Теңдеу. Теңдеуді шешу тәсілдері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

ТЕҢДЕУ.

ТЕҢДЕУДІ ШЕШУ ТӘСІЛДЕРІ

Бастауыш мектеп математикасында қарастырылатын алгебра элементтерінің ішінде дидактикалық тұрғыда аса маңызды деп саналатыны - теңдеу жайында түсінік беру және оны шешудің тәсілдерін оқытып үйрету, сондай-ақ есепті алгебралық тәсілмен (теңдеу құру арқылы) шешудің мәнді белгілерімен оқушыларды таныстыру.

Осының бәрінің негізіне алынатын мәселе - қарапайым теңдеулерді шешу дағдысының қалыптастырылуы.

Төрт жылдық бастауыш мектеп бағдарламасында теңдеулерді шешудің тәсілдерімен оқушыларды таныстыру үшінші сыныптан басталады. Мұнда өте қарапайым теңдеулерді шешу тәсілдері үйретіледі, бір бөлігі - құрамында әріп бар өрнек, ал екінші бөлігі санды өрнек болатын теңдеулермен таныстыру бағытында жұмыстар жүргізіледі. Оқушылар теңдеуді мысалдардың дербес түрі, яғни “құрамында әріппен таңбланған белгісіз болатыи теңдік” ретінде, ал теңдеуді шешуді - “оны тура санды теңдікке айналдыратын әріптің сәйкес мәнін табу” деп түсінуіне жету көзделеді. Осының бәрі анықтамалар бойынша енгізілмей, қарапайым жаттығлар мен практикалык, жұмыстарға және қажетті көрнекіліктерге сүйену арқылы жүзеге асырылады. Қосу мен көбейту таблицаларын және азайту мен бөлудің сәйкес жағдайларын оқып үйрену барысында П+2=7, П-3=5, 8-П= 2, П-3=12, П:5=4, 24:П=8 сияқты жаттығулар қарастырылады. Мұндағы П белгі - белгісіздің шартты түрде таңбалануы. Расында, көптеген тапсырмаларды орындағанда (“қандай санға 2-ні қосқанда 7 шығады”, “қандай саннан 3-ті алғанда 5 шығады”, “8-ден қандай санды азайтқанда 2 болады”, “қандай сан мен 3-тің көбейтіндісі 12 болады”, “қандай санды 5-ке бөлгенде 4-тен тиеді”, “24-ті қандай санға бөлгенде 8 болады”) қандай да бір белгісіз санды табу керектігі айтылады.

Теңдеудің түбірі деп белгісіздің теңдеуді тура теңдікке айналдыратын мәнін айтады.

Ал іздеп отырған санды табудағы іс-әрекет ілгеріде теңдеуді шешу тәсілінің негізіне алынады. Мысалы, 0-ден бастап біртіндеп сандарға 2-ні қоса отырып, 7-нің шығатынына не шықпайтьшына көз жеткіземіз. 0+2, 1+2, 2+2, 3+2, 4+2, 5+2, 6+2, т. с. с. мысалдар ауызша айтылып, тек қана бір жағдайда (5+2=7) тура санды теңдіктің шығатынына оқушылар назары аударылады. Miнe, теңдеу терминін енгізу үшін де осындай мысалдарды қарастыра отырып, белгісіздің □ сияқты таңбалануының орнына әріптер пайдаланылатынын хабарлау және сонда шығатын х+2=7, х- 3=5, 8-х=2; х- 3=12, х:5=4, 24:х=8 сияқты мысалдардың теңдеулер деп аталатынын айту жеткілікті. Оқушылар оқулықтағы жаттығулар ішінен теңдеулерді ажырата білсе, теңдеу жайында дұрыс түсінік қалыптасты деуге болады. Әрбір нақты жағдайда теңдеуді танып білу және оны сәйкес термин арқылы атау - бастауыш кластарда теңдеу жайында қалыптасуы тиісті түсініктің мән-мағынасы болып табылады. .

Теңдеуді шешудің алғаш енгізілетін тәсілі - “таңдап (іріктеп) алу”. Ол, әсіресе, теңдеудегі сандық деректер таблицалық жағдайлармен байланысты болғанда мейлінше тиімді. Мысалы, х:5=4 түріндегі теңдеуді шешу үшін 5-ке бөлудің таблицалық жағдайлары еске түсіріледі, яғни 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, т. с. с. сандар 5-ке бөлінеді; солардың ішінде тек қана 20-ны 5-ке бөлгенде 4. шығатынына оқушылар назар аударады. Тексеруді оқушылар таблицалық ең кіші немесе ең үлкен саннан бастауы мүмкін. Сонда әрдайым қандай санды теңдіктін, (тура, не тура емес) шығатыны анықталады. Теңдеуді шешуі қысқа түрде бірден жазылады, мысалы, х:5=4, х =20. Теңдеуді шешу барысында іздеп отырған сан іріктеліп алынғанда нәтижелер ауызша тексеріліп, ақтық нәтиже анықталғанға дейін ол жалғастырыла беретіндіктен, тендеу шешуінің дұрыстығын арнайы тексеріп және оны жазудың қажеті болмайды. Ол - тәсіл тендеуді шешу дағдыларын қалыптастырудын бастама кезеңікде методикалық тұрғыдан алғанда, ең үйлесімді және барынша тиімді.

Бірақ ілгеріде теңдеуді шешудің сдан да тиімді тәсілдері енгізіледі. Ол - берілген және іздеп отырған сандар арасындағы өзара байланысқа негізделген арифметикалық амалдардың белгісіз компоненттерін табу. Осындай тәсілдерді енгізудің үлгісі ретінде бір мысал қарастырайық. Айталық, х+3=19 теңдеуін шешу керек болсын. Оқушылар өздеріне белгілі тәсілді - “таңдап алуды” пайдаланады. Сонда 0-ден 17-ге дейінгі сандарды тексеріп көреді. Бұған біраз уақыттың жұмсалғанына оқушылар назары аударылады. Осы теңдеуді шешудің - тиімдірек тәсілін іздестірейік. Теңдіктің сол бөлігінде х пен 3-тің қосындысы, ал оң бөлігінде-19. Демек, 19- қосынды, х пен 3 - қосылғыштар. Ал қосындыдан қосылғштардың бірін алсақ, екіншісі шығады. Сондықтан х=19-3. Әрі қарай нәтиже есептеледі. Берілген теңдеуде белгісіз қосылғыштың табылғанына, ол үшін қосындыдан қосылғыштардың бірін алғанымызға баса көңіл аударамыз. Теңдеудің шешуін жазудың да сәйкес үлгісі беріледі.

х+3=19 - берілген теңдеу,
х=19-3 - мұнда белгісіз қосылғыш табылды,
х=16 - нәтиже есептелді, теңдеу шешуі табылды;

16 + 3=39

19=19 - теңдеудің шешуі тексерілді.

Мұнда, алдымен әріптің табылған мәні берілген теңдеудегі орнына қойылды және амалдар орындалып, тура санды теңдіктің шығатынына көз жеткізілді. Бірлі-жарым мысалдарда болсын осындай жазу үлгісін беріп, оны оқушылардан талап ету керек. Сонда ғана оқушылар теңдеу шешуін тексерудің мағынасын және мәнді ерекшелігін саналы тусінетін болады.

Программа мен оқулық арифметикалық амалдардың белгісіз компоненттерін табумен байланысты алты қорытындыны беруді көздейді. Ал көпшілік мұғалімдер қандай да бір амалдың белгісіз компонентін табудың ережесі болатып жалпы тұжырымдама беріп, оны оқушылардың жатқа білуін талап етіп жүр. Мәселен, х+3=19 теңдеуі ұсынылса, алдымен ол теңдеуден бөлек, белгісіз қосылғышты табу ережесі бірнеше оқушыларға жатқа айтқызылады. “Белгісіз қосылғышты табу үшін қосындыдан белгілі қосылғышты азайтамыз”. Мұндай тұжырымдама оқулықтарда және мұғалімдерге көмекші методикалық құралдарда келтірілмеген. Оның-орнына түсіндірме нақтылы, яғни “белгісіз қосылғыш '' х-ті табу үшін, қосынды 19-дан қосылғыш 3-ті аламыз, сонда 16 шығады, демек х=16, тексереміз: 16 мен 3-тің қосындысы 19 болады” түрінде келтірілсе, теория мен практиканың табиғи бірлігін жүзеге асырамыз.

Қарапайым теңдеулерді шешу үшін арифметикалық амалдардың белгісіз компоненттерін қалай табу керектігін білу мерзімдік сипаттағы мәселе. Өйткені, теңдеуді шешудің алгебралық тәсілдері ілгеріде біртіндеп енгізіле бастайды. Сонда теңдеудің бір бөлігінен оның екінші бөлігіне қарама-қарсы таңбамен кез келген мүшесін көшіру және теңдеудің екі бөлігін де нөлден өзгеше санға бөлу басшылыққа алынады. Осыларға негізделген іс-әрекеттерді орындау арқылы қарапайым теңдеулерді бастауыш буында да шешуге болады. Мәселен, математиканы оқытудың алғашқы күндерінен бастап-ақ заттар тобын салыстыру, топтағы заттар санын әр түрлі жолдармен теңестіру, сандарды және санды өрнектерді салыстыру, т. с. с. жаттығулар қарастырылады. Осылардың табиғи жалғасы ретінде көрнекілікке сүйене отырып, тура санды теңдіктің қасиеттерін тағайындауға болады. Сондай-ақ, нақты мысалдар арқылы өзара кері (“қосу - азайту”, “көбейту - бөлу”) амалдар болатынына кез жеткізудің толық мүмкіндігі бар.

Осыларды ескерсек, бастауыш кластарда а+х= b және х±а=b түріндегі қарапайым теңдеулерді (мұнда-ғы х - белгісіз сан, а мен b - қандай да бір тиянақты сандар) шешу былайша жүзеге асырылады:

теңдеу құрамына енетін өрнекті талдау арқылы теңдеудің сол бөлігінде қайсы амалды (қосу не аз-айту) қандай сандармен орындағанда оның оң бөлігінде шығатын нәтиженің не екені (қосынды не айырма) анықталады; қосудың ауыстырымдылық заңын немесе азайту амалының мән-мағынасын құрамында әріп бар тендікке қолданып, а+х= b, х-a=b, a-х=bтүріндегі теңдеулердіх+а=bнеx + b = aтүрге келтіру немесе бірден шешух=а + b;

- тура теңдіктің екі бөлігінен де бірдей санды азайт-қанда, тағы да тура теңдік шығатынын ескеріп “теңдеу-дегі белгісізді даралау”;