Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері
1. Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың қасиеттері
2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
3. Матрицаларға амалдар қолдану
4. Кері матрица туралы
5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).
Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
6. САТЖ зерттеудің және оның шешімін табудың
7. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
8. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары
9. Векторлардың скаляр көбейтіндісі
10. Скаляр көбейтіндінің геометриялық қасиеттері
11. Жазықтықтағы және кеңістіктегі координаталар жүйесі.
2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
3. Матрицаларға амалдар қолдану
4. Кері матрица туралы
5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).
Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
6. САТЖ зерттеудің және оның шешімін табудың
7. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
8. Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары
9. Векторлардың скаляр көбейтіндісі
10. Скаляр көбейтіндінің геометриялық қасиеттері
11. Жазықтықтағы және кеңістіктегі координаталар жүйесі.
Матрицалық әдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар. Біріншіден, оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана қолдануға болады; екіншіден, сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз, өйткені ол әдістерді қолдану (Гаусс әдісіне қарағанда) n2 есеге жуық есептеу амалдарын жасауды керек етеді, мысалы, n>10 болса, онда бұл әдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз.
Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.
Теңдеулер жүйесін зерттеу - оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін, ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.
Анықтама. САТЖ - нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады (тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды).
Мысалы, (1) - САТЖ матрицасы өлшемді болса, онда оның кеңейтілген матрицасы өлшемді болады:
.
Олардың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін.
Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.
Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, жүйе үйлесімді болады.
Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін – кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан болса, оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз. Сонымен және анықталды делік.
Келесі жағдайлар болуы мүмкін.
1) . Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.
2) . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді, сонымен бірге:
а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;
б) егер болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне тәуелді шексіз көп шешімі болады.
Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мәндес болып қалады.
Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға (жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.
Теңдеулер жүйесін зерттеу - оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін, ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.
Анықтама. САТЖ - нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады (тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды).
Мысалы, (1) - САТЖ матрицасы өлшемді болса, онда оның кеңейтілген матрицасы өлшемді болады:
.
Олардың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін.
Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.
Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, жүйе үйлесімді болады.
Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін – кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан болса, оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз. Сонымен және анықталды делік.
Келесі жағдайлар болуы мүмкін.
1) . Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.
2) . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді, сонымен бірге:
а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;
б) егер болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне тәуелді шексіз көп шешімі болады.
Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мәндес болып қалады.
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры- М.: Физлимит, 2006г.
2.Беклемишев Л.А.и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Физлимит, 2003г.
3.Бугров С.Я ,Никольский С.М. Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.- М.Дрофа,2005г.
4.Ильин В.А, Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. Физлимит,2006
5.Ильин В.А, Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука 1978,304 с
6..Костыркин А.И., Введение в алгебру. Основы алгебры.-М. Физлимит,2004г.
7..Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.- М.,Лань,2005г.
8..Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М. Физлимит,2001г.
9..Бутузов В.Ф., Круитицкая Н.Ч. и др. Линейная алгебра в вопросах и задачах. -М. Физлимит,2002
10.Петрова В.А. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для Вузов: 2часть.- М.:Гуманит.Изд.Центр ВЛАДОС,1999.,-ч.2-344с
11. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
12.Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
13. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.
14.Көксалов Қ. Жоғары математика. –Алматы, 2002ж.
15.Щипачев В.С. Высшая математика. М; Высшая школа. 2002г.
16. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғарғы математика (оқу құралы)-Алматы, ҚБТУ, 2004, 440 бет.
2.Беклемишев Л.А.и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Физлимит, 2003г.
3.Бугров С.Я ,Никольский С.М. Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.- М.Дрофа,2005г.
4.Ильин В.А, Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М. Физлимит,2006
5.Ильин В.А, Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука 1978,304 с
6..Костыркин А.И., Введение в алгебру. Основы алгебры.-М. Физлимит,2004г.
7..Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.- М.,Лань,2005г.
8..Кадомцев С.Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М. Физлимит,2001г.
9..Бутузов В.Ф., Круитицкая Н.Ч. и др. Линейная алгебра в вопросах и задачах. -М. Физлимит,2002
10.Петрова В.А. Лекции по алгебре и геометрии: Учебник для Вузов: 2часть.- М.:Гуманит.Изд.Центр ВЛАДОС,1999.,-ч.2-344с
11. Әубәкір С.Б. Жоғары математика. 1-2 бөлім. – Алматы, ҚАЗҰУ, 2000 ж.
12.Қасымов Қ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы. –Алматы, Санат, 1994ж.
13. Қабдықайыров Қ. Жоғары математика.-Алматы, РБК, 1993.
14.Көксалов Қ. Жоғары математика. –Алматы, 2002ж.
15.Щипачев В.С. Высшая математика. М; Высшая школа. 2002г.
16. Дүйсек А.К., Қасымбеков С.К. Жоғарғы математика (оқу құралы)-Алматы, ҚБТУ, 2004, 440 бет.
Матрицалар. Екінші және үшінші ретті анықтауыштар. Анықтауыштардың
қасиеттері
Анықтама. өлшемді матрица деп,
(1)
түріндегі – жол (жатық жол) және – бағаннан (тік жолдан)
тұратын – түріндегі сандар кестесін айтады.
- сандары оның элементтері деп аталады. Мұндағы 1 - ші индекс осы
элемент тұрған жол нөмірін, ал 2 - ші индекс баған нөмірін білдіреді.
болса, онда (1) - квадрат матрица деп аталады. бұл жағдайда (немесе
) саны оның ретін көрсетеді. - ші ретті квадрат матрица
элементтен тұратыны түсінікті.
Матрица - ғылыми-техникалық және экономикалық есептерде кестелік
ақпараттарды жазу үшін қолданылады; бағдарламалау саласында матрицаларды
екі өлшемді массивтер деп атайды.
Кейде ыңғайлы болу үшін матрицаның өлшемін индекске жазады: .
өлшемді және матрицаларының сәйкес элементтері тең болса,
(), онда олар тең матрицалар деп аталады да деп белгіленеді.
Квадрат матрица үшін осы матрицадан туындаған анықтауыш матрица
анықтауышы деп аталатын санын қарастыруға болады. Кейде анықтауыш
(ағыл. Детерминант-анықтауыш) немесе арқылы белгіленеді.
2 - ші ретті матрица анықтауышы деп
(2)
санын айтады.
3 - ші ретті матрица анықтауышы деп
(3)
санын айтады. (3) анықтауыштың мәнін үшбұрыш ережесі арқылы есептейік. Оны
еске ұстау үшін келесі схемалық жазу пайдаланылады:
+ + + _
_ _
- элементтері орналасқан кесінді анықтауыштың бас диагоналі, ал
- элементтері орналасқан кесінді оның бүйір диагоналі деп аталады.
Анықтама. матрицасының жолдарын сәйкес бағандар етіп орнын
алмастырудан алынған матрицасы матрицасының транспонирленген
матрицасы деп аталынады.
мен матрицаларының элементтері бас диагоналға салыстырғанда
симметриялы орналасқан.
Жолдарды бағандармен алмастыру амалы транспонирлеу деп аталады.
aнықтауышынан транспонирлеу арқылы алынған анықтауышты
арқылы белгілейтін боламыз.
Енді анықтауыштардың қасиеттерін қарастырайық. Түсінікті болу үшін
оларды 3 - ші ретті анықтауыштар үшін тұжырымдаймыз, алайда бұл қасиеттер
реті кез келген анықтауыш үшін орындалады.
Кейбір жағдайларда сөйлем ықшамырақ болу үшін “жол немесе баған” деген
сөзді “қатар” деп атайтын боламыз.
1º. Транспонирленген анықтауыштың мәні өзгермейді:
,
яғни
2º. Анықтауыштың екі параллель қатарын орнын алмастырғаннан (бұл амал
екі параллель қатарды транспозициялау деп аталады) анықтауыштың таңбасы
өзгереді.
3º. Параллель екі қатары бірдей (сәйкес элементтері тең) анықтауыш нөлге
тең.
4. Егер қандай да бір қатардың барлық элементтері санына
көбейтілсе, онда анықтауыш мәні санына көбейтіледі, басқаша айтқанда,
қатардың ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.
Салдар. Егер екі параллель қатарлардың сәйкес элементтері пропорционал
болса, онда анықтауыш нөльге тең.
5º. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтері нөлге
тең (нөл қатар) болса, онда анықтауыш мәні нөльге тең.
Бұл қасиет 4º - тен үшін алынады.
6º. Егер анықтауыштың белгілі бір қатарының әрбір элементі екі
қосылғыштың қосындысы етіп берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың
қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сәйкес қатары бірінші қосылғыштардан,
ал екінші анықтауыштың сәйкес қатары екінші қосылғыш-тардан тұрады да, бұл
екі анықтауыштың қалған сәйкес қатарлары өзара тең элементтерден тұрады.
7º. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы
қатарға параллель қатардың сәйкес элементтерін кез келген санына
көбейтіп қосса анықтауыш мәні өзгермейді.
Бұл қасиеттің дұрыстығын 6º, 4º және 3º қасиеттерді қолдана отырып
көз жеткізуге болады.
2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу.
Анықтама. квадрат матрицасының - элементінің миноры деп
элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап матрицасының қалған
қатарларынан құралған матрицаны айтады.
- ші ретті матрицасының элементінің миноры реті
“” тең квадрат матрица болады. Oны арқылы белгілейміз.
Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың
элементінің минорын арқылы белгілесек, онда =.
Мысалы: болса,
онда , .
Анықтама. элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп
санын айтады.
8º. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың
алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш
шамасына тең:
(1)
(2)
(1) - қосынды анықтауыштың -ші жол элементтері бойынша жіктелуі,
ал (2) - қосынды анықтауыштың - шы баған элементтері бойынша
жіктелуі деп аталады.
9º. Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель
басқа бір қатардың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының
көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.
3. Матрицаларға амалдар қолдану
Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту,
қосу, көбейту және кері матрица табу.
Алдымен келесі түсініктерді енгізейік.
Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ
элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса, оны
диагональдік матрица дейді. - ші ретті диагональдік матрицаны келесі
түрде жазуға болады
.
Егер мұнда болса, онда және үшін диагональдік матрица
сәйкес бірлік матрица және нөлдік матрица деп аталады:
, .
Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес)
матрицалар үшін де енгізіледі.
Анықтама. матрицасы мен санының көбейтіндісі
деп әрбір элементі тең матрицасын айтады.
Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады:
1) – сандық көбейткіштерге қатысты ассоциативті;
2) – сандарды қосуға қатысты дистрибутивті.
Сонымен бірге теңдіктері орындалады.
Анықтама. Бірдей өлшемді мен матрицаларының қосындысы деп
әрбір элементі тең, өлшемі немесе өлшеміндей,
матрицасын айтады.
Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады:
1) – коммутативтік;
2) - ассоциативтік;
3) - матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік.
Анықтама. және матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері
(1)
яғни - ші жол мен - ші баған қиылысуындағы элементі
матрицасының - ші жолы мен матрицасының - ші бағанының
сәйкес элементтерінің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына тең болатын
матрицасын айтады.
Ескерту. Анықтамадан 1 - ші матрицаның бағандар саны 2 - ші матрицаның
жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.
Бұл мысалдан , яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екені
көрінеді.
Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:
1) - ассоциативті;
2) және матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті;
3) Квадрат матрицалар үшін яғни көбейтінді анықтауышы көбейткіштер
анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.
Сонымен бірге кез келген квадрат матрица үшін
,
яғни бірлік матрица бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны
сияқты роль атқарады.
Анықтама. Егер - бірлік матрица, теңдіктері орындалса, онда
матрицасы матрицасына кері деп аталады.
Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз
(невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды
(вырожденной) деп аталады.
Ескерту. “Нұқсанды” немесе “нұқсансыз” түсініктері тек қана квадрат
матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.
теңдігінен нұқсанды матрица үшін кері матрица болмайтыны шығады
().
Анықтама. квадрат матрицасы берілсе, онда оның
элементтерінің алгебралық толықтауыштарынан құралған
матрицасын тіркелген матрица деп атайды.
Тіркелген матрицаны алу үшін матрицасының әрбір элементін оның
алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек.
4. Кері матрица туралы
Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кері матрицалары бар
және кері матрица
(2)
формуласы бойынша табылады.
5. Матрица рангі
Анықтама. матрицасының - шы ретті миноры деп
матрицасының кез келген жолы мен кез келген бағандарының
қиылысуындағы элементтерінен құралған матрицаны айтады.
Анықтама. матрицасының рангі деп осы матрицаның нұқсансыз
минорларының ең үлкен ретін айтады да немесе символдарының
біреуімен белгілейді.
Нөлдік матрица рангі нөлге тең деп есептеледі.
Егер матрицасы - ші ретті нұқсансыз квадрат матрица болса,
онда ; нұқсанды, яғни болса, онда үшін ;
матрицасы өлшемді матрица болса, онда .
Матрица рангін табу үшін оның 1 -ші ретті минорынан бастап барлық
минорларын нұқсансыздыққа зерттесе болғаны.
5-8 дәріс
Тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері.
1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).
Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
Анықтама. белгісізі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
(САТЖ) келесі түрде жазылады
(1)
Мұнда айнымалылары жүйенің белгісіздері, , жүйе
коэффициенттері; ал , бос мүшелер деп аталады. Жүйенің барлық
теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын сандары жүйенің шешімі деп
аталады. Егер жүйенің шешімі бар болса, онда ол үйлесімді, ал шешімі
болмаса, онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
(1) - дегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған өлшемді
матрицаны арқылы (оны жүйе матрицасы деп атайды)
,
бос мүшелері бағанын арқылы, ,
ал белгісіздер бағанын арқылыбелгілейік.
Онда (1) САТЖ матрицалық түрде жазуға болады:
,
немесе қысқаша
. (2)
Егер квадрат матрица болса, онда жүйенің матрицалық түрінен кері
матрицаны пайдаланып оның шешімін табуға болады.
Теорема. САТЖ - нің матрицасы нұқсансыз болса, онда оның жалғыз шешімі
бар және ол келесі формуламен есептеледі:
. (3)
САТЖ - сін (3) формула арқылы шешу матрицалық әдіс деп аталады. Жүйенің
Крамер ережесі деп аталатын басқа да түрде шешуін көрсетейік. (1) -
С.А.Т.Ж. - ші ретті квадрат матрицасының детерминанты нөлге тең емес:
болсын. Онда (1) - жүйенің жалғыз шешімі бар және ол келесі
формулалар арқылы табылады:
. (4)
Мұндағы анықтауышынан оның - ші бағанын жүйенің бос мүшелер
бағанымен ауыстыру арқылы алынатын анықтауыш.
2. САТЖ зерттеудің және оның шешімін табудың
Гаусс әдісі
Матрицалық әдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар.
Біріншіден, оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана
қолдануға болады; екіншіден, сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз,
өйткені ол әдістерді қолдану (Гаусс әдісіне қарағанда) n2 есеге жуық
есептеу амалдарын жасауды керек етеді, мысалы, n10 болса, онда бұл
әдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз.
Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана
емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға
(жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.
Теңдеулер жүйесін зерттеу - оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін,
ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.
Анықтама. САТЖ - нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң
жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады
(тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды).
Мысалы, (1) - САТЖ матрицасы өлшемді болса, онда оның кеңейтілген
матрицасы өлшемді болады:
.
Олардың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін.
Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.
Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің
матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, жүйе
үйлесімді болады.
Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу
сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін
– кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын
өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес
матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан
болса, оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз.
Сонымен және анықталды делік.
Келесі жағдайлар болуы мүмкін.
1) . Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер
жүйесі үйлесімсіз.
2) . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді,
сонымен бірге:
а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең
болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;
б) егер болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне
тәуелді шексіз көп шешімі болады.
Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын
өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мәндес болып қалады.
3. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
Анықтама. Егер бос мүшелерінің барлығы нольге тең болса САТЖ - сі
біртекті, ал бос мүшелер бағаны нөл емес САТЖ - сі біртекті емес деп
аталады.
Біртекті САТЖ - сін келесі түрде жазуға болады.
немесе матрицалық түрде . Мұнда – нөл баған.
Біртекті жүйе әрқашанда үйлесімді, өйткені, оның тривиал деп аталатын
шешімі бар.
Матрицалық әдіс және Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың
реті жоқ. Өйткені, егер болса, онда болады да жүйенің
жалғыз тривиал шешімі бар; ал егер болса, онда бұл әдістер
жарамайды.
Сондықтан, мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаусс әдісін
қолданамыз.
9,10 дәріс
Тақырыбы: Вектор ұғымы. Векторларға сызықтық амалдар қолдану.
Анықтама. Вектор деп бас нүктесі соңғы нүктесі болатын
өзіне өзін параллель жылжытуға болатын, бағытталған кесіндісін
айтады.
Сонымен, ұзындықтары тең және бағыттары беттесетін екі және
кесіндіні жалғыз ғана векторын анықтайды деп есептеп
жазады (1-сурет). Бұдан, вектор басы етіп кез келген нүктені алуға болатыны
шығады.
Егер мен нүктелері беттессе, онда ол арқылы
белгіленеді де нөл вектор деп аталады.
векторының модулі (ұзындығы) деп кесіндісінің ұзындығын
айтады. Кейде деп те жазыла береді. Нөл вектордың модулі нөлге тең
, оның бағыты болмайды.
Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп
аталады. Нөл вектор кез келген векторға коллинеар деп есептеледі. Коллинеар
векторларды арқылы белгілейді. векторына коллинеар модулі
тең, бағыты вектор бағытына қарама-қарсы бағытталған вектор
векторына қарама-қарсы вектор деп аталады да және арқылы
белгіленеді (1-сурет).
Анықтама. векторы мен санының көбейтіндісі деп
1) модулі тең;
2) ;
3) болса, - векторымен бағыттас, ал болса, -
векторына бағыты қарама-қарсы векторын айтады.
болса, онда .
Анықтама. мен векторларының қосындысы деп,
векторының басы векторының ұшымен беттестірілген жағдайда,
векторының басынан векторының ұшына бағытталған векторын айтады
(2 - сурет).
, векторларының қосындысын табу үшін “үшбұрыш ережесін”
пайдалануға болады: кез келген нүктесіне және векторларын
тұрғызса шығады; немесе “параллелограмм ережесін” пайдалануға болады;
мен векторларын ортақ басына келтіреді де оларды
қабырғалары етіп параллелограмм тұрғызады, оның нүктесінен шығатын
диоганалі болады.
Бірнеше векторларды қосу үшін әрбір келесі векторының басын
алдыңғы векторының ұшымен түйістіріп бірінші векторының басы
мен соңғы векторының ұшын қосып векторын тұрғызады (3 - сурет).
Бұл амалдар үшін келесі қасиеттер орындалады:
1º. – ассоциативті (сандық көбейткіштерге қатысты);
2º. – дистрибутивті (сандарға қосуға қатысты);
3º. – коммутативті;
4º. – ассоциативті;
5º. - дистрибутивті (векторларды қосуға қатысты).
Анықтама. мен векторларының айырымы деп
векторымен қосындысы векторына тең болатындай векторын айтады,
яғни болса, онда .
Бір нүктеден шығатын мен векторының айырымын салу үшін
векторының ұшын векторының ұшымен қосатын вектор тұрғызса
болғаны немесе (4 - сурет).
– теңдігінің дұрыстығын тексеру қиын емес.
Анықтама. векторларының комбинациясы деп векторын айтады.
Мұнда –сандар.
Анықтама. Бір жазықтыққа параллель векторлары компланар деп
аталады.
Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары
Векторлық кеңістік деп кез келген сызықтық комбинациясы осы кеңістікте
жататын векторлар жиынын айтады. Кез келген векторлық кеңістікте бірнеше
векторларды таңдап алып осы кеңістіктің әрбір векторын, осы векторлардың
бір мәнді сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады. Мұндай векторларды
базистік деп атайды. Қысқа болу үшін түзу, жазықтық және кеңістік деп
сәйкес векторлық түзу, векторлық жазықтық және векторлық кеңістіктерді
атайтын боламыз.
Анықтама. Түзудегі әрбір нөл емес векторы түзу базисі деп аталады.
Кез келген коллинеар емес векторлар жұбы жазықтық базисі деп аталады.
Кез келген компланар емес векторлар үштігі кеңістік базисі деп
аталады.
Базис туралы теорема. Кеңістіктің әрбір векторы базистік
векторлардың сызықтық комбинациясы болады және ол вектор үшін мұндай
комбинация жалғыз ғана болады:
. (1)
Анықтама. Егер (*) теңдігінен шықса, онда векторлар
жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
Егер (*) теңдігі орындалатындай барлығы бірдей бір мезгілде нөл емес
сандары бар болса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп
аталады. Анық болу үшін деп алсақ, онда
.
Сонымен, егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болса, онда
олардың бірі, қалған векторлардың сызықтық комбинациясы болады.
Ескерту. Базистік векторлар туралы теорема дәлелдемесінен: базистік
векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болатынын көреміз.
(1) теңдікті векторының базисі бойынша жіктелуі деп атайды
да, - сандарын векторының базисіндегі координаталары деп
атайды және деп жазады.
1-теорема. Векторларды қосқанда олардың сәйкес координаталары қосылады,
ол векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға
көбейтіледі.
2-теорема. Екі вектор тең болуы үшін олардың сәйкес координаталарының
тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни болса, онда
.
3-теорема. (Координаталы векторлардың коллинеарлық белгісі) және
берілсін. Онда
,
яғни векторлары коллинеар болуы үшін олардың сәйкес координаталарының
пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.
Кеңістікте тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. Бұл
жүйемен байланыста болатын, сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің бойында орналасқан
бірлік векторлары кеңістік базисін құрайды (5 - сурет). Оларды
сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің орттары деп атайды.
Кеңістіктің кез келген нүктесін алайық. векторы (басы
координаталар бас нүктесінде, ұшы нүктесі болатын) - нүктесінің
радиус-векторы деп аталады. Егер болса, онда теңдігін жаза
аламыз. Шынында да, болғандықтан
.
Тік бұрышты координаталар жүйесінде , нүктелері берілсе, онда
.
Расында да,
.
Кейде базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу
ыңғайлы.
векторының бағытталған түзуіне проекциясы деп
векторын айтады, мұндағы , нүктелері мен
нүктелерінің түзуіне проекциялары (6-сурет).
.
- векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер мен -нің
арасындағы бұрыш сүйір, яғни болса, онда оның бағыты түзуінің
бағытымен беттеседі де, ал доғал,
болса, онда - векторы түзуінің бағытына қарама-қарсы болады.
Сондықтан, векторының бағытталған - түзуіне проекциясын келесі
түрде анықтайды.
Анықтама. векторының – бағытталған түзуге проекциясы деп
вектор ұзындығының векторы мен – түзуінің бағыты
арасындағы бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады:
. (1)
векторларының берілген бағытқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:
1º. ; (2)
2º. (3)
3º. (4)
аламыз.
11,12 дәріс
Тақырыбы: Векторлардың скаляр көбейтіндісі
Анықтама. мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы
векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрышының косинусының
көбейтіндісіне тең (немесе ) санын айтады:
. (5)
(1) – теңдікті ескеріп (5) – теңдікті келесі түрде де жаза аламыз:
. (6)
Скаляр көбейтіндінің арифметикалық қасиеттері:
, (7)
, (8)
. (9)
Нөл емес векторлары үшін:
1) (векторлары ортогональ);
2) – сүйір бұрыш;
3) – доғал бұрыш.
Кез келген векторы үшін
. (10)
Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары
үшін
, (11)
. (12)
Егер базисінде , векторлары берілсе, онда
. (13)
Дербес жағдайда болса, онда (10) және (13) теңдіктерден
,
бұдан векторының ұзындығын аламыз:
. (14)
Егер , берілсе, онда (14) теңдіктен мен
нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады
(15)
және векторларының арасындағы бұрышы
(16)
тең.
(16) - теңдіктен және векторларының ортогональдық
белгісін алуға болады:
(17)
Скаляр көбейтіндінің механикалық мағынасы. күшінің векторына
скаляр көбейтіндісі, материалдық нүктенің осы күш әсерінен векторы
бойымен қозғалғандағы жұмысқа тең, яғни .
Скаляр көбейтіндінің геометриялық қасиеттері:
1. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге
тең болғанда, тек сонда ғана олар өзара перпендикулр болады: .
2. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі оң
(теріс), яғни болғанда, тек сонда ғана олар өзара сүйір (доғал)
бұрыштар жасайды.
13,14,15- дәріс
Тақырыбы: Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі
Анықтама. - бастары ортақ бір нүктесіне келтірілген,
компланар емес, реттелген векторлар үштігі болып вектор ұшынан
қарағанда - нан - на жақын тұспен бұрылу сағат тілінің бағытына
қарама-қарсы бағытта болса, онда - оң үштік векторлар, сағат тілі
бағытымен бірдей болса - теріс үштік векторлар деп аталады.
Анықтама. мен векторларының векторлық көбейтіндісі деп
келесі үш шартты қанағаттандыратын векторын айтады:
1) векторының модулі мен векторларының модульдері
мен осы екі вектор арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісіне
тең:
2) әрбір және векторларына ортогональ, яғни ол
мен арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр;
3) векторлары реттелген оң үштік векторлар.
Мысалы (1)
Векторлы көбейтінді үшін негізгі келесі үш қасиет орындалады:
10. - антикоммутативтік, яғни векторлық көбейтінді ауыстырымдылық
заңына бағынбайды;
20. - дистрибутивтік (векторларды қосуға қатысты);
30. - ассоциативтік (санға көбейтуге қатысты);
Сонымен бірге келесі қасиеттер де орындалады:
а) , яғни мен векторларының векторлық көбейтіндісі нөл
вектор болса және тек сонда ғана олар коллинеар болады;
б) мен векторларына салынған параллелограмм ауданы
тең.
в) Егер базисінде векторлары берілсе, онда ,
немесе (символдық
анықтауыш арқылы) түрінде жазылады.
Механикалық мағынасы. күші N нүктесіне әсер етсін, онда А
нүуктесіне қатысты осы күштің инерция моменті және
векторларының векторлық көбейтіндісіне тең, яғни
Дербес жағдайда, координатаның бас нүктесіне қатысты инерция моменті
мынаған тең., мұндағы r-нүктеге әсер етуші радиус-векторы.
Векторлардың аралас көбейтіндісі
Анықтама. ,, векторларының аралас көбейтіндісі деп
, векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының
скаляр көбейтіндісін айтады: .
Егер базисінде болса, онда
. (1)
Скаляр көбейтіндінің анықтамасына сүйеніп (1) -ні келесі түрде жазуға
болады
Векторлардың аралас көбейтіндісінің геометриялық мағынасы мынадай:
, мұндағы V-көбейткіш векторларда тұрғызылған паралелипипедтің көлемі.
Егер үштік вектор оң болса, + таңбамен, сол жақ болса - таңбамен
алынады.
Мұндағы шамасы , векторларына салынған
параллелограмм ауданы, ал ,, - векторларына салынған
параллелепипедтің жағына жүргізілген биіктік (7 - сурет)
екенін ескерсек, онда - аралас көбейтіндісі ,,
векторларына салынған параллелепипед көлемін “+” таңбасымен
(,, оң үштік векторлар болса) немесе “-” таңбасымен
(,, теріс үштік векторлар болса) беретінін көруге болады.
Сонымен, ,, векторларына салынған параллелепипед көлемі осы
үш вектордың аралас көбейтіндісінің модуліне тең болады екен,
. (2)
(1) - теңдіктен анықтауыштың қасиетін қолдана отырып келесі
қатынастарды аламыз
, (3)
(4)
Скаляр көбейтіндісінің коммутативтік қасиеті бойынша
болатынын ескерсек, онда (3) - қатыстардың бірінші теңдігі
түрінде жазылады, ал бұл теңдік векторлардың аралас көбейтіндісін
символымен белгілеуге мүмкіндік береді:
=. (5)
2) ,, векторлары компланар болуы үшін олардың аралас
көбейтіндісі нөлге тең болуы, яғни,
=0 (6)
қажетті және жеткілікті.
16-17 дәріс
Тақырыбы: Жазықтықтағы және кеңістіктегі координаталар жүйесі.
1. Координаталардың поляр жүйесі. Жазықтықтың кез келген О нүктесі мен сол
О нүктесінен шығатын ОР сәулесі алынсын. О нүктесі полюс деп, ОР сәулесі
поляр өс деп аталады. Поляр өстің оң бағыты О нүктесінен Р нүктесіне қарай
алынады. Поляр өсі де, абсциссалар өсі сыяқты, О нүктесінен бастап, тиісті
масштаб бойынша тең бөліктерге бөлінеді.
Жазықтықтың поляр өсінен тысқары жатқан бір М нүктесі берілсін.
Кесінді арқылы О және М нүктелерін қосуға болады. Мұның нәтижесінде екі
тиянақты шама шығады: және . Сонда М нүктесінің орнын мен
шамалары толық анықтайды. саны М нүктесінің радиус – векторы
(немесе полярлық радиусы деп, саны М нүктесінің полярлық бұрышы деп
аталады. Мұны әдетте түрінде жазады. бұрышы радианмен өлшенеді,
бағыты сағат тілінің қозғалысына қарсы алынады (1-сурет)
Полюс, поляр өсі және масштаб координаталардың поляр жүйесін құрайды.
мен сандары нүктенің поляр координаталары деп аталады. ОМ
кесіндісінің ұзындығы еш уақытта теріс сан бола алмайды, сондықтан .
Сонымен қатар бұрышы 0 мен аралығында (), деп есептеледі.
Декарттық координатал жүйесінің бас нүктесін, поляр жүйесінің
басымен, ал ОХ өсі ОР поляр өсі бойымен кететіндей етіп таңдап алсақ, онда
әрбір М нүктесі үшін полярлық координаталар мен декарттың
координаталар жүйесі арасында мынадай байланыс бар: . Бұл формуладан
Полярлық координаталр арқылы берілген және екі нүктенің
арақашықтығы формуласы бойынша есептеліп шығарылады.
2. Сызықтың полярлық теңдеуі. Полярлық координаталар жүйесінде сызықтық
теңдеуі теңдеуімен берілген. Бұл теңдеу полярлық координаталарды
сызықтың ағымдағы нүктесімен арасындағы байланысты тағайындайды. Егер бұл
теңдеуді -ға қатысты шешу мүмкін болса, сызықтың полярлық теңдеуі
түріне ин болады. Егер функциясы периодсыз болса, онда бірінші
периодта ғана шектеліп қалмай -ге кез келген мән беруге болады.
Сызықтың декарт координаталар жүйесінде теңдеуінен полярлық
теңдеуіне көшу үшін, декарттық теңдеуіндегі х пен н-тің орнына
Формуласындағы өрнекті қою керек. Керісінше, полярлық теңдеуінен
декарттық теңдеуге көшу үшін және формулалары қолданылады.
3. Координаталар жүйесін түрлендіру. Координаталардың поляр жүйесінен
декарттық жүйесіне және керісінше көшуден басқа, бір декарттық
координаталар жүйесінен екінші декарттық жүйеге көшуге болады.
Кез келген аху координаталар жүйесінде нүктесі берілсін.
Өстердің бағытын өзгертпей, координаталар басын нүктесіне көшіріп,
жүйесін табайық. Егер жаңа жүйеде М нүктесінің координаталары
болса, онда М нүктесінің бұрынға және жаңа жүйедегі координаталарының
арасындағы байланыс формулаларымен өрнектеледі. Мұндай түрлендіруді
координаталар басын көшіру дейді. Енді координаталар басын өзгертпей,
координаталар өсін бұрышқа бұрайық. Жаңа жүйедегі М нүктесінің
координаталары болса, онда нүктенің бұрынғы және жаңа жүйедегі
координаталары арасындағы байланыс формулаларымен өрнектеледі. Бұл
түрлендіру өстерді бұру деп аталады. Ал жалпы түрлендіруде координаталар
басы нүктесіне көшіріледі, координаталар өстері бұрышына
бұрылады. Мұндай түрлендіру формулаларымен өрнектеледі.
4. Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі. Нүктенің және
вектордың координаттары.
Кеңістіктегі нүктенің координаттарын анықтау үшін кез келген бір О
нүктесін алып, сол нүктеден бір-біріне перпендикуляр болатын үш өсті
жүргізеді.
Бір нүктеде қиылысатын, ұзындық өлшемдері бірдей, өзара
перпендикуляр, реттелген үш координат өсін кеңістіктегі тік бұрышты
декарттық координаталар жүйесі деп атайды. ОХ-абсцисса, ОУ-ордината, ОZ-
аппликата өсі, ОХ, ОУ, ОZ-координаттар өсі, ал О координатаның бас нүктесі
деп аталады.
Кеңістікте берілген М нүктесін О нүктесімен қосатын векторы М
нүктесінің радиус векторы деп аталады. Сонда М нүктесінің координаттары деп
осы нүктенің радиус векторының координат өстеріне түсірілген проекцияларын
айтады (2-сурет)
Егер М нүктесінің координаталары х,у,z сандары болса, онда
Сонда .
Енді О нүктесінен бір-біріне перпендикуляр абсцисса, ордината және
аппликата өстерінің бойымен жазықтықтар жүргізсе, олар кеңістікті сегіз
бөлікке(октантқа) бөледі. Бұл жазықтықтар координат жазықтықтар деп
аталады. Олар ХОY, НОZ және ХОZ жазықтықтары.
радиус векторы мен ОХ, ОУ, ОZ өстерінің оң бағыттарының арасындағы
сәйкес бұрыштарды деп белгілейді. Сонда векторының үш өске
түсірілген проекциялары мынаған тең( 3-сурет):
Осыдан , мұндағы векторының бағыттаушы косинустары деп
аталады. векторы тік бұрышты параллелипипедтің диагоноалы
болғандықтан . Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт
деп атайды. Өстерде жатқан бірлік векторларді түрінде белгілейміз.
18--20 дәріс
Тақырыбы: Түзудің және жазықтықтың теңдеуі
Жазықтықтағы түзу
Түзу геометриядағы алғашқы ұғымдардың (түсініктердің) бірі.
Екі нүкте арқылы жалғыз түзу жүргізуге болатыны; түзу бойында жатқан
нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр жалғыз түзу жүргізуге болатыны т.с.с.
аксиомалар белгілі.
Мектеп курсынан түзуінің теңдеуі
(1)
түрінде жазылатынын білеміз. Мұнда - түзудің бұрыштық коэффициенті,
ал - түзуі мен - өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш; - түзу
мен - өсінің қиылысу нүктесінің ординатасы (8 - сурет).
(2)
(2) теңдеуді қарастырайық. Мұндағы - белгілі сандар және мен
бір мезгілде нөлге тең емес.
Егер болса, онда (2) - ді түрінде немесе ,
арқылы белгілеп , яғни (1) - теңдеу түрінде жаза аламыз.
Егер болса, онда (2) - ді
немесе
(3)
түрінде жазуға болады. Бұл өсіне параллель түзу.
Егер болса, онда (2) - ді
немесе (4)
түрінде жазар едік. Бұл өсіне параллель түзу.
(3) және (4) теңдеулерінде және болса, онда және
, сәйкес - өсінің және - өсінің теңдеулері шығады.
(2) - ні жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі деп атайды.
Келесі
(5)
(6)
түзулерінің арасындағы бұрышы
(7)
Сонымен тік бұрышты координаталар жүйесін кез келген жазықтық үш
белгісізі бар бірінші дәрежелі
(8)
теңдеуімен анықталады және керісінше осы түрдегі теңдеу жазықтықты
анықтайды. Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады.
нүктесі арқылы өтетін векторына перпендикуляр жазықтың
теңдеуі былай жазылады: .
-теңдеуі координата басы арқылы өтеді.
(8) теңдеудегі коэффициенттердің бірде-бірі нөлге тең емес болса (8)
теңдеуді мына түрде жазуға болады:
(9),
мұндағы жазықтықтың координата өстерін қиып өту нүктелері. (9)
теңдеуі жазықтықтың кесінді арқылы берілген теңдеуі деп аталады.
Егер жазықтық, бір түзуде жатпайтын үш нүкте () арқылы өтетін
болса, онда жазықтың теңдеуі мына түрде жазылады:
Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш. Екі және жазықтықтарының
арасындағы бұрыш:
Нөлдік емес, жазықтыққа перпендикуляр векторы жазықтықтың нормаль
векторы деп аталады.
Егер берілген екі жазықтық біріне-бірі параллель болса, онда олардың
нормаль векторлары және де параллель болады. Сондықтан екі
жазықтың параллельдік шарты мына түрде жазылады:
Ал егер екі жазықтың бірі екіншісіне перпендикуляр болса, онда олардың
нормаль векторлары да перпендикуляр болады, сондықтан екі жазықтықтың
перпендикулярлық шарты түрінде жазылады.
Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық. нүктесінен жазықтығына
дейінгі қашықтық формуласы бойынша табылады. Нүкте мен координаталар
басы берілген жазықтың екі жағында жатса, онда , егер нүкте мен О
нүктелері берілген жазқытықтың бір жағында жатса, болады. Егер
қашықтықтың өзі ғана керек болса, онда формуласы қолданылады.
21-23 дәріс
Тақырыбы: Кеңітіктегі түзулердің теңдеуі
Жазықтық теңдеуі
. Тік бұрышты координаталар жүйесі енгізілген
кеңістігінде - бас нүктеден шыққан векторы берілсін.
векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана
болады.
, векторының орты, - векторының сәйкес
өстерінің арасындағы бұрыштар белгілі болсын. (9 - сурет).
, (1)
теңдеуін жазықтықтың векторлық теңдеуі деп атайды.
Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол
,
түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңдеуі деп атайды.
- ін кез келген санына көбейтіп, оған эквивалентті
теңдеу аламыз:
(2)
( ). Мұнда , яғни - бір мезгілде нөл бола
алмайды. (2) - ді жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды.
, түрінде берілген екі жазықтық арасындағы бұрыш
(3)
Кеңістіктегі түзу
Кеңістіктегі кез келген - түзуін қарастырамыз (10 - сурет). Ол
түзуде жатқан нүктесі және нүктесінен шығатын түзуінде
жатқан векторы берілсін. - түзуінде жатқан кез келген нүктені
арқылы белгілейік.
Онда векторын , - сан түрінде жазуға болады. Егер
параметрі - аралығындағы мәндерді қабылдаса, онда нүктесі бүкіл
- түзуін береді.
, (1)
теңдігін нүктесі арқылы өтетін және векторы бойымен
бағытталған түзудің векторлық теңдеуі деп атайды.
(1) - ді координаталар бойынша келесі үш теңдеу жүйесі түрінде жазуға
болады:
(2)
Бұл теңдеуді түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп атайды.
(2-ден - параметрін шығарып оны келесі түрде жазуға болады:
,
-ін түзудің канондық теңдеулері дейді. векторын -
түзуінің бағыттаушы векторы деп атайды.
Екі жазықтықтың теңдеулері жалпы түрде берілсін:
, (3)
. (4)
(3) пен (4) жазықтықтар параллель болмаса түзу бойымен қиылысады және
(3) және (4) теңдеулер кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеулері деп аталады.
жазықтығы мен
түзуінің арасындағы бұрышын (11-сурет)
(5)
формуласымен табуға болады.
24-26 дәрістер
Тақырыбы: Екінші ретті сызықтар. Екінші ретті беттер.
1. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дәрежелі
айқындалмаған теңдеумен анықталған қисық берілсін:
, (1)
мұндағы - берілген нақты сандар және . Бұл қисықты екінші ретті
қисық деп атайды.
Эллипс. , . (2)
болсын, арқылы белгілейік. - өсінен эллипстің
фокустары деп аталатын және нүктелерін белгілейік.
Анықтама. - фокустарына дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты,
тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады (12-
сурет).
(2) - ді эллипстің канондық теңдеуі дейді, ал мен эллипстің
сәйкес үлкен және кіші жарты өстері деп аталады.
Егер болса, онда , яғни эллипс графигі - өсін ,
нүктелерінде қияды. болса, онда , яғни эллипс графигі
- өсін , нүктелерінде қияды. Бұл нүктелерді эллипстің
төбелері деп атайды.
- ті - ке, - ті - ке ауыстырсақ (2) - теңдеу
өзгермейді, демек, эллипс өсіне және өсіне салыстырғанда
сәйкес симметриялы, сондықтан және өстері эллипстің симметрия
өстері деп аталады (эллипстің фокустері арқылы өтетін өс фокальдік өс деп
аталады).
- санын эксцентриситет деп атайды. Эллипс эксцентриситеті үшін
теңсіздіктері орындалады.
теңдеулерімен анықталатын (фокальдік өске перпендикуляр) түзулер
эллипстің директрисалары деп аталады.
Эллипс теңдеуін параметрлік түрде
(3)
деп жазады. Шынында да
,
яғни (3) - теңдіктерімен анықталған нүктесі кез келген үшін (2)
- гі эллипске жатады.
Гипербола.
. (4)
деп алып - өсінің бойынан (4) - гипербола фокустері деп
аталатын , нүктелерін белгілейік (13 сурет).
Анықтама. және фокустарға дейінгі қашықтықтарының айырымы
тұрақты тең нүктелердің геометриялық орны гипербола деп аталады.
(4) - теңдеу гиперболаның канондық теңдеуі деп аталады.
(4) - теңдеуден гипербола өсіне де өсіне де салыстырғанда
симметриялы болатынын байқаймыз. Мұнда - өсіндегі кесіндісі
және - өсіндегі кесіндісі гиперболаның сәйкес нақты және
жорамал өстері деп аталады.
Егер болса, онда , яғни гипербола - өсін және
нүктелерінде қияды. Осы нүктелерді
гиперболаның төбелері дейді.
Егер болса, онда , ал бұл теңдеудің нақты түбірі жоқ, демек
гипербола - өсімен қиылыспайды. Эллипстегі сияқты, - нүктесі
гипербола центрі деп аталады.
Гиперболаның эксцентриситеті, директрисалары элллипстегі сәйкес
анықтамалар арқылы анықталады. Гипербола үшін .
Суретте теңдеуімен екі түзу сызылған. Олар гипербола асимптоталары
деп аталады. Асимптота анықтамасы ілгеріде математикалық талдау курсында
қарастырылады.
Парабола . (5)
- өсінде парабола фокусі деп аталатын нүктесін белгілеп,
парабола директрисасы деп аталатын түзуін жүргіземіз (14 - сурет).
Анықтама. Фокус пен директрисадан бірдей қашықтықта орналасқан
нүктелердің геометриялық орны парабола деп аталады
(6) - шы теңдеуді параболаның канондық теңдеуі дейді, ал санын оның
параметрі деп атайды. - нүктесін парабола төбесі дейді. өсі
парабо-ланың симметрия өсі деп атал
2. Екінші ретті беттер деп координаталары теңдеуін қанағаттандыратын
кеңістіктегі нүктелер жиынын айтады, мұндағы А;В;С;Д;Е;F коэффициенттерінің
ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше.
1. Сфера теңдеуі: (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2,
мұндағы (x0,y0,z0)-сфера центрінің координатасы, R –радиуысы.
Центрі (x0,y0,z0) нүктесінде болатын сфераның параметрлік теңдеуі:
мұндағы и
2. Цилиндрлік бет деп берілген түзуіне параллель болып қала отырып
сызып шығатын және берілген сызығы қиятын бетті айтады (4-сурет).
сызығы оның бағыттаушысы, ал қозғалмалы түзуінің әрбір жағдайы-
жасаушысы делінеді. түзуін координата өстерінің бірімен дәл
келетіндей етіп, координаталар жүйесін таңдап алуға болады. Жасаушысы оz
өсіне параллель цилиндрлік беттің теңдеуінде z айнымалысы болмайды., яғни
беттің теңдеуі мына түрде болады:
3. Конустық бет деп берілген нүктеден өтетін және берілген сызықпен
қиылысатын түзулердің геометриялық орнын айтады. Берілген нүктені конустың
төбесі, берілген сызықты-конустың бағыттаушысы, ал түзулердің өздерін
конустың жасаушылары дейді. Төбесі координатаның бас нүктесі, өсі oz
болатын екінші ретті конустың теңдеуі мынадай: .
27-30 дәріс
Тақырыбы: Матрицалық талдау элементтері.
1.n-өлшемді векторлық кеңістік.
Анықтама. х (- х векторының құраушылары) түрінде жазылатын
n нақты сандардың реттелген жиыны n-өлшемді векторлық кеңістік деп аталады.
Ескерту. n өлшемді вектордың құраушыларын индекстері әртүрлі бір ғана
әріппен белгілейміз де вектордың өзін жуан шрифтпен жаза отырып сол әріппен
таңбалаймыз.
n өлшемді векторлар үшін коммутативтік, ассоциативтік, дистрибутивтік
сияқты қасиеттер (1-8) орындалады.
Анықтама. (1-8) қасиеттерді қанағаттандыратындай векторларды қосу
және векторды санға көбейту амалдары анықталатын нақты құраушылары бар
векторлар жиынын векторлық кеңістік дейміз.
R векторлық кеңістіктегі векторлардың сызықтық жіктелуі деп
түрінде жазылған aвекторын айтамыз, мұндағы -кез келген
нақты сан.
теңдігі орындалатындай, бір мезгілде нөлге тең болмайтын
сандары бар болса, онда R векторлық кеңістіктегі векторлары
сызықтық тәуелді деп аталады.
R сызықтық кеңістікте n сызықтық тәуелсіз векторлар табылатын болса,
мұндай кеңістік n өлшемді деп аталады. n саны R кеңістіктің өлшемі деп
аталады және түрінде таңбалаймыз.
Анықтама. n өлшемді R кеңістіктің n сызықтық тәуелсіз векторларының жиыны
базис деп аталады.
х векторының базисі бойынша жіктелуі: , мұндағы -х
векторының осы базиске қатысты координаталары деп аталады.
2. Жаңа базиске көшу.
3. Евклидтік кеңістік. Сызықтық (векторлық) кеңістікке метрика енгіземіз,
яғни бұрыштар мен ұзындықтарды өлшеу әдістерін енгіземіз.
Анықтама. х және у екі векторының скаляр көбейтіндісі деп
санын айтамыз. Скалярлық көбейтудің (1-4) қасиеттер орындалады.
4. Анықтама. (1-4) қасиеттерді қанағаттандыратын векторлардың скаляр
көбейтіндісі берілген сызықтық (векторлық) кеңістіктік евклидтік кеңістік
деп аталады.
х векторының евклидтік кеңістігі ұзындығы (нормасы):
Егер екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, бұл векторлар
ортогональ векторлар деп аталады.
n өлшемді евклидтің кеңістіктегі векторлары ортогоноаль бази
құрайды, егер бұл векторлар қос-қостан ортогональды болса және әрқашан
нормасы 1-ге тең болса, яғни =0, егер , мұндағы .
n өлшемді кеңістікті түрінде жазуға болады.
5. Сызықтық операторлар. Екі сызықтық кеңістікті қарастырамыз (және
), олар n және m өлшемді болсын.
Анықтама. кеңістігіндегі әрбір х векторына кеңістігіндегі у
векторы сәйкес қойылатындай заң берілсе, онда -нен -ге әсер
ететін операторы (түрлендіру, бейнелеу) берілген деп айтады да
түрінде жазады.
кеңістігіндегі кез келген х және у үшін, саны үшін мына
қатынастар орындалатын болса оператор сызықты деп аталады (оператордың
аддитивтік және біртектілік қасиеті): .
6. Меншікті векторлар және сызықтық операторлардың меншікті мәндері.
Анықтама. қатынасы орындалатындай саны табылса, х векторы
операторының меншікті векторы деп аталады. саны А операторының
(А матрицасының) х векторына сәйкес меншікті мәні деп аталады.
Меншікті вектор А операторының әсерінен өзіне коллинеар векторға
көшеді, яғни жай ғана қандай да бір санға көбейтіледі.
теңдігін түрінде жазуға болады, мұнадығы х векторы вектор-
баған түрінде жазуға болады.
7. Квадраттық формалар. Әрбір мүшесі айнымалылардың бірінің квадраты немесе
қандай да бір коэффициентімен алынған екі әртүрлі айнымалының
көбейтіндісі болып келген n айнымалылы қосындысы квадраттық форма деп
аталады.
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР
№1, №2-практикалық cабақ
тақырыбы: Анықтауыштар мен матрицалар
мақсаты: матрицаларды қосуды, көбейтуді үйрену.
1-есеп. 1. Есептеңіздер: , мұндағы
,
Шешуі:Екі матрицаның реті: . А-ның барлық элементтерін 6-ға
көбейтеміз:
.
В-ның барлық элементтерін (-1)-ге көбейтеміз:
С-ның элементтерін табамыз:
2-есеп..А және В матрицалары берілген.Табыңыздар:.
,
Шешуі:
А матрицасының реті 2×3, бағандар саны 3, В матрицасының реті3×3, бағандар
саны 3, реттері келісілген. Бұл матрицалардың көбейтіндісін табу мүмкін
емес.
С матрицасының реті:2 ×3.
Бірінші жолдың элементтері:
Екінші жолдың элементтері:
Алынған матрицасның түрі:
.
Тапсырмалар:
1. Табу керек: және :
, .
2. Табу керек: және :
, .
3. Табу керек: және :
, .
4.Есептеңіздер:
№3, №4-практикалық cабақ
тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
мақсаты: сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу
1-есеп.
Шешуі:
;
Тапсырмалар:
№5, 6-практикалық cабақ
тақырыбы: Гаусс әдісі
мақсаты: белгісіздерді біртіндеп жою әдісімен (Гаусс әдісі) сызықтық
теңдеулерді шешу.
1-есеп. Теңдеуді шешіңіздер:
Жеке шешімдері:
Тапсырмалар:
№7, 8-практикалық cабақ
тақырыбы: Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтіндісі
мақсаты: Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділерін таба
білу.
1-есеп.. Сандық мәнін табыңыздар:
3((-2(.)+4((2, если (( = ; (( = 6,
() =
3((-2(.)+4((2 = 3. - 2. . 6cos()+4 .
36 = (3+144 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
қасиеттері
Анықтама. өлшемді матрица деп,
(1)
түріндегі – жол (жатық жол) және – бағаннан (тік жолдан)
тұратын – түріндегі сандар кестесін айтады.
- сандары оның элементтері деп аталады. Мұндағы 1 - ші индекс осы
элемент тұрған жол нөмірін, ал 2 - ші индекс баған нөмірін білдіреді.
болса, онда (1) - квадрат матрица деп аталады. бұл жағдайда (немесе
) саны оның ретін көрсетеді. - ші ретті квадрат матрица
элементтен тұратыны түсінікті.
Матрица - ғылыми-техникалық және экономикалық есептерде кестелік
ақпараттарды жазу үшін қолданылады; бағдарламалау саласында матрицаларды
екі өлшемді массивтер деп атайды.
Кейде ыңғайлы болу үшін матрицаның өлшемін индекске жазады: .
өлшемді және матрицаларының сәйкес элементтері тең болса,
(), онда олар тең матрицалар деп аталады да деп белгіленеді.
Квадрат матрица үшін осы матрицадан туындаған анықтауыш матрица
анықтауышы деп аталатын санын қарастыруға болады. Кейде анықтауыш
(ағыл. Детерминант-анықтауыш) немесе арқылы белгіленеді.
2 - ші ретті матрица анықтауышы деп
(2)
санын айтады.
3 - ші ретті матрица анықтауышы деп
(3)
санын айтады. (3) анықтауыштың мәнін үшбұрыш ережесі арқылы есептейік. Оны
еске ұстау үшін келесі схемалық жазу пайдаланылады:
+ + + _
_ _
- элементтері орналасқан кесінді анықтауыштың бас диагоналі, ал
- элементтері орналасқан кесінді оның бүйір диагоналі деп аталады.
Анықтама. матрицасының жолдарын сәйкес бағандар етіп орнын
алмастырудан алынған матрицасы матрицасының транспонирленген
матрицасы деп аталынады.
мен матрицаларының элементтері бас диагоналға салыстырғанда
симметриялы орналасқан.
Жолдарды бағандармен алмастыру амалы транспонирлеу деп аталады.
aнықтауышынан транспонирлеу арқылы алынған анықтауышты
арқылы белгілейтін боламыз.
Енді анықтауыштардың қасиеттерін қарастырайық. Түсінікті болу үшін
оларды 3 - ші ретті анықтауыштар үшін тұжырымдаймыз, алайда бұл қасиеттер
реті кез келген анықтауыш үшін орындалады.
Кейбір жағдайларда сөйлем ықшамырақ болу үшін “жол немесе баған” деген
сөзді “қатар” деп атайтын боламыз.
1º. Транспонирленген анықтауыштың мәні өзгермейді:
,
яғни
2º. Анықтауыштың екі параллель қатарын орнын алмастырғаннан (бұл амал
екі параллель қатарды транспозициялау деп аталады) анықтауыштың таңбасы
өзгереді.
3º. Параллель екі қатары бірдей (сәйкес элементтері тең) анықтауыш нөлге
тең.
4. Егер қандай да бір қатардың барлық элементтері санына
көбейтілсе, онда анықтауыш мәні санына көбейтіледі, басқаша айтқанда,
қатардың ортақ көбейткішін анықтауыш таңбасының алдына шығаруға болады.
Салдар. Егер екі параллель қатарлардың сәйкес элементтері пропорционал
болса, онда анықтауыш нөльге тең.
5º. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтері нөлге
тең (нөл қатар) болса, онда анықтауыш мәні нөльге тең.
Бұл қасиет 4º - тен үшін алынады.
6º. Егер анықтауыштың белгілі бір қатарының әрбір элементі екі
қосылғыштың қосындысы етіп берілсе, онда анықтауыш екі анықтауыштың
қосындысына тең. Бірінші анықтауыштың сәйкес қатары бірінші қосылғыштардан,
ал екінші анықтауыштың сәйкес қатары екінші қосылғыш-тардан тұрады да, бұл
екі анықтауыштың қалған сәйкес қатарлары өзара тең элементтерден тұрады.
7º. Егер анықтауыштың қандай да бір қатарының барлық элементтеріне осы
қатарға параллель қатардың сәйкес элементтерін кез келген санына
көбейтіп қосса анықтауыш мәні өзгермейді.
Бұл қасиеттің дұрыстығын 6º, 4º және 3º қасиеттерді қолдана отырып
көз жеткізуге болады.
2. Минорлар мен алгебралық толықтауыштар
Анықтауышты жол немесе баған элементтері бойынша жіктеу.
Анықтама. квадрат матрицасының - элементінің миноры деп
элементі тұрған жол мен бағанды алып тастап матрицасының қалған
қатарларынан құралған матрицаны айтады.
- ші ретті матрицасының элементінің миноры реті
“” тең квадрат матрица болады. Oны арқылы белгілейміз.
Минор түсінігін анықтауыштар үшін де қолданады. Анықтауыштың
элементінің минорын арқылы белгілесек, онда =.
Мысалы: болса,
онда , .
Анықтама. элементінің алгебралық толықтауышы немесе адъюнкті деп
санын айтады.
8º. Анықтауыштың қандай да бір қатарының элементтері мен олардың
алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы осы анықтауыш
шамасына тең:
(1)
(2)
(1) - қосынды анықтауыштың -ші жол элементтері бойынша жіктелуі,
ал (2) - қосынды анықтауыштың - шы баған элементтері бойынша
жіктелуі деп аталады.
9º. Анықтауыштың қандайда бір қатар элементтерімен осы қатарға параллель
басқа бір қатардың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының
көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.
3. Матрицаларға амалдар қолдану
Матрицаларға жасалатын келесі амалдарды қарастырамыз: санға көбейту,
қосу, көбейту және кері матрица табу.
Алдымен келесі түсініктерді енгізейік.
Квадрат матрицаның бас диагоналінің сыртындағы (бас диагональ
элементтерінен басқа) элементтердің барлығы нөлге тең болса, оны
диагональдік матрица дейді. - ші ретті диагональдік матрицаны келесі
түрде жазуға болады
.
Егер мұнда болса, онда және үшін диагональдік матрица
сәйкес бірлік матрица және нөлдік матрица деп аталады:
, .
Ескерту. Нөлдік матрица түсінігі кез келген тік бұрышты (квадрат емес)
матрицалар үшін де енгізіледі.
Анықтама. матрицасы мен санының көбейтіндісі
деп әрбір элементі тең матрицасын айтады.
Бұл амал үшін келесі қасиеттер орындалады:
1) – сандық көбейткіштерге қатысты ассоциативті;
2) – сандарды қосуға қатысты дистрибутивті.
Сонымен бірге теңдіктері орындалады.
Анықтама. Бірдей өлшемді мен матрицаларының қосындысы деп
әрбір элементі тең, өлшемі немесе өлшеміндей,
матрицасын айтады.
Матрицаларды қосу амалы үшін келесі қасиеттер орындалады:
1) – коммутативтік;
2) - ассоциативтік;
3) - матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивтік.
Анықтама. және матрицаларының көбейтіндісі деп элементтері
(1)
яғни - ші жол мен - ші баған қиылысуындағы элементі
матрицасының - ші жолы мен матрицасының - ші бағанының
сәйкес элементтерінің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысына тең болатын
матрицасын айтады.
Ескерту. Анықтамадан 1 - ші матрицаның бағандар саны 2 - ші матрицаның
жолдар санына тең болатын матрицаларды ғана көбейтуге болатынын көреміз.
Бұл мысалдан , яғни матрицаларды көбейту коммутативті емес екені
көрінеді.
Матрицаларды көбейту амалы келесі қасиеттерге ие:
1) - ассоциативті;
2) және матрицаларды қосуға қатысты дистрибутивті;
3) Квадрат матрицалар үшін яғни көбейтінді анықтауышы көбейткіштер
анықтауыштарының көбейтіндісіне тең.
Сонымен бірге кез келген квадрат матрица үшін
,
яғни бірлік матрица бірлік сан сияқты, ал нөлдік матрица нөл саны
сияқты роль атқарады.
Анықтама. Егер - бірлік матрица, теңдіктері орындалса, онда
матрицасы матрицасына кері деп аталады.
Анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес квадрат матрица нұқсансыз
(невырожденной), ал анықтауышы нөлге тең квадрат матрица нұқсанды
(вырожденной) деп аталады.
Ескерту. “Нұқсанды” немесе “нұқсансыз” түсініктері тек қана квадрат
матрицалар үшін ғана қолданылатынын ескертеміз.
теңдігінен нұқсанды матрица үшін кері матрица болмайтыны шығады
().
Анықтама. квадрат матрицасы берілсе, онда оның
элементтерінің алгебралық толықтауыштарынан құралған
матрицасын тіркелген матрица деп атайды.
Тіркелген матрицаны алу үшін матрицасының әрбір элементін оның
алгебралық толықтауышымен ауыстырып, алынған матрицаны транспонирлеу керек.
4. Кері матрица туралы
Теорема. Нұқсансыз матрицалардың, тек қана солардың кері матрицалары бар
және кері матрица
(2)
формуласы бойынша табылады.
5. Матрица рангі
Анықтама. матрицасының - шы ретті миноры деп
матрицасының кез келген жолы мен кез келген бағандарының
қиылысуындағы элементтерінен құралған матрицаны айтады.
Анықтама. матрицасының рангі деп осы матрицаның нұқсансыз
минорларының ең үлкен ретін айтады да немесе символдарының
біреуімен белгілейді.
Нөлдік матрица рангі нөлге тең деп есептеледі.
Егер матрицасы - ші ретті нұқсансыз квадрат матрица болса,
онда ; нұқсанды, яғни болса, онда үшін ;
матрицасы өлшемді матрица болса, онда .
Матрица рангін табу үшін оның 1 -ші ретті минорынан бастап барлық
минорларын нұқсансыздыққа зерттесе болғаны.
5-8 дәріс
Тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері.
1. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі (САТЖ).
Матрицалық әдіс және Крамер ережесі
Анықтама. белгісізі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
(САТЖ) келесі түрде жазылады
(1)
Мұнда айнымалылары жүйенің белгісіздері, , жүйе
коэффициенттері; ал , бос мүшелер деп аталады. Жүйенің барлық
теңдеулерін тепе-теңдікке айналдыратын сандары жүйенің шешімі деп
аталады. Егер жүйенің шешімі бар болса, онда ол үйлесімді, ал шешімі
болмаса, онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады.
(1) - дегі белгісіздер коэффициенттерінен құралған өлшемді
матрицаны арқылы (оны жүйе матрицасы деп атайды)
,
бос мүшелері бағанын арқылы, ,
ал белгісіздер бағанын арқылыбелгілейік.
Онда (1) САТЖ матрицалық түрде жазуға болады:
,
немесе қысқаша
. (2)
Егер квадрат матрица болса, онда жүйенің матрицалық түрінен кері
матрицаны пайдаланып оның шешімін табуға болады.
Теорема. САТЖ - нің матрицасы нұқсансыз болса, онда оның жалғыз шешімі
бар және ол келесі формуламен есептеледі:
. (3)
САТЖ - сін (3) формула арқылы шешу матрицалық әдіс деп аталады. Жүйенің
Крамер ережесі деп аталатын басқа да түрде шешуін көрсетейік. (1) -
С.А.Т.Ж. - ші ретті квадрат матрицасының детерминанты нөлге тең емес:
болсын. Онда (1) - жүйенің жалғыз шешімі бар және ол келесі
формулалар арқылы табылады:
. (4)
Мұндағы анықтауышынан оның - ші бағанын жүйенің бос мүшелер
бағанымен ауыстыру арқылы алынатын анықтауыш.
2. САТЖ зерттеудің және оның шешімін табудың
Гаусс әдісі
Матрицалық әдіс пен Крамер ережесінің негізгі екі кемшілігі бар.
Біріншіден, оларды нұқсансыз матрицалары бар теңдеулер жүйесіне ғана
қолдануға болады; екіншіден, сандық теңдеулер жүйесін шешуде тиімсіз,
өйткені ол әдістерді қолдану (Гаусс әдісіне қарағанда) n2 есеге жуық
есептеу амалдарын жасауды керек етеді, мысалы, n10 болса, онда бұл
әдістерді қолдану мүмкіндігі тіпті аз.
Элементар түрлендіру Гаусс әдісі кез келген тік бұрышты (квадрат қана
емес) матрицалары бар теңдеулер жүйесін зерттеп және шешімін табуға
(жүйенің шексіз көп шешімі бар жағдайда да) мүмкіндік береді.
Теңдеулер жүйесін зерттеу - оның үйлесімді (немесе үйлесімсіз) екенін,
ал егер үйлесімді болса, онда жүйе шешімінің қанша болатынын анықтау.
Анықтама. САТЖ - нің кеңейтілген матрицасы деп жүйе матрицасының оң
жағынан бос мүшелер бағанын тіркеп жазу арқылы алынған матрицаны айтады
(тіркелген бос мүшелерді әдетте вертикаль сызықпен бөліп қояды).
Мысалы, (1) - САТЖ матрицасы өлшемді болса, онда оның кеңейтілген
матрицасы өлшемді болады:
.
Олардың рангтерінің екі жағдайы: немесе болуы мүмкін.
Келесі теорема теңдеулер жүйесін зерттеуге мүмкіндік береді.
Теорема (Кронекер-Капелли). Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің
матрицасы мен кеңейтілген матрицасының рангілері тең болса, жүйе
үйлесімді болады.
Енді теңдеулер жүйесін Гаусс схемасы бойынша зерттеу және шешу
сұрақтарын қарастырайық.
Гаусс әдісімен және матрицаларының рангілерін анықтау үшін
– кеңейтілген матрицасын жазып алып (соңғы бос мүшелер бағанын
өзгертпей) элементар түрлендірулер арқылы матрицасы трапеция тәріздес
матрицаға келтіріледі. Егер бұл түрлендірулерде бағандар орын алмасқан
болса, оларды өздеріне сәйкес белгісіздермен белгілеп отырады.
Трапеция тәріздес матрица рангісі туралы жоғарыда қарастырғанбыз.
Сонымен және анықталды делік.
Келесі жағдайлар болуы мүмкін.
1) . Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы бойынша теңдеулер
жүйесі үйлесімсіз.
2) . Бұл жағдайда сол теорема бойынша теңдеулер жүйесі үйлесімді,
сонымен бірге:
а) егер болса, яғни матрицалардың рангілері белгісіздер санына тең
болса, онда жүйе шешімі жалғыз болады;
б) егер болса, онда теңдеулер жүйесінің параметрлеріне
тәуелді шексіз көп шешімі болады.
Ескерту. Қолданылған элементар түрлендірулер жүйенің шешімдер жиынын
өзгертпейді, яғни жүйе бастапқы жүйеге мәндес болып қалады.
3. Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі
Анықтама. Егер бос мүшелерінің барлығы нольге тең болса САТЖ - сі
біртекті, ал бос мүшелер бағаны нөл емес САТЖ - сі біртекті емес деп
аталады.
Біртекті САТЖ - сін келесі түрде жазуға болады.
немесе матрицалық түрде . Мұнда – нөл баған.
Біртекті жүйе әрқашанда үйлесімді, өйткені, оның тривиал деп аталатын
шешімі бар.
Матрицалық әдіс және Крамер ережесін біртекті жүйені шешуге қолданудың
реті жоқ. Өйткені, егер болса, онда болады да жүйенің
жалғыз тривиал шешімі бар; ал егер болса, онда бұл әдістер
жарамайды.
Сондықтан, мұндай жағдайда біртекті жүйелерді шешудің Гаусс әдісін
қолданамыз.
9,10 дәріс
Тақырыбы: Вектор ұғымы. Векторларға сызықтық амалдар қолдану.
Анықтама. Вектор деп бас нүктесі соңғы нүктесі болатын
өзіне өзін параллель жылжытуға болатын, бағытталған кесіндісін
айтады.
Сонымен, ұзындықтары тең және бағыттары беттесетін екі және
кесіндіні жалғыз ғана векторын анықтайды деп есептеп
жазады (1-сурет). Бұдан, вектор басы етіп кез келген нүктені алуға болатыны
шығады.
Егер мен нүктелері беттессе, онда ол арқылы
белгіленеді де нөл вектор деп аталады.
векторының модулі (ұзындығы) деп кесіндісінің ұзындығын
айтады. Кейде деп те жазыла береді. Нөл вектордың модулі нөлге тең
, оның бағыты болмайды.
Бір түзуде немесе параллель түзулерде жататын векторлар коллинеар деп
аталады. Нөл вектор кез келген векторға коллинеар деп есептеледі. Коллинеар
векторларды арқылы белгілейді. векторына коллинеар модулі
тең, бағыты вектор бағытына қарама-қарсы бағытталған вектор
векторына қарама-қарсы вектор деп аталады да және арқылы
белгіленеді (1-сурет).
Анықтама. векторы мен санының көбейтіндісі деп
1) модулі тең;
2) ;
3) болса, - векторымен бағыттас, ал болса, -
векторына бағыты қарама-қарсы векторын айтады.
болса, онда .
Анықтама. мен векторларының қосындысы деп,
векторының басы векторының ұшымен беттестірілген жағдайда,
векторының басынан векторының ұшына бағытталған векторын айтады
(2 - сурет).
, векторларының қосындысын табу үшін “үшбұрыш ережесін”
пайдалануға болады: кез келген нүктесіне және векторларын
тұрғызса шығады; немесе “параллелограмм ережесін” пайдалануға болады;
мен векторларын ортақ басына келтіреді де оларды
қабырғалары етіп параллелограмм тұрғызады, оның нүктесінен шығатын
диоганалі болады.
Бірнеше векторларды қосу үшін әрбір келесі векторының басын
алдыңғы векторының ұшымен түйістіріп бірінші векторының басы
мен соңғы векторының ұшын қосып векторын тұрғызады (3 - сурет).
Бұл амалдар үшін келесі қасиеттер орындалады:
1º. – ассоциативті (сандық көбейткіштерге қатысты);
2º. – дистрибутивті (сандарға қосуға қатысты);
3º. – коммутативті;
4º. – ассоциативті;
5º. - дистрибутивті (векторларды қосуға қатысты).
Анықтама. мен векторларының айырымы деп
векторымен қосындысы векторына тең болатындай векторын айтады,
яғни болса, онда .
Бір нүктеден шығатын мен векторының айырымын салу үшін
векторының ұшын векторының ұшымен қосатын вектор тұрғызса
болғаны немесе (4 - сурет).
– теңдігінің дұрыстығын тексеру қиын емес.
Анықтама. векторларының комбинациясы деп векторын айтады.
Мұнда –сандар.
Анықтама. Бір жазықтыққа параллель векторлары компланар деп
аталады.
Векторлық кеңістік базисі. Вектор координаталары
Векторлық кеңістік деп кез келген сызықтық комбинациясы осы кеңістікте
жататын векторлар жиынын айтады. Кез келген векторлық кеңістікте бірнеше
векторларды таңдап алып осы кеңістіктің әрбір векторын, осы векторлардың
бір мәнді сызықтық комбинациясы арқылы жазуға болады. Мұндай векторларды
базистік деп атайды. Қысқа болу үшін түзу, жазықтық және кеңістік деп
сәйкес векторлық түзу, векторлық жазықтық және векторлық кеңістіктерді
атайтын боламыз.
Анықтама. Түзудегі әрбір нөл емес векторы түзу базисі деп аталады.
Кез келген коллинеар емес векторлар жұбы жазықтық базисі деп аталады.
Кез келген компланар емес векторлар үштігі кеңістік базисі деп
аталады.
Базис туралы теорема. Кеңістіктің әрбір векторы базистік
векторлардың сызықтық комбинациясы болады және ол вектор үшін мұндай
комбинация жалғыз ғана болады:
. (1)
Анықтама. Егер (*) теңдігінен шықса, онда векторлар
жүйесі сызықтық тәуелсіз деп аталады.
Егер (*) теңдігі орындалатындай барлығы бірдей бір мезгілде нөл емес
сандары бар болса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелді деп
аталады. Анық болу үшін деп алсақ, онда
.
Сонымен, егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болса, онда
олардың бірі, қалған векторлардың сызықтық комбинациясы болады.
Ескерту. Базистік векторлар туралы теорема дәлелдемесінен: базистік
векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болатынын көреміз.
(1) теңдікті векторының базисі бойынша жіктелуі деп атайды
да, - сандарын векторының базисіндегі координаталары деп
атайды және деп жазады.
1-теорема. Векторларды қосқанда олардың сәйкес координаталары қосылады,
ол векторды санға көбейткенде оның барлық координаталары осы санға
көбейтіледі.
2-теорема. Екі вектор тең болуы үшін олардың сәйкес координаталарының
тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни болса, онда
.
3-теорема. (Координаталы векторлардың коллинеарлық белгісі) және
берілсін. Онда
,
яғни векторлары коллинеар болуы үшін олардың сәйкес координаталарының
пропорционал болуы қажетті және жеткілікті.
Кеңістікте тік бұрышты декарт координаталар жүйесі берілсін. Бұл
жүйемен байланыста болатын, сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің бойында орналасқан
бірлік векторлары кеңістік базисін құрайды (5 - сурет). Оларды
сәйкес ОХ, ОY, OZ өстерінің орттары деп атайды.
Кеңістіктің кез келген нүктесін алайық. векторы (басы
координаталар бас нүктесінде, ұшы нүктесі болатын) - нүктесінің
радиус-векторы деп аталады. Егер болса, онда теңдігін жаза
аламыз. Шынында да, болғандықтан
.
Тік бұрышты координаталар жүйесінде , нүктелері берілсе, онда
.
Расында да,
.
Кейде базисіндегі вектор координаталарын проекция ретінде жазу
ыңғайлы.
векторының бағытталған түзуіне проекциясы деп
векторын айтады, мұндағы , нүктелері мен
нүктелерінің түзуіне проекциялары (6-сурет).
.
- векторының екі түрлі ғана бағыты бар: егер мен -нің
арасындағы бұрыш сүйір, яғни болса, онда оның бағыты түзуінің
бағытымен беттеседі де, ал доғал,
болса, онда - векторы түзуінің бағытына қарама-қарсы болады.
Сондықтан, векторының бағытталған - түзуіне проекциясын келесі
түрде анықтайды.
Анықтама. векторының – бағытталған түзуге проекциясы деп
вектор ұзындығының векторы мен – түзуінің бағыты
арасындағы бұрышының косинусына көбейтіндісін айтады:
. (1)
векторларының берілген бағытқа проекциялары келесі қасиеттерге ие:
1º. ; (2)
2º. (3)
3º. (4)
аламыз.
11,12 дәріс
Тақырыбы: Векторлардың скаляр көбейтіндісі
Анықтама. мен векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы
векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрышының косинусының
көбейтіндісіне тең (немесе ) санын айтады:
. (5)
(1) – теңдікті ескеріп (5) – теңдікті келесі түрде де жаза аламыз:
. (6)
Скаляр көбейтіндінің арифметикалық қасиеттері:
, (7)
, (8)
. (9)
Нөл емес векторлары үшін:
1) (векторлары ортогональ);
2) – сүйір бұрыш;
3) – доғал бұрыш.
Кез келген векторы үшін
. (10)
Тік бұрышты декарт координаталар жүйесінің координаттық орттары
үшін
, (11)
. (12)
Егер базисінде , векторлары берілсе, онда
. (13)
Дербес жағдайда болса, онда (10) және (13) теңдіктерден
,
бұдан векторының ұзындығын аламыз:
. (14)
Егер , берілсе, онда (14) теңдіктен мен
нүктелерінің ара қашықтығының формуласы шығады
(15)
және векторларының арасындағы бұрышы
(16)
тең.
(16) - теңдіктен және векторларының ортогональдық
белгісін алуға болады:
(17)
Скаляр көбейтіндінің механикалық мағынасы. күшінің векторына
скаляр көбейтіндісі, материалдық нүктенің осы күш әсерінен векторы
бойымен қозғалғандағы жұмысқа тең, яғни .
Скаляр көбейтіндінің геометриялық қасиеттері:
1. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге
тең болғанда, тек сонда ғана олар өзара перпендикулр болады: .
2. Нөлдік емес және екі вектордың скаляр көбейтіндісі оң
(теріс), яғни болғанда, тек сонда ғана олар өзара сүйір (доғал)
бұрыштар жасайды.
13,14,15- дәріс
Тақырыбы: Векторлардың векторлық және аралас көбейтіндісі
Анықтама. - бастары ортақ бір нүктесіне келтірілген,
компланар емес, реттелген векторлар үштігі болып вектор ұшынан
қарағанда - нан - на жақын тұспен бұрылу сағат тілінің бағытына
қарама-қарсы бағытта болса, онда - оң үштік векторлар, сағат тілі
бағытымен бірдей болса - теріс үштік векторлар деп аталады.
Анықтама. мен векторларының векторлық көбейтіндісі деп
келесі үш шартты қанағаттандыратын векторын айтады:
1) векторының модулі мен векторларының модульдері
мен осы екі вектор арасындағы бұрыштың синусының көбейтіндісіне
тең:
2) әрбір және векторларына ортогональ, яғни ол
мен арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр;
3) векторлары реттелген оң үштік векторлар.
Мысалы (1)
Векторлы көбейтінді үшін негізгі келесі үш қасиет орындалады:
10. - антикоммутативтік, яғни векторлық көбейтінді ауыстырымдылық
заңына бағынбайды;
20. - дистрибутивтік (векторларды қосуға қатысты);
30. - ассоциативтік (санға көбейтуге қатысты);
Сонымен бірге келесі қасиеттер де орындалады:
а) , яғни мен векторларының векторлық көбейтіндісі нөл
вектор болса және тек сонда ғана олар коллинеар болады;
б) мен векторларына салынған параллелограмм ауданы
тең.
в) Егер базисінде векторлары берілсе, онда ,
немесе (символдық
анықтауыш арқылы) түрінде жазылады.
Механикалық мағынасы. күші N нүктесіне әсер етсін, онда А
нүуктесіне қатысты осы күштің инерция моменті және
векторларының векторлық көбейтіндісіне тең, яғни
Дербес жағдайда, координатаның бас нүктесіне қатысты инерция моменті
мынаған тең., мұндағы r-нүктеге әсер етуші радиус-векторы.
Векторлардың аралас көбейтіндісі
Анықтама. ,, векторларының аралас көбейтіндісі деп
, векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының
скаляр көбейтіндісін айтады: .
Егер базисінде болса, онда
. (1)
Скаляр көбейтіндінің анықтамасына сүйеніп (1) -ні келесі түрде жазуға
болады
Векторлардың аралас көбейтіндісінің геометриялық мағынасы мынадай:
, мұндағы V-көбейткіш векторларда тұрғызылған паралелипипедтің көлемі.
Егер үштік вектор оң болса, + таңбамен, сол жақ болса - таңбамен
алынады.
Мұндағы шамасы , векторларына салынған
параллелограмм ауданы, ал ,, - векторларына салынған
параллелепипедтің жағына жүргізілген биіктік (7 - сурет)
екенін ескерсек, онда - аралас көбейтіндісі ,,
векторларына салынған параллелепипед көлемін “+” таңбасымен
(,, оң үштік векторлар болса) немесе “-” таңбасымен
(,, теріс үштік векторлар болса) беретінін көруге болады.
Сонымен, ,, векторларына салынған параллелепипед көлемі осы
үш вектордың аралас көбейтіндісінің модуліне тең болады екен,
. (2)
(1) - теңдіктен анықтауыштың қасиетін қолдана отырып келесі
қатынастарды аламыз
, (3)
(4)
Скаляр көбейтіндісінің коммутативтік қасиеті бойынша
болатынын ескерсек, онда (3) - қатыстардың бірінші теңдігі
түрінде жазылады, ал бұл теңдік векторлардың аралас көбейтіндісін
символымен белгілеуге мүмкіндік береді:
=. (5)
2) ,, векторлары компланар болуы үшін олардың аралас
көбейтіндісі нөлге тең болуы, яғни,
=0 (6)
қажетті және жеткілікті.
16-17 дәріс
Тақырыбы: Жазықтықтағы және кеңістіктегі координаталар жүйесі.
1. Координаталардың поляр жүйесі. Жазықтықтың кез келген О нүктесі мен сол
О нүктесінен шығатын ОР сәулесі алынсын. О нүктесі полюс деп, ОР сәулесі
поляр өс деп аталады. Поляр өстің оң бағыты О нүктесінен Р нүктесіне қарай
алынады. Поляр өсі де, абсциссалар өсі сыяқты, О нүктесінен бастап, тиісті
масштаб бойынша тең бөліктерге бөлінеді.
Жазықтықтың поляр өсінен тысқары жатқан бір М нүктесі берілсін.
Кесінді арқылы О және М нүктелерін қосуға болады. Мұның нәтижесінде екі
тиянақты шама шығады: және . Сонда М нүктесінің орнын мен
шамалары толық анықтайды. саны М нүктесінің радиус – векторы
(немесе полярлық радиусы деп, саны М нүктесінің полярлық бұрышы деп
аталады. Мұны әдетте түрінде жазады. бұрышы радианмен өлшенеді,
бағыты сағат тілінің қозғалысына қарсы алынады (1-сурет)
Полюс, поляр өсі және масштаб координаталардың поляр жүйесін құрайды.
мен сандары нүктенің поляр координаталары деп аталады. ОМ
кесіндісінің ұзындығы еш уақытта теріс сан бола алмайды, сондықтан .
Сонымен қатар бұрышы 0 мен аралығында (), деп есептеледі.
Декарттық координатал жүйесінің бас нүктесін, поляр жүйесінің
басымен, ал ОХ өсі ОР поляр өсі бойымен кететіндей етіп таңдап алсақ, онда
әрбір М нүктесі үшін полярлық координаталар мен декарттың
координаталар жүйесі арасында мынадай байланыс бар: . Бұл формуладан
Полярлық координаталр арқылы берілген және екі нүктенің
арақашықтығы формуласы бойынша есептеліп шығарылады.
2. Сызықтың полярлық теңдеуі. Полярлық координаталар жүйесінде сызықтық
теңдеуі теңдеуімен берілген. Бұл теңдеу полярлық координаталарды
сызықтың ағымдағы нүктесімен арасындағы байланысты тағайындайды. Егер бұл
теңдеуді -ға қатысты шешу мүмкін болса, сызықтың полярлық теңдеуі
түріне ин болады. Егер функциясы периодсыз болса, онда бірінші
периодта ғана шектеліп қалмай -ге кез келген мән беруге болады.
Сызықтың декарт координаталар жүйесінде теңдеуінен полярлық
теңдеуіне көшу үшін, декарттық теңдеуіндегі х пен н-тің орнына
Формуласындағы өрнекті қою керек. Керісінше, полярлық теңдеуінен
декарттық теңдеуге көшу үшін және формулалары қолданылады.
3. Координаталар жүйесін түрлендіру. Координаталардың поляр жүйесінен
декарттық жүйесіне және керісінше көшуден басқа, бір декарттық
координаталар жүйесінен екінші декарттық жүйеге көшуге болады.
Кез келген аху координаталар жүйесінде нүктесі берілсін.
Өстердің бағытын өзгертпей, координаталар басын нүктесіне көшіріп,
жүйесін табайық. Егер жаңа жүйеде М нүктесінің координаталары
болса, онда М нүктесінің бұрынға және жаңа жүйедегі координаталарының
арасындағы байланыс формулаларымен өрнектеледі. Мұндай түрлендіруді
координаталар басын көшіру дейді. Енді координаталар басын өзгертпей,
координаталар өсін бұрышқа бұрайық. Жаңа жүйедегі М нүктесінің
координаталары болса, онда нүктенің бұрынғы және жаңа жүйедегі
координаталары арасындағы байланыс формулаларымен өрнектеледі. Бұл
түрлендіру өстерді бұру деп аталады. Ал жалпы түрлендіруде координаталар
басы нүктесіне көшіріледі, координаталар өстері бұрышына
бұрылады. Мұндай түрлендіру формулаларымен өрнектеледі.
4. Кеңістіктегі тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі. Нүктенің және
вектордың координаттары.
Кеңістіктегі нүктенің координаттарын анықтау үшін кез келген бір О
нүктесін алып, сол нүктеден бір-біріне перпендикуляр болатын үш өсті
жүргізеді.
Бір нүктеде қиылысатын, ұзындық өлшемдері бірдей, өзара
перпендикуляр, реттелген үш координат өсін кеңістіктегі тік бұрышты
декарттық координаталар жүйесі деп атайды. ОХ-абсцисса, ОУ-ордината, ОZ-
аппликата өсі, ОХ, ОУ, ОZ-координаттар өсі, ал О координатаның бас нүктесі
деп аталады.
Кеңістікте берілген М нүктесін О нүктесімен қосатын векторы М
нүктесінің радиус векторы деп аталады. Сонда М нүктесінің координаттары деп
осы нүктенің радиус векторының координат өстеріне түсірілген проекцияларын
айтады (2-сурет)
Егер М нүктесінің координаталары х,у,z сандары болса, онда
Сонда .
Енді О нүктесінен бір-біріне перпендикуляр абсцисса, ордината және
аппликата өстерінің бойымен жазықтықтар жүргізсе, олар кеңістікті сегіз
бөлікке(октантқа) бөледі. Бұл жазықтықтар координат жазықтықтар деп
аталады. Олар ХОY, НОZ және ХОZ жазықтықтары.
радиус векторы мен ОХ, ОУ, ОZ өстерінің оң бағыттарының арасындағы
сәйкес бұрыштарды деп белгілейді. Сонда векторының үш өске
түсірілген проекциялары мынаған тең( 3-сурет):
Осыдан , мұндағы векторының бағыттаушы косинустары деп
аталады. векторы тік бұрышты параллелипипедтің диагоноалы
болғандықтан . Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт
деп атайды. Өстерде жатқан бірлік векторларді түрінде белгілейміз.
18--20 дәріс
Тақырыбы: Түзудің және жазықтықтың теңдеуі
Жазықтықтағы түзу
Түзу геометриядағы алғашқы ұғымдардың (түсініктердің) бірі.
Екі нүкте арқылы жалғыз түзу жүргізуге болатыны; түзу бойында жатқан
нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр жалғыз түзу жүргізуге болатыны т.с.с.
аксиомалар белгілі.
Мектеп курсынан түзуінің теңдеуі
(1)
түрінде жазылатынын білеміз. Мұнда - түзудің бұрыштық коэффициенті,
ал - түзуі мен - өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш; - түзу
мен - өсінің қиылысу нүктесінің ординатасы (8 - сурет).
(2)
(2) теңдеуді қарастырайық. Мұндағы - белгілі сандар және мен
бір мезгілде нөлге тең емес.
Егер болса, онда (2) - ді түрінде немесе ,
арқылы белгілеп , яғни (1) - теңдеу түрінде жаза аламыз.
Егер болса, онда (2) - ді
немесе
(3)
түрінде жазуға болады. Бұл өсіне параллель түзу.
Егер болса, онда (2) - ді
немесе (4)
түрінде жазар едік. Бұл өсіне параллель түзу.
(3) және (4) теңдеулерінде және болса, онда және
, сәйкес - өсінің және - өсінің теңдеулері шығады.
(2) - ні жазықтықтағы түзудің жалпы теңдеуі деп атайды.
Келесі
(5)
(6)
түзулерінің арасындағы бұрышы
(7)
Сонымен тік бұрышты координаталар жүйесін кез келген жазықтық үш
белгісізі бар бірінші дәрежелі
(8)
теңдеуімен анықталады және керісінше осы түрдегі теңдеу жазықтықты
анықтайды. Бұл теңдеу жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады.
нүктесі арқылы өтетін векторына перпендикуляр жазықтың
теңдеуі былай жазылады: .
-теңдеуі координата басы арқылы өтеді.
(8) теңдеудегі коэффициенттердің бірде-бірі нөлге тең емес болса (8)
теңдеуді мына түрде жазуға болады:
(9),
мұндағы жазықтықтың координата өстерін қиып өту нүктелері. (9)
теңдеуі жазықтықтың кесінді арқылы берілген теңдеуі деп аталады.
Егер жазықтық, бір түзуде жатпайтын үш нүкте () арқылы өтетін
болса, онда жазықтың теңдеуі мына түрде жазылады:
Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш. Екі және жазықтықтарының
арасындағы бұрыш:
Нөлдік емес, жазықтыққа перпендикуляр векторы жазықтықтың нормаль
векторы деп аталады.
Егер берілген екі жазықтық біріне-бірі параллель болса, онда олардың
нормаль векторлары және де параллель болады. Сондықтан екі
жазықтың параллельдік шарты мына түрде жазылады:
Ал егер екі жазықтың бірі екіншісіне перпендикуляр болса, онда олардың
нормаль векторлары да перпендикуляр болады, сондықтан екі жазықтықтың
перпендикулярлық шарты түрінде жазылады.
Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық. нүктесінен жазықтығына
дейінгі қашықтық формуласы бойынша табылады. Нүкте мен координаталар
басы берілген жазықтың екі жағында жатса, онда , егер нүкте мен О
нүктелері берілген жазқытықтың бір жағында жатса, болады. Егер
қашықтықтың өзі ғана керек болса, онда формуласы қолданылады.
21-23 дәріс
Тақырыбы: Кеңітіктегі түзулердің теңдеуі
Жазықтық теңдеуі
. Тік бұрышты координаталар жүйесі енгізілген
кеңістігінде - бас нүктеден шыққан векторы берілсін.
векторының ұшы арқылы өтетін, оған перпендикуляр жазықтық жалғыз ғана
болады.
, векторының орты, - векторының сәйкес
өстерінің арасындағы бұрыштар белгілі болсын. (9 - сурет).
, (1)
теңдеуін жазықтықтың векторлық теңдеуі деп атайды.
Егер оны векторлардың координаталары арқылы жазсақ, онда ол
,
түріне ие болады да, оны жазықтықтың қалыпты теңдеуі деп атайды.
- ін кез келген санына көбейтіп, оған эквивалентті
теңдеу аламыз:
(2)
( ). Мұнда , яғни - бір мезгілде нөл бола
алмайды. (2) - ді жазықтықтың жалпы теңдеуі деп атайды.
, түрінде берілген екі жазықтық арасындағы бұрыш
(3)
Кеңістіктегі түзу
Кеңістіктегі кез келген - түзуін қарастырамыз (10 - сурет). Ол
түзуде жатқан нүктесі және нүктесінен шығатын түзуінде
жатқан векторы берілсін. - түзуінде жатқан кез келген нүктені
арқылы белгілейік.
Онда векторын , - сан түрінде жазуға болады. Егер
параметрі - аралығындағы мәндерді қабылдаса, онда нүктесі бүкіл
- түзуін береді.
, (1)
теңдігін нүктесі арқылы өтетін және векторы бойымен
бағытталған түзудің векторлық теңдеуі деп атайды.
(1) - ді координаталар бойынша келесі үш теңдеу жүйесі түрінде жазуға
болады:
(2)
Бұл теңдеуді түзудің кеңістіктегі параметрлік теңдеуі деп атайды.
(2-ден - параметрін шығарып оны келесі түрде жазуға болады:
,
-ін түзудің канондық теңдеулері дейді. векторын -
түзуінің бағыттаушы векторы деп атайды.
Екі жазықтықтың теңдеулері жалпы түрде берілсін:
, (3)
. (4)
(3) пен (4) жазықтықтар параллель болмаса түзу бойымен қиылысады және
(3) және (4) теңдеулер кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеулері деп аталады.
жазықтығы мен
түзуінің арасындағы бұрышын (11-сурет)
(5)
формуласымен табуға болады.
24-26 дәрістер
Тақырыбы: Екінші ретті сызықтар. Екінші ретті беттер.
1. Жазықтықтағы екінші ретті қисықтар
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар жүйесінде екінші дәрежелі
айқындалмаған теңдеумен анықталған қисық берілсін:
, (1)
мұндағы - берілген нақты сандар және . Бұл қисықты екінші ретті
қисық деп атайды.
Эллипс. , . (2)
болсын, арқылы белгілейік. - өсінен эллипстің
фокустары деп аталатын және нүктелерін белгілейік.
Анықтама. - фокустарына дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты,
тең болатын нүктелердің геометриялық орны эллипс деп аталады (12-
сурет).
(2) - ді эллипстің канондық теңдеуі дейді, ал мен эллипстің
сәйкес үлкен және кіші жарты өстері деп аталады.
Егер болса, онда , яғни эллипс графигі - өсін ,
нүктелерінде қияды. болса, онда , яғни эллипс графигі
- өсін , нүктелерінде қияды. Бұл нүктелерді эллипстің
төбелері деп атайды.
- ті - ке, - ті - ке ауыстырсақ (2) - теңдеу
өзгермейді, демек, эллипс өсіне және өсіне салыстырғанда
сәйкес симметриялы, сондықтан және өстері эллипстің симметрия
өстері деп аталады (эллипстің фокустері арқылы өтетін өс фокальдік өс деп
аталады).
- санын эксцентриситет деп атайды. Эллипс эксцентриситеті үшін
теңсіздіктері орындалады.
теңдеулерімен анықталатын (фокальдік өске перпендикуляр) түзулер
эллипстің директрисалары деп аталады.
Эллипс теңдеуін параметрлік түрде
(3)
деп жазады. Шынында да
,
яғни (3) - теңдіктерімен анықталған нүктесі кез келген үшін (2)
- гі эллипске жатады.
Гипербола.
. (4)
деп алып - өсінің бойынан (4) - гипербола фокустері деп
аталатын , нүктелерін белгілейік (13 сурет).
Анықтама. және фокустарға дейінгі қашықтықтарының айырымы
тұрақты тең нүктелердің геометриялық орны гипербола деп аталады.
(4) - теңдеу гиперболаның канондық теңдеуі деп аталады.
(4) - теңдеуден гипербола өсіне де өсіне де салыстырғанда
симметриялы болатынын байқаймыз. Мұнда - өсіндегі кесіндісі
және - өсіндегі кесіндісі гиперболаның сәйкес нақты және
жорамал өстері деп аталады.
Егер болса, онда , яғни гипербола - өсін және
нүктелерінде қияды. Осы нүктелерді
гиперболаның төбелері дейді.
Егер болса, онда , ал бұл теңдеудің нақты түбірі жоқ, демек
гипербола - өсімен қиылыспайды. Эллипстегі сияқты, - нүктесі
гипербола центрі деп аталады.
Гиперболаның эксцентриситеті, директрисалары элллипстегі сәйкес
анықтамалар арқылы анықталады. Гипербола үшін .
Суретте теңдеуімен екі түзу сызылған. Олар гипербола асимптоталары
деп аталады. Асимптота анықтамасы ілгеріде математикалық талдау курсында
қарастырылады.
Парабола . (5)
- өсінде парабола фокусі деп аталатын нүктесін белгілеп,
парабола директрисасы деп аталатын түзуін жүргіземіз (14 - сурет).
Анықтама. Фокус пен директрисадан бірдей қашықтықта орналасқан
нүктелердің геометриялық орны парабола деп аталады
(6) - шы теңдеуді параболаның канондық теңдеуі дейді, ал санын оның
параметрі деп атайды. - нүктесін парабола төбесі дейді. өсі
парабо-ланың симметрия өсі деп атал
2. Екінші ретті беттер деп координаталары теңдеуін қанағаттандыратын
кеңістіктегі нүктелер жиынын айтады, мұндағы А;В;С;Д;Е;F коэффициенттерінің
ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше.
1. Сфера теңдеуі: (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2,
мұндағы (x0,y0,z0)-сфера центрінің координатасы, R –радиуысы.
Центрі (x0,y0,z0) нүктесінде болатын сфераның параметрлік теңдеуі:
мұндағы и
2. Цилиндрлік бет деп берілген түзуіне параллель болып қала отырып
сызып шығатын және берілген сызығы қиятын бетті айтады (4-сурет).
сызығы оның бағыттаушысы, ал қозғалмалы түзуінің әрбір жағдайы-
жасаушысы делінеді. түзуін координата өстерінің бірімен дәл
келетіндей етіп, координаталар жүйесін таңдап алуға болады. Жасаушысы оz
өсіне параллель цилиндрлік беттің теңдеуінде z айнымалысы болмайды., яғни
беттің теңдеуі мына түрде болады:
3. Конустық бет деп берілген нүктеден өтетін және берілген сызықпен
қиылысатын түзулердің геометриялық орнын айтады. Берілген нүктені конустың
төбесі, берілген сызықты-конустың бағыттаушысы, ал түзулердің өздерін
конустың жасаушылары дейді. Төбесі координатаның бас нүктесі, өсі oz
болатын екінші ретті конустың теңдеуі мынадай: .
27-30 дәріс
Тақырыбы: Матрицалық талдау элементтері.
1.n-өлшемді векторлық кеңістік.
Анықтама. х (- х векторының құраушылары) түрінде жазылатын
n нақты сандардың реттелген жиыны n-өлшемді векторлық кеңістік деп аталады.
Ескерту. n өлшемді вектордың құраушыларын индекстері әртүрлі бір ғана
әріппен белгілейміз де вектордың өзін жуан шрифтпен жаза отырып сол әріппен
таңбалаймыз.
n өлшемді векторлар үшін коммутативтік, ассоциативтік, дистрибутивтік
сияқты қасиеттер (1-8) орындалады.
Анықтама. (1-8) қасиеттерді қанағаттандыратындай векторларды қосу
және векторды санға көбейту амалдары анықталатын нақты құраушылары бар
векторлар жиынын векторлық кеңістік дейміз.
R векторлық кеңістіктегі векторлардың сызықтық жіктелуі деп
түрінде жазылған aвекторын айтамыз, мұндағы -кез келген
нақты сан.
теңдігі орындалатындай, бір мезгілде нөлге тең болмайтын
сандары бар болса, онда R векторлық кеңістіктегі векторлары
сызықтық тәуелді деп аталады.
R сызықтық кеңістікте n сызықтық тәуелсіз векторлар табылатын болса,
мұндай кеңістік n өлшемді деп аталады. n саны R кеңістіктің өлшемі деп
аталады және түрінде таңбалаймыз.
Анықтама. n өлшемді R кеңістіктің n сызықтық тәуелсіз векторларының жиыны
базис деп аталады.
х векторының базисі бойынша жіктелуі: , мұндағы -х
векторының осы базиске қатысты координаталары деп аталады.
2. Жаңа базиске көшу.
3. Евклидтік кеңістік. Сызықтық (векторлық) кеңістікке метрика енгіземіз,
яғни бұрыштар мен ұзындықтарды өлшеу әдістерін енгіземіз.
Анықтама. х және у екі векторының скаляр көбейтіндісі деп
санын айтамыз. Скалярлық көбейтудің (1-4) қасиеттер орындалады.
4. Анықтама. (1-4) қасиеттерді қанағаттандыратын векторлардың скаляр
көбейтіндісі берілген сызықтық (векторлық) кеңістіктік евклидтік кеңістік
деп аталады.
х векторының евклидтік кеңістігі ұзындығы (нормасы):
Егер екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, бұл векторлар
ортогональ векторлар деп аталады.
n өлшемді евклидтің кеңістіктегі векторлары ортогоноаль бази
құрайды, егер бұл векторлар қос-қостан ортогональды болса және әрқашан
нормасы 1-ге тең болса, яғни =0, егер , мұндағы .
n өлшемді кеңістікті түрінде жазуға болады.
5. Сызықтық операторлар. Екі сызықтық кеңістікті қарастырамыз (және
), олар n және m өлшемді болсын.
Анықтама. кеңістігіндегі әрбір х векторына кеңістігіндегі у
векторы сәйкес қойылатындай заң берілсе, онда -нен -ге әсер
ететін операторы (түрлендіру, бейнелеу) берілген деп айтады да
түрінде жазады.
кеңістігіндегі кез келген х және у үшін, саны үшін мына
қатынастар орындалатын болса оператор сызықты деп аталады (оператордың
аддитивтік және біртектілік қасиеті): .
6. Меншікті векторлар және сызықтық операторлардың меншікті мәндері.
Анықтама. қатынасы орындалатындай саны табылса, х векторы
операторының меншікті векторы деп аталады. саны А операторының
(А матрицасының) х векторына сәйкес меншікті мәні деп аталады.
Меншікті вектор А операторының әсерінен өзіне коллинеар векторға
көшеді, яғни жай ғана қандай да бір санға көбейтіледі.
теңдігін түрінде жазуға болады, мұнадығы х векторы вектор-
баған түрінде жазуға болады.
7. Квадраттық формалар. Әрбір мүшесі айнымалылардың бірінің квадраты немесе
қандай да бір коэффициентімен алынған екі әртүрлі айнымалының
көбейтіндісі болып келген n айнымалылы қосындысы квадраттық форма деп
аталады.
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТАР
№1, №2-практикалық cабақ
тақырыбы: Анықтауыштар мен матрицалар
мақсаты: матрицаларды қосуды, көбейтуді үйрену.
1-есеп. 1. Есептеңіздер: , мұндағы
,
Шешуі:Екі матрицаның реті: . А-ның барлық элементтерін 6-ға
көбейтеміз:
.
В-ның барлық элементтерін (-1)-ге көбейтеміз:
С-ның элементтерін табамыз:
2-есеп..А және В матрицалары берілген.Табыңыздар:.
,
Шешуі:
А матрицасының реті 2×3, бағандар саны 3, В матрицасының реті3×3, бағандар
саны 3, реттері келісілген. Бұл матрицалардың көбейтіндісін табу мүмкін
емес.
С матрицасының реті:2 ×3.
Бірінші жолдың элементтері:
Екінші жолдың элементтері:
Алынған матрицасның түрі:
.
Тапсырмалар:
1. Табу керек: және :
, .
2. Табу керек: және :
, .
3. Табу керек: және :
, .
4.Есептеңіздер:
№3, №4-практикалық cабақ
тақырыбы: Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
мақсаты: сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу
1-есеп.
Шешуі:
;
Тапсырмалар:
№5, 6-практикалық cабақ
тақырыбы: Гаусс әдісі
мақсаты: белгісіздерді біртіндеп жою әдісімен (Гаусс әдісі) сызықтық
теңдеулерді шешу.
1-есеп. Теңдеуді шешіңіздер:
Жеке шешімдері:
Тапсырмалар:
№7, 8-практикалық cабақ
тақырыбы: Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтіндісі
мақсаты: Векторлардың скаляр, векторлық және аралас көбейтінділерін таба
білу.
1-есеп.. Сандық мәнін табыңыздар:
3((-2(.)+4((2, если (( = ; (( = 6,
() =
3((-2(.)+4((2 = 3. - 2. . 6cos()+4 .
36 = (3+144 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz