Көз функцияларының кейбір қолданулары

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 5 бет
Таңдаулыға:

Лекция 13. Көз функцияларының кейбір қолданулары

Сфера үшін көз функциясын қолдану әдісі.
Дөңгелек облыстағы көз функциясы әдісі.
Жарты кеңістіктегі көз функциясы әдісі.

1. Центрі О, радиусы R сфера үшін көз функциясын құру керек , , , (1) қатынасында және нүктелерінің кері радиус векторлық түрлендірулерін құрамыз. Сфера бетіндегі барлық Р нүктелері үшін және нүктелеріне дейінгі қашықтықтары пропорционал : бұрышы ортақ немесе

Ұщбұрыш ұқсастығынан (2) , онда барлық сферада орынды гармоникалық функция демек

G(P, ) = (3) сфера үшін көз функциясы гармоникалық, нүктесіндегі ерекшелігі , сферада нөлге айналады.

Бірінші шеттік есептің шешімі ) (4)

п-сырт нормаль,

Келтірілген формулалардан

онда

(5)

Сфералық координаталар енгізсек формула (5) мына түрде жазылады.

Формула (6) сфера үшін Пуассон интегралы деп аталады.

Сферадан сырт облыс үшін де көрсетілген жолмен көз функциясы құрылады.

-белгілі нүкте, сферадан тыс жатқан, нүктесі нүктесінен түйіндес, -координаталар басынан -ге дейінгі аралық.

Сырттай және іштей есептер нормаль бағыттарынан, кері екендігін ескерсек, сырттай есеп үшін

2. Сферада функциясын тапқандай, дөңгелектің көз функциясы табылады. Функцияны мына түрде іздейміз.

Дөңгелек радиусы.

Осылайша анықталған гармоникалық функция облыс шекарасында нөлге айналады Бірінші шеттік есептің шешімін құруда анықталады: Полярлық координаталарда

өрнек (12) дөңгелек үшін Пуассон интегралы деп аталады. Осы формула таңбасы ғана өзгертіліп, сырттай есептің шешімін береді.

3. Шексіздікте регулярды функциялар көмегімен шектеусіз кеңістік көз функциясы енгізіледі Жарты кеңістікте көз функциясын анықтайық.

нүктесінің потенциалы

функциясымен анықталады нүктесін қарастырсақ, G функциясы былай анықталады

Бұл функция z=0 мәнінде нөлге айналыпб - нүктесінде ерекшелігі бар

Есептеулер жүргіземіз.

Бірінші шеттік есептің шешімі мұндағы жазықтықтығы, немесе

Лекция 14: Потенциал теориясы элементтері.

Көлемдік потенциалб логарифмдік потенциал
Меншіксіз интеграл түсініктері
Көлемдік потенциал туындылары, беттік потенциалдар
Жәй қабат потенциалының қасиеттері

Функция нүктесіне орналасқан бірлік массаның (зарядтың) потенциалының өрісі, Лаплас теңдеуінің параметрлерінен тәуелді шешімі. Бұл функцияның параметрлері бойынша интегралдары потенциалдар атанып, физикада тікелей қолданысымен қатар, шеттік есептерді шешу әдістерін жетілдірудіе де ерекше орын алады.

1. массасы нүктесінде, m массасы M(x, y, z) нүктесінде орналасса, бүкіләлемдік тартылыс заңы бойынша өзара тартылыс күші

бірлік вектор бағытында, -гравитациялық тұрақты. Егер десек бұл күштің координаталар осьтеріне проекциялары

Күш өрісінің потенциалын u енгіземіз немесе .

Бұл жағдайда n-материалдық нүкте үшін тығыздығы дене Т үшін

(x, y) координаталарымен берілген жағдайда P(x, y) нүктесінен L сызығының тарту күші . Бұл күштің потенциалы логарифмдік потенциал деп аталады және түрінде жазылады. F күшінің компоненттері (6)

потенциалы

2. нүктесінде шексіздікке айналатын F(x, y, z) функциясы Тоблысында берілсін облысында диаметрі -нан аспайтын нүктесінің төңірегі (маңайы) анықталған интеграл қарастырамыз.

Егер бар болса, тізбектерін таңдаудан тәуелсіз, онда бұл шек F(x, y, z)

Функциясының Т облысы бойынша меншіксіз интегралы деплып, былай белгіленеді.

Интегралдарының жинақтылықтарын зерттейік.

Т радиусы R центрі шар делік, радиусы центрі шарлар тізбегі.

Онда

Шекке көшсек, мәндерінде шегі бар, мәндерінде шегі жоқ екендігіне көз жеткіземіз. Сонымен меншіксіз интеграл (8) мәндерінде бар, жинақы; мәндерінде жоқ, жинақы емес.

Екі айнымалыдан тәуелді интеграл жинақы,

жинақы емес .

Меншіксіз интеграл (9) жинақы болуы үшін. функциясы табылып, (10) орындалып, интегралы жинақы болуы жеткілікті. F(M, P) функциясы шексіздікке P=М мәнінде тең болып, теңсіздік орындалса

меншіксіз интеграл жинақы .

Меншіксіз интегралдарды

үздіксіз М бойынша, қарастырамыз. Интеграл (11) нүктесінде бірқалыпты жинақы, егер және облысында орындалса егер болса (12) және тарту күшінің компоненттері (13) жинақы, себебі

3. (14)

(15)

Потенциалдың екінші туындысын формалды түрде интеграл астында орындау қате нәтижеге келтіреді. Сондықтан облыстың түрін өзгертіп, интегралды шартты түрде жинақты деп қарастырады. , (16)

және дәл осылай анықталады. Онда +

(17) себебі 1/R -гармоникалық функция

Сонымен көлемдік потенциал Пуассон теңдеуінің щешімі дене ішінде, Лаплас теңдеуінің шешімі дене сыртында Егер ішкі нүктелер болса, біртекті емес (18) теңдеуінің шешімі