Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы
1. Екінші ретті теңдеулер классификациясы
2. Гипербола тектес теңдеулерге келтірілетін жай есептер. Шеттік есептердің құрылуы
3. Гипербола тектес жалпы сызықтық теңдеуді шешу.
4. Шексіз түзу есептер
5. Жылудың шексіз түзуде таралуы. Шектелмеген облыс үшін көз функциясы.
Шектелмеген
6. Бастапқы шартсыз есептер.
7 Эллиптикалық тектес теңдеулер.
8. Жай облыстар шеттік есептерін айнымалыларды ажырату әдісімен шешу.
2. Гипербола тектес теңдеулерге келтірілетін жай есептер. Шеттік есептердің құрылуы
3. Гипербола тектес жалпы сызықтық теңдеуді шешу.
4. Шексіз түзу есептер
5. Жылудың шексіз түзуде таралуы. Шектелмеген облыс үшін көз функциясы.
Шектелмеген
6. Бастапқы шартсыз есептер.
7 Эллиптикалық тектес теңдеулер.
8. Жай облыстар шеттік есептерін айнымалыларды ажырату әдісімен шешу.
: - екінші ретті дербес туындылы теңдеу деп аталады.
Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық деп аталады, егер мына түрде жазылса:
(1)
Мұндағы теңдеудің коэффициенттері. Егер осы (1) теңдеудің коэффициенттері тәуелді болса, онда бұл теңдеу квазисызықтық деп аталады. Теңдеу сызықтық делінеді, егер мына түрде берілсе:
(2)
(2) теңдеу сызықтық деп аталады. - коэффициенттері тұрақты болған жағдайда теңдеу тұрақты коэффициентті делінеді. Егер болса, онда (2) теңдеу сызықтық біртекті делінеді. Ал егер ол нольге тең болмаса, яғни болса, онда ол сызықты біртекті емес деп аталады.
, түрлендірулердің көмегімен теңдеуді жай түрде келтіреді.
(3)
түрлендіру нәтижесінде мына түрге келтіреміз.
(4)
мұндағы
Егер бастапқы (1) теңдеу сызықтық болса, яғни болса. Онда түрлендіру нәтижесінде мына түрде жүреді.
және -ны етіп таңдаймыз. Осыған байланысты
(5)
теңдеуі қарастырылады.
Бұл теңдеуге байланысты леммалар.
Лемма 1. Егер (5) теңдеудің дербес шешімі болса. Онда функциясы
(6)
теңдеуінің жалпы шешімі.
Лемма 2. Егер (6) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда функциясы (5) теңдеуді қанағаттандырады.
(6) теңдеу (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі делінеді, ал бұл (6) теңдеудің интегралдары (1) теңдеудің характеристикалары деп аталады.
Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық деп аталады, егер мына түрде жазылса:
(1)
Мұндағы теңдеудің коэффициенттері. Егер осы (1) теңдеудің коэффициенттері тәуелді болса, онда бұл теңдеу квазисызықтық деп аталады. Теңдеу сызықтық делінеді, егер мына түрде берілсе:
(2)
(2) теңдеу сызықтық деп аталады. - коэффициенттері тұрақты болған жағдайда теңдеу тұрақты коэффициентті делінеді. Егер болса, онда (2) теңдеу сызықтық біртекті делінеді. Ал егер ол нольге тең болмаса, яғни болса, онда ол сызықты біртекті емес деп аталады.
, түрлендірулердің көмегімен теңдеуді жай түрде келтіреді.
(3)
түрлендіру нәтижесінде мына түрге келтіреміз.
(4)
мұндағы
Егер бастапқы (1) теңдеу сызықтық болса, яғни болса. Онда түрлендіру нәтижесінде мына түрде жүреді.
және -ны етіп таңдаймыз. Осыған байланысты
(5)
теңдеуі қарастырылады.
Бұл теңдеуге байланысты леммалар.
Лемма 1. Егер (5) теңдеудің дербес шешімі болса. Онда функциясы
(6)
теңдеуінің жалпы шешімі.
Лемма 2. Егер (6) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда функциясы (5) теңдеуді қанағаттандырады.
(6) теңдеу (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі делінеді, ал бұл (6) теңдеудің интегралдары (1) теңдеудің характеристикалары деп аталады.
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы
§ 1. Екінші ретті теңдеулер классификациясы
1. Екінші ретті теңдеулердің берілуі
2. Түрлендірулер
3. Характеристикалық теңдеу
4. Теңдеулердің түрлері
1. Екі айнымалылы дифференциалдық теңдеулер.
: - екінші ретті дербес туындылы теңдеу деп аталады.
Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық деп аталады, егер
мына түрде жазылса:
(1)
Мұндағы теңдеудің коэффициенттері. Егер осы (1) теңдеудің
коэффициенттері тәуелді болса, онда бұл теңдеу квазисызықтық деп
аталады. Теңдеу сызықтық делінеді, егер мына түрде берілсе:
(2)
(2) теңдеу сызықтық деп аталады. - коэффициенттері тұрақты болған
жағдайда теңдеу тұрақты коэффициентті делінеді. Егер болса, онда (2)
теңдеу сызықтық біртекті делінеді. Ал егер ол нольге тең болмаса, яғни
болса, онда ол сызықты біртекті емес деп аталады.
, түрлендірулердің көмегімен теңдеуді жай түрде келтіреді.
(3)
түрлендіру нәтижесінде мына түрге келтіреміз.
(4)
мұндағы
Егер бастапқы (1) теңдеу сызықтық болса, яғни болса. Онда түрлендіру
нәтижесінде мына түрде жүреді.
және -ны етіп таңдаймыз. Осыған байланысты
(5)
теңдеуі қарастырылады.
Бұл теңдеуге байланысты леммалар.
Лемма 1. Егер (5) теңдеудің дербес шешімі болса. Онда
функциясы
(6)
теңдеуінің жалпы шешімі.
Лемма 2. Егер (6) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда
функциясы (5) теңдеуді қанағаттандырады.
(6) теңдеу (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі делінеді, ал бұл (6)
теңдеудің интегралдары (1) теңдеудің характеристикалары деп аталады.
1. Лемманы дәлелдеу:
(5) теңдеудің шешімі
(7)
айқын белгілеген функцияны мына түрде жазуға болады. , онда
(8)
онда біз мынаны жазамыз.
Лемма дәлелденді. Характеристикалық теңдеу
бұл теңдеуді мына түрге келтіреміз.
онда бұл теңдеудің екі шешімі бар.
1)
(9)
2)
(10)
Сонымен нүктесінде біз мынадай анықтау қосамыз.
1. , онда дифференциалдық теңдеу гиперболалық тектес, себебі
бұлардың екі нақты шешім шығады.
2. , онда дифференциалдық теңдеу параболалық тектес.
3. онда дифференциалдық теңдеу эллиптикалық тектес.
Егер жазықтықтың белгілі бір облысы қарастырылатын болса, онда әртүрлі
нүктелерінде әртүрлі тектес теңдеулер болуы мүмкін немесе бір ғана тектес
теңдеу болуы мүмкін. Облыстың әрбір нүктесінде бір ғана тектес теңдеу
болса, онда осы облыста теңдеу сол түрде аталады.
1. Гиперболалық тектес.
, онда характеристикалық теңдеудің екі жалпы шешімі болады.
, .
Енді мынадай алмастырулар жасаймыз. .
Сонда теңдеу мына түрге келтіріледі:
гипербола тектес теңдеудің жай түрі немесе канондық түрі.
Практикада келесі түрдегі канондық теңдеулер де қолданылады. Алмастырулар
жасаймыз. ,
,
Екінші канондық түрі .
2. Параболалық тектес.
. Шешімі біреу-ақ болады. . Енді алмастыру жасаймыз.
. Мұндағы -мен сызықты тәуелсіз функция.
Сонымен бізде мынадай теңдеу шығады.
- Парабола тектес теңдеудің канондық түрі.
3. Элиптикалық тектес.
, бұдан, яғни характеристикалық теңдеуден комплекс түйіндес
түбірлер шығады. , .
, алмастырулар орындалады. Комплекс түйіндестен құтылу үшін
келесі түрлендірулер жасаймыз.
онда десек, онда біз мынадай теңдеу аламыз.
-Элиптикалық тектес теңдеудің жай түрі.
Қорытынды: гипербола тектес.
элиптикалық тектес.
параболалық тектес.
2. Көп айнымалылы екінші ретті теңдеу классификациясы
Сонымен біз мына теңдеуді қарастырамыз.
(11)
Екі айнымалыдан тәуелді жағдайдағыдай зерттеулер нәтижесінде мынадай жай
түрдегі теңдеулерді аламыз.
элипс тектес.
гипербола тектес.
, Бұл ультра гипербола тектес.
, параболалық тектес.
3. Тұрақты коэффициентті теңдеулердің канондық түрлері.
, мұндағы
характеристикалық түзулер
, элипс тектес
гиперболалық тектес.
параболалық тектес.
алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу мына түрге келеді.
.
Сонда теңдеу мына түрге келеді. . Мұндағы
Осы сияқты түрлі комбинациялар арқылы келесі түрдегі теңдеулерді аламыз.
элипс тектес.
гипербола тектес
парабола тектес.
Тарау ІІ
Гипербола тектес теңдеулер.
Тербеліс процестері гипербола тектес теңдеулерге келтіріледі. Ең
қарапайым түрдегі теңдеуі мынау:
- шектің тербліс теңдеуі деп аталады.
§ 1. Гипербола тектес теңдеулерге келтірілетін жай есептер. Шеттік
есептердің құрылуы.
1. Тербеліс процестерінің модельдері.
2. Негізгі түсініктер.
3. Бастапқы шарттармен қойылған есептер.
4. Шекаралық шарттардың түрлері.
5. Шеттік есептердің түрлері.
1. Ішектің көлденең жай тербелісінің теңдеуі.
Иілуге икемді серпімді денені ішек деп түсінеміз. Ішектің қозғалысын
әрбір нүктесінің қозғалысымен байланыстырып қарауға болады. Бір күйден
екінші күйге көшуін вектор арқылы анықтауға болады.
Егер ішек бір жазықтықта тербелетін болса, оны х нүктесіндегі t
моментіндегі нүктесін функциясымен анықтай аламыз. Сонымен ішектің
әрбір нүктесінің орнын мына вектормен анықтауға болады, егер ол бір
жазықтықта тербелсе
аралығында моментінде біз мынадай күштердің осіне
проекцияларын қарастырамыз.
Энерция күші
тартылыс күші
(1)
тербеліс кезіндегі күштердің тепе- теңі.
теңдеу шектің бөлігінің уақыт аралығындағы интегралдық
түрдегі тербеліс теңдеуі. Әрбір нүктесінің тербеліс теңдеуін қорыту үшін
интегралдық теңдеуден дифференциалдық теңдеуге көшу керек. Ол үшін (1)
теңдеуде интегралдық орта мәні туралы теореманы және ақырлы өсімше туралы
теореманы қолданамыз.
,
(2)
(2) Шектің дифференциялдық түрдегі тербеліс теңдеуі.
(3)
(4)
(5)
Мұндай әсер еткіш күштің нәтижесінде қосымша шартар
қойылады. Бұл шарттар мына түрде жазылады.
(6)
Бұл шоғырланған күш әсер ететін нүктедегі түйіндестік шарт деп
аталады.
2.Мембраналық тербеліс теңдеуі.
Мембраналық теңдеу мына түрде жазылады.
(7)
(8)
, Лаплас операторы
(9)
Дифференциялдық теңдеудің шексіз көп шешімі болады.
3. Шекаралық және бастапқы шарттар.
Физикалық процес айқын болуы үшін қосымша шарттар қойылады.
Дифференциялдық теңдеу берген қосымша шарттар шекаралық және бастапқы болып
бөлінеді. Шекаралық шарттар функцияның анықталу облысына байланысты.
Бастапқы шарттар үдерістің басталу облысына байланысты.
Шекті ұзындығының е деп белгілеген нүктесінде мына шарт
қойылады.
(10)
Егер шектің екінші шеті тербелісте болатын болса, онда шекаралық
шарттар былай болады.
Тербелістегі дененің бір ұшы бекітіліп екінші ұшы бекітілмеген болса,
онда мынадай шарттар қойылуы мүмкін.
Екінші ұшы тербелісте болады.
, (13)
Егер нүктесі бекітіліп екінші шеті бекітілмеген жағдайда басқа
түрде шекаралық шарттар қойылуы мүмкін. Мына түрдеде қойылуы мүмкін.
(14)
Дәл осы сияқты серпімді бекітілген денелерден ұшында мынадай
шарттар қойылуы мүмкін.
немесе
(15)
Кейде мынадай шарттар койылуы мүмкін.
(16)
Негізінен 3 түрлі шекаралық шарттар қойылады. Шеткі нүктеде функцияның
мәні берілсе, онда бұны бірінші шекаралық шарт деп аталады.
бірінші шекаралық шек. Берілген режим. Ал енді шеткі туындының
мәні беріледі.
екінші шекаралық шек. Берілген күш. Мынадай шарт қойылуы мүмкін.
Үшінші шекаралық шек. Серпімді бекіту.
Негізгі шекаралық шарттар және бастапқы шарттар көмегімен 6 түрлі
шекаралық есептер қарастырылады. Бұл шекаралық есептерді әдетте шеттік
есептер деп аталады. Шекаралық шарттармен байланысты 3 түрлі шеттік есеп
бар.
Бірінші шекаралық есеп
мына облыс анықталған функциясын табу керек. Бұл
функция (1) теңдеуі мыны облысты қанағаттандыру керек
және мына шарттарды
(2) ,
(3) , Бірінші шектік есеп
(1) теңдеуді қанағаттандыратын және (3) шартты қанағаттандыратын есеп
қойылса екінші шектік есеп деуміз.
Бұларға басқа шекаралық шарттары аралас түрде қойылған есептерде
кездеседі. Егер шекті нүктелердегі құбылыстар ескерілмейтін болса, нода
бастапқы шартпен ғана қойылған есепті қарастырамыз.
,
, Коши есебі.
Дәл осылайша жартылау шектеулі облыстар есептеуде қарастырады.
Мысал: ,
, жарты түзу есебі.
Егер процесс қай уақытта басталғаны белгісіз болса, нода бастапқы
шарттарсыз есептер қойылады.
,
,
4. Жалпы есептің құрылуы (редукциясы).
функциясы мына теңдеулерді қанағаттандыатын болсын.
(17)
шешімдер береді. Ол аралығында болады. Сондай-ақ бұл шешімдер қосымша
шарттарды қанағаттандыратын болсын:
(18)
Егер мынадай теңдеу қарастырсақ:
(19)
Бұл функция келесі есептің шешімін береді.
(20)
Ал қосымша шарттар
(21)
(19) теңдеуді алсақ, онда есеіміз мына түрде жазылады.
Бұл (20), (21) шарттарын қанағаттандырады. Демек, күрделі есептің шешімін
бірнеше жай есептепдің шешімдерінің қосындысы түрінде іздестіруге болады.
Мысалы:
(22)
Яғни жалпы түрде қойылған бірінші шеттік есеп берілсе, онда бұл есепті
бірнеше есепке бөлшектей аламыз. Ол үшін бұл есептің шешімін мынадай
шешімдердің қосындысы түрінде іздестіреміз.
(23)
деп аламыз. Ал бастапқы шарты
5. Жалғыз шешім теоремасы. (Бір ған шешім теоремасы).
Теорема: облыста
Мұндағы ашық облыста бастапқы шарттары:
және шекаралық шарттарды
қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар, егер
1. функциясы және оның барлық туындылары облыста
үзіліссіз болса.
2. функциялары, яғни коэффициенттер аралығында үзіліссіз
болса.
Дәлелдеуі: кері жориық, яғни екі шешімі бар делік.
Айырымын қарастырамыз. . Бұл біртекті теңдеудің шешімін береді.
.
Енді мынадай функция құрамыз. .
Бұл функция қозғалыстың толық энергиясын береді. Интеграл астындағы
дифференциалдауға көшіп және шектік бастапқы шарттарды ескере отырып,
екеніне көз жеткіземіз. Сонда . Ал бұдан айналатынына көз
жеткіземіз. Сондықтан . Яғни, . Теорема дәлелденді.
§ 2. Таралатын толқындар әдісі. (Даламбер әдісі).
Шексіз түзу есебіне көшеміз. Яғни х шейін өзгереді.
1. Даламбер формуласы.
, (1)
(2)
есепті қарастырамыз. (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі
немесе
характеристикалары осылай анықталады. Енді деген алмастырулар
жасаймыз. Бұл алмастырулар нәтижесінде (1) теңдеу
(3)
Ал бұл теңдеуді шешу оңай. бойынша интегралдаймыз.
Тағы да интегралдасақ,
(4)
Енді -дан қайтадан айысамыз.
(5)
(5) (1)-дің шешімі. Онда ол (2) бастапқы шарттарды қанағаттанду керек.
ал екенін ескерсек,
Қоссақ,
Алсақ,
(6)
(6) – Даламбер формуласы деп аталады.
, мұндағы (7)
ал (8)
(1)-(2) есептің жалғыз шешімі (6) болады.
2. Біртекте емес теңдеулер.
, облысында қарастырамыз.
(9)
Есепті шығару үшін Даламбер формуласын қолданамыз. Ол үшін есепті келесі
түрге келтіреміз.
(10)
(10) теңдеудің шешімдерін қанағаттандыратын шарттар:
(11)
(10), (11) бұл есеп үшін Даламбер формуласы қолданылады. Онда
(12)
(12) формуланы пайдалана отырып, есептің шешімін мына түрде жазуға
болатындығына көз жеткізейік. (9) шешімін мына түрде жазамыз.
(13)
Мұндағы
Лемма: Біртекті емес (9) теңдеудің шешімі, яғни (9) есептің шешімі
бастапқы шарттарын ноль деп алғанда, яғни
(*)
деп алғанда оның шешімі
(14)
(14) шешімі екенін дәлелдеу үшін оны дифференциалдаймыз.
Екінші рет дифференциалдаймыз. Сонда
Сонымен (9) есептің шешімін жекелеген жеңіл есептердің шешімдерінің
қосындысы түрінде құрамыз.
(15)
(12) формуланы пайдаланып, (15)формуладағы қосылғыштарды ашып жазамыз. Онда
(16)
Сонымен (16) формула (9) есептің толық шешімін береді.
4. Шешімнің орнықтылығы.
Шешімнің орнықтылығын зерттеу қажетті, орнықсыз шешімдер мағынасыз,
қарастырылған есептердің шешімдері орнықты болу үшін бұл шешімдер қосымша
шарттардан үзіліссіз тәуелді болу керек. Қандай аралығында
табылып, теңдеуінің екі шешімі үшін .
,
шарттары үшін тек қана
болғанда ғана орындалатын болса, шешім орнықты дейміз. Шешімнің бар және
жалғыз болуы, орнықтығы мәселелерімен есептер қисынды, қисынсыз қойылған
деп екі топқа бөлінеді. Есеп қисынды қойылған деп аталады, егер
1. Шешімі бар болса,
2. Қосымша шарттарды орындайтын жалғыз шешім болса.
3. Шешім орнықты болса.
Егер бұл шарттардің әйтеуір біреуі орындалмаса есеп қисынсыз қойылған
деп аталады. Практикада қисынсыз қойылған есептер де жиі кездеседі.
Қисынсыз қойылған есептің мысалы:
Лаплас теңдеуі
қарастырамыз. Бұл қисынсыз қойылған есеп екенін тексереміз.
,
бастапқы шарттар мынадай
параметрі шексіз үлкен болған кезде бастапқы шарттары мен
айырмалары аз. Шешім орнықсыз, демек қисынсыз есеп.
4. Жарты түзу және жалғастыру әдісі.
Енді жарты түзу есептерін қарастырайық, яғни түзудің бір шеті шектеулі
болған жағдайды қараймыз.
,
бастапқы шарттар.
шекаралық шарттар.
Бұл есепті жарты түзудің бірінші шеттік есебі деп атаймыз. Егер
шекаралық шартта мынадай шарт қойылса онда екінші шеттік есебі деп
аталады.
Бұл есептерді шешу үшін шексіз түзуде берілген есептердің шешімдерінің
қасиеттерін пайдаланамыз.
Лемма 1: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір
нүктесі арқылы тақ функциялар болса, онда шешім бұл нүктеде нольге
айналады.
Лемма 2: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір
нүктесі арқылы жұп функциялар болса, онда шешімнің бойынша туындысы
нүктесінде нольге айналады.
Л 1 Дәлелдеуі: деп аламыз. , тақ болсын. Есептің шешімі
Лемма дәлелденді.
Леммалардың көмегімен келесі есептердің шешеміз
1-ші шектік есеп
2-ші шектік есеп
1-ші шектік есеп
2-ші шектік есеп
,
облысында. Есептің шешімін барлық облыстар үшін табу керек.
5. Кесінді есептері.
аралығында шектік есептер карастырамыз
Бұл есепті шешу үшінде жалғастыру әдісі қарастырылады
функциялары нүктелері арқылы тақ жалғастырылатын
функциялар
Бұл шешімнің қосындысы қатар түрінде жазылады. Усуптің шешімін береді.
3 Айнымалыларды ажырату әдісі немесе Фурье әдісі.
1. Ішектің еркін тербеліс теңдеуі
(1) (2) (3) қанағаттандыратын шешімді
іздестіреміз.
1-ші шектік есеп
Көмекші есепті қарастырамыз.
(4) осы түрде іздестіреміз
(5)
(6)
(7)
(7) әрқайсысын -ға теңестіреміз.
,
(8)
(9)
шекаралық шарттары
функциясын табу есебіне келдік. Бұл есепті меншікті мәндер
туралы есеп деп аталады. - мәндерін табу керек. (8) теңдеудің ноль
емес шешімдерін беретіндей
Штурм – Лиувилль есебі деп аталады.
- меншікті мәндеріне тиісті шешімдері есептің меншікті
функциялар делінеді, характеристикалық теңдеуі ал түбірлері
1. жалпы шешім Енді шеттік шарттарды пайдаланамыз.
Мұнда тек нольдік шешім бар. Бұның қажеті жоқ, себебі ол
қанағаттандырмайды.
2. шеттік шарттарды пайдаланамыз. . Демек екі жағдайда да
тек қана нольдік шешім бар.
3. шеттік шарттарын қоямыз.
-ның бұл мәндері есептің ноль емес шешімдерін беретін
меншікті мәндері. , яғни меншікті мәндері шексіз көп және меншікті
функциялары шексіз көп.
(10)
дербес шешімдерін береді. -ның бұл мәндерінде (2) теңдеудің шешімдері
жазылады. Ол былай
(11)
(10), (11) шешімдерінен шешімдері құрылады.
дифференциалдық теңдеу біртекті болғандықтан дербес шешімдерінің қосындысы
да шешімді береді. Жалпы кез келген қатар түріндегі қосындысы да шешімді
береді. Сонымен,
(13)
Бастапқы шарттарын орындалуын талап ете отырып коэффициенттері
анықталады.
(14)
(14) өрнекті функцияларының Фурье қатарларына жіктелуі, тек
бойынша жіктелуі. Демек, коэффициенттері былай анықталады.
(15)
(16)
Қатарлар жинақы болғанда шешім толық анықталады. Бұл қатарлардың және
туынды қатарлардың жинақылығы тікелей зерттеледі.
жинақы қатар екеніне көз жеткізе аламыз.
жалпы түрде мынадай қатар
Бұл қатарлар функциясы екі рет дифференциалданатын болса,
функциясы бір рет дифференциалданатын болса, жинақы қатарларды береді.
2. Біртекті емес теңдеулер.
(17)
теңдеуді қарастырамыз. Теңдеу біртекті емес. Есептің шешімін
(18)
түрде іздестіреміз. функциясы қатарға жіктеледі деп есептейміз.
(19)
(20)
(21)
(18) шешімді (17)-ге қойсақ, мынадай теңдеу аламыз:
(22)
тұрақты коэффициентті кәдімгі дифференциалдық теңдеу (22) қосымша шартымен
берілгенде Коши әдісімен шешіледі.
Бастапқы шарттардан мынаны аламыз.
(23)
(24)
(25)
Сонымен бастапқы шарттармен қойылған кәдімгі дифференциалдық теңдеудің
шешімін табу керек. Яғни (25) есепті шешеміз. (25) есептің шешімі, ол екі
бөліктен тұрады.
(26)
(27)
(28)
(28) біртекті теңдеудің шешімі, ал (27) біртекті емес теңдеудің әйтеуір
бір шешімі. Онда ізделінді шешім
(29)
түрде жазылады. Яғни . -дәі мәніне қоямыз, сонда
(30)
(31)
3. Жалпы бірінші шеттік есеп.
(32)
Есептің шешімі (33)
Түрде іздестіреміз. Мұндағы - белгілі деп қарастырылады.
функциясы келесі есептің шешімі түрінде іздестіріледі.
, мұндағы
мұдағы
мұндағы
мұндағы
мұндағы
Қосымша есепті жеңілдетеміз, егер шеттік шарттарын ноль деп алсақ, яғни
шеттік шарттары ноль болатын біртекті емес теңдеулерге келеміз. Сонымен,
нольге айналатындай етіп таңдаймыз. Демек,
(34)
таңдау жеткілікті.
Сонымен біз қосымша есептің шешімін шеттік шарттары ноль болатын
біртекті емес теңдеу шешіміне келтірдік, онда
(35)
5. Стационар біртекті емес шеттік есептер.
Стационар біртекті емес шеттік есептер тобы түрлі процестерде
кездеседі. Бұл есептер тобына біртекті емес шартын орындайтын оң жақтағы
функция уақыттан тәуелсіз және шеттік шарттарында уақыттан тәуелсіз
делінеді.
(36)
біртекті емес стационар бірінші шеттік есепті қарастырамыз. Бұл есептің
шешімін де мына түрде іздестіреміз.
мұндағы белгілі функция -келесі есептен анықтаймыз.
Егер болса, онда былай анықталады.
(36) есептің шешімі мына түрде жазылады.
(37)
6. Бастапқы шартсыз есептер.
Шекарада қойылған шарттың таралуын көрсететін есептер тобы бар. Бұл
есептер тобында бастапқы шарттар ескерілмейді, яғни процесс басталуынан
әлде қайда ұзақ уақытта деп алынады.
(38) бастапқы шартсыз есеп.
кедергі күшіне пропорционал. Практикада шеттік шарттары перодты
функциялармен өрнектелетін жағдайлар жиі кездеседі.
немесе
(38) есепті нақты былай етіп жазсақ болады.
(39)
Нақты бөлігіде жорамал бөлігіде шешімді береді. шаттарды
анықталады.
(40)
Есептін шешімін мына турде іздестіреміз
(41) (42)
(43)
(44)
,
6. Шоғырланған күш
нүктесінде әсер етуші күш бар деп есептейміз. Егер күшіміз
аралығында әсер ететін болса, онда отырып күштердің әсерін
нүктесінде шоғырландыруға болады.
Мұндай жағдайда қосымша шарт қажет. Мұндай шарт түйіндес шарт деп
аталады.
(48)-түйіндес шарт. , әсер етіп отырған функция периодты
болсын. Осы есепті қарастырайық. 47 есепті 48-ші шартымен қарастырады.
Бұл шешімдерді 47-ге қоямыз.
( 49)
(50)
(51)
49-шы теңдеуді 50,51 шарттарымен шешсек мыналарды аламыз.
51 шартты пайдалансақ C мен D тұрақтыларын аламыз.
Дәл осылацша болғандағы шешімдіде жазамыз. функциясы
болса, онда шешімін мына түрде жазамыз.
Математикалық анализдегі қағиданы пайдаланып ... емес функциялар
үшін де шешімдер құруға болады. Мұнда белгілі бір аралықта функцияны
периодты деп жалғастырып функцияның өзін жалғастарамыз. Яғни Фурье
қатарларына жіктеп барып жоғарыдағыдай формула аламыз.
7. Айнымалыларды ажыратудың жалпы схемасы.
Теріс теңдеудегі коэфиценттері тұрақты емес болған жағдайда
айнымалыларды ажырату әдісін қолдануға болады. Жалпы түрдегі теңдеу
қарастырамыз.
(53)
53 есептің шешімінде айнымалыларды ажырату әдісмен табуға болады. Ол
үшін тағы мынаны пайдаланамыз.
(54)
үшін Штурм-Лиувилль меншікті мәндер және меншікті функциялар
есебіне келеміз. Яғни меншікті мәндер табу керек және әрбір -ға
тиісті меншікті функцияларды табу керек . 54 –ші есептің шешімдерін
құратындай кейде бұл меншікті мәндерді, меншікті функцияларды
операторының меншікті мәндері, меншікті функциялары деп аталады.
Негізгі қасиеттер
1 меншікті мәндердің жиыны саналымды. Бұл мәндерге тиісті
меншікті функцияларда саналымды.
2 болғанда
3 аралығында салмағымен ортогональ. Яғни
(55)
4 аралындағы екі рет үздіксіз дифференциалдық функция
шарттарын қанағаттандырса , онда меншікті функция арқылы
біркелкі және абсолютті жинақы қатарға жіктеледі.
(56)
коэффиценттері былай анықталады.
(57)
(59)
Бұл оңай шешіледі. Характеристикалық теңдеу комплекс айнымалы функция
болады. Шешімі
- жалпы шешім.
Суперпозиция принципі бойынша кез келген қосынды шешімді береді.
бастапқы шарттарды пайдаланамыз.
(60)
§ 4. Характеристикаларында шарттар қойылған есептер.
1. Есептің қойылуы.
Қосымша шарттар немес сызықтарында ,ал жалпы жағдайда
сызықтарында қойылатын есептерде практикада жиі кездеседі. Осындай есептің
бірі Гурса есебі деп аталады.
2. Гурса есебі үшін тізбекпен жуықтау әдісі.
(1)
Гурса есебін қарастырамыз.
, түзулері (1) есептің характеристикалары.
функциялары дифференциалданатын дей отырып есептің шешімін іздестіреміз.
Бұл функцияларға түйіндестік шартын қосамыз, яғни
(1)-дің екі жағын интегралдаймыз.
немесе
у бойынша интегралдаймыз.
(2)
Бұл шешім жалпы жалғыз шешім болатындығы айқын. Енді күрделірек есепті
қарастырайық.
(3)
Мұнда функциялары үзіліссіз функциялар деп аталады.
алдыңғы есептегі шарттарды орындайды.
Есептің шешімі интегро – дифференциалдық теңдеуге келтіріледі.
(4)
ізделінді функция интеграл сыртында да, астында да дифференциал астында да
берілгендіктен бұл теңдеуді интегро – дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Интегро – дифференциалдық теңдеуді, яғни (4) шешу үшін тізбекпен жуықтау
әдісін пайдаланамыз. Ол үшін
онда (5)
(6)
Мына тізбектердің біркелкі жинақталатынын көрсетуге болады. Ол
үшін мынадай айырым қарастырылады.
шектеулі болу керек.
берілген облыста шектеулі.
Онда мынадай бағалулар орындалады.
Онда үшін мына бағалау орынды.
Бұл бағалау
Тізбектерінің біркелкі жинақы екендігін көрсетеді. Яғни,
(7)
интегро – дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетеді.
Енді шешімнің жалғыз екендігіне көз жеткіземіз. Ол үшін кері жориық, яғни
екі шешімі бар делік.
Екі шешімнің айырымын қарастырайық.
онда
онда аралықта мына теңсіздік орындалады.
үшін орындалады.
.
§5. Гипербола тектес жалпы сызықтық теңдеуді шешу.
1. Түйіндес дифференциалдық операторлар.
(1)
операторын енгіземіз. Бұл сызықтық дифференциалдық оператор. Бұл операторды
көбейтіп, мүшелеп жазайық.
(2)
(3)
(4)
(4´)
(5)
(5´)
Дифференциалдық операторлар немесе екі дифференциалдық оператор
түйіндес оператор деп аталады, егер
айырымы қандайда бір өрнектерінің дербес туындыларының, яғни х және у
бойынша комбинациясына тең болсын. Қарастырылып отырған операторлары
түйіндес. Егер бұл операторлар үшін
орындалса, онда операторды Өзіне-өзі түйіндес деп аталады. Қандай да бір
жазықтық облыс қарастырсақ, онда осы облыс бойынша алынған екі еселік
интеграл
(6)
тең болады. Мұндағы екі рет дифференциалданатын функциялар. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
§ 1. Екінші ретті теңдеулер классификациясы
1. Екінші ретті теңдеулердің берілуі
2. Түрлендірулер
3. Характеристикалық теңдеу
4. Теңдеулердің түрлері
1. Екі айнымалылы дифференциалдық теңдеулер.
: - екінші ретті дербес туындылы теңдеу деп аталады.
Бұл теңдеу жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық деп аталады, егер
мына түрде жазылса:
(1)
Мұндағы теңдеудің коэффициенттері. Егер осы (1) теңдеудің
коэффициенттері тәуелді болса, онда бұл теңдеу квазисызықтық деп
аталады. Теңдеу сызықтық делінеді, егер мына түрде берілсе:
(2)
(2) теңдеу сызықтық деп аталады. - коэффициенттері тұрақты болған
жағдайда теңдеу тұрақты коэффициентті делінеді. Егер болса, онда (2)
теңдеу сызықтық біртекті делінеді. Ал егер ол нольге тең болмаса, яғни
болса, онда ол сызықты біртекті емес деп аталады.
, түрлендірулердің көмегімен теңдеуді жай түрде келтіреді.
(3)
түрлендіру нәтижесінде мына түрге келтіреміз.
(4)
мұндағы
Егер бастапқы (1) теңдеу сызықтық болса, яғни болса. Онда түрлендіру
нәтижесінде мына түрде жүреді.
және -ны етіп таңдаймыз. Осыған байланысты
(5)
теңдеуі қарастырылады.
Бұл теңдеуге байланысты леммалар.
Лемма 1. Егер (5) теңдеудің дербес шешімі болса. Онда
функциясы
(6)
теңдеуінің жалпы шешімі.
Лемма 2. Егер (6) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда
функциясы (5) теңдеуді қанағаттандырады.
(6) теңдеу (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі делінеді, ал бұл (6)
теңдеудің интегралдары (1) теңдеудің характеристикалары деп аталады.
1. Лемманы дәлелдеу:
(5) теңдеудің шешімі
(7)
айқын белгілеген функцияны мына түрде жазуға болады. , онда
(8)
онда біз мынаны жазамыз.
Лемма дәлелденді. Характеристикалық теңдеу
бұл теңдеуді мына түрге келтіреміз.
онда бұл теңдеудің екі шешімі бар.
1)
(9)
2)
(10)
Сонымен нүктесінде біз мынадай анықтау қосамыз.
1. , онда дифференциалдық теңдеу гиперболалық тектес, себебі
бұлардың екі нақты шешім шығады.
2. , онда дифференциалдық теңдеу параболалық тектес.
3. онда дифференциалдық теңдеу эллиптикалық тектес.
Егер жазықтықтың белгілі бір облысы қарастырылатын болса, онда әртүрлі
нүктелерінде әртүрлі тектес теңдеулер болуы мүмкін немесе бір ғана тектес
теңдеу болуы мүмкін. Облыстың әрбір нүктесінде бір ғана тектес теңдеу
болса, онда осы облыста теңдеу сол түрде аталады.
1. Гиперболалық тектес.
, онда характеристикалық теңдеудің екі жалпы шешімі болады.
, .
Енді мынадай алмастырулар жасаймыз. .
Сонда теңдеу мына түрге келтіріледі:
гипербола тектес теңдеудің жай түрі немесе канондық түрі.
Практикада келесі түрдегі канондық теңдеулер де қолданылады. Алмастырулар
жасаймыз. ,
,
Екінші канондық түрі .
2. Параболалық тектес.
. Шешімі біреу-ақ болады. . Енді алмастыру жасаймыз.
. Мұндағы -мен сызықты тәуелсіз функция.
Сонымен бізде мынадай теңдеу шығады.
- Парабола тектес теңдеудің канондық түрі.
3. Элиптикалық тектес.
, бұдан, яғни характеристикалық теңдеуден комплекс түйіндес
түбірлер шығады. , .
, алмастырулар орындалады. Комплекс түйіндестен құтылу үшін
келесі түрлендірулер жасаймыз.
онда десек, онда біз мынадай теңдеу аламыз.
-Элиптикалық тектес теңдеудің жай түрі.
Қорытынды: гипербола тектес.
элиптикалық тектес.
параболалық тектес.
2. Көп айнымалылы екінші ретті теңдеу классификациясы
Сонымен біз мына теңдеуді қарастырамыз.
(11)
Екі айнымалыдан тәуелді жағдайдағыдай зерттеулер нәтижесінде мынадай жай
түрдегі теңдеулерді аламыз.
элипс тектес.
гипербола тектес.
, Бұл ультра гипербола тектес.
, параболалық тектес.
3. Тұрақты коэффициентті теңдеулердің канондық түрлері.
, мұндағы
характеристикалық түзулер
, элипс тектес
гиперболалық тектес.
параболалық тектес.
алмастыруын жасаймыз, сонда теңдеу мына түрге келеді.
.
Сонда теңдеу мына түрге келеді. . Мұндағы
Осы сияқты түрлі комбинациялар арқылы келесі түрдегі теңдеулерді аламыз.
элипс тектес.
гипербола тектес
парабола тектес.
Тарау ІІ
Гипербола тектес теңдеулер.
Тербеліс процестері гипербола тектес теңдеулерге келтіріледі. Ең
қарапайым түрдегі теңдеуі мынау:
- шектің тербліс теңдеуі деп аталады.
§ 1. Гипербола тектес теңдеулерге келтірілетін жай есептер. Шеттік
есептердің құрылуы.
1. Тербеліс процестерінің модельдері.
2. Негізгі түсініктер.
3. Бастапқы шарттармен қойылған есептер.
4. Шекаралық шарттардың түрлері.
5. Шеттік есептердің түрлері.
1. Ішектің көлденең жай тербелісінің теңдеуі.
Иілуге икемді серпімді денені ішек деп түсінеміз. Ішектің қозғалысын
әрбір нүктесінің қозғалысымен байланыстырып қарауға болады. Бір күйден
екінші күйге көшуін вектор арқылы анықтауға болады.
Егер ішек бір жазықтықта тербелетін болса, оны х нүктесіндегі t
моментіндегі нүктесін функциясымен анықтай аламыз. Сонымен ішектің
әрбір нүктесінің орнын мына вектормен анықтауға болады, егер ол бір
жазықтықта тербелсе
аралығында моментінде біз мынадай күштердің осіне
проекцияларын қарастырамыз.
Энерция күші
тартылыс күші
(1)
тербеліс кезіндегі күштердің тепе- теңі.
теңдеу шектің бөлігінің уақыт аралығындағы интегралдық
түрдегі тербеліс теңдеуі. Әрбір нүктесінің тербеліс теңдеуін қорыту үшін
интегралдық теңдеуден дифференциалдық теңдеуге көшу керек. Ол үшін (1)
теңдеуде интегралдық орта мәні туралы теореманы және ақырлы өсімше туралы
теореманы қолданамыз.
,
(2)
(2) Шектің дифференциялдық түрдегі тербеліс теңдеуі.
(3)
(4)
(5)
Мұндай әсер еткіш күштің нәтижесінде қосымша шартар
қойылады. Бұл шарттар мына түрде жазылады.
(6)
Бұл шоғырланған күш әсер ететін нүктедегі түйіндестік шарт деп
аталады.
2.Мембраналық тербеліс теңдеуі.
Мембраналық теңдеу мына түрде жазылады.
(7)
(8)
, Лаплас операторы
(9)
Дифференциялдық теңдеудің шексіз көп шешімі болады.
3. Шекаралық және бастапқы шарттар.
Физикалық процес айқын болуы үшін қосымша шарттар қойылады.
Дифференциялдық теңдеу берген қосымша шарттар шекаралық және бастапқы болып
бөлінеді. Шекаралық шарттар функцияның анықталу облысына байланысты.
Бастапқы шарттар үдерістің басталу облысына байланысты.
Шекті ұзындығының е деп белгілеген нүктесінде мына шарт
қойылады.
(10)
Егер шектің екінші шеті тербелісте болатын болса, онда шекаралық
шарттар былай болады.
Тербелістегі дененің бір ұшы бекітіліп екінші ұшы бекітілмеген болса,
онда мынадай шарттар қойылуы мүмкін.
Екінші ұшы тербелісте болады.
, (13)
Егер нүктесі бекітіліп екінші шеті бекітілмеген жағдайда басқа
түрде шекаралық шарттар қойылуы мүмкін. Мына түрдеде қойылуы мүмкін.
(14)
Дәл осы сияқты серпімді бекітілген денелерден ұшында мынадай
шарттар қойылуы мүмкін.
немесе
(15)
Кейде мынадай шарттар койылуы мүмкін.
(16)
Негізінен 3 түрлі шекаралық шарттар қойылады. Шеткі нүктеде функцияның
мәні берілсе, онда бұны бірінші шекаралық шарт деп аталады.
бірінші шекаралық шек. Берілген режим. Ал енді шеткі туындының
мәні беріледі.
екінші шекаралық шек. Берілген күш. Мынадай шарт қойылуы мүмкін.
Үшінші шекаралық шек. Серпімді бекіту.
Негізгі шекаралық шарттар және бастапқы шарттар көмегімен 6 түрлі
шекаралық есептер қарастырылады. Бұл шекаралық есептерді әдетте шеттік
есептер деп аталады. Шекаралық шарттармен байланысты 3 түрлі шеттік есеп
бар.
Бірінші шекаралық есеп
мына облыс анықталған функциясын табу керек. Бұл
функция (1) теңдеуі мыны облысты қанағаттандыру керек
және мына шарттарды
(2) ,
(3) , Бірінші шектік есеп
(1) теңдеуді қанағаттандыратын және (3) шартты қанағаттандыратын есеп
қойылса екінші шектік есеп деуміз.
Бұларға басқа шекаралық шарттары аралас түрде қойылған есептерде
кездеседі. Егер шекті нүктелердегі құбылыстар ескерілмейтін болса, нода
бастапқы шартпен ғана қойылған есепті қарастырамыз.
,
, Коши есебі.
Дәл осылайша жартылау шектеулі облыстар есептеуде қарастырады.
Мысал: ,
, жарты түзу есебі.
Егер процесс қай уақытта басталғаны белгісіз болса, нода бастапқы
шарттарсыз есептер қойылады.
,
,
4. Жалпы есептің құрылуы (редукциясы).
функциясы мына теңдеулерді қанағаттандыатын болсын.
(17)
шешімдер береді. Ол аралығында болады. Сондай-ақ бұл шешімдер қосымша
шарттарды қанағаттандыратын болсын:
(18)
Егер мынадай теңдеу қарастырсақ:
(19)
Бұл функция келесі есептің шешімін береді.
(20)
Ал қосымша шарттар
(21)
(19) теңдеуді алсақ, онда есеіміз мына түрде жазылады.
Бұл (20), (21) шарттарын қанағаттандырады. Демек, күрделі есептің шешімін
бірнеше жай есептепдің шешімдерінің қосындысы түрінде іздестіруге болады.
Мысалы:
(22)
Яғни жалпы түрде қойылған бірінші шеттік есеп берілсе, онда бұл есепті
бірнеше есепке бөлшектей аламыз. Ол үшін бұл есептің шешімін мынадай
шешімдердің қосындысы түрінде іздестіреміз.
(23)
деп аламыз. Ал бастапқы шарты
5. Жалғыз шешім теоремасы. (Бір ған шешім теоремасы).
Теорема: облыста
Мұндағы ашық облыста бастапқы шарттары:
және шекаралық шарттарды
қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар, егер
1. функциясы және оның барлық туындылары облыста
үзіліссіз болса.
2. функциялары, яғни коэффициенттер аралығында үзіліссіз
болса.
Дәлелдеуі: кері жориық, яғни екі шешімі бар делік.
Айырымын қарастырамыз. . Бұл біртекті теңдеудің шешімін береді.
.
Енді мынадай функция құрамыз. .
Бұл функция қозғалыстың толық энергиясын береді. Интеграл астындағы
дифференциалдауға көшіп және шектік бастапқы шарттарды ескере отырып,
екеніне көз жеткіземіз. Сонда . Ал бұдан айналатынына көз
жеткіземіз. Сондықтан . Яғни, . Теорема дәлелденді.
§ 2. Таралатын толқындар әдісі. (Даламбер әдісі).
Шексіз түзу есебіне көшеміз. Яғни х шейін өзгереді.
1. Даламбер формуласы.
, (1)
(2)
есепті қарастырамыз. (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі
немесе
характеристикалары осылай анықталады. Енді деген алмастырулар
жасаймыз. Бұл алмастырулар нәтижесінде (1) теңдеу
(3)
Ал бұл теңдеуді шешу оңай. бойынша интегралдаймыз.
Тағы да интегралдасақ,
(4)
Енді -дан қайтадан айысамыз.
(5)
(5) (1)-дің шешімі. Онда ол (2) бастапқы шарттарды қанағаттанду керек.
ал екенін ескерсек,
Қоссақ,
Алсақ,
(6)
(6) – Даламбер формуласы деп аталады.
, мұндағы (7)
ал (8)
(1)-(2) есептің жалғыз шешімі (6) болады.
2. Біртекте емес теңдеулер.
, облысында қарастырамыз.
(9)
Есепті шығару үшін Даламбер формуласын қолданамыз. Ол үшін есепті келесі
түрге келтіреміз.
(10)
(10) теңдеудің шешімдерін қанағаттандыратын шарттар:
(11)
(10), (11) бұл есеп үшін Даламбер формуласы қолданылады. Онда
(12)
(12) формуланы пайдалана отырып, есептің шешімін мына түрде жазуға
болатындығына көз жеткізейік. (9) шешімін мына түрде жазамыз.
(13)
Мұндағы
Лемма: Біртекті емес (9) теңдеудің шешімі, яғни (9) есептің шешімі
бастапқы шарттарын ноль деп алғанда, яғни
(*)
деп алғанда оның шешімі
(14)
(14) шешімі екенін дәлелдеу үшін оны дифференциалдаймыз.
Екінші рет дифференциалдаймыз. Сонда
Сонымен (9) есептің шешімін жекелеген жеңіл есептердің шешімдерінің
қосындысы түрінде құрамыз.
(15)
(12) формуланы пайдаланып, (15)формуладағы қосылғыштарды ашып жазамыз. Онда
(16)
Сонымен (16) формула (9) есептің толық шешімін береді.
4. Шешімнің орнықтылығы.
Шешімнің орнықтылығын зерттеу қажетті, орнықсыз шешімдер мағынасыз,
қарастырылған есептердің шешімдері орнықты болу үшін бұл шешімдер қосымша
шарттардан үзіліссіз тәуелді болу керек. Қандай аралығында
табылып, теңдеуінің екі шешімі үшін .
,
шарттары үшін тек қана
болғанда ғана орындалатын болса, шешім орнықты дейміз. Шешімнің бар және
жалғыз болуы, орнықтығы мәселелерімен есептер қисынды, қисынсыз қойылған
деп екі топқа бөлінеді. Есеп қисынды қойылған деп аталады, егер
1. Шешімі бар болса,
2. Қосымша шарттарды орындайтын жалғыз шешім болса.
3. Шешім орнықты болса.
Егер бұл шарттардің әйтеуір біреуі орындалмаса есеп қисынсыз қойылған
деп аталады. Практикада қисынсыз қойылған есептер де жиі кездеседі.
Қисынсыз қойылған есептің мысалы:
Лаплас теңдеуі
қарастырамыз. Бұл қисынсыз қойылған есеп екенін тексереміз.
,
бастапқы шарттар мынадай
параметрі шексіз үлкен болған кезде бастапқы шарттары мен
айырмалары аз. Шешім орнықсыз, демек қисынсыз есеп.
4. Жарты түзу және жалғастыру әдісі.
Енді жарты түзу есептерін қарастырайық, яғни түзудің бір шеті шектеулі
болған жағдайды қараймыз.
,
бастапқы шарттар.
шекаралық шарттар.
Бұл есепті жарты түзудің бірінші шеттік есебі деп атаймыз. Егер
шекаралық шартта мынадай шарт қойылса онда екінші шеттік есебі деп
аталады.
Бұл есептерді шешу үшін шексіз түзуде берілген есептердің шешімдерінің
қасиеттерін пайдаланамыз.
Лемма 1: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір
нүктесі арқылы тақ функциялар болса, онда шешім бұл нүктеде нольге
айналады.
Лемма 2: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір
нүктесі арқылы жұп функциялар болса, онда шешімнің бойынша туындысы
нүктесінде нольге айналады.
Л 1 Дәлелдеуі: деп аламыз. , тақ болсын. Есептің шешімі
Лемма дәлелденді.
Леммалардың көмегімен келесі есептердің шешеміз
1-ші шектік есеп
2-ші шектік есеп
1-ші шектік есеп
2-ші шектік есеп
,
облысында. Есептің шешімін барлық облыстар үшін табу керек.
5. Кесінді есептері.
аралығында шектік есептер карастырамыз
Бұл есепті шешу үшінде жалғастыру әдісі қарастырылады
функциялары нүктелері арқылы тақ жалғастырылатын
функциялар
Бұл шешімнің қосындысы қатар түрінде жазылады. Усуптің шешімін береді.
3 Айнымалыларды ажырату әдісі немесе Фурье әдісі.
1. Ішектің еркін тербеліс теңдеуі
(1) (2) (3) қанағаттандыратын шешімді
іздестіреміз.
1-ші шектік есеп
Көмекші есепті қарастырамыз.
(4) осы түрде іздестіреміз
(5)
(6)
(7)
(7) әрқайсысын -ға теңестіреміз.
,
(8)
(9)
шекаралық шарттары
функциясын табу есебіне келдік. Бұл есепті меншікті мәндер
туралы есеп деп аталады. - мәндерін табу керек. (8) теңдеудің ноль
емес шешімдерін беретіндей
Штурм – Лиувилль есебі деп аталады.
- меншікті мәндеріне тиісті шешімдері есептің меншікті
функциялар делінеді, характеристикалық теңдеуі ал түбірлері
1. жалпы шешім Енді шеттік шарттарды пайдаланамыз.
Мұнда тек нольдік шешім бар. Бұның қажеті жоқ, себебі ол
қанағаттандырмайды.
2. шеттік шарттарды пайдаланамыз. . Демек екі жағдайда да
тек қана нольдік шешім бар.
3. шеттік шарттарын қоямыз.
-ның бұл мәндері есептің ноль емес шешімдерін беретін
меншікті мәндері. , яғни меншікті мәндері шексіз көп және меншікті
функциялары шексіз көп.
(10)
дербес шешімдерін береді. -ның бұл мәндерінде (2) теңдеудің шешімдері
жазылады. Ол былай
(11)
(10), (11) шешімдерінен шешімдері құрылады.
дифференциалдық теңдеу біртекті болғандықтан дербес шешімдерінің қосындысы
да шешімді береді. Жалпы кез келген қатар түріндегі қосындысы да шешімді
береді. Сонымен,
(13)
Бастапқы шарттарын орындалуын талап ете отырып коэффициенттері
анықталады.
(14)
(14) өрнекті функцияларының Фурье қатарларына жіктелуі, тек
бойынша жіктелуі. Демек, коэффициенттері былай анықталады.
(15)
(16)
Қатарлар жинақы болғанда шешім толық анықталады. Бұл қатарлардың және
туынды қатарлардың жинақылығы тікелей зерттеледі.
жинақы қатар екеніне көз жеткізе аламыз.
жалпы түрде мынадай қатар
Бұл қатарлар функциясы екі рет дифференциалданатын болса,
функциясы бір рет дифференциалданатын болса, жинақы қатарларды береді.
2. Біртекті емес теңдеулер.
(17)
теңдеуді қарастырамыз. Теңдеу біртекті емес. Есептің шешімін
(18)
түрде іздестіреміз. функциясы қатарға жіктеледі деп есептейміз.
(19)
(20)
(21)
(18) шешімді (17)-ге қойсақ, мынадай теңдеу аламыз:
(22)
тұрақты коэффициентті кәдімгі дифференциалдық теңдеу (22) қосымша шартымен
берілгенде Коши әдісімен шешіледі.
Бастапқы шарттардан мынаны аламыз.
(23)
(24)
(25)
Сонымен бастапқы шарттармен қойылған кәдімгі дифференциалдық теңдеудің
шешімін табу керек. Яғни (25) есепті шешеміз. (25) есептің шешімі, ол екі
бөліктен тұрады.
(26)
(27)
(28)
(28) біртекті теңдеудің шешімі, ал (27) біртекті емес теңдеудің әйтеуір
бір шешімі. Онда ізделінді шешім
(29)
түрде жазылады. Яғни . -дәі мәніне қоямыз, сонда
(30)
(31)
3. Жалпы бірінші шеттік есеп.
(32)
Есептің шешімі (33)
Түрде іздестіреміз. Мұндағы - белгілі деп қарастырылады.
функциясы келесі есептің шешімі түрінде іздестіріледі.
, мұндағы
мұдағы
мұндағы
мұндағы
мұндағы
Қосымша есепті жеңілдетеміз, егер шеттік шарттарын ноль деп алсақ, яғни
шеттік шарттары ноль болатын біртекті емес теңдеулерге келеміз. Сонымен,
нольге айналатындай етіп таңдаймыз. Демек,
(34)
таңдау жеткілікті.
Сонымен біз қосымша есептің шешімін шеттік шарттары ноль болатын
біртекті емес теңдеу шешіміне келтірдік, онда
(35)
5. Стационар біртекті емес шеттік есептер.
Стационар біртекті емес шеттік есептер тобы түрлі процестерде
кездеседі. Бұл есептер тобына біртекті емес шартын орындайтын оң жақтағы
функция уақыттан тәуелсіз және шеттік шарттарында уақыттан тәуелсіз
делінеді.
(36)
біртекті емес стационар бірінші шеттік есепті қарастырамыз. Бұл есептің
шешімін де мына түрде іздестіреміз.
мұндағы белгілі функция -келесі есептен анықтаймыз.
Егер болса, онда былай анықталады.
(36) есептің шешімі мына түрде жазылады.
(37)
6. Бастапқы шартсыз есептер.
Шекарада қойылған шарттың таралуын көрсететін есептер тобы бар. Бұл
есептер тобында бастапқы шарттар ескерілмейді, яғни процесс басталуынан
әлде қайда ұзақ уақытта деп алынады.
(38) бастапқы шартсыз есеп.
кедергі күшіне пропорционал. Практикада шеттік шарттары перодты
функциялармен өрнектелетін жағдайлар жиі кездеседі.
немесе
(38) есепті нақты былай етіп жазсақ болады.
(39)
Нақты бөлігіде жорамал бөлігіде шешімді береді. шаттарды
анықталады.
(40)
Есептін шешімін мына турде іздестіреміз
(41) (42)
(43)
(44)
,
6. Шоғырланған күш
нүктесінде әсер етуші күш бар деп есептейміз. Егер күшіміз
аралығында әсер ететін болса, онда отырып күштердің әсерін
нүктесінде шоғырландыруға болады.
Мұндай жағдайда қосымша шарт қажет. Мұндай шарт түйіндес шарт деп
аталады.
(48)-түйіндес шарт. , әсер етіп отырған функция периодты
болсын. Осы есепті қарастырайық. 47 есепті 48-ші шартымен қарастырады.
Бұл шешімдерді 47-ге қоямыз.
( 49)
(50)
(51)
49-шы теңдеуді 50,51 шарттарымен шешсек мыналарды аламыз.
51 шартты пайдалансақ C мен D тұрақтыларын аламыз.
Дәл осылацша болғандағы шешімдіде жазамыз. функциясы
болса, онда шешімін мына түрде жазамыз.
Математикалық анализдегі қағиданы пайдаланып ... емес функциялар
үшін де шешімдер құруға болады. Мұнда белгілі бір аралықта функцияны
периодты деп жалғастырып функцияның өзін жалғастарамыз. Яғни Фурье
қатарларына жіктеп барып жоғарыдағыдай формула аламыз.
7. Айнымалыларды ажыратудың жалпы схемасы.
Теріс теңдеудегі коэфиценттері тұрақты емес болған жағдайда
айнымалыларды ажырату әдісін қолдануға болады. Жалпы түрдегі теңдеу
қарастырамыз.
(53)
53 есептің шешімінде айнымалыларды ажырату әдісмен табуға болады. Ол
үшін тағы мынаны пайдаланамыз.
(54)
үшін Штурм-Лиувилль меншікті мәндер және меншікті функциялар
есебіне келеміз. Яғни меншікті мәндер табу керек және әрбір -ға
тиісті меншікті функцияларды табу керек . 54 –ші есептің шешімдерін
құратындай кейде бұл меншікті мәндерді, меншікті функцияларды
операторының меншікті мәндері, меншікті функциялары деп аталады.
Негізгі қасиеттер
1 меншікті мәндердің жиыны саналымды. Бұл мәндерге тиісті
меншікті функцияларда саналымды.
2 болғанда
3 аралығында салмағымен ортогональ. Яғни
(55)
4 аралындағы екі рет үздіксіз дифференциалдық функция
шарттарын қанағаттандырса , онда меншікті функция арқылы
біркелкі және абсолютті жинақы қатарға жіктеледі.
(56)
коэффиценттері былай анықталады.
(57)
(59)
Бұл оңай шешіледі. Характеристикалық теңдеу комплекс айнымалы функция
болады. Шешімі
- жалпы шешім.
Суперпозиция принципі бойынша кез келген қосынды шешімді береді.
бастапқы шарттарды пайдаланамыз.
(60)
§ 4. Характеристикаларында шарттар қойылған есептер.
1. Есептің қойылуы.
Қосымша шарттар немес сызықтарында ,ал жалпы жағдайда
сызықтарында қойылатын есептерде практикада жиі кездеседі. Осындай есептің
бірі Гурса есебі деп аталады.
2. Гурса есебі үшін тізбекпен жуықтау әдісі.
(1)
Гурса есебін қарастырамыз.
, түзулері (1) есептің характеристикалары.
функциялары дифференциалданатын дей отырып есептің шешімін іздестіреміз.
Бұл функцияларға түйіндестік шартын қосамыз, яғни
(1)-дің екі жағын интегралдаймыз.
немесе
у бойынша интегралдаймыз.
(2)
Бұл шешім жалпы жалғыз шешім болатындығы айқын. Енді күрделірек есепті
қарастырайық.
(3)
Мұнда функциялары үзіліссіз функциялар деп аталады.
алдыңғы есептегі шарттарды орындайды.
Есептің шешімі интегро – дифференциалдық теңдеуге келтіріледі.
(4)
ізделінді функция интеграл сыртында да, астында да дифференциал астында да
берілгендіктен бұл теңдеуді интегро – дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Интегро – дифференциалдық теңдеуді, яғни (4) шешу үшін тізбекпен жуықтау
әдісін пайдаланамыз. Ол үшін
онда (5)
(6)
Мына тізбектердің біркелкі жинақталатынын көрсетуге болады. Ол
үшін мынадай айырым қарастырылады.
шектеулі болу керек.
берілген облыста шектеулі.
Онда мынадай бағалулар орындалады.
Онда үшін мына бағалау орынды.
Бұл бағалау
Тізбектерінің біркелкі жинақы екендігін көрсетеді. Яғни,
(7)
интегро – дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетеді.
Енді шешімнің жалғыз екендігіне көз жеткіземіз. Ол үшін кері жориық, яғни
екі шешімі бар делік.
Екі шешімнің айырымын қарастырайық.
онда
онда аралықта мына теңсіздік орындалады.
үшін орындалады.
.
§5. Гипербола тектес жалпы сызықтық теңдеуді шешу.
1. Түйіндес дифференциалдық операторлар.
(1)
операторын енгіземіз. Бұл сызықтық дифференциалдық оператор. Бұл операторды
көбейтіп, мүшелеп жазайық.
(2)
(3)
(4)
(4´)
(5)
(5´)
Дифференциалдық операторлар немесе екі дифференциалдық оператор
түйіндес оператор деп аталады, егер
айырымы қандайда бір өрнектерінің дербес туындыларының, яғни х және у
бойынша комбинациясына тең болсын. Қарастырылып отырған операторлары
түйіндес. Егер бұл операторлар үшін
орындалса, онда операторды Өзіне-өзі түйіндес деп аталады. Қандай да бір
жазықтық облыс қарастырсақ, онда осы облыс бойынша алынған екі еселік
интеграл
(6)
тең болады. Мұндағы екі рет дифференциалданатын функциялар. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz