Таралатын толқындар әдісі

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

Лекция 3. Таралатын толқындар әдісі.

1. Даламбер формуласы.

2. Біртекті емес теңдеу.

3. Шешімнің орнықтылығы. Қисынды, қисынсыз есептер.

4. Жарты тузу және жалғастыру әдісі.

5. Кесінді есептер.

1. Шектеусіз ішек , яғни бастапқы шарттармен қойылған тербеліс теңдеуі есебін қарастырамыз

(1)

(2)

характеристикалық теңдеуінің

, интегралдары

Жаңа айнымалылар енгізсек

теңдеу (1) мына канондық турге келтіріледі

(3)

(4)

Демек

(5)

теңдеудің (1) жалпы интегралы. Бастапқы шарттардан

(6)

(7)

Теңдіктерден

табамыз

(8)

Табылған ді (5) теңдікке қоссақ

немесе

(9)

Даламбер формуласын аламыз.

Бұл формула кластарынан алынғанда есептің бір ғана шешімін береді. Шешімді

(10)

(11)

Түрінде жазуға да болады.

2. Біртекті емес теңдеулер.

Біртекті емес теңдеу үшін Коши есебін қарастырайық.

, (12)

көмекші Коши есебін қарастырайық

(13)

(14)

Даламбер формуласынан (9)

(15)

Даламбер формуласын (9) мына түрде жазсақ

(16)

Функциялары тиісінше (13) -(14) есептің n=0, f= мәндеріндегі шешімдері; себебі тікелей дифференциалдасақ

Лемма: Нөлдік (x, 0) =0, U (x, 0) =0 бастапқы шарттарымен қойылған біртекті емес теңдеудің (12) шешімі

(17)

есептің(12) шешімі (16) және (17) бойынша

(18)

үшін (15) өрнектен

(19)

Есепке тікелей қою нәтижесінде (19) шешім екендігіне көз жеткіземіз.

Егер туындылары бар болса.

3. Теорема

Қандай уақыт аралығы және жуықтау дәрежесі табылып, теңдеудің (1) кез келген екі шешімдерінің уақыт арасындағы айырымы -нан аспайды:

, егер бастапқы шарттарының

және

айрымдары -дан аспаса:

Дәлелдеуі бұдан

теорема дәлелденеді,

егер десек. Математикалық есептің шешімі қосымша шарттардан (есептегі бастапқы берілгендерден бастапқы шарттар, шекаралық шарттар және теңдеудің оң жағынан ) үздіксіз тәуелді болса, онда есеп орнықты делінеді.

Физикалық анықталған құбылыстарға байланысты қисындылық түсінігі енгізіледі. Математикалық есеп қисынды делінеді, егер

есептің шешімі бар болса,
есептің бірғана жалғыз шешімі болса.
есептің шешімі бастапқы берілгендерден үздіксіз тәуелді орнықты болса.

Аталған шарттардың кемінде біреуі орындалмаса, есеп қисынсыз қойылған делінеді. Практикада қисынсыз қойылған есептер де жиі кездеседі.

Шешімі орнықты емес қисынсыз қойылған есеп мысалын қарастырайық:

Лаплас теңдеуі

, теңдеу шешімдері.

бастапқы шарттары

Жеткілікті үлкен мәндерінде айырымдары өте аз. Бірақ шешімі бұл жағдайда барынша үлкен бола алады. Демек Лаплас теңдеуінің бастапқы шартпен қойыдған есебі қисынсыз.

Жарты түзу және жалғастыру әдісі.

Толқындардың жарты түзуде таралуы есептерін қарастырамыз

Теңдеудің

шекаралық шарты

(немесе )

Және бастапқы шарттарды

Қанағаттандыратын шешімін табу керек.

Алдымен Біртекті шекаралық шарттарды

немесе орындайтын есеп шешімін құрамыз.

шексіз түзу тербеліс теңдеуі шешімінің қасиеттеріне тоқталайық. Леммалар

Лемма1 егер , (1) -(2) Есебінің бастапқы шарттары нүктесі бойынша тақ функциялар болса, онда шешімі осы нүктесінде нольге тең. .

Лемма 2: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар нүктесі бойынша жұп

Леммалар көмегімен келесі есептер шешімдері құрылады.

1-ші шектік есеп (20)

Equation. 3

Ф(x) = Equation. 3

- Equation. 3

Equation. 3

- функцияларын еңгізіп шексіз түзу есебі шешімін

пайдаланамыз. Онда есеп шешімі

(21)

2-ші шектік есеп (22)

десек шексіз түзу есебінен (22) есеп шешімі құрылады.

(23)

Енді

Біртекті бастапқы шартты (24)

Шешім десек, шекаралық шарттан

. Бірақ бұл функция

облысында. Ғана анықталған, себебі

мәндерінде ғана берілген.

десек барлық облыста анықталады.

Бұл есептер шешімінен

x=at (26)

Есебінің шешімі құрылады.

5. Кесінді есептер

(28)

Есептің шешімі жалғастыру әдісімен құрылады

Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір нүктесі арқылы тақ функциялар болса, онда шешім бұл нүктеде нольге айналады.

Лемма 2: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір нүктесі арқылы жұп функциялар болса, онда шешімнің бойынша туындысы нүктесінде нольге айналады.

Л 1 Дәлелдеуі: деп аламыз. , тақ болсын. Есептің шешімі

Лемма дәлелденді.

Леммалардың көмегімен келесі есептердің шешеміз

1-ші шектік есеп

2-ші шектік есеп

1-ші шектік есеп

2-ші шектік есеп

облысында. Есептің шешімін барлық облыстар үшін табу керек.

5. Кесінді есептері.

аралығында шектік есептер карастырамыз

Бұл есепті шешу үшінде жалғастыру әдісі қарастырылады

функциялары нүктелері арқылы тақ жалғастырылатын функциялар

Бұл шешімнің қосындысы қатар түрінде жазылады. Усуптің шешімін береді.

(9)

Есепті шығару үшін Даламбер формуласын қолданамыз. Ол үшін есепті келесі түрге келтіреміз.

(10)

(10) теңдеудің шешімдерін қанағаттандыратын шарттар:

(11)

(10), (11) бұл есеп үшін Даламбер формуласы қолданылады. Онда

(12)

(12) формуланы пайдалана отырып, есептің шешімін мына түрде жазуға болатындығына көз жеткізейік. (9) шешімін мына түрде жазамыз.

(13)

Мұндағы

Лемма: Біртекті емес (9) теңдеудің шешімі, яғни (9) есептің шешімі бастапқы шарттарын ноль деп алғанда, яғни

(*)

деп алғанда оның шешімі

(14)

(14) шешімі екенін дәлелдеу үшін оны дифференциалдаймыз.

Екінші рет дифференциалдаймыз. Сонда

Сонымен (9) есептің шешімін жекелеген жеңіл есептердің шешімдерінің қосындысы түрінде құрамыз.

(15)

(12) формуланы пайдаланып, (15) формуладағы қосылғыштарды ашып жазамыз. Онда

(16)

Сонымен (16) формула (9) есептің толық шешімін береді.

Шешімнің орнықтылығы.

Шешімнің орнықтылығын зерттеу қажетті, орнықсыз шешімдер мағынасыз, қарастырылған есептердің шешімдері орнықты болу үшін бұл шешімдер қосымша шарттардан үзіліссіз тәуелді болу керек. Қандай аралығында табылып, теңдеуінің екі шешімі үшін .

шарттары үшін тек қана

болғанда ғана орындалатын болса, шешім орнықты дейміз. Шешімнің бар және жалғыз болуы, орнықтығы мәселелерімен есептер қисынды, қисынсыз қойылған деп екі топқа бөлінеді. Есеп қисынды қойылған деп аталады, егер

Шешімі бар болса,
Қосымша шарттарды орындайтын жалғыз шешім болса.
Шешім орнықты болса.

Егер бұл шарттардің әйтеуір біреуі орындалмаса есеп қисынсыз қойылған деп аталады. Практикада қисынсыз қойылған есептер де жиі кездеседі. Қисынсыз қойылған есептің мысалы:

Лаплас теңдеуі

қарастырамыз. Бұл қисынсыз қойылған есеп екенін тексереміз.

бастапқы шарттар мынадай

параметрі шексіз үлкен болған кезде бастапқы шарттары мен айырмалары аз. Шешім орнықсыз, демек қисынсыз есеп.

Жарты түзу және жалғастыру әдісі.

Енді жарты түзу есептерін қарастырайық, яғни түзудің бір шеті шектеулі болған жағдайды қараймыз.

бастапқы шарттар.

шекаралық шарттар.

Бұл есепті жарты түзудің бірінші шеттік есебі деп атаймыз. Егер шекаралық шартта мынадай шарт қойылса онда екінші шеттік есебі деп аталады.

Бұл есептерді шешу үшін шексіз түзуде берілген есептердің шешімдерінің қасиеттерін пайдаланамыз.

Лемма 1: Шексіз түзу есебіндегі бастапқы шарттар қандай да бір нүктесі арқылы тақ функциялар болса, онда шешім бұл нүктеде нольге айналады.

Л 1 Дәлелдеуі: деп аламыз. , тақ болсын. Есептің шешімі

Лемма дәлелденді.

Леммалардың көмегімен келесі есептердің шешеміз

1-ші шектік есеп

2-ші шектік есеп

1-ші шектік есеп

2-ші шектік есеп

облысында. Есептің шешімін барлық облыстар үшін табу керек.

5. Кесінді есептері.

аралығында шектік есептер карастырамыз

Бұл есепті шешу үшінде жалғастыру әдісі қарастырылады

функциялары нүктелері арқылы тақ жалғастырылатын функциялар

Бұл шешімнің қосындысы қатар түрінде жазылады. Усуптің шешімін береді.

1. Шектеусіз ішек Яғни х шейін өзгереді. , (1) (2) тырамыз. (1) теңдеудің характеристикалық теңдеуі

немесе

характеристикалары осылай анықталады. Енді деген алмастырулар жасаймыз. Бұл алмастырулар нәтижесінде (1) теңдеу

(3)

Ал бұл теңдеуді шешу оңай. бойынша интегралдаймыз.

Тағы да интегралдасақ,

(4)

Енді -дан қайтадан айысамыз.

(5)

(5) (1) -дің шешімі. Онда ол (2) бастапқы шарттарды қанағаттанду керек.

ал екенін ескерсек,

Қоссақ,

Алсақ,

(6)

(6) - Даламбер формуласы деп аталады.

, мұндағы (7)

ал (8)

(1) -(2) есептің жалғыз шешімі (6) болады.

2. Біртекте емес теңдеулер.

, облысында қарастырамыз.

(9)

Есепті шығару үшін Даламбер формуласын қолданамыз. Ол үшін есепті келесі түрге келтіреміз.

(10)

(10) теңдеудің шешімдерін қанағаттандыратын шарттар:

(11)

(10), (11) бұл есеп үшін Даламбер формуласы қолданылады. Онда

(12)

(13)

Мұндағы

Лемма: Біртекті емес (9) теңдеудің шешімі, яғни (9) есептің шешімі бастапқы шарттарын ноль деп алғанда, яғни

(*)

деп алғанда оның шешімі

(14)

(14) шешімі екенін дәлелдеу үшін оны дифференциалдаймыз.

Екінші рет дифференциалдаймыз. Сонда

Сонымен (9) есептің шешімін жекелеген жеңіл есептердің шешімдерінің қосындысы түрінде құрамыз.

(15)

(12) формуланы пайдаланып, (15) формуладағы қосылғыштарды ашып жазамыз. Онда

(16)

Сонымен (16) формула (9) есептің толық шешімін береді.

Шешімнің орнықтылығы.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

Ұқсас жұмыстар

Толқындық оптиканың негізгі заңдары

Электрлік байланыс кабельдерінің түрлері және оларды таңбалау. Тарату желілерінде бағытталған толқындардың параметрлері. Тік бұрышты және дөңгелек метал толқын таратқыштардағы бағытталған толқындар

Толқынның таралу бағыты

Сандык РРЛ тасушы сигналды модуляциялау

Электромагниттік толқындардың шығарылуы

Френель дифракциясы

Канал арқылы таралатын жалғыз толқын және оның параметрлері

Жарық табиғаты ғылымының даму тарихы және оның физика пәнін оқытуда қолдану

Толқындардың таралу жылдамдығы

ЭЛЕКТРОМАГНИТТІК ТОЛҚЫНДАРДЫҢ ТАБИҒАТЫ

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz