Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

М А З М Ұ Н Ы
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Кездейсоқ шамалардың анықтамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .4
1.1Дискреттік кездейсоқ шамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 5
2. Кездейсоқ шамалар, олардың таралуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
2.1 Кездейсоқ шаманың таралу функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ..9
2.2Кездейсоқ шаманың таралу параметрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .11
3. Үлестірім заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
3.1 Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі және қасиеті ... ... .. 15
3.2 Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі ... ... ... ... ... ... . ... .20
4. Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..21
5. Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22
Қорытынды
Пайдаланған әдебиеттер

К І Р І С П Е
Казіргі уакытта ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика әдістері барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл ғылымына, педагогика мен психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға және т. с. с. еніп, ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын ашатын пәрменді кұралға айналып келеді. Бұл пән — кездейсоқ кұбылыстар заңдылығымен айналысатын математика саласы.
Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы бірнеше сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Европа ғалымдары Б. Паскаль, П. Ферма және т.б. Бұл ғылымның келесі дамуы ұлы орыс математигі Пафнутий Львович Чебышев басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен байланысты XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен бастап, Россияда ықтималдықтар теориясы пәрменді дамыды.
Кездейсоқ шама – ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі. Кездейсоқ шама – жағдайға тәуелді белгілі бір ықтималдығы бар әр түрлі мән алатын қандай да бір шама. Кездейсоқ шаманың маңызды сипаттамасының біріне оның таралу (үлестірілу) ықтималдығы жатады.

ПАЙДАЛАНҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1. Дограшвили А.Я. Формирование у учащихся умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математике в восьмилетней школе//автореф. канд. пед.наук.-Тбилиси, 1976.
2. Мынжасарова М.Ж. Негізгі мектеп математика курсындағы ықтималдық-статистикалық желінің маңызы//«Жас ғалымдардың қазіргі заманғы зерттеулері: проблемалар және оларды шешу жолдары» атты жас ғалымдардың халықаралық ғылыми-практикалық конференциясының материалдары. –Астана, 2007. 2-бөлім,
3. Жаңбырбаев Б.Б. Ықтималдықтар теориясы. – Алматы: Дәуір, 2001.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000.
5. Гмурман В.И. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики.- М. Статистика, 2000.
6. Бектаев Қ.Б. Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары: Методикалық талдау: Пед.институттардың физика және матем. факул. бөлімдерінің студенттеріне арналған. – Алматы: РБК, 1977.
7. Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару: Оқу құралы. – Алматы: РБК, 1991.
8. Ақанбай Н. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы: Оқу құралы. 1-бөлім. – Алматы: Қазақ университеті, 2004.
9. Қазақ энциклопедиясы, 4-том.
10. Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: Механика - Павлодар : «ЭКО»ҒӨФ. 2007.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 22 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ
БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ФАКУЛЬТЕТІ
Математика кафедрасы

дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

ТҮРКІСТАН, 2012

М А З М Ұ Н Ы
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
1. Кездейсоқ шамалардың
анықтамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.1Дискреттік кездейсоқ
шамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
. 5
2. Кездейсоқ шамалар, олардың
таралуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
2.1 Кездейсоқ шаманың таралу
функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..9
2.2Кездейсоқ шаманың таралу
параметрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .11
3. Үлестірім
заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..14
3.1 Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі және қасиеті ... ... ..
15
3.2 Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық
күтімі ... ... ... ... ... ... . ... .20
4.
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
5. Пайдаланған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
..22

К І Р І С П Е
Казіргі уакытта ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика
әдістері барлық жаратылыстану, экономикалық және техникалық ғылымдар ғана
емес, тіпті математикадан алшақ деп саналатын тіл ғылымына, педагогика мен
психологияға, сондай-ақ социологияға, археологияға және т. с. с. еніп,
ортақ тіл табысып, ішкі құрылыс заңдарын ашатын пәрменді кұралға айналып
келеді. Бұл пән — кездейсоқ кұбылыстар заңдылығымен айналысатын математика
саласы.
Ықтималдық ұғымдарының тарихи дамуы мен ғылым ретінде қалыптасуы
бірнеше сатыдан өтеді. Бұл ғылымның дамуына Европа ғалымдары Б. Паскаль, П.
Ферма және т.б. Бұл ғылымның келесі дамуы ұлы орыс математигі Пафнутий
Львович Чебышев басқарған Петербург ықтималдықтар теориясы мектебімен
байланысты XIX ғасырдың орта кезінде жарық көрген іргелі зерттеулерінен
бастап, Россияда ықтималдықтар теориясы пәрменді дамыды.
Кездейсоқ шама – ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі.
Кездейсоқ шама – жағдайға тәуелді белгілі бір ықтималдығы бар әр түрлі мән
алатын қандай да бір шама. Кездейсоқ шаманың маңызды сипаттамасының біріне
оның таралу (үлестірілу) ықтималдығы жатады.

Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары.
1.Кездейсоқ шамалардың анықтамалары

Кездейсоқ шама – ықтималдық теориясының негізгі ұғымдарының бірі.
Кездейсоқ шама – жағдайға тәуелді белгілі бір ықтималдығы бар әр түрлі мән
алатын қандай да бір шама. Кездейсоқ шаманың маңызды сипаттамасының біріне
оның таралу (үлестірілу) ықтималдығы жатады.
Егер Х кездейсоқ шамасы шекті не шексіз әр түрлі х1, х2, ... хn, ...
мәндер тізбегін қабылдаса, онда X кездейсоқ шамасының таралу ықтималдығы
(таралу заңы) сол х1, х2, ... хn, ... мәндері мен оларға сәйкесті p1, p2,
..., pn, ... ықтималдықтарды көрсету арқылы беріледі. Кездейсоқ шаманың
мұндай түрі дискретті кездейсоқ шама =[a, b] кесіндісі (деп аталады. Басқа
бір жағдайларда таралу ықтималдығы әрбір үшін axb теңсіздігінің PХ(a, b)
ықтималдығын көрсету арқылы беріледі. Әсіресе кездейсоқ шама. үшін: PХ(a,
b)=(x)dx теңдігін қанағаттандыратын pХ(x) функциясы (ықтималдық тығыздығы)
табылатын жағдайлар жиі кездеседі. Кездейсоқ шаманың мұндай түрі
үздіксіз кездейсоқ шама деп аталады. Кездейсоқ шама таралу ықтималдығының
кейбір жалпы қасиеттері онша көп емес сандық сипаттамалар мөлшерімен
жеткілікті дәрежеде толық сипатталады. Ондай сипаттамалардың қатарына Х
кездейсоқ шамасының математикалық үміті (EХ) және оның дисперсиясы (DХ)
жатады.
Дискрет кездейсоқ шама - әр мәнінің пайда болу ықтималдылығы
көрсетілген дискрет шама.
Үзіліссіз кездейсоқ шама - ықтимапдықтың тығыздық функциясы
көрсетілген кездейсоқ шама.
Анықтама. Кездейсоқ шама деп сандық мән қабылдайтын, бірақ қандай мән
қабылдайтынын алдын ала болжап айту мүмкін болмайтын шамаларды айтады.
Кездейсоқ шамаларды латын алфавитінің бас әріптерімен немесе
гректің кіші әріптерімен белгілейді. Ал олардың қабылдайтын мәндерін
латынның кіші әріптерімен белгілейді.

1.1 Дискретті кездейсоқ шамалар

Анықтама. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің саны ақырлы болса
немесе тізбек түрінде жазылса,онда ондай кездейсоқ шамаларды дискретті
кездейсоқ шамалар деп атайды.
Дискретті кездейсоқ шаманы анықтау үшін үлестірім қатары-үлестірім кестесі
құрылады.

Х ...
Р ...

Кестенің жоғарғы жолында кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері, ал төменгі
жолында-сол мәндердің сәйкес ықтималдықтары келтірілген,мұндағы

2.Кездейсоқ шамалар, олардың таралуы
Статистикалық математикада кездейсоқ оқиғалар дегеніміз кездейсоқ
шамалар болып табылады.
Кездейсоқ шамалар деп тәжірибеден табылатын мәнін алдын ала болжай
алмайтын шаманы айтады. Кездейсоқ шама тұрақты мәнге тең емес, оның әртүрлі
көп мәндері болады, ал әрбір жеке өлшем оның бір ғана мәнін көрсетеді.
Кездейсоқ шаманы сипаттау үшін алдымен оның мүмкін болатын мәндерін
білу қажет. Кездейсоқ шаманы дискретті (үздікті) және үздіксіз шамалар деп
екіге бөледі. Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндерін алдын ала
білуге болады. Мысалы, мерген жүз рет атқанда оқты нысанаға неше рет
тигізуі мүмкін болатынын айта аламыз, яғни 0, 1, 2, 3, ... 99, 100 рет
тигізуі мүмкін.
Ал үздіксіз кездейсоқ шаманың мәндерін күн бұрын білуге болмайды, олар
белгілі бір аралықты толассыз толтырып жатады. Мысалы, үздіксіз шама
ретінде сызық кесіндісінің ұзындығын, уақыт аралығын, т.б. келтіруге
болады.
Мүмкін болатын мәндерін біліп қана қоюмен кездейсоқ шаманы толық
сипаттай алмаймыз. Ол үшін әрбір жеке мәндерінің байқалу жиілігін білу
қажет. Айталық, дискретті кездейсоқ шама Х-тың мүмкін болатын мәндері х1,
х2, ... хn. Тәжірибе (өлшем) кезінде шаманың белгілі бір хi – мәні К рет
қайталанып байқалсын, тәжірибенің жалпы саны N болсын. Сонда KN – қатынасы
кездейсоқ шаманың хi мәнінің байқалу жиілігі деп аталады. Жиіліктің өзі де
кездейсоқ шама, оның мәні тәжірибе санына байланысты өзгеріп отырады, бірақ
тәжірибені көп рет қайталасақ (демек N үлкен сан болса) жиіліктің мәні
тұрақтанып, Pi мәніне жақындайды, мұнда Pi Х = xi оқиғасының ықтималдығы,
демек
Pi = P(X = xi) KN.
Кездейсоқ шаманың мүмкін болатын барлық мәндерінің ықтималдықтарының
қосындысы 1 – ге тең:

Өйткені кездейсоқ шаманың мәні оның мүмкін болатын барлық мәндерінің
ішінде біреуіне тең болуы ақиқат оқиға. Бұл ықтималдық қосындысы кездейсоқ
шаманың барлық мәндерінің арасында белгілі бір мөлшерде таралады.
Дискретті кездейсоқ шаманы оның әрбір хi – мәнінің Pi – ықтималдығын
көрсетіп таралу қатарымен бейнелеуге болады:
1 – кесте
Хi x1 x2 x3 x4 ... xn
Pi P1 P2 P3 P4 ... Pn

Кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері мен олардың ықтималдықтары
арасындағы байланысты бейнелейтін кез келген қатынасты таралу заңы деп
атайды. Жоғарыдағы таралу қатарын таралу заңы деп айтуға болады. таралу
қатарын графикпен көрсетуге болады, ол үшін абсцисса өсіне мәндердің х1 –
х2; х2 – х3; ... хn-1 – xn аралықтарын (аралықтарды бір – біріне тең деп
аламыз), ордината өсіне мәндердің ықтималдықтарын (Рi) саламыз (1 – сурет).

1 – сурет. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу графигі

Графиктен алынған сынық қисық таралу көп бұрышы деп аталады. Қисықтың
барлық ординаталарының қосындысы 1 – ге тең. Дискретті кездейсоқ шаманың х
мәні белгілі бір аралықта жатуының ықтималдығы сол аралықтың
ординаталарының қосындысына тең болады. Кейбір жағдайларда дискретті
кездейсоқ шаманың таралуын математикалық жолмен есептеп анықтайды.
Енді үздіксіз кездейсоқ шамалардың таралуын қарастырайық.
Үздіксіз шамалар олардың мүмкін болатын мәндерінің шексіз көптігімен
сипатталады.
Сондықтан олардың мәндері мен ықтималдықтарының кестесін жасауға
болмайды, өйткені кез келген аралықтағы мәндердің саны шексіз көп (мысалы,
түзу сызықтың кез келген кесіндісіндегі геометриялық нүктелер саны шексіз
көп). Аралықтардың және оларға сәйкес жиіліктің мәндері 2 – кестеде
берілген, бұл кесте статистикалық қатар деп аталады.
2 – кесте. Статистикалық қатар
Хi x1, х2 x2, х3 x3, х4 ... xn-1, xn
Pi P1 P2 P3 ... Pn

Статистикалық қатардың графигі сатылы қисық – гистограмма деп аталады
(2 – сурет). Абсцисса өсіне аралықтар салынады, аралықтар тік бұрыштардың
табанын, ал тік бұрыштың ауданы аралықтың жиілігін береді. Сөйтіп, тік
бұрыштың биіктігі жиілікті аралық ұзындығына бөлгенге тең болады.

2 – сурет. Гистограмма

Егер аралықтардың ұзындығын өте аз етіп алса (мысалы, xk, xk+dx),
онда dx азайған сайын сатылы қисық біркелік қисыққа айналады (3 – сурет).
Бұл қисықты үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының тарау қисығы
деп атайды.
Қисықтың ординатасы (мысалы, Хк нүктесіне сәйкес Рк нүктесі)
ықтималдық тығыздығын береді. Қисық астындағы аудан шаманың кез келген Хi
мәнінің байқалу ықтималдығын береді, ол аудан 1 – ге тең.

3 – сурет. Кездейсоқ үздіксіз шаманың ықтималдық тығыздығының таралу
графигі

Сөйтіп, өлшемнің саны көбейген сайын және аралықтар кішірейген сайын
гистограмма біркелкі қисыққа айналады. Бұл қисық кездейсоқ шаманың
таралуының теориялық қисығы болып саналады.

2.1 Кездейсоқ шаманың таралу функциясы

Кездейсоқ щаманы толық сипаттайтын шама оның таралу функциясы болып
табылады. Таралу функциясы график түрінде немесе кездейсоқ шаманың
ықтималдығы мен (ықтималдық тығыздығы) шаманың мәндері арасындағы
функционалдық байланыс түрінде көрсетіледі.
Таралу функциясының екі түрі бар: интегралдық F(x) және
дифференциалдық φ (х) таралу функциясы.
Интегралдық функция деп кездейсоқ шаманың мәні белгілі бір х
шамасынан кіші болуының ықтималдығын айтады:
F(x) = P (X x)
F(x) функциясының мынадай қасиеттері бар:
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. [x1, x2] аралығында (х2 х1) мына теңдік орындалады:
P(x1 ≤ X ≤ x2) = F(x2) – F(x1),
бұл теңдіктен F(x) – кемімейтін функция екенін көреміз. Бұл қасиет
кездейсоқ шаманың берілген [x1, x2] аралықта жатуының ықтималдығын табудың
қарапайым тәсілін береді.
3. P(X ≥ x) = 1 – P(X x) = 1 – F(x).
Бұл үшінші қасиет екі қарама – қарсы жағдай (Х х және Х ≥ х) бірін
– бірі толықтырып ақиқат шын оқиғаны беретіндігін көрсетеді.
4. [a, b] аралығы ішінде кездейсоқ шаманың Х a мәндері үшін F(x) =
0, ал X b мәндері үшін F(x) = 1. F(x) функциясының қасиеттері 4 – суретте
көрсетілген.

4 – сурет. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралуының интегралдық функциясы: 1 –
қалыпты таралу; 2 – [a, b] аралықтағы кездейсоқ шама

Кездейсоқ шаманың таралуының дифференциалдық функциясы φ (х), ол
тығыздық функциясы деп аталады.
Егер интегралдық функция дифференциалданатын, яғни үздіксіз функция
болса ғана ықтималдық тығыздығы деген үғым қолданылады, ал дискретті
шамалардың таралуының ықтималдық тығыздығы болмайды.
Дифференциалдық функция былай анықталады:

Басқа сөзбен айтқанда, ықтималдық тығыздығы интегралдық функцияның
туындысы.
Дифференциалдық функцияны біле отырып интегралдық функцияны мына
формуламен анықтайды:

Дифференциалдық функцияның мынадай қасиеттері бар:
1. φ (х) ≥ 0.
2.

Екінші қасиеті F(x) және φ (х) функцияларын интегралдық ықтималдық
және ықтималдық тығыздығы ретінде анықтаудың нормалануы болып саналады.
Кездейсоқ шаманың берілген аралықта жататын мәндердің біреуіне тең
болуының ықтималдығы 1 – ге тең, өйткені бұл оқиға ақиқат шын оқиға.
Дифференциалдық функцияның жоғарыдағы қасиеттері бойынша, егер кездейсоқ
шама [Xmin, Xmax] – аралығында жататын болса, онда бұл жағдай үшін

Дифференциалдық функцияның графигі абсцисса өсінен жоғары жататын
үздіксіз қисық; қисықтың астындағы жазықтың ауданы нормалану бойынша 1 – ге
тең (5 – сурет). Ауданның X = a және X = b түзулерімен қоршалған
(штрихталған) бөлігі кездейсоқ шаманың мәні [a, b] аралығында болуының
ықтималдығын береді.

5 – сурет. Үздіксіз кездейсоқ шама таралуының дифференциалдық функциясы

2.2 Кездейсоқ шаманың таралу параметрлері

Таралу функциясы кездейсоқ шаманың ықтималдығын жан – жақты
сипаттайды, бірақ таралу функциясын анықтау көп еңбекті қажет ететін
зерттеулер мен есептеулерді қажет етеді. Сондықтан ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.