Эконометрика - экономика мамандықтарына арналған оқу - әдістемелік құрал
Алғы сөз ... ... ...3
1 Эконометрикалық моделдер ... ... ...4
1.1 Эконометрика пәні және оның міндеттері ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Моделдер ... ... 4
2 Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ..6
2.1 Оқиғалар. Оқиғаның ықтималдығы ... ...6
2.2 Кездейсоқ шама ... ... ... ... ... ... ... .7
2.3 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары ... ... ... ... ... ... ..9
2.4 Кездейсоқ шаманың үлестіру заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы ... ... ... ... ... ... ... .14
3 Математикалық статистика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ...19
3.1 Үлестіру параметрлерін бағалау ... ... ...25
3.2 Статистикалық болжамдарды тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
4 Регрессиялық талдау ... ... ... ..29
4.1 Регрессиялық талдау ұғымы ... ... ... .29
4.2 Қос сызықтық регрессия ... ... ... .31
4.3 Ең кіші квадраттар әдісі ... ... ... .33
4.4 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... .36
4.5 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру. Детерминация
коэффициенті ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
4.6 Түсіндіруші айнымалыларды таңдау ... .42
5 Жиындық сызықтық регрессия ... . 43
5.1 Жиындық сызықтық регрессия ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... .43
5.2 Ең кіші квадраттар әдісі ... ... ... ...44
5.3 Түзетілген детерминация коэффициенті ... ... ... ... ... ... ... ..45
6 Мультиколлинеарлық ... ... ..45
6.1 Мультиколлинеарлықты анықтау ... ... ..47
6.2 Мультиколлинеарлықты жою ... ... ...47
7 Автокорреляция ... ... ... ... ... ... ... ... .47
7.1 Автокорреляцияның пайда болуы ... ...47
7.2 Автокорреляцияны айқындау ... ... ... ..49
7.3 Автокорреляцияны жою ... ... ...51
8 Гетероскедастық ... ... ... ... ... ... ... 52
9 Сызықтық емес эконометрикалық моделдер ... ... ... ... ... ...53
9.1 Сызықтық емес эконометрикалық моделдерге мысалдар
және айнымалыларды өрнектеу ... ...53
10 Бір уақытты теңдеулер жүйесі ... ..54
10.1 Құрылымды және келтірілген модель түрлері ... ... ... ... ... .54
Өзін.өзі тексеруге арналған сұрақтар..56
Тестілік тапсырмалар ... ... ... ... .58
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ..85
Қосымша A...86
Қосымша Ә ... .88
Қосымша Б ... 90
Қосымша В ... .91
Қосымша Г..
1 Эконометрикалық моделдер ... ... ...4
1.1 Эконометрика пәні және оның міндеттері ... ... ... ... ... ... ... ..4
1.2 Моделдер ... ... 4
2 Ықтималдықтар теориясы ... ... ... ..6
2.1 Оқиғалар. Оқиғаның ықтималдығы ... ...6
2.2 Кездейсоқ шама ... ... ... ... ... ... ... .7
2.3 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары ... ... ... ... ... ... ..9
2.4 Кездейсоқ шаманың үлестіру заңдары ... ... ... ... ... ... ... ... ..11
2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы ... ... ... ... ... ... ... .14
3 Математикалық статистика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ...19
3.1 Үлестіру параметрлерін бағалау ... ... ...25
3.2 Статистикалық болжамдарды тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... ...28
4 Регрессиялық талдау ... ... ... ..29
4.1 Регрессиялық талдау ұғымы ... ... ... .29
4.2 Қос сызықтық регрессия ... ... ... .31
4.3 Ең кіші квадраттар әдісі ... ... ... .33
4.4 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру ... ... ... ... ... ... ... ... .36
4.5 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру. Детерминация
коэффициенті ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
4.6 Түсіндіруші айнымалыларды таңдау ... .42
5 Жиындық сызықтық регрессия ... . 43
5.1 Жиындық сызықтық регрессия ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... .43
5.2 Ең кіші квадраттар әдісі ... ... ... ...44
5.3 Түзетілген детерминация коэффициенті ... ... ... ... ... ... ... ..45
6 Мультиколлинеарлық ... ... ..45
6.1 Мультиколлинеарлықты анықтау ... ... ..47
6.2 Мультиколлинеарлықты жою ... ... ...47
7 Автокорреляция ... ... ... ... ... ... ... ... .47
7.1 Автокорреляцияның пайда болуы ... ...47
7.2 Автокорреляцияны айқындау ... ... ... ..49
7.3 Автокорреляцияны жою ... ... ...51
8 Гетероскедастық ... ... ... ... ... ... ... 52
9 Сызықтық емес эконометрикалық моделдер ... ... ... ... ... ...53
9.1 Сызықтық емес эконометрикалық моделдерге мысалдар
және айнымалыларды өрнектеу ... ...53
10 Бір уақытты теңдеулер жүйесі ... ..54
10.1 Құрылымды және келтірілген модель түрлері ... ... ... ... ... .54
Өзін.өзі тексеруге арналған сұрақтар..56
Тестілік тапсырмалар ... ... ... ... .58
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ..85
Қосымша A...86
Қосымша Ә ... .88
Қосымша Б ... 90
Қосымша В ... .91
Қосымша Г..
Эконометрика қазіргі заманғы экономикалық білім берудегі негізгі пәндердің бірі. Нақты экономикалық құбылыстарды сандық талдау экономикалық зерттеулердің алдыңғы қатарлы әдістерінің негізін құрайды. Экономикалық құбылыстарды сандық талдау экономистер зерттеулерінде қолданылатын алдыңғы қатарлы әдістер негіздерін, экономикалық қатынастар құрылымын, нарық экономикасының талабына сай ұлттық есептер жүйесінің болуын, сол сияқты экономикалық моделдеуді статистикалық қамтамасыз ету қажеттіліктерін қамтитындықтан, «Эконометрика» пәнін жоғары оқу орындарының оқу бағдарламасына енгізу және ғылыми зерттеулерде эконометрикалық әдістерді қолдану маңызды болып табылады. Ұсынылып отырған оқу-әдістемелік құрал С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университетінің аға оқытушылары Н.М. Исмағұлова мен Т.М. Бергузинованың бірнеше жыл қатарынан аталған университеттің экономикалық мамандықтарының студенттеріне оқылған дәрістер курсы негізінде жазылған.
Аталған оқу - әдістемелік құралы эконометрика пәні бойынша оқулықтар тапшылығына байланысты экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге эконометрикалық әдістер мен моделдер курсын қайталауға мүмкіншілік жасайды.
Аталған оқу - әдістемелік құралы эконометрика пәні бойынша оқулықтар тапшылығына байланысты экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге эконометрикалық әдістер мен моделдер курсын қайталауға мүмкіншілік жасайды.
1 Бородич С.А. Эконометрика. – Минск : Новое знание, 2001. – 408 с.
2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М. : Высшая школа, 2002. – 405 с.
3 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Высшая школа, 1977. – 479 с.
4 Доугерти К. Введение в эконометрику. – Перевод с английского. – М. : Инфра, 2001. – 402 с.
5 Елисеева И.И. и другие. Практикум по эконометрике. – М. : Финансы и статистика, 2002. – 192 с.
6 Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. – М. : Дис, 1997. – 368 с.
7 Колемаев В.А. Эконометрика, 2005. – 160 с.
8 Кремер Н.Ш. Эконометрика. – М. : Юнити, 2004. – 311 с.
9 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Юнити, 2000. – 543 с.
10 Мухамедиев Б.М. Краткий курс лекций по эконометрике.– Алматы: Қазақ университеті, 2003. – 95 б.
2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М. : Высшая школа, 2002. – 405 с.
3 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Высшая школа, 1977. – 479 с.
4 Доугерти К. Введение в эконометрику. – Перевод с английского. – М. : Инфра, 2001. – 402 с.
5 Елисеева И.И. и другие. Практикум по эконометрике. – М. : Финансы и статистика, 2002. – 192 с.
6 Замков О.О. и др. Математические методы в экономике. – М. : Дис, 1997. – 368 с.
7 Колемаев В.А. Эконометрика, 2005. – 160 с.
8 Кремер Н.Ш. Эконометрика. – М. : Юнити, 2004. – 311 с.
9 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Юнити, 2000. – 543 с.
10 Мухамедиев Б.М. Краткий курс лекций по эконометрике.– Алматы: Қазақ университеті, 2003. – 95 б.
Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі
С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
Н.М.Исмағұлова, Т.М.Бергузинова
ЭКОНОМЕТРИКА
Экономика мамандықтарына арналған
оқу - әдістемелік құрал
Павлодар
УДК 519.862.6 (075.8)
ББК 6586я73
Б 44
С.Торайғыров атындағы ПМУ ғылыми кеңесі ұсынған
Пікір білдірушілер:
М.М.Аяшинов − Иновациялық Еуразия университетінің математика
кафедрасының меңгерушісі, физика-математика ғылымдарының кандидаты,
профессор.
Р.А.Хисматуллин − экономика ғылымдарының кандидаты, профессор.
Т.С. Сабыров − физика-математика ғылымдарының кандидаты, профессор.
Б44 Н.М.Исмағұлова, Т.М.Бергузинова
Эконометрика: оқу - әдістемелік құрал. − Павлодар, 2007. – 95 б.
ISBN 9965-583-15-3
Эконометрика пәні бойынша оқу- әдістемелік құралында ықтималдықтар
теориясы, математикалық статистика элементтері, регрессиялық талдау және
экономикалық мамандықтарға арналған есептер беріледі. Оқу - әдістемелік
құрал экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге арналған.
ISBN 9965-583-15-3 УДК 519.862.
(075.8)
ББК 6586я73
© Н.М.Исмағұлова, Т.М.. Бергузинова, 2007
© С.Торайғыров атындағы
Павлодар
мемлекеттік университеті, 2007
Алғы сөз
Эконометрика қазіргі заманғы экономикалық білім берудегі негізгі
пәндердің бірі. Нақты экономикалық құбылыстарды сандық талдау
экономикалық зерттеулердің алдыңғы қатарлы әдістерінің негізін құрайды.
Экономикалық құбылыстарды сандық талдау экономистер зерттеулерінде
қолданылатын алдыңғы қатарлы әдістер негіздерін, экономикалық қатынастар
құрылымын, нарық экономикасының талабына сай ұлттық есептер жүйесінің
болуын, сол сияқты экономикалық моделдеуді статистикалық қамтамасыз ету
қажеттіліктерін қамтитындықтан, Эконометрика пәнін жоғары оқу орындарының
оқу бағдарламасына енгізу және ғылыми зерттеулерде эконометрикалық
әдістерді қолдану маңызды болып табылады. Ұсынылып отырған оқу-
әдістемелік құрал С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік
университетінің аға оқытушылары Н.М. Исмағұлова мен Т.М. Бергузинованың
бірнеше жыл қатарынан аталған университеттің экономикалық мамандықтарының
студенттеріне оқылған дәрістер курсы негізінде жазылған.
Аталған оқу - әдістемелік құралы эконометрика пәні бойынша оқулықтар
тапшылығына байланысты экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге
эконометрикалық әдістер мен моделдер курсын қайталауға мүмкіншілік жасайды.
1 Эконометрикалық моделдер
1.1 Эконометрика пәні және оның міндеттері
Эконометрика жеке ғылыми пән ретінде пайда болу тарихы 100 жыл
шамасында есептеледі. Норвег ғалымы Р.Фриш осы пәнді экономикалық теория,
статистика және математика пәндерінің бірігуі деп анықтады. Экономикадағы
білімдер экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланысты орнатады және
экономикалық теория, моделдер түрінде беріледі. Макро және
микроэкономикалық теориялардың сапалы (сапа жөніндегі) сұрақтарына жауап
береді.
Экономикада ақша ұсынысының артуы пайыздың нақты ставкасына және іскерлік
белсенділігіне әсер ете ме? Тұтыну құрылымын салық ставкасының кемуі қалай
өзгертеді? Мемлекеттік бюджеттің дефициті инфляция және төлемділік
балансының жағдайына қалай әсер етеді?
Аталған сұрақтардың әрқайсысына экономистер теорияға сүйеніп өз
пікірлерін айтады. Сонымен қатар, негізделген шешім қабылдау үшін айтылған
теориялық заңдылықтарды нақты сандық өрнектеу қажет.
Экономикада алуан ішкі және сыртқы байланыстарды бөліп және жекелеп
сипаттау мүмкін емес. Экономикада пайда болатын осындай экономикалық
айнымалылар арасындағы тәуелділіктерді тек қана нақты статистикалық
мәліметтерді өңдеу аркылы алуға болады.
Сонымен, эконометрика дегеніміз экономикалық теория, статистика және
математика ғылымдарына сүйеніп экономикалық құбылыстар мен процестерді
сандық өрнектеу.
Эконометриканың негізгі міндеттері:
− құрылған экономикалық моделді эмпирикалық талдау жүргізу
үшін математикалық түрге келтіру, яғни моделді спецификациялау;
− құрылған модель нақты мәліметтерге адекват болу үшін оның
параметрлерін бағалау, яғни моделді параметрлеу;
− құрылған моделдің параметрлерінің сапасын және моделдің сапасын
тексеру, яғни моделді верификациялау;
− құрылған моделді зерттелініп отырған экономикалық көрсеткіштердің
өзгерісін анықтауға, экономикалық құбылыстарды болжауға, экономикалық
саясатты дұрыс жүргізу үшін пайдалану.
1.2 Моделдер
Экономикадағы заңдылықтар экономикалық көрсеткіштердің арасындағы
байланыстар түрінде айқындалады. Тауардың тұтынуын зерттеу оның y көлемі, p
тауардың бағасына, кірістің деңгейіне, алмастырушы тауардың
бағасына және қосымша тауардың бағасына байланысты
Өндірістік функция экономикадағы Q – өнімінің L еңбек шығынына және
K капиталға тәуелділігін анықтайды.
Осындай қатынастар айнымалылардың өзара байланыстары қандай болатынын
көрсететін модель болып табылады. Жалпы бір айнымалы және n
түсіндіруші айнымалылардан құрылған экономикалық модель
түрінде жазылады, мұнда тәуелді айнымалының нақты мәнінің теориялық
моделмен анықталған мәнінен ауытқуын түсіндіруге арналған кездейсоқ шама.
шамасы моделге кірмейтін басқа факторлардың шамасын анықтайды.
Моделдер әртүрлі функционалдық түрде болуы мүмкін. Сызықтық экономикалық
модель жиі кездеседі.
Сондай – ақ
дәрежелік экономикалық модель. Мұнда статистикалық мәліметтердің
негізінде бағаланатын моделдің параметрлері. Сызықтық және дәрежелік
тәуелділіктерден басқа квадраттық, кубтық, логарифмдік, логистік және басқа
функциялар қолданылады.
Жалпы эконометрикалық модель:
;
регрессия теңдеуі.
Функционалдық тәуелділіктің түрін таңдау моделдің спецификасы, ал
түсіндіруші айнымалылардың құрамын анықтау айнымалылардың спецификасы деп
аталады. Егер моделдің тек қана бір түсіндіруші айнымалысы болса, яғни к =
1, онда ол қос регрессия деп аталады. Егер к 1 болса, онда регрессия
жиындық болады. Эконометрикалық моделдің негізін статистикалық
мәліметтер құрайды.
2 Ықтималдықтар теориясы
2.1 Оқиғалар. Оқиғаның ықтималдығы
оқиғасының ықтималдығыдеп осы оқиғаның пайда болу
мүмкіндігінің сандық өлшемін атайды.
Анықтама оқиғасының ықтималдығыдеп осы оқиғаның пайда
болуына қолайлы оқиғалар (тәжірибелер) санының барлық элементар
оқиғалар (тәжірибелер) санына қатынасын атайды
(1)
Ақиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде пайда болатын
оқиғаны атайды.
Мүмкін емес оқиға деп тәжірибе нәтижесінде пайда болмайтын оқиғаны
атайды.
Кездейсоқ оқиға деп тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да, болмауы да
мүмкін оқиғаны атайды.
Бір уақытта пайда болуы мүмкін емес оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар деп
аталады.
Ықтималдықтың қасиеттері:
1) ;
2) ақиқат оқиға ның ықтималдығы бірге тең: ;
3) мүмкін емес оқиға ның ықтималдығы нөлге тең: ;
4) егер және үйлесімсіз оқиғалар болса, онда ;
5) егер және қарама қарсы оқиғалар болса, онда .
2.2 Кездейсоқ шама
Кездейсоқ шама деп, өзінің мүмкін мәндер жиыиынан бақылау нәтижесінде
алдын-ала белгісіз және кездейсоқ жағдайларға тәуелді бір ғана мән
қабылдайтын шаманы атайды. Кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз болып
екіге бөлінеді. Дискретті кездейсоқ шама тің үлестіру заңы кестемен
берілсе, онда бірінші жол оның мүмкін мәндері, ал екінші жол сәйкес
ықтималдықтары болады.
[pi
c]
[pi
c]
Әдетте . Міндетті түрде
Мысал 1
2 4 5 8 12
0.25 0.30 0.10 0.20 0.15
Айталық - кездейсоқ шама, ал -кез келген нақты сан. Кез
келген -тен кіші мән қабылдайтын- кездейсоқ шаманың ықтималдығын
ықтималдықтың үлестіру функциясы деп атайды.
(2)
Үлестіру функциясының қасиеттері:
1)
2) кемімейтін функция, яғни
3) ,
4)
5)
6) кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері аралығында жататын
болса, онда
1 мысал үшін үлестіру функциясы және оның графигі
Сурет 1
Үздіксіз кездейсоқ шама X- тің ықтималдық тығыздығы деп сол шаманың
үлестіру функциясының бірінші ретті туындысын атайды, яғни
(3)
функциясын атайды.
(4)
Ықтималдық тығыздығының қасиеттері:
1)
2)
3) Егер үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестіру тығыздығы болса, онда
үлестіру функциясы
4) (нормалау шарты).
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін келесі теңдіктер орындалады.
2 және 3 суреттерде үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және
ықтималдық тығыздығы бейнеленген.
Сурет 2
Сурет 3
2.3 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық мүмкін
мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтіндісінің қосындысын атайды.
, (5)
мұнда - кездейсоқ шама -тің мәндерінің саны.
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
. (6)
1 мысалдағы кездейсоқ шама үшін
.
Математикалық үміттің қасиеттері:
1) , мұнда С- тұрақты шама;
2)
3)
4) , мұнда - тұрақты шамалар;
5) Тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін .
кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп кездейсоқ шаманың
математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін атайды.
Ықшамдалған формула
. (7)
Дискретті кездейсоқ шама үшін
. (8)
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
(9)
1 мысалдағы кездейсоқ шама үшін
Дисперсияның қасиеттері:
1)
2) тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса,
3)
4) кез келген кездейсоқ шамалар болса,
Орташа квадраттық (сандартты) ауытқу деп, дисперсияның квадрат
түбірінің арифметикалық мәнін атайды және былай белгілейді
(10)
2.4 Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары
Көптеген кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдарын білу арқылы олардың
анықталған интервалда мән қабылдау ықтималдығын болжауға болады. Үлестіру
заңдары өте көп. Біз тек қана экономикалық талдауда жиі кездесетін үлестіру
заңдарын қарастырамыз. Оларға жататын: қалыпты үлестіру заңы, (хи -
квадрат), Стьюдент, Фишер үлестірулері.
Қалыпты үлестіру. Үлестіру тығыздығы
(11)
түрінде берілген кездейсоқ шама қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама
деп аталады. Қалыпты үлестірудің үлестіру функциясы
(12)
Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың тығыздығы және үлестіру
функциясының графиктері 4 және 5 суреттерде көрсетілген.
Сурет 4
Сурет 5
(11) және (12) формулаларынан қалыпты үлестіру және σ
параметрлерімен анықталады және олардан тәуелді
Егер қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама болса, онда
келесі символмен ~ , ~ деп жазуға болады. Қалыпты
үлестірудің маңызды дербес жағдайы , стандартты қалыпты үлестіру деп
аталады. Стандартты қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама ~ деп
белгіленеді.
(13)
Көп жағдайда практикалық есептеулерде мәндері кестемен берілген
Лаплас функциясы қолданылады.
(14)
Бұл кестені кез келген қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалар
үшін келесі ықтималдықтарды есептеуге пайдалануға болады
(15)
Егер
(хи - квадрат) үлестіруі. - тәуелсіз қалыпты үлестірілген
кездейсоқ шамалар.және сәйкесінше математикалық үміттер, орташа
квадраттық ауытқулар, яғни Онда , тәуелсіз қалыпты үлестірілген
стандартты кездейсоқ шамалар болады, . Кездейсоқ шама, n еркіндік
дәрежелі хи – квадрат үлестіруі болады, егер
(16)
Еркіндік дәрежесін деп белгілейміз, қосындылар құрамына
кіретін кездейсоқ шамалар саны, ал кездейсоқ шамаларды
байланыстыратын сызықтық теңдеулер саны. ( хи – квадрат) кездейсоқ
шаманың еркіндік дәрежесі санымен анықталады. Олай болса, Хи –
квадрат үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы:
Егер және тәуелсіз үлестірілген еркіндік
дәрежелері және кездейсоқ шамалар болса , онда олардың
қосындысы да еркіндік дәрежесі -ға тең үлестірілген
кездейсоқ шама болады. үлестіруі статистикалық болжамдарды тексеруде
интервалдық бағаларды табу үшін қолданылады.
Стьюдент үлестіруі. Айталық кездейсоқ шама, ал V- еркіндік
дәрежесі , - дан тәуелсіз үлестірілген кездейсоқ шама
болсын. Онда
(17)
еркіндік дәрежелі Стьюдент үлестіруі (-үлестіруі ) деп аталады,
яғни (~). (17) формуладан Стьюдент үлестіруі тек қана бір
параметр, яғни еркіндік дәрежесімен анықталатынын көруге болады.
Стьюдент үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы:
Фишер үлестіруі. еркіндік дәрежелері және тәуелсіз
үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, онда шама
(18)
еркіндік дәрежелері және Фишер үлестіруі деп аталады.
Олай болса, Фишер үлестіруі екі параметрмен анықталады, яғни
және еркіндік дәрежелерімен. Стьюдент үлестіруінің математикалық
үміті және дисперсиясы:
және нің үлкен мәндерінде Фишер үлестіруі қалыпты үлестіруге
ұқсайды. Фишер үлестіруі дисперсиялық және регрессиялық талдауда
статистикалық болжамдарды тексеруге пайдаланылады.
2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы
Көптеген экономикалық көрсеткіштер бірнеше сандармен анықталады, яғни
көпөлшемді кездейсоқ шамалар болып табылады. Экономикалық көрсеткіштердің
бірқатар мәндері басқа көрсеткіштердің мәндерін анықтайды.
Сондықтан экономикалық талдаудың басты міндеттерінің бірі-
экономикалық көрсеткіштерді анықтау және олардың арасындағы байланысты
көрсету. (нақты кездейсоқ шамалар арасында).
Мысалы: кіріс пен тұтыну арасындағы; тауар сұранымы және тауар бағасы
арасындағы; инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі арасындағы; жалпы
ұлттық өнім және тіршілік деңгейі арасындағы байланыстар.
Дербес жағдайда екі кездейсоқ шама арасындағы тәуелділікті орнату
үшін екіөлшемді ықтималдықтар қарастырылады. және кездейсоқ
шамалары дискретті үлестіру кестесімен берілсе
Мұнда – бір уақытта кездейсоқ шама , ал
кездейсоқ шама мәндерін қабылдау ықтималдығы, яғни қос
мәнінің пайда болу ықтималдығы
тің кез келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы жатық
жолының ықтималдықтарының қосындысына тең
тің кез-келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы тік
жолының ықтималдықтарының қосындысына тең
және кездейсоқ шамаларының сәйкесінше математикалық үміттері:
Сол сияқты және кездейсоқ шамаларының дисперсиялары:
Үздіксіз екіөлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және
ықтималдықтар тығыздығы:
Біріккен үлестіру функциясы
Біріккен ықтималдық тығыздығы
Тәуелсіз кездейсоқ шамалар
Егержәне кездейсоқ шамалары үшін
теңдігі орындалса, онда мұндай кездейсоқ шамаларды тәуелсіз деп атайды.
Тәуелсіз және кездейсоқ шамалары үшін келесі қатынастардың кез
келгені орындалады.
Ковариация және корреляция коэффициенті. Кездейсоқ шамалардың өзара
байланысын талдауда ковариация және корреляция коэффициенті қолданылады.
ретті орталық момент деп
шамасын атайды. және кездейсоқ шамаларының байланысын анықтау
үшін және кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталатын
орталық моментін қолданамыз.
Ковариация және кездейсоқ шамаларының байланысының
абсолюттік өлшемі болады. Дискретті кездейсоқ щама үшін
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
Ковариацияның қасиеттері:
1)
2)
3) егер және тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда
4)
5)
және кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп
келесі формуламен анықталатын шаманы атайды
Егер болса, онда және кездейсоқ шамаларының арасында
корреляциялық байланыс жоқ, ал егер болса, корреляциялық байланыс
бар.
Корреляция коэффициентінің қасиеттері:
1)
2)
3)
4) егер және кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда
5) егер болса, (яғни және кездейсоқ шамаларының
арасында сызықтық тәуелділік бар). Егер және кездейсоқ шамалары
тәуелді болса, онда
Мысал 2 Көп жылдар бойы екі компанияға салынған инвестиция
нәтижелерін бақылау бойынша және - жылдық дивидендтер
өлшемдерінің үлестіру заңы құрылған. Әр кездейсоқ шаманың маргиналды
үлестіру заңын жазып, олардың арасындағы байланысты анықтаңыздар.
Ковариация және корреляция коэффициенттерін есептеңіз, екі компанияның
біреуіне немесе екеуіне де бірдей мөлшерде инвестиция салу тәуекелін
есептеп, тиімді жағдайды анықтаңыз.
-10 5 10
Y
X
0.05 0.25 0.3 0.6
-10
20 0.15 0.20 0.05 0.4
20
0.2 0.45 0.35
және кездейсоқ шамаларының үлестіру заңдары
Y -10 5 10
0.20 0.45 0.35
X -10 20
0.6 0.4
,
ендеше және кездейсоқ шамалары тәуелді.
және кездейсоқ шамалары арасындағы байланыс ковариациямен
анықталады.
.
және кездейсоқ шамаларының арасында теріс тығыз емес
сызықтық байланыс бар деп айтуға болады. Инвестиция тәуекелін дивидендтер
мәнінің шашылуына байланысты кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бойынша
есептеуге болады.
олай болса бірінші компанияға инвестиция салу екінші компанияға қарағанда
тиімді емес. деп, екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция
салуда дивидендтер өлшемін белгілейік. Ендеше .
осыдан қарастырылған үш жағдайдан екі компанияға бірден бірдей
мөлшерде инвестиция салған тиімді екенін көреміз.
3 Математикалық статистика элементтері
Нақты экономикалық құбылыстарды әртүрлі көрсеткіштер бойынша
зерттеуде өте көп статистикалық мәліметтерді өңдеуге тура келеді.
Статистикалық мәліметтер құрылымы бойынша кездейсоқ шамалар болып табылады.
Көп жағдайда параметрлердің сандық мәндерін бағалау үшін бірнеше рет болжам
қоюға және оларды тексеруге тура келеді. Әртүрлі факторлар арасындағы
тәуелділікті орнату және тәуелділіктің шамасын анықтау қажет.
Статистикалық мәліметтер дегеніміз жүргізілген байқаулардың,
тәжірибелердің қорытындысы. Математикалық статистиканың негізгі
міндеттерінің бірі статистикалық мәліметтердің заңдылықтарын айқындап,
оларға сәйкес экономикалық модель құру және шешімдер қабылдау.
Математикалық статистиканың бірінші міндеті байқаулар, тәжірибелер арқылы
алынған мәліметтерді жинастырып, топтастыру әдістерін көрсету. Ал екінші
міндеті статистикалық мәліметтерді алға қойған мақсатқа байланысты талдау
жасау әдістерін табу.
Бас жиынтық және таңдама. Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен
бірігетін барлық қарастырылып отырған объектілер жиынын атайды. Жеке объект
осы жиынның элементі болады. Егер бір кәсіпорынды алатын болсақ, онда жеке
жұмысшы объект болады да, ал кәсіпорынның барлық жұмысшылары бас жиынтық
болады. Бас жиынтықтағы объектілер саны ақырлы немесе ақырсыз көп сан
болуына байланысты бас жиынтық шектелген және шектелмеген болып екіге
бөлінеді.
Таңдама дегеніміз бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер
жиынтығы. Бас және таңдама жиынтықтағы объектілер саны олардың көлемі деп
аталады. Бас жиынтықтың көлемі үлкен болса, түгелдей тексеру мүмкін емес.
Егер зерттелініп отырған объектілер жиыны жойылуға жататын (өзіндік құнын
жоғалтуына байланысты), немесе практикада өте көп материалдық шығындарды
қажет ететін болса, онда толық талдаудың мәні болмайды. Бас жиынтық
жөніндегі тұжырым дұрыс болуы үшін бөлініп алынған таңдама бас жиынтық
туралы жан-жақты сипаттама беруге тиіс. Экономикалық процестерді болжауда,
олардың тиімді шешімін табуда таңдаманы құрудың үлкен мағынасы бар.
Таңдаманы құру әдістері:
1) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап етпейтін таңдау:
қайталамалы және қайталанбайтын таңдамалар. Бөліп алынған таңдама
зерттелініп болғаннан кейін бас жиынтыққа қайта қосылатын болса таңдама
қайталамалы, ал қосылмайтын болса таңдама қайталанбайтын деп аталады;
2) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап ететін таңдау: типтік,
механикалық, сериялық таңдаулар.
Типтік таңдауда бас жиынтық типтес бөліктерге бөлінеді де, әр
бөліктен тәуекелге бір-бірден объект таңдап алынады.
Механикалық таңдауда, бас жиынтық механикалық түрде қанша объекті
таңдамаға кіретін болса, сонша бөлікке бөлінеді де, әрбір бөліктен бір-
бірден объект таңдап алынып таңдама құрылады.
Бас жиынтық алдын-ала өзара қиылыспайтын бірнеше серияға бөлінеді
де, ол сериялардың біреуі кездейсоқ таңдап алынса, онда осы серияның барлық
элементтері таңдама жиынтық құрады.
Таңдаманың статистикалық үлестіруі. Бас жиынтықтан көлемі
болатын таңдама бөлініп алынды делік. Оларды -тің мәндерінің өсу
ретіне байланысты деп жазамыз. Бақылау бойынша элементі
рет, элементі рет, тағы сол сияқты элементі рет
пайда болсын, мұндағы , онда тәжірибелер нәтижесінде алынған -
варианталар, ал тізбегі вариациялық қатар деп аталады. - сәйкес
варианталардың жиіліктері, - варианталардың салыстырмалы жиіліктері,
мұндағы , .
Таңдаманың статистикалық үлестіруі деп варианталар мен, олардың
жиіліктерінің немесе салыстырмалы жиіліктерінің арасындағы өзара бір мәнді
сәйкестікті атайды. Таңдаманың құлашы деп, оның ең үлкен және ең кіші
варианталарының айырымын айтады. Вариациялық қатар дискретті және үздіксіз
болып екіге бөлінеді. Вариациялық қатар дискретті деп аталады, егер шаманың
мәндері бір бірінен кемінде кейбір тұрақты санға өзеше болса. Егер шама
интервалдар тізбегімен және оларға сәйкес жиіліктерімен берілетін болса
(интервал жиілігі осы интервалға кіретін варианталардың жиіліктерінің
қосындысы), онда вариациялық қатар үздіксіз деп аталады.
Статистиклық қатар бойынша эмпирикалық үлестіру функциясын құруға
болады.
Эмпирикалық үлестіру функциясы. Эмпирикалық үлестіру функциясы деп
әрбір -тің мәні үшін оқиғасының салыстырмалы жиілігін атайды.
,
мұндағы кездейсоқ шама жиілігі, таңдама көлемі.
Анықтама бойынша функциясының қасиеттері:
1)
2) кез келген үшін
3) егерболса, егер болса.
Таңдаманың сандық сипаттамалары. көлемі N саны болатын бас
жиынтық болсын.
Анықтама 1
Бас орта деп бас жиынтық обьектілерінің арифметикалық ортасын атайды
және деп белгілейді
Анықтама 2
Бас дисперсия деп бас жиынтық қабылдайтын барлық мүмкін мәндерінің
бас ортасынан ауытқуының квадратының арифметикалық ортасын атайды және
деп белгілейді
Анықтама 3
Бас дисперсияның квадрат түбірі бас орташа квадраттық ауытқу деп
аталады.
– көлемі n саны болатын таңдама жиынтық болсын. Таңдаманың
ортасы, таңдаманың дисперсиясы, таңдаманың орташа квадраттық ауытқуы келесі
формулалармен анықталады.
мұнда
Дисперсияны есептеудің ықшамдалған формуласы
Полигон және гистограмма. Статистикалық үлестіруді толық түсіну үшін,
оларды полигон және гистограммамен көрсетуге болады. Бұл екі ұғымның
экономикалық процесстерді зерттеуде үлкен маңызы бар. Полигон жиіліктің
және салыстырмалы жиіліктің полигоны болып екіге бөлінеді. Жазықтықта
нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болған көпбұрыш жиілік
полигоны деп аталады. Салыстырмалы жиілік полигоны деп жазықтықта
нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болатын көпбұрышты атайды. Жиілік
гистограммасы деп табандары h, биіктігі (жиілік тығыздығы) болатын
тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды. Салыстырмалы жиілік
гистограммасы деп табандары h, биіктігі (салыстырмалы жиілік
тығыздығы) болатын тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды.
Мысал 2 Кейбір тауардың 50 күн ішінде күнделікті сатылған көлемі
талданып, келесі мәліметтер алынған.
5,6,3,2,7,7,6,6,6,4,5,6,3,9,7,4,6,7 ,8,8,5,5,4,3,6,6,7,7,8,8,6,4,5,6,7,
7.8,9,5,6,4,2,7,8,7,9,5,6,9,5.
a) статистикалық қатар құрыңыз;
ә) таңдаманың құлашын есептеңіз;
б) эмпирикалық функция құрып, графигін салыңыз;
в) таңдаманың ортасын, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын
анықтаңыздар.
a) статистикалық қатар
2 3 4 5 6
Y 10 7 8 5 3
, ,
,
, .
және шамаларының арасында теріс тығыз сызықтық тәуелділік
бар деп тұжырым жасауға болады.
3.1 Үлестіру параметрлерін бағалау
Бас жиынның сандық белгісін білу үшін, оның үлестіру заңы белгілі
болған жағдайда үлестіру параметрлерін бағалау керек. Дискретті немесе
үздіксіз сандық сипатты үлестіруінің белгісіз параметрін деп
белгілейік. Оның таңдама арқылы табылатын бағасы болсын. Әртүрлі
таңдама алған сайын өзгеріп отыратын болғандықтан - кездейсоқ
шама болады.
Анықтама 4
Егер болса, онда жылжымаған баға деп аталады.
Анықтама 5
Егер болса, онда орнықты баға деп аталады, бұл жерде
- таңдама көлемі.
Анықтама 6
– параметрінің бағасы тиімді баға деп аталады, егер оның
дисперсиясы басқа көлемі тұрақты альтернативті таңдамалардың
дисперсияларына қарағанда кіші болса.
Таңдама арқылы бірден табылатын нүктелік бағалар. Нүктелік баға деп
бір санмен анықталатын бағаны атайды.
Сөйлем 1 Бас ортаның жылжымаған және орнықты нүктелік бағасы
таңдаманың ортасы болады.
Сөйлем 2 Бас дисперсияның жылжыған бағасы таңдаманың дисперсиясы
болады, ал жылжымаған бағасы таңдаманың түзетілген дисперсиясы
болады.
, - таңдама көлемі, – таңдаманың
дисперсиясы.
Интервалдық бағалар. Бір санмен ғана анықталатын нүктелік баға
таңдаманың көлемі аз болғанда, өрескел қателерге әкелуі мүмкін. Сондықтан
бас жиынның белгісіз параметрінің интервалдық бағасын, яғни параметрі
жататындай интервалын белгілі бір сенімділікпен айқындау мәселесін
қарастырайық.
Анықтама 7
параметрінің бағасы бойынша сенімділік ықтималдығы деп
теңсіздігінің орындалу ықтималдығы - ны атайды, яғни
, бұл жерде бағаның дәлдігі.
Анықтама 8
интервалын сенімділікпен алынған сенімділік интервалы деп
атайды.
, ,
, яғни параметрі интервалында жату ықтималдығы
ға тең.
Қалыпты үлестірудің белгілі болса, оның математикалық үміті
санын бағалаудың сенімділік интервалы
бағалау дәлдігі, сенімділік, мәнін
теңдігін пайдаланып екінші қосымшадан табамыз.
Қалыпты үлестірудің белгісіз болған жағдайда математикалық
үмітінің сенімділік интервалы. Таңдама бойынша кездейсоқ шама құрамыз.
Стьюдент үлестіруі, еркіндік дәрежесі
таңдаманың ортасы, түзетілген орташа квадраттық ауытқу,
таңдама көлемі.
сенімділік интервалы
B қосымшадағы Стьюдент кестесінен және бойынша
мәнін табамыз. Қалыпты үлестірудің бас орташа квадраттық ауытқуын
бағалаудың сенімділік интервалы
теңсіздігін түрлендірсек
, , алып
q-мәнін және бойынша (хи - квадрат) үлестіруінің
қосымшасынан табамыз, ал S мәнін таңдама бойынша есептейміз. Мысал.
қалыпты үлестірілген сандық сипатты белгі, көлемі орташа квадраттық
ауытқуы . сенімділікпен бас жиынның орташа квадраттық ауытқуын
бағалаудың сенімділік интервалын есепте.
Ә қосымшадан мәндеріне сәйкес табамыз.
0,8 (1- 0,32) 0,8 (1+ 0,32)
0,544 1,056
3.2 Статистикалық болжамдарды тексеру
Негізгі ұғымдар. Болжамды тексерудің жалпы схемасы
Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестіру түрі немесе
үлестіру параметрлері туралы алдын-ала жасалатын болжамды атайды.
Статистикалық болжам таңдаманың көмегімен тексеріледі. Алдымен нөлдік
болжам деп аталатын, тексерілуге тиіс болжамы қарастырылады. Бұл
болжамға қарсы болжамды альтернативті деп атап, әріпімен белгілейміз.
Мысалы үлестірудің белгісіз параметрі туралы нөлдік болжам былай
болса, онда . Статистикалық болжамды тексеру барысында екі түрлі
қате жіберуіміз мүмкін.
Бірінші текті қате – болжамы жоққа шығарылып болжамы
қабылданады, бірақ негізінде дұрыс.
Екінші текті қате – болжамын қабылдаймыз, бірақ негізінде
болжамы дұрыс.
Анықтама 9
Бірінші текті қате жіберу ықтималдығын маңыздылық деңгейі дейміз де,
әріпімен белгілейміз.
Анықтама 10
Екінші текті қате жіберу ықтималдығын деп белгілейміз, сонда
екінші текті қате жібермеу ықтималдығы критерийдің қуаты деп аталады.
Тексеру критерийлері. Кризистік аймақтар (облыстар)
Статистикалық болжам таңдаманың мәліметтері негізінде тексеріледі. Ол
үшін үлестіру заңы белгілі статистикалық критерий деп аталатын
кездейсоқ шамасы қарастырылады. Бұл шама немесеқалыпты, (хи-
квадрат), Фишер, Стьюдент үлестірулерімен берілуі мүмкін. Тексеру
критерийінің мүмкін мәндері екі жиынға бөлінеді: олардың біреуінде нөлдік
болжам орындалады да, екіншісінде орындалмайды. Нөлдік болжам орындалмайтын
критерийдің мәндер жиыны кризистік аймақ деп аталады. Нөлдік болжам
орындалатын критерийдің мәндер жиыны болжам қабылданатын аймақ деп аталады.
Статистикалық болжамдарды тексерудің негізгі қағидалары:
Таңдаманың (эмпирикалық) белгілі мәліметтеріне сүйене отырып, критерийдің
бақыланатын мәні К анықталады. Берілген маңыздылық деңгейінде К
үлестіруінің кризистік нүктелерінің кестесінен критерийдің сындық мәні
анықталады. Егер К критерийдің бақыланатын мәні кризистік аймақта
жататын болса, онда нөлдік болжам жоққа шығарылады. Егер К критерийдің
бақыланатын мәні болжам қабылданатын аймақта жататын болса, онда нөлдік
болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ (қабылданады).
Кризистік аймақтың орналасуының үш варианты бар:
Оң жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады
Сол жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады
Екі жақты кризистік аймақ және мұнда , нүктелері
келесі шарттармен анықталады , .
4 Регрессиялық талдау
4.1 Регрессиялық талдау ұғымы
Экономика өздік ғылым болып қалыптасқаннан бері зерттеушілер
экономикалық дамудың болжамдарын көрсету арқылы экономикалық жағдайларға
ықпал етуге тырысты. Бір түрлі экономикалық жағдай дәл солай екінші рет
қайталанбайды деп айтуға болады, себебі бір шартта екі стратегияны қолдану
мүмкін емес. Сондықтан экономикалық талдаудың негізгі міндеттерінің бірі
экономикалық объектінің дамуын болжау.
Кез келген экономикалық көрсеткіш көптеген факторларға тәуелді.
Экономикалық модель құруда олардың бәрін қамту мүмкін емес. Әдетте
зерттелініп отырған экономикалық көрсеткішке нақты әсер ететін шектелген
факторлар алынады, ал ескерілмеген факторлар экономикалық көрсеткіштерге
ауытқулар енгізбейді. Нақты ғылымдарда көбіне функционалдық тәуелділік
қарастырылады, яғни тәуелсіз айнымалының бір мәніне тәуелді айнымалының бір
мәні сәйкес болады. Экономикалық айнымалылар арасында ондай тәуелділік жоқ.
Мысалы: кіріс пен тұтыну арасында, баға мен сұраныс арасында, еңбек
өнімділігі және жұмыс стажы арасында қатал тәуелділік жоқ.
Статистикалық тәуелділік
Анықтама 11
Егер кездейсоқ шамасының әрбір мүмкін мәніне кездейсоқ
шамасының мүмкін мәндерінің жиыны, яғни статистикалық үлестіруі сәйкес
болса, онда мұндай тәуелділік статистикалық тәуелділік деп аталады.
Анықтама 12
кездейсоқ шамасының шартты орташа мәні деп болғандағы
шамасының қабылдайтын мүмкін мәндерінің арифметикалық ортасын атайды.
Мысалы. болғанда, мәндері
шартты орташа.
Анықтама 13
Егер бір кездейсоқ шама өзгергенде екінші кездейсоқ шаманың орта мәні
өзгерсе, онда мұндай статистикалық тәуелділікті корреляциялық тәуелділік
деп айтады. Сонымен және кездейсоқ шамаларының арасындағы
корреляциялық байланыс мына формуламен беріледі
(1)
(2)
, шартты математикалық үміттер. (1),(2) – моделдік
регрессия теңдеулері деп аталады. Оларды табу үшін екі өлшемді
кездейсоқ шаманың үлестіру заңын білу керек.
Жалпы регрессиялық моделдер. Регрессиялық модель жалпы түрде былай
жазылады:
- кездейсоқ фактор.
Моделде кездейсоқ фактор болу себептері:
1) Моделге барлық түсіндіруші айнымалылардың кірмеуі.
Кез келген регрессиялық модель нақты жағдайдың жеңілдетілген түрі
болып табылады.
Мысалы, тауарға сұраныс, тауардың бағасы, осы тауарды
алмастырушы тауардың бағасы, осы тауарды толықтырушы тауардың бағасы,
тұтынушының кірісі, тұтынушылар саны, тұтынушылар талғамы,
тағы сол сияқты факторлар.
Бұл мысалда салт дәстұр, ұлттық және діни ерекшеліктері,
географикалық орыны, ауа райы және көптеген факторлар есептелмейді, яғни
2) Моделдің функционалдық түрін дұрыс таңдай алмау, зерттелініп
отырған процесті дұрыс білмеу немесе оның жиі өзгеруіне байланысты моделдеу
функциясын дұрыс таңдай алмау.
3) Айнымалылардың күрделілігі. Көптеген моделдерде әрбір айнымалы
күрделі бірнеше жай айнымалыларға тәуелді.
4) Өлшеу қателері. Модель қаншалықты сапалы болса да эмпирикалық
мәліметтерге сәйкес келмейтін өлшеу қателері кездеседі.
5) Статистикалық мәліметтердің шектеулігі. Көбіне модель үздіксіз
функция арқылы құрылады, ол үшін дискретті құрылымдағы мәліметтер
қолданылады. Осындай айқыштық ауытқуына әсер етеді.
6) Адам факторын алдын-ала білмеу. Модель сапалы құрылса да, адам
баласының ерекшеліктерін болжау мүмкін емес.
Зерттеу мақсатына және эмпирикалық мәліметтерге сәйкес сапалы
регрессиялық модель құру күрделі және көп сатылы процесс. Оны үш сатыға
бөлуге болады:
1) регрессия теңдеуінің түрін таңдау;
2) регрессия теңдеуінің параметрлерін анықтау;
3) регрессия теңдеудің сапалылығын талдау және моделдің эмпирикалық
теңдеулеріне адекват екенін тексеру.
4.2 Қос сызықтық регрессия
Сызықтық регрессия моделі экономикалық айнымалылар арасындағы
тәуелділікті көрсетеді және жиі қолданатын моделге жатады. Сызықтық
регрессия тәуелді айнымалы - тің математикалық үміті және бір
түсіндіруші айнымалы (- тәуелсіз айнымалының ші бақылаудағы
мәні ) арасындағы сызықтық функция.
(3)
Әрбір дің оның математикалық үмітінен ауытқуын еске алып, (3) теңдеуін
былай жазамыз
(4)
(4) – теориялық сызықтық регрессия моделі деп аталады; регрессияның
теориялық параметрлері (теориялық коэффициенттері); кездейсоқ
ауытқулар.
Жалпы түрде сызықтық регрессиялық модель былай жазылады
(5)
Сызықтық регрессиялық талдау есебі: және айнымалылары үшін
белгілі статистикалық мәліметтер бойынша
а) коэффициенттерінің ең жақсы бағаларын табу;
ә) моделдің параметрлері туралы статистикалық болжамдарды тексеру;
б) статистикалық мәліметтермен модель қаншалықты үйлесімді, яғни
берілген мәліметтерге модель адекват бола ма?
Көлемі шектелген таңдама бойынша сызықтық регрессияның эмпирикалық
теңдеуін жазайық
(6)
мұнда шартты математикалық үміт бағасы, эмпирикалық
коэффициенттер, белгісіз параметрлердің бағалары.
(7)
– ауытқуы теориялық кездейсоқ ауытқу дің бағасы. Бас жиынтық пен
таңдаманың көлемдері әртүрлі болғандықтан ылғи да -эмпирикалық
коэффициенттердің теориялық коэффициенттерден айырмашылығы болады.
Берілген таңдама мәліметтерін пайдаланып коффициенттерінің
бағаларын тауып, бақылау бойынша алынған нүктелер
түзуіне жақын орналасатындай түзудің теңдеуін анықтау керек. Бір бас
жиынтықтан алынған әртүрлі таңдамалар бойынша бір – бірінен айырмашылығы
бар әртүрлі бағалар табылады.
Сурет 6
коэффициенттерін табудың ең көп таралған және теориялық негізделген
әдісі ең кіші квадраттар әдісі болып табылады. Бұл әдіс келесі қосындының
минимум мәнін табуға негізделген және есептеуге ыңғайлы қарапайым әдіс.
4.3 Ең кіші квадраттар әдісі
Берілген таңдама бойынша регрессияның эмпирикалық теңдеуінің
коэффициенттері ді анықтайық. Бұл жағдайда келесі функцияның минимум
мәнін іздейміз.
Сурет 7
(8)
функциясы параметрлерінің квадраттық функциясы, себебі ()
бақылау бойынша белгілі сандар. Екі айнымалының функциясының
экстремум мәні болуының қажетті шартын пайдаланып, функцияның белгісіз
параметрлері бойынша алынған дербес туындыларын нөлге теңестірейік.
(9)
(10)
(10) жүйесінің теңдеулерін санына бөліп,
(11)
мұнда
олай болса, ең кіші квадраттар әдісі бойынша белгісіз параметрлер бағасы
және (11) формулаларымен анықталады.
(12)
немесе
коэффициентін түрлендіріп
(13)
мұнда таңдаманың корреляция коэффициенті; стандарттық
ауытқулар, таңдаманың ковариациясы. Олай болса, регрессия
коэффициенті ковариация және корреляция коэффициенттеріне пропорционал.
Ендеше корреляция коэффициенті белгілі болса, (13) формуланы пайдаланып қос
сызықтық регрессия коэффициентін табуға болады. Егер тің ке
регрессиялық теңдеуінен , осы эмпирикалық мәліметтер үшін тің
ке регрессиялық теңдеуі () белгілі болса, онда
(14)
және коэффициенттері келесі формуламен анықталады
(15)
Мысал 4 Бірнеше өндіріс орынынан шығарылатын өнім көлемі және оған
жұмсалатын өндірістік шығынды бақылау нәтижесінде екі қатар мәліметтер
алынған. Жұмсалған шығынның өнім көлеміне тәуелділігін сипаттайтын
регрессия теңдеуін жазу керек. Статистикалық мәліметтер төмендегі кестемен
берілген.
Бақылау Өндіріс Өнім
номері шығыны, көлемі [pic
y, мың x, мың ]
теңге дана
1 68.80 45.10 3102.88 2034.01 66.68
2 61.20 41.30 2527.56 1705.69 62.61
3 59.90 38.70 2318.13 1497.69 59.82
4 56.70 36.50 2069.55 1332.25 57.46
5 55.00 36.20 1991.00 1310.44 57.13
6 54.30 32.40 1759.32 1049.76 53.06
7 49.30 28.10 1385.33 789.61 48.44
Барлығы 405.20 258.30 15153.77 9719.45 405.20
Орта 57.89 36.90 2164.82 1388.49 57.89
мәні
Жұмсалған шығынның өнім көлеміне тәуелділігін сипаттайтын регрессия
теңдеуі мынадай
Шығарылатын өнім көлемін бір мың данаға арттыратын болсақ өндірістік
шығын 1070 мың теңгеге артады.
4.4 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру
Ең кіші квадраттар әдісінің алғы шарттары (Гаусс-Марков шарттары)
1) барлық бақылаулар үшін кездейсоқ ауытқудің математикалық
үміті нөлге тең ;
2) кез келген және бақылаулары үшін кездейсоқ ауытқулар
дисперсиясы тұрақты ;
3) кездейсоқ ауытқулар және, үшін бір-біріне
тәуелсіз;
4) кездейсоқ ауытқулар түсіндіруші айнымалылардан тәуелсіз ;
5) модель параметрлер арқылы сызықтық тәуелсіз.
Гаусс-Марков теоремасы
Егер 1-5) алғы шарттар орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі
бойынша табылған бағалар келесі қасиеттерге ие болады:
- бағалар жылжымаған болады, яғни
Бұл шартынан шығады және регрессия түзуін анықтауда ұдайы қате жоқ
екенін көрсетеді;
- бағалар орнықты, себебі бақылаулар саны өскенде бағалардың
дисперсиясы нөлге ұмтылады
Басқаша айтқанда таңдаманың көлемі өсуіне байланысты бағалау дәлдігі
өседі.
- баға тиімді, яғни параметрлердің басқа бағаларына қарағанда
дисперсиясы ең кіші баға болып табылады.
Егер 2 және 3 алғышарттар орындалмаса, яғни ауытқулар дисперсиясы
тұрақты емес және бір –бірімен байланысты болса, онда бағалар
жылжымаған және орнықты болу қасиеттері сақталады, бірақ баға тиімді
болмайды. Классикалық сызықтық регрессиялық модель құруда көрсетілген алғы
шарттардан басқа бірнеше ұйғарым жасалады. Мысалы
– түсіндіруші айнымалылар кездейсоқ шама болмайды;
– кездейсоқ ауытқулар қалыпты үлестірілген;
– бақылаулар саны түсіндіруші айнымалылар санына қарағанда едәуір
үлкен;
– спецификациялау қатесі жоқ;
– жетілген мультиколлинеарлық жоқ.
Сызықтық регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің интервалдық бағасы.
Ең кіші квадраттар әдісінің негізгі алғы шарттары математикалық үміті нөлге
тең, дисперсиясы тұрақты ауытқуларының қалыпты үлестіруі туралы
болжам болып табылады, яғни ~ . Бұл болжамның нақтылығы
ықтималдықтар теориясындағы белгілі орта шектік теоремаға негізделген. Егер
кездейсоқ шама көптеген (бірнеше) тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысына
тең және әрбір қосылғыштың қосындыға әсері шамалы болса, онда қарастырып
отырған кездейсоқ шама қалыпты үлестіруге жатады. Бірақ кездейсоқ
ауытқулары моделге кіргізілмеген тәуелсіз айнымалылардың шамаларына әсерін
көрсетеді. Әдетте осындай айнымалылар саны өте көп, бірақ олардың жеке
әсері өте аз. Сондықтан кездейсоқ ауытқуларды қарастыруда орта шектік
теореманың шарттары толық орындалады деп айтуға болады. кездейсоқ
шамалары қалыпты үлестірілген деп тұжырым жасауға болады, яғни Онда
ол тұжырым тек қана және сызықтық регрессия теңдеуінің
және коэффициенттерінің сызықтық жылжымаған нүктелік бағалары ғана
емес, сонымен қатар дәлдік кепілдігін беретін олардың интервалдық бағаларын
табуға мүмкіндік береді. Жоғарыда көрсетілген болжамдар, және
кездейсоқ шамалары қалыпты үлестірілген деп айтуға мүмкіндік береді.
Шынында да, бізге белгілі болғандай, қалыпты үлестірілген кездейсоқ
шамалардың сызықтық комбинациясы қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама деп
айтуға болады. және мына түрде жазылуы мүмкін:
мұндағы - тұрақты сандар. Басқаша айтқанда, және ,
арқылы -дің сызықтық функциялары болып табылады. Осыған сәйкес,
және -де қалыпты үлестірілген. Алдында айтылғандай .
(16)
мұнда . Ендеше,
Жоғарыда көрсетілгендей статистика
(17)
еркіндік дәрежесі , Стьюдент үлестіруі болады. Әрі қарай - тік
сенімділік интервалын табу үшін Стьюдент үлестіруінің кризистік нүктелер
кестесінен сенімділік ықтималдығы және еркіндік дәрежесі
болатын, мәні табылады.
(18)
(19)
(20)
Жақшадағы өрнекті түрлендіріп
(21)
(22)
(23)
. (24)
Қатынастар (), сенімділікпен және параметрлерін жабатын
сенімділік интервалдары:
(25)
. (26)
Сенімділік интервалы регресияның және теориялық
коэфициенттерінің табылған және бағаларының
сенімділігіне сәйкес болатын интервалды анықтайды.
4.5 Регрессия теңдеуінің жалпы сапасын тексеру. Детерминация
коэффициенті
Регрессияның әрбір коэффициентінің маңыздылығын тексергеннен кейін
әдетте оның регрессия теңдеуінің жалпы сапасы тексеріледі. Егер барлық
нүктелер құрылған теңдеудің бойында жататын болса, онда -тің -ке
тәуелділігі -тің мәндерінен байқалады. Регрессия теңдеуінің жалпы
сапасының қосындылық өлшемі - детерминация коэффициенті.
(27)
Коэффициенттің мағынасын түсіндірейік. Регрессияның эмпирикалық теңдеуі:
. (28)
Бақыланған нақты мәндері ; модель бойынша мәндері , ауытқуы
шамасы
. (29)
Бұл өрнекті
(30)
немесе
,
-бақыланатын -ші нүктенің тәуелді айнымалының орташасы
-тен ауытқуы; - регрессия түзуіндегі осы нүктенің -дан
ауытқуы; -осы нүктенің модель бойынша регрессия теңлеуімен анықталған
мәнінен ауытқуы. Барлық ауытқулар тәуелді айнымалының өсі бойынша
есептеледі.
Сурет 8
(31)
, онда келесі қатынас орындалады
(32)
соңғы теңдеу жалпы квадраттар қосындысы, яғни -тің қарағанда
бытырап орналасуының өлшемі деп қарастыруға болады.
түсіндіруші квадраттар қосындысы.
қалдық квадраттар қосындысы.
(32) теңдігін сол жағындағы қосындыға бөліп,
(33)
Белгілеу енгізетін болсақ
, ендеше (34)
4.6 Түсіндіруші айнымалыларды таңдау
Регрессия теңдеуіне кіргізетін факторлар құрамын анықтау үшін алдымен
олардың өзара байланыстарының теориялық көріністерін қолданады.
Бейнеленген факторлар сандық өлшемді болу керек. Түсіндіруші айнымалылар
құрамына тұтынушылар талғамының өзгеруін кіргізу қиын. Айнымалылардың
спецификасы қате болу себептері:
а) теңдеуге қажетті түсіндіруші айнымалы кіргізілмеу;
b) теңдеуге қажетсіз түсіндіруші айнымалы кіргізу.
(35)
теңдеуіне айнымалыны кіргізбегенде
(36)
теңдеуі талданады. Онда (36) теңдеу үшін айнымалының коэффициенті
мына формуламен есептеледі
Егер айнымалылары корреляциялық байланыста болса, онда
нақты (35) теңдеуімен анықталатын болғандықтан математикалық үміт:
Теңдеуге қажет айнымалыны енгізбеу оның коэффициенттерінің бағасының
жылжыған болуына әкеліп соқтырады. Бұл жағдайда бағалар жылжымаған, бірақ
тиімсіз болады. және айнымалылар арасында корреляциялық
байланыс неғұрлым жоғары болса, соғұрлым коэффициентінің шамасы
жоғары болады. Регрессия теңдеуіне артық түсіндіруші айнымалыны кіргізу
регрессия теңдеуінің сапасын жақсарта алмауымен қатар коэффициенттерінің
статистика бойынша маңызды емес болуына келтіруі мүмкін.
5 Жиындық сызықтық регрессия
5.1 Жиындық сызықтық регрессия ұғымы
Экономикалық көрсеткіштер тек қана бір фактордан емес бірнеше
фактордан тәуелді. Жиындық сызықтық регрессия моделі қос сызықтық регрессия
моделінің жалпы түрі болады.
Y= , (1)
мұнда тәуелді айнымалы, түсіндіруші айнымалылар,
регрессия коэффициенттері, кездейсоқ мүше. болғанда (1)
қос сызықтық регрессия теңдеуіне айналады. бақылаудан тұратын
таңдама алайық
Тік жолдан тұратын вектор және матрицаны анықтаймыз:
, ,
және матрицалары таңдама бойынша алынған мәліметтерден тұрады.
тік жолында таңдама бойынша бағаланатын белгісіз коэффициенттер, ал
- бақыланбайтын кездейсоқ мүшелерден тұратын тік жол. Осы
белгілеулерді пайдаланып (1) теңдеулер жүйесін матрицалық түрде былай
жазуға болады.
(2)
5.2 Ең кіші квадраттар әдісі
Жиындық регрессия моделінде қос сызықтық регрессия үшін
пайдаланылатын ең кіші квадраттар әдісінің жалпылама түрі қолданылады.
Бағаланған жиындық сызықтық регрессия теңдеуі
(3)
осындай теңдеуді барлық бақылаулар үшін жазайық
(4)
Бағаланған жиындық сызықтық регрессия теңдеуі матрицалық түрде былай
жазылады
(5)
мұнда -тік жолдар. Жоғары индекс әріпі транспонирленген
матрица екенін көрсетеді. Тәуелді айнымалы тің нақты мәндері
және оның (3) теңдеуімен анықталған сәйкес мәндерінен ауытқуын анықтаймыз
Ең кіші квадраттар әдісі ауытқулардың квадраттарының қосындысының минимум
шартынан (2) теңдеудің коэффициенттерін анықтауға негізделген
Матрицалардың қасиеттерін пайдаланып,
матрицасының тік жолдары сызықтық тәуелсіз болса, онда кері
матрица болады және регрессия теңдеуінің коэффициенті векторының
бағасын келесі формула бойынша табуға болады
(6)
5.3 Түзетілген детерминация коэффициенті
Жиындық регрессияның детерминация коэффициенті түсіндіруші
айнымалылар санының кемімейтін функциясы болады. Жаңа түсіндіруші айнымалы
енгізу мәнін кемітпейді. Әрбір жаңа түсіндіруші айнымалы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
Н.М.Исмағұлова, Т.М.Бергузинова
ЭКОНОМЕТРИКА
Экономика мамандықтарына арналған
оқу - әдістемелік құрал
Павлодар
УДК 519.862.6 (075.8)
ББК 6586я73
Б 44
С.Торайғыров атындағы ПМУ ғылыми кеңесі ұсынған
Пікір білдірушілер:
М.М.Аяшинов − Иновациялық Еуразия университетінің математика
кафедрасының меңгерушісі, физика-математика ғылымдарының кандидаты,
профессор.
Р.А.Хисматуллин − экономика ғылымдарының кандидаты, профессор.
Т.С. Сабыров − физика-математика ғылымдарының кандидаты, профессор.
Б44 Н.М.Исмағұлова, Т.М.Бергузинова
Эконометрика: оқу - әдістемелік құрал. − Павлодар, 2007. – 95 б.
ISBN 9965-583-15-3
Эконометрика пәні бойынша оқу- әдістемелік құралында ықтималдықтар
теориясы, математикалық статистика элементтері, регрессиялық талдау және
экономикалық мамандықтарға арналған есептер беріледі. Оқу - әдістемелік
құрал экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге арналған.
ISBN 9965-583-15-3 УДК 519.862.
(075.8)
ББК 6586я73
© Н.М.Исмағұлова, Т.М.. Бергузинова, 2007
© С.Торайғыров атындағы
Павлодар
мемлекеттік университеті, 2007
Алғы сөз
Эконометрика қазіргі заманғы экономикалық білім берудегі негізгі
пәндердің бірі. Нақты экономикалық құбылыстарды сандық талдау
экономикалық зерттеулердің алдыңғы қатарлы әдістерінің негізін құрайды.
Экономикалық құбылыстарды сандық талдау экономистер зерттеулерінде
қолданылатын алдыңғы қатарлы әдістер негіздерін, экономикалық қатынастар
құрылымын, нарық экономикасының талабына сай ұлттық есептер жүйесінің
болуын, сол сияқты экономикалық моделдеуді статистикалық қамтамасыз ету
қажеттіліктерін қамтитындықтан, Эконометрика пәнін жоғары оқу орындарының
оқу бағдарламасына енгізу және ғылыми зерттеулерде эконометрикалық
әдістерді қолдану маңызды болып табылады. Ұсынылып отырған оқу-
әдістемелік құрал С.Торайғыров атындағы Павлодар мемлекеттік
университетінің аға оқытушылары Н.М. Исмағұлова мен Т.М. Бергузинованың
бірнеше жыл қатарынан аталған университеттің экономикалық мамандықтарының
студенттеріне оқылған дәрістер курсы негізінде жазылған.
Аталған оқу - әдістемелік құралы эконометрика пәні бойынша оқулықтар
тапшылығына байланысты экономикалық мамандықтарда оқитын студенттерге
эконометрикалық әдістер мен моделдер курсын қайталауға мүмкіншілік жасайды.
1 Эконометрикалық моделдер
1.1 Эконометрика пәні және оның міндеттері
Эконометрика жеке ғылыми пән ретінде пайда болу тарихы 100 жыл
шамасында есептеледі. Норвег ғалымы Р.Фриш осы пәнді экономикалық теория,
статистика және математика пәндерінің бірігуі деп анықтады. Экономикадағы
білімдер экономикалық көрсеткіштер арасындағы байланысты орнатады және
экономикалық теория, моделдер түрінде беріледі. Макро және
микроэкономикалық теориялардың сапалы (сапа жөніндегі) сұрақтарына жауап
береді.
Экономикада ақша ұсынысының артуы пайыздың нақты ставкасына және іскерлік
белсенділігіне әсер ете ме? Тұтыну құрылымын салық ставкасының кемуі қалай
өзгертеді? Мемлекеттік бюджеттің дефициті инфляция және төлемділік
балансының жағдайына қалай әсер етеді?
Аталған сұрақтардың әрқайсысына экономистер теорияға сүйеніп өз
пікірлерін айтады. Сонымен қатар, негізделген шешім қабылдау үшін айтылған
теориялық заңдылықтарды нақты сандық өрнектеу қажет.
Экономикада алуан ішкі және сыртқы байланыстарды бөліп және жекелеп
сипаттау мүмкін емес. Экономикада пайда болатын осындай экономикалық
айнымалылар арасындағы тәуелділіктерді тек қана нақты статистикалық
мәліметтерді өңдеу аркылы алуға болады.
Сонымен, эконометрика дегеніміз экономикалық теория, статистика және
математика ғылымдарына сүйеніп экономикалық құбылыстар мен процестерді
сандық өрнектеу.
Эконометриканың негізгі міндеттері:
− құрылған экономикалық моделді эмпирикалық талдау жүргізу
үшін математикалық түрге келтіру, яғни моделді спецификациялау;
− құрылған модель нақты мәліметтерге адекват болу үшін оның
параметрлерін бағалау, яғни моделді параметрлеу;
− құрылған моделдің параметрлерінің сапасын және моделдің сапасын
тексеру, яғни моделді верификациялау;
− құрылған моделді зерттелініп отырған экономикалық көрсеткіштердің
өзгерісін анықтауға, экономикалық құбылыстарды болжауға, экономикалық
саясатты дұрыс жүргізу үшін пайдалану.
1.2 Моделдер
Экономикадағы заңдылықтар экономикалық көрсеткіштердің арасындағы
байланыстар түрінде айқындалады. Тауардың тұтынуын зерттеу оның y көлемі, p
тауардың бағасына, кірістің деңгейіне, алмастырушы тауардың
бағасына және қосымша тауардың бағасына байланысты
Өндірістік функция экономикадағы Q – өнімінің L еңбек шығынына және
K капиталға тәуелділігін анықтайды.
Осындай қатынастар айнымалылардың өзара байланыстары қандай болатынын
көрсететін модель болып табылады. Жалпы бір айнымалы және n
түсіндіруші айнымалылардан құрылған экономикалық модель
түрінде жазылады, мұнда тәуелді айнымалының нақты мәнінің теориялық
моделмен анықталған мәнінен ауытқуын түсіндіруге арналған кездейсоқ шама.
шамасы моделге кірмейтін басқа факторлардың шамасын анықтайды.
Моделдер әртүрлі функционалдық түрде болуы мүмкін. Сызықтық экономикалық
модель жиі кездеседі.
Сондай – ақ
дәрежелік экономикалық модель. Мұнда статистикалық мәліметтердің
негізінде бағаланатын моделдің параметрлері. Сызықтық және дәрежелік
тәуелділіктерден басқа квадраттық, кубтық, логарифмдік, логистік және басқа
функциялар қолданылады.
Жалпы эконометрикалық модель:
;
регрессия теңдеуі.
Функционалдық тәуелділіктің түрін таңдау моделдің спецификасы, ал
түсіндіруші айнымалылардың құрамын анықтау айнымалылардың спецификасы деп
аталады. Егер моделдің тек қана бір түсіндіруші айнымалысы болса, яғни к =
1, онда ол қос регрессия деп аталады. Егер к 1 болса, онда регрессия
жиындық болады. Эконометрикалық моделдің негізін статистикалық
мәліметтер құрайды.
2 Ықтималдықтар теориясы
2.1 Оқиғалар. Оқиғаның ықтималдығы
оқиғасының ықтималдығыдеп осы оқиғаның пайда болу
мүмкіндігінің сандық өлшемін атайды.
Анықтама оқиғасының ықтималдығыдеп осы оқиғаның пайда
болуына қолайлы оқиғалар (тәжірибелер) санының барлық элементар
оқиғалар (тәжірибелер) санына қатынасын атайды
(1)
Ақиқат оқиға деп тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде пайда болатын
оқиғаны атайды.
Мүмкін емес оқиға деп тәжірибе нәтижесінде пайда болмайтын оқиғаны
атайды.
Кездейсоқ оқиға деп тәжірибе нәтижесінде пайда болуы да, болмауы да
мүмкін оқиғаны атайды.
Бір уақытта пайда болуы мүмкін емес оқиғалар үйлесімсіз оқиғалар деп
аталады.
Ықтималдықтың қасиеттері:
1) ;
2) ақиқат оқиға ның ықтималдығы бірге тең: ;
3) мүмкін емес оқиға ның ықтималдығы нөлге тең: ;
4) егер және үйлесімсіз оқиғалар болса, онда ;
5) егер және қарама қарсы оқиғалар болса, онда .
2.2 Кездейсоқ шама
Кездейсоқ шама деп, өзінің мүмкін мәндер жиыиынан бақылау нәтижесінде
алдын-ала белгісіз және кездейсоқ жағдайларға тәуелді бір ғана мән
қабылдайтын шаманы атайды. Кездейсоқ шамалар дискретті және үздіксіз болып
екіге бөлінеді. Дискретті кездейсоқ шама тің үлестіру заңы кестемен
берілсе, онда бірінші жол оның мүмкін мәндері, ал екінші жол сәйкес
ықтималдықтары болады.
[pi
c]
[pi
c]
Әдетте . Міндетті түрде
Мысал 1
2 4 5 8 12
0.25 0.30 0.10 0.20 0.15
Айталық - кездейсоқ шама, ал -кез келген нақты сан. Кез
келген -тен кіші мән қабылдайтын- кездейсоқ шаманың ықтималдығын
ықтималдықтың үлестіру функциясы деп атайды.
(2)
Үлестіру функциясының қасиеттері:
1)
2) кемімейтін функция, яғни
3) ,
4)
5)
6) кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері аралығында жататын
болса, онда
1 мысал үшін үлестіру функциясы және оның графигі
Сурет 1
Үздіксіз кездейсоқ шама X- тің ықтималдық тығыздығы деп сол шаманың
үлестіру функциясының бірінші ретті туындысын атайды, яғни
(3)
функциясын атайды.
(4)
Ықтималдық тығыздығының қасиеттері:
1)
2)
3) Егер үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестіру тығыздығы болса, онда
үлестіру функциясы
4) (нормалау шарты).
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін келесі теңдіктер орындалады.
2 және 3 суреттерде үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және
ықтималдық тығыздығы бейнеленген.
Сурет 2
Сурет 3
2.3 Кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп оның барлық мүмкін
мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтіндісінің қосындысын атайды.
, (5)
мұнда - кездейсоқ шама -тің мәндерінің саны.
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
. (6)
1 мысалдағы кездейсоқ шама үшін
.
Математикалық үміттің қасиеттері:
1) , мұнда С- тұрақты шама;
2)
3)
4) , мұнда - тұрақты шамалар;
5) Тәуелсіз кездейсоқ шамалар үшін .
кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп кездейсоқ шаманың
математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін атайды.
Ықшамдалған формула
. (7)
Дискретті кездейсоқ шама үшін
. (8)
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
(9)
1 мысалдағы кездейсоқ шама үшін
Дисперсияның қасиеттері:
1)
2) тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса,
3)
4) кез келген кездейсоқ шамалар болса,
Орташа квадраттық (сандартты) ауытқу деп, дисперсияның квадрат
түбірінің арифметикалық мәнін атайды және былай белгілейді
(10)
2.4 Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары
Көптеген кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдарын білу арқылы олардың
анықталған интервалда мән қабылдау ықтималдығын болжауға болады. Үлестіру
заңдары өте көп. Біз тек қана экономикалық талдауда жиі кездесетін үлестіру
заңдарын қарастырамыз. Оларға жататын: қалыпты үлестіру заңы, (хи -
квадрат), Стьюдент, Фишер үлестірулері.
Қалыпты үлестіру. Үлестіру тығыздығы
(11)
түрінде берілген кездейсоқ шама қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама
деп аталады. Қалыпты үлестірудің үлестіру функциясы
(12)
Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың тығыздығы және үлестіру
функциясының графиктері 4 және 5 суреттерде көрсетілген.
Сурет 4
Сурет 5
(11) және (12) формулаларынан қалыпты үлестіру және σ
параметрлерімен анықталады және олардан тәуелді
Егер қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама болса, онда
келесі символмен ~ , ~ деп жазуға болады. Қалыпты
үлестірудің маңызды дербес жағдайы , стандартты қалыпты үлестіру деп
аталады. Стандартты қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама ~ деп
белгіленеді.
(13)
Көп жағдайда практикалық есептеулерде мәндері кестемен берілген
Лаплас функциясы қолданылады.
(14)
Бұл кестені кез келген қалыпты үлестірілген кездейсоқ шамалар
үшін келесі ықтималдықтарды есептеуге пайдалануға болады
(15)
Егер
(хи - квадрат) үлестіруі. - тәуелсіз қалыпты үлестірілген
кездейсоқ шамалар.және сәйкесінше математикалық үміттер, орташа
квадраттық ауытқулар, яғни Онда , тәуелсіз қалыпты үлестірілген
стандартты кездейсоқ шамалар болады, . Кездейсоқ шама, n еркіндік
дәрежелі хи – квадрат үлестіруі болады, егер
(16)
Еркіндік дәрежесін деп белгілейміз, қосындылар құрамына
кіретін кездейсоқ шамалар саны, ал кездейсоқ шамаларды
байланыстыратын сызықтық теңдеулер саны. ( хи – квадрат) кездейсоқ
шаманың еркіндік дәрежесі санымен анықталады. Олай болса, Хи –
квадрат үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы:
Егер және тәуелсіз үлестірілген еркіндік
дәрежелері және кездейсоқ шамалар болса , онда олардың
қосындысы да еркіндік дәрежесі -ға тең үлестірілген
кездейсоқ шама болады. үлестіруі статистикалық болжамдарды тексеруде
интервалдық бағаларды табу үшін қолданылады.
Стьюдент үлестіруі. Айталық кездейсоқ шама, ал V- еркіндік
дәрежесі , - дан тәуелсіз үлестірілген кездейсоқ шама
болсын. Онда
(17)
еркіндік дәрежелі Стьюдент үлестіруі (-үлестіруі ) деп аталады,
яғни (~). (17) формуладан Стьюдент үлестіруі тек қана бір
параметр, яғни еркіндік дәрежесімен анықталатынын көруге болады.
Стьюдент үлестіруінің математикалық үміті және дисперсиясы:
Фишер үлестіруі. еркіндік дәрежелері және тәуелсіз
үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, онда шама
(18)
еркіндік дәрежелері және Фишер үлестіруі деп аталады.
Олай болса, Фишер үлестіруі екі параметрмен анықталады, яғни
және еркіндік дәрежелерімен. Стьюдент үлестіруінің математикалық
үміті және дисперсиясы:
және нің үлкен мәндерінде Фишер үлестіруі қалыпты үлестіруге
ұқсайды. Фишер үлестіруі дисперсиялық және регрессиялық талдауда
статистикалық болжамдарды тексеруге пайдаланылады.
2.5 Кездейсоқ шамалардың өзара байланысы
Көптеген экономикалық көрсеткіштер бірнеше сандармен анықталады, яғни
көпөлшемді кездейсоқ шамалар болып табылады. Экономикалық көрсеткіштердің
бірқатар мәндері басқа көрсеткіштердің мәндерін анықтайды.
Сондықтан экономикалық талдаудың басты міндеттерінің бірі-
экономикалық көрсеткіштерді анықтау және олардың арасындағы байланысты
көрсету. (нақты кездейсоқ шамалар арасында).
Мысалы: кіріс пен тұтыну арасындағы; тауар сұранымы және тауар бағасы
арасындағы; инфляция деңгейі және жұмыссыздық деңгейі арасындағы; жалпы
ұлттық өнім және тіршілік деңгейі арасындағы байланыстар.
Дербес жағдайда екі кездейсоқ шама арасындағы тәуелділікті орнату
үшін екіөлшемді ықтималдықтар қарастырылады. және кездейсоқ
шамалары дискретті үлестіру кестесімен берілсе
Мұнда – бір уақытта кездейсоқ шама , ал
кездейсоқ шама мәндерін қабылдау ықтималдығы, яғни қос
мәнінің пайда болу ықтималдығы
тің кез келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы жатық
жолының ықтималдықтарының қосындысына тең
тің кез-келген мәнінде мән қабылдау ықтималдығы тік
жолының ықтималдықтарының қосындысына тең
және кездейсоқ шамаларының сәйкесінше математикалық үміттері:
Сол сияқты және кездейсоқ шамаларының дисперсиялары:
Үздіксіз екіөлшемді кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы және
ықтималдықтар тығыздығы:
Біріккен үлестіру функциясы
Біріккен ықтималдық тығыздығы
Тәуелсіз кездейсоқ шамалар
Егержәне кездейсоқ шамалары үшін
теңдігі орындалса, онда мұндай кездейсоқ шамаларды тәуелсіз деп атайды.
Тәуелсіз және кездейсоқ шамалары үшін келесі қатынастардың кез
келгені орындалады.
Ковариация және корреляция коэффициенті. Кездейсоқ шамалардың өзара
байланысын талдауда ковариация және корреляция коэффициенті қолданылады.
ретті орталық момент деп
шамасын атайды. және кездейсоқ шамаларының байланысын анықтау
үшін және кездейсоқ шамаларының ковариациясы деп аталатын
орталық моментін қолданамыз.
Ковариация және кездейсоқ шамаларының байланысының
абсолюттік өлшемі болады. Дискретті кездейсоқ щама үшін
Үздіксіз кездейсоқ шама үшін
Ковариацияның қасиеттері:
1)
2)
3) егер және тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда
4)
5)
және кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп
келесі формуламен анықталатын шаманы атайды
Егер болса, онда және кездейсоқ шамаларының арасында
корреляциялық байланыс жоқ, ал егер болса, корреляциялық байланыс
бар.
Корреляция коэффициентінің қасиеттері:
1)
2)
3)
4) егер және кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда
5) егер болса, (яғни және кездейсоқ шамаларының
арасында сызықтық тәуелділік бар). Егер және кездейсоқ шамалары
тәуелді болса, онда
Мысал 2 Көп жылдар бойы екі компанияға салынған инвестиция
нәтижелерін бақылау бойынша және - жылдық дивидендтер
өлшемдерінің үлестіру заңы құрылған. Әр кездейсоқ шаманың маргиналды
үлестіру заңын жазып, олардың арасындағы байланысты анықтаңыздар.
Ковариация және корреляция коэффициенттерін есептеңіз, екі компанияның
біреуіне немесе екеуіне де бірдей мөлшерде инвестиция салу тәуекелін
есептеп, тиімді жағдайды анықтаңыз.
-10 5 10
Y
X
0.05 0.25 0.3 0.6
-10
20 0.15 0.20 0.05 0.4
20
0.2 0.45 0.35
және кездейсоқ шамаларының үлестіру заңдары
Y -10 5 10
0.20 0.45 0.35
X -10 20
0.6 0.4
,
ендеше және кездейсоқ шамалары тәуелді.
және кездейсоқ шамалары арасындағы байланыс ковариациямен
анықталады.
.
және кездейсоқ шамаларының арасында теріс тығыз емес
сызықтық байланыс бар деп айтуға болады. Инвестиция тәуекелін дивидендтер
мәнінің шашылуына байланысты кездейсоқ шамалардың дисперсиялары бойынша
есептеуге болады.
олай болса бірінші компанияға инвестиция салу екінші компанияға қарағанда
тиімді емес. деп, екі компанияға бірден бірдей мөлшерде инвестиция
салуда дивидендтер өлшемін белгілейік. Ендеше .
осыдан қарастырылған үш жағдайдан екі компанияға бірден бірдей
мөлшерде инвестиция салған тиімді екенін көреміз.
3 Математикалық статистика элементтері
Нақты экономикалық құбылыстарды әртүрлі көрсеткіштер бойынша
зерттеуде өте көп статистикалық мәліметтерді өңдеуге тура келеді.
Статистикалық мәліметтер құрылымы бойынша кездейсоқ шамалар болып табылады.
Көп жағдайда параметрлердің сандық мәндерін бағалау үшін бірнеше рет болжам
қоюға және оларды тексеруге тура келеді. Әртүрлі факторлар арасындағы
тәуелділікті орнату және тәуелділіктің шамасын анықтау қажет.
Статистикалық мәліметтер дегеніміз жүргізілген байқаулардың,
тәжірибелердің қорытындысы. Математикалық статистиканың негізгі
міндеттерінің бірі статистикалық мәліметтердің заңдылықтарын айқындап,
оларға сәйкес экономикалық модель құру және шешімдер қабылдау.
Математикалық статистиканың бірінші міндеті байқаулар, тәжірибелер арқылы
алынған мәліметтерді жинастырып, топтастыру әдістерін көрсету. Ал екінші
міндеті статистикалық мәліметтерді алға қойған мақсатқа байланысты талдау
жасау әдістерін табу.
Бас жиынтық және таңдама. Бас жиынтық деп белгілі қасиеттерімен
бірігетін барлық қарастырылып отырған объектілер жиынын атайды. Жеке объект
осы жиынның элементі болады. Егер бір кәсіпорынды алатын болсақ, онда жеке
жұмысшы объект болады да, ал кәсіпорынның барлық жұмысшылары бас жиынтық
болады. Бас жиынтықтағы объектілер саны ақырлы немесе ақырсыз көп сан
болуына байланысты бас жиынтық шектелген және шектелмеген болып екіге
бөлінеді.
Таңдама дегеніміз бас жиынтықтан кездейсоқ таңдап алынған объектілер
жиынтығы. Бас және таңдама жиынтықтағы объектілер саны олардың көлемі деп
аталады. Бас жиынтықтың көлемі үлкен болса, түгелдей тексеру мүмкін емес.
Егер зерттелініп отырған объектілер жиыны жойылуға жататын (өзіндік құнын
жоғалтуына байланысты), немесе практикада өте көп материалдық шығындарды
қажет ететін болса, онда толық талдаудың мәні болмайды. Бас жиынтық
жөніндегі тұжырым дұрыс болуы үшін бөлініп алынған таңдама бас жиынтық
туралы жан-жақты сипаттама беруге тиіс. Экономикалық процестерді болжауда,
олардың тиімді шешімін табуда таңдаманы құрудың үлкен мағынасы бар.
Таңдаманы құру әдістері:
1) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап етпейтін таңдау:
қайталамалы және қайталанбайтын таңдамалар. Бөліп алынған таңдама
зерттелініп болғаннан кейін бас жиынтыққа қайта қосылатын болса таңдама
қайталамалы, ал қосылмайтын болса таңдама қайталанбайтын деп аталады;
2) бас жиынтықты ұсақ бөліктерге бөлуді талап ететін таңдау: типтік,
механикалық, сериялық таңдаулар.
Типтік таңдауда бас жиынтық типтес бөліктерге бөлінеді де, әр
бөліктен тәуекелге бір-бірден объект таңдап алынады.
Механикалық таңдауда, бас жиынтық механикалық түрде қанша объекті
таңдамаға кіретін болса, сонша бөлікке бөлінеді де, әрбір бөліктен бір-
бірден объект таңдап алынып таңдама құрылады.
Бас жиынтық алдын-ала өзара қиылыспайтын бірнеше серияға бөлінеді
де, ол сериялардың біреуі кездейсоқ таңдап алынса, онда осы серияның барлық
элементтері таңдама жиынтық құрады.
Таңдаманың статистикалық үлестіруі. Бас жиынтықтан көлемі
болатын таңдама бөлініп алынды делік. Оларды -тің мәндерінің өсу
ретіне байланысты деп жазамыз. Бақылау бойынша элементі
рет, элементі рет, тағы сол сияқты элементі рет
пайда болсын, мұндағы , онда тәжірибелер нәтижесінде алынған -
варианталар, ал тізбегі вариациялық қатар деп аталады. - сәйкес
варианталардың жиіліктері, - варианталардың салыстырмалы жиіліктері,
мұндағы , .
Таңдаманың статистикалық үлестіруі деп варианталар мен, олардың
жиіліктерінің немесе салыстырмалы жиіліктерінің арасындағы өзара бір мәнді
сәйкестікті атайды. Таңдаманың құлашы деп, оның ең үлкен және ең кіші
варианталарының айырымын айтады. Вариациялық қатар дискретті және үздіксіз
болып екіге бөлінеді. Вариациялық қатар дискретті деп аталады, егер шаманың
мәндері бір бірінен кемінде кейбір тұрақты санға өзеше болса. Егер шама
интервалдар тізбегімен және оларға сәйкес жиіліктерімен берілетін болса
(интервал жиілігі осы интервалға кіретін варианталардың жиіліктерінің
қосындысы), онда вариациялық қатар үздіксіз деп аталады.
Статистиклық қатар бойынша эмпирикалық үлестіру функциясын құруға
болады.
Эмпирикалық үлестіру функциясы. Эмпирикалық үлестіру функциясы деп
әрбір -тің мәні үшін оқиғасының салыстырмалы жиілігін атайды.
,
мұндағы кездейсоқ шама жиілігі, таңдама көлемі.
Анықтама бойынша функциясының қасиеттері:
1)
2) кез келген үшін
3) егерболса, егер болса.
Таңдаманың сандық сипаттамалары. көлемі N саны болатын бас
жиынтық болсын.
Анықтама 1
Бас орта деп бас жиынтық обьектілерінің арифметикалық ортасын атайды
және деп белгілейді
Анықтама 2
Бас дисперсия деп бас жиынтық қабылдайтын барлық мүмкін мәндерінің
бас ортасынан ауытқуының квадратының арифметикалық ортасын атайды және
деп белгілейді
Анықтама 3
Бас дисперсияның квадрат түбірі бас орташа квадраттық ауытқу деп
аталады.
– көлемі n саны болатын таңдама жиынтық болсын. Таңдаманың
ортасы, таңдаманың дисперсиясы, таңдаманың орташа квадраттық ауытқуы келесі
формулалармен анықталады.
мұнда
Дисперсияны есептеудің ықшамдалған формуласы
Полигон және гистограмма. Статистикалық үлестіруді толық түсіну үшін,
оларды полигон және гистограммамен көрсетуге болады. Бұл екі ұғымның
экономикалық процесстерді зерттеуде үлкен маңызы бар. Полигон жиіліктің
және салыстырмалы жиіліктің полигоны болып екіге бөлінеді. Жазықтықта
нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болған көпбұрыш жиілік
полигоны деп аталады. Салыстырмалы жиілік полигоны деп жазықтықта
нүктелерін сынық сызықпен қосқанда пайда болатын көпбұрышты атайды. Жиілік
гистограммасы деп табандары h, биіктігі (жиілік тығыздығы) болатын
тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды. Салыстырмалы жиілік
гистограммасы деп табандары h, биіктігі (салыстырмалы жиілік
тығыздығы) болатын тік төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны атайды.
Мысал 2 Кейбір тауардың 50 күн ішінде күнделікті сатылған көлемі
талданып, келесі мәліметтер алынған.
5,6,3,2,7,7,6,6,6,4,5,6,3,9,7,4,6,7 ,8,8,5,5,4,3,6,6,7,7,8,8,6,4,5,6,7,
7.8,9,5,6,4,2,7,8,7,9,5,6,9,5.
a) статистикалық қатар құрыңыз;
ә) таңдаманың құлашын есептеңіз;
б) эмпирикалық функция құрып, графигін салыңыз;
в) таңдаманың ортасын, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын
анықтаңыздар.
a) статистикалық қатар
2 3 4 5 6
Y 10 7 8 5 3
, ,
,
, .
және шамаларының арасында теріс тығыз сызықтық тәуелділік
бар деп тұжырым жасауға болады.
3.1 Үлестіру параметрлерін бағалау
Бас жиынның сандық белгісін білу үшін, оның үлестіру заңы белгілі
болған жағдайда үлестіру параметрлерін бағалау керек. Дискретті немесе
үздіксіз сандық сипатты үлестіруінің белгісіз параметрін деп
белгілейік. Оның таңдама арқылы табылатын бағасы болсын. Әртүрлі
таңдама алған сайын өзгеріп отыратын болғандықтан - кездейсоқ
шама болады.
Анықтама 4
Егер болса, онда жылжымаған баға деп аталады.
Анықтама 5
Егер болса, онда орнықты баға деп аталады, бұл жерде
- таңдама көлемі.
Анықтама 6
– параметрінің бағасы тиімді баға деп аталады, егер оның
дисперсиясы басқа көлемі тұрақты альтернативті таңдамалардың
дисперсияларына қарағанда кіші болса.
Таңдама арқылы бірден табылатын нүктелік бағалар. Нүктелік баға деп
бір санмен анықталатын бағаны атайды.
Сөйлем 1 Бас ортаның жылжымаған және орнықты нүктелік бағасы
таңдаманың ортасы болады.
Сөйлем 2 Бас дисперсияның жылжыған бағасы таңдаманың дисперсиясы
болады, ал жылжымаған бағасы таңдаманың түзетілген дисперсиясы
болады.
, - таңдама көлемі, – таңдаманың
дисперсиясы.
Интервалдық бағалар. Бір санмен ғана анықталатын нүктелік баға
таңдаманың көлемі аз болғанда, өрескел қателерге әкелуі мүмкін. Сондықтан
бас жиынның белгісіз параметрінің интервалдық бағасын, яғни параметрі
жататындай интервалын белгілі бір сенімділікпен айқындау мәселесін
қарастырайық.
Анықтама 7
параметрінің бағасы бойынша сенімділік ықтималдығы деп
теңсіздігінің орындалу ықтималдығы - ны атайды, яғни
, бұл жерде бағаның дәлдігі.
Анықтама 8
интервалын сенімділікпен алынған сенімділік интервалы деп
атайды.
, ,
, яғни параметрі интервалында жату ықтималдығы
ға тең.
Қалыпты үлестірудің белгілі болса, оның математикалық үміті
санын бағалаудың сенімділік интервалы
бағалау дәлдігі, сенімділік, мәнін
теңдігін пайдаланып екінші қосымшадан табамыз.
Қалыпты үлестірудің белгісіз болған жағдайда математикалық
үмітінің сенімділік интервалы. Таңдама бойынша кездейсоқ шама құрамыз.
Стьюдент үлестіруі, еркіндік дәрежесі
таңдаманың ортасы, түзетілген орташа квадраттық ауытқу,
таңдама көлемі.
сенімділік интервалы
B қосымшадағы Стьюдент кестесінен және бойынша
мәнін табамыз. Қалыпты үлестірудің бас орташа квадраттық ауытқуын
бағалаудың сенімділік интервалы
теңсіздігін түрлендірсек
, , алып
q-мәнін және бойынша (хи - квадрат) үлестіруінің
қосымшасынан табамыз, ал S мәнін таңдама бойынша есептейміз. Мысал.
қалыпты үлестірілген сандық сипатты белгі, көлемі орташа квадраттық
ауытқуы . сенімділікпен бас жиынның орташа квадраттық ауытқуын
бағалаудың сенімділік интервалын есепте.
Ә қосымшадан мәндеріне сәйкес табамыз.
0,8 (1- 0,32) 0,8 (1+ 0,32)
0,544 1,056
3.2 Статистикалық болжамдарды тексеру
Негізгі ұғымдар. Болжамды тексерудің жалпы схемасы
Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестіру түрі немесе
үлестіру параметрлері туралы алдын-ала жасалатын болжамды атайды.
Статистикалық болжам таңдаманың көмегімен тексеріледі. Алдымен нөлдік
болжам деп аталатын, тексерілуге тиіс болжамы қарастырылады. Бұл
болжамға қарсы болжамды альтернативті деп атап, әріпімен белгілейміз.
Мысалы үлестірудің белгісіз параметрі туралы нөлдік болжам былай
болса, онда . Статистикалық болжамды тексеру барысында екі түрлі
қате жіберуіміз мүмкін.
Бірінші текті қате – болжамы жоққа шығарылып болжамы
қабылданады, бірақ негізінде дұрыс.
Екінші текті қате – болжамын қабылдаймыз, бірақ негізінде
болжамы дұрыс.
Анықтама 9
Бірінші текті қате жіберу ықтималдығын маңыздылық деңгейі дейміз де,
әріпімен белгілейміз.
Анықтама 10
Екінші текті қате жіберу ықтималдығын деп белгілейміз, сонда
екінші текті қате жібермеу ықтималдығы критерийдің қуаты деп аталады.
Тексеру критерийлері. Кризистік аймақтар (облыстар)
Статистикалық болжам таңдаманың мәліметтері негізінде тексеріледі. Ол
үшін үлестіру заңы белгілі статистикалық критерий деп аталатын
кездейсоқ шамасы қарастырылады. Бұл шама немесеқалыпты, (хи-
квадрат), Фишер, Стьюдент үлестірулерімен берілуі мүмкін. Тексеру
критерийінің мүмкін мәндері екі жиынға бөлінеді: олардың біреуінде нөлдік
болжам орындалады да, екіншісінде орындалмайды. Нөлдік болжам орындалмайтын
критерийдің мәндер жиыны кризистік аймақ деп аталады. Нөлдік болжам
орындалатын критерийдің мәндер жиыны болжам қабылданатын аймақ деп аталады.
Статистикалық болжамдарды тексерудің негізгі қағидалары:
Таңдаманың (эмпирикалық) белгілі мәліметтеріне сүйене отырып, критерийдің
бақыланатын мәні К анықталады. Берілген маңыздылық деңгейінде К
үлестіруінің кризистік нүктелерінің кестесінен критерийдің сындық мәні
анықталады. Егер К критерийдің бақыланатын мәні кризистік аймақта
жататын болса, онда нөлдік болжам жоққа шығарылады. Егер К критерийдің
бақыланатын мәні болжам қабылданатын аймақта жататын болса, онда нөлдік
болжамды жоққа шығаруға негіз жоқ (қабылданады).
Кризистік аймақтың орналасуының үш варианты бар:
Оң жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады
Сол жақ кризистік аймақ мұнда келесі шартпен анықталады
Екі жақты кризистік аймақ және мұнда , нүктелері
келесі шарттармен анықталады , .
4 Регрессиялық талдау
4.1 Регрессиялық талдау ұғымы
Экономика өздік ғылым болып қалыптасқаннан бері зерттеушілер
экономикалық дамудың болжамдарын көрсету арқылы экономикалық жағдайларға
ықпал етуге тырысты. Бір түрлі экономикалық жағдай дәл солай екінші рет
қайталанбайды деп айтуға болады, себебі бір шартта екі стратегияны қолдану
мүмкін емес. Сондықтан экономикалық талдаудың негізгі міндеттерінің бірі
экономикалық объектінің дамуын болжау.
Кез келген экономикалық көрсеткіш көптеген факторларға тәуелді.
Экономикалық модель құруда олардың бәрін қамту мүмкін емес. Әдетте
зерттелініп отырған экономикалық көрсеткішке нақты әсер ететін шектелген
факторлар алынады, ал ескерілмеген факторлар экономикалық көрсеткіштерге
ауытқулар енгізбейді. Нақты ғылымдарда көбіне функционалдық тәуелділік
қарастырылады, яғни тәуелсіз айнымалының бір мәніне тәуелді айнымалының бір
мәні сәйкес болады. Экономикалық айнымалылар арасында ондай тәуелділік жоқ.
Мысалы: кіріс пен тұтыну арасында, баға мен сұраныс арасында, еңбек
өнімділігі және жұмыс стажы арасында қатал тәуелділік жоқ.
Статистикалық тәуелділік
Анықтама 11
Егер кездейсоқ шамасының әрбір мүмкін мәніне кездейсоқ
шамасының мүмкін мәндерінің жиыны, яғни статистикалық үлестіруі сәйкес
болса, онда мұндай тәуелділік статистикалық тәуелділік деп аталады.
Анықтама 12
кездейсоқ шамасының шартты орташа мәні деп болғандағы
шамасының қабылдайтын мүмкін мәндерінің арифметикалық ортасын атайды.
Мысалы. болғанда, мәндері
шартты орташа.
Анықтама 13
Егер бір кездейсоқ шама өзгергенде екінші кездейсоқ шаманың орта мәні
өзгерсе, онда мұндай статистикалық тәуелділікті корреляциялық тәуелділік
деп айтады. Сонымен және кездейсоқ шамаларының арасындағы
корреляциялық байланыс мына формуламен беріледі
(1)
(2)
, шартты математикалық үміттер. (1),(2) – моделдік
регрессия теңдеулері деп аталады. Оларды табу үшін екі өлшемді
кездейсоқ шаманың үлестіру заңын білу керек.
Жалпы регрессиялық моделдер. Регрессиялық модель жалпы түрде былай
жазылады:
- кездейсоқ фактор.
Моделде кездейсоқ фактор болу себептері:
1) Моделге барлық түсіндіруші айнымалылардың кірмеуі.
Кез келген регрессиялық модель нақты жағдайдың жеңілдетілген түрі
болып табылады.
Мысалы, тауарға сұраныс, тауардың бағасы, осы тауарды
алмастырушы тауардың бағасы, осы тауарды толықтырушы тауардың бағасы,
тұтынушының кірісі, тұтынушылар саны, тұтынушылар талғамы,
тағы сол сияқты факторлар.
Бұл мысалда салт дәстұр, ұлттық және діни ерекшеліктері,
географикалық орыны, ауа райы және көптеген факторлар есептелмейді, яғни
2) Моделдің функционалдық түрін дұрыс таңдай алмау, зерттелініп
отырған процесті дұрыс білмеу немесе оның жиі өзгеруіне байланысты моделдеу
функциясын дұрыс таңдай алмау.
3) Айнымалылардың күрделілігі. Көптеген моделдерде әрбір айнымалы
күрделі бірнеше жай айнымалыларға тәуелді.
4) Өлшеу қателері. Модель қаншалықты сапалы болса да эмпирикалық
мәліметтерге сәйкес келмейтін өлшеу қателері кездеседі.
5) Статистикалық мәліметтердің шектеулігі. Көбіне модель үздіксіз
функция арқылы құрылады, ол үшін дискретті құрылымдағы мәліметтер
қолданылады. Осындай айқыштық ауытқуына әсер етеді.
6) Адам факторын алдын-ала білмеу. Модель сапалы құрылса да, адам
баласының ерекшеліктерін болжау мүмкін емес.
Зерттеу мақсатына және эмпирикалық мәліметтерге сәйкес сапалы
регрессиялық модель құру күрделі және көп сатылы процесс. Оны үш сатыға
бөлуге болады:
1) регрессия теңдеуінің түрін таңдау;
2) регрессия теңдеуінің параметрлерін анықтау;
3) регрессия теңдеудің сапалылығын талдау және моделдің эмпирикалық
теңдеулеріне адекват екенін тексеру.
4.2 Қос сызықтық регрессия
Сызықтық регрессия моделі экономикалық айнымалылар арасындағы
тәуелділікті көрсетеді және жиі қолданатын моделге жатады. Сызықтық
регрессия тәуелді айнымалы - тің математикалық үміті және бір
түсіндіруші айнымалы (- тәуелсіз айнымалының ші бақылаудағы
мәні ) арасындағы сызықтық функция.
(3)
Әрбір дің оның математикалық үмітінен ауытқуын еске алып, (3) теңдеуін
былай жазамыз
(4)
(4) – теориялық сызықтық регрессия моделі деп аталады; регрессияның
теориялық параметрлері (теориялық коэффициенттері); кездейсоқ
ауытқулар.
Жалпы түрде сызықтық регрессиялық модель былай жазылады
(5)
Сызықтық регрессиялық талдау есебі: және айнымалылары үшін
белгілі статистикалық мәліметтер бойынша
а) коэффициенттерінің ең жақсы бағаларын табу;
ә) моделдің параметрлері туралы статистикалық болжамдарды тексеру;
б) статистикалық мәліметтермен модель қаншалықты үйлесімді, яғни
берілген мәліметтерге модель адекват бола ма?
Көлемі шектелген таңдама бойынша сызықтық регрессияның эмпирикалық
теңдеуін жазайық
(6)
мұнда шартты математикалық үміт бағасы, эмпирикалық
коэффициенттер, белгісіз параметрлердің бағалары.
(7)
– ауытқуы теориялық кездейсоқ ауытқу дің бағасы. Бас жиынтық пен
таңдаманың көлемдері әртүрлі болғандықтан ылғи да -эмпирикалық
коэффициенттердің теориялық коэффициенттерден айырмашылығы болады.
Берілген таңдама мәліметтерін пайдаланып коффициенттерінің
бағаларын тауып, бақылау бойынша алынған нүктелер
түзуіне жақын орналасатындай түзудің теңдеуін анықтау керек. Бір бас
жиынтықтан алынған әртүрлі таңдамалар бойынша бір – бірінен айырмашылығы
бар әртүрлі бағалар табылады.
Сурет 6
коэффициенттерін табудың ең көп таралған және теориялық негізделген
әдісі ең кіші квадраттар әдісі болып табылады. Бұл әдіс келесі қосындының
минимум мәнін табуға негізделген және есептеуге ыңғайлы қарапайым әдіс.
4.3 Ең кіші квадраттар әдісі
Берілген таңдама бойынша регрессияның эмпирикалық теңдеуінің
коэффициенттері ді анықтайық. Бұл жағдайда келесі функцияның минимум
мәнін іздейміз.
Сурет 7
(8)
функциясы параметрлерінің квадраттық функциясы, себебі ()
бақылау бойынша белгілі сандар. Екі айнымалының функциясының
экстремум мәні болуының қажетті шартын пайдаланып, функцияның белгісіз
параметрлері бойынша алынған дербес туындыларын нөлге теңестірейік.
(9)
(10)
(10) жүйесінің теңдеулерін санына бөліп,
(11)
мұнда
олай болса, ең кіші квадраттар әдісі бойынша белгісіз параметрлер бағасы
және (11) формулаларымен анықталады.
(12)
немесе
коэффициентін түрлендіріп
(13)
мұнда таңдаманың корреляция коэффициенті; стандарттық
ауытқулар, таңдаманың ковариациясы. Олай болса, регрессия
коэффициенті ковариация және корреляция коэффициенттеріне пропорционал.
Ендеше корреляция коэффициенті белгілі болса, (13) формуланы пайдаланып қос
сызықтық регрессия коэффициентін табуға болады. Егер тің ке
регрессиялық теңдеуінен , осы эмпирикалық мәліметтер үшін тің
ке регрессиялық теңдеуі () белгілі болса, онда
(14)
және коэффициенттері келесі формуламен анықталады
(15)
Мысал 4 Бірнеше өндіріс орынынан шығарылатын өнім көлемі және оған
жұмсалатын өндірістік шығынды бақылау нәтижесінде екі қатар мәліметтер
алынған. Жұмсалған шығынның өнім көлеміне тәуелділігін сипаттайтын
регрессия теңдеуін жазу керек. Статистикалық мәліметтер төмендегі кестемен
берілген.
Бақылау Өндіріс Өнім
номері шығыны, көлемі [pic
y, мың x, мың ]
теңге дана
1 68.80 45.10 3102.88 2034.01 66.68
2 61.20 41.30 2527.56 1705.69 62.61
3 59.90 38.70 2318.13 1497.69 59.82
4 56.70 36.50 2069.55 1332.25 57.46
5 55.00 36.20 1991.00 1310.44 57.13
6 54.30 32.40 1759.32 1049.76 53.06
7 49.30 28.10 1385.33 789.61 48.44
Барлығы 405.20 258.30 15153.77 9719.45 405.20
Орта 57.89 36.90 2164.82 1388.49 57.89
мәні
Жұмсалған шығынның өнім көлеміне тәуелділігін сипаттайтын регрессия
теңдеуі мынадай
Шығарылатын өнім көлемін бір мың данаға арттыратын болсақ өндірістік
шығын 1070 мың теңгеге артады.
4.4 Регрессия теңдеуінің сапасын тексеру
Ең кіші квадраттар әдісінің алғы шарттары (Гаусс-Марков шарттары)
1) барлық бақылаулар үшін кездейсоқ ауытқудің математикалық
үміті нөлге тең ;
2) кез келген және бақылаулары үшін кездейсоқ ауытқулар
дисперсиясы тұрақты ;
3) кездейсоқ ауытқулар және, үшін бір-біріне
тәуелсіз;
4) кездейсоқ ауытқулар түсіндіруші айнымалылардан тәуелсіз ;
5) модель параметрлер арқылы сызықтық тәуелсіз.
Гаусс-Марков теоремасы
Егер 1-5) алғы шарттар орындалса, онда ең кіші квадраттар әдісі
бойынша табылған бағалар келесі қасиеттерге ие болады:
- бағалар жылжымаған болады, яғни
Бұл шартынан шығады және регрессия түзуін анықтауда ұдайы қате жоқ
екенін көрсетеді;
- бағалар орнықты, себебі бақылаулар саны өскенде бағалардың
дисперсиясы нөлге ұмтылады
Басқаша айтқанда таңдаманың көлемі өсуіне байланысты бағалау дәлдігі
өседі.
- баға тиімді, яғни параметрлердің басқа бағаларына қарағанда
дисперсиясы ең кіші баға болып табылады.
Егер 2 және 3 алғышарттар орындалмаса, яғни ауытқулар дисперсиясы
тұрақты емес және бір –бірімен байланысты болса, онда бағалар
жылжымаған және орнықты болу қасиеттері сақталады, бірақ баға тиімді
болмайды. Классикалық сызықтық регрессиялық модель құруда көрсетілген алғы
шарттардан басқа бірнеше ұйғарым жасалады. Мысалы
– түсіндіруші айнымалылар кездейсоқ шама болмайды;
– кездейсоқ ауытқулар қалыпты үлестірілген;
– бақылаулар саны түсіндіруші айнымалылар санына қарағанда едәуір
үлкен;
– спецификациялау қатесі жоқ;
– жетілген мультиколлинеарлық жоқ.
Сызықтық регрессия теңдеуінің коэффициенттерінің интервалдық бағасы.
Ең кіші квадраттар әдісінің негізгі алғы шарттары математикалық үміті нөлге
тең, дисперсиясы тұрақты ауытқуларының қалыпты үлестіруі туралы
болжам болып табылады, яғни ~ . Бұл болжамның нақтылығы
ықтималдықтар теориясындағы белгілі орта шектік теоремаға негізделген. Егер
кездейсоқ шама көптеген (бірнеше) тәуелсіз кездейсоқ шаманың қосындысына
тең және әрбір қосылғыштың қосындыға әсері шамалы болса, онда қарастырып
отырған кездейсоқ шама қалыпты үлестіруге жатады. Бірақ кездейсоқ
ауытқулары моделге кіргізілмеген тәуелсіз айнымалылардың шамаларына әсерін
көрсетеді. Әдетте осындай айнымалылар саны өте көп, бірақ олардың жеке
әсері өте аз. Сондықтан кездейсоқ ауытқуларды қарастыруда орта шектік
теореманың шарттары толық орындалады деп айтуға болады. кездейсоқ
шамалары қалыпты үлестірілген деп тұжырым жасауға болады, яғни Онда
ол тұжырым тек қана және сызықтық регрессия теңдеуінің
және коэффициенттерінің сызықтық жылжымаған нүктелік бағалары ғана
емес, сонымен қатар дәлдік кепілдігін беретін олардың интервалдық бағаларын
табуға мүмкіндік береді. Жоғарыда көрсетілген болжамдар, және
кездейсоқ шамалары қалыпты үлестірілген деп айтуға мүмкіндік береді.
Шынында да, бізге белгілі болғандай, қалыпты үлестірілген кездейсоқ
шамалардың сызықтық комбинациясы қалыпты үлестірілген кездейсоқ шама деп
айтуға болады. және мына түрде жазылуы мүмкін:
мұндағы - тұрақты сандар. Басқаша айтқанда, және ,
арқылы -дің сызықтық функциялары болып табылады. Осыған сәйкес,
және -де қалыпты үлестірілген. Алдында айтылғандай .
(16)
мұнда . Ендеше,
Жоғарыда көрсетілгендей статистика
(17)
еркіндік дәрежесі , Стьюдент үлестіруі болады. Әрі қарай - тік
сенімділік интервалын табу үшін Стьюдент үлестіруінің кризистік нүктелер
кестесінен сенімділік ықтималдығы және еркіндік дәрежесі
болатын, мәні табылады.
(18)
(19)
(20)
Жақшадағы өрнекті түрлендіріп
(21)
(22)
(23)
. (24)
Қатынастар (), сенімділікпен және параметрлерін жабатын
сенімділік интервалдары:
(25)
. (26)
Сенімділік интервалы регресияның және теориялық
коэфициенттерінің табылған және бағаларының
сенімділігіне сәйкес болатын интервалды анықтайды.
4.5 Регрессия теңдеуінің жалпы сапасын тексеру. Детерминация
коэффициенті
Регрессияның әрбір коэффициентінің маңыздылығын тексергеннен кейін
әдетте оның регрессия теңдеуінің жалпы сапасы тексеріледі. Егер барлық
нүктелер құрылған теңдеудің бойында жататын болса, онда -тің -ке
тәуелділігі -тің мәндерінен байқалады. Регрессия теңдеуінің жалпы
сапасының қосындылық өлшемі - детерминация коэффициенті.
(27)
Коэффициенттің мағынасын түсіндірейік. Регрессияның эмпирикалық теңдеуі:
. (28)
Бақыланған нақты мәндері ; модель бойынша мәндері , ауытқуы
шамасы
. (29)
Бұл өрнекті
(30)
немесе
,
-бақыланатын -ші нүктенің тәуелді айнымалының орташасы
-тен ауытқуы; - регрессия түзуіндегі осы нүктенің -дан
ауытқуы; -осы нүктенің модель бойынша регрессия теңлеуімен анықталған
мәнінен ауытқуы. Барлық ауытқулар тәуелді айнымалының өсі бойынша
есептеледі.
Сурет 8
(31)
, онда келесі қатынас орындалады
(32)
соңғы теңдеу жалпы квадраттар қосындысы, яғни -тің қарағанда
бытырап орналасуының өлшемі деп қарастыруға болады.
түсіндіруші квадраттар қосындысы.
қалдық квадраттар қосындысы.
(32) теңдігін сол жағындағы қосындыға бөліп,
(33)
Белгілеу енгізетін болсақ
, ендеше (34)
4.6 Түсіндіруші айнымалыларды таңдау
Регрессия теңдеуіне кіргізетін факторлар құрамын анықтау үшін алдымен
олардың өзара байланыстарының теориялық көріністерін қолданады.
Бейнеленген факторлар сандық өлшемді болу керек. Түсіндіруші айнымалылар
құрамына тұтынушылар талғамының өзгеруін кіргізу қиын. Айнымалылардың
спецификасы қате болу себептері:
а) теңдеуге қажетті түсіндіруші айнымалы кіргізілмеу;
b) теңдеуге қажетсіз түсіндіруші айнымалы кіргізу.
(35)
теңдеуіне айнымалыны кіргізбегенде
(36)
теңдеуі талданады. Онда (36) теңдеу үшін айнымалының коэффициенті
мына формуламен есептеледі
Егер айнымалылары корреляциялық байланыста болса, онда
нақты (35) теңдеуімен анықталатын болғандықтан математикалық үміт:
Теңдеуге қажет айнымалыны енгізбеу оның коэффициенттерінің бағасының
жылжыған болуына әкеліп соқтырады. Бұл жағдайда бағалар жылжымаған, бірақ
тиімсіз болады. және айнымалылар арасында корреляциялық
байланыс неғұрлым жоғары болса, соғұрлым коэффициентінің шамасы
жоғары болады. Регрессия теңдеуіне артық түсіндіруші айнымалыны кіргізу
регрессия теңдеуінің сапасын жақсарта алмауымен қатар коэффициенттерінің
статистика бойынша маңызды емес болуына келтіруі мүмкін.
5 Жиындық сызықтық регрессия
5.1 Жиындық сызықтық регрессия ұғымы
Экономикалық көрсеткіштер тек қана бір фактордан емес бірнеше
фактордан тәуелді. Жиындық сызықтық регрессия моделі қос сызықтық регрессия
моделінің жалпы түрі болады.
Y= , (1)
мұнда тәуелді айнымалы, түсіндіруші айнымалылар,
регрессия коэффициенттері, кездейсоқ мүше. болғанда (1)
қос сызықтық регрессия теңдеуіне айналады. бақылаудан тұратын
таңдама алайық
Тік жолдан тұратын вектор және матрицаны анықтаймыз:
, ,
және матрицалары таңдама бойынша алынған мәліметтерден тұрады.
тік жолында таңдама бойынша бағаланатын белгісіз коэффициенттер, ал
- бақыланбайтын кездейсоқ мүшелерден тұратын тік жол. Осы
белгілеулерді пайдаланып (1) теңдеулер жүйесін матрицалық түрде былай
жазуға болады.
(2)
5.2 Ең кіші квадраттар әдісі
Жиындық регрессия моделінде қос сызықтық регрессия үшін
пайдаланылатын ең кіші квадраттар әдісінің жалпылама түрі қолданылады.
Бағаланған жиындық сызықтық регрессия теңдеуі
(3)
осындай теңдеуді барлық бақылаулар үшін жазайық
(4)
Бағаланған жиындық сызықтық регрессия теңдеуі матрицалық түрде былай
жазылады
(5)
мұнда -тік жолдар. Жоғары индекс әріпі транспонирленген
матрица екенін көрсетеді. Тәуелді айнымалы тің нақты мәндері
және оның (3) теңдеуімен анықталған сәйкес мәндерінен ауытқуын анықтаймыз
Ең кіші квадраттар әдісі ауытқулардың квадраттарының қосындысының минимум
шартынан (2) теңдеудің коэффициенттерін анықтауға негізделген
Матрицалардың қасиеттерін пайдаланып,
матрицасының тік жолдары сызықтық тәуелсіз болса, онда кері
матрица болады және регрессия теңдеуінің коэффициенті векторының
бағасын келесі формула бойынша табуға болады
(6)
5.3 Түзетілген детерминация коэффициенті
Жиындық регрессияның детерминация коэффициенті түсіндіруші
айнымалылар санының кемімейтін функциясы болады. Жаңа түсіндіруші айнымалы
енгізу мәнін кемітпейді. Әрбір жаңа түсіндіруші айнымалы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz