Вариация көрсеткіштері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

Вариация көрсеткіштері

5. 1 Вариация көрсеткіштері туралы түсінік және оның міндеттері, түрлері

Вариация - бұл зерттелетін жиынтықтың ішіндегі белгілердің жеке мәндерінің құбылмалылығы (ауытқуы, өзгермелілігі) .
Вариация барлық құбылыстар мен процестерге тән. Вариация көрсеткіштерінің міндеттері мыналар:
1. вариация көрсеткіштері орташа шаманы толықтырады;
2. жиынтықтың біртекті немесе әр текті екендігін анықтау;
3. белгі вариациясының шегін анықтау;
4. көрсеткіштердің арасындағы өзара байланысты анықтау.
Вариация көрсеткіштерінің мынадай түрлері бар:
1. вариация өрісі;
2. орташа сызықты ауытқу;
3. дисперсия;
4. орташа квадраттық ауытқу;
5. осцилляция коэффициенті;
6. салыстырмалы сызықтық ауытқу;
7. вариация коэффициенті.

Вариация өрісі тек варианттың ең үлкен және ең кіші мәндерінің айырмасын көрсетеді, мына формуламен есептеледі:
(18)
Вариация өрісі вариация көрсеткіштерінің ең қарапайым түрі. Ол жиынтықтың ішкі құрылымындағы өзгерістерді көрсете алмайды, сондықтан орташа сызықтық ауытқуды есептейді.
Орташа сызықтық ауытқу () -- бұл белгінің жеке мәні мен орташа шаманың айырмасы. Ол жиынтықтағы барлық бірліктердің орташадан ауытқуын есепке алады. Арифметикалық орташа шамалардың қасиетіне байланысты, олардың бірін-бірі жойып жібермеуі үшін тік жақшаны (модуль) қолданады.
Орташа сызықтық ауытқу () мына формулалар бойынша есептеледі:
топтастырылмаған мәліметтер үшін:, (19)

топтастырылған мәліметтер үшін:, (20)
Орташа сызықтық ауытқуды есептегенде ауытқудың математикалық таңбалары ескерілмейді. Сондықтан, есептеу нәтижесінде алынған мәліметтердің кемшілігі болады. Сол кемшілікті жою үшін, дисперсияны және орташа квадраттық ауытқуды есептейді.
Дисперсия () деп ауытқулардың квадраттарының орташасын айтады. Дисперсия мына формулалар бойынша есептеледі:
топтастырылмаған мәліметтер үшін:, (21)
топтастырылған мәліметтер үшін:, (22)
Дисперсияны басқа тәсілмен де есептеуге болады: . (23)
Өлшем бірліктері сәйкес келмейтін болғандықтан дисперсияны орташа шамамен тікелей салыстыруға болмайды. Сондықтан дисперсиядан түбір табады.
Дисперсияның мәнін түбірлеуді орташа квадраттық ауытқу дейді. Оны Q-сигма әрпімен белгілейді және мына формулалар бойынша есептейді:
топтастырылмаған мәліметтер үшін:
, (24)
топтастырылған мәліметтер үшін:
, (25)
Вариацияның осы аталған көрсеткіштері абсолютті шаманың өлшем бірліктерімен өлшенеді.
Осцилляция коэффициенті (К0) мына формуламен есептеледі:
(26)
Бұл коэффициент орташаның шеңберіндегі белгілердің шеткі мәндерінің ауытқуын салыстыруға мүмкіндік береді және процентпен өлшенеді.

Салыстырмалы сызықтық ауытқу (Кl) абсолюттік ауытқулардың орташаланған мәндерінің орташа шамадағы үлесін сипаттайды және орташа сызықтық ауытқудың () белгінің орташа шамасына () қатынасымен есептеледі: (27)
Вариация коэффициент і жиынтықтың бір текті немесе әр текті екендігін сипаттайды және орташа квадраттық ауытқудың () белгінің орташа шамасына () қатынасымен есептеледі: % (28)
Вариация коэффициенті V< 40% болса, онда жиынтық біртекті болады. Ал V>40 % артық болса, онда жиынтық әр текті болады.
Вариация көрсеткіштерінің есептелуін кестелік тәсілмен жүргізген ыңғайлы
(22 - кестені қараңыз) .

23 - кесте. Жұмысшылардың еңбек стажының вариация көрсеткіштері

Жұмысшылардың еңбек стажы бойынша топқа бөлінуі, жыл

Жұмысшылардың саны, адам (f)

Есептелінген көрсеткіштер

Интервал ортасы
(Х)

хf

Жұмысшылардың еңбек стажы бойынша топқа бөлінуі, жыл: 6-10
10-14
14-18
18-22

Жұмысшылардың саны, адам (f): 15
30
45
10

Есептелінген көрсеткіштер: 8
12
16
20

120
360
720
200

6
2
2
6

90
60
90
60

36
4
4
36

540
120
180
360

64
144
256
400

960
4320
11520
4000

Жұмысшылардың еңбек стажы бойынша топқа бөлінуі, жыл:

Жұмысшылардың саны, адам (f): 100

Есептелінген көрсеткіштер: 14

1400

300

1200

864

20800

Вариация көрсеткіштері:
-- вариация өрісі: R=22-6=16 жыл,
-- белгінің орташа мәні: жыл,
-- орташа сызықтық ауытқу: жыл,
-- дисперсия:,
-- орташа квадраттық ауытқу: жыл,
-- осцилляция коэффициенті:,
-- cалыстырмалы сызықтық ауытқу:,
-- вариация коэффициенті:
Есептелінген көрсеткіштер жұмысшылардың еңбек стажының 16 жыл
(6 жылдан 22 жылға дейін) көлемінде өзгеретінін көрсетеді; орташа еңбек стажы 14 жылды құрайды; еңбек стажының жеке мәндерінің орташадан ауытқуы орта есеппен 3 жыл; дисперсия 12-ге тең; орташа квадраттық ауытқу - 3, 5жыл- шамалы, демек арифметикалық орташа шама берілген жиынтықты тиімді жағынан көрсетеді. Белгілердің шеткі мәндерінің арасындағы айырмашылық жұмысшының орташа еңбек стажынан 14%-ға жоғары. Еңбек стажының абсолюттік ауытқуларының орташаланған мәндерінің үлесі 21%-ды құрайды. Вариация коэффициенті 25%-ға тең. Бұл жиынтықтың біртектілігін көрсетеді, өйткені белгінің вариациясы <40%.

5. 2 Дисперсияның негізгі математикалық қасиеттері

Дисперсияны есептеуді жеңілдететін мынадай математикалық қасиеттері бар:
1. Егер белгінің жеке мәндерінен қандай да бір тұрақты санға кемітсе немесе арттырса, одан дисперсияның мәні өзгермейді:
(29)

2. Егер белгінің жеке мәндерін қандай да бір тұрақты санға бөлсе немесе көбейтсе, онда дисперсияның мәні рет азаяды (артады) :
(30)

3. Кез-келген А шамасынан есептелген дисперсия орташа шамадан есептелген дисперсиядан үлкен болады және бұл екі дисперсияның арасында мынадай байланыс болады:
(31)

4. Дисперсия белгі квадратының орташа мәні мен орташа шаманың квадратының айырмасына тең:
(32)
Мұндағы
Егер белгі мәндері кіші сандық көрсеткіштермен берілетін болса, онда
31 формуланы қолдануға болады.
Интервалдары бірдей таратпалы қатарда дисперсияны моменттік (ықшамдалған) тәсілмен мына формула бойынша есептеуге болады:, (33)
d- интервал ұзындығы;
m1- бірінші дәрежелі момент;
m2- екінші дәрежелі момент.
мұндағы ; .

5. 3 Альтернативті белгінің дисперсиясы

Сандық белгілердің вариациясымен қатар сапалы немесе альтернативті белгілердің вариациясын да анықтау қажеттігі жиі туындайды. Себебі, олардың бір бөлігінде сапа белгісі болса, қалған бөлігінде сапа белгісі болмауы мүмкін. Мысалы, практикада өндірілген өнімнің сапасы оны жарамды немесе жарамсыз топқа бөлу арқылы зерттеледі. Яғни, өндірілген өнім көлемі жоғары және төмен сапалы екі бөліктен тұрады. Статистикада мұндай бөліктерге бөлінуді альтернативті (сапалы) белгі деп атайды.
Альтернативті (сапалы) белгісі бар бөлігін «1», оның үлес салмағын «P» әрпімен, ал сапалық белгісі жоқ бөлігін «0», оның үлес салмағын «q» әрпімен белгілейді. Сонда P+q=1. Осылайша, альтернативті белгінің арифметикалық орташа мәні мына формула бойынша есептеледі:
(34)

Альтернативті белгінің дисперсиясы мына формуламен есептеледі:
, (35)
бұл альтернативті белгінің дисперсиясы белгілері бар және белгілері жоқ бірліктердің үлес салмағының көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді.
Альтернативті белгінің орташа квадраттық ауытқуы мына формуламен есептеледі: (36)

Альтернативті белгінің дисперсиясы ішінара бақылау жүргізгенде қолданылады.
Мысалы, 1000 дайын өнімнің сапасын бақылау нәтижесінде 40 ақаулы өнім табылды.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.