Сан уғымының дамуы туралы


1 «Екіні екіге көбейткенде төрт болатындығы сияқты, айдан анық нәрсе ғой»
2 Әр халықтың санау мен өлшеу әдістері
3 Санау әрекеті даму кезеңдері
«Екіні екіге көбейткенде төрт болатындығы сияқты, айдан анық нәрсе ғой» дегенді біз жиі қолданамыз. Санау мен есептеудің біздің тұрмысы-мызға еніп, әбден сіңісіп кеткендігі соншалыкты, тіпті санауды және қа-рапайым ессптеулер жасауды білмейтін ересек адам болады деген ұғым біздің ойымызға да келмейді. Аланда адамның тіпті сан ұғымы туралы түсінігі болмаган кез де болған.
Жас баланы сан ұғымымен алғаш таныстырып отырған тәрбиеші үшін бұл ұғымның дамуынын ұзак жолын білу тек қызықты ғана емес, ол қажет те. Бұл болса осы ұғымды игеруде балалардың кандай қиыншылықтарды женуге тура келгенін тәрбиешінің түсініп алуына көмектеседі.
Біздің өте ертедегі ата-бабаларымыз сандарды білмеген. Қай халыкта алғашкы математикалық түсініктердің кашан панда болғаны белгісіз, бірақ санау, әр турлі жиындарды салыстыру адам коғамы дамуынын алғашқы кездеріпен бастап-ак қажет болды. Егер де белгілі бір машинаны, ғылымдағы қандай да бір теорияны ойлап тапқан адам туралы айта алатын болсак, ал санауды, өлшеуді кім ойлап тапқанын айта алмаймыз. Әр халық өз дамуының алғашқы кезеңін өз бетімен басынан өткізген. Адам мәдениеті дамуының бұл кезеңі мыңдаған жылдар бұрын басталган және онын көнелілігі тіл мен сөйлеудін, дамуымен немесе ең қарапайым еңбек кұралдарының пайда болуымен шамалас.
Адамның айналасында әрқашан әр турлі жиындар болған: аспандағы жұлдыздар, ұймек-ұймек тастар, жануарлар мен өсімдіктер жиыны, ең ақыры, адамнын денесінің мүшелері жиыны, уакыттың етуіне байланысты атқаратын физиологиялық қызметтерінің жиыны. Сондыктан да адамның қалай да сандарды, санауды білмей тұрып-ақ, олардың көмегімен сол жиындарды салыстыруына тура келген. Ал салыстыра отырып, жиынның элементтерін, оларды құраушыларды ажырата білген, жиындардың сан жағынан тек теңдігі мен теңсіздігін ғана емес, сондай-ақ жиынды қандай да элементтің не оның белгілі бір бөлігінің жетпей тұрғанын анықтай алған.
Түрлі халықтардың мәдениетін зерттеп білу, әр турлі тілдерін зерттеу, археологиялық казбалар математиктерге жиын туралы алғашқы түсінік-тердің қалай дамығандығы жөнінде және санға дейінгі дәуірде жиындардың қалай салыстырылғандығы, сан мен натурал қатар туралы ұғымның калай қалыптаскандығы жөнінде, санау системалары қалай калыптаскандығы жөнінде және адам қоғамының даму процесінде жазбаша нумерацияның қалай дамығаны жөнінде бірқатар болжамдар жасауға мүмкіндік туғызды.
Математика адам кажеттілігінен пайда болып, олардың практикалық іс-әрекеті процесінде дамыған.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Сан уғымының дамуы туралы

Екіні екіге көбейткенде төрт болатындығы сияқты, айдан
анық нәрсе ғой дегенді біз жиі қолданамыз. Санау мен
есептеудің біздің тұрмысы-мызға еніп, әбден сіңісіп кеткендігі
соншалыкты, тіпті санауды және қа-рапайым ессптеулер жасауды
білмейтін ересек адам болады деген ұғым біздің ойымызға да
келмейді. Аланда адамның тіпті сан ұғымы туралы түсінігі
болмаган кез де болған.
Жас баланы сан ұғымымен алғаш таныстырып отырған тәрбиеші
үшін бұл ұғымның дамуынын ұзак жолын білу тек қызықты ғана
емес, ол қажет те. Бұл болса осы ұғымды игеруде балалардың
кандай қиыншылықтарды женуге тура келгенін тәрбиешінің түсініп
алуына көмектеседі.
Біздің өте ертедегі ата-бабаларымыз сандарды білмеген. Қай
халыкта алғашкы математикалық түсініктердің кашан панда
болғаны белгісіз, бірақ санау, әр турлі жиындарды салыстыру
адам коғамы дамуынын алғашқы кездеріпен бастап-ак қажет болды.
Егер де белгілі бір машинаны, ғылымдағы қандай да бір теорияны
ойлап тапқан адам туралы айта алатын болсак, ал санауды,
өлшеуді кім ойлап тапқанын айта алмаймыз. Әр халық өз дамуының
алғашқы кезеңін өз бетімен басынан өткізген. Адам мәдениеті
дамуының бұл кезеңі мыңдаған жылдар бұрын басталган және онын
көнелілігі тіл мен сөйлеудін, дамуымен немесе ең қарапайым
еңбек кұралдарының пайда болуымен шамалас.
Адамның айналасында әрқашан әр турлі жиындар болған:
аспандағы жұлдыздар, ұймек-ұймек тастар, жануарлар мен
өсімдіктер жиыны, ең ақыры, адамнын денесінің мүшелері жиыны,
уакыттың етуіне байланысты атқаратын физиологиялық
қызметтерінің жиыны. Сондыктан да адамның қалай да сандарды,
санауды білмей тұрып-ақ, олардың көмегімен сол жиындарды
салыстыруына тура келген. Ал салыстыра отырып, жиынның
элементтерін, оларды құраушыларды ажырата білген, жиындардың
сан жағынан тек теңдігі мен теңсіздігін ғана емес, сондай-ақ
жиынды қандай да элементтің не оның белгілі бір бөлігінің
жетпей тұрғанын анықтай алған.
Түрлі халықтардың мәдениетін зерттеп білу, әр турлі
тілдерін зерттеу, археологиялық казбалар математиктерге жиын
туралы алғашқы түсінік-тердің қалай дамығандығы жөнінде және
санға дейінгі дәуірде жиындардың қалай салыстырылғандығы, сан
мен натурал қатар туралы ұғымның калай қалыптаскандығы
жөнінде, санау системалары қалай калыптаскандығы жөнінде және
адам қоғамының даму процесінде жазбаша нумерацияның қалай
дамығаны жөнінде бірқатар болжамдар жасауға мүмкіндік туғызды.
Математика адам кажеттілігінен пайда болып, олардың
практикалық іс-әрекеті процесінде дамыған.
Адамның, дамып-жетілуінін, өте ерте кездерінде-ак оларға
аң аулаған-дағы табысынын шамасын анықтап, оны қоғам
мүшелеріне үлестіріп бөлуге тура келген. Диқаншылықтық пайда
болуымен байланысты өнімді анықтау қажет болды немесе көршілес
тайпамен қарым-қатынас жасағанда, жауға қарсы бірлесіп күресу
үшін әр тайпанын. қанша жауынгер бөлуі жөнінде келісу керек
болды. Бірлесіп анға шығу уақытын келісіп алу немесе көктемгі
жұмыстардың басталуына дейін жақа ай неше рет туатынын т. б.
анықтау қажет болуы мүмкін.
Осылардық бәрін анықтау кезінде бірде-бір санды білмейтін
адам жиынтықтар арасындағы сандық қатынастарды тағайындау
тәсілдерін таба білген.
Шынында да, дамудың ең төменгі сатысындағы адам товар
алмасты-рудың сонша күрделі операцияларын қалай орындаған?
Мәселен, Орталық Африка ормандарында тіршілік еткен төменгі
сатыдағы адам кейінгі бір кездерге дейін үш қана сан есім-
сөзді білген және үшке дейін ғана санай алған. Соған қарамай,
теңіздін, ар жағынан келген саудагерлерге алданып қалудан
қорықпай-ак,, піл тістерін көп мөлшерде темекі пачкаларына
айырбас жасайтын еді. Ол әр тістін, жанына бір пачка темекіні
қойып, тістер санын темекі пачкалары санымен сәйкестеп отырған
(бір піл тісіне бір пачка темекі беріп есептескен жағдайда).
Сөйтіп, ол алмастырылатын заттардын, сан жағынан бірдейлігін
солайша анықтап келген.
Этнограф-жазушы Г. Гор осыған ұқсас мысалды баяндайды.
Мәселен, Солтүстік Сахалинде тұратын шағын халық нивханың бір
өкілінін әнгімесін келтіреді, ол былай дейді: Бізде бір қарт
адам болған. Ол өзінін неше жаста екенін білмейтін. Жасын ол
әрі қарай санауды ұйғарды. Бір жыл өткенде — бір балық басын
қоймаға апарып қояды, тағы бір жыл өткенде —тағы бір басты
қоіімаға апарып қояды т. с. с.1.
Т. Семушкин де Аласталған Алитет атты романында дәл
осындай сипаттама келтірген. Американ өз товарларынық
прейскурантын солтүстік халықтарға ұсынғанда, совет екіметініқ
екілі халықка жазбаша прейску-рантты емес көрнекі, жанды
практикалық прейскурантты беру керектігін айтқан болатын.
Америқан оны түсінбеді, сонда Лось осан былай деді: Мысалы,
мына ,бір тайдық ішінде — сексен тақта "шай бар екен, мұнын,
бағасы 80 сом. Осы тайдың үстіне 40 сомдықтан екі ақ түлкі
терісін салып қою керек. Винчестерді алайық—мұнын, астына да
екі ақ түлкі терісін салып қойыңыз. Бір пачка патрон (жиырма
дана), мұны екі нерка терісінің үстіне қойыңыз, терінін,
бағасы бір сомнан ғой, ал патрондар — екі сом тұрады. Міне,
бұл әркімге де, тіпті хат танымайтын аңшыға да түсінікті
болады2.
Сөйтіп, теқ, артык, кем ұғымдарына сан ұғымынын, бұрын
болуынын керегі болмағанды.
Салыстыру үшін қажетті жиындар алуан түрлі. Т. Семушкин сол
по-весінде былай деп жазды.
Чукча Омрытагенге жіпке тізілген бір байлам түймелер беріп,
әр күні таңертен оларды бір-бірден шығарып алуды тапсырып,
тізілген түймелер біткен кезде, оның конференқияға баруына
болатынын айтқан. Уақыт осылайша есептелген.
Гректер де осындай тәсілді қолданған болатын. Біздін,
эрамызға дейінгі V ғасырда грек тарихшысы Геродот былай деп
жазған еді. Парсы патшасы Дарий оңтустік орыс даласына кеткен
кезде Дунай өзешне езі салған көпірді кузету үшін гректерді
қалдырады. Кетер алдында ол түйіндері бар белбеуді қалдырып,
күн сайын түйіннің біреуін шешіп отыруды бұйырады. Түйілген
түйіндер санына тең күн өткеннен кейін, Дарий қайта оралмаса,
гректердін, еліне қайта беруіне болатындығын тапсырған.
Демек, санай білмеген адамдар түрлі жиындармен істес
болғаны, оларды элементтерін сәйкестеу арқылы салыстырып
отырғаны мәлім. Санау мен өлшеудің бұл қарапайым әдістері
болашақ арифметика мен геометрияның негізі болған.
Әр халық санау мен өлшеудің өз әдістерін жасап алған.
Мыңдаған жылдарға созылған тәжірибе нәтижесінде адамдар
белгілі бір тұжырымдар жасап, оларда ұғымдар қалыптасқан, сол
ұғымдарды барлық адамзат меңгере бастаған.
Адамзаттын мәдени және экономикалық дамуының алғашкы
кезеңде-рінде сан туралы түсінік қандай болған?
Ең алғаш адам ешбір сан есім-сөздерді білмейтін, ол
дерексіз сан ұғымын әлі де меңгере қоймағанды. Алайда
өздерінін, тіршілігі үшін керекті жиындарды іс жүзінде айыра
алатын. Мәселен, солтүстік халықтардың өмірін бақылап
жүргендердің бірі олардың аң аулауға шығар алдында өздерінің
тазылары тобын карап шығып, әлде біреуінің жетпей тұрғанын
байкаса, оны шақырып іздей бастайтынын айтады. Мұны олар
қалайша байқайтын еді?
Адамның дамуының ерте сатысында жиын сан жағынан емес
элемент-терінің түрліше қасиеттері бойынша қабылданатын. Жиын
элементтерінің саны бұл кезде онын, сапаларының, қасиеттерінің
комплексі ретінде түсі-нілетін. Элементтер мен бүтін формасы,
түсі, елшемі, кеңістікте орналасуы т. б. бойынша
ажыратылатын1. Осы кезеңде жиын элементтерінің саны жиынның
өзі мен оның қасиеттерінің ерекшеліктерінен әлі де болса
бөліне қоймаған-ды.
Олай болса, сан ұғымының дамуының алғашқы кезенінде
адамдарда сан жөнінде жалпыланған ұғым да, сондай-ақ, сол
ұғымдарды бейнелеп көрсететін арнайы сөздер де бола қоймаған.
Жиындарды ажырата және салыстыра білу қабілеттілігі жиын
элемент-- тері мен бүтін жиынды — негізінен сапалықкасиет-тері
бойынша ажырата білу қабілетімен көрінетін. Арифметика
тарихында дамудың бұл кезеңін сан — жиынтықтар сапасы сатысы
деп атайды. Түсініктердің мұндай даму сытысын ерте кездерде
барлық адамзат басынан кешірген болатын.
Келесі саты деп қолмен санау сатысын есептейді. Қоғамның
ілгері қарай дамуына байланысты адамның жиынтықтарды қабылдап
қана қоймай, оларды жасап (құрастырып) отыруына да тура
келген. Осы қажеттіліктің әсерінен қолмен санау деп аталатын
пайда болды. Кез келген жиынтықтың элементтерін адам қолы мен
аяғының саусақтарымен, тіпті кейде кейбір дене мүшелерімен
сәйкестейтін болды.
Діәселен, этнографтардың жазуіл бойынша полинезиялықтар қол-
ая-ғының саусақтарымен қоса, денесінің басқа мүшелерін белгілі
бір тәр-тіппен пайдаланған екен. Санауды сол қолының
шынашағынан бастап, білегіне, шынтағына, иығына қарай ауысып
жалғастыра береді екен. Егер де саналатын жиынтық мүнымен
бітпесе, әрі қарай оң иыққа, білекке,
саусақтарға — басбармақтан шынашаққа қаран өтіп санайды,
осылайша 16 көлемінде санап, сонан соң қажет болса, санауды оц
қолынын, шына-шағынан бастап (ол 17-ні білдіретін) әрі қарай
жалғастырып, кері ретпен сол колының шынашағына карай
санайдьі. Егер жетпей қалса, санауды екінші адамды пайдаланып
әрі қарай жалғастырады екен.
Біздің тамаша саяхатшымыз Н. Н. Миклухо-Маклай (І846—1888)
папуастар қолмен санауды былай пайдаланатын деп жазған еді:
Ең ұнамды санау әдісі папуас қолынын, саусақтарын біртіндеп
бүгіп шығып, белгілі бір мысалы: бе-бе-бе,— деп дыбыс
шығарады:.. Беске дейін са-нап, ол Ибон-бе (қол),— дейді.
Содан соң ол заттарды екінші қолының саусақтарымен қос-қостан
сәнкестей бастайды да қайтадан: бе-бе-бе,— дейді... және
соңғы саусағымен сәйкестеп, Ибон-али (яғни 2 қол),— дейді.
Одан кейін заттарды әрі карай санау үшін, олар ең алдымен бір
аяғының саусақтарын самба-бе (бір аяқ), сонан соң екінші
аярының саусақтарын самба-али (яғни екі аяк) пайдаланган.
Сөйтіп, бір колдың атауы бес заттан құралатын жиынтықтың,
ал екі қолдың атауы — он затты өрнектейтін жиынтықтың санының
көрсеткіші болып келеді, ал адам деген сөз әрі 20 заттан
тұратын жиынтық санының көрсеткіші еді.
Демек, адам денесі дамудың алғашкы сатысында адам қолындағы
са-нау құралы болып келді. Бір жиын екінші жиынмен элементтері
бойынша салыстырылып келді. Салыстыру үшін кез келген бір
тұрақты жиынтық алынды, бірінші алыпган жиынтық адам денесінің
бөліктері болды.
Қоғамнын әрі карап дамуымен саусактар сияқты тұрақты жиын
енді жеткіліксіз болды да шыбык, тас, жіптегі немесе қайыс
белбеудегі түйін-дер пайдаланыла бастады.
Әрі қарай дамып отырған экономиканың мұқтажын ендігі жерде
кол-мен санау өтсіі алмайтын болды. Оның орнына топтап санау
сатысы ксл-ді. Қең түрде товар алмасу процесінде кейбір заттар
белгілі бір жиынтык-тарға, мысалы, кәрзеңкелер, жұмыртқалар,
қайықтар т. с. с. топ-топқа жинақтала бастады. Бұл топтар саны
жөнінен түрліше, мысалы, кокос жаңғақтары жүз-жүзден, өрілген
кәрзеңкелер — он-оннан т. с. с. топ-талды.
Алайда санды білдіретін ешбір сөз әлі де болмады. Бұл
жиынтықтар заттың өз атауымен аталатын. Жүз кокос жаңғағының
ерекше атауы, он кәрзеңкенің ерекше атауы және он жұмыртқаның
ерекше атауы болды. Мысалы, азық-түлік салынған он кәрзеқкені
бір халықтар на банара, ал он жұмыртқаны —на-куа деп
атаған. Екі жағдайда да на деген жұр-нақ бар, бірақ ол әлі он
саньш кәрсетпейтін еді. Топтап санаудың, жаңғы-рығы біздін,
заманымызға дейін сакталып келген: жұмыртқа, түнме, қарындыш
он-оннан топталады, сервиз мебель дюжинамен (он екіден) немесе
жарты дюжинамен (алты-алтыдан) топталады. Қейбір заттарды
топтау үшін ерекше дюжина деген атауы сақталады, ал
заттардың дәл саны (он, бес, он екі, алты) аталмайды.
Өте ерте кезеңдерде, сан есім-сөз болмаған кезде, мұндай
тұрақты топтың өзіне ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Натурал сандар
Теріс Сандар арифмет
Математиканың негізгі ұғымдары
Математика пәнінен лекция тезистері
Меншік қатынастарының даму заңдылықтары
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру
Бөлшек ұғымы
Нақты сандардың аксиомалары
Теріс сандардың дамуы
Болмыстың негізгі формалары
Пәндер