Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің классификациясы мен канондық түрлендірулері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы

Екі айнымалыдан тәуелді дифференциалдық теңдеулер.
Көп айнымалылы екінші ретті дифференциалдық теңеулер

. 3. Тұрақты коэффицентті тeңдeулердің жәй түрлері.

Белгісіз

\[u(x,y)\]

функциясы мен оның екінші реттіге дейінгі дербес туындыларын байланыстыратын

\[F{\bigl(}x,y,u,u_{x},u_{y},u_{x x},u_{x y},u_{y y}{\bigr)}=0\]

теңдеуін, екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады. Тәуелсіз айнымалылары көп болғанда да теңдеу осы түрде жазылады.

\[a_{11}u_{x x}+2a_{12}u_{x y}+a_{22}u_{y y}+F\bigl(x,y,u,u_{x},u_{y}\bigr)=0\]

(1)

Жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық делінеді, мұндағы

\[a_{i j}\left(x,y\right)\]

Егер

\[{\cal Q}_{i j}\left(\chi_{,}\,y_{,}\,M_{,}\,M_{x},M_{y}\,\right)\]

болса, онда теңдеу квазисызықтық деп аталады.

Теңдеу жоғарғы ретті туындылары

\[\bar{\cal M}_{\scriptscriptstyle X X}^{\phantom{A}}\,j d_{\scriptscriptstyle X y}\,j^{\scriptscriptstyle\prime}\]

, бойынша да, сондай-ақ функция U және бірінші ретті туындылары

\[\bar{\mathcal{M}}_{\scriptscriptstyle\chi,\mathsf{Z}}\bar{\mathcal{M}}_{\scriptscriptstyle\mathcal{N},\mathsf{Z}}\]

бойынша да, яғни

\[a_{11}u_{x x}+2a_{12}u_{x y}+a_{22}u_{y y}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+c u+f=0\]

(2)

турінде болса, сызықтық деп аталады, мұнда

\[Q_{i j}\,\left(\chi_{},\,y\right)\]

\[b_{i}\left(x,y\right)c\left(x,y\right)f\left(x,y\right)\]

Егер коэффиценттері

\[a_{i j},b_{i},c\]

тұрақты болса, теңдеу тұрақты коэффициентті деп аталады. Кері түрлендірулері мүмкін болатын

\[x=\phi\]

\[\left(x,y\right)\]

\[\scriptstyle h\,=\,v\]

\[\left(x,y\right)\]

турлендірулерін таңдау жолымен, теңдеуге эквивалентті, жазылу турі жеңіл теңдеуге келеміз.

\[\begin{array}{l l}{{u_{x}=u_{x}x_{x}+u_{h}h_{x},}}\\ {{u_{y}=u_{x}x_{y}+u_{h}h_{y},}}\\ {{u_{x x}=u_{x x}x_{x}^{2}+2u_{x h}x_{x}\partial_{x}+u_{x h}\bar{a}_{x}\partial_{x}+u_{x}x_{x y}+u_{x}x_{x y}+u_{h}\eta_{y y},}}\\ {{u_{x y}=u_{x x}x_{x}^{2}+2u_{x h}x_{y}+u_{x t}x_{y y}+u_{x}x_{y y}+u_{x}x_{y y}+u_{x}\eta_{y y},}}\end{array}\]

(3)

Түрлендірулерді (3) теңдеуге (1) қойып, келесі теңдеуді аламыз.

\[\overline{{{Q}}}_{1}1M_{x x}\:+\overline{{{Z}}}Q_{12}M_{x h}\:+\overline{{{Q}}}_{22}M_{\eta\eta}\:+\overline{{{F}}}^{\prime}\longrightarrow\nonumber\]

(4)

\[\overline{{{a}}}_{11}=a_{11}{x_{x}^{2}}+2a_{12}{x_{x}x_{y}}+a_{22}\xi_{y}^{2},\]

\[\begin{array}{l}{{\overline{{{a}}}_{12}=a_{11}x_{x}h_{x}+a_{12}\bigl(x_{\mu}{}_{y}+h_{x}x_{y}\bigr)+a_{22}x_{y}h_{y},}}\\ {{\overline{{{a}}}_{22}=a_{1}h_{x}^{2}+2a_{1}h_{x}h_{y}+a_{22}\eta_{y}^{2}}}\end{array}\]

Мұнда

\[F{\bigl(}x,y,u,u_{x},u_{y}{\bigr)}=b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+c u+f\]

болса, онда

\[\overline{{{F}}}=\left(\chi,h\,,u,u_{x}\,,u_{h}\,\right)\!\!=\!b_{1}u_{x}\,+\partial_{\,2}u_{\eta}\,+g u+\partial\]

, яғни бастапқы теңдеу сызықты болса, түрлендіруде сол күйі сақталады.

Коэффицент

\[{\overline{{a}}}_{11}=0\]

болуы үшін

\[a_{11}z_{x}^{2}+2a_{12}z_{x}z_{y}+a_{22}z_{y}^{2}=0.\]

(5)

теңдеуі қарастырылады.

Лемма 1. Егер

\[z=\phi\left(x,\,y\right)\]

теңдеудің (5) шешімі болса, онда

\[\phi(x,y)=c\]

келесі теңдеудің

\[a_{11}d y^{2}-2a_{12}d x d y+a_{22}d x^{2}=0\]

(6)

теңдеуінің жалпы шешімі;

Лемма 2. Егер

\[\phi(x,y)=c\]

теңдеудің (6) жалпы шешімі болса, онда функция

\[z=\phi\left(x,y\right)\]

(5) теңдеуді қанағаттандырады.

Теңдеу (6) бастапқы теңдеудің (1) сипаттаушысы (характеристикалығы) теңдеудің интегралдары оның сипаттаушысы ( характеристикалары) деп аталады.

\[x=\phi\!\left(x,y\right)\]

десек

\[u_{{\xi_{t}},\nonumber}\]

-дің коэффиценті нөлге айналады,

\[\psi\,=(x,y)=c o n s t\]

теңдеудің (6) жалпы интегралы болса, онда

\[h=\phi(x,y)\]

десек

\[M_{\eta\bar{\eta}}\]

-ның коэффициенті нөлге айналады.

Теңдеу (6) келесі теңдеулерге жіктеледі:

\[\frac{d y}{d x}=\frac{a_{12}+\sqrt{a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}}}{a_{11}},\]

(7)

\[\frac{d y}{d x}=\frac{a_{12}-\sqrt{a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}}}{a_{11}}.\]

(8)

Түбір астындағы өрнектің таңбасы теңдеудің

\[a_{11}u_{x x}+2a_{12}u_{x y}+a_{22}u_{y y}\]

\[{}+F\]

\[\mathbf{\partial}=0\]

түрін анықтайды.

\[\mathrm{D}(M\,)=a_{12}^{2}(M\,)-a_{11}(M\,)a_{22}(M\,)\]

\[M(x,y)\]

десек, М нүктесінде теңдеу

1. гиперболалық тектес деп аталады, егер

\[\Delta(M)\]

>0 болса,

2. параболық тектес деп аталады, егер

\[\mathrm{D}(M)=0\]

болса,

3. эллиптикалық тектес деп аталады, егер

\[\operatorname{D}(M)<0,\]

болса

\[\operatorname{D}(M)\gg0\]

болса,

\[x\,=\phi(x,\ y),\]

\[h=\psi\left(x,y\right)\]

десек, теңдеу

\[u_{x h}\,=\Phi\!\left(x,\eta\,,u,u_{x}\,,u_{\eta}\,\right)\]

\[\mathbf{F}=-{\frac{\overline{{F}}}{2a}},\]

гипербола тектес канондық ( жәй ) түріне келеді.

Практикада келесі түрдегі канондық теңдеулер де қолданылады. Алмастырулар жасаймыз.

\[x=a+\beta\,,\]

\[h=a-{\boldsymbol{\beta}}\]

, немесе

\[a\,={\frac{x+\eta}{2}}\,,\]

\[b={\frac{x-\eta}{2}}\]

десек теңдеу мына канондық түріне келтіріледі.

\[u_{a a}\ -\ W_{\beta\beta}\ =\Phi_{1}\]

\[\wedge_{\mathfrak{L}}\]

(M) =0 болса,

\[\phi\!\left(x,y\right)=c o n s t\]

үшін

\[\forall\eta\left(x,y\right)\]

функциясын,

\[{\phi}\left(x,y\right)\]

Функциясынан тәуелсіз таңдаған, алмастырулар нәтижесінде парабала тектес теңдеудің канондық түрін аламыз

\[u_{h h}\,=\Phi\!\left(x\,,\eta\,,u,u_{x}\,,u_{\eta}\,\right)\]

\[\begin{array}{l l}{{\dot{\Omega}}}&{{\overline{{F}}}}\\ {{\overline{{\mathrm{C}}}}}&{{-\,-\,\frac{R}{Q_{22}}\,\dot{\phi}.}}\end{array}\]

\[\Delta(M)\]

<0, болса,

\[\phi(x,y)=c\]

, (7) теңдеудің комплекс интегралы десек,

\[\phi*(x,y)=c\]

оған түйіндес (8) теңдеу шешімі

\[x=\phi(x,y)\]

\[h=\phi^{**}(x,y)\]

алмастыруларымен

\[a={\frac{j\,+\,\phi^{\mathrm{st}}}{2}},\]

\[b={\frac{j-\phi^{*}}{2i}}\]

онда

\[x=a+i\beta\,,\]

\[h=a-i\beta\]

дей отырып, эллиптикалық тектес теңдеудің канондық

түрін аламыз.

\[\frac{\vec{\alpha}}{\hat{\mathrm{e}}}\hat{O}=-\ \frac{F}{a_{22}}\,\hat{\mathrm{e}}\]

Сонымен

\[\Delta(M)\]

<0, (гиперб. тектес)

\[u_{x x}-\,u_{y y}=\mathbf{F}\,,u_{x y}=\Phi\]

\[\operatorname{D}(M)<0,\]

(эллиптик. тектес)

\[u_{x x}+u_{y y}=\Phi\]

\[\operatorname{D}(M)=0,\]

(парабола тектес)

\[u_{x}=\Phi\]

2. Нақты коэффиценттерімен сызықтық дифференциалдық теңдеуді

(9)

Келесі түрлендірулермен

\[{\cal x}_{\,_{k}}=\xi_{_{k}}\bigl(x_{_{1\dots}}x_{_{n}}\bigr)\bigl(k=\overline{{{1,n}}}_{y}\]

\[u_{x_{i}}=\mathop{{\Delta}^{\circ}}_{k=1}^{a}u_{x_{k}}a_{_{i k}},u_{x_{i}x_{j}}=\underbrace{{\frac{a}{\Delta}}^{\circ}{\stackrel{\circ}{\Delta}}^{\circ}}_{l=1}^{a}u_{x_{k}x_{l}}a_{_{i k}}a_{_{j l}}+\sum_{k=1}^{n}u_{_{\xi_{k}}}(\xi_{k})x_{_{i}},\]

\[a_{_{i k}}=\frac{\mathbb{R}_{k}}{\partial x_{i}}\]

канондық түрге, екі айнымалыдағы әрекеттермен келтіруге болады. Бастапқы теңдеу мына түрге келтіріледі.

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{s}{\lambda_{\ k l}}u_{x_{i}x_{l}}+\frac{s}{\lambda}^{n}\,\overline{{{b}}}_{k}u_{\xi_{i}}\,+c u+f=0\]

\[\overline{{{a_{k l}}}}=\underline{{{a}}}^{a}\stackrel{\stackrel{\leftarrow}{\Delta}}{\Delta}_{j=1}^{a}a_{i j}a_{\ i k}a_{\ j l},\stackrel{\longrightarrow}{\bar{b}}_{k}=\underline{{{a}}}^{a}~b_{i}a_{\ i k}+\sum_{i=1}^{n}\stackrel{\stackrel{\leftarrow}{\partial}}{\Delta}a_{i j}(\xi_{k})_{x_{i}x_{j}}\]

Квадраттық түрлер

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.