Математика пәнінен оқу құралы
1 Кіріспе
2 Лекция 1. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
3 Лекция 2. Қатыс. Граф.
4 Лекция 3. Сәйкестіктер.
5 Лекция 4. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы.
6 Лекция 5. Пікірлер, предикаттар.
7 Лекция 6. Алгоритм.
8 Лекция 7.Натурал сандар.
9 Лекция 8. Теріс емес бүтін сандар.
10 Лекция 9.Санау жүйелері.
11 Лекция 10. Сандардың бөлінгіштігі.
12 Лекция 11. Жай және құрама сандар.
13 Лекция 12. Бүтін және рационал сан.
14 Лекция 13. Нақты және комплекс сандар
15 Лекция 14.Стандартты емес және қызықты жаттығулар.
16 Лекция 15. Математикалық өрнектер.
17 Лекция 16. Бір айнымаласы бар теңдеу мен теңсіздік.
18 Лекция 17. Теңдеулер.
19 Лекция 18. Функциялар.
20 Лекция 19. Пропорционалдық.
21 Тест .
22 Пайдаланылған әдебиеттер.
2 Лекция 1. Жиын ұғымы. Жиындар және оларға қолданылатын амалдар.
3 Лекция 2. Қатыс. Граф.
4 Лекция 3. Сәйкестіктер.
5 Лекция 4. Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы.
6 Лекция 5. Пікірлер, предикаттар.
7 Лекция 6. Алгоритм.
8 Лекция 7.Натурал сандар.
9 Лекция 8. Теріс емес бүтін сандар.
10 Лекция 9.Санау жүйелері.
11 Лекция 10. Сандардың бөлінгіштігі.
12 Лекция 11. Жай және құрама сандар.
13 Лекция 12. Бүтін және рационал сан.
14 Лекция 13. Нақты және комплекс сандар
15 Лекция 14.Стандартты емес және қызықты жаттығулар.
16 Лекция 15. Математикалық өрнектер.
17 Лекция 16. Бір айнымаласы бар теңдеу мен теңсіздік.
18 Лекция 17. Теңдеулер.
19 Лекция 18. Функциялар.
20 Лекция 19. Пропорционалдық.
21 Тест .
22 Пайдаланылған әдебиеттер.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді. Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын “сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
“Жиын” қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең жалпы, негізгі ұғым. Математикада, кез келген объектілердің (нәрселер, заттар, әріптер, цифрлар} планеталар, ұғымдар, фигуралар, сандар, сөздер, адамдар, жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола алады. Әдетте жиын қанда:й болса да бір белгісі бойынша біріктірілген әртүрлі объектілерден құралады.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
“Жиын” қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең жалпы, негізгі ұғым. Математикада, кез келген объектілердің (нәрселер, заттар, әріптер, цифрлар} планеталар, ұғымдар, фигуралар, сандар, сөздер, адамдар, жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола алады. Әдетте жиын қанда:й болса да бір белгісі бойынша біріктірілген әртүрлі объектілерден құралады.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
1.Оспанов Т.Қ. Математика. Оқу құралы. 2000 ж.
2.Стойлова Л.П. Математика. Учебное пособие для студентов педвузов. М., 2000
3.Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. Учебное пособие для студентов педвузов, Минск, 1975
4.Виленкин Н.Я. и др. Математика. М., 1977
5.Математика. Под ред. Столяра А.А. Минск, 1976.
6.Виленкин Н.Я. и др. Задачник-практикум по математике. М., 1977
7.Тонких А.П. Математика . Учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов. В 2-х книгах. М., 2002.,
8.Математика в понятиях, определениях и терминах. В 2-х частях.Под ред. Сабинина Л.В. М., 1982.
9.Основные понятия современного курса математики. Под ред.Маркушевича А.И. М., 1974.
10.Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. М., 1980.
11.Т.Қ.Оспанов, Ш.Х.Құрманалина, С.Х.Құрманалина. Математиканың теориялық негіздері.Астана, 2003.
12.Қайыңбаев Ж.Т. Білім стандарты және бастауыш сыныптарда математиканы оқыту. Алматы, 2003.
13.А.Е.Әбілқасымова, Ә.С.Кенеш, Н.И.Пустовалова. Бастауыш сынып математикасы оқу-әдістемелік кешендерін құрылымдау. Астана, 2004.
14. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика.Алматы, 2004.
15.Жалмағамбетова Н.Б. Бастауыш мектеп оқушыларының математикалық білім, білік, дағдыларын тексеруге арналған тест жұмыстары. Алматы, 2005.
16. С.Елубаев, С.Елубаева. “Дидактикалық ұлттық ойындар мен логикалық есептер”. “Бастауыш мектеп”, 1995 ж.
17. Ш.Құрманалина, М.Жұмабеков. “Математикаға арналған дидактикалық материалдар”. Алматы. “Атамұра” баспасы. 1998 ж.
18. А.Нұғысова, С.М.Сейтова. Элементар математика және оның есептерін шығару практикумының жұмыс бағдарламасы. Алматы, Республикалық баспа кабинеті, 1996.
19.А.Нұғысова. Студенттердің математика есептерін шығару іскерлігін қалыптастыру. Оқу-әдістемелік құрал. Талдықорған. 1999.
2.Стойлова Л.П. Математика. Учебное пособие для студентов педвузов. М., 2000
3.Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика. Учебное пособие для студентов педвузов, Минск, 1975
4.Виленкин Н.Я. и др. Математика. М., 1977
5.Математика. Под ред. Столяра А.А. Минск, 1976.
6.Виленкин Н.Я. и др. Задачник-практикум по математике. М., 1977
7.Тонких А.П. Математика . Учебное пособие для студентов факультетов подготовки учителей начальных классов. В 2-х книгах. М., 2002.,
8.Математика в понятиях, определениях и терминах. В 2-х частях.Под ред. Сабинина Л.В. М., 1982.
9.Основные понятия современного курса математики. Под ред.Маркушевича А.И. М., 1974.
10.Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики. М., 1980.
11.Т.Қ.Оспанов, Ш.Х.Құрманалина, С.Х.Құрманалина. Математиканың теориялық негіздері.Астана, 2003.
12.Қайыңбаев Ж.Т. Білім стандарты және бастауыш сыныптарда математиканы оқыту. Алматы, 2003.
13.А.Е.Әбілқасымова, Ә.С.Кенеш, Н.И.Пустовалова. Бастауыш сынып математикасы оқу-әдістемелік кешендерін құрылымдау. Астана, 2004.
14. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика.Алматы, 2004.
15.Жалмағамбетова Н.Б. Бастауыш мектеп оқушыларының математикалық білім, білік, дағдыларын тексеруге арналған тест жұмыстары. Алматы, 2005.
16. С.Елубаев, С.Елубаева. “Дидактикалық ұлттық ойындар мен логикалық есептер”. “Бастауыш мектеп”, 1995 ж.
17. Ш.Құрманалина, М.Жұмабеков. “Математикаға арналған дидактикалық материалдар”. Алматы. “Атамұра” баспасы. 1998 ж.
18. А.Нұғысова, С.М.Сейтова. Элементар математика және оның есептерін шығару практикумының жұмыс бағдарламасы. Алматы, Республикалық баспа кабинеті, 1996.
19.А.Нұғысова. Студенттердің математика есептерін шығару іскерлігін қалыптастыру. Оқу-әдістемелік құрал. Талдықорған. 1999.
Лекция 2.
Жиын ұғымы, элементі.
Жиындардың берілу тәсілдері.
Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
“Жиын” қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым
мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең жалпы, негізгі
ұғым. Математикада, кез келген объектілердің (нәрселер, заттар, әріптер,
цифрлар} планеталар, ұғымдар, фигуралар, сандар, сөздер, адамдар,
жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола алады. Әдетте жиын
қанда:й болса да бір белгісі бойынша біріктірілген әртүрлі объектілерден
құралады.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
объект жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама: Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Эйлер-Венн диаграммаларында жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі
жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын
құруға болады.Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден
тұратын жиынды айтады.
Ажәне В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді: С=А(В.
А(В={хх(А жөне х(В}
А, В жиындарының қиылысуын Эйлер деңгелектері арқылы бейнелесек,
екі жиынның қиылысуын боялған аймақ арқылы көрсетуге болады.
Егер А жөне В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады:
А(В=(.
Бұл жағдайда Ажәне В жиындары қиылыспайды деп айтады. Мысалы,
дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды, өйткені бұл
екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А жөне В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Мысалға, А-сыныптағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылардың
жиыны, ал В-сол сыныптағы физика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны
болсын.
Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –“математика үйірмесіне
қатысуы”, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті – “физика
үйірмесіне қатысуы” болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне
аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл
оқушылардың ішінде тек математика үйірмесіне немесе екі үйірменің екеуіне
де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.
А(В=( деп санап, А жөне В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
арқылы кескіндесек, онда суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А(В жиынын
көрсетеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді.
А\В((хх(А және х(В(
Мысалы, егер А={а, Ь, с, d, е}, В={d, е, к, 1} болса, онда А\В ={а, Ь,
с} болады. А және В жиындарын Эйлер -Венн диаграммалары көмегімен
кескіндесекэ онда А\В жиыны боялған бөлік болады.
Лекция 3. Графтар.
Графтардың түрлері.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі объекьілер арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Математикада екі объектінің арасында әртүрлі қатыстар қандай да
бір Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді. Қатыстың қасиеттеріне
қарай оларды ортақ қасиеттері бойынша классификациялау керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анқытаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс деп
атайды,
Мысалы: Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр”, графын сыз, қасиетін анықта.
Лекция 4.
Сәйкестік графы мен графигі.
Бейнелеулер және олардың түрлері.
Тең қуаттас жиындар.
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R -“артық”
сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-сызба).
Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды: оған санау және сандарды салыстыру процесі
негізделген. Мысалы, 3 = 3 тендігін түсіндіру үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкеспк орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары злементтерінің арасындағы Р сәйкестікте хеХ элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сөйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мөнді бейнелеу болып табылады.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръекттивті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
7.Биективті бейнелеу.
8. Өзара бірмәнді бейнелеу.
9. Өзара бірмәнді сәйкестік.
10.Тең қуатты жиындар.
Жаттығу:
1.А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем” сәйкестігі
берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері сәйкестік
құрастыр, графигін сыз.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем” сәйкестігі
берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын сәйкестік
құрастырады?
4.Оқушылар қарындашқа 10теңне, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
5. Х=(1,2,3(, У=(1,2,34,5,6,7( берілген жиындарға тең қуатты болатын
жиындарға 3 мысал келтір.
6.Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-120 тг, дәптер-5 тг, бояу жаққыш
20 тг, өшіргіш 15 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы заттардың
бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті тұжырымдап,
оның графын құрыңыз.
7.Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша төртбұрыш
салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының арасындағы
сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
Лекция 5.
Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы.
Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана
бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға
әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын
айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік
береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын айтады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
6.Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8.Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Жаттығу:
1.Ұғымға анықтама беріңіз.
А)сәуле; б)кесінді; в)дөңгелек; г) тең бүйірлі үшбұрыш.
2.Анықтамадан ұғым-түрлік ерекшелігі мен тегін бөліп көрсетіңіз.
Анықтама: үшбұрышты қарсы жатқан қабырғадан нүктемен қосатын кесіндісін
атайды.
Анықтама:үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені
қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні атайды.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса,
онда ол пікір деп аталады. Математикалық ұғымдар арасындағы әртүрлі
қатынастарды анықтайтын пайымдаулардың ішінен пікір және пікірлік форма
(предикат) ерекшеленеді.
Пікір дегеніміз тек қана ақиқаттық тұрғысынан ғана
қарастырылатын, қандайда бір тілегі (табиғи, жасанды және формальды)
сөйлем. Пікір-математикалық логиканың термині.
Анықтама. Өзіне қатысты ақиқат немесе жалған екендігін айтуға
болатын сөйлемді пікір деп атайды.
“X - жай сан”, “х=3”, “х+у=8”, “студент х болған жоқ”, “студент х аптаның
у күні болған жоқ”, “студент х емтиханда Э пәнінен у баға алды” мысалдарын
қарастырайық.
Бұл пайымдаулар грамматикалық тұрғыдан алғанда пікір тәріздес,
алайда олардың құрамында заттық деп аталатын айнымалылар бар. Сондықтан
бұлардың ақиқат немесе жалған екендігі жайында мөселе қоюдың мағынасы
болмайды. Айнымалылардың орнына мәндерін қойған кезде, сейлемдер
пікірлерге айналады.
Анықтама. Бір немесе бірнеше айнымалысы бар жөне олардың орнына
нақты мәндерін қойған кезде пікірге айналатын сөйлемді пікірлік форма
(предикат) деп атайды.
Предикаттар бір, екі, үш орынды болады.
Бір орынды предикат дегеніміз әртүрлі мәнді қабылдай алатын
және де айнымалының кез келген мәнін қойғанда ақиқат немесе жалған пікірге
айналатын бір айнымалысы бар сөйлем.
Бір орынды предикатты былай белгілейміз: Р(х), х(Х. Затты
айнымалы мәндерінің X жиыны р(х) предикатының анықталу облысы деп аталады.
Өзінің орнына қойғанда р(х) предикатын ақиқат пікірге айналдыратын
айнымалының мәндерінің Т(Х жиыны предикаттың ақиқаттық жиыны деп аталады.
Егер х=а, а(Х болса, онда Р(а)(Т.
Бір орынды предикаттар объектінің қандай да бір қасиетін
білдіреді, сондықтан оларды предикат-қасиет дейді. Мысалы, р(х), х((:
"натурал х саны - жай сан".
Предикат қасиеттен басқа қатынастардың предикаттары да
қарастырылады. Осы қатынастарды неше объектілердің арасында
тағайындалғандығына қарай предикаттар бір, екі, үш орынды болып бөлінеді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар “үлкен”, “кіші”, “тең”деген пікірлермен
танысады. Одан кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар туралы пікірлер,
күрделі сандық өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы пікірлерге кездесетін
болады.
Пікірлер жәй және күрделі болып келеді. Жәй (элементар) пікір деп
оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, онда оны
күрделі пікір деп атайды.
Предикатты предикатқа түрлендіретін амалдардың қатарына: теріске
шығару, конъюкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция амалдары жатады.
Анықтамалар:
1.р(х) предикатын теріске шығару деп х(Х мәндерінде р(х) жалған болғанда
және тек сонда ғана ақиқат болатын және керісінше ақиқат болғанда және тек
сонда ғана жалған болатын р(х), х(Х предикатты айтады.
2.р(х) және х(Х предикаттарының конъюкциясы деп х(Х мәндерінде екі
предикат та ақиқат болғанда және тек сонда ғана ақиқат болатын р(х)(q(х),
х(Х предикатты айтады.
3.р(х) және q(х) предикаттарының дизъюкциясы деп х(Х мәндерінде екі
предикаттың ең болмағанда біреуі ақиқат болғанд және тек сонда ғана ақиқат
болатын р(х) (q(х), х(Х предикатты айтады.
4. р(х) және q(х) х(Х предикаттарының импликациясы деп х(Х мәндерінде
р(х) ақиқат, ал q(х) жалған болғанда және тек сонда ғана жалғанболатын р(х)
( q(х), х(Х предикатты айтады.
5.р(х) және q(х) х(Х предикаттарының эквиваленциясы деп х(Х мәндерінде
олардың екеуі де ақиқат немесе екеуі де жалған болғанда және тек сонда ғана
ақиқат болатын р(х) ( q(х), х(Х предикатты айтады.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 сандары туралы мынандай ой айтуға болады:
а) барлық берілген сандар бір орынды;
б) берілген сандардың кейбіреуі жұп сандар.
Бұл сөйлемдердің ақиқат не жалғандығын анықтауға болатындықтан екеуі
де пікір болады.
Енді а сөйлемінен “барлық” деген сөзді алып тастасақ “Берілген сандар
бір орынды” деген сөйлем құрылады. Бұл сөйлем пікірлік форма болады.
Сонымен, бұл пікірлік форманың алдына қойылған “барлық” сөзі оны пікірге
айналдырады екен.
“б” сөйлеміндегі “кейбіреуі” деген сөз “берілген сандар жұп” деген
предикатты пікірге айналдырып тұр. Сонымен қатар “бар болады” деген сөзді
қолданып та предикатты пікірге айналдыруға болады.
“Барлық”, “бар болады”, “кейбір” деген сөздер кванторлар деп
аталады. Осындай пікірлерді жазу үшін (және ( символдары пайдаланылады. (
символы “барлық”, “әрбір” “кез келген”, “әртүрлі”деген сөздердің орнына
қолданылып, жалпылау кванторы деп аталады. ( символын “бар болады”,
“қандай болмасын”, “ең болмағанда бір” “табылады” сөздерінің орнына
пайдаланып, оны бар болу кванторы деп атайды.
Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
9.Пікірлерді теріске шығару.
10. Пікірлер конъюнкциясы, дизъюнкциясы жәнеимпликациясы.
Жаттығу:
1.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
2.Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3.Кванторы бар пікірді екі тәсілмен теріске шығар: Табылатын натурал сан 5-
ке бөлінеді.
4.Пікірдің мәнін анықта: Табылады –тең қабырғалы үшбұрыш.
5.Мына сөйлемдердің қайсысы жай, қайсысы құрама: бір метрде 100 см немесе
10 дм.
6.Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
А)Тіктөртбұрыш шаршы болады.
) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
Лекция 7.
Алгоритмдер.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Лекция мақсаты:
1.Алгортим ұғымымен таныстыру.
2.Есеп шешуде алгоритмдеу әдісін тиімді пайдалану.
Алгоритм деп – алға қойылған мақсатқа жету немесе берілген
есепті шешу бағытында арнайы ережелер бойынша оқушыға жинақты түрде
берілген нұсқаулар тізбегі. Алгоритм түрлі тәсілдермен, атап айтқанда,
сөздермен, кескіндермен, суреттермен берілуі мүмкін. Алгоритм атқарушы
(оқушы) - құрастырылған алгоритмді компьютерде белгілі бір команда арқылы
басқарылуға тиісті нысан. Алгоритм құрайтын қарапайым әрекеттер команда деп
аталады.
Бастауыш сынып математикасындағы көптеген жаттығу, мысалдар және
есептер оқушылардан күрделі әрекеттерді орындауды талап ететін
болғандықтан, алгоритмді сабақтың барлық кезеңінде - жаңа тақырыпты оқып-
үйренгенде, оны бекітуде, өткен материалды қайталауда, өзіндік және
практикалық жүмыстарды сабақта және үйде орындау барысында қолдануға көңіл
бөлінеді.
Бастауыш мектепте математиканы оқытуда есептеу алгоритмдерін
қолдану есеп шығаруға үйретудің маңызды бір бөлігіне айналып отыр.
Математиканы оқытуда есептердің алатын ролі ерекше, оны
оқытудың негізгі мақсаты –математикалық есептің белгілі бір жүйесін шешу
алгоритмімен оқушыларға игерту.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрету – берілген мәліметтер мен
ізделініп отырған мәліметтер арасындағы байланысты тағайындау және соған
сәйкес арифметикалық амалдарды таңдап алу, содан кейін оны орындау.
Есептеу машығын қалыптастыру барысында алгоритмді
пайдаланудың тиімділігі зор. Мұғалім есептеу алгоритмін бірінші рет
енгізгенде, оның ешқандай әрекетін қалдырмай, тастап кетпей орындап шығуы,
соңынан оқушылардан да соны талап етуі керек.
Есептеу алгоритмдерін орындау кезінде әрбір кезеңнің ретімен дәл
орындалуына мән беріледі:
1-кезең – есептің мазмұнымен таныстыру;
2-кезең-есептің шешуін іздеу;
3-кезең – есепті шешу;
4-кезең-есептің шешуін тексеру.
Бастауыш сынып оқушылары түрлі ойындар ойнау кезінде де дайын
алгоритмдерді саналы түрде орындай алады. Ойын ережесі орындалатын
нұсқаулар тізбегі болады. Демек, олар мектепке дейін де кейбір қарапайым
әрекеттерді көрсетілген реті бойынша бұлжытпай орындаудың қажеттігімен
таныс.
Бір типтес, мәселелер аталады. Көп таңбалы екі санды қосу,
көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу т.б. жиі кездеседі.
Берілген типтес мәселелері кез келген түрін шешуде пайдаланатын
болады. “Жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?”-деген сұрақтың жауабы заңды. Егер
мұндай жалпы тәсіл бар болса, онда оны беріден (есеп) түрінің алгоритм
дейді. Жоғарыда келтірілген әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады.
Мысалы: көп таңбалы екі санды қосу себебіне қатысты алғанда көп кез келген
санды қосуға жарайтын яғни типтес есептердің оның кез келген дербес түрін
шешуді бағанмен есептелгені белгілі. Сонымен тәжірибеден типтес ішінен
оның кез келген дербес түрін шешуде қандай есептерді және қандай ретпен
атқарудың қажеттігін анықтайтын түсінікті және дәл жарлықты айтады деуге
негізделіп отыр. Бұл қатаң математикалық анықтама емес тәжірибеде
қалғандарға сүйеніп, алгоритм ұғымын түсіндіру ғана. Жалпы алғанда алгоритм
деп – қандай да бір бастапқы нәтижені алуға бағытталатын есептеу жүргізу
процесін көрсетіп беретін нақты және дәл түсінеді, мысалы: жоғарыда
келтірілген арифметикалық амалдардың алгоритміне алынатын мүмкін нәтижелер
– сандық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болады, ал мүмкін
жағдайда деректер осындай сандардың реттелген парлары болуының сонымен
жарлықтың мазмұнында алгоритмді үдерісті атқару нұсқауынан басқа мыналар
да кіреді. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы нәтиженің
алынуына байланысты процестің аяқталғандығын білдіретін ереже. Нәтиже
міндетті түрде алынады деуге болады, өйткені нақты мүмкін болатын
бастапқы деректерге қолдану процесі яғни осы деректерден басталып
алгоритмдік процесс болса онда қарастырылмақшы болатын бастапқы деректерге
алгоритм жарамды болады.
Алгоритм ұғымы тек есептеу үдерісімен ғана емес сонда бірге
есептің түріне немесе қандай есеп түріне, типіне және оның қандай топқа
немесе қысқа екеніне сәйкес болатын есептің шешуіне байланысты. Алгоритм
есептің беріліп отырған түріне жататын кез келген есепті шешу туралы дәл
және нақты нұсқаулар жиынтығы. Алгоритм (алгорифм) белгілі бір есептерді
шешуге арналған. Алгоритм арнайы іс-әрекеттердің белгілі бір кезекпен
орналасқан тәртібі. Ол алгоритмді атқарушы ЭЕМ-ге жұмыс тәртібін
түсіндіретін ережелер мен нұсқаулар тізбегінен тұрады. Сонымен алға
қойылған мақсатқа жету үшін немесе берілген есепті шешу барысында
орындаушыға біртіндеп қандай әрекеттер жасау керектігін түсінікті әрі дәл
көрсететін нұсқау алгоритм деп аталады. Алгоритмді орындаушының рөлін
негізінен адам немесе автоматтандырылған аспап, яғни ЭЕМ, робот т.б.
атқарады.
Алгоритм күнделікті тұрмыста да кеңінен қолданылады. Мысалы, студент
болу үшін алгоритмнің мынадай қадамдарын орындау керек.
1. Орта мектепті бітіріп, аттестат алу.
2. Керекті құжаттарды аттестаттың түпнұсқасымен бірге белгілі бір
институтқа өткізу.
3. Қабылдау емтихандарын тапсыру.
4. Конкурстан өту.
Бұл көрсетілген пунктердің орнын ауыстыруға болмайды. Олар
көрсетілген ретпен кезектесіп орындалуы тиіс.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Әр түрлі алгоритмдерді талдау олардың бәріне тән ортақ қасиеттердің
бар екендігі. Соларға қысқаша тоқталайық.
1. Алгоритм жалпылығымен көпшілікке бірдейлілігімен сипатталады, яғни
алгоритм бір ғана есепті шешуге емес, есептердің қандай да бір түрінің кез
келгенін шешуге, демек әлденеше есептің шешімін табу үшін қолдануға береді.
2. Алгоритм анықтылығы мен ерекшеленеді, яғни алгоритм анықталған
қадамның немесе әрекеттің ретін көрсетеді. Ол шығарушыға өз қалауынша
келесі қадамды таңдауға қандай мүмкіндік беред, бірінші қадамдарды және әр
қадамнан қандай қадам келетінін бір мәнді анықтайды. Демек не істеу
керектігінің бәрі алдын ала анықталып келеді, яғни ол ерекшелікке жол
бермейді.
3. Алгоритм нәтижелерімен сипатталады, яғни есептердің түрлерінің кез
келген есебін сәйкес алгоритм бойынша шектеулі санды қадамнан кейін
нәтижеге жеткізіледі, демек шектелген санынан кейін қажетті алу
мүмкіндіктерін білдіреді.
4. Алгоритм формальдылығымен ерекшеленеді, алгоритмді орындаушы өз
әрекетімен мән-мағынасын егжей-тегжейіне жете жеткізе түсінбесе де қажетті
нәтижені алады, ондай жағдайда орындаушы формальды әрекет атқарады, яғни
мәселенің мазмұнын ескермей-ақ кейбір ережелерді, халыларды қатаң
орындайды, демек алгоритмді атқару ойлаудың қажеті жоқ, алгоритмді не
көрсетілсе, тек соны алу керек болады.
5. Алгоритм көпшілікке жалпыға түсінікті болуы, яғни орындаушының
қандай тобы (категориясы) болса да олардың бәріне бірдей түсінікті
тұжырымдарын береді.
6. Алгоритм дәлелденгеннен ерекшеленеді, яғни алгоритмде мәнді
қабылданбайтын нұсқаулар болады, сондықтан түрлі орындарға түсінікті
болатын бірдей нұсқауды орындайды да атқарушының әрқайсысы бірдей нәтижеге
тиіс.
Бастауыш сыныптарда алгоритмді оқыту оқушыларды дайын алгоритмдерді
жазылуындағы берілген ретімен орындай білуге, өздерінің әрекеттерін
жоспарлай алуға үйретіп, олардың икемділігі мен машығын қалыптастырады.
Бақылау сұрақтары:
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттер.і.
3. Алгоритмнің түрлері.
4. Алгоритм сөзінің мағынасы.
5.Алгоритмнің түрі.
Жаттығу:
1.Жолдың ұзындығын табу алгоритмін жаз.
2.Жылдамдықты табу алгоритмі;
3. Уақытты табу алгоритмі
4.Жолаушының таксимен жүргендегі төлейтін ақшасының формуласы N=
20*S +20 (мұнда S –км есебімен жүрілген жол, N-тиын есебімен
төлейтін ақша) бойынша есепті шығару үшін амалдар тізбегінен тұратын
алгоритм құр.
5. Тік төртбұрыштың ауданын есептеу формуласын есептер шығаруға қолдану
үшін оны рет-ретімен орындалатын нұсқаулар тізбегі алгоритмін құр.
6. Жолдың ұзындығын табу алгоритмі.
7.Уақытты табу алгоритмі.
8.Жылдамдықты табу алгоритмі.
Лекция 7.
Натурал сандар.
Сандардың натурал қатарының кесіндісі.
Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны.
Лекция мақсаты:
1.Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана
объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық
жиындардан, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін
болатыннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды
белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылымы
анықталмайтын, негізгі ұғымдардың объектілер мен қатынастардың тізімен
беруден және негізгі ұғымдарды қанағаттандыруға тиісті аксиомалардан
басталатыны белгілі. Д.Пеаноның аксиоматикалық көзқарасы тұрғысынан
алғанда натурал сандар жиынын құру үшін біз “натурал сандар” объект және
“тікелей кейін келеді” қатынас деген екі негізгі ұғымды пайдаланамыз. Бұл
ұғымдар жанама түрде ол ұсынған аксиомалар жүйесімен анықталады.
Санаудың ондық жүйесі қазіргі түрінде біздің заманымыздың
шамамен VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу
үндістандық ғылымның маңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен кейін ғана
жазудың оңдық жүйесі толығымен аяқталды. Алдымен нөл қандай да бір нөрсенің
жоқтығын белгі үшін пайда болуы да ықтимал. Арифметика — саңдарды жөне
онымен жүргізілетін амалдарды зерттейтін ғылым. Ежелгі Шығыс елдерінде:
Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде
жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытьш,
жалғастырды.
Орта ғасырда арифметиканың дамуына Үндістанның, араб елдері
мен Орта Азия математиктері, ал XIII ғасырдан бастап — европалық ғалымдар
үлкен үлес қосты.
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдарының еңбектерінің өзінде-ақ натурал
сандар қатарының шексіздігі анықталды б.д.д. ІІІ ғ.. Натурал қатардың,
жай саңдар қатарының шексіздігі жайында жөні соншалық үлкен сандар
атауларын жасау Евклидтің "Бастамалар" деген әйгілі туыңдысыңда және
Архимедтің "Құмды санау туралы" "Псаммит" деген кітабында қаралған.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Санау процесінің дамуының алғашқы сатысында сандарға әр түрлі
операциялар (амалдар) колданғанда, олардың қасиеттері мен өзара
қатынастарын қарастырғанда нақты жиындар алынып, тәжірибе жасалып отырған.
Дамудың жоғарырақ сатысына көтерілгенде, әр жолы тәжірибе жасап жатпай-ақ,
сандарға операциялар қолдана білу қажеті туған. Тарихи тұрғыдан
қарастырғанда жағдай былай болып келген, адам өз айналасындағы дүниеде
кездесетін сандық қатыстарды бакылау нәтижесіне сүйене отырып, тәжірибе
жүзінде натурал қатар сандарының бірқатар қасиеттерін тағайындаған. Қазіргі
уакытта сандардың бұл негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы
сипатталады.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың
практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады.
Элементтері өзара бірмәнді сәйкестікте болатын
жиындарды тең қуатты жиындар деп атайтынбыз. Бұлар тең
қуатты жиындар кластарын құрайды. Мұндай кластың мысалы
ретінде a, b, c , d әәріптері жиынына тең қуатты барлық
жиындардың жинағын алуға болвды. Бұл класқа мынадай
жиындар енетіні айқын: жыл мезгілдерінің жиыны,
бөлменің қабырғаларының жиыны т.с.с жатады. Ал енді
a, b, c , d ,е әріптері жиынына тең қуатты барлық
жиындар жинағын алатын болсақ, бұл жинақ әрине
басқа бір класс құрайтын болады. Бұл класқа, мысалы,
адам қолының саусақтарының жиыны, жұлдызшаның төбесінің
жиыны, дөңес бесбұрыштардың диагональдарының жиыны, оның
бұрыштарының жиыны, т.с.с. жатады.
Бір класқа жататын жиындардың қуаты бірдей
болады да, әр класқа жататын жиндардікі әртүрлі
болады.
Шындығында, жоғарыда келтірілген мысалда бір
жиынның элементтері латын алфавитінің әріптері болса,
екіншісінікі – адамның саусақтары, үшіншісі – геометриялық
фигуралардың диагональдары , төртіншісінікі – сол фигураның
бұрыштары, т.с.с.
Сапа жағынан бірі - бірінен айырмашылығы бар
жиындарды бір класқа жатқызып біріктіргенде, біз бұл
класқа еңгізіліп отырған жеке жиындардың өздеріне
тән сапалық ерекшеліктерінің барлығын еске алмай,
тек олардың барлығына ортақ жалпы қасиетін және
ол кластың кез келген жиынын оған ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Жиын ұғымы, элементі.
Жиындардың берілу тәсілдері.
Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары.
Лекция мақсаты:
1.Жиын ұғымымен және олардың берілу тәсілдерімен таныстыру.
2.Жиындарға қолданылатын амалдарды және заңдарды есеп шығаруда қолдануға
үйрету.
Қазіргі математика салалары мен оның практикада қолданылуын
түгелдей дерлік жиындар теориясына негізделген. Өйткені жиындар теориясының
ұғымдары математикалық обьектілердің ең жалпы қасиеттерін бейнелейді.
Жиындар – математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады.
Сондықтан да болар, мектеп математикасының негізгі мазмұны болып табылатын
“сан”, “теңдеу” және “теңсіздік”, “функция”, т.с.с. ұғымдарды, сондай-ақ
сандарға операциялар жүргізу, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып-
үйрету теориялық жиындық ұғымдарды қолдануды көздейді.
“Жиын” қатал анықтама беруге болмайтын, тек қана қарапайым
мысалдар арқылы түсіндірілетін, математика ғылымындағы ең жалпы, негізгі
ұғым. Математикада, кез келген объектілердің (нәрселер, заттар, әріптер,
цифрлар} планеталар, ұғымдар, фигуралар, сандар, сөздер, адамдар,
жануарлар, т.с.с.) жиынтығы -жиынның мысалы бола алады. Әдетте жиын
қанда:й болса да бір белгісі бойынша біріктірілген әртүрлі объектілерден
құралады.
Жиындар теориясының негізін салуіпы неміс математигі Георг
Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын дегеніміз өзіміздің ойымызда
тұтас бір бүтін больш түсінілетін көптік”.
Ал, “көптік”, “жиын”, “жинақ”, “жиынтық” деген сөздерді тілдік
тура мағынасы-алынып отырған объектілер бірнешеу деген ой тудырады. Бұдан
әрбір жиыңда міндетті түрде көп (кемінде екі) элемент болу қажет деген
жаңсақ пікір тууы мүмкін. Алайда математикада жиынды құрайтын элементтердің
санына байланысты, тек бір ғана элементі болатын жиынды немесе элементтері
бірнешеу, яғни элементтерінің саны шектеулі (шектелген жиын) жиынды, бірде-
бір элементі болмайтын жиынды (шексіз жиын), элементтерінің саны шексіз көп
жиынды шексіз жиын деп атайды. Шексіз жиындарды тізіммен беру мүмкін емес.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, В, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e, ...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады.
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
объект жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір төсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Жиынды элементтерінің сипаттамалық қасиеті арқылы беру геометрияда
жиі қолданылады. Белгілі бір сипаттамалық қасиеті бар нүктелердің жиынын
нүктелердің геометриялық орны дейді.
Анықтама: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама: Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл анықтаманы былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелейді. Оның ішінде сол жиынның элементтері ғана орналасады. Ол
дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе Эйлер-Венн диаграммалары деп
атайды.
(Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген. Джон
Венн (1886-1921) ағылшын математигі).
Эйлер-Венн диаграммаларында жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі
жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын
құруға болады.Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амал қолдану
нәтижесінде пайда болады.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден және тек қана сол элементтерден
тұратын жиынды айтады.
Ажәне В жиындарының қиылысуы былай белгіленеді: С=А(В.
А(В={хх(А жөне х(В}
А, В жиындарының қиылысуын Эйлер деңгелектері арқылы бейнелесек,
екі жиынның қиылысуын боялған аймақ арқылы көрсетуге болады.
Егер А жөне В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады:
А(В=(.
Бұл жағдайда Ажәне В жиындары қиылыспайды деп айтады. Мысалы,
дауысты дыбыстар мен дауыссыз дыбыстар жиындары қиылыспайды, өйткені бұл
екі жиынның ортақ элементтері жоқ.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады.
А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А жөне В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
Мысалға, А-сыныптағы математика үйірмесіне қатысатын оқушылардың
жиыны, ал В-сол сыныптағы физика үйірмесіне қатысатын оқушылар жиыны
болсын.
Сонда А жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті –“математика үйірмесіне
қатысуы”, ал В жиыны элементтерінің сипаттамалық қасиеті – “физика
үйірмесіне қатысуы” болып табылады. Сонда берілген жиындардың бірігуіне
аталған үйірмелердің ең болмағанда біреуіне қатысатын оқушылар енеді. Бұл
оқушылардың ішінде тек математика үйірмесіне немесе екі үйірменің екеуіне
де қатысатын оқушылар болуы мүмкін.
А(В=( деп санап, А жөне В жиындарын Эйлер-Венн диаграммалары
арқылы кескіндесек, онда суреттегі штрихталған бүкіл бөлік А(В жиынын
көрсетеді.
Егер В(А болса, онда А жиынның В жиынына тиісті емес
элементтерінің жиыны В жиынының А жиынындагы толықтауышы деп аталады және
ВА арқылы белгіленеді.
А және В жиындарының айырмасы деп А жиынына тиісті және В
жиынына тиісті емес элементтер жиынын айтады. А және В жиындарының
айырмасын А\В символы арқылы белгіленеді.
А\В((хх(А және х(В(
Мысалы, егер А={а, Ь, с, d, е}, В={d, е, к, 1} болса, онда А\В ={а, Ь,
с} болады. А және В жиындарын Эйлер -Венн диаграммалары көмегімен
кескіндесекэ онда А\В жиыны боялған бөлік болады.
Лекция 3. Графтар.
Графтардың түрлері.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
Лекция мақсаты:
1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда қолдана алу.
Математикада әртүрлі обьектілер арасында (сан, шама, фигура)
және олардың қасиеттерінің арасында да баййланыстар зерттеледі. Мысалы,
сандар арасында: тең, кем, артық, 1-і артық, 2 есе кем, кейін, бұрын,
арасында, соңында т.с.с. қатыстары қарастырылады. Натурал сан ұғымын
қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы
математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамиды. Ал геометрияда түзулер арасында тең, параллель, перпендикуляр,
фигуралар арасында тең, ұқсас; жиыңдар арасында бірігу, қиылысу, ішкі жиын,
тең жиын, т.б. қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы қатыс
деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас өріптерімен белгілейді: P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда
R(ХхХ болады.
Қатыстың кескінін, яғни сызбаны граф дел атайды.
Граф, график — гректің сөзі, "жазамын" деген мағынасын білдіреді.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х = {4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызбадағы граф арқылы беруге болады.
Көп жагдайда X жиынындағы R қатысы осы қатыста болатын элементтер
қостарының жиынының сипаттамалык қасиетін көрсетү арқылы беріледі. Бұл
қасиет екі айнымалысы бар сөйлем. Яғни теңдеу және теңсіздік түрінде
тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: “х саны у-
тен артық”, “х саны у-тен 3 есе кем” т.с.с.
Х(У, Х((У, х=у+1, у=3+х, х(у, т.с.с.
Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15(, х=3у
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі объекьілер арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Математикада екі объектінің арасында әртүрлі қатыстар қандай да
бір Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді. Қатыстың қасиеттеріне
қарай оларды ортақ қасиеттері бойынша классификациялау керек.
Рефлексивтілік. Егер әрбір элемент өзімен өзі R қатыста бола алса,
онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Бұл анқытаманы қысқаша былай жазуға болады.
R рефлексивті: ((х(Х, х Rх
Симметриялық. Егер X жиынындағы х элемент у элементімен R
қатыста және у элементі х элементімен R қатыста болса, онда R қатысы
симметриялық деп аталады, яғнм R симметриялық қатыс ((х, у(Х үшін
хRу(уRх.
Антисимметриялық. Егер X жиынын ешбір х және у элементі үшін бір
мезгілде (х(у, хКу=уКх бола алмаса, онда R қатысы антисимметриялы деп
аталады. Мысалы, “еселі”, "кем" қатыстары 25=52
Транзитивтілік. Егер ( х,у,z(Х элементі үшін хRу ( уRz=хRz
шығатын болса, онда R қатысы транзитивті деп аталады. "kем" - 34 және
45=35 “еселі” 8:4 және 4:2(8:2
Анықтама. X жиынындағы R қатысты эквиваленттік қатыс деп атайды,
егер ол: рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік үш қасиетке ие болса.
Анықтама. Егер R қатысы X жиыны қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлсе,
онда R қатысын эквивалентті қатыс деп атайды.
Анықтама. Егер R қатысы эквивалентті қатыс болса, онда ол X
жиынын қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі дейді
Анықтама. Егер X жиынындағы R қатысы антисимметриялық және
транзитивтік қасиетке ие болса, онда ондай қатысты реттік қатыс деп атайды.
R қатысы берілген жиынды реттелген жиын деп атайды.
Егер реттік қатыста рефлексивтік қасиет орындалса, онда ол қатаң
емес реттік қатыс деп аталады. Ал егер орындалмаса қатаң реттік қатыс деп
атайды,
Мысалы: Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр”, графын сыз, қасиетін анықта.
Лекция 4.
Сәйкестік графы мен графигі.
Бейнелеулер және олардың түрлері.
Тең қуаттас жиындар.
Лекция мақсаты:
1.Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
Екі жиынның элементтерінін арасындағы қандай да бір байланыс жиі
қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы,
кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында,
жазыктықтағы нүктелер мен накты сандар қосындысының арасында сәйкестік бар.
А н ы қ т а м а: X және У жиындарының элементтерінің арасындағы
сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жныны болатын
қостардың жиынын айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы көрнекті
түрде бейнелеуге болады: Мысалы, Х=(3, 5, 7, 9(, У=(4,6( жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін
нүктені стрелкамен қосамыз, сонда злементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан стрелка 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір к
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүкгелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайык: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының злементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қтарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Х=(3,5,7(, У ={4,6( жиындарының элементтерінің арасында R -“артық”
сәйкестігі берілсін. Сонда R =((5,4), (7,4), (7,6)( және графы (1-сызба).
Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У жоне X
жиындарының элементтерінің арасыңдағы "кем" сәйкестігінің графигі алынады
Сызбада графы кескінделген сәйкестік берілген R сәйкестігіне кері
сәйкестік деп аталып, R' арқылы белгіленеді.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды: оған санау және сандарды салыстыру процесі
негізделген. Мысалы, 3 = 3 тендігін түсіндіру үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкеспк орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары злементтерінің арасындағы Р сәйкестікте хеХ элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сөйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Бейнелеулер бірнеше түрге бөлінеді. Егер У жиынының әрбір элементі ең
болмағанда Х-тің бір элементінің бейнесі болса, ондай бейнелеуді
сюръективті бейнелеу немесе X жиынын У жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У жиынының әрбір элементі Х-тің бірден артық емес элементінің
бейнесі болса, ондай бейнелеуді инъективті бейнелеу немесе X жиынын У
жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп атайды.
Егер У-тің әрбір элементі Х-тің бір және тек қана бір элементінің
бейнесі болса, яғни бейнелеу әрі сюръективті және инъективті болса, ондай
бейнелеуді биективті бейнелеу деп атайды.
Егер f бейнелеуде әрбір у(У элементтің толық түпкі бейнесі тек
қана бір х(Х элементтен тұрса, яғни әрбір у(У элемент тек қана бір х(Х
элементтің бейнесі болса және тек сонда ғана f:х(у бейнелеуі өзара бір
мөнді бейнелеу болып табылады.
Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръекттивті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
7.Биективті бейнелеу.
8. Өзара бірмәнді бейнелеу.
9. Өзара бірмәнді сәйкестік.
10.Тең қуатты жиындар.
Жаттығу:
1.А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем” сәйкестігі
берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері сәйкестік
құрастыр, графигін сыз.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем” сәйкестігі
берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын сәйкестік
құрастырады?
4.Оқушылар қарындашқа 10теңне, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
5. Х=(1,2,3(, У=(1,2,34,5,6,7( берілген жиындарға тең қуатты болатын
жиындарға 3 мысал келтір.
6.Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-120 тг, дәптер-5 тг, бояу жаққыш
20 тг, өшіргіш 15 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы заттардың
бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті тұжырымдап,
оның графын құрыңыз.
7.Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша төртбұрыш
салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының арасындағы
сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
Лекция 5.
Математикалық тұжырымдар және олардың құрылымы.
Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы.
Лекция мақсаты:
1. Математикалық ұғымдарды қарастыру.
2. Математикалық ұғымдарды анықтау тәсілдері.
Математика да басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған ортаны
қоғамдық құбылыстарды зерттейді, бірақ олардың ерекше жақтарын қарастырады.
Математика өзінің тарихында әртүрлі даму кезеңінен өтті.
Осы кезеңердің әрқайсысында әртүрлі пішіндер мен материалдық ортаның сандық
қатынастарының белгілі бір әдістерін және ұғымдарды қалыптастырды.
Ұғым-материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы
жемісі. Әрбір ұғым мазмұны және көлемі бойьшша қарастырылуы мүмкін. Ұғым
мазмұны-берілген ұғымның барлық (аса елеулі, маңызды) мәнді белгілерінің
жиыны. Ұғым көлемі, ол -берілген ұғым қамтитын объектілердің жиыны.
Математикалық ұғымдармен оқушылар бастауыш мектептің математика
курсында таныса бастайды. 1-сыныптан бастап оқушылар “цифр”, “сан”,
“қосылғыш”, “қосынды”, “кесінді”, т.б. ұғымдармен танысады. 3-сыныпта оған
көбейту мен бөлуге байланысты, ал 4-сыныпта “бөлік”, “фигураның ауданы”
ұғымдары қосылады.
Демек, математикалық ұғымның (объектінің) анықтамасы — осы
ұғымның мазмұнын ашатын сөйлем.
Кейбір алғашқы математикалық ұғымдар анықталмайды, олар
аксиомалардың көмегімен жанама түрде анықталады немесе постулаттер арқылы
үғымға қойылатын (ұғымдардың арасындағы қатынастарға да) талаптар
көрсетіліп беріледі. Негізгі математикалық ұғымдар: жиын, жиын элементі,
сан, шама, нүкте, түзу, жазықтық, ал негізгі қатынастар: тиісті, арасында
жатады, өлшемнің бар болуы, т.с.с. негізгі ұғымдардың қасиеттері
аксиомаларда ашылады.
Мысалы, екі нүкте арқылы өтетін бір ғана тузу жүргізуге
болады.
Білім заттар мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың
байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф.Энгельстің
анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі ойлау. Ұғым арқылы адам болмысты
бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.
Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана
бейнелейді.
Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға
әрқайсысы қажетті және бәрін бірге алғанда жеткілікті белгілердің жиынын
айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды және оны танып білуге мүмкіндік
береді
Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:
а) ол төртбұрыш;
ә) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
б) қарама-қарсы қабырғалары тең;
в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді;
г) қарама-қарсы бұрыштары тең.
Алайда, "Параллелограм" ұғымын анықтау үшін көрсетілген
белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, "а" және "ә" пунктердегі
белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, "ІІаралеллограмді" басқа фигуралардан
айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ, олардың кез
келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын
қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық белгілердің ішінен елеулілері
ғана таңдалады. Нәрсенің елеусіз белгілері оны басқа нәрселерден айыруға
жөне танып білуте мүмкіндік бермейді. Ұғымның анықтамасына кіретін
белгілері өзара төуелсіз болуы тиіс. Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі
болады.
Ұғымның мазмүны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің
жиынтығын айтады.
Ұғымның көлемі деп нәрселердің осы ұғым тарайтын жиынтығын
айтады. Мысалы, "үшбұрыш" ұғымын алайық. Бұл ұғымның мазмұны - үш қабырға,
үш төбе, үш бүрыш, ал көлемі барлық мүмкін болатын үшбүрыштардың жиыны
болын табылады, Ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі,
басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі солғұрлым
тар болады.
Бақылау сұрақтары:
1.Математикалық ұғым.
2.Ұғымның мазмұны.
3.Ұғымның көлемі.
4.Ұғымның анықтамасын беру.
5.Анықтама беру ережелері.
6.Сан о бастан қалай пайда болған?
7. Тік төртбұрыштың тегі.
8.Контекстуалдық тәсілмен бастауыш сыныпта қандай ұғым анықталады?
9. Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Шеңбер”.
10.Түрлік ерекшелігі мен тегі арқылы анықтама бер: “Трапеция”.
Жаттығу:
1.Ұғымға анықтама беріңіз.
А)сәуле; б)кесінді; в)дөңгелек; г) тең бүйірлі үшбұрыш.
2.Анықтамадан ұғым-түрлік ерекшелігі мен тегін бөліп көрсетіңіз.
Анықтама: үшбұрышты қарсы жатқан қабырғадан нүктемен қосатын кесіндісін
атайды.
Анықтама:үшбұрыштың берілген төбесінен жүргізілген медианасы деп осы төбені
қарсы жатқан қабырғаның ортасымен қосатын кесіндіні атайды.
Хабарлы сөйлемнің ақиқат немесе жалған екендігін айтуға болса,
онда ол пікір деп аталады. Математикалық ұғымдар арасындағы әртүрлі
қатынастарды анықтайтын пайымдаулардың ішінен пікір және пікірлік форма
(предикат) ерекшеленеді.
Пікір дегеніміз тек қана ақиқаттық тұрғысынан ғана
қарастырылатын, қандайда бір тілегі (табиғи, жасанды және формальды)
сөйлем. Пікір-математикалық логиканың термині.
Анықтама. Өзіне қатысты ақиқат немесе жалған екендігін айтуға
болатын сөйлемді пікір деп атайды.
“X - жай сан”, “х=3”, “х+у=8”, “студент х болған жоқ”, “студент х аптаның
у күні болған жоқ”, “студент х емтиханда Э пәнінен у баға алды” мысалдарын
қарастырайық.
Бұл пайымдаулар грамматикалық тұрғыдан алғанда пікір тәріздес,
алайда олардың құрамында заттық деп аталатын айнымалылар бар. Сондықтан
бұлардың ақиқат немесе жалған екендігі жайында мөселе қоюдың мағынасы
болмайды. Айнымалылардың орнына мәндерін қойған кезде, сейлемдер
пікірлерге айналады.
Анықтама. Бір немесе бірнеше айнымалысы бар жөне олардың орнына
нақты мәндерін қойған кезде пікірге айналатын сөйлемді пікірлік форма
(предикат) деп атайды.
Предикаттар бір, екі, үш орынды болады.
Бір орынды предикат дегеніміз әртүрлі мәнді қабылдай алатын
және де айнымалының кез келген мәнін қойғанда ақиқат немесе жалған пікірге
айналатын бір айнымалысы бар сөйлем.
Бір орынды предикатты былай белгілейміз: Р(х), х(Х. Затты
айнымалы мәндерінің X жиыны р(х) предикатының анықталу облысы деп аталады.
Өзінің орнына қойғанда р(х) предикатын ақиқат пікірге айналдыратын
айнымалының мәндерінің Т(Х жиыны предикаттың ақиқаттық жиыны деп аталады.
Егер х=а, а(Х болса, онда Р(а)(Т.
Бір орынды предикаттар объектінің қандай да бір қасиетін
білдіреді, сондықтан оларды предикат-қасиет дейді. Мысалы, р(х), х((:
"натурал х саны - жай сан".
Предикат қасиеттен басқа қатынастардың предикаттары да
қарастырылады. Осы қатынастарды неше объектілердің арасында
тағайындалғандығына қарай предикаттар бір, екі, үш орынды болып бөлінеді.
Бастауыш мектеп оқушылары математика пәнінің алғашқы сабағынан бастап
ақиқат пікірмен кездеседі. Олар “үлкен”, “кіші”, “тең”деген пікірлермен
танысады. Одан кейін екі таңбалы, үш таңбалы сандар туралы пікірлер,
күрделі сандық өрнектердің теңдігі, теңсіздігі туралы пікірлерге кездесетін
болады.
Пікірлер жәй және күрделі болып келеді. Жәй (элементар) пікір деп
оны басқа пікірлерге жіктеуге келмейтін пікірді айтамыз.
Егер пікірді бірнеше элементар пікірге жіктеуге болса, онда оны
күрделі пікір деп атайды.
Предикатты предикатқа түрлендіретін амалдардың қатарына: теріске
шығару, конъюкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция амалдары жатады.
Анықтамалар:
1.р(х) предикатын теріске шығару деп х(Х мәндерінде р(х) жалған болғанда
және тек сонда ғана ақиқат болатын және керісінше ақиқат болғанда және тек
сонда ғана жалған болатын р(х), х(Х предикатты айтады.
2.р(х) және х(Х предикаттарының конъюкциясы деп х(Х мәндерінде екі
предикат та ақиқат болғанда және тек сонда ғана ақиқат болатын р(х)(q(х),
х(Х предикатты айтады.
3.р(х) және q(х) предикаттарының дизъюкциясы деп х(Х мәндерінде екі
предикаттың ең болмағанда біреуі ақиқат болғанд және тек сонда ғана ақиқат
болатын р(х) (q(х), х(Х предикатты айтады.
4. р(х) және q(х) х(Х предикаттарының импликациясы деп х(Х мәндерінде
р(х) ақиқат, ал q(х) жалған болғанда және тек сонда ғана жалғанболатын р(х)
( q(х), х(Х предикатты айтады.
5.р(х) және q(х) х(Х предикаттарының эквиваленциясы деп х(Х мәндерінде
олардың екеуі де ақиқат немесе екеуі де жалған болғанда және тек сонда ғана
ақиқат болатын р(х) ( q(х), х(Х предикатты айтады.
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 сандары туралы мынандай ой айтуға болады:
а) барлық берілген сандар бір орынды;
б) берілген сандардың кейбіреуі жұп сандар.
Бұл сөйлемдердің ақиқат не жалғандығын анықтауға болатындықтан екеуі
де пікір болады.
Енді а сөйлемінен “барлық” деген сөзді алып тастасақ “Берілген сандар
бір орынды” деген сөйлем құрылады. Бұл сөйлем пікірлік форма болады.
Сонымен, бұл пікірлік форманың алдына қойылған “барлық” сөзі оны пікірге
айналдырады екен.
“б” сөйлеміндегі “кейбіреуі” деген сөз “берілген сандар жұп” деген
предикатты пікірге айналдырып тұр. Сонымен қатар “бар болады” деген сөзді
қолданып та предикатты пікірге айналдыруға болады.
“Барлық”, “бар болады”, “кейбір” деген сөздер кванторлар деп
аталады. Осындай пікірлерді жазу үшін (және ( символдары пайдаланылады. (
символы “барлық”, “әрбір” “кез келген”, “әртүрлі”деген сөздердің орнына
қолданылып, жалпылау кванторы деп аталады. ( символын “бар болады”,
“қандай болмасын”, “ең болмағанда бір” “табылады” сөздерінің орнына
пайдаланып, оны бар болу кванторы деп атайды.
Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
9.Пікірлерді теріске шығару.
10. Пікірлер конъюнкциясы, дизъюнкциясы жәнеимпликациясы.
Жаттығу:
1.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
2.Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3.Кванторы бар пікірді екі тәсілмен теріске шығар: Табылатын натурал сан 5-
ке бөлінеді.
4.Пікірдің мәнін анықта: Табылады –тең қабырғалы үшбұрыш.
5.Мына сөйлемдердің қайсысы жай, қайсысы құрама: бір метрде 100 см немесе
10 дм.
6.Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
А)Тіктөртбұрыш шаршы болады.
) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
Лекция 7.
Алгоритмдер.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Лекция мақсаты:
1.Алгортим ұғымымен таныстыру.
2.Есеп шешуде алгоритмдеу әдісін тиімді пайдалану.
Алгоритм деп – алға қойылған мақсатқа жету немесе берілген
есепті шешу бағытында арнайы ережелер бойынша оқушыға жинақты түрде
берілген нұсқаулар тізбегі. Алгоритм түрлі тәсілдермен, атап айтқанда,
сөздермен, кескіндермен, суреттермен берілуі мүмкін. Алгоритм атқарушы
(оқушы) - құрастырылған алгоритмді компьютерде белгілі бір команда арқылы
басқарылуға тиісті нысан. Алгоритм құрайтын қарапайым әрекеттер команда деп
аталады.
Бастауыш сынып математикасындағы көптеген жаттығу, мысалдар және
есептер оқушылардан күрделі әрекеттерді орындауды талап ететін
болғандықтан, алгоритмді сабақтың барлық кезеңінде - жаңа тақырыпты оқып-
үйренгенде, оны бекітуде, өткен материалды қайталауда, өзіндік және
практикалық жүмыстарды сабақта және үйде орындау барысында қолдануға көңіл
бөлінеді.
Бастауыш мектепте математиканы оқытуда есептеу алгоритмдерін
қолдану есеп шығаруға үйретудің маңызды бір бөлігіне айналып отыр.
Математиканы оқытуда есептердің алатын ролі ерекше, оны
оқытудың негізгі мақсаты –математикалық есептің белгілі бір жүйесін шешу
алгоритмімен оқушыларға игерту.
Оқушыларға есеп шығаруды үйрету – берілген мәліметтер мен
ізделініп отырған мәліметтер арасындағы байланысты тағайындау және соған
сәйкес арифметикалық амалдарды таңдап алу, содан кейін оны орындау.
Есептеу машығын қалыптастыру барысында алгоритмді
пайдаланудың тиімділігі зор. Мұғалім есептеу алгоритмін бірінші рет
енгізгенде, оның ешқандай әрекетін қалдырмай, тастап кетпей орындап шығуы,
соңынан оқушылардан да соны талап етуі керек.
Есептеу алгоритмдерін орындау кезінде әрбір кезеңнің ретімен дәл
орындалуына мән беріледі:
1-кезең – есептің мазмұнымен таныстыру;
2-кезең-есептің шешуін іздеу;
3-кезең – есепті шешу;
4-кезең-есептің шешуін тексеру.
Бастауыш сынып оқушылары түрлі ойындар ойнау кезінде де дайын
алгоритмдерді саналы түрде орындай алады. Ойын ережесі орындалатын
нұсқаулар тізбегі болады. Демек, олар мектепке дейін де кейбір қарапайым
әрекеттерді көрсетілген реті бойынша бұлжытпай орындаудың қажеттігімен
таныс.
Бір типтес, мәселелер аталады. Көп таңбалы екі санды қосу,
көшеден өту, кесіндінің ұзындығын өлшеу т.б. жиі кездеседі.
Берілген типтес мәселелері кез келген түрін шешуде пайдаланатын
болады. “Жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?”-деген сұрақтың жауабы заңды. Егер
мұндай жалпы тәсіл бар болса, онда оны беріден (есеп) түрінің алгоритм
дейді. Жоғарыда келтірілген әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады.
Мысалы: көп таңбалы екі санды қосу себебіне қатысты алғанда көп кез келген
санды қосуға жарайтын яғни типтес есептердің оның кез келген дербес түрін
шешуді бағанмен есептелгені белгілі. Сонымен тәжірибеден типтес ішінен
оның кез келген дербес түрін шешуде қандай есептерді және қандай ретпен
атқарудың қажеттігін анықтайтын түсінікті және дәл жарлықты айтады деуге
негізделіп отыр. Бұл қатаң математикалық анықтама емес тәжірибеде
қалғандарға сүйеніп, алгоритм ұғымын түсіндіру ғана. Жалпы алғанда алгоритм
деп – қандай да бір бастапқы нәтижені алуға бағытталатын есептеу жүргізу
процесін көрсетіп беретін нақты және дәл түсінеді, мысалы: жоғарыда
келтірілген арифметикалық амалдардың алгоритміне алынатын мүмкін нәтижелер
– сандық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болады, ал мүмкін
жағдайда деректер осындай сандардың реттелген парлары болуының сонымен
жарлықтың мазмұнында алгоритмді үдерісті атқару нұсқауынан басқа мыналар
да кіреді. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы нәтиженің
алынуына байланысты процестің аяқталғандығын білдіретін ереже. Нәтиже
міндетті түрде алынады деуге болады, өйткені нақты мүмкін болатын
бастапқы деректерге қолдану процесі яғни осы деректерден басталып
алгоритмдік процесс болса онда қарастырылмақшы болатын бастапқы деректерге
алгоритм жарамды болады.
Алгоритм ұғымы тек есептеу үдерісімен ғана емес сонда бірге
есептің түріне немесе қандай есеп түріне, типіне және оның қандай топқа
немесе қысқа екеніне сәйкес болатын есептің шешуіне байланысты. Алгоритм
есептің беріліп отырған түріне жататын кез келген есепті шешу туралы дәл
және нақты нұсқаулар жиынтығы. Алгоритм (алгорифм) белгілі бір есептерді
шешуге арналған. Алгоритм арнайы іс-әрекеттердің белгілі бір кезекпен
орналасқан тәртібі. Ол алгоритмді атқарушы ЭЕМ-ге жұмыс тәртібін
түсіндіретін ережелер мен нұсқаулар тізбегінен тұрады. Сонымен алға
қойылған мақсатқа жету үшін немесе берілген есепті шешу барысында
орындаушыға біртіндеп қандай әрекеттер жасау керектігін түсінікті әрі дәл
көрсететін нұсқау алгоритм деп аталады. Алгоритмді орындаушының рөлін
негізінен адам немесе автоматтандырылған аспап, яғни ЭЕМ, робот т.б.
атқарады.
Алгоритм күнделікті тұрмыста да кеңінен қолданылады. Мысалы, студент
болу үшін алгоритмнің мынадай қадамдарын орындау керек.
1. Орта мектепті бітіріп, аттестат алу.
2. Керекті құжаттарды аттестаттың түпнұсқасымен бірге белгілі бір
институтқа өткізу.
3. Қабылдау емтихандарын тапсыру.
4. Конкурстан өту.
Бұл көрсетілген пунктердің орнын ауыстыруға болмайды. Олар
көрсетілген ретпен кезектесіп орындалуы тиіс.
Алгоритмнің негізгі қасиеттері.
Әр түрлі алгоритмдерді талдау олардың бәріне тән ортақ қасиеттердің
бар екендігі. Соларға қысқаша тоқталайық.
1. Алгоритм жалпылығымен көпшілікке бірдейлілігімен сипатталады, яғни
алгоритм бір ғана есепті шешуге емес, есептердің қандай да бір түрінің кез
келгенін шешуге, демек әлденеше есептің шешімін табу үшін қолдануға береді.
2. Алгоритм анықтылығы мен ерекшеленеді, яғни алгоритм анықталған
қадамның немесе әрекеттің ретін көрсетеді. Ол шығарушыға өз қалауынша
келесі қадамды таңдауға қандай мүмкіндік беред, бірінші қадамдарды және әр
қадамнан қандай қадам келетінін бір мәнді анықтайды. Демек не істеу
керектігінің бәрі алдын ала анықталып келеді, яғни ол ерекшелікке жол
бермейді.
3. Алгоритм нәтижелерімен сипатталады, яғни есептердің түрлерінің кез
келген есебін сәйкес алгоритм бойынша шектеулі санды қадамнан кейін
нәтижеге жеткізіледі, демек шектелген санынан кейін қажетті алу
мүмкіндіктерін білдіреді.
4. Алгоритм формальдылығымен ерекшеленеді, алгоритмді орындаушы өз
әрекетімен мән-мағынасын егжей-тегжейіне жете жеткізе түсінбесе де қажетті
нәтижені алады, ондай жағдайда орындаушы формальды әрекет атқарады, яғни
мәселенің мазмұнын ескермей-ақ кейбір ережелерді, халыларды қатаң
орындайды, демек алгоритмді атқару ойлаудың қажеті жоқ, алгоритмді не
көрсетілсе, тек соны алу керек болады.
5. Алгоритм көпшілікке жалпыға түсінікті болуы, яғни орындаушының
қандай тобы (категориясы) болса да олардың бәріне бірдей түсінікті
тұжырымдарын береді.
6. Алгоритм дәлелденгеннен ерекшеленеді, яғни алгоритмде мәнді
қабылданбайтын нұсқаулар болады, сондықтан түрлі орындарға түсінікті
болатын бірдей нұсқауды орындайды да атқарушының әрқайсысы бірдей нәтижеге
тиіс.
Бастауыш сыныптарда алгоритмді оқыту оқушыларды дайын алгоритмдерді
жазылуындағы берілген ретімен орындай білуге, өздерінің әрекеттерін
жоспарлай алуға үйретіп, олардың икемділігі мен машығын қалыптастырады.
Бақылау сұрақтары:
1.Алгоритм ұғымы.
2.Алгоритмнің негізгі қасиеттер.і.
3. Алгоритмнің түрлері.
4. Алгоритм сөзінің мағынасы.
5.Алгоритмнің түрі.
Жаттығу:
1.Жолдың ұзындығын табу алгоритмін жаз.
2.Жылдамдықты табу алгоритмі;
3. Уақытты табу алгоритмі
4.Жолаушының таксимен жүргендегі төлейтін ақшасының формуласы N=
20*S +20 (мұнда S –км есебімен жүрілген жол, N-тиын есебімен
төлейтін ақша) бойынша есепті шығару үшін амалдар тізбегінен тұратын
алгоритм құр.
5. Тік төртбұрыштың ауданын есептеу формуласын есептер шығаруға қолдану
үшін оны рет-ретімен орындалатын нұсқаулар тізбегі алгоритмін құр.
6. Жолдың ұзындығын табу алгоритмі.
7.Уақытты табу алгоритмі.
8.Жылдамдықты табу алгоритмі.
Лекция 7.
Натурал сандар.
Сандардың натурал қатарының кесіндісі.
Реттік натурал сан. Натурал сандар жиыны.
Лекция мақсаты:
1.Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.
Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана
объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық
жиындардан, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін
болатыннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды
белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылымы
анықталмайтын, негізгі ұғымдардың объектілер мен қатынастардың тізімен
беруден және негізгі ұғымдарды қанағаттандыруға тиісті аксиомалардан
басталатыны белгілі. Д.Пеаноның аксиоматикалық көзқарасы тұрғысынан
алғанда натурал сандар жиынын құру үшін біз “натурал сандар” объект және
“тікелей кейін келеді” қатынас деген екі негізгі ұғымды пайдаланамыз. Бұл
ұғымдар жанама түрде ол ұсынған аксиомалар жүйесімен анықталады.
Санаудың ондық жүйесі қазіргі түрінде біздің заманымыздың
шамамен VI ғасырында Үндістанда қалыптасты. Нөл үшін ерекше белгі енгізу
үндістандық ғылымның маңызды жетістігі болды. Нөл енгізілгеннен кейін ғана
жазудың оңдық жүйесі толығымен аяқталды. Алдымен нөл қандай да бір нөрсенің
жоқтығын белгі үшін пайда болуы да ықтимал. Арифметика — саңдарды жөне
онымен жүргізілетін амалдарды зерттейтін ғылым. Ежелгі Шығыс елдерінде:
Вавилонда, Қытайда, Үндістанда, Египетте дүниеге келді. Осы елдерде
жинақталған математикалық білімдерді Ежелгі Грецияның ғалымдары дамытьш,
жалғастырды.
Орта ғасырда арифметиканың дамуына Үндістанның, араб елдері
мен Орта Азия математиктері, ал XIII ғасырдан бастап — европалық ғалымдар
үлкен үлес қосты.
Сөйтіп, ежелгі дүние ғалымдарының еңбектерінің өзінде-ақ натурал
сандар қатарының шексіздігі анықталды б.д.д. ІІІ ғ.. Натурал қатардың,
жай саңдар қатарының шексіздігі жайында жөні соншалық үлкен сандар
атауларын жасау Евклидтің "Бастамалар" деген әйгілі туыңдысыңда және
Архимедтің "Құмды санау туралы" "Псаммит" деген кітабында қаралған.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Санау процесінің дамуының алғашқы сатысында сандарға әр түрлі
операциялар (амалдар) колданғанда, олардың қасиеттері мен өзара
қатынастарын қарастырғанда нақты жиындар алынып, тәжірибе жасалып отырған.
Дамудың жоғарырақ сатысына көтерілгенде, әр жолы тәжірибе жасап жатпай-ақ,
сандарға операциялар қолдана білу қажеті туған. Тарихи тұрғыдан
қарастырғанда жағдай былай болып келген, адам өз айналасындағы дүниеде
кездесетін сандық қатыстарды бакылау нәтижесіне сүйене отырып, тәжірибе
жүзінде натурал қатар сандарының бірқатар қасиеттерін тағайындаған. Қазіргі
уакытта сандардың бұл негізгі қасиеттері аксиомалар жүйесі арқылы
сипатталады.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.
Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың
практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады.
Элементтері өзара бірмәнді сәйкестікте болатын
жиындарды тең қуатты жиындар деп атайтынбыз. Бұлар тең
қуатты жиындар кластарын құрайды. Мұндай кластың мысалы
ретінде a, b, c , d әәріптері жиынына тең қуатты барлық
жиындардың жинағын алуға болвды. Бұл класқа мынадай
жиындар енетіні айқын: жыл мезгілдерінің жиыны,
бөлменің қабырғаларының жиыны т.с.с жатады. Ал енді
a, b, c , d ,е әріптері жиынына тең қуатты барлық
жиындар жинағын алатын болсақ, бұл жинақ әрине
басқа бір класс құрайтын болады. Бұл класқа, мысалы,
адам қолының саусақтарының жиыны, жұлдызшаның төбесінің
жиыны, дөңес бесбұрыштардың диагональдарының жиыны, оның
бұрыштарының жиыны, т.с.с. жатады.
Бір класқа жататын жиындардың қуаты бірдей
болады да, әр класқа жататын жиндардікі әртүрлі
болады.
Шындығында, жоғарыда келтірілген мысалда бір
жиынның элементтері латын алфавитінің әріптері болса,
екіншісінікі – адамның саусақтары, үшіншісі – геометриялық
фигуралардың диагональдары , төртіншісінікі – сол фигураның
бұрыштары, т.с.с.
Сапа жағынан бірі - бірінен айырмашылығы бар
жиындарды бір класқа жатқызып біріктіргенде, біз бұл
класқа еңгізіліп отырған жеке жиындардың өздеріне
тән сапалық ерекшеліктерінің барлығын еске алмай,
тек олардың барлығына ортақ жалпы қасиетін және
ол кластың кез келген жиынын оған ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz