Типтік теңдеулер және теңсіздіктерді шығарудың әдістемелік ерекшеліктері

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 50 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

ТАРАЗ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ

Кафедра: Математика және МОӘ

Дипломдық жұмыс

Тақырыбы: Типтік теңдеулер және теңсіздіктерді шығарудың әдістемелік ерекшеліктері

Орындаған: Убишов Д.

Жетекші: Мүсілімов Б.

Тараз 2012

Мазмұны

Кіріспе

Бірінші тарау

Сандар және теңдеулер математикалық білім негізі

Сандар туралы мәлімет
Сандық ось және сандық аралықтар
Негізгі типтік теңдеулер және оларды шешу ерекшеліктері
Модуль - абсолютті шама түсінігі және негізгі қатынастарды пайдалану ерекшеліктері

Екінші тарау

Теңсіздік - фундаментальді математика бастамасы

2. 1 Мектеп курсында теңсіздіктер тақырыбын оқыту жағдайы және ерекшелігі

2. 2 Сызықтық функция және сызықты теңсіздікті шешу ерекшеліктері

2. 3 Квадратты функция және типтік квадрат теңсіздіктерді шешу ерекшеліктері

2. 4 Дәрежелік теңсіздіктерді шешу ерекшеліктері

2. 5 Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу ерекшелігі

2. 6 Логарифмдік теңсіздіктерді шешу ерекшелігі

2. 7 Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу ерекшелігі

2. 8 Күрделі түрдегі теңсіздіктерді шешу ерекшеліктері

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Білім өркениеттіліктің өлшемі әрі тетігі болғандықтан кез келген мемлекеттің әлеуметтік және рухани дәрежесінің білім деңгейіне байланысты бағаланатыны белгілі.

Жан-жақты, өркениетті ел ұрпағын тәрбиелеу бүгінгі мектептердің алдына қойылған мақсаттарының бірі. Осы мақсат әрбір орта мектеп мұғалімінен бүгінгі заман талабына сай оқыту әдістемесін күннен күнге жетілдіре түсуін талап етеді. Осы талаптың орындалуы орта мектеп бағдарламасындағы әрбір пәннің жеке тарауларының әр тақырыбын оқушылар санасына жеткізіп оқытқанда ғана орындалады. Сонымен, оқушыларды жеке өзіндік тұлға етіп тәрбиелеуде математиканың жалпы оқыту және тәрбие жүйесіндегі алатын орнының зор және ерекше екені белгілі.

Табиғатта және өмірде болып жатқан процестер, құбылыстар өте күрделі болып келеді. Оларды зерттеуде математика мүмкіндігін пайдалану күрделі математикалық өрнектер және қатынастармен (формулалар, теңдеулер, теңсіздіктер, теңдеулер және теңсіздіктер жүйелері т. с. с) жұмыс істеуге, зерттеулер жүргізуге алып келеді. Ал бұл өз кезегінде күрделі математикалық есептерді қарастыру және шешу мәселесіне терең зерттеулер жүргізуді талап ететін болады. Ғылыми, техникалық және экономикалық есептердің көбісі негізінен теңсіздіктермен жұмыс істейтін есептер болып келеді.

Сондықтан мектептік математиканы оқытуда теңсіздік ұғымын енгізуге және оны пайдаланып есептер шығаруға баса назар аудару қажеттілігі туындайды. Себебі бұл тақырыпты түсінген және меңгерген оқушылар келешекте кез келген салаға байланысты қойылған есептерді түсінетін және оларға терең сараптамалар жасай алатын деңгейге жете алатын болады.

Сол себепті, мектептік математика курсындағы ең бір негізгі орталық ұғым, түсінік - «теңсіздік» ұғымы екендігін келешек математика пәні мұғалімі жақсы түсінуі тиіс. Теңсіздік ұғымын жеткілікті деңгейде саналы түсінген оқушы ғана келешекте жалпы математика курсын және оның қолданбалық қасиеттерін, мүмкіндіктерін және бағыттарын терең түсінуге мүмкіндік алады, білімін және біліктілігін өз бетінше тиімді түрде тереңдете және дамыта алатын болады, шығармашылық тұрғыда жұмыс істеуге бейімделеді. .

Келешекте ғылыми - зерттеу жұмыстарымен айналыса алудың фундаменті, іргесі теңдеу және теңсіздік тақырыптарын оқып-үйрену барысында қаланады, соларды саналы түсініп шығара алудан басталады. Сондықтан алдымен, бастапқыда типтік теңдеулерді және теңсіздіктерді шығаруды жақсылап түсініп және меңгеріп алу қажет болады. Ал енді, өз кезегінде типтік теңдеулерді және теңсіздіктерді саналы түсініп шығара алу үшін, алдымен модуль (абсолют шама) анықтамасын және негізгі элементар функциялар қасиеттерін, графиктерін, сан өсінде шамаларды және интервал дарды өрнектеуді, элементар типтік теңдеулерді шығарудың негізгі тәсілдерін жақсылап түсініп және меңгеріп алу қажет.

Міне, теңсіздіктер және теңсіздік теңдеулерді шешу тақырыбының жалпы математикалық білімдегі орнын, рөлін және маңыздылығын ескере отырып, осы тақырыпты тиімді оқытуға бағытталған кейбір өзекті мәселелерді диплом жұмысыма арқау етіп отырмын. Диплом жұмысы кіріспеден, екі тараудан, қорытынды және әдебиеттер тізімінен тұрады.

Дипломдық жұмыстың бірінші тарауы осы тақырыпты терең түсінуге бірінші кезекте қажет болатын ұғымдар және түсініктерге арналған. Екінші тарауда негізінен автордың көзқарасынан туындайтын мәселелер қарастырылған. Онда негізгі типтік теңсіздіктерді шешуді тиімді оқып үйренудің жолдары, тәсілдері және ережелері, тізбелері келтірілген.

Тараудың соңында жас мұғалімдерге және болашақ математика пәні мұғалімдеріне теңсіздік тақырыбын тиімді және сапалы оқытуда көмекші құрал ретінде диплом жұмысындағы келтірілген ойлар, ұсыныстар қысқаша түрде анықтама ретінде бір жерге жинақталды.

Автор диплом жұмысын орындау барысында көптеген әдебиеттермен танысты, негізгі мектеп оқулықтарына және ғылыми-әдістемелік журналдар беттерінде жарияланған осы бағыттағы мақалаларға сараптамалар жүргізді. Интернет беттеріндегі білімдік сайттарды қарап шықты, әртүрлі ой-пікірлер мен танысты. Сол еңбектерді сараптау нәтижесінде осы диплом жұмысы жазылды.

Бірінші тарау

1. 1 Сандар туралы мәлімет

Карл Гаусс математикалық сан салаларды сарапқа сала отырып арифметиканы математика патшасы деген баға берді. Арифметикалық негізгі ұғым - сан. Демек, сан ұғымын білу және пайда болуын ашу - ғылыми методологиялық мәселе.

Сан ұғымы адамзат мәдениетінің тууы және дамуымен тығыз байланыста. Шынында, егер сан ұғымы болмаса, өзіміздің рухани өмірімізді және тәжірибелік қызметімізді өз дәрежесінде көрсете алмайтын едік. Есеп - қисап жүргізуді, уақыт пен қашықтықты өлшеуді, еңбек нәтижесінің қорытындысын есептеуді сан ұғымынсыз жүргізу мүмкін емес.

Сан әуелде заттарды санау қажеттілігінен туған математикалық ұғымдардың бірі. Кейіннен ол математикалық білімдердің дауына қарай жетілдіріле түсті. Бұл өте ертедегі заманда адамның тәжірибелік қызметтерінің қажеттілігінен келіп туған ұғым.

Жалпы айтқанда сан ұғымы тек қана шындық дүниеден пайда болған. Өте ертеде пайда болған бұл ұғым көптеген ғасырлар бойына жалпыланып, кеңейе түскен. Сонда сан туралы түсініктер адамзаттың тәжірибелік қажеттілігіне, мәселен, шамаларды өлшеу қажеттілігіне және математиканың ішкі мұқтаждықтарына байланысты кеңейіп отырғаны байқалады. Мысалы, шамаларды дәл өлшеу қажеттілігі оң бөлшек ұғымының пайда болуына себеп болса, теңдеулерді шығару тәжірибелері мен санаудағы теориялық зерттеулер нәтижесінде теріс сандар пайда болды. Ертеректе санның жоқ екендігін белгілеуде қолданылған сан нөл теріс сандар енгізілген соң сан ретінде қарастырыла бастады.

Нәрселерді санаудағы пайдаланылатын сандарды натурал сандар деп атайды. Натурал сандардың қатары $1$ санынан бастау алады. Натурал сандардың мүшелер саны шексіз болып табылады. Натурал сандардың ұғымының дамуы ерте заманда адамдар заттардың жиынтығының санын санамай-ақ, яғни өзара бірмәнді сәйкестілікті тағайындау арқылы қабылдануымен сипатталады. Натурал сан терминін алғаш рет рим ғалымы А. Боэций (шамаменен $480 - 514$ жылдар) қолдана бастаған. Бұл ұғым қалыптасқан соң сандар дербес объектілерге айнала бастады.

ХІХ ғасырда ғалымдар назары натурал сандарменен есептеулерді жүргізудің негізі болған теориялар құру және логикалық тұрғыда негіздеуге аударылды. Бұл ұғымның өте қарапайым әрі табиғи көрінетіні сонша, ғылымда көп уақыт бойына оны қандай болсын қарабайыр ұғым терминдерімен анықтау жайлы мәселе қойылмады. Бөлшектер ұғымының пайда болуы шамаларды өлшеуден басталды. Ерте заманда адамдарға сауда да және әр түрлі есептеу жұмыстарда бөлшек пен үлес есептеу қажет болған. Алғашқыда математикада бөлшектерді сынық сандар деп атаған. Бөлшек ұғымы туралы түсініктердің дамуында үш түрлі ұғым қалыптасқан.

1) Бірлік бөлшек - алымы 1 болатын бөлшек.

2) Жүйеленген бөлшек. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген бүтін сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.

Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да, бөлімі де кез келген натурал сан болды.

Бөлшектердің мұндай әртүрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген қиындықтар туғызды. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық жұмыстарында өркендеген елдерде: Мысырда, Вавилонда, Үндістанда және Римде қалыптасты. Ертеде әртүрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символдарын енгізді. Ежелден $1/2$ -ді жарты, $1/4$ -ді ширек, $1 + 1/2$ -ді бір жарым және т. с. с, деп атаған. Осылайша «жарты», «ширек» ұғымдары қалыптасқан.

Бөлшек сызығын уал-Хасара және итальяндық Леонардо Пизанский өздерінің жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский «бөлшек» деген сөзді енгізді. Бөлшек сызығы ХVІ ғасырда ғана белгілеуге толық енді.

Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми зерттеулерінде алпыстық бөлшектерді (бөлімі алпыс болатын сан) пайдаланды. Осыдан қалған бөлшек жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.

$1\ мин\ = \ 1/60сағ$ ; $1сек\ = \ 1/60мин$ . Бөлшектегі «алым», «бөлім» атауларын ХІІІ ғасырда грек математигі Максим Плаунд енгізген, жалпы түрдегі $m/n$ бөлшегі ежелгі грек ғалымы Архимедтің еңбектерінде пайдаланылған. ХХ ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды қалыптастырды.

Самарқанд қаласындағы астрономиялық обсерваторияның негізін салушы Әл-Каши бөлшек сандарды жазудың барлық түрлендірулер мен есептеулерін айтарлықтай ықшамдайтын түрін, яғни ондық бөлшек деп аталатын жаңа түрін ашты.

ХVІІ ғасырдың басында ондық бөлшекті жазуды, айыру таңбасы ретінде үтір немесе нүкте қолданыла бастады.

Ондық бөлшектерді есептеу натурал сандарды есептеуге ұқсас және ыңғайлы болғандықтан, ғылымдағы, өндірістегі, күнделікті өмірдегі есептеулерге жиі пайдаланылады. Ондық бөлшектер және ондық бөлшектерге амалдар қолдану туралы ортаазиялық ғалым Әл-Каши өзінің «Арифметика кілті» (1437ж) атты кітабында жазды. Әл-Каши ондық бөлшектерді жазуда үтірді пайдаланбаған, бірақ ол үтірдің орнына тік сызық қойған. Ал, нидерландиялық математик Стевин Симон (1548-1620) өзінің ондық бөлшек туралы «Ондық» атты (1585) кітабында үтірді пайдаланбай, бөлшектің бүтін бөлігі мен бөлшек бөлігін бір қатарға үтірсіз жазған. Мысалы, 37, 48 ондық бөлшегін мына түрде жазған: 37 0 4 1 8 2. Үтірдің орнына бірліктің үстіне нөл жазған. 1, 2, 3, . . . цифрларымен ондық таңбалардың ретін белгілеген.

Өмірде, тұрмыста, кездесетін көптеген шамалар ( жылдамдық, биіктік, температура, баға, т. б. ) көбейіп, азайып өзгеріп отырады. Шамалардың өзгерістерін белгілеу үшін оң сандармен қатар теріс сандар енгізілді. Теріс сандар туралы ең алғашқы ұғым біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырдағы қытай математиктерінің еңбектерінде кездескен. Оң санды «өсу» өзгерісінде қолданса, теріс санды «кему» ретінде қолданған немесе теріс сандар «қарыз» мағынасында қолданса, оң сандарды қолда бар зат «мүлік» деп түсінген.

Кейбір шамалардың тура мағынасы, тура бағыты болумен қатар, қарама- қарсы мағынасы, қарма - қарсы бағыты болады. Шамалардың өзгерісінің сан мәнін жазғанда, оқығанда оның тура мағынасының сан мәнінің алдына «+» таңбасы қойылады. Шаманың қарама-қарсы мағынасының сан мәнінің алдына «-» таңбасы қойылады. Координаталық түзудегі оң (оңға қарай) бағытқа қарама-қарсы (солға қарай) бағыт теріс бағыт деп аталып, ол бағытта теріс сандар кескінделеді. Бір-бірінен тек қана таңбаларымен ажыратылатын сандар қарама-қарсы сандар деп аталады.

Математикаға теріс сандардың енгізілуімен қатар нөл саны да жаңа мағынаға ие болды. Нөл саны санақ басы болып және қарама-қарсы сандардың қосындысы деп есептелді. Үнділер нөлді «сунья» (қазақша «бос» деген мағынаны білдіреді) деп атаған, ал арабтар «ас-сифр» деп аударған, сондықтан ХVІІ ғасырға дейін нөл «цифр» деп аталып келген .

«Нөл» қазақшаға аударғанда «ешқандай» дегенді білдіретін латынның «nullus» деген сөзінен шыққан.

Қазіргі кездердегі түсінігімізше нөл - сан. Оны басқа сандар сияқты қосуға, азайтуға, көбейтуге, бөлуге болады, тек қана 0-ге санды бөлуге болмайды.

Нөл саны координаталық түзуде санақ басы болатын О нүктесінің координатасы, 0 - саны оң сандар мен теріс сандарды ажыратып тұратын сан, сондықтан 0 саны оң санға да, теріс санға да жатпайды. 0 саны бүтін сандар жиынына жатады.

Қорытындылай келе, натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының ішкі жиыны, бүтін сандар жиыны шектеусіз жиын. Бүтін сандар жиыны, оң және теріс бөлшектер жиыны рационал сандар жиынын құрайды. Мына суретте натурал сандар жиыны бүтін сандар жиынының, ал бүтін сандар жиыны рационал сандар жиынының ішкі жиыны екені Эйлер - Венн дөңгелектері арқылы көрсетілген.

Жалпы, сан ұғымы мұнымен шектеліп қана қоймайды, сандар өте көп әрі шексіз. Рационал сандар жиынына бүтін сандар, оң бөлшек және теріс бөлшек сандар жататыны белгілі. Кез келген рационал санды шектеусіз периодты ондық бөлшекпен жазуға болады. Шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде өрнектелген санды иррационал сандар деп атайды. Рационал және иррационал сандар жиындарын нақты сандар жиыны құрайды.

Комплекс сан $a + bi$ символымен белгіленеді. Мұндағы $a$ мен $b$ комплекс санның сәйкес нақты және жорамал бөліктері деп аталатын нақты сандар; $i$ символы жорамал бірлік деп аталады. Жорамал бірліктің квадраты минус бірге тең. Көбінесе комплекс санды бір әріппен «жиірек $z$ арқылы) белгілейді: $z = a + bi$ .

$z = a + bi$ комплекс санының нақты және жорамал бөліктерін сәйкес $Rez$ (франц. «reel- нақты» сөзі) және $Jmz$ (франц. «imiginaire-жорамал» сөзі) арқылы белгілейді: $a = Rez$ , $b = Jmz$ .

Егер $a_{1} = a_{2}$ және $b_{1} = b_{2}$ болса, онда $z_{1} = a_{1} + b_{1}i$ және $z_{2} = a_{2} + b_{2}i$ екі комплекс сандары тең деп ( $z_{1} = z_{2}$ ) саналады.

Егер $a = b = 0$ болса, онда $z_{1} = a_{1} + b_{1}i$ комплекс саны нөлге тең;

$b = 0$ болса, онда $z = a(a + 0i = a)$ ;

$a = 0$ болса, онда $z = bi$ деп жазылады (0 $+ bi = bi)$ .

Санақ жүйесі - деп сандарды атау және жазу пайдаланылатын тәсілдер жиынын атайды. Санақ жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес .

Позициялық емес жүйеде барлық цифрлар санда тұрған орнына тәуелді емес. Позициялық емес санақ жүйесіне римдік санақ жүйесі жатады. Бұл жерде әр бүтін сан белгілі бір таңбамен жазылады: I - бір, V - бес, X - он,
L - елу, С - жүз, D - бес жүз, М - мың. Римдік санақ жүйесі арифметикалық амалдарды қолдануға тиімсіз.

Позициялық санақ жүйесінде әр цифрдың сан мәні, оның осы санды құрайтын цифрлар қатарындағы позициясына, яғни орнына байланысты.
Бүтін сан барлық санақ жүйесінде есептеу ережесі көмегімен кез-келген тұтас санның соңынан дүниеге келеді.

Алынған бүтін саннан кейінгі санды табу үшін, алынған санның соңғы оң жақтағы цифрды қорғау керек, егер кез-келген цифр қозғағаннан кейін 0-ге айналса, онда алынған цифрдың сол жағындағы цифрды да қорғау қажет.
Есептеу техникасында тек қана белгілі бір негіздегі позициялық жүйе пайдаланылады. Паскальдің есептеуіш машинасынан бастап көптеген механикалық цифрлы-есептеуіш машиналар позициялық ондық жүйе бойынша жұмыс істейді. Бірақ бұл ондық санақ жүйесі қазіргі кездегі электрондық машина үшін жарамсыз. Себебі бұл жерде 10 цифрды қолдану керек (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) және ЭЕМ-нын еске сақтау құрылғысында әрбір цифрды кескіндеу үшін он тұрақты жағдай болуы керек. Сондықтан қазіргі кезде ЭЕМ-де екілік, үштік, сегіздік, он алтылық санақ жүйелерін қолданады. Сандар: екілік санақ жүйесінде 0мен 1, үштік санақ жүйесінде
0, 1 және 2, сегіздік санақ жүйесінде 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ал он алтылық санақ жүйесінде 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F цифр мен символдары арқылы жазылады. Кез-келген санақ жүйесінде қолданылатын цифрлардың санын санақ жүйесінің негізі деп атайды. Кез-келген санақ жүйесінің негізін Р символымен белгілесек, онда алып отырған жүйедегі кез-келген санды 0 мен Р-1 аралығындағы цифрлар көмегімен жазуға болады.

1. 2. Сандық ось және сандық аралықтар

Француз математигі Рене Декарт (1596-1650) 1637 жылы сандық түзуді енгізіп, оң және теріс сандарға түсініктеме берді.

Оң сандар мен теріс сандар және 0 саны сан түзуінде кескінделеді.

Сандық түзу дегеніміз санақ басы болатын О нүктесі, бірлік кесіндісі және оң бағыты көрсетілген түзу.

бірлік кесінді

оң бағыт

теріс бағыт

Сандық түзуде санақ басы болатын $O$ нүктесі $0$ (нөл) санын кескіндейді. Яғни $O$ нүктесінің координатасы нөлге тең $(O(0) )$ .

Сандық түзудің $O$ нүктесінен (санақ басынан) оң бағытта оң сандар кескінделеді (1-сурет) . Мысалы, бірлік кесіндіні $O$ нүктесінен бастап оң бағытта салғанда, оның соңғы $А$ нүктесі $1$ санын кескіндейді. Оған жалғастыра бірлік кесіндіні ( оң бағытта) екінші рет салғанда, оның соңғы $B$ нүктесі $2$ санын кескіндейді. Оған жалғастыра бірлік кесіндіні (оң бағытта) үшінші рет салғанда, оның соңғы $C$ нүктесі $3$ санын кескіндейді (1-сурет) .

$2\frac{3}{4}$

$- 1, 5$

$- 2\frac{3}{4}\$

$0$

$A$

$D$

$B$

$E$

$C$

$F$

$N$

$K$

$P$

$L$

$- 3$

$- 2$

$- 1$

$1$

$1, 5$

$2$

$3$

Сандық түзудегі $O$ нүктесінен (санақ басынан) бастап оң бағытқа қарама-карсы бағыт теріс бағыт деп аталады.

Сандық түзудің теріс бағытында теріс сандар кескінделеді. Санақ басы болатын $O$ нүктесінен теріс бағытта салынған бірінші бірлік кесіндінің соңғы $F$ нүктесі - $1$ санын кескіндейді. Мұндағы $OF = OA; \ F( - 1) .$ Бірлік кесіндіні теріс бағытта екінші рет өлшеп салғандағы оның соңғы $K$ нүктесі - $2$ санын кескіндейді. Мұнда $OK = OB; \ K( - 2),$ т. б.

Осылайша теріс сандарды кескіндеуді жалғастыруға болады. Теріс бөлшек сандар да осы тәртіппен кескінделеді. Мысалы, $N$ нүктесі - $1, 5$ санын кескіндейді, яғни $N( - 1, 5)$ . Мұндағы $ON = OD$ . $P$ нүтесі $- 2\frac{з}{4}$ санын кескіндейді, яғни $P( - 2\frac{з}{4}) .$ Мұндағы $OP = OE$ .

Егер сандық түзу вертикаль орналасса, санақ басы болатын $O$ нүктесінен жоғары қарай оң бағыт (бағыты көрсетіледі) деп, төмен қарай теріс бағыт деп есептеледі. Сандық түзу вертикаль орналасса, санақ басынан ( $O$ нүктесі) оң бағытта (жоғары қарай) оң сандар кескінделсе, теріс бағытта (төмен қарай) теріс сандар кескінделеді.

Математикаға сандық түзудің енуімен байланысты $0$ санының мағынасы кеңейді. Сандық түзуде $0$ саны оң сандарды кескіндейтін нүктелер мен теріс санды кескіндейтін нүктелердің арасын ажырататын шекаралық нүкте болады.

Берілген санға сандық түзудің бойында бір ғана нүкте сәйкес келеді. Ауа температурасын, адам денесінің температурасын өлшейтін термометрлердің шкалалары сандық түзу тәріздес жасалған.

Төменде $a$ мен $b$ $(a < b)$ сандарының (нүктелерінің) арасында жатқан x-сандар жиынынан құралған «аралықтары көрсетілген. Кестенің 1-ші бағанында қос теңсіздікті қанағаттандыратын x сандар жиыны, 3-ші бағанда бұл аралықтың атауы, ал 4-ші бағанда геометриялық бейнесі көрсетілген.