Математика пәнінен дәрістер кешені
Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
Лекция 3. Графтар
Лекция 4. Сәйкестік графы мен графигі
Лекция 5. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы
Лекция 6. Алгоритм.
Лекция 7. НАТУРАЛ САНДАР
Лекция 8. ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
Лекция 9. САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ
Лекция 10. САНДАРДЫҢ БӨЛІНГІШТІГІ
Лекция 11. ЖАЙ ЖӘНЕ ҚҰРАМА САНДАР
Лекция 12. БҮТІН ЖӘНЕ РАЦИОНАЛ САН
Лекция 13. НАҚТЫ ЖӘНЕ КОМПЛЕКС САНДАР
14.СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ЖӘНЕ ҚЫЗЫҚТЫ ЖАТТЫҒУЛАР
Лекция 15. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕР
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
Лекция 3. Графтар
Лекция 4. Сәйкестік графы мен графигі
Лекция 5. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы
Лекция 6. Алгоритм.
Лекция 7. НАТУРАЛ САНДАР
Лекция 8. ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
Лекция 9. САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ
Лекция 10. САНДАРДЫҢ БӨЛІНГІШТІГІ
Лекция 11. ЖАЙ ЖӘНЕ ҚҰРАМА САНДАР
Лекция 12. БҮТІН ЖӘНЕ РАЦИОНАЛ САН
Лекция 13. НАҚТЫ ЖӘНЕ КОМПЛЕКС САНДАР
14.СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ЖӘНЕ ҚЫЗЫҚТЫ ЖАТТЫҒУЛАР
Лекция 15. МАТЕМАТИКАЛЫҚ ӨРНЕКТЕР
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті. Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі.
Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар «цифр», «санә, «қосылғыш», «қосынды», «кесінді», т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта «бөлік», «фигураның ауданы» ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады. Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері ғана таңдалады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті. Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі.
Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар «цифр», «санә, «қосылғыш», «қосынды», «кесінді», т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта «бөлік», «фигураның ауданы» ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда ашылады. Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері ғана таңдалады.
14.ЛЕКЦИЯ ТЕЗИСТЕРІ
Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және
олардың сипаттамалары.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық құрылымдарды қарастыру.
2. Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны қоғамдық
құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті. Осы
кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі.
Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында
таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар цифр, санә, қосылғыш,
қосынды, кесінді, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған көбейту мен
бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта бөлік, фигураның ауданы ұғымдары
қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы ұғымның
мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар аксиомалардың
көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы үғымға
қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар көрсетіліп
беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама,
нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында жатады,
өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда
ашылады. Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары
туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің анықтауынша
ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты бейнелейді. Ойлау
арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден
айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің
жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге
мүмкіндік береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің
бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі белгілерді айту
жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан айыру үшін
жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез келген
елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды:
ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері ғана
таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға жөне
танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері
өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын
айтады. Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын айтады.
Мысалы, "үшбұрыш" үғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға, үш төбе,
үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны болын
табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі, басқаша
айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым тар
болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
1. Жиын ұғымы.
2.Жиындардың берілу тәсілдері.
3.Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
объект жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=(х(х(N, х6(.
А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама: Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Эйлер-Венн диаграммаларында жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі
жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын
құруға болады.Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден
тұратын жиынды айтады.
Ажәне В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді: С=А(В. А(В={хх(А
жөне х(В}
Егер А жөне В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Бұл жағдайда Ажәне В жиындары қиылыспайды деп айтады. Мысалы,
дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды, өйткені бұл
екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А жөне В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді. А\В((хх(А және х(В(
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шекті және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Лекция 3. Графтар.
1. Графтардың түрлері.
2. Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі объекьілер арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анқытаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды,
Мысалы: Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр”, графын сыз, қасиетін анықта.
Бақылау сұрақтары:
1. Қатс дегеніміз не?
2. Байланысты граф дегеніміз не?
3. Граф сөзі қандай мағынаны білдіреді?
4. Графтар теориясының элементтерін ата?
5. Графтың төбелері дегеніміз не?
6. Инъективті бейнелеуді табыңыз
7. Кері сәйкестік дегеніміз не?
8. Биективті бейнелеу дегеніміз не ?
9. Инъективті бейнелеу дегеніміз не?
10. Сәйкестік символикасын ата.
Лекция 4. Сәйкестік графы мен графигі.
1.Сәйкестік туралы ұғым. Оның графы мен графигі.
2.Бейнелеулер және олардың түрлері.
3.Тең қуаттас жиындар.
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R
-“артық” сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-
сызба). Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары злементтерінің арасындағы Р сәйкестікте хеХ элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сөйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мөнді бейнелеу болып табылады.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръекттивті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
7.Биективті бейнелеу.
8. Өзара бірмәнді бейнелеу.
9. Өзара бірмәнді сәйкестік.
10.Тең қуатты жиындар.
Лекция 5. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы
1.Математикалық ұғымдар.
2.Оларды анықтау тәсілдері.
3.Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана
бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға
әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын
айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік
береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын айтады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
6.Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8.Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Лекция 6. Алгоритм.
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
3.Алгоритмнің мысалдары.
Лекция мақсаты:
1.Алгортим ұғымымен таныстыру.
2.Есеп шешуде алгоритмдеу әдісін тиімді пайдалану.
Алгоритм деп – алға қойылған мақсатқа жету немесе берілген
есепті шешу бағытында арнайы ережелер бойынша оқушыға жинақты түрде
берілген нұсқаулар тізбегі. Алгоритм түрлі тәсілдермен, атап айтқанда,
сөздермен, кескіндермен, суреттермен берілуі мүмкін. Алгоритм атқарушы
(оқушы) - құрастырылған алгоритмді компьютерде белгілі бір команда арқылы
басқарылуға тиісті нысан. Алгоритм құрайтын қарапайым әрекеттер команда деп
аталады.
Бастауыш сынып математикасындағы көптеген жаттығу, мысалдар және
есептер оқушылардан күрделі әрекеттерді орындауды талап ететін
болғандықтан, алгоритмді сабақтың барлық кезеңінде - жаңа тақырыпты оқып-
үйренгенде, оны бекітуде, өткен материалды қайталауда, өзіндік және
практикалық жүмыстарды сабақта және үйде орындау барысында қолдануға көңіл
бөлінеді.
Бастауыш мектепте математиканы оқытуда есептеу алгоритмдерін
қолдану есеп шығаруға үйретудің маңызды бір бөлігіне айналып отыр.
Математиканы оқытуда есептердің алатын ролі ерекше, оны
оқытудың негізгі мақсаты –математикалық есептің белгілі бір жүйесін шешу
алгоритмімен оқушыларға игерту.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрету – берілген мәліметтер мен
ізделініп отырған мәліметтер арасындағы байланысты тағайындау және соған
сәйкес арифметикалық амалдарды таңдап алу, содан кейін оны орындау.
Есептеу машығын қалыптастыру барысында алгоритмді
пайдаланудың тиімділігі зор. Мұғалім есептеу алгоритмін бірінші рет
енгізгенде, оның ешқандай әрекетін қалдырмай, тастап кетпей орындап шығуы,
соңынан оқушылардан да соны талап етуі керек.
Есептеу алгоритмдерін орындау кезінде әрбір кезеңнің ретімен дәл
орындалуына мән беріледі:
1-кезең – есептің мазмұнымен таныстыру;
2-кезең-есептің шешуін іздеу;
3-кезең – есепті шешу;
4-кезең-есептің шешуін тексеру.
Бастауыш сынып оқушылары түрлі ойындар ойнау кезінде де дайын
алгоритмдерді саналы түрде орындай алады. Ойын ережесі орындалатын
нұсқаулар тізбегі болады. Демек, олар мектепке дейін де кейбір қарапайым
әрекеттерді көрсетілген реті бойынша бұлжытпай орындаудың қажеттігімен
таныс.
Бір типтес, мәселелер аталады. Көп таңбалы екі санды қосу,
көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу т.б. жиі кездеседі.
Берілген типтес мәселелері кез келген түрін шешуде пайдаланатын
болады. “Жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?”-деген сұрақтың жауабы заңды. Егер
мұндай жалпы тәсіл бар болса, онда оны беріден (есеп) түрінің алгоритм
дейді. Жоғарыда келтірілген әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады.
Мысалы: көп таңбалы екі санды қосу себебіне қатысты алғанда көп кез келген
санды қосуға жарайтын яғни типтес есептердің оның кез келген дербес түрін
шешуді бағанмен есептелгені белгілі. Сонымен тәжірибеден типтес ішінен
оның кез келген дербес түрін шешуде қандай есептерді және қандай ретпен
атқарудың қажеттігін анықтайтын түсінікті және дәл жарлықты айтады деуге
негізделіп отыр. Бұл қатаң математикалық анықтама емес тәжірибеде
қалғандарға сүйеніп, алгоритм ұғымын түсіндіру ғана. Жалпы алғанда алгоритм
деп – қандай да бір бастапқы нәтижені алуға бағытталатын есептеу жүргізу
процесін көрсетіп беретін нақты және дәл түсінеді, мысалы: жоғарыда
келтірілген арифметикалық амалдардың алгоритміне алынатын мүмкін нәтижелер
– сандық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болады, ал мүмкін
жағдайда деректер осындай сандардың реттелген парлары болуының сонымен
жарлықтың мазмұнында алгоритмді үдерісті атқару нұсқауынан басқа мыналар
да кіреді. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы нәтиженің
алынуына байланысты процестің аяқталғандығын білдіретін ереже. Алгоритм
күнделікті тұрмыста да кеңінен қолданылады. Мысалы, студент болу үшін
алгоритмнің мынадай қадамдарын орындау керек.
1. Орта мектепті бітіріп, аттестат алу.
2. Керекті құжаттарды аттестаттың түпнұсқасымен бірге белгілі бір
институтқа өткізу.
3. Қабылдау емтихандарын тапсыру.
4. Конкурстан өту.
Бұл көрсетілген пунктердің орнын ауыстыруға болмайды. Олар
көрсетілген ретпен кезектесіп орындалуы тиіс.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Әр түрлі алгоритмдерді талдау олардың бәріне тән ортақ қасиеттердің
бар екендігі. Соларға қысқаша тоқталайық.
1. Алгоритм жалпылығымен көпшілікке бірдейлілігімен сипатталады, яғни
алгоритм бір ғана есепті шешуге емес, есептердің қандай да бір түрінің кез
келгенін шешуге, демек әлденеше есептің шешімін табу үшін қолдануға береді.
2. Алгоритм анықтылығы мен ерекшеленеді, яғни алгоритм анықталған
қадамның немесе әрекеттің ретін көрсетеді. Ол шығарушыға өз қалауынша
келесі қадамды таңдауға қандай мүмкіндік беред, бірінші қадамдарды және әр
қадамнан қандай қадам келетінін бір мәнді анықтайды. Демек не істеу
керектігінің бәрі алдын ала анықталып келеді, яғни ол ерекшелікке жол
бермейді.
3. Алгоритм нәтижелерімен сипатталады, яғни есептердің түрлерінің кез
келген есебін сәйкес алгоритм бойынша шектеулі санды қадамнан кейін
нәтижеге жеткізіледі, демек шектелген санынан кейін қажетті алу
мүмкіндіктерін білдіреді.
4. Алгоритм формальдылығымен ерекшеленеді, алгоритмді орындаушы өз
әрекетімен мән-мағынасын егжей-тегжейіне жете жеткізе түсінбесе де қажетті
нәтижені алады, ондай жағдайда орындаушы формальды әрекет атқарады, яғни
мәселенің мазмұнын ескермей-ақ кейбір ережелерді, халыларды қатаң
орындайды, демек алгоритмді атқару ойлаудың қажеті жоқ, алгоритмді не
көрсетілсе, тек соны алу керек болады.
5. Алгоритм көпшілікке жалпыға түсінікті болуы, яғни орындаушының
қандай тобы (категориясы) болса да олардың бәріне бірдей түсінікті
тұжырымдарын береді.
6. Алгоритм дәлелденгеннен ерекшеленеді, яғни алгоритмде мәнді
қабылданбайтын нұсқаулар болады, сондықтан түрлі орындарға түсінікті
болатын бірдей нұсқауды орындайды да атқарушының әрқайсысы бірдей нәтижеге
тиіс.
Бастауыш сыныптарда алгоритмді оқыту оқушыларды дайын алгоритмдерді
жазылуындағы берілген ретімен орындай білуге, өздерінің әрекеттерін
жоспарлай алуға үйретіп, олардың икемділігі мен машығын қалыптастырады.
Бақылау сұрақтары:
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттер.і.
3. Алгоритм сөзінің мағынасы.
4.Алгоритмнің түрі.
Лекция 7. НАТУРАЛ САНДАР
Натурал сан мен нөл сандарының шығуы туралы қыскаша
мәліметтер.
Натурал сан аксиомалары.
Мақсаты:
1..Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Натурал сандар терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен
480-524 қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп
орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент,
қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай
элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың
реттелген натурал қатары деп аталады.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың
практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады.
Бақылау сұрақтары:
1. Сан ұғымының маңыздылығы туралы ғалымдардың пікірі.
2. Натурал сан терминін тұңғыш қолданған ғалым.
3. Натурал қатардың шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын
жасау
әйгілі туындылары.
4. Натурал қатары.
5. Теріс емес бүтін сандар жиынын реттейтін қатыс.
6. Натурал сандардың негізгі қасиеттері.
7. Натурал қатарды анықтаудың тәсілі.
8. “Натурал сан” ұғымы.
9. Натурал сандар теориясы.
10. Нөл ұғымы.
Лекция 8. ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
Теріс емес бүтін сандар жиынының, реттік қатынастың түсініктемесі.
Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын амалдарды анықтау.
Мақсаты:
1.Теріс емес бүтін сандарды түсіндіру.
2.Оларға амалдар қолдана алу..
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен – 0 санынан
тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес
бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни “артық”,
“кем”, “тең” қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың
нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша
анықталады.
Егер а,в( болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса,
онда олар тең болады: а=в(А( В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын
сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін “кем” қатынасының қасиеттерін же
теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың
транзитивтілігі мынаған байланысты: А(В, В(С, А(В(С болса, онда А(С
шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса,
онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
“Теңдік” таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-
1558, ал “артық”, “кем” таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот
1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан
шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың
бірігуі арқылы анықталады.
Натурал сан 8 натурал 5 және 3 сандарының қосындысы деп аталады, ал
5 және 3 сандарынан олардың қосындысын құрастыру ол сандарды қосу деп
аталады.
Жалпы алғанда, егер А, В және олардың қосындысы С жиындарының тиісті
элементтері а, в және с болса, онда а мен в сандарынан с санын құрастыру а
мен в сандарын қосу деп аталады, ал с саны олардың қосындысы. а мен ь
сандары қосылғыштар деп аталады.
Мұны былай да айтуға болады: натурал а мен ь сандарының қосындысы
деп мынадай бір жаңа с санын айтамыз, ол с саны ортақ элементтері болмайтын
және қуаттары а мен ь сандарымен өрнектелетін А және В жиындарының бірігуі
болып табылатын С жиынының қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын (+) таңбасы
қолданылады.
Теріс емес бүтін сан а-ға нөлді немесе нөлге а санын қосу дегеніміз
сол а санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, а+о және о+а символдары а санын көрсетеді, яғни о+а=а. жөне
о+а=а. Дербес жағдайда, а = о болғанда, о+-о=о.
Теріс емес бүтін а және в сандарының айырмасы деп а=п(А), в=п(В)
және В(А болғандағы В жиынының А жиынына дейінгі толықтауышының
элементтерінің санын айтады және мына шартты қанағаттандырады: а-в =п(А\В),
мұндағы а=п(А), в=п(В), В(А.
А-в айырмасын табуға қолданылатын амал азайту деп, ал а саны –азайғыш, в
саны – азайтқыш деп аталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына
шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в
санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын
айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды
өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі,
бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай
есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың
қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының
негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы
–арифметикалық жай есептер.
Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан.
2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары.
3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары.
4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім?
5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик.
6. Бос жиынның қуаты.
7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары.
8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі.
9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты.
10.Д.Пеано аксиомасы.
Лекция 9. САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ
Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден екінші
жүйеге ауысуы туралы түсінік
Мақсаты:
1.Санау жүйесі туралы ұғым беру.
2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы.
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді:
бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы
разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп
аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап
айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп
т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан
жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой
мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол
ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы
білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі
қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша
ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын
сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы
бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде
қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы
білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы
адамның айқын түсінігі болған.
Адам баласының көпшілігі жиынды осы түрде түсінетін болғандықтан,
көбінесе олар 10 элементтен құралған жиынмен қанағаттанған (сірә, бұл
адамның он саусағы болатындығына байланысты болар), сондықтан мәдениеттің
алғашқы кезеңдерінде стандарт жиындарды ұлғайту процесінде көбінесе сол он
элементтен құралатын жинақпен қанағаттанып отырған. Бірақ мәдениеттің
өркендеп дамуымен байланысты қуаты бұдан едәуір артық жиынды білу қажет
болған. Осы практикалық қажеттен санаудың мынадай әдісі пайда болған:
жиынды санау процесінде стандарт жиынды сипаттайтын белгілі бір санға,
көбінесе 10 санына жеткенде, 10 элементтен құралған топты өз алдына жеке
бөліп, онан әрі қарай тағы да бірден бастап санаған, сөйтіп жаңа топ
құралғанша осылай санай отырып, бұл топтардың санын және қалған элементтер
санын анықтап отырған. Осындай 10 топ шыққанда, олардың өзін үлкен бір топ
ретінде қарастырып, мұндай топтарға, жеке элементтерге арнаулы атаулар
берілген.
Осындай қарапайым принципті қолдану нәтижесінде, түсінікке жеңіл
аздаған сандар жинағын пайдаланып, тең қуатты жиындардың практикалық іс-
әрекет кездесетін кез келген кластарын сипаттауға мүмкін болды.
Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін
жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін
теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да
адамның сол іс-әрекеті анықтап берді.
Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда
көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының
өзінде-ақ “бір”, “екі”, “үш” т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне
элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол
сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.
Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір
кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен
римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз
болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған
жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің
эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу
үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған “орындарына қарай” мән беру керек
деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі
берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Лекция 1. Математикалық құрылымдар. Құрылымдардың типтері және
олардың сипаттамалары.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық құрылымдарды қарастыру.
2. Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны қоғамдық
құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті. Осы
кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі.
Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика курсында
таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар цифр, санә, қосылғыш,
қосынды, кесінді, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған көбейту мен
бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта бөлік, фигураның ауданы ұғымдары
қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы ұғымның
мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар аксиомалардың
көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы үғымға
қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар көрсетіліп
беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі, сан, шама,
нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында жатады,
өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері аксиомаларда
ашылады. Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары
туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің анықтауынша
ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты бейнелейді. Ойлау
арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден
айыруға әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің
жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге
мүмкіндік береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің
бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі белгілерді айту
жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан айыру үшін
жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез келген
елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды:
ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері ғана
таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға жөне
танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері
өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын
айтады. Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын айтады.
Мысалы, "үшбұрыш" үғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға, үш төбе,
үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны болын
табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі, басқаша
айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым тар
болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
Лекция 2. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
1. Жиын ұғымы.
2.Жиындардың берілу тәсілдері.
3.Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
объект жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді. А=(х(х(N, х6(.
А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама: Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Эйлер-Венн диаграммаларында жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі
жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын
құруға болады.Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден
тұратын жиынды айтады.
Ажәне В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді: С=А(В. А(В={хх(А
жөне х(В}
Егер А жөне В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Бұл жағдайда Ажәне В жиындары қиылыспайды деп айтады. Мысалы,
дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды, өйткені бұл
екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А жөне В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді. А\В((хх(А және х(В(
Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы.
2.Жиын элементі.
3.Бос жиын.
4. Шекті және шексіз жиындар.
5.Жиындар теориясының негізін салған математик.
6. Жиындардың берілу тәсілдері.
7.Эйлер-Венн диаграммасы.
8.Жиындардың қиылысуы.
9.Жиындардың бірігуі.
10.Жиындардың айырмасы.
Лекция 3. Графтар.
1. Графтардың түрлері.
2. Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі объекьілер арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анқытаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс
деп атайды,
Мысалы: Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр”, графын сыз, қасиетін анықта.
Бақылау сұрақтары:
1. Қатс дегеніміз не?
2. Байланысты граф дегеніміз не?
3. Граф сөзі қандай мағынаны білдіреді?
4. Графтар теориясының элементтерін ата?
5. Графтың төбелері дегеніміз не?
6. Инъективті бейнелеуді табыңыз
7. Кері сәйкестік дегеніміз не?
8. Биективті бейнелеу дегеніміз не ?
9. Инъективті бейнелеу дегеніміз не?
10. Сәйкестік символикасын ата.
Лекция 4. Сәйкестік графы мен графигі.
1.Сәйкестік туралы ұғым. Оның графы мен графигі.
2.Бейнелеулер және олардың түрлері.
3.Тең қуаттас жиындар.
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R
-“артық” сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-
сызба). Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары злементтерінің арасындағы Р сәйкестікте хеХ элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сөйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мөнді бейнелеу болып табылады.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръекттивті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
7.Биективті бейнелеу.
8. Өзара бірмәнді бейнелеу.
9. Өзара бірмәнді сәйкестік.
10.Тең қуатты жиындар.
Лекция 5. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы
1.Математикалық ұғымдар.
2.Оларды анықтау тәсілдері.
3.Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана
бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға
әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын
айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік
береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын айтады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
6.Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8.Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Лекция 6. Алгоритм.
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
3.Алгоритмнің мысалдары.
Лекция мақсаты:
1.Алгортим ұғымымен таныстыру.
2.Есеп шешуде алгоритмдеу әдісін тиімді пайдалану.
Алгоритм деп – алға қойылған мақсатқа жету немесе берілген
есепті шешу бағытында арнайы ережелер бойынша оқушыға жинақты түрде
берілген нұсқаулар тізбегі. Алгоритм түрлі тәсілдермен, атап айтқанда,
сөздермен, кескіндермен, суреттермен берілуі мүмкін. Алгоритм атқарушы
(оқушы) - құрастырылған алгоритмді компьютерде белгілі бір команда арқылы
басқарылуға тиісті нысан. Алгоритм құрайтын қарапайым әрекеттер команда деп
аталады.
Бастауыш сынып математикасындағы көптеген жаттығу, мысалдар және
есептер оқушылардан күрделі әрекеттерді орындауды талап ететін
болғандықтан, алгоритмді сабақтың барлық кезеңінде - жаңа тақырыпты оқып-
үйренгенде, оны бекітуде, өткен материалды қайталауда, өзіндік және
практикалық жүмыстарды сабақта және үйде орындау барысында қолдануға көңіл
бөлінеді.
Бастауыш мектепте математиканы оқытуда есептеу алгоритмдерін
қолдану есеп шығаруға үйретудің маңызды бір бөлігіне айналып отыр.
Математиканы оқытуда есептердің алатын ролі ерекше, оны
оқытудың негізгі мақсаты –математикалық есептің белгілі бір жүйесін шешу
алгоритмімен оқушыларға игерту.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрету – берілген мәліметтер мен
ізделініп отырған мәліметтер арасындағы байланысты тағайындау және соған
сәйкес арифметикалық амалдарды таңдап алу, содан кейін оны орындау.
Есептеу машығын қалыптастыру барысында алгоритмді
пайдаланудың тиімділігі зор. Мұғалім есептеу алгоритмін бірінші рет
енгізгенде, оның ешқандай әрекетін қалдырмай, тастап кетпей орындап шығуы,
соңынан оқушылардан да соны талап етуі керек.
Есептеу алгоритмдерін орындау кезінде әрбір кезеңнің ретімен дәл
орындалуына мән беріледі:
1-кезең – есептің мазмұнымен таныстыру;
2-кезең-есептің шешуін іздеу;
3-кезең – есепті шешу;
4-кезең-есептің шешуін тексеру.
Бастауыш сынып оқушылары түрлі ойындар ойнау кезінде де дайын
алгоритмдерді саналы түрде орындай алады. Ойын ережесі орындалатын
нұсқаулар тізбегі болады. Демек, олар мектепке дейін де кейбір қарапайым
әрекеттерді көрсетілген реті бойынша бұлжытпай орындаудың қажеттігімен
таныс.
Бір типтес, мәселелер аталады. Көп таңбалы екі санды қосу,
көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу т.б. жиі кездеседі.
Берілген типтес мәселелері кез келген түрін шешуде пайдаланатын
болады. “Жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?”-деген сұрақтың жауабы заңды. Егер
мұндай жалпы тәсіл бар болса, онда оны беріден (есеп) түрінің алгоритм
дейді. Жоғарыда келтірілген әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады.
Мысалы: көп таңбалы екі санды қосу себебіне қатысты алғанда көп кез келген
санды қосуға жарайтын яғни типтес есептердің оның кез келген дербес түрін
шешуді бағанмен есептелгені белгілі. Сонымен тәжірибеден типтес ішінен
оның кез келген дербес түрін шешуде қандай есептерді және қандай ретпен
атқарудың қажеттігін анықтайтын түсінікті және дәл жарлықты айтады деуге
негізделіп отыр. Бұл қатаң математикалық анықтама емес тәжірибеде
қалғандарға сүйеніп, алгоритм ұғымын түсіндіру ғана. Жалпы алғанда алгоритм
деп – қандай да бір бастапқы нәтижені алуға бағытталатын есептеу жүргізу
процесін көрсетіп беретін нақты және дәл түсінеді, мысалы: жоғарыда
келтірілген арифметикалық амалдардың алгоритміне алынатын мүмкін нәтижелер
– сандық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болады, ал мүмкін
жағдайда деректер осындай сандардың реттелген парлары болуының сонымен
жарлықтың мазмұнында алгоритмді үдерісті атқару нұсқауынан басқа мыналар
да кіреді. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы нәтиженің
алынуына байланысты процестің аяқталғандығын білдіретін ереже. Алгоритм
күнделікті тұрмыста да кеңінен қолданылады. Мысалы, студент болу үшін
алгоритмнің мынадай қадамдарын орындау керек.
1. Орта мектепті бітіріп, аттестат алу.
2. Керекті құжаттарды аттестаттың түпнұсқасымен бірге белгілі бір
институтқа өткізу.
3. Қабылдау емтихандарын тапсыру.
4. Конкурстан өту.
Бұл көрсетілген пунктердің орнын ауыстыруға болмайды. Олар
көрсетілген ретпен кезектесіп орындалуы тиіс.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Әр түрлі алгоритмдерді талдау олардың бәріне тән ортақ қасиеттердің
бар екендігі. Соларға қысқаша тоқталайық.
1. Алгоритм жалпылығымен көпшілікке бірдейлілігімен сипатталады, яғни
алгоритм бір ғана есепті шешуге емес, есептердің қандай да бір түрінің кез
келгенін шешуге, демек әлденеше есептің шешімін табу үшін қолдануға береді.
2. Алгоритм анықтылығы мен ерекшеленеді, яғни алгоритм анықталған
қадамның немесе әрекеттің ретін көрсетеді. Ол шығарушыға өз қалауынша
келесі қадамды таңдауға қандай мүмкіндік беред, бірінші қадамдарды және әр
қадамнан қандай қадам келетінін бір мәнді анықтайды. Демек не істеу
керектігінің бәрі алдын ала анықталып келеді, яғни ол ерекшелікке жол
бермейді.
3. Алгоритм нәтижелерімен сипатталады, яғни есептердің түрлерінің кез
келген есебін сәйкес алгоритм бойынша шектеулі санды қадамнан кейін
нәтижеге жеткізіледі, демек шектелген санынан кейін қажетті алу
мүмкіндіктерін білдіреді.
4. Алгоритм формальдылығымен ерекшеленеді, алгоритмді орындаушы өз
әрекетімен мән-мағынасын егжей-тегжейіне жете жеткізе түсінбесе де қажетті
нәтижені алады, ондай жағдайда орындаушы формальды әрекет атқарады, яғни
мәселенің мазмұнын ескермей-ақ кейбір ережелерді, халыларды қатаң
орындайды, демек алгоритмді атқару ойлаудың қажеті жоқ, алгоритмді не
көрсетілсе, тек соны алу керек болады.
5. Алгоритм көпшілікке жалпыға түсінікті болуы, яғни орындаушының
қандай тобы (категориясы) болса да олардың бәріне бірдей түсінікті
тұжырымдарын береді.
6. Алгоритм дәлелденгеннен ерекшеленеді, яғни алгоритмде мәнді
қабылданбайтын нұсқаулар болады, сондықтан түрлі орындарға түсінікті
болатын бірдей нұсқауды орындайды да атқарушының әрқайсысы бірдей нәтижеге
тиіс.
Бастауыш сыныптарда алгоритмді оқыту оқушыларды дайын алгоритмдерді
жазылуындағы берілген ретімен орындай білуге, өздерінің әрекеттерін
жоспарлай алуға үйретіп, олардың икемділігі мен машығын қалыптастырады.
Бақылау сұрақтары:
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттер.і.
3. Алгоритм сөзінің мағынасы.
4.Алгоритмнің түрі.
Лекция 7. НАТУРАЛ САНДАР
Натурал сан мен нөл сандарының шығуы туралы қыскаша
мәліметтер.
Натурал сан аксиомалары.
Мақсаты:
1..Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Натурал сандар терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен
480-524 қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп
орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент,
қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай
элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың
реттелген натурал қатары деп аталады.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың
практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады.
Бақылау сұрақтары:
1. Сан ұғымының маңыздылығы туралы ғалымдардың пікірі.
2. Натурал сан терминін тұңғыш қолданған ғалым.
3. Натурал қатардың шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын
жасау
әйгілі туындылары.
4. Натурал қатары.
5. Теріс емес бүтін сандар жиынын реттейтін қатыс.
6. Натурал сандардың негізгі қасиеттері.
7. Натурал қатарды анықтаудың тәсілі.
8. “Натурал сан” ұғымы.
9. Натурал сандар теориясы.
10. Нөл ұғымы.
Лекция 8. ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
Теріс емес бүтін сандар жиынының, реттік қатынастың түсініктемесі.
Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын амалдарды анықтау.
Мақсаты:
1.Теріс емес бүтін сандарды түсіндіру.
2.Оларға амалдар қолдана алу..
Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен – 0 санынан
тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес
бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни “артық”,
“кем”, “тең” қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың
нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша
анықталады.
Егер а,в( болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса,
онда олар тең болады: а=в(А( В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын
сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін “кем” қатынасының қасиеттерін же
теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың
транзитивтілігі мынаған байланысты: А(В, В(С, А(В(С болса, онда А(С
шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса,
онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
“Теңдік” таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-
1558, ал “артық”, “кем” таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот
1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан
шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың
бірігуі арқылы анықталады.
Натурал сан 8 натурал 5 және 3 сандарының қосындысы деп аталады, ал
5 және 3 сандарынан олардың қосындысын құрастыру ол сандарды қосу деп
аталады.
Жалпы алғанда, егер А, В және олардың қосындысы С жиындарының тиісті
элементтері а, в және с болса, онда а мен в сандарынан с санын құрастыру а
мен в сандарын қосу деп аталады, ал с саны олардың қосындысы. а мен ь
сандары қосылғыштар деп аталады.
Мұны былай да айтуға болады: натурал а мен ь сандарының қосындысы
деп мынадай бір жаңа с санын айтамыз, ол с саны ортақ элементтері болмайтын
және қуаттары а мен ь сандарымен өрнектелетін А және В жиындарының бірігуі
болып табылатын С жиынының қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын (+) таңбасы
қолданылады.
Теріс емес бүтін сан а-ға нөлді немесе нөлге а санын қосу дегеніміз
сол а санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, а+о және о+а символдары а санын көрсетеді, яғни о+а=а. жөне
о+а=а. Дербес жағдайда, а = о болғанда, о+-о=о.
Теріс емес бүтін а және в сандарының айырмасы деп а=п(А), в=п(В)
және В(А болғандағы В жиынының А жиынына дейінгі толықтауышының
элементтерінің санын айтады және мына шартты қанағаттандырады: а-в =п(А\В),
мұндағы а=п(А), в=п(В), В(А.
А-в айырмасын табуға қолданылатын амал азайту деп, ал а саны –азайғыш, в
саны – азайтқыш деп аталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына
шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в
санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын
айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды
өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі,
бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай
есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың
қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының
негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы
–арифметикалық жай есептер.
Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан.
2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары.
3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары.
4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім?
5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик.
6. Бос жиынның қуаты.
7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары.
8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі.
9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты.
10.Д.Пеано аксиомасы.
Лекция 9. САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ
Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден екінші
жүйеге ауысуы туралы түсінік
Мақсаты:
1.Санау жүйесі туралы ұғым беру.
2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы.
Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді:
бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы
разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп
аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап
айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп
т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан
жүйелі сан деп аталады.
Санау жүйесін мүмкін болғанша кәмелет түрген келтіру қажет деген ой
мәдениеттің ең ерте кездерінің өзінде-ақ барлық халықтарда дерлік болып, ол
ой күнделік өмір қажетінен туған.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы
білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі
қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша
ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын
сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы
бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде
қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы
білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы
адамның айқын түсінігі болған.
Адам баласының көпшілігі жиынды осы түрде түсінетін болғандықтан,
көбінесе олар 10 элементтен құралған жиынмен қанағаттанған (сірә, бұл
адамның он саусағы болатындығына байланысты болар), сондықтан мәдениеттің
алғашқы кезеңдерінде стандарт жиындарды ұлғайту процесінде көбінесе сол он
элементтен құралатын жинақпен қанағаттанып отырған. Бірақ мәдениеттің
өркендеп дамуымен байланысты қуаты бұдан едәуір артық жиынды білу қажет
болған. Осы практикалық қажеттен санаудың мынадай әдісі пайда болған:
жиынды санау процесінде стандарт жиынды сипаттайтын белгілі бір санға,
көбінесе 10 санына жеткенде, 10 элементтен құралған топты өз алдына жеке
бөліп, онан әрі қарай тағы да бірден бастап санаған, сөйтіп жаңа топ
құралғанша осылай санай отырып, бұл топтардың санын және қалған элементтер
санын анықтап отырған. Осындай 10 топ шыққанда, олардың өзін үлкен бір топ
ретінде қарастырып, мұндай топтарға, жеке элементтерге арнаулы атаулар
берілген.
Осындай қарапайым принципті қолдану нәтижесінде, түсінікке жеңіл
аздаған сандар жинағын пайдаланып, тең қуатты жиындардың практикалық іс-
әрекет кездесетін кез келген кластарын сипаттауға мүмкін болды.
Сөйтіп, адамның іс-әрекетінің нәтижесінде сан формаларының жүйесін
жасау қажет болды, тек бұл ғана емес, мейлінше мінсіз санау жүйесін
теориялық жағынан негіздеу жолында адамның ақыл-ойының іздену бағытын да
адамның сол іс-әрекеті анықтап берді.
Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда
көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының
өзінде-ақ “бір”, “екі”, “үш” т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне
элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол
сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.
Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір
кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен
римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз
болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған
жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің
эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу
үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған “орындарына қарай” мән беру керек
деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі
берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz