Импульс моменті


МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
1 ИМПУЛЬС МОМЕНТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6
1.1. Қозғалмайтын бастамаға қарасты күш моменті және импульс моменті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
6
1.2. Қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті және күш моменті. Қозғалмайтын осьті айнала қозғалғанда импульс моментінің теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .


10
1.3. Айналу импульсінің сақталу заңына мысалдар ... ... ... ... ... .
15
2 ИМПУЛЬС МОМЕНТІНІҢ САҚТАЛУ ЗАҢЫ ... ... ... ... ... ... ... ...
20
2.1. Тұйық жүйе үшін импульс моментінің сақталу заңы ... ... ... .. 20
2.2. Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның екінші заңы. Импульс моментінің сақталу заңы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
26
2.3. Импульс моментінің сақталу заңдарының қолданулары ... ... ... .
30
3 ТАБИҒАТТАҒЫ КЕҢІСТІК ЖӘНЕ УАҚЫТ АРАСЫНДАҒЫ КОНЦЕПЦИЯ БАЙЛАНЫСЫ ... ... ... ... ...

42
3.1. Кеңістік және уақыттың біртектілігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 42
3.2. Масса мен энергияның арасындағы қатынастың эксперименталдық тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
44
3.3. Потенциалдық энергияның инерттілігі. Байланыс энергиясы... 46
3.4. Сақталу заңдары және кеңістік пен уақыттың симметриялары.. 48
3.5. Кеңістік пен уақыт қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 60
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 63
КІРІСПЕ

Физиканың өзінің алғашқы бастамасы табиғаттың фундаментальды заңдарынан бастайды. Бүгінгі күнгі прогресс жаратылыстанудың барлық облыстарында физиканың ұғымдары мен зерттеу әдістерімен байланысты. Кеңістік және уақыт белгілі қасиеттерге ие болады, ол қасиеттер физикалық құбылыстардың жүруіне ықпал жасайды. Ондай қасиеттер біртектілік, изотроптылық. Бұл жағдай импульстің және энергияның сақталу заңдарын универсальды екендігін түсіндіреді, яғни табиғатта әртүрлі физикалық обьектілер үшін орындалады. Импульстің сақталу заңы кеңістіктің изотроптылығымен байланысты. Бұл заңның практикалық мағынасы – олардың шамалар арасындағы әсерлесуіне қарамастан байланыстарды табу, яғни жалпы түрде орындалады.
Физикалық шамалардың (жылдамдық, үдеу, күш және т.б.) ішінен импульс, импульс моменті және энергия деген шамаларды енгізу арқасында физикадағы көптеген қиын сұрақтар мен проблемаларды шешуге мүмкіндік береді. Күш векторлық шама орнына энергия скаляр шамасы эффективті нәтиже беретіні мәлім. Осыған байланысты дипломдық жұмыста айтылатын мәселе импульстің сақталу заңы–кеңістіктің біртектілігімен, импульс моментінің сақталу заңы – кеңістіктің изотроптылығымен, энергияның сақталу заңы –уақыттың біртектілігімен байланыстырып, оның актуальдығын көрсетеді.
Қазіргі кезде импульс және энергияның сақталу заңдарын оқу - әдістемелік тұрғысынан көрсету және түсіндіру маңызды мәселе болып тұр. Педагогиканың негізгі мәселесі физиканың өте қиын теориялар мен демонстрациялары көрнекті, қарапайым және түсінікті болу қажет.
Дипломдық жұмыс жоғарғы оқу орнында жасалғандықтан оның теориялық физика деңгейінде де көрсетілуі міндетті. Сондықтан классикалық механика теориясының элементтерін келтіру қажет. Бұл жерде дифференциалдық есептеулер орын алады, Себебі мектеп курсында бұл элементтерді қарастырады.
Физика бізді табиғаттың жалпы заңдарымен таныстырады, ол заңдар біз қоршаған құбылыстарды басқаруға көмектеседі. Физиканың мақсаты – табиғаттың жалпы заңдарын іздеу және солардың негізінде нақтылы процестерді түсіндіру. Физика тарихында әлемнің көрінісін механикалық көзқараспен түсіндірді. Оған негізгі заң ретінде Ньютон заңдары себеп болды. Бірақ қарапайым механикалық көрінісі жеткілікті болмады. Механиканың сақталу заңдарын, осыған қарамастан, физикада немесе техникада өзінің тарихи орнын жоғалтпайды және оның маңызы әліде ашыла бермек. Энергетикада болып жатқан өзгерістер, яғни жылу электростанцияларынан органикалық материалдан энергия алу, одан кейін атом энергиясына көшу. Комплекстік автоматизация және механизация өнеркәсіпте және ауыл шаруашылығында өзгеріс жасайды. Физика қазіргі кездегі жаратылыстанудың лидері болып табылады. Ол ғылымға, техникаға, өндіріске, энергияның, импульстің және импульс моментінің сақталу заңдары физикалық процесстердің жүруін түсіндіруде маңызды роль атқарады. Біріншіден, бұл жұмыста сақталу заңдарының кеңістік және уақыттың түпкі қасиеттерімен байланыстылығын көрсеткен. Әрине бұл мәселелер әдебиетте өте түсінікті түрде толық қамтылған. Жалпылама түрде айтсақ, сақталу заңдары кеңістік пен уақыттың симметриясының салдары болып табылады. Бұл дипломдық жұмыста бұл проблемаларды педагогикалық – әдістемелік тұрғысынан ашып көрсеткен, оның мектеп курсында қолданылуы қажет және маңызды деп есептеймін.
Өзeктiлiгi: Механиканың маңызды заңдары импульс моменті және күш моменті ұғымдарымен байланысты. Нүктеге қарасты немесе оське қарасты бұл моменттердің мағынасы әр түрлі. Нүктеге қарасты және оське қарасты вектордың моменті - әртүрлі ұғымдар, бірақ олар бір - бірімен байланысты. Нүктеге қарасты вектордың моменті өзі вектор болып табылады. Оське қатысты вектордың моменті – оның осы осьте жататын нүктеге қатысты моменттің проекциясы. Сондықтан оське қатысты вектордың моменті вектор бола алмайды. Сақталу заңдары (импульстің, импульс моментінің және энергияның) универсалды болғандықтан, оларды қолданулардың мүмкіндігі әлі көп.
Зeрттey мaқcaты: Айналмалы қозғалыстар үшін импульстің моментінің сақталу заңын және энергияның сақталу заңын мектептегі эксперименттер жасау.
Зeрттey oбъeктici: Физикaны oқытy прoцeciндe жoбaлaп жәнe зeрттey әдiciн қoлдaнyғa бaғыттaлғaн, жaлпы бiлiм бeрeтiн мeктeптeрдe ұйымдacтырy-пeдaгoгикaлық ic-әрeкeт.
Зeрттey пәні: Мeктeптe oқy ic-әрeкeтiн жeкeлeндiрy мeн диффeрeнциaлдayғa eркiн мүмкiндiк бeрeтiн физикaны oқытyдa жoбaлaп жәнe зeрттey тәciлдeрiн қoлдaнy, жәнe oл oқyшылардың oрнын aнықтayғa көмeк бeрeтiн тaнымдық ic-әрeкeттi бeлceндeндiрy құрaлы бoлып тaбылaды.
Зeрттeyдiң прaктикaлық мaңызы: Зaмaнayи мeктeптeрдe бiлiм бeрeтiн жәнe тәрбиe прoцeciн жeтiлдiрyгe әceр eтeтiн физикaны oқытyдaғы жoбaлaп oқy мeн зeрттey әдicтeрiн қoлдaнy бoйыншa әдicтeмeлiк әдeбиeттeрмeн, тeoриялық жaғдaй жәнe қoрытындымeн aнықтaлaды. Oқy – тәрбиe прoцeciн ұйымдacтырyдa жaлпы бiлiм бeрeтiн мeктeп мұғaлiмдeрi қoлдaнyғa бoлaтын зeрттey мәлiмeттeрi; Импульстің сақталу заңын тұйық жүйелер және тұйық емес жүйелер үшін қолдану. Импуль моментінің сақталу заңын айналатын денелерде қолдану (аннимация). Энергияның сақталу заңын потенциалдық және кинетикалық энергиялардың бір – біріне айналу ретінде көрсету.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. И.В.Савелев « Жалпы физика курсы » 1том «Мектеп Баспасы »Алматы 1977
2. Абдулаев.Ж. « Жаплпы физика курсы » Алматы Білім 1994
3. Фриш С.Э. Тиморева А.В. Жадпы физика курсы 1т және 2т
4. О.Д.Шебалин. Физические основы механики и акустики М: «Вышая школо» 1981
5. Космодемьянсикй А.А. Курс теоритической механики. Часть 1.М.: 1965 Часть 2. М.:1966
6. Терлецкий Я.П. Теоретическая механика.М.:1987
7. Компанеец А.С. Курс теоритической физики.М.:1972, т 1 и т 2
8. Б.Н. Иванов. Законы физики . М: 1986
9. Левич В.Г. Курс теоритической фтзткт. Т.1.М.:1962
10. Матеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: 1976., 416 с
11. Ольховский И.И. Курс теоритической механики для физиков. М.МГУ. 1978., 547 с
12. Петкевич В.В. Теориическая механика. М. : 1981.,496 с
13. Голдстейн Г. Классическая механика. М., 1975, 415 с
14. Ландау Л.Д..Лифщиц Е.М., Механика. Уч. : 1975,415 с
15. Иос Г, Курс теоритической физики. Часть 1. механика и электродинамика 1963,580 с.
16. Савельев И.В. Основы теоритичекой физики, том 1. Механика. Электродинамика. М.:1991
17. Жирнов Н.И. Классическая механика. М.1980
18. Арнольд В.И. Математическое методы классической механики. М.:1979
19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.. Краткий курс теоретической физики. Т.1. М.:1969
20. Гернет М.М. Курс теоритической механики .М.:1987
21. Павловский М.А., Путята Т.В. Теоретическая механика. М.:1985
22. Мултановский В.В. Курс теоретической физики. Классическая механика.М.:1988
23. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М. Наука. 1990
24. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. т 1. Механика М: «Наука» 1989
25. Н. В. Александров. А. Я. Яшин. «курс общей физики. Механика». М. Просвещение, 1978 г.стр 475.
26. Қойшыбаев Н. , Шарықбаев А. «Физика» І том. – Алматы: 2001 ж.-265 бет.
27. Киттель Р., Наит В., Рудерман М. Механика - изд. 3-е испр.Перс. Англ. Пед ред. А.И. Шалыииковы, А.С. Ахметова - М: наука, 1983 - 448 с.
28. Косов В.Н., Красиков С.А. Численное моделирование на уроках физики
29. Алматы. ТОС « Алматы кітап» 2005. - 240с
30. Бурсиан Э.В. Физика: 100 задач для решения на компьютере.
31. Спб: ИД « МИМ» 1997.
32. Наркевич И.И., Лобко С.И., Волмянский Э.И., Физика. - Минск: Новое знание, 2004.- 680с
33. Караев Ж.А. Дидактические проблемы изменения компьютерных
технологий для модернизации школьного образования. -
Алматы: 1994г.
34. Караев Ж.А., Нурахметов Н.Н и др. Дидактические требования к
35. разработке и экспертизе программ учебников, УМК. - Алматы: РИК, 2000.
34.3ахарова И.Г. Информационные технологии в образовании. -М.: Акалемия. 2003. - 192с.
35.Медешова А. Б. «Бастауыш сынып оқушыларының танымдық әрекетін акліраттык технология арқылы қалыптастыру»,- Орал: Ағартушы, 2007. -120бет
36. Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации обучения.-М.: 1988.

Пән: Физика
Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 63 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 1900 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...4
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
1 ИМПУЛЬС 6
МОМЕНТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...
1.1.Қозғалмайтын бастамаға қарасты күш моменті және импульс
моменті ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2.Қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті және күш моменті.
Қозғалмайтын осьті айнала қозғалғанда импульс моментінің
теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... .. 10
1.3.Айналу импульсінің сақталу заңына мысалдар ... ... ... ... ... . 15
2 ИМПУЛЬС МОМЕНТІНІҢ САҚТАЛУ 20
ЗАҢЫ ... ... ... ... ... ... ... .. .
2.1.Тұйық жүйе үшін импульс моментінің сақталу заңы ... ... ... .. 20
2.2.Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның екінші заңы. Импульс
моментінің сақталу заңы 26
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ..
...
2.3.Импульс моментінің сақталу заңдарының 30
қолданулары ... ... ... .
3 ТАБИҒАТТАҒЫ КЕҢІСТІК ЖӘНЕ УАҚЫТ АРАСЫНДАҒЫ КОНЦЕПЦИЯ
БАЙЛАНЫСЫ ... ... ... ... ... 42
3.1.Кеңістік және уақыттың 42
біртектілігі ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ...
3.2.Масса мен энергияның арасындағы қатынастың эксперименталдық
тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 44
3.3.Потенциалдық энергияның инерттілігі. Байланыс энергиясы... 46
3.4.Сақталу заңдары және кеңістік пен уақыттың симметриялары.. 48
3.5.Кеңістік пен уақыт қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...60
... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН 63
ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..


КІРІСПЕ

Физиканың өзінің алғашқы бастамасы табиғаттың фундаментальды
заңдарынан бастайды. Бүгінгі күнгі прогресс жаратылыстанудың барлық
облыстарында физиканың ұғымдары мен зерттеу әдістерімен байланысты.
Кеңістік және уақыт белгілі қасиеттерге ие болады, ол қасиеттер физикалық
құбылыстардың жүруіне ықпал жасайды. Ондай қасиеттер біртектілік,
изотроптылық. Бұл жағдай импульстің және энергияның сақталу заңдарын
универсальды екендігін түсіндіреді, яғни табиғатта әртүрлі физикалық
обьектілер үшін орындалады. Импульстің сақталу заңы кеңістіктің
изотроптылығымен байланысты. Бұл заңның практикалық мағынасы – олардың
шамалар арасындағы әсерлесуіне қарамастан байланыстарды табу, яғни жалпы
түрде орындалады.
Физикалық шамалардың (жылдамдық, үдеу, күш және т.б.) ішінен импульс,
импульс моменті және энергия деген шамаларды енгізу арқасында физикадағы
көптеген қиын сұрақтар мен проблемаларды шешуге мүмкіндік береді. Күш
векторлық шама орнына энергия скаляр шамасы эффективті нәтиже беретіні
мәлім. Осыған байланысты дипломдық жұмыста айтылатын мәселе импульстің
сақталу заңы–кеңістіктің біртектілігімен, импульс моментінің сақталу заңы –
кеңістіктің изотроптылығымен, энергияның сақталу заңы –уақыттың
біртектілігімен байланыстырып, оның актуальдығын көрсетеді.
Қазіргі кезде импульс және энергияның сақталу заңдарын оқу -
әдістемелік тұрғысынан көрсету және түсіндіру маңызды мәселе болып тұр.
Педагогиканың негізгі мәселесі физиканың өте қиын теориялар мен
демонстрациялары көрнекті, қарапайым және түсінікті болу қажет.
Дипломдық жұмыс жоғарғы оқу орнында жасалғандықтан оның теориялық
физика деңгейінде де көрсетілуі міндетті. Сондықтан классикалық механика
теориясының элементтерін келтіру қажет. Бұл жерде дифференциалдық
есептеулер орын алады, Себебі мектеп курсында бұл элементтерді қарастырады.
Физика бізді табиғаттың жалпы заңдарымен таныстырады, ол заңдар біз
қоршаған құбылыстарды басқаруға көмектеседі. Физиканың мақсаты – табиғаттың
жалпы заңдарын іздеу және солардың негізінде нақтылы процестерді түсіндіру.
Физика тарихында әлемнің көрінісін механикалық көзқараспен түсіндірді. Оған
негізгі заң ретінде Ньютон заңдары себеп болды. Бірақ қарапайым механикалық
көрінісі жеткілікті болмады. Механиканың сақталу заңдарын, осыған
қарамастан, физикада немесе техникада өзінің тарихи орнын жоғалтпайды және
оның маңызы әліде ашыла бермек. Энергетикада болып жатқан өзгерістер, яғни
жылу электростанцияларынан органикалық материалдан энергия алу, одан кейін
атом энергиясына көшу. Комплекстік автоматизация және механизация
өнеркәсіпте және ауыл шаруашылығында өзгеріс жасайды. Физика қазіргі
кездегі жаратылыстанудың лидері болып табылады. Ол ғылымға, техникаға,
өндіріске, энергияның, импульстің және импульс моментінің сақталу заңдары
физикалық процесстердің жүруін түсіндіруде маңызды роль атқарады.
Біріншіден, бұл жұмыста сақталу заңдарының кеңістік және уақыттың түпкі
қасиеттерімен байланыстылығын көрсеткен. Әрине бұл мәселелер әдебиетте өте
түсінікті түрде толық қамтылған. Жалпылама түрде айтсақ, сақталу заңдары
кеңістік пен уақыттың симметриясының салдары болып табылады. Бұл дипломдық
жұмыста бұл проблемаларды педагогикалық – әдістемелік тұрғысынан ашып
көрсеткен, оның мектеп курсында қолданылуы қажет және маңызды деп
есептеймін.
Өзeктiлiгi: Механиканың маңызды заңдары импульс моменті және күш
моменті ұғымдарымен байланысты. Нүктеге қарасты немесе оське қарасты бұл
моменттердің мағынасы әр түрлі. Нүктеге қарасты және оське қарасты
вектордың моменті - әртүрлі ұғымдар, бірақ олар бір - бірімен
байланысты. Нүктеге қарасты вектордың моменті өзі вектор болып табылады.
Оське қатысты вектордың моменті – оның осы осьте жататын нүктеге қатысты
моменттің проекциясы. Сондықтан оське қатысты вектордың моменті вектор бола
алмайды. Сақталу заңдары (импульстің, импульс моментінің және энергияның)
универсалды болғандықтан, оларды қолданулардың мүмкіндігі әлі көп.
Зeрттey мaқcaты: Айналмалы қозғалыстар үшін импульстің моментінің
сақталу заңын және энергияның сақталу заңын мектептегі эксперименттер
жасау.
Зeрттey oбъeктici: Физикaны oқытy прoцeciндe жoбaлaп жәнe зeрттey
әдiciн қoлдaнyғa бaғыттaлғaн, жaлпы бiлiм бeрeтiн мeктeптeрдe ұйымдacтырy-
пeдaгoгикaлық ic-әрeкeт.
Зeрттey пәні: Мeктeптe oқy ic-әрeкeтiн жeкeлeндiрy мeн
диффeрeнциaлдayғa eркiн мүмкiндiк бeрeтiн физикaны oқытyдa жoбaлaп жәнe
зeрттey тәciлдeрiн қoлдaнy, жәнe oл oқyшылардың oрнын aнықтayғa көмeк
бeрeтiн тaнымдық ic-әрeкeттi бeлceндeндiрy құрaлы бoлып тaбылaды.
Зeрттeyдiң прaктикaлық мaңызы: Зaмaнayи мeктeптeрдe бiлiм бeрeтiн жәнe
тәрбиe прoцeciн жeтiлдiрyгe әceр eтeтiн физикaны oқытyдaғы жoбaлaп oқy мeн
зeрттey әдicтeрiн қoлдaнy бoйыншa әдicтeмeлiк әдeбиeттeрмeн, тeoриялық
жaғдaй жәнe қoрытындымeн aнықтaлaды. Oқy – тәрбиe прoцeciн ұйымдacтырyдa
жaлпы бiлiм бeрeтiн мeктeп мұғaлiмдeрi қoлдaнyғa бoлaтын зeрттey
мәлiмeттeрi; Импульстің сақталу заңын тұйық жүйелер және тұйық емес жүйелер
үшін қолдану. Импуль моментінің сақталу заңын айналатын денелерде қолдану
(аннимация). Энергияның сақталу заңын потенциалдық және кинетикалық
энергиялардың бір – біріне айналу ретінде көрсету.

1. ИМПУЛЬС МОМЕНТІ

1. Қозғалмайтын бастамаға қарасты күш моменті және импульс моменті

Механиканың маңызды заңдары импульс моменті және күш моменті
ұғымдарымен байланысты. Нүктеге қарасты немесе оське қарасты бұл
моменттердің мағынасы әр түрлі. Нүктеге қарасты және оське қарасты
вектордың моменті - әртүрлі ұғымдар, бірақ олар бір – бірімен
байланысты. Нүктеге қарасты вектордың моменті өзі вектор болып табылады.
Оське қатысты вектордың моменті – оның осы осьте жататын нүктеге қатысты
моменттің проекциясы. Сондықтан оське қатысты вектордың маменті вектор бола
алмайды. Алғашқыда нүктеге қатысты маменттерді қарастырайық.
О – нүктесі күш векторының немесе импульс векторының сол нүктеге
қарасты моменті қарастырылатын кейбір нүкте болсын. Оны бастама немесе
полюс деп атайды. әрпімен осы нүктеден күшінің түсу нүктесіне
дейін жіргізілген радиус – векторды белгілейік (1- сурет) .

O – нүктесіне қарасты күш моменті деп радиус – вектордың
күшке векторлық көбейтіндісін айтады:

(1.1)

1-сурет. Қозғалмайтын бастамаға қатысты күш моменті

Бұл анықтамадан мынадай қорытынды шығады: егер түскен нүктені күш
әсер ететін сызықтың бойында басқа нүктеге ауыстырса, онда момент
өзгермейді. Шындығында да, егер күш түскен нүктені -ны -қа
ауыстырсақ, онда параллелограмы параллелограмына ауысады. Екі
параллелограмдар бірдей негізіне ие болып тұр және олардың
биіктіктері бірдей. Сондықтан олардың аудандары бірдей, сондықтан біздің
берген қорытындымыз дәлелденді[1].
Нүктеге қатысты бірнеше күштердің моменті деп сол нүктеге
қатысты сол күштер моменттерінің қосындысын айтады, яғни
,
(1.2)
мұндағы - қорытқы күш.
Дәл осы сияқты нүктеге О немесе полюске қатысты материалдық
нүктенің импульс моменті анықталады. Ондай шаманы мынандай
векторлық көбейтінді түрінде анықтайды:

(1.3)
Материалды нүктелер жүйесі үшін О кейбір бастамаға қатысты импульс
моменті деп сол бастамаға қатысты импульс моменттерінің қосындысын айтады.
Импульс моментінің және күш моментінің енгізілуі олардың бір –
бірімен байланыстылығынан шығады, ол байланыстылықты моменттер теңдеуі деп
атайды. Басында О бастамасы тыныштықта тұр деп есептейік. Тек қана бір
материалды нүкте үшін (1.3) – ші теңдеуді дифференциалдасақ
.
(1.4)
Егер бастамасы тыныштықта болса бөлшектің импульсі
өзінің жылдамдығымен коллинеарлы болады, яғни

Сонымен қатар тең. Олай болса,
.
Нәтижесінде (1.4) – ші теңдеу мынандай түрге келеді
.
(1.5)
Осы теңдеу бір материалды нүкте үшін моменттер теңдеуі болып табылады.
Бұл теңдеу Ньютон механикасы және релятивті механика үшін де орынды, себебі
оны қорытып шығарғанда материалды нүкте массасының тұрақтылығы ескерілген
жоқ.
Енді (1.5)–ші теңдеуді материалды нүктелер жүйесіне қолданайық. Ол үшін
(1.5)–ші теңдеуді әрбір нүкте үшін жазайық. Әрбір нүктеге әсер ететін ішкі
және сыртқы күштер бар. Содан кейін теңдеулерді қосайық. Мысалы,

(1.6)
- терді қосқан кезде ішкі күштердің моменттері қос–қос болып
жойылады, себебі -ші нүкте -шы нүктеге әсер еткен кезде ,
- ші нүкте -шы нүктеге әсер ететін күшке шамасы жағынан тең,
бірақ бағыты жағынан қарама қарсы болады. Осындай қосудың арқасында ішкі
күштердің моменттері бір-бірімен қысқартылып жойылады. Соның нәтижесінде
материалды нүктелер жүйесі үшін моменттер теңдеуі
,
(1.7)
яғни қозғалмайтын бастамаға қатысты материалды нүктелер жүйесі импульс
моментінің уақыт бойынша туындысы сол бастамаға қатысты барлық сыртқы
күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең болады.
Егер қозғалмайтын бастамаға қатысты сыртқы күштердің моменті
нольге тең болса, онда сол бастамаға қатысты жүйенің импульс моменті уақыт
бойынша тұрақты шамаға тең болады. Яғни, егер =0 болса, онда (1.6)
теңдеу ,

бұдан .
(1.7)
Бұл тұжырым импульс моментінің сақталу заңы деп аталады. Дербес
жағдайда, импульс моментінің сақталу заңы оқшауланған жүйе үшін орындалады.
Себебі, оқшауланған жүйе үшін сыртқы күштер моменттері нольге тең болады.
Центрлік күштер маңызды роль атқарады. Бұл жағдайда жүйенің материалды
нүктелеріне әсер ететін барлық күштердің бағыттары қозғалмайтын центр О
арқылы өтеді. О нүктесіне қатысты осындай күштердің моменті нольге тең.
Сондықтан О нүктесіне қатысты жүйенің импульс моменті сақталуы қажет, яғни
уақыт бойынша өзгермейді. Бұл жағдай күштер жылдамдыққа тәуелді болса да
орындалады[2].
Импульс пен энергияның сақталу заңдарымен қатар импульс моментінің
сақталу заңы физиканың ең маңызды фундаментальды заңы болып табылады.
Атомдық физикада импульс моменті ұғымы жалпылануы қажет. Себебі классикалық
физикада импульс моменті бөлшектің координатасы және жылдамдығы арқылы
анықталады. Ал атомдық физикада Гейзенбергтің анықталмаушылық қатынасына
сәйкес бір мезгілде екеуі анықталмайды. Сонымен қатар импульс моментіне
бөлшектермен қатар өрістер де ие бола алады, мысалы электромагниттік
өрістер. Классикалық механикадағы ұғымдар мен заңдары атомдарға, ядроның
ішіндегі бөлшектерге және элементар бөлшектерге қатысты процестерге
қолданылады. Сондықтан физикадағы импульс моменті ширек түрде қолданылуы
қажет деген ескертумен шектелеміз. Факті түрде оның қолданылуы қалай жүзеге
асырылады деген сұраққа әлі дайын емеспіз. Физиканы зерттеуші ең алдымен
импульс моментінің механикалық ұғымын жалпылайды және оның сақталу заңын
барлық физикалық процесстерге қолданады деп ескеруі қажет.
Механикадағы импульс моментінің сақталу заңын екі материалды нүктелер
жүйесіне қолданып, оны негізгі постулат ретінде қарастыруға болады. Онда
Ньютонның үшінші заңын механиканың негізгі постулаттарынан алып тастауға
мүмкіндік бар. Механика курсында Ньютонның үшінші заңы импульстің сақталу
заңының салдары ретінде көрсетіледі. Егер импульстің сақталу заңына импульс
моментінің сақталу заңын қоссақ, онда осы екі заңнан Ньютонның үшінші заңын
алуға болады. Шындығында, екі материалды нүктеден тұратын тұйық жүйені
алайық. Бұл екі нүкте бір–бірімен және күштермен әсерлесетін
болсын. Импульстің сақталу заңынан екендігі анықталады, ал импульс
моментінің сақталу заңынан мынадай теңдеу анықталады:
.
(1.8)
Осы теңдеуді уақыт бойынша дифференциалдасақ, онда мынадай теңдеу аламыз:

(1.9)
немесе
(1.10)
болса, онда

(1.11)
Осыдан және векторлары коллениарлы екендігі анықталады. Олай
болса және векторлары да коллениарлы екендігі дәлелденеді.
Сонда және күштері бір түзудің бойында бағытталған, ол түзу екі
материалды нүктелерді қосады.
Күштердің моменті және импульстің моменті осы векторлардың модулі мен
бағытына ғана байланысты емес, сонымен қатар бастама нүктесіне де
(координата басына) байланысты болады. Егер бастама нүктесін орын
ауыстыратын болсақ, онда екі момент те өзгереді: және –екі
қозғалмайтын бастама нүктелері болсын. және радиус-векторлары
арасында

(1.12)
байланыс бар. Мұнда нүктесіне қарасты нүктесінің
радиус–векторы. Жүйенің әрбір нүктесі үшін импульс моменттері өрнегін жазып
және олардың қосындысын алсақ, онда мынадай өрнек аламыз.

М

O

О
2 – сурет. Күш және импульс моментінің бастама нүктесіне байланыстылығы

(1.13)
немесе
, (1.14)
мұндағы - жүйенің толық импульсі.
және - және бастамаларына қатысты жүйенің
импульс моменттері. Егер импульс нольге тең болса, онда .
Бұл жағдайда жүйенің импульс моменті бастама нүктесіне байланысты болмайды.
Дәл сол сияқты
, (1.15)
мұндағы және - және бастамаларына қатысты жүйеге әсер
етуші күш моменттері, ал - бұл күштердің геометриялық қосындысы. Егер
қорытқы күш нольге тең болса, онда . Бұл жағдай жұп күштер (пара
сил) үшін орынды. Жұп күштер туралы айтқан кезде олардың моменті бастама
нүктесіне байланысты емес екендігі осыдан шығады.

1.2.Қозғалмайтын оське қатысты импульс моменті және күш моменті.
Қозғалмайтын осьті айнала қозғалғанда импульс моментінің теңдеуі.

Егер жүйе бір материалды нүктеден тұратын болса, онда оның импульс
моментінің қарапайым геометриялық мағынасы бар. Егер t уақыт моментінде
материалды нүктенің радиус–векторы болсын(3-сурет), dt уақыт ішінде
радиус–вектор -ға тең өсімше алады да, ол радиус–вектор кішігірім
үшбұрыш сызады. Суретте ол штрихталған үшбұрыш. Бұл үшбұрыштың ауданын
мынандай вектор арқылы кескіндеуге болады.
,
(1.16)
Бұл вектордың ұзындығы қарастырылып отырған ауданға тең, ал оның бағыты
үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр.

dt

3–сурет. Секторлық жылдамдық және аудандар теоремасы.

Бұл вектордың туындысы

(1.17)
радиус-вектордың бірлік уақыт ішінде сызатын ауданға тең. Оны секторлық
жылдамдық деп атайды. Анықтама бойынша , онда

(1.18)
Релятивті емес қозғалыста масса тұрақты шама, сондықтан импульс
моменті секторлы жылдамдыққа пропорционал[4].
Егер материалды нүктеге әсер ететін күш центрлік болса және оның бағыты
О полюсінен өтетін болса, онда векторы уақыт бойынша өзгермейді.
Релятивті емес қозғалыс кезінде секторлық жылдамдық та өзгермейді.
Бұл жағдайда импульс моментінің сақталу заңы аудандар заңына өтеді:
const
(1.19)
Бұл теңдеуден екі салдар шығады. Біріншіден, және
векторлары жататын жазықтық векторына перпендикуляр болады. Ол бағыт
тұрақты болғандықтан сол жазықтықта уақыт бойынша өзгермейді. Осыдан
мынандай тұжырым жасауға болады: центральды күштер өрісінде материалды
нүктенің траекториясы жазықтықтың қисық сызығы болады. Екіншіден,
векторының ұзындығы тұрақты болғандықтан әрбір тең уақыт аралығында
материалды нүктенің радиус–векторы өлшемі жағынан бірдей аудандар сызады.
Бұл қағиданы да аудандар заңы деп атайды. Біз аудандар заңына ширек мағына
беруге тырысамыз, яғни аудан өзінің өлшемімен қатар оның кеңістікте
бағытымен сипатталады.
Осының кері тұжырымы да орынды. Егер материалды нүктенің траекториясы
жазықтықтағы қисық сызық және қозғалмайтын бастамадан жүргізілген
радиус–вектор бірдей уақыт аралығында бірдей аудан сызатын болса, онда әсер
етуші күштің бағыты әрқашанда О полюсі арқылы өтеді. Шындығында да
секторлық жылдамдық тұрақты вектор. Сонда импульс моменті де
тұрақты болады. Сондықтан (1.17) формуласына (заңына) сәйкес

Осыдан векторы радиус–векторына коллинарлы болады, оның
бағыты О нүктесінен өтеді. О нүктесі өріс центрі болып табылады, ол
нүктеден тартылу күші немесе тебілу күші материалды нүктеге әсер етеді.
Аудандар теоремасы қозғалмайтын өріс центіріне ғана емес, сонымен қатар
әртүрлі екі нүктенің біреуіне қатысты орындалады. Екі материалды нүкте бір
– бірімен централды күшпен әсерлессін. Келтірілген масса ұғымын қолдана
отырып салыстырмалы қозғалысты бір нүктенің екінші қозғалмайтын нүктеге
қатысты қозғалысына айналдыруға болады. Ондай күш орталығы ретінде екі
нүктенің біреуін алуға болады. Сонда бірінші нүктеден екінші нүктеге
жүргізілген радиус–вектор салыстырмалы қозғалыста әрбір тең уақыт
аралығында бірдей аудандар сызады.
Векторлық теңдеу (1.19) үш скаляр теңдеулерге эквивалентті.
. (1.20)

(1.21)
Бұл теңдеулер декарттық координата жүйесінің осьтеріне проекцияланғанда
алынады. Сыртқы деген индекс сыртқы күш моменттерін есептегенде ішкі
күштер есепке алынбайды деген мағынаны білдіреді. Сондықтан күш
моменті кездесетін теңдеулерде ол тек сыртқы күштердің моментін білдіреді.
және X осьіне қатысты импульс моменті және күш моменті деп
аталады. Сол сияқты У және Z осьтеріне қатысты импульс моменті және күш
моменті ретінде айтылады. Жалпы жағдайда және импульс моменті
және күш моменті және векторларының X осіне проекцияларын
айтады, ал О нүктесі осы қарастырылып отырған осьте жатады. Мына теңдеу

(1.22)
қозғалмайтын X осіне қатысты моменттер теңдеуі деп аталады. Егер сыртқы
күштің моменті кейбір қозғалмайтын оське қатысты нольге тең болса, онда
жүйенің сол оське қатысты импульс моменті тұрақты шама болып қалады. Бұл
қозғалмайтын оське қатысты импульс моментінің сақталу заңы.
күш моментінің геометриялық мағынасын анықтау үшін және
векторларын мына түрде жазайық.
,
(1.23)
Мұндағы векторының X осіне перпендикуляр құраушысы, ал - сол
вектордың оське параллель құраушысы. Сол сияқты және
векторларының мағынасы да сондай. Осы жіктеулерді қолданып былай жазуға
болады:

. (1.24)

Соңғы мүше нольге тең, себебі параллель векторлардың векторлық көбейтіндісі
нольге тең. Фигуралы жақшаның ішіндегі қосынды X осіне перпендикуляр
вектор. Оның X осіне проекциясы нольге тең. Сонымен вектордың X осіне
параллель құраушысы
(1.25)
Осы ғана құраушы моментінің X осіне қатысты табуда роль атқарады. Сол
сияқты проекциясын табу кезінде де векторының X өсіне параллель
құраушысын проекцияласақ жеткілікті:

. (1.26)

Осы айтылғандар жүйеде бірнеше күш болса және бірнеше материалды нүктелер
болса да жалпыланады.
Берілген оське қатысты күштің иіні деп ось пен әсер ететін күш сызығы
арасындағы ең аз қашықтықты айтамыз. Сонда осы оське қатысты күштің моменті
-тің -ге көбейтіндісі ретінде анықталады. Осындай анықтама
элементар физикада беріледі. Күштің түсу нүктесін әсер ететін түзу бойымен
орын ауыстыруға болатындықтан, бұл анықтама жоғарыда келтірілген
анықтамамен сәйкес келеді. Ол 3–суретте келтірілген, мұнда ось сурет
жазықтығына перпендикуляр және О полюстен өтеді.
Дәл осы сияқты материалды нүктенің оське қатысты импульс моменті
сәйкес таңбасымен алынған оське перпендикуляр импульс құраушысын
сәйкес иінге көбейтіндісі ретінде анықталды.
Моменттер теңдеуін айналмалы қозғалысқа қолданайық. Қозғалмайтын ось
ретінде айналу осін таңдап алуға болады. Егер материалды нүкте шеңбер
бойымен қозғалатын болса (4-сурет), онда оның импульс моменті
L = mʋr.
(1.27)
егер ω – бұрыштық жылдамдық болса, онда ϑ = ωr, Сондықтын L = mω.

Егер О осьті айнала материалды нүктелер жүйесі (бірдей бұрыштық
жылдамдықпен) қозғалатын болса, онда
L = mω,
(1.28)
мұнда қосынды барлық материалды нүктелер бойынша алынады. Тұрақты ω шамасын
қосындының алдына шығаруға болады. Сонда
L = Iω,
(1.29)

мұндағы I = Σm.
(1.30)
I шамасы жүйенің берілген оське қарасты инерция моментті деп аталады.
(1.30) теңдеуі жүйе берілген оське қатысты айналған кезде оның импульс
моменті инерция моментін бұрыштық жылдымдыққа көбейтіндісіне тең екендігін
көрсетеді[5].

m

4 – сурет 5–сурет.
Берілген оське қатысты
Қозғалмайтын оське қатысты күштің иіні
импульс моменті

Егер жүйенің айналмалы қозғалысына радиал қозғалыс қатар жүретін
болса, онда олардың бар болуы (1.30) формуласының дұрыстығына күмән
келтірмейді, себебі материалды нүктенің импульс моменті жылдамдыққа
сызықты байланысты. жылдамдықтың бағыты радиус-вектор бойынша
бағытталса немесе оське параллель бағытталса, онда осы оське қатысты
импульс моменті нольге тең. Ондай қозғалыстар L = Iω байланысына әсер
етпейді. Олардың ықпалы тікелей емес және бұл жағдайда I шамасы тұрақты
шама бола алмайды, ол уақыт бойынша өзгереді. Бұл жағдайда

(Iω) = M,
(1.31)
Мұндағы М – сыртқы күштердің оське қатысты моменті. Бұл теңдеу айналмалы
қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі. Бұл теңдеу материалды нүкте үшін
Ньютон заңына ұқсайды. Бұл жерде масса ролін I инерция моменті атқарады,
жылдамдық ролін – бұрыштық жылдамдық ω, ал күштің ролін күш моменті М
сипаттайды, импульстің орнында–импульс моменті L сәйкес келеді. Импульс
моментін L кейде айналмалы импульс деп атайды. Осы терминологияны қолданып
былай айтуға болады: жүйенің айналмалы импульсінің уақыт бойынша туындысы
сыртқы күштердің моментіне тең.
Егер М күш моменті нольге тең болса, онда айналмалы импульс Iω
сақталады.
Маңызды дербес жағдай ретінде қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты
айналуын келтіруге болады. Бұл жағдайда инерция моменті I тұрақты шама
болып қалады. Сонда (1.31) теңдеуі мына түрге келеді:

I = M.
(1.32)
Қатты денінің инерция моментінің I бұрыштың үдеуге көбейтіндісі
сыртқы күштердің моментіне тең болады. (1.32) теңдеуін тереңірек түсіну
үшін оның басқа қорытып шығаруын келтірейік. Ол үшін материалды нүктенің
қозғалыс теңдеуін қолданамыз. Материалды нүкте оське қарасты айналатын
болса, онда

m =Fτ,
(1.33)

мұндағы Fτ –әсер етуші күштің тангенциалды құраушысы. Жылджамдық υ = ωr
болғандықтан, теңдеуді r –ге көбейтсек

(1.34)
Әрбір бөлшек үшін осындай теңдеу жазып, оларды қосамыз. Сонда біз (1.32)
теңдеуіне қайтып келеміз. Бұл жағдайда барлық ішкі күштер қысқартылады да М
тек сыртқы күштердің моменті болып қалады. Бұл элементар қорытып шығарудың
кемшілігі айналмалы қозғалыстың жалпы формасы (1.31) ретінде емес, ол
дербес формасы (1.32) ретінде береді.
Материалды нүкте айналмалы қозғалысының қатты дене қозғалысымен
аналогиясы әрі қарай анықталады. Егер материалды нүкте шеңбер бойымен
айнала қозғалатын болса, онда dφ бұрышқа бұрылған кезде элементар жұмыс
dA=FdS=Frdφ=Mdφ. Осындай өрнек қатты дене үшін де орынды алады, себебі
қатты дененің бұрыштық жылдамдығы нүктенің бұрыштық жылдамдығымен бірдей.
Ішкі күштер қысқартылып кетеді, себебі қатты дене үшін олар жұмыс
жасамайды. Сонымен, қатты дене үшін

dA = Mdφ.
(1.35)

Бұл жерде күштің ролін күш моменті атқарады, ал сызықты орын ауыстыру ролін
– бұрыштық орын ауыстыру жасайды[3].
Айналатын қатты дененің кинетикалық энергиясы

K = Σm= Σm (ωr)² = Σmr²,
немесе
K = Iω² = .
(1.36)

Бұл өрнек материалды нүктенің кинетикалық энергиясына ұқсас. Формальды
ауыстырулар m→I, ϑ→ω, p→I арқылы орындалады.

1.3 Айналу импульсінің сақталу заңына мысалдар.

Импульс моментінің сақталу заңына демонстрациялық тәжірибені Жуковский
орындығы (Н.Е. Жуковский-орыс ғалымы (1847–1921) арқылы орындауға болады.
Жуковский орындығының формасы дискі тәріздес. Диск вертикаль осьті айнала
қозғала алады. Тәжірибе кезінде демонстратор орындыққа отыра алады немесе
оның үстіне тұруы мүмкін. Демонстратор айналған кезде сыртқы күштер ретінде
үйкеліс күші және ауаның кедергісі үлкен рол атқарады. Үйкеліс күштері
шарикті подшивниктерді қолдану арқылы аз шамаға ие болады, ал ауаның
кедергісін ескермеуге болады. Сондықтан жүйенің импульс моменті уақыт
бойынша өзгермейді, жүйе орындықтан және демонстратордан тұрады.
Демонстратор орындықта айналған кезде екі қолын созатын болса ол
жүйенің инерция моментін І көбейтеді, сондықтан айналудың бұрыштық
жылдамдығы ω азаюы тиіс. Егер демонстратор екі қолын көкірегіне жиатын
болса І инерция моменті азаяды, ал бұрыштық жылдамдық ω көбейеді. Эффектіні
күшейту үшін демонстратор екі қолына ауыр гантельдер ұстап тұрады.
Гантельдерді алшақ ұстаған кезде инерция моменті бірнеше рет өседі. Дәл
сонша есе бұрыштық жылдамдық кемиді.
Балерина пируэт жасаған кезде ол аяқтың ұшында айналады. Аяқтары
және қолдары айналу осіне жақындатылған, бұрыштық жылдамдық максимальды
болып келеді. Айналуды бәсеңдету үшін және одан кейін тоқтау үшін балерина
қолдарын алшақтатып және аяғын созады. Керісінше, өзінің денесіне тез
айналу жасау үшін балерина еденнен айналу импульсін алып инерция моментін
азайтып өзінің бұрыштық жылдамдығын көбейтеді. Осындай әдісті турниктегі
гимнаст қолданады[6].
Сальто жасайтын гимнаст трамплиннен секіргеннен кейін өзіне
айналу импульсін береді. Бұл импульс өзінің ары қарай қозғалысында
сақталады. Бастапқыда секірушінің денесі созылған және оның инерция моменті
үлкен. Сосын келесі моментте секіруші бүгіп, инерция моментін үш немесе
одан да көп есе азайтады. Бұрыштық жылдамдық сонша есе өседі. Сол бұрыштық
жылдамдықпен бір, екі немесе үш толық айналым жасауы мүмкін. Содан кейін
гимнаст қайтадан созылып аз бұрыштық жылдамдықпен жерге немесе суға түседі.
Бұл мысалдарда айналу осі кеңістікте қозғалады. Бірақ айналу осі гимнасттың
массалар центрінен өтетін болса, онда айналу қозғалмайтын оське қатысты
сияқты болады.
Жер өз осінен айналған кезде Жуковский орындығы сияқты болады.
Жердің ішіндегі массалардың орын ауыстыруы (жаңбырдың жаууы, вулканның
атылуы, таулардың пайда болуы және т.б) инерция моментін өзгертеді, ал олар
Жердің бұрыштық айналу жылдамдығын өзгертеді. Осының себебінен тәулік
ұзақтығының өзгеруі мүмкін. Тәжірибе жүзінде тәулік ұзақтығы бір жыл ішінде
0,001 с амплитудасына ауытқып тұратындығы дәлелденген. Жер сонымен қатар
сыртқы әсерлерге ұшырайды, біріншіден Ай мен Күннің тартылу күштерінің
салдарынан. Орташа есеппен күн тәулігі жүз жыл ішінде 1,640* секундқа
өседі. Жердің бірқалыпты емес айналуын кварцтық, атомдық және молекулярлық
сағаттар арқылы байқауға болады. Ондай сағаттардың жүруі кварцтың кристалл
торының тербелістерімен басқарылады. Тор тербелістері Жердің айналу
тербелісіне қарағанда жоғары орнықтылығымен айрықшаланады. Сондықтан
қазіргі кезде уақыттың эталоны –секунд – осындай тербелетін процестер
арқылы анықталады. Осыған дейін уақыттың бірлігі Жердің өз осінен
айналуынан немесе Жердің Күнді айналуынан анықталатын болатын.
Жуковский орындығымен жасалатын тәжірибеге қайта оралайық.
Айналатын дененің инерция моменті азайған кезде оның кинетикалық энергиясы
артады (сыртқы күштердің моменті нольге тең болған кезде). Бұл жағдай

K = Iω² =
(1.37)
формуласынан көрініп тұр. Жүйенің айналу моменті L=Iω өзгермейді. Жүйенің
кинетикалық энергиясының өзгерісі кейбір күштердің жұмысы арқылы орындалуы
мүмкін. Ондай күштер ретінде жүйенің ішкі күштері бола алады. Ол күштер
жүйенің импульс моментін өзгерте алмайды. Бірақ олардың жасаған жұмысы
нольден өзгеше және ол жұмыс жүйенің кинетикалық энергиясының өзгерісіне
жұмсалады. Жуковский орындығына отырған демонстратор айналған кезде
айналатын гирлерді ұстап тұру үшін айтарлықтай бұлшық күштерді жұмсау
керек. Адамның гирлерге әсер ететін күші – центрге тартқыш күш.
F = mr,
(1.38)
мұндағы m–гирдің массасы; r –айналу осінен қашықтық. Демонстратор гирлерді
айналу осіне жақындатқанда Ғ күші оң жұмыс жасайды. Осы жұмыстың арқасында
кинетикалық энергия артады. Гирлерді алыстатқанда Ғ күштің жұмысы теріс,
кинетикалық энергия кемиді.
Осы айтылғындарды қарапайым есептеулер арқылы дәлелдейік. Гирлер
материалды нүктелер болып есептелсін. Осындай схема кезінде жүйенің инерция
моменті
I = + 2m,
(1.39)
Мұндағы: –жүйенің гирлер жоқ кезіндегі инерция моменті; 2m -
гирлердің инерция моменті. Гирлер оське жақындаған кездегі немесе керісінше
одан алыстаған кездегі уақыты шексіз баяу деп есептейміз. Онда кез келген
уақыт моментінде радиальды қозғалыстың кинетикалық энергиясын ескермеуге
болады. Ішкі күштердің барлық жұмысы жүйенің кинетикалық энергиясының
өзгерісіне жұмсалады. Демонстратор гирлерді оське қарай тартқан кезде
істеген жұмысты табайық. Арақашықтық -ден –ге дейін өзгереді
(). Жұмысты есептеген кезде әсерлесуші денелердің салыстырмалы
жылдамдығы маңызды. Біздің жағдайымызда бұл қозғалыс гирлердің
демонстраторға қатысты қозғалысы. Әрбір гирді демонстратор mr күшпен
тартады. Оның жасаған элементар жұмысы оң және ол - 2mrdr – ге тең
(dr ˂ 0). Толық жұмыс А интегралмен анықталады
A = - = -2m rdr = -2mrdr.
(1.40)
Импульс моменті L қозғалыс кезінде өзгермейді (тұрақты), ал I = +
2m, онда
A = -2m = { - },
(1.41) немесе
.
(1.42)
Осындай формула гирлер осьтен алшақтағанда да орынды. Бұл формула
айналудың кинетикалық энергиясын көрсеті. Жүйенің бұрыштық жылдамдығын
өзгертетін қандай күштер? Егер тек центрге тартқыш күш әсер ететін болса,
бұл күш центірлік күш болғандықтан гирдің импульс моментін өзгерте алмайды.
Гирлердің де және Жуковский орындығы әртүрлі бұрыштық жылдамдықпен қозғалуы
тиіс еді. Бірақ іс жүзінде олай емес. Гирлер радиус бойынша қозғалған кезде
бұрыштық жылдамдықтар теңеседі. Осыдан мынандай қорытынды жасауға болады:
гирлер радиус бойынша қозғалған кезде гирлерге демонстратор қолының
әсерінен бүйір қысым күші әсер етеді. Осы күштер гирлердің бұрыштық
жылдамдығын өзгертеді. Гирлер тарапынан демонстратор қолына қысым күші әсер
етеді, сол себептен орындықтың демонстраторлармен бірге бұрыштық жылдамдығы
өзгереді. Жуковский орындығында отырған демонстратор бүйір қысым күшін
жақсы сезінеді. Осы қосымша бүйір қысым күші айналу осіне перпендикуляр
және гирлердің салыстырмалы жылдамдығына да перпендикуляр болады. Ол күштер
жұмыс жасамайды. Жоғарыдағы жұмысты А есептеген кезде оның мәніне бұл
күштер ықпалын жасамайды. Бүйір қысым күштері айналу осіне қатысты моментке
ие, ол момент гирлермен демонстратор екеуінің арасындағы импульс
моменттерінің таралуына ықпал жасайды. Күш моменттерінің әсерінен осы
денелер (гирлер мен орындық) бір бұрыштық жылдамдықпен айналады. Жуковский
орындығындағы демонстратор осы бүйір қысымның әсерін гирлердің радиал
қозғалысы кезінде жақсы сезінеді. Қосымша бүйір күш қысымы айналу өсіне
және гирлердің салыстырмалы жылдамдықтарына перпендикуляр болады. Олар
жұмыс істемейді. Қосымша бүйір күші жоғарыдағы есептелген жұмысқа ешқандай
қатысы жоқ. Бірақ бүйір қысым күші айналу осіне қатысты моментке ие болады
және ол жүйенің өзгермейтін импульс моментін қайта үлестіреді, бір жағынан
- гирлермен, екінші жағынан – демонстраторы бар Жуковский орындығымен[7].
Жуковский орындығының көмегімен импульс моментінің векторлық сипатын
көрсетуге болады. Бұл мақсат үшін велосипед дөңгелегі қолданылады. Егер
дөңгелек (колесо) өзінің осі бойымен айналатын болса, онда осьтік симметрия
салдарынан оның толық импульсі нольге тең. Бұл жағдайда импульс
моменті (жоғарыда айтылғандай) қозғалмайтын нүктеге қатысты ол
нүктенің орналасу орнына байланысты емес. Екінші жағынан векторының
проекциясы (айналу осіне қатысты) IΩ шамасына тең, мұндағы I - дөңгелектің
инерциал моменті, ал Ω - оның бұрыштық жылдамдығы. векторының кез
келген бағыттағы проекциясы (дөңгелек осіне перпендикуляр) нольге тең.
Осыдан импульс моменті векторы дөңгелек осі бойымен бағытталған және
модулі бойыншы IΩ- ға тең.
Демонстратор Жуковский орындығына отырады немесе оның үстіне
шығады. Оған осы вертикаль бағытталған айналып тұрған дөңгелекті тез
беріледі (6–сурет,а). Жүйенің толық импульс моменті вертикаль жоғары
бағытталған және ол IΩ тең. Жуковский орындығының вертикаль осьі ретінде Χ
осі болсын. Х осіне қатысты сыртқы күштер моменті нольге тең болғандықтан
жүйенің толық импульс моментінің проекциясы сақталады. Тәжірибенің бастапқы
уақыт моментінде импульс моменті дөңгелекте шоғырланған. Одан кейін
демонстратор дөңгелектің осін α бұрышқа бұрады. Х осіне қатысты импульс
моментінің проекциясы L= I·Ω·cosα тең, яғни ол I·Ω (1-cosα) шамасына
азаяды. Бұл азаю шамасы L = I·Ω(1-cosα) шамасына тең орындық пен
деманстратордың импульс моментінің проекциясының өсуімен компенсациялануы
қажет. Нәтижесінде деманстратормен бірге орындық айнала бастайды, оның
бұрыштық жылдамдығы ω. Ол
Iω = I·Ω ( 1-cosα )
(1.43)
теңдеуімен анықталады. Егер α=90̊ болса L проекциясы нольге тең болады,
ол түгелімен орындық пен демонстраторға беріледі (6-сурет,б). Егер α=180̊
болса, онда дөңгелектің импульс моментінің өзгерісі максимальды болады (6-
сурет,в)
∆ L= 2· L,
(1.44)
орындық және деманстратор максимальды жылдамдықпен айналады
ω =Ω.
(1.45)
Осьті бұрынғы вертикаль қалпына келтірген кезде–орындықтың айналуы
тоқталады.

(а) (б) (в)

6 – сурет. Жуковский орындығының көмегімен импульс моментінің векторлық
сипаты.

2. ИМПУЛЬС МОМЕНТІНІҢ САҚТАЛУ ЗАҢЫ

2.1. Тұйық жүйе үшін импульс моментінің сақталу заңы

Импульс моментінің сақталу заңы тұйық жүйе үшін де дәл осындай
дәлелденеді. Кеңістіктің изотропиялық қасиетін қолдана отырып ішкі күштер
моменттерінің геометриялық қосындысы нөлге тең екендігін дәлелдеуге болады:

(2.1)
Осыдан импульс моментінің сақталу заңы қорытылып шығады.
Қозғалмайтын осьтің айналасында абсолют қатты дененің ол денені біз
кейінгі уақытта тек дене деп атаймыз, айналмалы қозғалысы кезінде ол
дененің әртүрлі нүктелерінің траекториялары дөңгелек болады.
Денеден өтетін айналу осі арқылы екі жартылай жазықтық жүргізейік,
біреуі денемен байланысты болсын, екіншісі қозғалмайтын болсын. Осы екі
жартылай жазықтықтардың арасындағы бұрыш φ дененің бұрылу бұрышы болып
табылады. Дене айналған кезде қозғалмайтын жартылай оське қатысты бұрылу
бұрышы уақытқа байланысты өзгереді, яғни

7-сурет. Дененің айналу осьтен қозғалысы

φ= φ(t)
(2.2)

Егер ∆t уақыт ішінде дене осьтің айналасында ∆φ бұрышқа бұрылатын болса,
онда уақыт аралығын ∆t шексіз азайт қанда мынандай қатынас

(2.3)

Белгілі бір шекке ұмтылады, ол шектің шамасын дененің лездік бұрыштық
жылдамдығы деп атайды, яғни

(2.4)

Сонымен, бұрыштық жылдамдықтың мәні бұрыштың уақыт бойынша бірінші
туындысына тең болады. Бұрылу бұрышы және бұрылу жылдамдығы деген
ұғымдарды материалды нүктеге қолданғанда нүктенің өзінің бұрылуы емес, ал
осьтен сол нүктеге жүргізілген радиус – вектордың бұрылуы және бұрылу
жылдамдығы ескеріледі.
Егер дене тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналса, ондай айналу қозғалысын
бірқалыпты қозғалым деп атайды:

(2.5)

Бірқалыпты емес айналмалы қозғалыс кезінде бұрыштық жылдамдықтың
өзгерісі бұрыштық үдеумен сипатталады. Егер ∆t аз уақыт аралығында бұрыштық
жылдамдық ∆ω шамасына өзгеретін болса, онда ∆t→0 ұмтылғанда мынандай
қатынас

(2.6)

Белгілі бір шекке ұмтылады, оны лездік бұрыштық үдеу немесе жай ғана
бұрыштық үдеу деп атайды, яғни

(2.7)

Ал ω шамасы (1.13 ) формулаға сәйкес тең болғандықтан,

(2.8)

Сонымен, дененің бұрыштық үдеуінің мәні бұрыштық жылдамдықтың уақыт бойынша
бірінші туындысына немесе бұрылу бұрышының уақыт бойынша екінші туындысына
тең болады.
Айналмалы қозғалыс кезінде дененің барлық нүктелері бірдей бұрыштық
жылдамдыққа және бұрыштық үдеуге тең болады.
∆t уақыт ішінде дененің кейбір нүктесінің жүріп өткен жолын дөңгелек
доғасының ұзындығымен өлшеуге болады. Бұрылу бұрышын ∆φ радианмен, R –
дөңгелектің радиусын метрмен өлшеп, жолдың шамасы

(2.9)

(2.10)

Бұл шаманың шегін алсақ

(2.11)

(2.12)
немесе

(2.13)

Яғни дененің нүктелі айналу осьінен неғұрлым алыс орналасатын болса, онда
соғұрлым ол нүкте үлкен сызықты жылдамдықпен қозғалады.
Айналатын дене нүктелерінің үдеуін анықтайық. Нормаль үдеу анықтама
бойынша

(2.14)

υ жылдамдықтың орнына (2.14) формуладағы мәнін ескерсек

(2.15)
потенциалды үдеу

(2.16)

R=const болғандықтан

(2.17)

Сонымен, нормаль және потенциал үдеулер арақашықтыққа байланысты
пропорциональ өседі.
Сызықтық жылдамдық және сызықты үдеу векторлық шамалар болады.
Айналмалы қозғалыс кезінде бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу бір мәнді
анықталады, егер айналу осі кеңістікте орны және айналу бағыты белгілі
болса.Сондықтан бұрыштық жылдамдық және бұрыштық орын ауыстыру векторлар
ретінде анықталады, олардың бағыттары айналу бағытымен байланысты[8].
Бұрыштық жылдамдық бағытын анықтау үшін оң бұранда ережесін
қолданамыз:бұрыштық жылдамдық векторы айналу осінің бағытымен
бағытталады. Оның ұзындығы бұрыштық жылдамдықтың мәніне тең

8-сурет. Бұрыштық жылдамдықтың бағытын анықтау үшін иллюстрация

Бұрыштық жылдамдық векторы – вектор болғандықтан, оның өзгерісі
-де векторлық шамасыда вектор болуы тиіс.Сол себепті бұрыштық үдеу де
векторлық шама болады, оның бағыты векторының бағытымен сәйкес болуы
тиіс. Дербес жағдайда, яғни айналу осінің бағыты өзгермеген жағдайда,
бұрыштық үдеуінің бағыты бұрыштық жылдамдықтың бағытымен сәйкес келеді
(егер бұрыштық жылдамдық артатын болса), ал бұрыштық жылдамықтың мәні
азаятын болса, бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдыққа қарама – қарсы болады.
(2.15) және (2.16) қатынастары векторлық түрде мынандай түрге ие
болады:

=
(2.18)

(2.19)

Нүктенің импульс моменті деп белгілі бір қозғалмайтын оське қатысты
инерция моментінің I бұрыштық жылдамдыққа көбейтіндісін айтады. Айналмалы
қозғалыс динамикасының негізгі заңы бойынша

,
(2.20)

мұндағы - күшінің импульс моменті,
М – күш моменті,
∆t – импульс моментінің өзгеріс уақыты.
Сонда (2.20) формула мына түрге келеді:

(2.21)

Егер сыртқы күштердің моменті нольге тең болса, онда нүктенің импульс
моменті тұрақты шама болады, яғни

М = 0, (2.22)

сонымен

( 2.23)

Бұл теңдеу импульс моментінің сақталу заңын өрнектейді.
Жалпы жағдайда бұл заң тұйық жүйелер үшін орындалады. Тұйық жүйе үшін
ішкі күштердің моменттері компенсацияланады. Шындығында Ньютонның үшінші
заңы бойынша әсер ететін күштер абсолют шамасы жағынан тең, бағыты жағынан
қарама – қарсы күштермен әсер етеді.
Жалпы түрде импульс моментінің сақталу заңын тұжырымдауға болады:
денелердің тұйық жүйесі үшін жүйенің импульс моменті сақталады.
Импульс моментінің сақталу заңына демонстрация ретінде Н.Е. Жуковский
орындығын қолдануға болады. Орындық өте аз үйкеліс күшімен айналады.
Орындықты ω1 бұрыштық жылдамдықпен айналады, ол кезде адам гантельдерді
алшақ ұстап тұрады. Содан кейін екі қолын жинақтап инерция моментін I1 -ден
I2 –ге дейін кемітеді, ал осы кезде бұрыштық жылдамдық артады. Импульс
моментінің сақталу заңы бойынша

I1·ω1 = I2 ·ω2 , (2.24)

I2 кемігенде ω2 артады [4].
Бұл бөлімде қозғалыс мөлшерінің сақталу заңы тек тұйықталған жүйелер
үшін ғана қарастырылады. Ол барлық сыртқы күштердің (жүйеге қатысты)
қорытқы күші нольге тең болған кезде ғана Ньютонның екінші заңының салдары
түрінде алынады.

(2.25)

Мұндағы () - қозғалыс мөлшері, ал d() – элементар қозғалыс
мөлшері векторының өзгерісі деп аталады. Қозғалыс мөлшері –векторлық шама
болып бір денеден екінші денеге механикалық қозғалыстың берілу мөлшерін
сипаттайтын шама. Қозғалыс мөлшері жылдамдық пен үдеуге қарағанда,
қозғалыстағы дененің тек қана кинематикалық ерекшелігін көрсетпей, оның
динамикалық қасиетін, яғни массасын сипаттайды[9].
Ал векторы элементар күштер импульсі деп аталады. Сонымен,
динамикалық негізгі заңын тұжырымдайтын тағы бір заңдылық шығады: дененің
элементар қозғалыс мөлшерінің өзгерісі сол денеге әсер етуші элементар
күштер импульсіне тең. Теңдеуге сәйкес күш ұғымына басқаша да анықтама
беруге болады: күш дегеніміз бірлік уақыт ішінде өзгеретін элементар
қозғалыс мөлшеріне тең физикалық векторлық шама. Бірқалыпты айнымалы
қозғалыс кезінде уақыт бірлігі ішіндегі қозғалыс мөлшерінің өзгерісі
түсірілген күшке пропорционал және ол күш векторы әсер еткен бағыт бойынша
өзгереді.
Ньютонның үшінші заңына байланысты бір-біріне өзара әсер етуші
денелердің қозғалыс мөлшері өзгерістерін (2.25) теңдеуге сәйкес былай
жазуға болады:

(2.26)

сонда бұдан өзара әсер ету нәтижесінде бір дененің қозғалыс мөлшері қанша
артса, басқа дененің қозғалыс мөлшері сонша кемиді, яғни қозғалыс мөлшері
ауысады.
Енді тұйықталған жүйе үшін, яғни тек өзара әсерлесетін, бірақ жүйеден
тыс ешбір денелермен әсерлеспейтін, жылдамдығы бірдей әртүрлі массалы
денелердің әсері әртүрлі болуына мысал келтіруге болады (доп және
локомотив). Жүйеден тыс ешбір денелермен әсерлеспейтін денелер үшін
қозғалыс мөлшерінің өзгерісін қарастырайық. Айталық, жүйе массалары
m1,m2,m3,...,m; жылдамдықтары денеден құралсын. Егер денелердің бір
тобын і, екінші тобын k десек, онда і тобының k тобына әсер етуші ішкі
күштері болса, керісінше k тобының і тобына әсер етуші ішкі күштері
болады.
Ньютонның екінші заңына сүйене отырып, әр дененің қозғалыс мөлшерінің
өзгерісін мына түрде жазуға болады:

(2.27)

Hьютонның үшінші заңы бойынша теңдеулердің оң жағында күштеріне
қарсы әсер күштері сәйкес келеді, сондықтан =-теңдеулерді
мүшелеп қоссақ мынау шығады:

(2.28)

мұндағы векторлар қосындысы жүйенің қозғалыс мөлшерінің толық векторы
деп аталады. Олай болса

(2.29)
немесе

(2.30)

Яғни тұйықталған жүйені құрайтын денелердің қозғалыс мөлшерінің векторлық
қосындысы болатын қозғалыс мөлшерінің толық векторы қозғалыс кезінде ұдайы
тұрақты болып отырады. Бұл физиканың негізгі заңдарының бірі болып
табылады. Ол тек макроскопиялық денелер өзара әсер еткен жағдайда ғана
емес, тіпті микроскопиялық бөлшектер, яғни жеке атомдар, атом ядролары,
электрондар т.б. өзара әсер еткен кезде дұрыс болып табылады. Қазіргі
уақытта бір ракетамен бірінші ғарыштық жылдамдыққа жетуге болмайды.
Кезінде Циалковский көп сатылы ракеталар идеясын ұсынған еді. Көп сатылы
ракетаның бірінші сатысы жұмысын бітіргенде, оны бөліп тастау арқылы
ракетаның жалпы массасы кемітіледі т.с.с. Қазіргі уақытта Жердің барлық
жасанды спутниктері және ғарыштық станцияларда көп сатылы ракеталар
ұшырылады [10].

2.2. Айналмалы қозғалыс үішін Ньютонның екінші заңы Имульс моментінің
сақталу заңы.

9 – сурет. Айналатын денеде импульс моментіне арналған тәжірибе

немесе ∆t = түрінде жазылған Ньютонның екінші заңын
дене бекітілген осьтен қайсыбір бұрыштық үдеумен айналатын қозғалысқа
қолдану ыңғайсыз. Мысалы, массасы m, радиусы R болатын тұтас цилиндр
түріндегі блок беріліп, ол арқылы созылмайтын жіп оралып ,оның бір ұшына
массасы m0 жүк бекітілген болсын(9-сурет). Массасы m0 жүк белгілі бір
үдеумен ілгерілемелі қозғалыс жасасын, ал массасы m блок кейбір
бұрыштық үдеумен айналсын. Егер жіп блокқа қатысты сырғанамыйтын болса,
онда сызықтық а үдеу мен бұрыштық үдеу қатынасымен байланысады.
Дөңгелектің қайсыбір нүктесі үшін Ньютонның екінші заңы

(2.31)
мұндағы - дискінің айналу осінен қашықтықта орналасқан i-інші
нүктенің сызықтық (жанама) үдеуі. теңдігін ескере отырып, соңғы
теңдікті былай жазамыз

(2.32)
Осы теңдеудің екі жағын -ге көбейтсек ,

(2.33)
аламыз, мұндағы - көбейтіндісі нүктесіне түсірілген күш
моменті, ал - массасы болатын материалық нүктенің инерция
моменті. Теңдеудің екі жағының да қосындысын тауып, мынадай өрнек аламыз.
... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Қатты дене механикасы
Кориолис күші
Атомның магниттік моменті
Механикалық қозғалыс
Инерция моменті
Физика – техниканың іргетасын қалаушы білімнің бірі
Қатты денелердің магниттік қасиеттері
Инерция моменті мен бұрыштық үдеуді COBRA-3 құрылғысы арқылы анықтау
Магнетиктер
Операторлар жайлы
Пәндер