Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 108 бет
Таңдаулыға:

Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері

Анықтама. өлшемді матрица деп,

(1)

түріндегі - жол (жатық жол) және - бағаннан (тік жолдан) тұратын - түріндегі сандар кестесін айтады.

- сандары оның элементтері деп аталады. Мұндағы 1 - ші индекс осы элемент тұрған жол нөмірін, ал 2 - ші индекс баған нөмірін білдіреді. болса, онда (1) - квадрат матрица деп аталады. бұл жағдайда (немесе ) саны оның ретін көрсетеді. - ші ретті квадрат матрица элементтен тұратыны түсінікті.

Матрица - ғылыми-техникалық және экономикалық есептерде кестелік ақпараттарды жазу үшін қолданылады; бағдарламалау саласында матрицаларды екі өлшемді массивтер деп атайды.

Кейде ыңғайлы болу үшін матрицаның өлшемін индекске жазады: . өлшемді және матрицаларының сәйкес элементтері тең болса, ( ), онда олар тең матрицалар деп аталады да деп белгіленеді.

Квадрат матрица үшін осы матрицадан туындаған анықтауыш матрица анықтауышы деп аталатын санын қарастыруға болады. Кейде анықтауыш (ағыл. Детерминант-анықтауыш) немесе арқылы белгіленеді.

2 - ші ретті матрица анықтауышы деп

(2)

санын айтады.

3 - ші ретті матрица анықтауышы деп

(3)

санын айтады. (3) анықтауыштың мәнін үшбұрыш ережесі арқылы есептейік. Оны еске ұстау үшін келесі схемалық жазу пайдаланылады:

+ + + _ _ _

- элементтері орналасқан кесінді анықтауыштың бас диагоналі, ал - элементтері орналасқан кесінді оның бүйір диагоналі деп аталады.

Анықтама. матрицасының жолдарын сәйкес бағандар етіп орнын алмастырудан алынған матрицасы матрицасының транспонирленген матрицасы деп аталынады.

мен матрицаларының элементтері бас диагоналға салыстырғанда симметриялы орналасқан.

Жолдарды бағандармен алмастыру амалы транспонирлеу деп аталады.

aнықтауышынан транспонирлеу арқылы алынған анықтауышты арқылы белгілейтін боламыз.

Енді анықтауыштардың қасиеттерін қарастырайық. Түсінікті болу үшін оларды 3 - ші ретті анықтауыштар үшін тұжырымдаймыз, алайда бұл қасиеттер реті кез келген анықтауыш үшін орындалады.

Кейбір жағдайларда сөйлем ықшамырақ болу үшін “жол немесе баған” деген сөзді “қатар” деп атайтын боламыз.

1 ^º . Транспонирленген анықтауыштың мәні өзгермейді:

яғни

2 ^º . Анықтауыштың екі параллель қатарын орнын алмастырғаннан (бұл амал екі параллель қатарды транспозициялау деп аталады) анықтауыштың таңбасы өзгереді.

3 ^º . Параллель екі қатары бірдей (сәйкес элементтері тең) анықтауыш нөлге тең.

4. Егер қандай да бір қатардың барлық элементтері санына көбейтілсе, онда анықтауыш мәні санына көбейтіледі, басқаша айтқанда, қатардың ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.

Салдар. Егер екі параллель қатарлардың сәйкес элементтері пропорционал болса, онда анықтауыш нөльге тең.

5 ^º . Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтері нөлге тең (нөл қатар) болса, онда анықтауыш мәні нөльге тең.

Бұл қасиет 4 ^º - тен үшін алынады.

6 ^º . Егер анықтауыштың белгілі бір қатарының әрбір элементі екі қосылғыштың қосындысы етіп берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сәйкес қатары бірінші қосылғыштардан, ал екінші анықтауыштың сәйкес қатары екінші қосылғыш-тардан тұрады да, бұл екі анықтауыштың қалған сәйкес қатарлары өзара тең элементтерден тұрады.

7 ^º . Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы қатарға параллель қатардың сәйкес элементтерін кез келген санына көбейтіп қосса анықтауыш мәні өзгермейді.

Бұл қасиеттің дұрыстығын 6 ^º , 4 ^º және 3 ^º қасиеттерді қолдана отырып көз жеткізуге болады.

2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар

Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу.

Анықтама. квадрат матрицасының - элементінің миноры деп элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап матрицасының қалған қатарларынан құралған матрицаны айтады.

- ші ретті матрицасының элементінің миноры реті “ ” тең квадрат матрица болады. Oны арқылы белгілейміз.

Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың элементінің минорын арқылы белгілесек, онда = .

Мысалы: болса,

онда , .

Анықтама. элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп

санын айтады.

8 ^º . Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш шамасына тең:

(1)

(2)

(1) - қосынды анықтауыштың -ші жол элементтері бойынша жіктелуі, ал (2) - қосынды анықтауыштың - шы баған элементтері бойынша жіктелуі деп аталады.

9 ^º . Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель басқа бір қатардың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.

3. Матрицаларға амалдар қолдану

Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту, қосу, көбейту және кері матрица табу.

Алдымен келесі түсініктерді енгізейік.

Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса, оны диагональдік матрица дейді. - ші ретті диагональдік матрицаны келесі түрде жазуға болады

Егер мұнда болса, онда және үшін диагональдік матрица сәйкес бірлік матрица және нөлдік матрица деп аталады:

, .

Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес) матрицалар үшін де енгізіледі.

Анықтама. матрицасы мен санының көбейтіндісі деп әрбір элементі тең матрицасын айтады.

Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады:

1) - сандық көбейткіштерге қатысты ассоциативті;

2) - сандарды қосуға қатысты дистрибутивті.

Сонымен бірге теңдіктері орындалады.

Анықтама. Бірдей өлшемді мен матрицаларының қосындысы деп әрбір элементі тең, өлшемі немесе өлшеміндей, матрицасын айтады.

Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады:

1) - коммутативтік;

2) - ассоциативтік;

3) - матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік.

Анықтама. және матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері

(1)

яғни - ші жол мен - ші баған қиылысуындағы элементі матрицасының - ші жолы мен матрицасының - ші бағанының сәйкес элементтерінің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына тең болатын матрицасын айтады.

Ескерту. Анықтамадан 1 - ші матрицаның бағандар саны 2 - ші матрицаның жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.

Бұл мысалдан , яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екені көрінеді.

Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:

1) - ассоциативті;

және матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті;

3) Квадрат матрицалар үшін яғни көбейтінді анықтауышы көбейткіштер анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.

Сонымен бірге кез келген квадрат матрица үшін

яғни бірлік матрица бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны сияқты роль атқарады.

Анықтама. Егер - бірлік матрица, теңдіктері орындалса, онда матрицасы матрицасына кері деп аталады.

Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз (невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды (вырожденной) деп аталады.

Ескерту. “Нұқсанды” немесе “нұқсансыз” түсініктері тек қана квадрат матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.

теңдігінен нұқсанды матрица үшін кері матрица болмайтыны шығады ( ) .

Анықтама. квадрат матрицасы берілсе, онда оның элементтерінің алгебралық толықтауыштарынан құралған

матрицасын тіркелген матрица деп атайды.

Тіркелген матрицаны алу үшін матрицасының әрбір элементін оның алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек.

4. Кері матрица туралы

Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кері матрицалары бар және кері матрица

(2)

формуласы бойынша табылады.

5. Матрица рангі

Анықтама. матрицасының - шы ретті миноры деп матрицасының кез келген жолы мен кез келген бағандарының қиылысуындағы элементтерінен құралған матрицаны айтады.

Анықтама. матрицасының рангі деп осы матрицаның нұқсансыз минорларының ең үлкен ретін айтады да немесе символдарының біреуімен белгілейді.

Нөлдік матрица рангі нөлге тең деп есептеледі.

Егер матрицасы - ші ретті нұқсансыз квадрат матрица болса, онда ; нұқсанды, яғни болса, онда үшін ;

матрицасы өлшемді матрица болса, онда .

Матрица рангін табу үшін оның 1 -ші ретті минорынан бастап барлық минорларын нұқсансыздыққа зерттесе болғаны.

5-8 дәріс

Тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері.

1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) .

Матрицалық әдіс және Крамер ережесі

Анықтама. белгісізі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ) келесі түрде жазылады

(1)

Мұнда айнымалылары жүйенің белгісіздері, , жүйе коэффициенттері; ал , бос мүшелер деп аталады. Жүйенің барлық теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын сандары жүйенің шешімі деп аталады. Егер жүйенің шешімі бар болса, онда ол үйлесімді, ал шешімі болмаса, онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.

(1) - дегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған өлшемді матрицаны арқылы (оны жүйе матрицасы деп атайды)

бос мүшелері бағанын арқылы, ,

ал белгісіздер бағанын арқылы белгілейік.

Онда (1) САТЖ матрицалық түрде жазуға болады:

немесе қысқаша

. (2)

Егер квадрат матрица болса, онда жүйенің матрицалық түрінен кері матрицаны пайдаланып оның шешімін табуға болады.

Теорема. САТЖ - нің матрицасы нұқсансыз болса, онда оның жалғыз шешімі бар және ол келесі формуламен есептеледі:

. (3)

САТЖ - сін (3) формула арқылы шешу матрицалық әдіс деп аталады. Жүйенің Крамер ережесі деп аталатын басқа да түрде шешуін көрсетейік. (1) - С. А. Т. Ж. - ші ретті квадрат матрицасының детерминанты нөлге тең емес: болсын. Онда (1) - жүйенің жалғыз шешімі бар және ол келесі формулалар арқылы табылады:

. (4)

Мұндағы анықтауышынан оның - ші бағанын жүйенің бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы алынатын анықтауыш.

2. САТЖ зерттеудің және оның шешімін табудың

Гаусс әдісі

Матрицалық әдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар. Біріншіден, оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана қолдануға болады; екіншіден, сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз, өйткені ол әдістерді қолдану (Гаусс әдісіне қарағанда) n ² есеге жуық есептеу амалдарын жасауды керек етеді, мысалы, n>10 болса, онда бұл әдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз.

Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.

Теңдеулер жүйесін зерттеу - оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін, ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.

Анықтама. САТЖ - нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады (тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды) .

Мысалы, (1) - САТЖ матрицасы өлшемді болса, онда оның кеңейтілген матрицасы өлшемді болады:

Олардың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін.

Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.

Теорема (Кронекер-Капелли) . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, жүйе үйлесімді болады.

Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу сұрақтарын қарастырайық.

Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін - кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан болса, оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.

Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз. Сонымен және анықталды делік.

Келесі жағдайлар болуы мүмкін.

. Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.

2) . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді, сонымен бірге:

а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;

б) егер болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне тәуелді шексіз көп шешімі болады.

Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мәндес болып қалады.

3. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі

Анықтама. Егер бос мүшелерінің барлығы нольге тең болса САТЖ - сі біртекті, ал бос мүшелер бағаны нөл емес САТЖ - сі біртекті емес деп аталады.

Біртекті САТЖ - сін келесі түрде жазуға болады.

немесе матрицалық түрде . Мұнда - нөл баған.

Біртекті жүйе әрқашанда үйлесімді, өйткені, оның тривиал деп аталатын шешімі бар.

Матрицалық әдіс және Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың реті жоқ. Өйткені, егер болса, онда болады да жүйенің жалғыз тривиал шешімі бар; ал егер болса, онда бұл әдістер жарамайды.

Сондықтан, мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаусс әдісін қолданамыз.

9, 10 дәріс

Тақырыбы: Вектор ұғымы. Векторларға сызықтық амалдар қолдану.

Анықтама. Вектор деп бас нүктесі соңғы нүктесі болатын өзіне өзін параллель жылжытуға болатын, бағытталған кесіндісін айтады.

Сонымен, ұзындықтары тең және бағыттары беттесетін екі және кесіндіні жалғыз ғана векторын анықтайды деп есептеп

жазады (1-сурет) . Бұдан, вектор басы етіп кез келген нүктені алуға болатыны шығады.

Егер мен нүктелері беттессе, онда ол арқылы белгіленеді де нөл вектор деп аталады.

векторының модулі (ұзындығы) деп кесіндісінің ұзындығын айтады. Кейде деп те жазыла береді. Нөл вектордың модулі нөлге тең , оның бағыты болмайды.

Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп аталады. Нөл вектор кез келген векторға коллинеар деп есептеледі. Коллинеар векторларды арқылы белгілейді. векторына коллинеар модулі тең, бағыты вектор бағытына қарама-қарсы бағытталған вектор векторына қарама-қарсы вектор деп аталады да және арқылы белгіленеді (1-сурет) .

Анықтама. векторы мен санының көбейтіндісі деп

модулітең;
;
болса, - векторымен бағыттас, алболса, - векторына бағыты қарама-қарсывекторын айтады.

болса, онда .

Анықтама. мен векторларының қосындысы деп, векторының басы векторының ұшымен беттестірілген жағдайда, векторының басынан векторының ұшына бағытталған векторын айтады (2 - сурет) .

, векторларының қосындысын табу үшін “үшбұрыш ережесін” пайдалануға болады: кез келген нүктесіне және векторларын тұрғызса шығады; немесе “параллелограмм ережесін” пайдалануға болады; мен векторларын ортақ басына келтіреді де оларды қабырғалары етіп параллелограмм тұрғызады, оның нүктесінен шығатын диоганалі болады.

Бірнеше векторларды қосу үшін әрбір келесі векторының басын алдыңғы векторының ұшымен түйістіріп бірінші векторының басы мен соңғы векторының ұшын қосып векторын тұрғызады (3 - сурет) .

Бұл амалдар үшін келесі қасиеттер орындалады:

1 ^º . - ассоциативті (сандық көбейткіштерге қатысты) ;

2 ^º . - дистрибутивті (сандарға қосуға қатысты) ;

3 ^º . - коммутативті;

4 ^º . - ассоциативті;

5 ^º . - дистрибутивті (векторларды қосуға қатысты) .

Анықтама. мен векторларының айырымы деп векторымен қосындысы векторына тең болатындай векторын айтады, яғни болса, онда .

Бір нүктеден шығатын мен векторының айырымын салу үшін векторының ұшын векторының ұшымен қосатын вектор тұрғызса болғаны немесе (4 - сурет) .

- теңдігінің дұрыстығын тексеру қиын емес.

Анықтама. векторларының комбинациясы деп векторын айтады. Мұнда -сандар.

Анықтама. Бір жазықтыққа параллель векторлары компланар деп аталады.

Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары

Векторлық кеңістік деп кез келген сызықтық комбинациясы осы кеңістікте жататын векторлар жиынын айтады. Кез келген векторлық кеңістікте бірнеше векторларды таңдап алып осы кеңістіктің әрбір векторын, осы векторлардың бір мәнді сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады. Мұндай векторларды базистік деп атайды. Қысқа болу үшін түзу, жазықтық және кеңістік деп сәйкес векторлық түзу, векторлық жазықтық және векторлық кеңістіктерді атайтын боламыз.

Анықтама. Түзудегі әрбір нөл емес векторы түзу базисі деп аталады. Кез келген коллинеар емес векторлар жұбы жазықтық базисі деп аталады. Кез келген компланар емес векторлар үштігі кеңістік базисі деп аталады.

Базис туралы теорема. Кеңістіктің әрбір векторы базистік векторлардың сызықтық комбинациясы болады және ол вектор үшін мұндай комбинация жалғыз ғана болады:

. (1)

Анықтама. Егер (*) теңдігінен шықса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.

Егер (*) теңдігі орындалатындай барлығы бірдей бір мезгілде нөл емес сандары бар болса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп аталады. Анық болу үшін деп алсақ, онда

Сонымен, егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болса, онда олардың бірі, қалған векторлардың сызықтық комбинациясы болады.

Ескерту. Базистік векторлар туралы теорема дәлелдемесінен: базистік векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болатынын көреміз.

(1) теңдікті векторының базисі бойынша жіктелуі деп атайды да, - сандарын векторының базисіндегі координаталары деп атайды және деп жазады.

1-теорема. Векторларды қосқанда олардың сәйкес координаталары қосылады, ол векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға көбейтіледі.

2-теорема. Екі вектор тең болуы үшін олардың сәйкес координаталарының тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни болса, онда

3-теорема. (Координаталы векторлардың коллинеарлық белгісі) және берілсін. Онда

яғни векторлары коллинеар болуы үшін олардың сәйкес координаталарының пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.

Кеңістікте тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. Бұл жүйемен байланыста болатын, сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің бойында орналасқан бірлік векторлары кеңістік базисін құрайды (5 - сурет) . Оларды сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің орттары деп атайды.

Кеңістіктің кез келген нүктесін алайық. векторы (басы координаталар бас нүктесінде, ұшы нүктесі болатын) - нүктесінің радиус-векторы деп аталады. Егер болса, онда теңдігін жаза аламыз. Шынында да, болғандықтан

Тік бұрышты координаталар жүйесінде , нүктелері берілсе, онда

Расында да,

Кейде базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу ыңғайлы.

векторының бағытталған түзуіне проекциясы деп векторын айтады, мұндағы , нүктелері мен нүктелерінің түзуіне проекциялары (6-сурет) .

- векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер мен -нің арасындағы бұрыш сүйір, яғни болса, онда оның бағыты түзуінің бағытымен беттеседі де, ал доғал,

болса, онда - векторы түзуінің бағытына қарама-қарсы болады. Сондықтан, векторының бағытталған - түзуіне проекциясын келесі түрде анықтайды.

Анықтама. векторының - бағытталған түзуге проекциясы деп вектор ұзындығының векторы мен - түзуінің бағыты арасындағы бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады:

. (1)

векторларының берілген бағытқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:

1 ^º . ; (2)

2 ^º . (3)

3 ^º. (4)

аламыз.

11, 12 дәріс

Тақырыбы: Векторлардың скаляр көбейтіндісі

Анықтама. мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрышының косинусының көбейтіндісіне тең (немесе ) санын айтады:

. (5)

(1) - теңдікті ескеріп (5) - теңдікті келесі түрде де жаза аламыз:

. (6)

Скаляр көбейтіндінің арифметикалық қасиеттері:

, (7)

, (8)

. (9)

Нөл емес векторлары үшін:

(векторлары ортогональ) ;
- сүйір бұрыш;
- доғал бұрыш.

Кез келген векторы үшін

. (10)

Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары үшін

, (11)

. (12)

Егер базисінде , векторлары берілсе, онда

. (13)

Дербес жағдайда болса, онда (10) және (13) теңдіктерден

бұдан векторының ұзындығын аламыз:

. (14)

Егер , берілсе, онда (14) теңдіктен мен нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады

(15)

және векторларының арасындағы бұрышы

(16)

тең.

(16) - теңдіктен және векторларының ортогональдық белгісін алуға болады:

(17)

Скаляр көбейтіндінің механикалық мағынасы. күшінің векторына скаляр көбейтіндісі, материалдық нүктенің осы күш әсерінен векторы бойымен қозғалғандағы жұмысқа тең, яғни .

Скаляр көбейтіндінің геометриялық қасиеттері:

1. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болғанда, тек сонда ғана олар өзара перпендикулр болады: .

2. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі оң (теріс), яғни болғанда, тек сонда ғана олар өзара сүйір (доғал) бұрыштар жасайды.

13, 14, 15- дәріс

Тақырыбы: Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі

Анықтама. - бастары ортақ бір нүктесіне келтірілген, компланар емес, реттелген векторлар үштігі болып вектор ұшынан қарағанда - нан - на жақын тұспен бұрылу сағат тілінің бағытына қарама-қарсы бағытта болса, онда - оң үштік векторлар, сағат тілі бағытымен бірдей болса - теріс үштік векторлар деп аталады.