Диференциал теңдеулердің тұрақтылық белгілерін анықтаудың Пуянкаре-Ляпунов әдісі

Болжап жатамыз, мысалы не облыста G туралы екі тұйық сызық түрінде салған және , екі айналма облыс және бар болушылар еместер өзі кесіп өтеді.
Мүмкін жазықтық векторлары поляр сызықтарда және бағытталған немесе тек қана ішіне немесе тек қана сыртқы сахина бөліміне . Егер мына шарт жанында , жоқ болып сахина ішінде жүйе тыныштығы нүктелердің аралығы (1), ал интеграл қисықтар жеткілікті дұрыс орналасқан , онда дәлелдеу мүмкін болған сахина ішінде бар болып жатыр бірақ бір шектің жүйе циклі (1).
Үлгіде жалпы мынаны түсіндіріп жатырмыз .
(2)

толысыз айқын болып жатыр. және сонымен қатар , қайда тұрақты сан мен функция туралы кейінгі жағдай. Келесі шарттар қанағаттандырып жатыр.

т.б. Туралы жұпсыз функция у;
т.б. туралы дәлелдеп жатыр не жүйе аралығы (2) жоқ бірақ, бір шекті цикл , егер тек қана екі қисық контактісіз үшін мынаны салып жатырмыз, (0,0) тыныштық нүкте қоршаған және бір сыпыра айналма шек облыс қойылған. Алдымен жоғарғы жазықтықта қарап шығып жатырмыз. (См. Сурет.2) қайда .
сурет-2

Қосалқы теңдеуді содан кейін қарап шығып жатырмыз.

Егер - интеграл қисық мына теңдеудің, жоғарғы жарты жазықтықта жатқан теңсіздік байланысты (*) жүйе жазықтық векторы (2) мына сызықтар тыймайды. Демек, бар сызық контактісіз.
Сондай сызықтардың теңдеуін жеңіл алу дәл осындай қарапайым сияқты теңдеу жеңіл интегралданады. Нақты жүйені тиісті қарастырып жатырмыз.

Болжап жатырмыз, не сол уақытта жеңіл табамыз немесе

Мұнда тұрақты, қанағаттандырып жатыр.
. Шарт орындалды. .
Сол уақытта өзгерту үшін шектерді есептейміз, , өзгеріп жатыр. Өзгергіш және нүкте сәйкестігі , және жауап беріп жатыр, және нүкте сәйкестігі және қисық .Бұларды нүктелерде мен қисық кесіп өтіп жатыр ОХ .