Шапшаң есептеудің кейбір әдістері

1. Арифметиканың пайда болуы туралы.
2.Есептеу аспаптары туралы
3.Саусақпен санау .Көбейтудің әр түрлі әдістері
4.Амалдарды тоғыздықтың көмегімен тексеру
5 Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері

Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістері қолданылып келеді. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Қолданып жүрген шапшаң есептеу әдістеріне тоқталайық
Математиканың адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды,көбейтуді,бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.Арифметикалық төрт амал, ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш кластардан бастап оқылады.Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика талаптарына,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған.Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыған.
Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген.Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен,жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған. Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдіретін. Егер нәрселер саны екіден көп болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін. Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, онан кейін беске, онға дейін т.с.с. санап үйренген.

1.Перельман Я.И. Қызықты алгебра
2.Математика анықтамалығы
3. «Мектептегі матеметика»
4. «Информатика, физика,математика» журналдары.
5.Г.И.Глейзер «Мектептегі математика тарихы»

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

Шапшаң есептеудің кейбір әдістері

Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістері қолданылып келеді. Ауызша есептеу
дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы
жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң
есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Қолданып
жүрген шапшаң есептеу әдістеріне тоқталайық.

1. Арифметиканың пайда болуы туралы.
Математиканың адам өміріндегі мәні орасан зор.Санай білмей, сандарды
қосуды, азайтуды,көбейтуді,бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының
дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды.Арифметикалық төрт амал, ауызша және
жазбаша есептеу ережелері бастауыш кластардан бастап оқылады.Бұл ережелерді
бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес.Арифметика күнделікті практика
талаптарына,адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік
мұқтаждықтарынан туған.Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыған.
Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде
кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген.Сонда адамның тек
екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту
мүшелерімен,жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған.
Үнділердің көз, тибеттіктердің қанат деген сөздері екі санын
білдіретін. Егер нәрселер саны екіден көп болса, алғашқы қауым адамы олар
туралы тек көп дейтін. Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, онан кейін
беске, онға дейін т.с.с. санап үйренген.
Өндірісті және сауданың өркендеп дамуымен байланысты санау тәсілі басқа
жиындарға да,нәрселер(элементтер) саны барған сайын көбейе берген жиындарға
қолданалады.Өзінің практикалық іс-әрекетінде адамға қашықтықтарды,жер
танаптарының аудандарын,ыдыстардың сыйымдылығын және басқа да шамаларды
өлшеуге тура келді. Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің, сондай-ақ
санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына
және дамуына себепкер болды.
Сонымен,арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену
әрекеттерімен,қоғамның дамуымен байланысты.
Біз қолданатын осылайша санау тәсілі,яғни он-оннан топтап санау ондық
санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады.

Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты,адамдар да қоғам дамуының
алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған.
Қазірдің өзінде де Саусақпен санағандай...дейміз ғой.Осыдан барып –ондық
санау системасы шыққан.

Алайда кей бір жерлердегі ,атап айтқанда ,Арифметикадағы тайпалар мен
халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған ,олар бес-
бестен санаған: оларда негізі бес саны болатын бестік санау системасы
қалыптасқан.Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар.Мысалы,
алты саның бес-бірдеп атаған т.с.с.

Ең көне санау системасы –екілік санау системасы,ғалымдардың болжауы
бойынша,бұл системамен бір кезде мысырлықтар пайдаланған. Ежелгі
вавилондықтар алпыстық санау системсымен пайдаланған .Ондық санау
системасында 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау
үшін небары 13 сөз ғана қолданылады: бір, екі, үш, төрт,
бес,алты,жеті,сегіз,тоғыз,он ,жүз ,мың,миллион.

2.Есептеу аспаптары туралы.Орыс есепшоты .Есептеу машиналары.
Адам ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысын жеңілдету мақсатымен әр түрлі
құралдар мен аспаптарды пайдаланған.Алғашқы,ең ежелгі есептеу машинасы
адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башайлары болған. Сол арқылы адам
едәір үлкен сандарды есептеуді үйренген.Саусақтарын түрліше бүге
отырып,адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес,тіпті жүздіктер мен
мыңдарды кескіндеп көрсете білген.Адам миллионға дейінгі сандарды осылайша
қолдарымен меңзеп кескіндей білген.

Ежелгі заманда саудагерлер(финикиялық,вавилондық,т .б. саудагерлері)
есеп –қисаптарын жүргізгенде астық дәндерін ,ұсақ тастарды ,бақалшақтарды
пайдаланған ,сонда оларды кейініректе құм деп аталған арнаулы тақта бетіне
жайып салып есептейтін.Құмды гректер мен римдіктер онан әрі жетілдіре
түсіп,ол өзіміздің қазіргі есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына,есептеу
аспабына айналған.Ең көне есептеу аспаптарының бірі – қытайдың суан –
пандеп аталатын есепшоты,ол Қытайда казір де қолданылады.Басқа бір ескі
есептеу аспабы – жапон соробаны.

3.Саусақпен санау .Көбейтудің әр түрлі әдістері.

Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді.Адамның
саусақтары мен олардың буындары,сондай-ақ саусақтарын бүгу және
жазу,қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға
дейін санай алуына ғана емес,сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды
орындауына да мүмкіндік берді .

Мысалы ,ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды
саусақпен былайша көбейткен.

Айталық , 6-ны 7- ге көбейту керек болсын.Сол қолымыздың жұдырығын
жазбастан,бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып ,6-ға дейін санаймыз.Ал
оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап ,7-ге дейін санаймыз.Оң
қолдын жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағынан
үстіне саламыз.Жазылған саусақ небары 3 –еу болады,бұл -3 ондық,яғни 30
болады.Қалған төртеуі (сол қолдың бүгілулі тұрған саусақтары ) 3-ке (оң
қолдын бүгілулі саусақтарына ) көбейтіледі,сонда 12 шығады.

Сөйтіп ,30+12=42.

Осылайша : 6*8=(1+3)*10+4*2=48

6*9=(1+4)*10+4*1=54

7*7=(2+2)*10+3*3=49

7*8=(2+3)*10+3*2=56

7*9=(2+4)*10+3*1=63

8*8=(3+3)*10+2*2=64

8*9=(3+4)*10+2*1=72

9*9=(4+4)*10+1*1=81

Саусақпен санау орта ғасырда да практикалық өмірде кең тараған болатын.

Уақытпен санау хақында кітап жазған Ирландия ғалымы монах Беда
Достопочтенный (673-735)саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған.

Мәселен ,13-ті 14-ке көбейту былайша орындалатын еді.

1)10*10=100 екені белгілі.

Бұдан кейін:

2)бір қолдың 3 саусағын ,екінші қолдың 4 саусағын бүгеді.

3)3+4=7 ,бұл-ондықтар,яғни 7*10=70

4)3*4=12,бұл бірліктер.

Сонымен:

5)13*14=10*10+7*10+3*4=182.

Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты,римдік автор
Боэцийден (480-524) бастап,сандар саусақтарға(бірліктерге),
буындарға(ондықтарға)және құрама сандарға (басқа қалған сандарға)
бөлінетін еді.Бұл сияқты атаулар Л.Ф.Магницкийдің Арифметикасында да
кездеседі: саусақтар, буындар және құрамалар.Француздар осы уақытқа
дейін бірліктерді саусақтар деп атаған.

* * *

Көбейту мен бөлудің көптеген және алуан түрлі ережелерге ерте заманнан-ақ
іс жүзінде қолданылып жүрді.

Орыстың ескі бір жазбасында көз ілеспейтін деген атаумен ертедегі
Үндістанда қолданылып келген крестпен көбейту деген қызықты әдісі
сипатталып баяндалған.

Мысалы,48-ді 27-ге көбейту үшін.

1) 48

2) × 27

2)7×8=56

3)6-ны жазамыз да,5-ті ойда сақтаймыз 48

×27

6

4)7×4=28; 28+5=33

33 ойда дейміз,2×8=16;

16+33=49;

5)9-ды жазамыз да,4-ті ойда сақтаймыз: 48

×

27

96

6)2×4=8; 8+4=12 дейміз

7) 12-ні жазамыз да,көбейтіндіде 48×27=1296

1296 шығарып аламыз.

Мысырлық математика папирусында бөлшектерді бірліктерге жіктеу
таблицалары ,кейбір геометриялық фигуралардын аудандарын және көлемдерін
есептеп шығару ережелері, ескерткіштердін салмағын анықтауға берілетін
есептер,статуялар орнату үшін ұажетті құылыс материялдары мен күн санын
табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар.Осы папирустарды
зерттей келе натурал сандарды арифметикалық қосу және азайту амалдары
мысырлықтарда негізінен қазіргі кездегідей орындалатын,ал көбейту мен
бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеу мен қосуға келтіретін.

Мысал келтірейік:15×13.

Шешуі:

1 15 15×13=(1+4+8) ×15=15+60+120=195

2 30

3 60

4 120

Сөйтіп,екі баған құрастырамыз,біріншісінің басында 1,ал екіншісінің
басында көбейгіш 15 тұратын болсын.Сол жақ бағандағы кейбір сандарды қосып
,13 көбейткішті шыққанға дейін ,ол сандар бірте-бірте екі еселене
береді.Ізделінді көбейтіндіні шығарып алу үшін қосу керек болатын оң жақ
бағананың сандары сол жақ бағанның қиғаш сызығымен белгіленген сандарына
сәйкес келеді.

Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі:195:15=(15+60+120):15=1 +4+8=13

Көне мысырлық тәсілге орысша көбейту тәсілі деп аталатын тәсіл
жақын,оны революцияға дейінгі деревня шаруалары қолданылып келген.Ол біреуі
қайталанып екі еселенетін,ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге
айырылатын екі көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға
негізделген.

Мысал: 27×16.Көбейткіштердің біреуі бір бағанның басына
жазылып,қайтадан екі еселенеді,еккінші көбейткіш екінші бағанның басына
жазылып ,қайталап екіге айырылады.

27. 16

54. 8

108 4

216 2

432 1

4.Амалдарды тоғыздықтың көмегімен тексеру.
Ертеде көптеген есептеу әдістері мен арифметикалық амалдарды орындау
оңайға түспеді,өйткені олар өте күрделі,шұбалаңқы болып,орын мен уақыт көп
кететін болды.Сондықтан ол кезде адамдар жүргізген есептеулерін қазіргіден
гөрі жиірек тексеретін еді.Оның үстіне есептеулер қағаз бетінде емес,құм
немесе тозаң себілген есептеу тақтасында орындалатын.Әрбір аралық есептеуді
құммен сүртіп отыратын,сөйтіпкелесі есептеуді орындайтын.Сонында тақтада
тек берілген сандар мен табылған нәтиже ғана қалып отырған.Тексеру
мақсатымен барлық есептеуді жаңадан қайталап шығу оңайға түспеді.Міне
сондықтан да әр түрлі тексеру тәсілдері қолданылды.Тексеру есеп шығарудың
соңғы кезеңі болып табылады.
Тексерудің көне тәсілдерінің бірі тоғыздық тәсілідеп аталады.Ол
тәсілдің баяндалуы X ғасырдың өзінде – ақ үнді математиктерінде
кездеседі.Онымен кейіннен ислам елдерінің ғалымдары,ал одан да кейінірек-
Еуропа математиктері да (Леонардо Фибоначчи,т.б.)танысқан болатын.Кез-
келген санды 9-ға бөлгенде,сол сан цифрларының қосындысын тоғызға бөлгенде
шығатындай,қалдық қалатыны мәлім.Мысалы,1738 санын 9-ға бөлгенде қалдық бір
қалады.19=(1+7+3+8); 10=(1+9); сандарын 9-ға бөлгенде де сондай қалдық
қалады.1738 санының цифрларын тізбектеп қосудан шыққан бір таңбалы 1 санын
шолақ сан деп атайық.Сондай-ақ бірнеше санның қосындысын қандай да бір
санғабөлгенде щыққан қалдық әр қосылғышты сол санға бөлгенде шығатын
қалдықтардың қосындысына немесе қосындысын берген санға бөлгенде қалатын
қалдыққа тең болатыны белгілі.
Мысал: 23-ті 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалады
85-ті 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалады
115-ті 7-ге бөлгенде 3 қалдық қалады
___________________________________ _
223-ті 7-ге бөлгенде 6 қалдық қалады

Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері
Егер қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, қосындыны сонша бірлікке кеміту
керек.
Мысалы:564+292=564+(292+8)-8=564+30 0-8=864-8=856.
Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, екінші қосылғышты сонша
бірлікке кеміту қосынды мәнін өзгертпейді.
Мысалы: 997+445=(997+3)+(455-3) =1000+452=1452
Егер азайғышты бірнеше бірлікке арттырса, азайтқышты да сонша ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.