Анықталған интегралдың қолданылулары

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

АнықТАЛҒАН ИНТЕГРАЛДЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ

§ 7. 21 Жазық фигураның ауданы

кесіндісінде үзіліссіз оң функция берілсін, яғни

сонда осы қисықтың графигімен, абсцисса осімен және екі бүйірінен x=a , түзулерімен шенелген қисық сызықты трапецияның ауданы

(21)

формуласымен табылады. Егер функция , яғни қисық 0х осінің төменгі жағынан өтетін болса, онда фигураның ауданы мына формуламен табылады

0 a b х .

Егкр функциясы ауыспа таңбалы болса, онда оң және теріс аудандарды жеке-жеке есептеп алынған нәтижелерді қосады:

s ₁ s ₃

0 a b х

s ₂

Егер фигура жоғарыдан y=f ₂ (x) және төменнен y=f ₁ (x) функцияларының графиктерімен, ал екі бүйірінен x=a, x=b түзулерімен шенелсе, онда оның ауданы

теңдігі арқылы табылады.

0 a b

Мысалдар. 1 . және абсцисса осімен қоршалған фигураның ауданын табу керек.

y02 3x:

0 2 3 x

;;;;:

;

; ; ;

кв. бірлік.

2. сызықтарымен қоршалған фигураның ауданын табу керек.

Қисықтардың өзара қиылысу нүктелерін және олардың абсцисса осімен қиылысу нүктелерін табамыз.

ys10 1 2 3xs2s3y=-x:

s ₁

0 1 2 3 x

s ₂

s ₃

y=-x

Equation. 3:

Equation. 3

Equation. 3 .

Ой толғау. Автор аспирантурада оқып жүрген кездері параллель қисықтар ұғымын енгізді, осыны келтірелік.

Егер абсциссалары бірдей нүктелерге жүргізілген жанамалары параллель болса, онда ондай қисықтар параллель деп аталады.

0 a b х

«Қисық сызықты» тік төртбұрыштың ауданын дәлелдеңдер:

S=h(b-a) .

Параллель беттер ұғымын енгізуге бола ма (енгізіңдер ???) .

7. 21. 1 Параметрлік теңдеулерімен берілген фигураның ауданы. Қисық параметрлік теңдеулерімен берілсін:

, және ϕ(α) =а, ϕ(β) =b.

- үзіліссіз функция, және оның туындысы ϕ′(t ) -үзіліссіз функциялар болсын. (21) формуланы пайдаланамыз:

Мысал. эллипсімен шенелген фигураның ауданын табу керек. Эллипстің 0х осінің үстінде орналасқан бөлігінің ауданын тауып екі еселейміз:

Эллипстің параметрлік теңдеуін аламыз:

t- бұрыш

мен -ның арасында өзгереді, онда -ден 0-ге дейін өзгереді, эллипстің тек жоғарғы бөлігі ғана қарастырылады.

;

S _элл =πab.

7. 21. 2 Полярлық координаталарымен берілген фигураның ауданы. Полярлық координаталарымен берілген қисықты қарастырамыз. Қисық және полярлық бұрышы

теңдеулерімен берілген фигураның ауданын табалық.

Анықтама . ρ=ρ(φ) функциясы [φ ₁ , φ ₂ ] аралығында үзіліссіз, әрі теріс болмасын. Полярлық осьпен жасайтын бұрыштары φ ₁ және φ ₂ болатын екі полярлық радиустар және ρ(φ) қисығымен шенелген фигура қисық сызықты сектор деп аталады.

бұрышын бөлікке бөлеміз.

2ϕ1:

₂

ϕ ₁

Кез келген бұрышты- мен белгілейміз. Осы бұрыштың ішінен бірξiбұрышын аламыз:және қисық бойынан кез келгеннүктесін аламыз.: Кез келген бұрышты

- мен белгілейміз. Осы бұрыштың ішінен бір ξ _i бұрышын аламыз:

және қисық бойынан кез келген

нүктесін аламыз.

Анықтама. Полярлық радиустармен және қисығымен қоршалған фигураның ауданы деп ең үлкен ∆ϕ _i → 0 -дағы дөңгелек сызықты секторлардың аудандарының қосындысын айтады: