Сан тізбектері және олардың шектері
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі ... ... 4
1.2.Тізбектердің қарапайым сипаттамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
1.3. Тізбек шегін анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы леммалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
1.6.Тізбектің шегі туралы теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
II.тарау.Тізбектің жинақталу белгілері
2.1.Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
2.2.Тізбек жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.(Коши критерийі) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
2.3. Тізбекшелер. Больцано. Вейерштрасс теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі ... ... 4
1.2.Тізбектердің қарапайым сипаттамалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
1.3. Тізбек шегін анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы леммалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..12
1.6.Тізбектің шегі туралы теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
II.тарау.Тізбектің жинақталу белгілері
2.1.Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және жеткілікті шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
2.2.Тізбек жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.(Коши критерийі) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
2.3. Тізбекшелер. Больцано. Вейерштрасс теоремасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
Кіріспе
Пизалық Леона′ рдо (лат leonardo Pisano.Пиза, 1170-1750) – италян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып саналады. Фибона′ ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (f : bonacci). Италяндық саясатшы- саудагердің ұлы болған ол өзінің өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазды, соның нәтижесінде бұларды италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және алтынның арасалмағанымен байланысты.
Ф-ОБ-001/035
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі.
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны (немесе N жиынының R жиынына бейнеленуін ) атайды.Бұл функцияны ƒ әрпімен белгілейік.Сонда анықтама бойынша 1 санына ƒ(1) мәні, 2 санына ƒ(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді.Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n→ ƒ(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде ƒ1= ƒ(1), ƒ2 = ƒ(2),....ƒn = ƒ(n),… арқылы белгілеп,оларды тізбектің бірінші,екінші,және т.с.с. n-ші мүшелері деп атайды, n-ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі дейді.Жалпы мүшесі ƒn болатын тізбекті {ƒ1,ƒ2,....ƒn,...} немесе {ƒn} арқылы белгілейді.Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Пизалық Леона′ рдо (лат leonardo Pisano.Пиза, 1170-1750) – италян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып саналады. Фибона′ ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (f : bonacci). Италяндық саясатшы- саудагердің ұлы болған ол өзінің өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазды, соның нәтижесінде бұларды италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және алтынның арасалмағанымен байланысты.
Ф-ОБ-001/035
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі.
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны (немесе N жиынының R жиынына бейнеленуін ) атайды.Бұл функцияны ƒ әрпімен белгілейік.Сонда анықтама бойынша 1 санына ƒ(1) мәні, 2 санына ƒ(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді.Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n→ ƒ(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде ƒ1= ƒ(1), ƒ2 = ƒ(2),....ƒn = ƒ(n),… арқылы белгілеп,оларды тізбектің бірінші,екінші,және т.с.с. n-ші мүшелері деп атайды, n-ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі дейді.Жалпы мүшесі ƒn болатын тізбекті {ƒ1,ƒ2,....ƒn,...} немесе {ƒn} арқылы белгілейді.Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Пайдаланылған әдебиеттер
1.Қ.Қабдықайыров.Жоғары математика.Алматы,2004.
2.Жәутіков О.А.Математикалық анализ курсы.Алматы.Мектеп.1959.
3.Ибрашев Х.И. Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы, Мектеп,1970 т.I,II,528бет
4.Темірғалиев Н.” Математикалық анализ, І т, Алматы 1987
5. Дүйсек А.К.,Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы)- Алматы,ҚБТУ,2004,440 бет.
6.Әубәкір.Жоғары математика.Алматы,2004.
1.Қ.Қабдықайыров.Жоғары математика.Алматы,2004.
2.Жәутіков О.А.Математикалық анализ курсы.Алматы.Мектеп.1959.
3.Ибрашев Х.И. Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы, Мектеп,1970 т.I,II,528бет
4.Темірғалиев Н.” Математикалық анализ, І т, Алматы 1987
5. Дүйсек А.К.,Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы)- Алматы,ҚБТУ,2004,440 бет.
6.Әубәкір.Жоғары математика.Алматы,2004.
Ф-ОБ-001035
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Математика кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Сан тізбектері және олардың шектері
Орындаған:Сыздыкова.Н
Ғылыми жетекші:Назарова.К
Түркістан 2012
Ф-ОБ-001035
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен
бейнеленуі ... ... 4
1.2.Тізбектердің қарапайым
сипаттамалары ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.3. Тізбек шегін
анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .8
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен
тізбектер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...10
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы
леммалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.6.Тізбектің шегі туралы
теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
II.тарау.Тізбектің жинақталу белгілері
2.1.Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және
жеткілікті
шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
2.2.Тізбек жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.(Коши
критерийі) ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..17
2.3. Тізбекшелер. Больцано- Вейерштрасс
теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..20
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..21
Ф-ОБ-001035
Кіріспе
Пизалық Леона′ рдо (лат leonardo Pisano.Пиза, 1170-1750) –
италян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып
саналады. Фибона′ ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (f :
bonacci). Италяндық саясатшы- саудагердің ұлы болған ол өзінің
өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын
пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған
Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазды, соның
нәтижесінде бұларды италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ
Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және
алтынның арасалмағанымен байланысты.
Ф-ОБ-001035
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі.
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық
функцияны (немесе N жиынының R жиынына бейнеленуін ) атайды.Бұл
функцияны ƒ әрпімен белгілейік.Сонда анықтама бойынша 1 санына ƒ(1)
мәні, 2 санына ƒ(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді.Жалпы алғанда ондай
сәйкестікті былай белгілейді:
n→ ƒ(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде ƒ1= ƒ(1), ƒ2 = ƒ(2), ... ƒn = ƒ(n),...
арқылы белгілеп,оларды тізбектің бірінші,екінші,және т.с.с. n-ші
мүшелері деп атайды, n-ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі
дейді.Жалпы мүшесі ƒn болатын тізбекті {ƒ1,ƒ2, ... ƒn,...} немесе
{ƒn} арқылы белгілейді.Осылайша белгілеуде n номері N натурал
сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері
мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл.Бұл тәсілді қолданғанда n номері бойынша
тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып
көрсетіледі.
Мысалдар. 1. = 1+ (n N). Бұл формула бойынша х=
1+=,..., х=1+=1+=, т.c.c. Бұл жағдайда {хп}
тізбегі хп=1+ формуласымен берілген дейді.
2. =3,n N. Бұл тізбектің барлық мүшелері бір- бірімен
тең. Барлық мүшелері өзара тең болатын тізбектің тұрақты тізбек, не жәй
ғана тұрақты тізбек дкп атайды.
3.Тізбекке тағы мынадай мысалдар келтірейік:
2)Рекурренттік тәсіл. Бұл тәсілді қолданылғанда тізбектің бірінші
мүшесі берілді және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы
мүшелері бойынша кез- келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез келген n≥2 үшін αn=αn-1+d; б) кез келген n≥2 үшін
bn=bn-1∙q; a) және б) формулалары сәйкес {αn} және {bn} тізбектерәнің
берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез келген мүшесі (екінші мүшесінен
бастап) табуға мүмкіндік береді. Бұл тізбектер арифметикалық және
геометриялық прогрессиялар берілуі шапшаң есептейтін электрондақ есептеуіш
машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді; сонда машина әрі жеңіл,
әрі шапшаң орындалатын біріңғай есептеу операцияларын бірнеше рет
қайталайтын болады.
Ф-ОБ-001035
3)Баяндап беру тәсілі.Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап
айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да,
немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болуы мүмкін. Осы
айтылған мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл
тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жәй сандар тізбегі, ал
екіншісі- √5 саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
{yn} тізбегі графикпен бейнеленгенде мынадай екі тәсіл қолданылады:
1) {yn} тізбегін функция деп алып, оны координаталық жазықтықтың
М(n,yn) нүктелерінің жиыны арқылы бейнелеуге болады;
2) {yn} тізбегін координаталық түзудің М(уn) (немесе уn) нүктелерімен
бейнелеуге болады.
Уn= тізбегін бейнелеудің осы екі тәсілі де 1- суретте
көрсетілген.
Ф-ОБ-001035
1.2.Тізбектердің қарапайым сипаттамалары.
Тізбектер N жиынында анықтаоған функция болғандықтан,
бұларға да сандық функцияның қарапайым сипаттамалары (мысалы, шенделгендік,
шенделмегендік, бірсарындылық сияқты қасиеттер) тән келеді.
а) Шенделген және шенделмеген тізбектер.Егер с› 0 саны табылып,
барлық үшін теңсіздігі орналасқан, онда тізбегі
шенделген тізбек деп аталады (символдар арқылы: ). Жоғарыда және
төменнен шенднлген тізбектердің анықтамалары осыған ұқсас түрде
тұжырымдалады. Мысал үшін тізбектің жоғырыдан шенделгендігін символдармен
жазылуын келтірейік. Егер М׀n N xn ≤ M орындалса,
онда {хn} тізбегі жоғарыдан шенелген деп аталады.Сонда М саны
тізбектің жоғарғы шені деп аталады.Енді тізбектің шенделгендігін
терістеу арқылы оның шенделмегендігінің анықтамасын (символдар
көмегімен) берейік.Егер кез-келген с 0 үшін орындалса, {xn}
тізбегі шенделмеген деп аталады.
Мысалдар. 1) Мына тізбек шенделген.Шынында да, барлық
nN үшін с=1 саны табылып, теңсіздігі
орындалады.Демек,тізбектің барлық мүшелері координаталық түзудің (-
1;1) аралығында жатады.Алайда бұл шендерді дәлдей түскен жөн;тізбек
жоғарыдан өзінің элементімен,ал төменнен - элементімен
шенделген,яғни тізбектің барлық элементтері координаталық түзудің
кесіндісінде жатады.
Ф-ОБ-001035
2)Мына тізбекте = шенделген;төменнен өзінің бірінші
элементі 0- мен,ал жоғарыдан бұл тізбекке енбейтін 1 санымен
шенделген.
3)Мына тізбек шенделмеген.Шынында да, кез
келген с0 үшін тізбек элементтерінің ішінде с-дан үлкен
элементтер де (мысалы,жұп нөмірлі элементтер) кездеседі.
б)Тізбек үшін жұп болу,не тақ болу деген
түсініктердің мағынасы болмайды,өйткені Nжиыны симетриялы емес (N
жиынына n саны енгенімен,-n саны енбей отыр).
в)Тізбек үшін периодты, не периодсыз болу деген
түсініктердің де мағынасы жоқ, өйткені N жиыны периодты емес.
г) Бірсарынды тізбектер.Егер барлық nN үшін х
х теңсіздігі орындалса, онда тізбегі өспелі тізбек деп
аталады.Егер барлық nN үшін
х≤ х теңсіздігі орындалса,онда тізбегі кемімейтін
тізбек деп аталады.Кемімелі және өспейтін тізбек ұғымдары да
осыларға ұқсас түрде беріледі.Өспелі,кемімейтін,кемімелі және
өспейтін тізбектерді жалпы бірсарынды тізбектер деп атайды.
Мысалдар. 1) = өспелі тізбек,өйткені оның әрбір
келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен үлкен.
2) өспейтін тізбек,өйткені оның келесі мүшесі алдыңғы
мүшесінен артық емес.Бұл тізбек жоғарыдан өзінің бірінші
элементі 1-мен,ал төменнен 0 санымен шенделген.
3) кемімейтін тізбек,өйткені әрбір келесі мүшесі
алдыңғы мүшесінен кем емес.Бұл тізбек төменнен өзінің бірінші
элементі 1-мен шенделген.
4) = бірсарынды тізбек болмайды.
Ф-ОБ-001035
1.3.Тізбек шегін анықтау.
1-анықтама.Егер кез келген оң санына сәйкес натурал
саны табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі
орындалса,онда саны тізбегінің шегі деп
аталады және былай жазылады:
немесе жағдайда (символдар арқылы:
).Шегі бар болатын тізбек жинақталатын тізбек деп,ал шегі
болмайтын тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады.Модуль қасиетінің
негізінде теңсіздігі x немесе
теңсіздігімен пара-пар,олай болса, барлық үшін
, яғни нүктесінің - маңайы тізбектің
нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды.Бұдан тізбек шегінің тағы бір
анықтамасына келеміз.
2-анықтама.Егер нүктесінің кез-келген маңайы
тізбегінің саны ақырлы мүшелерінен өзге барлық
мүшелерін қамтитын болса,онда осы санын тізбегінің
шегі деп атайды.
Мысалдар. 1. тізбегі жинақталады және оның шегі 1-ге
тең.Шынында да,шек анықтамасының орындалатындығын тексерейік.Ол
үшін теңсіздігін қарастырайық.Кейбір түрлендірулерді орындай
келе мынаны табамыз:
Демек,натурал саны табылып, (мысалы, санының бүтін
бөлігіне
тең), барлық нөмірлері үшін теңсіздігі
Ф-ОБ-001035
орындалады,яғни Енді және мәндеріне сәйкес
мәндерін табайық.
а)
б)
жағдайда бөлшегі бірден кіші мәндерді
қабылдай отырып, өсе келе 1 санына ұмтылады, яғни
2.Шынында да, Демек, жағдайда
бөлшегі 0-ге тең де,одан кіші де мәндерді қабылдай
отырып,өзінің шегі 0-ге ұмтылады.
3. жинақталмайтын тізбек болады.Шынында да,
нүктесінің маңайының сыртында осы тізбектің сансыз көп
мүшелері жатады. Сондықтан саны тізбектің шегі бола
алмайды.
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер.
1-анықтама.Егер тізбегінің шегі 0-ге тең болса,онда
ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады ( ).Басқаша
айтқанда,егер кез-келген үшін, нөмірі табылып,барлық
нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда тізбегі
ақырсыз кіші тізбек деп аталады (символдар арқылы ақырсыз
кіші ).Ақырсыз кіші тізбек кез-келген
жинақталатын тізбек сияқты,шенделген тізбек болады.
1-теорема. теңдігі орындалу үшін мұндағы
,теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Ф-ОБ-001035
Бұл теореманы символдарды пайдаланып дәлелдейік.Тізбектің
жинақталатын болу анықтамасынан:
деп белгілесек, ,
яғни ақырсыз кіші тізбек.Демек, формуласын
аламыз.Пара-парлық таңбасы жоғарыда келтірілген шарттың қажетті
де,жеткілікті де екенін білдіреді.Бұл теорема іс жүзінде қолдануға
ыңғайлы.
2-анықтама.Егер кез-келген Е0 санына сәйкес нөмірі
табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда
тізбегі ақырсыз үлкен тізбек деп аталады.Оны былай жазады:
.Егер ақырсыз үлкен тізбегінің жалпы мүшесі өзінің
оң (теріс) таңбасын тұрақты сақтайтын болса,(ең болмағанда
жеткілікті үлкен нөмірлерінен бастап),онда сәйкес
таңбалы оң (теріс) шексіздікке ұмтылады дейді: ().
3-анықтама.Егер кез-келген с0 санына сәйкес нөмірі
табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда
оң (теріс) шексіздікке ұмтылады дейді және былай жазады:
()
Әрине кез-келген ақырсыз үлкен тізбек шенделмеген тізбек
анықтамасын қанағаттандырады.,сондықтан ол шенделмеген тізбек
болады.Кері тұжырым, жалпы алғанда, тура бола бермейді,яғни
шенделмеген тізбек,жалпы алғанда,ақырсыз үлкен тізбек болмауы мүмкін
(дәлелдеу үшін
ақырсыз үлкен тізбек пен шенделмеген тізбектің анықтамаларын
салыстыру жеткілікті).
Енді біз ақырсыз үлкен және ақырсыз кіші тізбектердің арасындағы
қарапайым байланысты келтірейік.
2-теорема.Егер ақырсыз үлкен тізбек болса,онда
ақырсыз кіші тізбек болады.Осы тұжырымның дұрыстығын
тексерейік. ақырсыз үлкен тізбек болсын.Анықтама бойынша кез
келген Е0 саны үшін нөмірі табылып,барлық нөмірлері
үшін теңсіздігі орындалады.Бұдан немесе .Бұл
теңсіздік барлық нөмірлері үшін рындалады.Соңғы теңсіздік
теореманың тұжырымдамасын береді.Осыған ұқсас түрде мына
тұжырымды да дәлелдеуге болады:
Ф-ОБ-001035
егер (≠0) ақырсыз кіші тізбек болса,онда ,
ақырсыз
үлкен тізбек болады.
Мысалдар.1. ақырсыз кіші тізбек болады.Шынында да, жоғарыда
екені дәлелденген.
2. ақырсыз үлкен тізбек, өйткені ; де
ақырсыз үлкен тізбек,өйткені .
3.Мына тізбек шенделмеген тізбек болғанымен,ақырсыз
үлкен тізбек бола алмайды.Шынында да,кез келген Е0 саны үшін
осы Е-деп үлкен болатын тізбек мүшелерін (мысалы,жұп
нөмірлі)көрсетуге болады.Алайда,тізбектің мүшелері (мысалы,тақ нөмірлі)
барлығы бірдей Е санынан үлкен бола алмайды.
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы леммалар.
Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану түсінігін
енгізейік. және тізбектері берілсін дейік.Мүшелері
және тізбектерінің сәйкес мүшелерінің қосындысына тең болатын
тізбекті осы екі тізбектің қосындысы деп атайды және
арқылы белгілейді.Осыған ұқсас түрде жазылған тізбегін
және тізбектері көбейтіндісі,ал тізбегін (≠0)
және тізбектері сәйкес мүшелері қатынасынан тұратын
тізбектерді екі тізбектің қатынасы деп атайды.
2-лемма.Саны шектеулі ақырсыз кіші тізбектердің алгебралық
қосындысы да ақырсыз кіші тізбек болады. және ақырсыз
кіші тізбек болсын.Сонда тізбегінің ақырсыз кіші тізбек
болатынын дәлелдейік.Ақырсыз кішінің шамасы бойынша кез-келген
санына сәйкес нөмірі табылып,барлық нөмірлері үшін
теңсіздігі орындалады.Осыған ұқсас түрде кез-келген
санына сәйкес нөмірі табылып,барлық нөмірлері үшін
теңсіздігі орындалады.Егер арқылы және
нөмірлерінің ең үлкенін белгілесек,онда барлық нөмірлері үшін
және теңсіздіктерінің екеуі де орындалады.Қосынды
модулінің қасиетін пайдалансақ,онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті
Математика кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Сан тізбектері және олардың шектері
Орындаған:Сыздыкова.Н
Ғылыми жетекші:Назарова.К
Түркістан 2012
Ф-ОБ-001035
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен
бейнеленуі ... ... 4
1.2.Тізбектердің қарапайым
сипаттамалары ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.3. Тізбек шегін
анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... .8
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен
тізбектер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...10
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы
леммалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
1.6.Тізбектің шегі туралы
теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
II.тарау.Тізбектің жинақталу белгілері
2.1.Бірсарынды тізбектер жинақталуының қажетті және
жеткілікті
шарттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..16
2.2.Тізбек жинақталуының қажетті және жеткілікті шарты.(Коши
критерийі) ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..17
2.3. Тізбекшелер. Больцано- Вейерштрасс
теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .19
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..20
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..21
Ф-ОБ-001035
Кіріспе
Пизалық Леона′ рдо (лат leonardo Pisano.Пиза, 1170-1750) –
италян математигі, Орта ғасырлардың ең мықты математигі болып
саналады. Фибона′ ччи деген лақап атымен көбірек белгілі (f :
bonacci). Италяндық саясатшы- саудагердің ұлы болған ол өзінің
өмірінің көп жылдарын Алжирде өткізді, арабтар оны араб сандарын
пайдалануға үйретті. Осы сандарды оңай қосуға болатынына таңданған
Фибоначчи көп ұзамай осы амалдар туралы кітап жазды, соның
нәтижесінде бұларды италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ
Фибоначчидің сандық тізбегін ойлап тапты, тізбек табиғатпен және
алтынның арасалмағанымен байланысты.
Ф-ОБ-001035
I.тарау.Шек
1.1.Сандық тізбек,оның берілу тәсілдері және графикпен бейнеленуі.
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық
функцияны (немесе N жиынының R жиынына бейнеленуін ) атайды.Бұл
функцияны ƒ әрпімен белгілейік.Сонда анықтама бойынша 1 санына ƒ(1)
мәні, 2 санына ƒ(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді.Жалпы алғанда ондай
сәйкестікті былай белгілейді:
n→ ƒ(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде ƒ1= ƒ(1), ƒ2 = ƒ(2), ... ƒn = ƒ(n),...
арқылы белгілеп,оларды тізбектің бірінші,екінші,және т.с.с. n-ші
мүшелері деп атайды, n-ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі
дейді.Жалпы мүшесі ƒn болатын тізбекті {ƒ1,ƒ2, ... ƒn,...} немесе
{ƒn} арқылы белгілейді.Осылайша белгілеуде n номері N натурал
сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
Тізбекті жазып берудің жиі қолданылатын тәсілдері
мыналар:
1)Аналитикалық тәсіл.Бұл тәсілді қолданғанда n номері бойынша
тізбектің сәйкес мүшесін табу үшін формула жазылып
көрсетіледі.
Мысалдар. 1. = 1+ (n N). Бұл формула бойынша х=
1+=,..., х=1+=1+=, т.c.c. Бұл жағдайда {хп}
тізбегі хп=1+ формуласымен берілген дейді.
2. =3,n N. Бұл тізбектің барлық мүшелері бір- бірімен
тең. Барлық мүшелері өзара тең болатын тізбектің тұрақты тізбек, не жәй
ғана тұрақты тізбек дкп атайды.
3.Тізбекке тағы мынадай мысалдар келтірейік:
2)Рекурренттік тәсіл. Бұл тәсілді қолданылғанда тізбектің бірінші
мүшесі берілді және осы тізбектің белгілі бір немесе бірнеше алғашқы
мүшелері бойынша кез- келген мүшесін табу үшін формула беріледі.
Мысал. а) кез келген n≥2 үшін αn=αn-1+d; б) кез келген n≥2 үшін
bn=bn-1∙q; a) және б) формулалары сәйкес {αn} және {bn} тізбектерәнің
берілген алдыңғы мүшесі бойынша оның кез келген мүшесі (екінші мүшесінен
бастап) табуға мүмкіндік береді. Бұл тізбектер арифметикалық және
геометриялық прогрессиялар берілуі шапшаң есептейтін электрондақ есептеуіш
машиналармен жұмыс істегенде аса қолайлы келеді; сонда машина әрі жеңіл,
әрі шапшаң орындалатын біріңғай есептеу операцияларын бірнеше рет
қайталайтын болады.
Ф-ОБ-001035
3)Баяндап беру тәсілі.Бұл тәсілді қолданғанда тізбек элементтері баяндап
айтылатын болады. Бұл жағдайда тізбектің жалпы мүшесі үшін формула да,
немесе оның мүшелері үшін рекуренттік қатыс та белгісіз болуы мүмкін. Осы
айтылған мысалмен түсіндіру үшін мына тізбектерді қарастырайық.
а) 2,3,5,7,11,...; б) 2; 2,2; 2,23; 2,236; 2,2361; ... Бұл
тізбектерді былайша баяндайды: бірінші тізбек жәй сандар тізбегі, ал
екіншісі- √5 саны үшін кемімен алынған ондық жуықтаулар тізбегі.
{yn} тізбегі графикпен бейнеленгенде мынадай екі тәсіл қолданылады:
1) {yn} тізбегін функция деп алып, оны координаталық жазықтықтың
М(n,yn) нүктелерінің жиыны арқылы бейнелеуге болады;
2) {yn} тізбегін координаталық түзудің М(уn) (немесе уn) нүктелерімен
бейнелеуге болады.
Уn= тізбегін бейнелеудің осы екі тәсілі де 1- суретте
көрсетілген.
Ф-ОБ-001035
1.2.Тізбектердің қарапайым сипаттамалары.
Тізбектер N жиынында анықтаоған функция болғандықтан,
бұларға да сандық функцияның қарапайым сипаттамалары (мысалы, шенделгендік,
шенделмегендік, бірсарындылық сияқты қасиеттер) тән келеді.
а) Шенделген және шенделмеген тізбектер.Егер с› 0 саны табылып,
барлық үшін теңсіздігі орналасқан, онда тізбегі
шенделген тізбек деп аталады (символдар арқылы: ). Жоғарыда және
төменнен шенднлген тізбектердің анықтамалары осыған ұқсас түрде
тұжырымдалады. Мысал үшін тізбектің жоғырыдан шенделгендігін символдармен
жазылуын келтірейік. Егер М׀n N xn ≤ M орындалса,
онда {хn} тізбегі жоғарыдан шенелген деп аталады.Сонда М саны
тізбектің жоғарғы шені деп аталады.Енді тізбектің шенделгендігін
терістеу арқылы оның шенделмегендігінің анықтамасын (символдар
көмегімен) берейік.Егер кез-келген с 0 үшін орындалса, {xn}
тізбегі шенделмеген деп аталады.
Мысалдар. 1) Мына тізбек шенделген.Шынында да, барлық
nN үшін с=1 саны табылып, теңсіздігі
орындалады.Демек,тізбектің барлық мүшелері координаталық түзудің (-
1;1) аралығында жатады.Алайда бұл шендерді дәлдей түскен жөн;тізбек
жоғарыдан өзінің элементімен,ал төменнен - элементімен
шенделген,яғни тізбектің барлық элементтері координаталық түзудің
кесіндісінде жатады.
Ф-ОБ-001035
2)Мына тізбекте = шенделген;төменнен өзінің бірінші
элементі 0- мен,ал жоғарыдан бұл тізбекке енбейтін 1 санымен
шенделген.
3)Мына тізбек шенделмеген.Шынында да, кез
келген с0 үшін тізбек элементтерінің ішінде с-дан үлкен
элементтер де (мысалы,жұп нөмірлі элементтер) кездеседі.
б)Тізбек үшін жұп болу,не тақ болу деген
түсініктердің мағынасы болмайды,өйткені Nжиыны симетриялы емес (N
жиынына n саны енгенімен,-n саны енбей отыр).
в)Тізбек үшін периодты, не периодсыз болу деген
түсініктердің де мағынасы жоқ, өйткені N жиыны периодты емес.
г) Бірсарынды тізбектер.Егер барлық nN үшін х
х теңсіздігі орындалса, онда тізбегі өспелі тізбек деп
аталады.Егер барлық nN үшін
х≤ х теңсіздігі орындалса,онда тізбегі кемімейтін
тізбек деп аталады.Кемімелі және өспейтін тізбек ұғымдары да
осыларға ұқсас түрде беріледі.Өспелі,кемімейтін,кемімелі және
өспейтін тізбектерді жалпы бірсарынды тізбектер деп атайды.
Мысалдар. 1) = өспелі тізбек,өйткені оның әрбір
келесі мүшесі алдыңғы мүшесінен үлкен.
2) өспейтін тізбек,өйткені оның келесі мүшесі алдыңғы
мүшесінен артық емес.Бұл тізбек жоғарыдан өзінің бірінші
элементі 1-мен,ал төменнен 0 санымен шенделген.
3) кемімейтін тізбек,өйткені әрбір келесі мүшесі
алдыңғы мүшесінен кем емес.Бұл тізбек төменнен өзінің бірінші
элементі 1-мен шенделген.
4) = бірсарынды тізбек болмайды.
Ф-ОБ-001035
1.3.Тізбек шегін анықтау.
1-анықтама.Егер кез келген оң санына сәйкес натурал
саны табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі
орындалса,онда саны тізбегінің шегі деп
аталады және былай жазылады:
немесе жағдайда (символдар арқылы:
).Шегі бар болатын тізбек жинақталатын тізбек деп,ал шегі
болмайтын тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады.Модуль қасиетінің
негізінде теңсіздігі x немесе
теңсіздігімен пара-пар,олай болса, барлық үшін
, яғни нүктесінің - маңайы тізбектің
нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды.Бұдан тізбек шегінің тағы бір
анықтамасына келеміз.
2-анықтама.Егер нүктесінің кез-келген маңайы
тізбегінің саны ақырлы мүшелерінен өзге барлық
мүшелерін қамтитын болса,онда осы санын тізбегінің
шегі деп атайды.
Мысалдар. 1. тізбегі жинақталады және оның шегі 1-ге
тең.Шынында да,шек анықтамасының орындалатындығын тексерейік.Ол
үшін теңсіздігін қарастырайық.Кейбір түрлендірулерді орындай
келе мынаны табамыз:
Демек,натурал саны табылып, (мысалы, санының бүтін
бөлігіне
тең), барлық нөмірлері үшін теңсіздігі
Ф-ОБ-001035
орындалады,яғни Енді және мәндеріне сәйкес
мәндерін табайық.
а)
б)
жағдайда бөлшегі бірден кіші мәндерді
қабылдай отырып, өсе келе 1 санына ұмтылады, яғни
2.Шынында да, Демек, жағдайда
бөлшегі 0-ге тең де,одан кіші де мәндерді қабылдай
отырып,өзінің шегі 0-ге ұмтылады.
3. жинақталмайтын тізбек болады.Шынында да,
нүктесінің маңайының сыртында осы тізбектің сансыз көп
мүшелері жатады. Сондықтан саны тізбектің шегі бола
алмайды.
1.4.Ақырсыз кіші және ақырсыз үлкен тізбектер.
1-анықтама.Егер тізбегінің шегі 0-ге тең болса,онда
ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады ( ).Басқаша
айтқанда,егер кез-келген үшін, нөмірі табылып,барлық
нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда тізбегі
ақырсыз кіші тізбек деп аталады (символдар арқылы ақырсыз
кіші ).Ақырсыз кіші тізбек кез-келген
жинақталатын тізбек сияқты,шенделген тізбек болады.
1-теорема. теңдігі орындалу үшін мұндағы
,теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Ф-ОБ-001035
Бұл теореманы символдарды пайдаланып дәлелдейік.Тізбектің
жинақталатын болу анықтамасынан:
деп белгілесек, ,
яғни ақырсыз кіші тізбек.Демек, формуласын
аламыз.Пара-парлық таңбасы жоғарыда келтірілген шарттың қажетті
де,жеткілікті де екенін білдіреді.Бұл теорема іс жүзінде қолдануға
ыңғайлы.
2-анықтама.Егер кез-келген Е0 санына сәйкес нөмірі
табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда
тізбегі ақырсыз үлкен тізбек деп аталады.Оны былай жазады:
.Егер ақырсыз үлкен тізбегінің жалпы мүшесі өзінің
оң (теріс) таңбасын тұрақты сақтайтын болса,(ең болмағанда
жеткілікті үлкен нөмірлерінен бастап),онда сәйкес
таңбалы оң (теріс) шексіздікке ұмтылады дейді: ().
3-анықтама.Егер кез-келген с0 санына сәйкес нөмірі
табылып,барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса,онда
оң (теріс) шексіздікке ұмтылады дейді және былай жазады:
()
Әрине кез-келген ақырсыз үлкен тізбек шенделмеген тізбек
анықтамасын қанағаттандырады.,сондықтан ол шенделмеген тізбек
болады.Кері тұжырым, жалпы алғанда, тура бола бермейді,яғни
шенделмеген тізбек,жалпы алғанда,ақырсыз үлкен тізбек болмауы мүмкін
(дәлелдеу үшін
ақырсыз үлкен тізбек пен шенделмеген тізбектің анықтамаларын
салыстыру жеткілікті).
Енді біз ақырсыз үлкен және ақырсыз кіші тізбектердің арасындағы
қарапайым байланысты келтірейік.
2-теорема.Егер ақырсыз үлкен тізбек болса,онда
ақырсыз кіші тізбек болады.Осы тұжырымның дұрыстығын
тексерейік. ақырсыз үлкен тізбек болсын.Анықтама бойынша кез
келген Е0 саны үшін нөмірі табылып,барлық нөмірлері
үшін теңсіздігі орындалады.Бұдан немесе .Бұл
теңсіздік барлық нөмірлері үшін рындалады.Соңғы теңсіздік
теореманың тұжырымдамасын береді.Осыған ұқсас түрде мына
тұжырымды да дәлелдеуге болады:
Ф-ОБ-001035
егер (≠0) ақырсыз кіші тізбек болса,онда ,
ақырсыз
үлкен тізбек болады.
Мысалдар.1. ақырсыз кіші тізбек болады.Шынында да, жоғарыда
екені дәлелденген.
2. ақырсыз үлкен тізбек, өйткені ; де
ақырсыз үлкен тізбек,өйткені .
3.Мына тізбек шенделмеген тізбек болғанымен,ақырсыз
үлкен тізбек бола алмайды.Шынында да,кез келген Е0 саны үшін
осы Е-деп үлкен болатын тізбек мүшелерін (мысалы,жұп
нөмірлі)көрсетуге болады.Алайда,тізбектің мүшелері (мысалы,тақ нөмірлі)
барлығы бірдей Е санынан үлкен бола алмайды.
1.5.Ақырсыз кіші тізбектер туралы леммалар.
Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдану түсінігін
енгізейік. және тізбектері берілсін дейік.Мүшелері
және тізбектерінің сәйкес мүшелерінің қосындысына тең болатын
тізбекті осы екі тізбектің қосындысы деп атайды және
арқылы белгілейді.Осыған ұқсас түрде жазылған тізбегін
және тізбектері көбейтіндісі,ал тізбегін (≠0)
және тізбектері сәйкес мүшелері қатынасынан тұратын
тізбектерді екі тізбектің қатынасы деп атайды.
2-лемма.Саны шектеулі ақырсыз кіші тізбектердің алгебралық
қосындысы да ақырсыз кіші тізбек болады. және ақырсыз
кіші тізбек болсын.Сонда тізбегінің ақырсыз кіші тізбек
болатынын дәлелдейік.Ақырсыз кішінің шамасы бойынша кез-келген
санына сәйкес нөмірі табылып,барлық нөмірлері үшін
теңсіздігі орындалады.Осыған ұқсас түрде кез-келген
санына сәйкес нөмірі табылып,барлық нөмірлері үшін
теңсіздігі орындалады.Егер арқылы және
нөмірлерінің ең үлкенін белгілесек,онда барлық нөмірлері үшін
және теңсіздіктерінің екеуі де орындалады.Қосынды
модулінің қасиетін пайдалансақ,онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz