Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер

Жоспар
Кіріспе

1. Екі айнымалыдан тәуелді дифференциалдық теңдеулер.
2. Көп айнымалылы екінші ретті дифференциалдық теңеулер
3. Тұрақты коэффицентті тeңдeулердің жәй түрлері.

Белгісіз функциясы мен оның екінші реттіге дейінгі дербес туындыларын байланыстыратын теңдеуі, екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп аталады.Тәуелсіз айнымалылары көп болғанда да теңдеу осы түрде жазылады. Теңдеу
(1)
жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық делінеді,мұндағы .
Егер болса, онда теңдеу квазисызықтық деп аталады.
Теңдеу жоғарғы ретті туындылары ,бойынша да,сондай-ақ функция u және бірінші ретті туындылары бойынша да, яғни сызықтық
(2)
турінде болса, сызықтық деп аталады,мұнда , . Егер коэффиценттері тұрақты болса, теңдеу тұрақты коэффициентті деп аталады. Кері түрлендірулері мүмкін болатын ), турлендірулерін таңдау жолымен,теңдеуге эквивалентті,жазылу турі жеңіл теңдеуге келеміз.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:

Қ.А.ЯСАУИ АТЫНДАҒЫ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ-ТҮРІК УНИВЕРСИТЕТІ

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ФАКУЛЬТЕТІ

МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

МАТЕМАТИКАЛЫҚ ФИЗИКА ТЕҢДЕУЛЕРІ

ТҮРКІСТАН, 2012

Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы

1. Екі айнымалыдан тәуелді дифференциалдық теңдеулер.
2. Көп айнымалылы екінші ретті дифференциалдық теңеулер
3. Тұрақты коэффицентті тeңдeулердің жәй түрлері.

Белгісіз функциясы мен оның екінші реттіге дейінгі дербес
туындыларын байланыстыратын теңдеуі, екінші ретті дербес туындылы
дифференциалдық теңдеу деп аталады.Тәуелсіз айнымалылары көп болғанда да
теңдеу осы түрде жазылады. Теңдеу
(1)
жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықтық делінеді,мұндағы .
Егер болса, онда теңдеу квазисызықтық деп аталады.
Теңдеу жоғарғы ретті туындылары ,бойынша да,сондай-ақ функция u
және бірінші ретті туындылары бойынша да, яғни сызықтық
(2)
турінде болса, сызықтық деп аталады,мұнда , .Егер
коэффиценттері тұрақты болса, теңдеу тұрақты коэффициентті деп
аталады. Кері түрлендірулері мүмкін болатын ),
турлендірулерін таңдау жолымен,теңдеуге эквивалентті,жазылу турі жеңіл
теңдеуге келеміз.
(3)
Түрлендірулерді (3) теңдеуге (1) қойып,келесі теңдеуді аламыз.

(4)

Мұнда болса, онда
, яғни бастапқы теңдеу сызықты
болса,түрлендіруде сол күйі сақталады.
Коэффицент болуы үшін

(5)
теңдеуі қарастырылады.
Лемма 1. Егер теңдеудің (5) шешімі болса, онда келесі
теңдеудің

(6)
жалпы шешімі;
Лемма 2. Егер теңдеудің (6) жалпы шешімі болса, онда функция
(5) теңдеуді қанағаттандырады.
Теңдеу (6) бастапқы теңдеудің (1) сипаттаушысы (характеристикалығы),
теңдеудің интегралдары оның сипаттаушысы ( характеристикалары) деп
аталады.

десек -дің коэффиценті нөлге айналады, теңдеудің
(6)жалпы интегралы болса,онда десек -ның коэффициенті нөлге
айналады.
Теңдеу (6)келесі теңдеулерге жіктеледі:

(7)
(8)
Түбір астындағы өрнектің таңбасы теңдеудің
түрін анықтайды.

десек ,М нүктесінде теңдеу
1. гиперболалық тектес деп аталады,егер 0 болса,
2.параболық тектес деп аталады,егер болса,
3. эллиптикалық тектес деп аталады,егерболса
1. болса , десек, теңдеу
,

гипербола тектес канондық ( жәй )түріне келеді.
Практикада келесі түрдегі канондық теңдеулер де
қолданылады. Алмастырулар жасаймыз. , немесе
десек теңдеу мына канондық түріне келтіріледі.

2. (M)=0 болса , үшін функциясын ,Функциясынан
тәуелсіз таңдаған,алмастырулар нәтижесінде парабола тектес теңдеудің
канондық түрін аламыз
.
3.0 ,болса, , (7) теңдеудің комплекс интегралы десек,
оған түйіндес (8) теңдеу шешімі,онда , алмастыруларымен
,
дей отырып, эллиптикалық тектес теңдеудің канондық
түрін аламыз.

Сонымен
0,(гиперб.тектес);
(эллиптик.тектес) ;
(парабола тектес) .
2. Нақты коэффиценттерімен сызықтық дифференциалдық теңдеуді
(9)
келесі түрлендірулермен ,

канондық түрге,екі айнымалыдағы
әрекеттермен келтіруге болады. Бастапқы теңдеу мына түрге келтіріледі.

Квадраттық түрлер
(10) теориясы негізінде теңдеу (9) нүктесінде
келесі түрлерге келтіріледі. Теңдеу (9) нүктесінде
эллиптикалық тектес деп аталады,егер барлық коэффициенттер бір
таңбалы болса,гиперболалық тектес,егер коэффициенттер бір
таңбалы болып, ал бір коэффициенті оған кері таңбалы
болса,ультрагиперболалық тектес,егер коэффициенттерінің ішінде
коэффициенттері бір таңбалы, қалған коэффициенттері оған кері таңбалы
болса,параболалық тектес,егер кем дегенде бір коэффициенті
нөлге тең болса
Сонымен нүктесінде айнымалылары теңдіктерін
орындайтын етіп таңдай отырып канондық түрдегі теңдеулерді аламыз.
(эллиптикалық тектес)
гипербола тектес.
, () ультра гипербола тектес.
,( ) параболалық тектес.
3.Екі айнымалы тұрақты коэффициентті екінші ретті дербес туындылы теңдеу де
жоғарыдағыдай канондық түрлерге келтіреді.

, (11)

Сипаттауыш теңдеуінен алынатын сипаттаушылары келесі түзулер болады,
характеристикалық түзулер
Сонымен келесі жәй түрлерге лелтіріледі,
(эллиптикалық), (12)
(гиперболалық) (13)
(параболалық ) (14)

Лекция 2. Гипербола тектес теңдеуге келтіретін есептер

1.Ішектің жәй көлденең тербелісі.
2.Мембрананың көлденең тербелісі.
3.Шекаралық және бастапқы шарттар.
4.Жалпы есептер құрылымы.
5.Бірғана (жалғыз) шешім теоремасы.

1.Ұзындығы L ішектің t моментіндегі жағдайы ығысу
векторының х нүктесінің t моментіндегі орнымен анықталады.Ішек бір
жазықтықта жатады десек, тербеліс үдерісі функциясымен
анықталады. Ішекті икемді, серпінді деп қарастырамыз. Онда кернеулер дәл
моменттегі кескінге жанама бағытында әсер етеді.
Сонымен T(x)=T ішекті керу күші. Ньютонның екінші заңы
бойынша бөлігіндегі қозғалыс шамасы , уақыт аралығындағы
өзгерісі әсер етуші күштерге тең;яғни ) (1) . Теңдеу
(1) ішектің көлденең тербелісінің интегралдық түрі. U(x,t)Cдей
отырып, интегралдың орта мәні туралы теореманы екі рет,ақырлы өсімшелер
теоремасын бірге қолдансақ, ішек тербелісінің дифференциалдық теңдеуін
аламыз (2) ішектің тығыздығы болғанда
(3),(4) Сыртқы әсер күші жоқ болса немесе ()
теңдеуі шығады. хнүктесінде f(t) шоғырланған күш әсерінде теңдеу
(1) мына түрге енеді . Бұдан келесі орындалуы тиісті түйіндестік
шарттарын аламыз: (5)
2.Иілгіш және ығыстыруға кедергі жасамайтын жазық қолбырды,
мембрана деп атайды. C-контурмен шектелген мембрана қарастырылады.
Мембрана үстіндегі нүктесінен өтетін ds доғасына әсер
етуші тарту күші Tds, .Сыртқы әсер күші . Қозғалыс шамасының
өзгеруін тартылыс күшінің вертикалдық жасаушысы мен сыртқы әсер күшінің
қосындысына теңестіріп, мембрана тербелісінің интегралдық түрін аламыз
(6),
-мембрананың беттік тығыздығы.
Дифференциалдық теңдеуге көшу үшін u класынан деп,
Остроградский теоремасын қолданамыз .
Онда интегралдық теңдеу (6) келесі түрге келтіріліп , орта
мән туралы теореманың нәтижесінде мембрана тербелісінің дифференциалдық
теңдеуін аламыз Біртекті мембрана үшін , (8) -
мембрана массасы бірлігіне бөлінген күш тығыздығы.
3.Физикалық есеп дифференциалдық теңдеуге
келтірілгенде,үдерісті бір мәнді сипаттау қажеттілігі үшін қосымша шарттар
қойылады. Бұл шарттар бастапқы және шекаралық болып келеді.
Ішектің шеткі нүктелері бекітілгенде , (9)
шарттары қойылуы мүмкін. Тербеліс үдерісі ішектің бастапқы жағдайынан
тәуелділігі (10) түрінде қойылуы мүмкін, бұлар бастапқы
шарттар делінеді. Нақты жағдайға байланысты осы сияқты әртүрлі бастапқы
және шекаралық қосымша шарттар қойылады.
Негізінен келесі үш түрлі шекаралық шарттар қойылады:
бірінші түрдегі шекаралық шарт -берілген режим;
екінші түрдегі шекаралық шарт , -берілген күш;
үшінші шекаралық шарт ,
-серпінді бекіту.
Күрделі және аралас түрдегі шекаралық шарттар да қойылуы
мүмкін.
Шекаралық шарттың түріне байланысты қойылатын есептер шекаралық
немесе шеттік есептер деп аталады.
Бірінші шеттік есептің қойылуы: облысында анықталған,
теңдеуді , шекаралық шарттарды және
бастапқы шарттарды , қанағаттандыратын функциясын
табу керек.
Дәл осылайша екінші шекаралық шартпен екінші,үшінші шекаралық
шартпен үшінші шеттік есептер қойылады.
Шектеусіз облыста бастапқы шарт ғана берілу мүмкін. Мұндай
есепті бастапқы шартты немесе Коши есебі деп атайды: Теңдеудің ,
бастапқы шарттарды , , қанағаттандыратын шешімін
табу керек.
Оператор енгізсек,теңдеу L(x,t)=f(x,t) (11) түрінде жазылады. Онда
жарты түзу есептері былай қойылуы мүмкін:
, :

бастапқы шартсыз есеп.
4.Күрделі есепті жәй есептерге жіктеп, жәй есептер
шешімдерінен күрделі есеп шешімін құру көп жағдайда тиімді. Жалпы есеп
шешімін мына түрде
іздестіреміз (15), oнда –тер келесі шеттік есептердің
шешімдері, t0 , ,
, ; ,
; ,
Жалпы шеттік есеп үшін де осындай әрекеттер жасау мүмкін.
Геометриялық айнымалылар саны n1 болғанда да есептер осылайша
қойылады: функциясын облысы ішінде анықталған, T-ішкі
нүктелерінде теңдеуді (16) қанағаттандыратын,
шекарасында шекаралық шартты орындайтын
(17) ( шекарада берілегн функция) және бастапқы(алғашқы)
шарттарды орындайтын (18) табу керек. Есеп шектеусіз облыстар
үшін де осыған ұқсас қойылады.
5.Бір ғана шешім теоремасы. облысында анықталған, теңдеуді
(19) бастапқы және шекаралық шарттарды

(20)
қанағаттандыратын бір ғана функцияның бар болуы мүмкін, егер келесі
шарттар орындалса:
1)функция және теңдеудегі (19) туындыларымен бірге
туындысы да облысында үздіксіз болса;
2)коэффициенттері және кесіндіде үздіксіз болса.
Дәлелдеуі шешімдері делік. Онда : , ,
;.
Функция екендігіне көз жеткізелік.
функциясы ішектің t моментігіндегі толық энергиясы. ,
(және x=l мәнінде) , яғни . Бастапқы шарттардан .
себебі . Соңғы формуладан
болғандықтан бастапқы шарттан
демек .
Егер функциялары теорема шарттарын орындаса,онда теорема
дәлелденді.

Лекция 3. Таралатын толқындар әдісі

1. Даламбер формуласы.
2.Біртекті емес теңдеу.
3. Шешімнің орнықтылығы. Қисынды, қисынсыз есептер.
4.Жарты тузу және жалғастыру әдісі.
5. Кесінді есептер.

1.Шектеусіз ішек , яғни бастапқы шарттармен қойылған тербеліс
теңдеуі есебін қарастырамыз
(1)
(2)
Xарактеристикалық теңдеуінің

, интегралдары
. Жаңа айнымалылар енгізсек
теңдеу (1) мына канондық турге келтіріледі
. (3)
Бұдан

(4)
Демек
(5)
теңдеудің (1) жалпы интегралы. Бастапқы шарттардан
(6)
(7)

Теңдіктерден

табамыз

(8)
Табылған ді (5)теңдікке қоссақ

немесе
(9)
Даламбер формуласын аламыз.
Бұл формула кластарынан алынғанда есептің бір ғана
шешімін береді. Шешімді
,
(10)
(11)
түрінде жазуға да болады.
2. Біртекті емес теңдеулер.

Біртекті емес теңдеу үшін Коши есебін қарастырайық.
, (12)

көмекші Коши есебінің шешімі делік

(13)
(14)
Даламбер формуласынан (9)
(15)
Даламбер формуласын (9) мына түрде жазсақ
(16)

функциялары тиісінше (13) –(14)есептің =0, f=, f=
мәндеріндегі шешімдері; себебі тікелей дифференциалдасақ

Лемма: Нөлдік (x,0)=0, u(x,0)=0 бастапқы шарттарымен қойылған
біртекті емес теңдеудің (12)шешімі
. (17)
Есептің(12) шешімі (16)және (17) бойынша
. (18)
үшін (15) өрнектен
(19)
Есепке тікелей қою нәтижесінде (19) шешім екендігіне көз жеткіземіз,
егер туындылары бар болса.
3.Теорема
Қандайуақыт аралығы және жуықтау дәрежесі болмасын,
табылып, теңдеудің (1)кез келген екі шешімдерінің уақыт
арасындағы айырымы -нан аспайды:
, егер бастапқы шарттарының

және

айрымдары -дан аспаса:

Дәлелдеуібұдан
теорема дәлелденеді,
егер десек. Математикалық есептің шешімі қосымша шарттардан
(есептегі бастапқы берілгендерден бастапқы шарттар, шекаралық шарттар және
теңдеудің оң жағынан ) үздіксіз тәуелді болса , онда есеп орнықты делінеді.
Физикалық анықталған құбылыстарға байланысты қисындылық түсінігі
енгізіледі. Математикалық есеп қисынды делінеді, егер
1. есептің шешімі бар болса,
2. есептің бірғана (жалғыз) шешімі болса.
3. есептің шешімі бастапқы берілгендерден үздіксіз тәуелді (орнықты)
болса.
Аталған шарттардың кемінде біреуі орындалмаса, есеп қисынсыз қойылған
делінеді. Практикада қисынсыз қойылған есептер де жиі кездеседі.
Шешімі орнықты емес қисынсыз қойылған есеп мысалын қарастырайық:
Лаплас теңдеуі

, теңдеу шешімдері.
бастапқы шарттары

жеткілікті үлкен мәндерінде айырымдары өте аз. Бірақ шешімі
бұл жағдайда барынша үлкен бола алады.Демек Лаплас теңдеуінің бастапқы
шартпен қойыдған есебі қисынсыз.

4.Жарты түзу және жалғастыру әдісі.
Толқындардың жарты түзуде таралуы есептерін қарастырамыз
Теңдеудің
шекаралық шарты
(немесе )
және бастапқы шарттарды

қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Алдымен біртекті шекаралық шарттарды
немесе орындайтын есеп шешімін құрамыз.
шексіз түзу тербеліс теңдеуі шешімінің қасиеттеріне
тоқталайық. Леммалар
Лемма1 егер , (1)-(2) есебінің бастапқы шарттары нүктесі
бойынша тақ функциялар болса, онда шешімі осы нүктесінде нольге тең..
Лемма 2: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар нүктесі бойынша
жұп функциялар болса,онда есеп шешімінің туындысы нүктесінде нөлге
тең.
Леммалар көмегімен келесі есептер шешімдері құрылады.

(1-ші шектік есеп) (20)

(x)=
-

функцияларын еңгізіп шексіз түзу есебі шешімін
пайдаланамыз. Онда есеп шешімі

(21)

2-ші шектік
есеп (22)

десек шексіз түзу есебінен (22) есеп шешімі
құрылады.

(23)
Енді

іртекті бастапқы шартты (24) еьінің шешімін құрайық.

Шешім десек, шекаралық шарттан u(0,t)=f(-at)=(t),f(z)=(-

. Бірақ бұл функция
облысында ғана анықталған, себебі мәндерінде ғана
берілген.
десек барлық облыста анықталады.
Бұл есептер шешімінен

t

x-at0 (26)
x
есебінің шешімі құрылады.
(27)

5. Кесінді есептері

(28)

Есептің шешімі жалғастыру әдісімен құрылады

u(x,0)=Ф(x)=(x),u(x,0)=(x)=(x) 0xl

Лекция 4. Айнымалыларды ажырату әдісі

1. Ішектің еркін тербелісінің теңдеуі
2. Тербелістің толқындарға жіктелуі
3. Біртекті емес теңдеулер

1.Айнымалыларды ажырату немесе Фурье әдісі дербес туындылы
дифференциалдық теңдеулер есептерін шешудің негізгі әдістерінің бірі болып
табылады. Шеттері бекітілген ішектің тербелісі есебін шешеміз.
Сонымен
(1)

есебінің шешімі құрылады.
Алдымен көмекші есеп шешімі
(4)
көбейтінді түрінде
.
(5)
құрылады
(6)

Бұдан
(7)
, (8)
(9)
шекаралық шарттарынан

(10)
қосымша шарты шығады, себебі басқаша десек T(t)0 және
болар еді.
функциясын табу меншікті мәндер есебіне келтіреді:
параметр -ның, есептің
(11).
нөлден өзге шешімдеріне тиісті мәндерін және осы шешімдерін табу
керек. Қойылған осы есепті әдетте Штрум-Лиувилль есебі деп атайды.
Жеке жағдайларын қарастырайық.
1. ,есептің нөлден өзге шешімдері жоқ:

2. нөлден өзге шешімдері жоқ:
,

3.

(12)
кез-келген бүтін сан.

Демек нөлден өзге шешімдер

(13)

мәндерінде ғана бар, яғни
(14)
(15)

(16) Теңдеу (1) сызықтық біртекті болғандықтан жеке
шещімдерінің қосындысы да шешімді береді.
(17)
Функцияның (17) шарттарды (3) орындауын талап етсек: (18)
Фурье қатарлары теориясы бойынша аралығында
(19)
(20)

бөліктеп үздіксіз және бөліктеп дифференциалданатын кластан)
Фурье қатарларына жіктелетін болса
(21)
(22)
бастапқы шарттар орындалуы үшін

(23)

2.
(24)
. (25)
Әрбір нүктесі гармоникалық тербелістер атқарады.
,
амплитудасы ,
(26)
Қатар (26) қатар (17) үшін мажорантты. Егер бұл қатар жинақы болса,
онда (17) бірқалыпты жинақы, яғни үздіксіз.
(27)
мажорантты қатары (28)

мажорантты қатар

Сонымен

болғандықтан, келесі қатарлардың жинақылықтарын көрсету жеткілікті

(18)
Егер 2l периодты ал -ретті туындысы бөліктеп-үздіксіз
болса, онда сан қатары
, (19)
-Фурье коэффициенттері, жинақы.
Сонымен қатары жинақы, егер талаптар орындалса
- бөліктеп-үздіксіз және

Қатар жинақы, егер
-бөліктеп –үздіксіз және
болса.
3. Тербелістің біртекті емес теңдеуін бастапқы және біртекті шекаралық
шарттармен қарастырамыз
(20)
(21)
(22)
Есептің шешімін х бойынша Фурье қатарына жіктеулі түрінде іздестіреміз:

(23)
Функция және бастапқы шарттар Фурье қатарына жілтелсе:
(24)
Шешімді (23) теңдеуге (20) қойсақ

(25)
кәдімгі дифференциалдық теңдеуді бастапқы шарттармен аламыз:

(26)
Онда

, ал
(27)
біртекті емес теңдеудің бастапқы шарттары нөл
есебінің шешімі де,
(28)
бастапқы шарттармен біртекті теңдеудің шешімі. Сонымен ізделініп
отырған шешім

(29)
немесе . (29)
-ішектің еркін
тербелісі теңдеуінің бастапқы шарттарымен қойылған есебі бұрын жақсы
зерттелген. Енді шешімін қарастырайық.

(30)
(31)

Лекция 5. Жалпы бірінші шеттік есеп және айннымалыларды
ажыратудың жалпы сызбасы

1.Жалпы бірінші шеттік есеп және стационар біртекті емес
есептер.
2.Бастапқы шартсыз есептер.
3.Шоғырланған күш.
4.Жалпы сызба.

1.Тербеліс туңдеуінің жалпы бірінші шеттік есебін қаралық:

Белгісіз функциясымен, U(x,t) – белгілі деп,шешім u(x,t)
құрылады:
u(x,t)=u(xt)+
Онда келесі есептің шешімі деп іздестіріледі:
,

U(x,t) функциясын және (t)=0 болатындай етіп
аламыз,яғни

Сонымен u(x,t) үшін жалпы бірінші шеттік есеп, бұған дейін
қарастырылған шекаралық шарттары нөл болатын, үшін жалпы
есепке келтірілді,онда

(5)
Стационар біртекті емес шеттік есептерді қарастырайық

Шешім u(x,t)=(x,t)+ түрінде іздестіріледі, (x) келесі
шарттардан анықталады онда
десек,онда

Мысал.
Бұл есепте үшін келесі есеп
алынады:

2.Практикада бастапқы шартсыз есептер де жиі кездеседі

г(l,t)=Acoswt (немесе u(l,t)=Bsinwt),u(0,t)=0 болғанда
u(l,t)=Ae түрінде қарастыру тиімді.
есебінің шешімін табайық.
u(x,t)=X(x)e десек: (8)

(10)

3. нүктесінде f(t) шоғырланған күш әсері бар жағдайды
қарастырайық,
онда
Есеп:
(6)
,
(7)-түйіндестік шарты.
, десек, шешім мына түрде іздестіріледі.

(8)
Онда:
(9)
(10)

(7)-шарттан:

Сонымен
(12)
Дәл осылайша жағдайы шешімі де құрылады.Егер f(t)=
болса,онда шешім:
(13)
4.Біртекті емес ішек тербелісінің есептеріне де айнымалыларды
ажырату әдісі қолданылатынын корсетелік: Теңдеудің L
(14)
берілген шарттарды
u= (0,t)=u(l,t)=0,t, (15)
u(x,0)= (16)
орындайтын шешімін табу керек.
Мұндағы k, q,
Алдымен (14) теңдеудің (15) шарттарымен шешімі
u(x,t)=X(x)T(t) түрінде ізделінеді.

Онда X(x) үшін меншікті мәндер шеттік есебін аламыз:есептің
нөлден өзге шешімдері бар болатын параметірінің мәндерін
және осы шешімдерін табу керек.

Параметр ның мұндай мәндері меншікті мәндер,ал оларға
тиісті нөл емес шешімдері (17)-(18) есебінің меншікті функциялары
деп аталады.
Меншікті мәндер (мм) және оларға тиісті меншікті функциялардың
(мф) негізгі қасиеттеріне тоқталайық.
1)Саналымды жиын құрайтын -меншікті мәндер және меншікті
функциялар бар.
2 ) болса барлық
3) және аралықта -салмағымен ортогоналды:

4) (В.А.Стеклов теоремасы ) болса, м ф-р қатарына,
бірқалыпты және абсолютті жинақы, жіктеледі: ,

, (20)

2),3) қасиеттерді дәлелдеуде Грин формуласы қолданылады:

,
(21) Грин формуласы.
Енді бастапқы есепке (14)-(16) оралсақ,

(22)
теңдеуінен
,

(23)
Бастапқы шарттардан:

(24)
және тиісінше және функцияларын
жүйесінде салмағымен Фурье қатарына (20) жіктеу
коэффиценттері.

Лекция 6. Гурса есебі , гипербола тектес жалпы сызықтық теңдеулерді шешу

1. Есептің қойылуы, тізбектеп жуықтау әдісі
2. Туйіндес дифференциалдық операторлар
3. Шешімнің интегралдық түрі.

Қосымша берілім харақтеристиқаларында болатын әдетте Гурса
есебі аталатын есепті қарастырамыз.
(1)

Мұнда қосымша берілімдер теңдеудің және
характеристикаларында. Функциялар дифференциалданатын және
түйіндестік шартын орындайтын,х және у бойынша интегралдасақ.

немесе

(2)
Бұл есептің шешімі бар және жалғыз екенідігін көрсетеді. Курделірек
сызықтық гиперболалық теңдеу есебін шығарайық.
(3)
Шешімі интеграл-дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады.

(4)
Бұл теңдеуді тізбекпен жуықтау әдісімен шешеміз.
,
(5)
(6)
Тізбектер бірқалыпты жинақы екендігін көрсету ушін келесі
айырымдарды бағалау қолданылады:

Егер
десек,
облысында, онда

Рекурентті қатынастардан K=L+2 десек:

,

бағалауларың , немесе
функциясының жіктеуін байкаймыз , немесе тізбектердің

шектеріне бірқалыпты жинақталатынын көреміз Онда (5),(6)
формулалардан: (7)
Бұдан
онда
интегро-дифференциалдық теңдеуді (4) қанағаттандыратына көз
жеткіземіз.
2. Шеттік есептер шешімін интегралдық турде жазуға керекті сызықтық
дифференциалдық операторларды енгіземіз
(8)
(a(x,y), b(x,y), c(x,y)- дифференциалданатын функциялар)

онда

,

H,

K .

Дифференциалдық операторлар түйіндес деп аталады, егер

айырымы өрнектерінің иісінше х және у бойынша дербес туындыларының
қосындысына тең болса. Қаралып отырған операторлар түйіндес. Егер
болса, оператор L[u] өіне-өзі
түйіндес деп аталады. G+C – бөлшектеп – тегіс, облысы берілсе
(9)
екі өлшемді Грин формуласы деп аталады.

3.Келесі есепті (9) формула көмегімен шешеміз: сызықтық гипербола тектес
теңдеудің
(10)
бастақы шарттарды С сызығында орындайтын
(11´)
шешімін табу керек. С:y=f(x);

характеристикалары С cызығын бір нүктеден артық қимайтын, яғни
шарты орындалатындай қисық сызықты ушбұрыш облысында (9) формула
былай жазылады:

QM;
Онда

(12)

(9)

(9а)
десек

функциясын Риман функциясы деп атайды. Сонымен, есептің (10) – (11)
шешімі:

(10)

Мысал1.
.

шешуі

PQ y=0 өсінің кесіндісі.
. dy=O PQ,

P=P(x-y,o), Q=Q(x+y,o) және бастапқы шарттардан :

(x,t) айнымалыларына көшсек, Даламбер формуласына ораламыз :

Мысал 2.

Шешуі. Алмастыру жасасақ

: үшін

Онда

немесе
Бессель функциясы,

Дербес a=0, b=0 жағдайда

Мұнда десек, Даламбер формуласына келеміз

Бұл ішектің тербелісі теңдеуі келесі есебінің шешімі болады.

Лекция 7. Парабола тектес теңдеулер есептері

1. Жылу таралуының сызықты есебі, диффузия теңдеуі, кеңістікте
жылу таралуы есебі.
2. Шеттік есептердің қойылуы.
3. Жалғыз шешім теоремасы.

Жылу өткізгіштік үдерістерін және диффузияны зерттеуде парабола
тектес теңдеулер есептері жиі кездеседі. Парабола тектес ең
қарапайым теңдеуі жылу өткізгіштік теңдеуі деп аталады.
Ұзындығы l біртекті таяқша (стержень) қарастырылады. Таяқшаның
ұштарында және температуралары болса, таяқшаның өнбойында
температураның сызықты таралуы орын алады.
(1)
Таяқшаның ауданы көлденең қимасынан өтетін жылу мөлшері,уақыт берілгенде

(2)
k-жылу өткізгіштік коэфиценті.
1) Таяқшада жылу таралуы . Фурье заңы бойынша жоғары
температуралы нүктеден төменгі температуралы нүктеге жылу
ағыны орындалады׃ (3)
мұндағы (4) жылу тығыздығы, оның интегралдық мәні
(5)
уақыт аралығында x қимасынан.
2) Температураны -ға көтеруге жұмсалатын жылу мөлшері
(6)
с- меншікті жылу сиымдылығы m-дене массасы , ρ-тығыздығы, V-көлем.
Егер стержень біртекті емес болса,
(7)
3) Стержень ішінде жылу бөлінуі немесе жұтылуы орын алуы
мүмкін, яғни жылу көздерінің F(x,t) әсері׃ (x, x+dx), (t,
t+dt)
(8)
немесе
(9)
энергия сақталу заңынан
(10)
жылу өткізгіштіктің интегралдық теңдеуін аламыз. үздіксіз дей
отырып, орта мән және ақырлы өсімшелер теоремаларынан дифференциалдық
теңдеуге көшеміз
. (11)
Дербес жағдайлары
1)
-темрература өткізгіштік коэффиценті, жылу
көздері жоқ болса (11' )
2)ортамен жылу алмасу жағайында , -қоршаған орта
темрературасы, ,
2) - квазисызықты теңдеу.
Нернст заңы бойынша диффузия теңдеуі қорытылады
, (12) диффузия коэффиценті.
Кеңістікте жылу өткізгіш теңдеуі.
немесе
Егер орта біртекті болса немесе , ,
Лаплас операторы.
1. Жылу өткізгіштік теңдеуінің бірғана шешімін бөлу үшін қойылатын
бастапқы және шекаралық шарттаға тоқталайық.
батапқы шарт
Негізгі үш шекаралық шарт
1) - бірінші шеттік шарт
2) екінші шеттік шарт
3) үшінші шеттік шарт
x=0 және x=l шеттерінде әртүрлі шекаралық шарттар қойлуы да мүмкін,
онда шекаралық есептердің саны арта түседі.
сызықтық дифференциалдық опреторын енгізіп, бастапқы және
шекаралық шарттарымен қойылатын кейбір есептерді көрсетейік, бәрінде
функциясын табу керек.
Бірінші шекаралық (шеттік) есеп
(12)
берілген функциялар.
Орта біртексіз және теңдеу коэфиценттері үзілісті болса, түйіндестік
шарттары қосылады׃
, (13)
-үзіліс нүктелері
Екінші және үшінші шеттік есептерде дәл осылайша тиісті шеттік
шарттарымен қойылады׃
Коши есебі (бастапқы шартпен қойылған есеп)
(14) берілген.
Жартылай стержень есебі
(15)
және - берілген .
Бастапқы шартсыз есептер
1)
2) берілген
Жиі кездесетін шарт периодты режим.
Аталған сызықтық шекаралық есептерден өзге сызықты емес шекаралық
есептер де қарастырылады.

Бұл шарт Стефан – Больцман заңы бойынша x=0 шетінен θ()
температуралы ортаны сәулелендіруге қатысты. Әрбір қойылған есепке
қатысты сұрақтар:
1. қойылған есептің шешімі біреу ғана болуы
2. шешімі бар болуы
3. шешімнің қосымша шарттардан үзіліссіз тәуелділігі
Максималды мән қағидасы. Егер облысында анықталған үздіксіз
функциясы теңдеуін облысында қанағаттандырса, онда
бұл функция max-ды (min –ды) мәндерін бастапқы уақыт моментінде немесе
шекаралық x=0, x=l шеттерінде қабылдайды.
3. Теорема (бірғана шешім туралы) Егер функциялары
облысында үздіксіз анықталып,

теңдеуін, бастапқы және шекаралық шарттарын

қанағаттандырса, онда
Дәлелдеуі. -үздіксіз
(x,0)=0, (0,t)=0, (l,t)=0. Максималды мән
қағидасы бойынша (x,t)=0, яғни т.д

Лекция 8. Айнымалыларды ажырату әдісі

1. Біртекті шеттік есеп.
2. Көз функциясы.
3. Біртекті емес жылу өткізгіштік теңдеуі.
4. Жалпы бірінші шеттік есеп.

Кесіндіде бірінші шеттік есепті шешейік
(1)
(2)
(3)
Алдымен келесі жай есептің шешімін құрамыз׃
тұйық облыста (, ) үздіксіз болатын шешімі ізделінеді
, (4)

, (5)
Есептің
Шешімі десек
немесе
(6)
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.