осы
функцияның толық дифференциалына тең болады.
Функционалдың вариациясын есептеу жолы дәл алдыңғы параграфтағыдай
болады:
. (*)
Теңдіктің оң жағындағы бірінше қосылғышқа орташа мән туралы теореманы
функциясының үзіліссіздігін ескеріп қолдансақ, екінші қосылғыштағы
интеграл астындағы функцияны Тейлор формуласы арқылы жіктеп түрлендіріп,
алынған нәтиженің негізгі сызықтық бөлігін жекелегеннен кейін:
өрнегін аламыз. Өрнектің соңғы екі қосылғышын жекелеп интегралдасақ:
.
Бірақ, функционал тек экстремалдарда ғана есептелетін болғандықтан:
.
Олай болса
.
Енді алдыңғы параграфта қолданған сараптауларды қолдансақ, және
болады. Демек, болады.
Егер вариациялары өзара тәуелсіз болса, онда шартынан
шарттарын аламыз.
Егер шекаралық нүктесі , қисығының бойымен жылжитын
болса, онда және болады да, немесе шарты
шартына айналады. Осыдан еркін таңдалатын болғандықтан
шартын аламыз. Бұл шарт функционалын экстремумға зерттеу есебіндегі
транверсалдық шарты деп аталады. Трансверсалдық шарты ,
теңдеулерімен бірге Эйлер теңдеулері жүйесінің жалпы шешіміндегі белгісіз
тұрақты шамаларды анықтауға қажетті жетіспейтін теңдеулерді береді.
Егер шекаралық нүктесі кез келген бір кеңістіктегі беттің
бойымен жылжитын болса, онда болады да, экстремумның немесе
шарты
шартына ауысады. Осыдан мен шамаларының тәуелсіздігін ескеріп
және шарттарын аламыз. Бұл екі шарт теңдеуімен бірге
Эйлер теңдеулері жүйесіндегі екі белгісіз тұрақты шамаларды табуға
мүмкіндік береді.
Ал егер, екінші нүктесі де жылжымалы болса, онда бұл нүкте үшін
де экстремумның шарты дәл жоғарыда келтірілген әдіспен анықталады.
Функционалдардың түрі үшін трансверсалдық шарты
түрінде жазылады.
Мысал.
Келесі
функционалы үшін болған кездегі трансверсалдық шартын анықтау
керек.
Шешуі:
Трансверсалдықтың және
шарты бұл кезде былайша жазылады: үшін және немесе
болады. Бұл шартты ізделіп отырған экстремалға нүктесінде
тұрғызылған жанамасы мен аталған нүктеде бетіне тұрғызылған
жанамасының өзара параллельдік шарты деп түсіну керек. Басқаша
айтқанда, бұл кезде трасверсалдық шарты ізделіп отырған экстремалдың
бетіне ортогоналдық шартына айналып отыр.
№ 11 лекция.
Бұрыштық нүктелері бар экстремалдар.
Осы кезге дейін біз ізделіп отырған экстремалдың функциясы мен
оның туындысы үзіліссіз болатын вариациялық есептерді қарастырып келдік.
Бірақ көп жағдайда вариациялық есептің шешімі бұрыштық нүктелері бар
экстремалдарда жатады. Мұндай есептердің қатарына экстремалдардың шағылуы
мен сынуы туралы есептерді жатқызуға болады. Жарық сәулесінің шағылуы мен
сынуы туралы есеп бұған мысал бола алады.
Экстремалдардың шағылуы туралы есеп.
Кез келген функционалының берілген және нүктелері
арқылы өтетін экстремалын табу керек болсын делік. Бірақ бұл қисық соңғы
нүктесіне берілген қисығынан шағылып барып жетуі керек.
Экстремалдың бұрыштық нүктесі шағылу нүктесінде орналасқан деп
жорамалдауымыз заңды. Әрине, бұл нүктеде қисығына жүргізілетін
жанаманың сол жақ мәні мен оң жақ мәні жалпы жағдайда өзара тең
болмайтыны түсінікті. Сондықтан қарастырылып отырған функционалды келесі
қосынды түрінде алған ыңғайлы:
.
Сонымен қатар және аралықтарының әрқайсында функциясы
үзіліссіз деп болжанады. Сондықтан, алдыңғы параграфта қарастырылған,
шекаралары жылжымалы есептің нәтижелерін осы жерде қолдануға болады.
Экстремумның негізгі шарты енді былайша жазылады:
.
Ортаңғы нүктесі қисығының бойымен жылжи алатын
болғандықтан, және вариацияларын есептеген кезде біз шекаралары
жылжымалы вариациялық есептің жағдайында боламыз. Бұл жерде және
доғалары экстремалдар болады, себебі, бұл доғалардың бойында
функциясы Эйлер теңдеуінің шешімі болады. Шынында да, егер бұл қисықтардың
біреуін анықталған экстремал деп алып, екіншісін вариациялайтын болсақ,
онда (немесе ) функционалы үшін шекаралары бекітілген
вариациялық есеп аламыз. Сондықтан функционалдың вариациясын есептеген
кезде функционал тек бұрыштық нүктесі бар экстремалдарда
қарастырылады деп есептейміз. Олай болса
және
.
Бұл жерде және белгілеулері нүктесіне сол немесе оң
жағынан жақындағандағы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz