Шапшаң есептеудің кейбір әдістері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 13 бет
Таңдаулыға:

Шапшаң есептеудің кейбір әдістері

Шапшаң есептеудің әртүрлі әдістері қолданылып келеді. Ауызша есептеу дағдылары математикалық білімнің маңызды элементі болып табылады. Соңғы жылдардағы компьютер, калькулятордың өмірге көптеп енуі оқушылардың шапшаң есептеу дағдыларына, ойлау қабілетінің тежелуіне әсер етуде. Қолданып жүрген шапшаң есептеу әдістеріне тоқталайық.

Арифметиканың пайда болуы туралы.

Математиканың адам өміріндегі мәні орасан зор. Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал, ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш кластардан бастап оқылады. Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес. Арифметика күнделікті практика талаптарына, адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған. Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыған.

Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген. Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен, жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған. Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдіретін. Егер нәрселер саны екіден көп болса, алғашқы қауым адамы олар туралы тек «көп» дейтін. Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, онан кейін беске, онға дейін т. с. с. санап үйренген.

Өндірісті және сауданың өркендеп дамуымен байланысты санау тәсілі басқа жиындарға да, нәрселер(элементтер) саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданалады. Өзінің практикалық іс-әрекетінде адамға қашықтықтарды, жер танаптарының аудандарын, ыдыстардың сыйымдылығын және басқа да шамаларды өлшеуге тура келді. Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің, сондай-ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себепкер болды.

Сонымен, арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттерімен, қоғамның дамуымен байланысты.

Біз қолданатын осылайша санау тәсілі, яғни он-оннан топтап санау ондық санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады.

Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты, адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланған. Қазірдің өзінде де «Саусақпен санағандай . . . »дейміз ғой. Осыдан барып -ондық санау системасы шыққан.

Алайда кей бір жерлердегі, атап айтқанда, Арифметикадағы тайпалар мен халықтар санағанда бір қолының бес саусағын ғана пайдаланған, олар бес-бестен санаған: оларда негізі бес саны болатын бестік санау системасы қалыптасқан. Бұл системада алғашқы бес санның ғана атаулары бар. Мысалы, «алты» саның «бес-бір»деп атаған т. с. с.

Ең көне санау системасы - екілік санау системасы, ғалымдардың болжауы бойынша, бұл системамен бір кезде мысырлықтар пайдаланған. Ежелгі вавилондықтар алпыстық санау системсымен пайдаланған . Ондық санау системасында 999 миллионға дейінгі барлық натурал сандарды атау үшін небары 13 сөз ғана қолданылады: бір, екі, үш, төрт, бес, алты, жеті, сегіз, тоғыз, он, жүз, мың, миллион.

2. Есептеу аспаптары туралы. Орыс есепшоты . Есептеу машиналары. Адам ерте кездің өзінде-ақ есептеу жұмысын жеңілдету мақсатымен әр түрлі құралдар мен аспаптарды пайдаланған. Алғашқы, ең ежелгі «есептеу машинасы» адам қолдарының саусақтары мен аяқтарының башайлары болған. Сол арқылы адам едәір үлкен сандарды есептеуді үйренген. Саусақтарын түрліше бүге отырып, адам тек бірліктер мен ондықтарды ғана емес, тіпті жүздіктер мен мыңдарды кескіндеп көрсете білген. Адам миллионға дейінгі сандарды осылайша қолдарымен меңзеп кескіндей білген.

Ежелгі заманда саудагерлер(финикиялық, вавилондық, т. б. саудагерлері) есеп -қисаптарын жүргізгенде астық дәндерін, ұсақ тастарды, бақалшақтарды пайдаланған, сонда оларды кейініректе құм деп аталған арнаулы тақта бетіне жайып салып есептейтін. Құмды гректер мен римдіктер онан әрі жетілдіре түсіп, ол өзіміздің қазіргі есепшотымыз тәрізді есептеу тақтасына, есептеу аспабына айналған. Ең көне есептеу аспаптарының бірі - қытайдың «суан - пан»деп аталатын есепшоты, ол Қытайда казір де қолданылады. Басқа бір ескі есептеу аспабы - жапон «соробаны».

3. Саусақпен санау . Көбейтудің әр түрлі әдістері.

Саусақтарды бүгіп санау ерте заманда кең қолданылып келді. Адамның саусақтары мен олардың буындары, сондай-ақ саусақтарын бүгу және жазу, қолдарын бүгу мен жазу олардың ондаған және жүздеген мыңға дейін санай алуына ғана емес, сол сияқты кейбір арифметикалық амалдарды орындауына да мүмкіндік берді .

Мысалы, ежелгі римдіктер 5 пен 10 сандарының арасындағы сандарды саусақпен былайша көбейткен.

Айталық, 6-ны 7- ге көбейту керек болсын. Сол қолымыздың жұдырығын жазбастан, бір-бірлеп саусағымызды жаза отырып, 6-ға дейін санаймыз. Ал оң қолымыздың саусақтарымен дәл соны қайталап, 7-ге дейін санаймыз. Оң қолдын жазылған екі саусағын сол қолдың жазылған бір саусағынан үстіне саламыз. Жазылған саусақ небары 3 -еу болады, бұл -3 ондық, яғни 30 болады. Қалған төртеуі (сол қолдың бүгілулі тұрған саусақтары ) 3-ке (оң қолдын бүгілулі саусақтарына ) көбейтіледі, сонда 12 шығады.

Сөйтіп, 30+12=42.

Осылайша : 6*8=(1+3) *10+4*2=48

6*9=(1+4) *10+4*1=54

7*7=(2+2) *10+3*3=49

7*8=(2+3) *10+3*2=56

7*9=(2+4) *10+3*1=63

8*8=(3+3) *10+2*2=64

8*9=(3+4) *10+2*1=72

9*9=(4+4) *10+1*1=81

Саусақпен санау орта ғасырда да практикалық өмірде кең тараған болатын.

«Уақытпен санау хақында» кітап жазған Ирландия ғалымы монах Беда Достопочтенный (673-735) саусақпен санауға бүтін бір тарауды арнаған.

Мәселен, 13-ті 14-ке көбейту былайша орындалатын еді.

1) 10*10=100 екені белгілі.

Бұдан кейін:

2) бір қолдың 3 саусағын, екінші қолдың 4 саусағын бүгеді.

3) 3+4=7, бұл-ондықтар, яғни 7*10=70

4) 3*4=12, бұл бірліктер.

Сонымен:

5) 13*14=10*10+7*10+3*4=182.

Орта ғасырдағы арифметикада саусақтармен санауға байланысты, римдік автор Боэцийден (480-524) бастап, сандар «саусақтарға»(бірліктерге), «буындарға»(ондықтарға) және «құрама сандарға» (басқа қалған сандарға) бөлінетін еді. Бұл сияқты атаулар Л. Ф. Магницкийдің «Арифметикасында» да кездеседі: «саусақтар», «буындар» және «құрамалар». Француздар осы уақытқа дейін бірліктерді «саусақтар» деп атаған.

* * *

Көбейту мен бөлудің көптеген және алуан түрлі ережелерге ерте заманнан-ақ іс жүзінде қолданылып жүрді.

Орыстың ескі бір жазбасында «көз ілеспейтін» деген атаумен ертедегі Үндістанда қолданылып келген «крестпен көбейту» деген қызықты әдісі сипатталып баяндалған.

Мысалы, 48-ді 27-ге көбейту үшін.

48
× 27

2) 7×8=56

3) 6-ны жазамыз да, 5-ті ойда сақтаймыз 48

×27

6 4) 7×4=28; 28+5=33

33 ойда дейміз, 2×8=16;

16+33=49;

5) 9-ды жазамыз да, 4-ті ойда сақтаймыз: 48

6) 2×4=8; 8+4=12 дейміз

7) 12-ні жазамыз да, көбейтіндіде 48×27=1296

1296 шығарып аламыз.

Мысырлық математика папирусында бөлшектерді «бірліктерге» жіктеу таблицалары, кейбір геометриялық фигуралардын аудандарын және көлемдерін есептеп шығару ережелері, ескерткіштердін салмағын анықтауға берілетін есептер, статуялар орнату үшін ұажетті құылыс материялдары мен күн санын табуға берілген және басқа да практикалық есептер бар. Осы папирустарды зерттей келе натурал сандарды арифметикалық қосу және азайту амалдары мысырлықтарда негізінен қазіргі кездегідей орындалатын, ал көбейту мен бөлуді мысырлықтар тізбектеп екі еселеу мен қосуға келтіретін.

Мысал келтірейік:15×13.

Шешуі:

/1 15 15×13=(1+4+8) ×15=15+60+120=195

/2 30

/3 60

/4 120

Сөйтіп, екі баған құрастырамыз, біріншісінің басында 1, ал екіншісінің басында көбейгіш 15 тұратын болсын. Сол жақ бағандағы кейбір сандарды қосып, 13 көбейткішті шыққанға дейін, ол сандар бірте-бірте екі еселене береді. Ізделінді көбейтіндіні шығарып алу үшін қосу керек болатын оң жақ бағананың сандары сол жақ бағанның қиғаш сызығымен белгіленген сандарына сәйкес келеді.

Бөлу көбейтуге кері бағытта келтіріледі:195:15=(15+60+120) :15=1+4+8=13

Көне мысырлық тәсілге «орысша көбейту тәсілі» деп аталатын тәсіл жақын, оны революцияға дейінгі деревня шаруалары қолданылып келген. Ол біреуі қайталанып екі еселенетін, ал екіншісі бір саны шыққанға дейін екіге айырылатын екі көбейткіштің көбейтіндісін тізбектеп алмастыруға негізделген.

Мысал: 27×16. Көбейткіштердің біреуі бір бағанның басына жазылып, қайтадан екі еселенеді, еккінші көбейткіш екінші бағанның басына жазылып, қайталап екіге айырылады.

108 4

216 2

432 1

4. Амалдарды тоғыздықтың көмегімен тексеру.

Ертеде көптеген есептеу әдістері мен арифметикалық амалдарды орындау оңайға түспеді, өйткені олар өте күрделі, шұбалаңқы болып, орын мен уақыт көп кететін болды. Сондықтан ол кезде адамдар жүргізген есептеулерін қазіргіден гөрі жиірек тексеретін еді. Оның үстіне есептеулер қағаз бетінде емес, құм немесе тозаң себілген есептеу тақтасында орындалатын. Әрбір аралық есептеуді құммен «сүртіп» отыратын, сөйтіпкелесі есептеуді орындайтын. Сонында тақтада тек берілген сандар мен табылған нәтиже ғана қалып отырған. Тексеру мақсатымен барлық есептеуді жаңадан қайталап шығу оңайға түспеді. Міне сондықтан да әр түрлі тексеру тәсілдері қолданылды. Тексеру есеп шығарудың соңғы кезеңі болып табылады.

Тексерудің көне тәсілдерінің бірі «тоғыздық тәсілі»деп аталады. Ол тәсілдің баяндалуы X ғасырдың өзінде - ақ үнді математиктерінде кездеседі. Онымен кейіннен ислам елдерінің ғалымдары, ал одан да кейінірек-Еуропа математиктері да (Леонардо Фибоначчи, т. б. ) танысқан болатын. Кез-келген санды 9-ға бөлгенде, сол сан цифрларының қосындысын тоғызға бөлгенде шығатындай, қалдық қалатыны мәлім. Мысалы, 1738 санын 9-ға бөлгенде қалдық бір қалады. 19=(1+7+3+8) ; 10=(1+9) ; сандарын 9-ға бөлгенде де сондай қалдық қалады. 1738 санының цифрларын тізбектеп қосудан шыққан бір таңбалы 1 санын шолақ сан деп атайық. Сондай-ақ бірнеше санның қосындысын қандай да бір санғабөлгенде щыққан қалдық әр қосылғышты сол санға бөлгенде шығатын қалдықтардың қосындысына немесе қосындысын берген санға бөлгенде қалатын қалдыққа тең болатыны белгілі.

Мысал: 23-ті 7-ге бөлгенде 2 қалдық қалады

85-ті 7-ге бөлгенде 1 қалдық қалады

115-ті 7-ге бөлгенде 3 қалдық қалады

223-ті 7-ге бөлгенде 6 қалдық қалады

Натурал сандарды шапшаң қосу мен азайту әдістері

Егер қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, қосындыны сонша бірлікке кеміту керек.

Мысалы:564+292=564+(292+8) -8=564+300-8=864-8=856.

Егер бір қосылғышты бірнеше бірлікке арттырса, екінші қосылғышты сонша бірлікке кеміту қосынды мәнін өзгертпейді.

Мысалы: 997+445=(997+3) +(455-3) =1000+452=1452

Егер азайғышты бірнеше бірлікке арттырса, азайтқышты да сонша бірлікке арттыру айырма мәнін өзгертпейді.

Мысалы: 2454-1996=(2454+4) -(1996+4) =2458-2000=458

Егер екі санның қосындысынан сол сандардың айырмасын шегерсе, нәтижесінде ікі еселенген кіші санның мәні шығады. ( а+в) -(а-в) = =2 в

Мысалы: (77+15) -(77-15) = 30= 2 х 15

Егер екі санның қосындысына сол сандардың айырмасын қосса, нәтижеде үлкен санның екі еселенген мәні шығады.

( а+в) -(а-в) =2 в

(54+16) +(54-16) = 2 х 54=108

Бағандап шапшаң қосу әдісі

Әрбір разрядтың цифрларын бөлек қосып, бірлігінондығының астына келтіріп жазып, содан соң қосу керек.

Мысалы: 225 358

339 439

546 746

932

20 25

+ 09 + 15

10 23

1110 2475

Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі

Бүгінгі ғылыми- технологияның дамуына байланысты адамзат баласы ой және дене еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда. Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын қолдана отырып, кез келген күрделі есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады. Тіпті, қарапайым есептеу құралы- калькулятордың өзі бүгінгідей нарық заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі адамның ойлау қабілетінің ең ірі жетістіктері болып табылады.

Алайда, қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының қарапайым көбейту кестесін біле бернмеуі мүмкін. Сол себепті де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.

Ғылымның дамуы шығармашылық өнермен тығыз байланысты. Шығармашылық өнер дегеніміз- күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен қатар, бұрыннан белгілі жағдайдың бұрын көңіл бөлінбеген қалтарыстарына үңілу. Мәселен, 100 санының квадратын еш ойланбастан табу ешкімге де қиындық тудырмасы мәлім. Ал, 99 санының квадратын ешқандай құралдың, кестенің өмегінсіз есептеу үшін математиктің өзі біршама ойланған болар еді. Алайда, осы 99 санының квадратын да еш қиындықсыз тез арада есептеуге болады екен. Берілген жағдайда 100 санының квадраты 1 екені белгілі. Енді, сол 1 санынан 99 және 100 сандарын айырамыз.

99 ² =100 ² -100-99=9801 (1)

Сонымен, бізге қажетті 99 санының квадраты 9801 екнін аса қиналмай-ақ тауып лдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз қандай да бір заңдылыққа бағына ма жоқ па, соны іздестіріп көрейік. Егер, бізге қажетті 99 санын (х-1) ² десек, 99 санын х-1, ал 100 санын х деп белгілейміз. Сонымен, алдыңғы өрнекті былай жазуға болады:

(х-1) ² =x ² -(x-1) -x (2) өрнекті түрлендірсек, (х-1) ² =х ² -2х+1 (3)

Демек, берілген өрнек ( а-b) ² =a ² -2ab+b ² , яғни, айырымның квадраты заңдылығының

в=1 жағдайы болып табылады.

Сонымен, жоғарыда келтірілген өрнекке қарап отырып келесі анықтаманы қабылдауға болады.

Анықтама 1. Қатар екі санның соңғысының квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты кейінгі санның өзін айырғанға тең болады.

Аталған анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни, берілген жағдайда 101 саның квадратын табу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады:

101 ² =100 ² +101+100=1+201=10201 (4)

яғни, (х+1) ² =х ² +(х+1) +х (5)

(х+1) ² =x ² +2x+1 (6)

6-өрнек ( а+б) ² = a ² +2ab+b ² , қосындының квадраты заңдылығының b=1 болғандағы салдары болып табылады.

Анықтама 2. Қатар екі санның алдыңғысының квадраты белгілі болған жағдайда кейінгі санның квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан мен сол санның өзін қосқанға тең болады.

Сонымен жоғарыда атап көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі болған жағдайда, сол санның алдындағы және артындағы сандардың квадраттарын өте оңай тәсілмен есептеуге болады екен. Дегенмен, біз қабылдаған анықтамалар тек қатар тұрған сандар үшін берілген. Енді аталған заңдылықтарды басқа да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп көрелік. Айталық, бізге 91-109 сандарының квадратын 100 санын қолдана отырып табу қажет болды делік. 91-98 сандарының квадраттарын 100 саны арқылы табу үшін, 1-өрнекті былай жазылады:

98 ² =100 ² -(100+98) * 2

97 ² =100 ² (100+98) *3

91 ² =100 ² -(100+91) *9

Сонымен, 2, 3-өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады:

(x-a) ² =x ² -(x+(x-a) ) *a

(x-a) ² = x ² -2ax+a ²

мұндағы, х- квадраты белгілі сан; а- квадраты белгілі сан менквадраты анықталтын сан айырымы; мысалы, 98 саны үшін 100-98=2

Жоғарыда келтірілген 4-өрнек 102-109 сандары үшін былай жазылады:

102 ² =100 ² +(100+102) ×2=10404

103 ² =100 ² +(100+103) ×3=10609

109 ² =100 ² +(100+109) ×9=11881

Демек, 4-өрнекті былай түрлендіруге болады:

(x+a) ² =x ² + ((x+a) +x) ×a

(x+a) ² = x ² +2ax+a ²

8, 11- өрнектерді кез-келген сан үшін қолдануға болады. Мысалы, 17 санының квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады:

17 ² =20 ² -(20+17) ×3=400-111=289

Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең жақыны 15, ал соңындағы сандардан 20-ны алу тиімдірек.

Сонымен, 11- өрнек бойынша:

17 ² =15 ² +(15+17) ×2=225+64=289

Қорыта келе, жоғарыдағы анықтамаларды былай жалпылауға болады.

Квадраты белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның квадратынан сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, айырғанға тең болады.

Және керісінше, Квадраты белгілі саннан кейінгі кез-келген санның квадраты сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын көбейтіп, қосқанға тең.

Сонымен, ке-келген санның квадратын қолдана отырып, сол санның маңайындағы сандардың квадраттарыноңай және ұтымды түрде табуға болады екен.

Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы есептеу кестесі мен калькулятордың көмегінсіз- ақ кез-келген саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз.

Натурал сандарды шапшаң көбейту мен бөлу әдісі

Көбейтудің қосу мен азайтуға байланысты үлестірімділік заңын пайдаланамыз.

Мысалы: 7 * 219 = 7 * (210+9) = 1470+63 = 1533

9 * 186 = 9 * (180+6) =1620+54 = 1674

Ферроль әдісімен көбейту

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.