Жай көпбұрыштардың қажетті қасиеттері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

Нүкте О бұрыштың ұшы болып аталад, һ және R сәулелері - бұрыштың жақтары деп аталады. Анықтама. (һ, R) бұрышы берілген болсын. k ĥ және Ќ сәулелерімен толықтырамыз. (105 - сызу) Осы тіке түзу арқылы өтетін жазықтық нүктелері О нүктесінен бөлінеді және һ және k, с әулелерінде жатпаған екі облыстық бұрышқа бөлінеді.

Һ, ĥ, жағында жатқан барлық нүктелер және К саулесі, олда k Ќ түзуі жағында, Һ сәулесініің нүктесі бұрыштың ішкі н. үктесі деп аталады. (һ, k. ), ал бұлардың өзіндік аты бұрыштың ішкі облысы деп аталады қалған жазықтықтағы нүктелер сыртқа деп аталады.

Ал өзіндік атауы - ішкі облыс болады. Һ, һ түзулерін және К Ќ түзіулерін 4 облысқа бөліністін жазықтыққа бөлінетіндігін көрсетуге ды бұл ішкі облыстық бұрыштар (һ. k), (k ĥ), (ĥ, k), (Ќ, һ) .

Келесі тсореманы дәлелдеусіз ақ құрастырып көреміщз.

Егер А және В - ішкі бұрыштық нүктелер, А В кесіндісі жақтың бұрышқа қиылыспайды және бұрыштық ұшымен өтпейді; Егер А - һ, сәулесінің нүктесімен ал В - К нүктесінің сәулесімен одан барлық кесінді нүктесі АВ - ішкі бұрыштың нүктесі; Егер А -ішкі болса, ал В - ішкі бұрыштық нүкте, онда А В кесіндісі бұрыштың бір жағымен қиылысады және О бұрыштық ұшы арқылы өтеді.

Анықтама . Һ, k, L - үш сәуле О бұрыштың ұшының бір жазықтығында орналасқан болсын. С нүктесі ĥ және Ќ сәулесінің арасында жатыр. Немесе, L (ĥ, К) ішкі бұрышынан өтеді. Егер L сәуле нүктелері аталса, онда L бұл бұрыштың ішкі нүктесі болып табылады. Кез келген L, сәулесі КОВ ішкі бұрышы мен өткен бұрыштың О, КВ кесіндісімен қиылысады. Керісінше барлық сәулелер бұрыштың ішімен өткен және КВ кесіндісіндегі, қосылған К және В нүктесі бұрыштықта жатқан нүктелер КОВ бұрыштығында ішкі бұрыштық сәуле болады.

Дәлелдеу: L- КОВ бұрышының ішкі сәулелері болсын.

Дәлелдеиміз КВ кесіндісін қиып өтетінін.

С нүктесі қосымша ОВ К сәулесіне. Онда О- ВС кесіндісінің ішкі нүктесі.

Ќ S L

О В К

ІІ ₄ , аксиомасында К, В, С нүктелерін пайдаланса және түзу сызық бойына тартса, аталған L сәулесі КС кесіндісін қиып өтеді немесе, КВ кесіндісіне қйылысады. Керісінше мейлі L сәулесі О ішкі нүкте S К В кесіндісін және М - қалаған сәулесі L болсын. Екі жағдай бар: М - 0 және S арасында жатсын. Немесе S - О және М арасында жатсын.

Дұрысында М және S көрсетілген түзу h, h және көрсетілген түзу R, R бір жағында жатады. Яғни бұл кез - келген нүкте М, L сәулесі К О В, ішкі бұрыштың нүктесі, яғни L сәулесі ішкі сәуле болып табылады.

Сәулелер теоремасы тәртібі туралы дәлелдеуге болады.

Теорема 4. 11.

h R L қалаған үш сәулесі О, жалпы ұшы, жалпы жартылай жазықтықта түзу О арқылы өткен біреу және тек біреу басқалардың екеуінің арасында жатады. Сынық және көпбұрыштардың түсінігін қарастырайық.

Анықтама.

АВ, ВС, СД . . . , КL жалпы аяғы ВС . . . , К сынық деп аталады. Кесіеді құрастырғандар ауысу сынығы болып табылады. Бастапқы А және соңғысы L сынық аяғы деп аталады. Егер А және L біріксе (ұқсаса) онда сынық көпбұрыштар болады.

АВ . . . , L көпбұрыштардың ұшы деп аталады. Ауысу сынығы көпбұрыштардың жақтары. Егер, барлық көпбұрыштардың ұштары бір жазықтықта жатса, онда барлық бұрыштар жазықтық деп аталады.

Жазықтық көпбұрыш жай деп аталады. Егер

Оның барлық ұштары әр түрлі болса
Оның ешбір ұшына ішкі жақтардың жатпауы
Ешқандай араласпаған жақтары бір - бірімен қиылыспаса.

Мысалыға, сызылған суреттегі көпбұрыштар жай бұрыштар болып табылады.

C D F B A в

D Е г

Ғ D

В E

А Е С А F

Жай көпбұрыштардың қажетті қасиеттерін көрсетейік.

Теорема 4. 12.

Қайбір жай көп бұрыш барлық жазықтық нүктелеріне бөлінеді, Көп бұрышты нүктелердің айырмашылығы екі облысқа бөлінеді. Қалаған бірінші облыстың екі нүктесі сынық болып қосылады, қиылыспайтын көп бұрыш, және түзу болып келмейтін жалпы бүтңн осы облыстың ішінде жатқан: Қалаған екі нүкте екінші облысқа (ішкі) ары қарай сыныққа біріктіруге болады, көп бұрыштыларға қиылыспайтын түзу болып табылады. Осы облыстың ішінде тлоығымен жатқан: егер екі нүкте басқа облыстарға кіретін болса, онда әр жағдайдағы сынық оларды қосатын көп бұрыштар қиылысады.

Группа ІІІ Конгурэнттік Аксиома.

Евклид «Бастамасында» фигуралардың тепе - теңдігінде негізгі түсінік қозғалыс түсінігі. Бірақта Евклидте қозғалыс қасиеті анық формаланбайды.

(форманың ауысуы және фигураның өлшемі) дәл анықтама алмайды. Аксиомада Эвклид түсінігінде қатты механикалық денелердің көрсеткіші.

Бірінші тарауда қозғалыстың бұндай түсінігі геометриялық фигуралармен айтылған. Ғылымда фигуралардың теңдігі уақыт жылдамдық және қозғалыс жолдары ешқандай роль ойнамайды. Фигураның бастапқы және соңғысы ғана қажет. Евклидтің екі жақты позициясымен айналысқанын еске түсіреиік, қозғалысты негізгі түсінік деп филасофиялық ой тұжырымды геометриямен салыстырмайды.

Гильберт бірінші жолмен жетті яғни негізгі салада конгурентікті немесе тепе теңдікті қабылдады. «тепе-теңдік» немесе конгругенттік терминіне жатады. Екінші терминді дұрыстады. Немесе қаралған түсінігі тепе-теңдіктің негізгі қасиетіне жатпады. Егер тепе-теңдікті тепе-теңдікке қосса, онда тепетең болып шығады. Осылайша жазықтық кеңістіктегі фигураларды қарастырғанда біз анықтай алмаймыз, конгруент бөліктегі фигура конгруент болады және бүтін фигура.

Ары қарай «Конгруент» түсінігін анықтауға көшелік, бұрыш және кесіндіде қолданғанда. Келесі аксиомадағы қасиеттерін байқаиық.

ІІІ ₁ . Егер А және В тіке сызықтағы а және А ¹ - нүкте басқа түзудегі а ¹ , онда түзудегі а ¹ берілген жақтағы нүкте А ¹ осындай нүкте В ¹ , АВ кесіндісі А ¹ В ¹ кесіндісіне когруенті, мынадай белгі мен белгіленеді АВ ≡ А ¹ В ¹ .

Әр уақытта АВ ≡ ВА

Қычсқаша айтқанда: әрбір кесінді қалаған түзуге қойылуы мүмкін, бұл жағынанда басқа жағынанда қалаған нүктеге қойылады.

ІІІ ₂ . Егер АВ ≡ А ¹ В ¹ және А ¹¹ В ¹¹ онда А ¹ В ¹ ≡ А ¹¹ В ¹¹

ІІІ ₃ . мейлі А ¹ В ¹ және В ¹ С ¹ екі кесінді түзу а. Жалпысыз ішкі нүктелерсіз және меилі АВ және ВС- екі кесінді түзу а ары қарай жалпы ішкі нүктелерсіз.

Егер, АВ ≡ А ¹ В ¹ , ВС ≡ В ¹ С ¹ онда АС ≡ А ¹ С ¹ .

Қысқаша айтқанда: конгруент кесінділерінің саны когруентті болып табылады.

Қысқаша айтқанда әрбір бұрыш берілген жазықтыққа бір жақты қойылуы мүмкін, берілген жақтарға берілген сәулелермен қойылуы мүмкін.

ІІІ ₄ . Егер екі үш бұрышқа АВС және АВС конгруент орнын алса,

АВ ≡ А ¹ В ¹ , АС ≡ А ¹ С ¹ , ВАС ≡ В ¹ А ¹ С ¹ онда АВС ≡ А ¹ ВС.

Кесінді, бұрыштар және үш бұрыштардың конгруенттік теоремасы.

Алдымен ІІІ ₁ . аксиомасындағы В ¹ нүкте бірлігін дәлелдеп алайық ары қарай осы конгруенттік кесіндіні рефлективтігін семетриялығын қасиетін анықтайық.

Теорема 5. 1. В ¹ нүктесі пайда болғанан бері айтылады екен аксиома ІІІ ₁ -де бұл жалғыз.

Дәлелдеу:

а ¹ түзуіне В ¹ және В ¹ нүктесі бар болды деп айтайық екінші жағынан А нүктесінен АВ ≡ А ¹ В ¹ және АВ ≡ В ¹ А ¹ С нүктесі АВ ( І ₃ аксиомасында) мейлі жатпасын. Үш бұрыш АВС қарамстырамыз. Мейлі жазықтық - А, а арқылы өтетін. Бұл жазықтықтағы ІІІ ₄ аксиомасында мынадай сәулелер бар. А ¹ D ¹ <) ВАС ≡ <) В ¹ А ¹ D ¹ ары қарай А ¹ В ¹ D ¹ бір сәуледе жатады. Онда <) ВАС ≡ <) В ¹ А ¹ D ¹ .

Аксиома ІІІ ₁ де мынадай нүкте бар С ¹ сәуледе А ¹ D ¹ , АС ≡ А ¹ С ¹ . С ¹ В ¹ және С ¹ В ¹¹ түзуі аксиома І ₆ А жазықтығында жатады.

ІІІ 5 <) А С В ≡ А ¹ С ¹ В ¹ немесе АВ ≡ А ¹ В ¹ .

АС ≡ А ¹ С ¹ <) ВАС ≡ В ¹ А ¹ С ¹ . Осындай аксиомада <) А С В ≡ А ¹ С ¹ В ¹¹ немесе АВ ≡ А ¹ В ¹ . АС ≡ А ¹ С ¹ , <) ВАС ≡ В ¹ А ¹ С ¹ .

Осындай образда бір жағы немесе екінші жағына С ¹ А ¹ сәулесінен екі сәуле пайда болады С ¹ В ¹¹ сондықтан. <) АСВ ≡ <) А ¹ С ¹ В ¹ және АСВ ≡ <) А ¹ С ¹ В ¹¹

Бұлар ІІІ ₄ аксиомасы мен қарама қарсы яғни мұндай сәуленің бірлігін нақтылайды В ¹ нүктесі - дәлірек айтқанда жалғыз.

Теорема 5. 2 Конгруенттен кесіндісінің әрқайсысы өзімен- өзі г. е АВ ≡ АВ.

Дәлелдеу:

Аксиома ІІІ ₁ АВ≡ ВА және ВА≡ АВ ¹ .

Қараймыз АВ≡ АВ: мейлі АВ ≡ АВ ¹ , В ¹ қайда - сәуле нүктесі АВ. Онда Аксиома ІІІ ₂ одан АВ ≡ ВА және АВ ≡ АВ ¹ тексерілді ВА ≡ АВ ¹ .

ВА ≡ АВ, В ¹ нүктесі беттеседі.

АВ ≡ ВА.

Теорема 5. 3. Егер АВ ≡ А ¹ В ¹ онда және А ¹ В ¹ ≡ АВ ( симетриялық қасиеті)

Дәлелдеу:

Мейлі АВ≡ А ¹ В ¹ . 5. 2. теоремасы бойынша АВ ≡ АВ ІІІ ₂ аксиомасы бойынша А ¹ В ¹ . АВ.

Сондықтан айтуға болады АВ және А ¹ В ¹ кесіндісі бір- біріне конгруэнтті.

Дәлелдеу.

Аксиома ІІІ ₅ . <) С ≡<) С ¹ , бар ары қарай <) В ≡ <) В ¹ ВС ≡ В ¹ С ¹ - ді ғана дәлелдеу қалады. Айтайық, ВС В ¹ С ¹ . Аксиома ІІІ ₁ де В ¹ С ¹ сәулесінде Д нүктесі пайда болады.

ВС ≡ В ¹ Д. Онда АВС және А ¹ В ¹ Д ¹ үшбұрышын бар болады АВ≡ А ¹ В ¹ ВС ≡ В ¹ Д, <) В ≡ <) В ¹ .

Сондықтан аксиома ІІІ ₅ те <) ВАС ≡ <) В ¹ А ¹ Д ¹ тапсырыс бойынша <) ВАС ≡ <) В ¹ А ¹ С ¹ яғни сәуленің бір жағына екі түрлі А ¹ С ¹ және А ¹ Д сәулесі пайда болады.

<) А В С ≡ <) В ¹ А ¹ С ¹ және ВАС ≡ <) В ¹ А ¹ Д ¹ ВС ≡ В ¹ С ¹ және Δ АВС ≡ Δ А ¹ В ¹ С ¹