Дербес туындылы

Жоспар
Кіріспе

Дербес туындылы
1 Резонансты емес жағдай.
2 Резонанстық жағдай.

Дербес туындылы
(1. 13)
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек .
Шешуі: Берілген теңдеуді

түрінде жазайық. Осыдан туындысының бойынша туындысы нөлге тең болғандықтан ол ке тәуелді функция екендігі шығады, яғни
.
Сондықтан .
Мұндағы кез келген функциясының интегралы -ке тәуелді функциясы мен тұрақты деп саналатын кез келген -ке тәуелді функциясының қосындысынан тұрады.
Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы
Резонансты емес жағдайда (2.89) қатардың барлық мүшелері бойынша шектелген функциялар . Ал (2.95) резонанстық жағдайда бір қосылғыш да шектелмеген. Сондықтан ның үлкен мәндерінде шешім негізінен (2.95) тің соңғы қосылғышымен сипатталады. Ал ның өте үлкен мәндерінде шешім де өте үлкен болады. Егер бұл шек туралы есептің шешімі болса, онда шек үзіледі. Әдетте шешім үлкен болғанда жүйе сызықты толқындық теңдеумен сипатталмайды да (2.95) формула дұрыс болмайды.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

1-мысал. Дербес туындылы
(1. 13)
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек .
Шешуі: Берілген теңдеуді

түрінде жазайық. Осыдан туындысының бойынша туындысы нөлге тең
болғандықтан ол ке тәуелді функция екендігі шығады, яғни
.
Сондықтан .
Мұндағы кез келген функциясының интегралы -ке тәуелді
функциясы мен тұрақты деп саналатын кез келген -ке тәуелді
функциясының қосындысынан тұрады.
Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы
(1.14)
2-мысал. Екінші ретті
(1.15)
теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Теңдеуді

түрінде жазайық. Сонда , яғни ол тен тәуелсіз функция екендігі
көрінеді.
Интегралдаудан кейін
, яғни (1.16)
шешімін аламыз.
3-мысал. Берілген

теңдеуін канондық түрге келтіру керек.
Шешуі: Бұл теңдеуде ,, болғандықтан
,
яғни теңдеу гиперболалық типке жатады.Сипаттамалық теңдеуі мына түрде
жазылады.
, немесе

Оның түбірлері ,, болады да бірінші интегралдары
(сипаттауыштары)
,
түрінде алынады.
Теңдеуді канондық түрге келтіру үшін жаңа айнымалылар енгіземіз
,
Теңдеуге қойып түрлендіру үшін осы айнымалылардың дербес туындыларын
табайық.
Алдымен ескі айнымалылар бойынша туындыларды жаңа айнымалылар бойынша
туындылармен өрнектеу формулаларын келтірейік.
Айталық, , (1.17) екі рет үздіксіз
дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда төмендегідей туынды
формулалары алынады:
; ;
;

Ескерту: функциясын жаңа және
айнымалылармен өрнектеу формуласын қарастырайық
(1.19)
Әдетте (1.18) формулаларда v-ның орнына u деп ауыстырып жазады. Бірақ
та туындыларын η=const (ξ =const) сызықтары бойынша алынған
туындысы , ал дұрысында
деп ұғу керек.
Өйткені функциясының немесе бойынша дербес
туындысы дегеннің екіншінемесе координаты алынғанша мағынасы
жоқ.. Шынында да, туындысы айнымалысын ғана емес туындыда
ашық көрінбесе де айнымалысын таңдап алудан тәуелді.
Енді мысалымыздағы және жаңа айнымалылары бойынша дербес
туындыларды есептейік:
, , ,
; ;
;
;

Осыларды берілген теңдеуге апарып қоямыз:

Осыдан , немесе - берілген теңдеудің канондық түрін
аламыз.
4-мысал. Берілген

теңдеуін канондық түрге келтіру керек .
Шешуі: Бұл жағдайда ,, және
,
болғандықтан теңдеу параболалық типке жатады.
Сипаттамалық теңдеу
4dy2 -4dxdy+dx2 =0, немесе
Осыдан , , - бірінші интеграл.
Сондықтан деп аламыз. Ал екінші сипаттауыш үшін кез келген
функциясын алуға болады. Өйткені бұл функциялардың Якобианы нөлге тең
болмайды:

Сонымен жаңа айнымалыларды , бойынша дербес
туындыларды есептейміз:
, , ,
; ;

;
.
Теңдеуге апарып қойып оның канондық түрін табамыз:
,
немесе .
Сонымен берілген теңдеудің канондық түрі.
5-мысал.

теңдеуінің типін анықтап канондық түрге келтіру керек.
Шешуі: және түзулерінде жатпайтын нүктелерде
болғандықтан берілген теңдеу эллипстік типке жатады.Оның сипаттамалық
теңдеуін құрайық
.
Мұны екі теңдеу түрінде жазуға болады

Осыдан
және
екі бірінші интегралдарын аламыз.
Сондықтан және деп алып дербес туындыларды есептейміз.
, ,,,
; ;
;
.
Осы мәндерді берілген теңдеуге қойып оның канондық түріне келеміз
,
немесе -ге қысқартып

теңдеуін аламыз.
6-мысал. Берілген

теңдеуін канондық түрге келтіру керек.
Шешуі: Сипаттамалық теңдеу-

түрінде жазылады. Оны теңдеуі түрінде жазып, берілген теңдеу
эллипстік типке жататындығын анықтаймыз.
Бұл теңдеуді интеграалдау нәтижесінде
шешімін аламыз.
Егер жаңа координаталар үшін
,
айнымалыларын алатын болсақ , онда дербес туындылар мынадай түрде алынады:
;
;
;
.
Осы мәндерді теңдеуге қойып, түрлендірулерден кейін теңдеудің
канондық түріне келеміз:
,

, немесе

Осыдан теңдеуі
және болғанда, яғни бірінші және үшінші ширектерде эллипстік типке
жататындығы көрінеді.
Егер , ал және, ал

болғанда теңдеудің канондық түрі

теңдеуімен өрнектеледі, яғни

теңдеуі екінші және төртінші ширектерде гиперболалық типке
жататындығы анықталады. Егер болса, координата осьтерінің нүктелерінде
теңдеу параболалық типке жатады. Бұл жағдайда сипаттамалық теңдеудің бір
ғана бірінші интегралы бар болады. Теңдеуді канондық түрге келтіру
үшін екінші сипаттауышын түрлендіру анықтауышы (Якобианы) нөлге тең
болмайтындай етіп кез келген функция түрінде алады.
7-мысал. Берілген

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Бұл теңдеу үшін
,
яғни теңдеу гиперболалық типке жатады.
Сипаттамалық теңдеуін жазайық ,
немесе
Осыдан . Интегралдаудан шешімі алынады.
Олай болса

Енді берілген теңдеуде айнымалыларды ауыстырайық:
, , , ;
,,
.
Осы туындылар мәндерін теңдеуге қоямыз:
.
Бұл теңдеудің жалпы шешімі
.
Алғашқы айнымалыларға көшіп берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

8-мысал. Егер

теңдеуі сызықты және коэффициенттері тұрақты болса, онда жаңа
айнымалылар арқылы түрлендірулерден кейін әрбір жағдайда тағы да
коэффициенттері тұрақты сызықтық теңдеулер алынады

Бұл теңдеулерді жаңадан белгісіз v функциясын енгізіп әрі қарай тағы
да ықшамдауға болады. Жаңа функцияның түрі:
.
Мұндағы тұрақтыларын әдейілеп таңдап алуға болады.Сонда
жоғарыдағы теңдеулерді мынадай түрлерге келтіруге болады.

Мысалы, айнымалыны ауыстыру функциясын дифференциалдағаннан кейін
функциясы мен оның туындыларын ге қойып және ұқсас мүшелерін
жинастырғаннан кейін мынадай теңдеу аламыз:

Әрі қарай ға қысқартып , мен ды
болатындай етіп алып

теңдеуін аламыз.
9-мысал. Берілген

теңдеуінің
,
алғашқы шарттарын қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Шешуі: Алдымен теңдеудің жалпы шешімін анықтайық. Ол үшін
сипаттамалық теңдеуін құрайық:
немесе
Осыдан
, ,
теңдеулеріне көшіп, олардың бірінші интегралдарын анықтаймыз:
және
Олай болса жаңа айнымалылары енгізіп дербес туындыларды
есептейміз.
, ,, , ,
,
,
,
.
Осы мәндерді берілген теңдеуге қоямыз :

немесе, түріндегі канондық теңдеу алынады.
Оның жалпы шешімі

Енді алғашқы шарттарды пайдаланамыз

Бірінші теңдеуді дифференциалдап теңдеуін аламыз. Сонан
соң
жүйесіннен , теңдіктерін аламыз. Осыны интегралдаудан
кейін

шешімін аламыз.
Олай ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.