Математикалық функциялар жайлы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

ЖҰП ЖӘНЕ ТАҚ ФУНКЦИЯЛАР

Анықтама. Егер М жиынының құрамына кез келген х санымен бірге оған симметриялық - х саны да кірсе, ол М жиыны симметриялық жиын деп аталады.

Симметриялық жиындарға мысалдар: барлық бүтін сандар жиыны, [-5, +5] сегментіндегі барлық сандардың жиыны, (-b, +b) интервалындағы барлық сандардың жиыны.

Анықтама. Егер f(х) симметриялық облыста берілсе және сол облыстағы аргумент x-тін, кез келген мәні үшін

f(-x) =f(x) (1)

теңдігі орындалса, f (х) сол симметриялық облыста жұп функция деп аталады.

Басқаша айтқанда: егер аргументтің мәні х-ті -х - ке ауыстырғанда f(x) -тің мәні өзгермейтін болса, f( х) -ті жұп функция деп атайды.

М ы с а л ы: у = sес x; у = х ²ⁿ (бұндағы n - натурал сан), у = 2х ⁴ - 5х ² - 3; у = 2 - sіn ² х; функциялары интервалында жүп функциялар.

Енді f (х) = ln(1- х) + ln (1 +х) функциясы өзінің анықталу облысында жұп функция екенін көрсетелік.

Шынында, берілген f (х) функциясы (-1, +1) интервалында анықталған.

F(-x) =ln[1-(-x) ] +ln[1+(-x) ] =ln(1+x) +ln(1-x) =f(x) .

Демек, f (-х) =f(х) болады, яғни берілген функция (-1, + 1) интервалында жұп функция.

Жұп функцияның графигі ординаталар осіне симметриялық түрде орналасатындығын f( -х) =f(х) теңдігінен көруге болады.

Анықтама. Егер f( х) симметриялық облыста беріліп, облыстағы аргумент x-тің кез келген мәні үшін

f (-х) = - f(х) . (2)

теңдігі орындалса, яғни аргументтің таңбасы кері таңбаға ауысқанда функцияның да таңбасы кері таңбаға ауысса, f(x) сол облыста тақ функция деп аталады.

М ы с а л ы: у=х ³ ; у=7х ⁵ - 2х ³ + х; у=сosес х; у=х ^2n-1

(бұндағы n -натурал сан) ; y= Equation. 3 ; у= х x ; у = сtgх функциялары тақ функциялар.

Енді g (х) =ln Equation. 3 өзінің анықталу облысында тақ функция екенін көрсетелік.

Шынында: бұл функцияның анықталу облысы (-1, + 1) интервалы. Ал

g(-x) =ln Equation. 3 =ln Equation. 3 =ln(1-x) -ln(1+x) =

=- [ln(1+x) -ln(1-x) ] =-ln Equation. 3 =-g(x),

яғни g (-х) = -g(х) . Демек, берілген функция g(x) (-1, +1) интервалында тақ функция болады. Тақ функцияның графигі координаталар системасының бас нүктесіне симметриялық түрде орналасады.

Сөйтіп, егер тақ функция х=0 нүктесінде анықталған болса, функцияның ол нүктедегі мәні нольге тең. Бұдан х = 0 нүктесінде анықталған тақ функцияның графигі міндетті түрде координаталар системасының бас нүктесі арқылы өтетіндігіне көзіміз жетеді.

Периодты функциялар

Анықтама. Егер f(х) функциясының анықталу облысындағы аргумент х-тің әрбір мәні үшін f(x+L) =f(x) (1)

теңдігі орындалатын нольге тең емес L саны табылатын болса, f(х) - периодты функция, L саны - f(х) -тің периоды деп аталады.

Егер (1) теңдікті х + l нүктесі үшін қолдансақ,

f[( х+l) +l] =f(x+l) =f(x), немесе

f(x+2l) =f(x)

болар еді. Бұл процесті соза берсек, мына теңдіктер орындалар еді:

F(х+3l) =f(х) .

f(х+4l) =f(х),

F(х+nl) =fх)

. .,

Сонымен, егер периодты f( х) функциясының анықталу облысында х болса, х + nl сандары да (n - кез келген натурал сан) f(х) -тің анықталу облысында болады және nl сандары f(x) -тің периодтары болады. Периоды L-ге тең функция f(х) үшін f(х) =f[(х-I) +l] теңдігі де орындалатын болғандықтан, ( -L) саны да f(х) -тің периоды болады. Сондай-ақ жоғарыдағыша байымдап тек саны ғана емес, - 2l, -3l, . . . , -nl сандарының да f(х) үшін периодтар болатындығын байқау қиын емес.

Сөйтіп, егер f(х) -периодты функция болып, оның периоды болса, k l (бұндағы k - кез келген нольге тең емес бүтін сан, k=±1, ±2\ . . . ; ±nl) сандары да f(x) -тің периодтары болатыны айқындалады.

Демек, егер f(х) (- , + ) интервалында периодты функция болса, ол функцияның міндетті түрде оң периоды болуға тиіс, өйткені және сандарының бірі оң сан болатыны анық. Сондықтан да (- , + ) интервалындағы периодты функцияның оң периодтары сансыз көп. Оң периодтарының жиынында ең кіші ω саны болуы мүмкін. Бұл санды ең кіші период немесе негізгі период деп атаймыз.

Периодты функцияларға мысалдар келтірейік.

1) Тригонометриялық функциялар:

sinx, cosx, tgx, ctgx.

sinx пен соsx-тің ең кіші (немесе негізгі) периоды 2π, ал tgx пен сtgх-тің периоды π .

2) f (х) =х-Е (х) функциясы (- , + ) интервалында - периодты функция және оның негізгі периоды 1.

Ш ы н ы н д а:

f(x+1) ) =x+1-E(x+1) =x+1-[E(x) + ] = x-E(x) =f(x), яғни

f(x+1) =f(x) .

Элементар функциялар. Кері функция. Күрделі функция.

Параметрлі түрде берілген функция.

Бір аргументті функциялардың ішінде элементарлық функциялар деп аталатындары әдейі бір топқа бөлінеді. Олардын, бұлай аталуының себебі: олар басқа элементарлық емес функциялардан тарихта бұрын шықкан, жан-жакты зерттелген, кұрылысы біркелкі қарапайым болып келеді, және жиі колданылады.

Элементарлык. емес функцияларды көбінесе арнаулы ф у н к ц и я л а р деп атап жүр. Бұл функциялар математика ғылымының дамуындағы соңғы дәуірлерде кұбылыстардың математикалық жактарын зерттеу мәселелері элементарлық функциялардың мүмкіншіліктері шеңберіне симаумен байланысты пайда болды.

Элементарлык функцияларға төмендегі функциялар жатады:

Дәрежелікфункцияf (х) =ха(бұндағыа- кез келгеннақты сан) ;
Көрсеткіштікфункцияф(х) =ах(бұнда а>0) ;
Логарифмдікфункцияф(х) =lgах(бұнда а>0) ;
sіnx:, соsх, tgх, сіgх, sесх, соsесх;

5. Кері тригонометриялық функциялар агсsіпх, агссоsх,
агссtgx, агсsесх, агссоsесx

Ескерте кететін бір нәрсе мынау: элементарлық функцияларға алты алгебралық амалды (қосу, азайту, көбейту, бө-лу, бутін оң дәрежеге шуғару және түбірлеу) қолдану.

Барлық элементарлық функцияларды екі типке бөлуге болады:

Алгебр алық функциялар.
Трансценденттік функциялар.

Элементарлық алгебралық функциялар мынадай кластарға бөлінеді:

Рационалдық функциялар.

а) Бүтін рационалдық функциялар.

б) Бөлшек рационалдық функциялар.

2. Иррационалдық функциялар.

Анықтама . Егер функциясы дәреже көрсеткіші терім емес бүтін сан болатын және коэффициенттері нақты сандар ғана болып келетін айнымалы тің дәрежелерінің қосындысы түріне келтірілетін болса, - бүтін рационалдық функция деп аталады.