АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ БЕТІ ЖӘНЕ КӨЛЕМІ

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 23 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ 3

1 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТТЕР 5

1. 1 Цилиндр 5

1. 2 Конус 7

1. 3 Шар және сфера 9

2 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІНІҢ БЕТІ ЖӘНЕ КӨЛЕМІ 14

2. 1 Цилиндрдің көлемі және бүйір бетінің ауданы 14

2. 2 Конустың көлемі және бүйір бетінің ауданы 15

2. 3 Шардың көлемі 17

2. 4 Шар сегменті мен секторының көлемі және сфераның ауданы 17

ҚОРЫТЫНДЫ 19

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 22

2

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі: Айналу денесі қозғалмайтын оське қатысты жазық фигураны айналдырғаннан пайда болған дене. Айналу денелеріне: тік

төртбұрышты бір қабырғасынан айналдырғанда пайда болған: төртбұрышты бір қабырғасынан айналдырғанда пайда болған

цилиндр, тік: цилиндр, тік

төртбұрышты бір қабырғасынан айналдырғанда пайда болған: бұрышты үшбұрышты бір катетіне айналдырғанда пайда болған дене

цилиндр, тік: конус,

төртбұрышты бір қабырғасынан айналдырғанда пайда болған: жарты дөңгелекті диаметрінен айналдырғанда пайда болған

цилиндр, тік:

шар

жатады.

Айналу денелері күнделікті тұрмыста өте көп кездесетіндігіне оқушылардың көзін жеткізеді. Цилиндрдің, конустың және шардың айналамызда қандай бейнеде екендігін, күнделікті тұрмыста цилиндрдің( су құбырлары, стакан, бөшкелер), конустың, қиық конустың(шелек, балмұздақ) және шардың ауданын, көлемін табуды үйретеді.

Айналу денелері тақырыбына есептер шығару оқушының логикалық елестету қабілетін арттырып, және сол елестету барысында пайда болған денені

қағаз бетіне: қағаз бетіне

түсіруді де үйретеді.:

түсіруді де үйретеді.

қағаз бетіне: Оқушыларда дәлелдей білу дағдыларын қалыптастыру олардың

қағаз бетіне: сенімділігін қалыптастырудың да маңызды жолы болып табылады.

түсіруді де үйретеді.: Мамандар

қағаз бетіне: дәлелдеуге

түсіруді де үйретеді.:

үйретуді дәлелдеуді құруға, оны аша білуге,

: іздестіруге

бағытталған ақыл -ой үрдісіне оқыту деп түсіне алу керісінше, оқушыларды дәлелдеуге үйрету мұғалім және оқулықтар ұсынған дайын дәлелдеулерге үйрету деп біледі. Дайын дәлелдеуге оқулықтарда дәлелденген немесе мұғалім көрсеткен теоремалар жатады. Кез келген дайын дәлелдеме оқушы үшін жаңалық. Сондықтан оқушылардың кітаптағы дәлелдеуді немесе мұғалімнің дәлелдеп бергенін игеруінің, оны қайта айтып бере алуының, дәлелдеу үрдісінің мәнін түсінуіне мүмкіндік беретін дидактикалық мағызы бар теоремалардың дәлелдемелерін игеру үрдісіне оқушылар енжар қатынаспай, дәлелдеуді ашушылардың бірі ретінде белсенді қатыстырылып отырылады. Теоремалардың дайын дәлелдемелерін үйрету кезінде мұғалім оқушыларды дәлелдеу әдісін іздестіре білуге, өз ойын негіздеп айта алуға, пайымдаулар жасауға дағдыландырады. Оқыту үрдісінде дәлелдеуге үйретуді дұрыс ұйымдастыру, салыстыру, анализ және синтез, жалпылау және абстракциялау тағы басқа ойлау амалдарынсыз мүмкін емес. Оқушылар теореманы берілгендері мен дәлелдеу керегін салыстыра отырып, теоремаға талдау жасайды, нәтижеде дәлелдеудің әдістері мен оны жүзеге асырудың жолдары анықталады, синездеу арқылы синтетикалық жолмен дәлелдеу үрдісі орындалады. [14] Демек, дайын дәлелдеудің оқушыларға үйрету үрдісі оқушыларды ақыл - ой қызметіне үйретуді де жүзеге асырады екен. Нәтижеде дәлелденген теоремаға ұқсас теоремаларды өз бетінше дәлелдей алу біліктіліктері мен дағдылары қалыптасады. Оқушы дәлелдеудің мән мағынасын түсініп, дәлелдеу тәсілдері мен оларға жүргізілетін ойлау амалдарын қаншалықты меңгергенімен, олардың белгілі бір тероиялық білімдер жүйесінің (ұғымдар және олардың анықтамасы, қасиеттері мен белгілері, аксиомалар мен

3

теоремалар) жеткілікті қоры жинақталмайынша дәлелдеуге үйретудің сәтсіз болары сөзсіз.

Стереометрия тарауында ең қызықты әрі терең ойлауды керек ететін "Айналу денелері" тақырыбын толық меңгеру үшін жазықтықтағы денелердің(тік төртбұрыш, тік бұрышты үшбұрыш, шеңбер, дөңгелек) қасиеттерін жақсы меңгеруі тиіс.

Жұмыстың мақсаты мен міндеттері: кеңістіктегі фигураларды, оның ішінде "Айналу денелері" тақырыбын толық талап дәрежесінде үйрету. Айналу денелерін жан-жақты зерттеп, цилиндрдің, конустың, қиық конустың, шардың және сфераның ауданын, көлемін, беттерінің аудандарын табу сияқты мәселелерді шешуге үйрету.

Оқушылардың ойлау, пікірлеу қабілеттерін арттыру, геометриялық(математикалық) білімдерін дамыту және стереометрия тарауына оның ішінде айналу денелері тақырыбына деген қызығушылығын арттыру.

Зерттеу пәні: Математиканы оқыту әдістемесі:

Зерттеу әдістері: Курстық жұмысты жазу барысында жинақтау, салыстыру, сараптау, талдау, т. б. ғылыми зерттеу әдістері пайдаланылады.

Жұмыстың құрылымы: Курстық жұмыс үш тараудан тұрады. Бірінші тарау үш пункттен, екінші тарау төрт пункттен және соңғы тарау қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Кіріспеде жұмыстың сипаттамасы, мақсаты, міндеттері, өзектілігі қарастырылған. Курстық жұмыс-беттен тұрады.

4

1 АЙНАЛУ ДЕНЕЛЕРІ ТУРАЛЫ ЖАЛПЫ МӘЛІМЕТТЕР

1. 1 Цилиндр

Цилиндр (дәлірек айтқанда, дөңгелек цилиндр) деп бір жазықтықта жатпайтын, параллель көшіргенде дәл беттесетін екі дөңгелектен және осы дөңгелектердің сәйкес нүктелерін қосатын барлық кесінділерден қүралатын денені атайды (сурет 1) . Дөңгелектерді цилиндрдің табандары деп, ал дөңгелектер шеңберлерінің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерді цилиндрдің жасаушылары деп атайды. [5]

Параллель көшіру дегеніміз қозғалыс болғандықтан, цилиндрдін табандары тең болады.

Параллель көшіргенде жазықтық параллель жазықтыққа (немесе өзіне-

өзі) ауысады, ендеше, цилиндрдің табандары\ параллель жазықтықтарда жатады.

Параллель көшіргенде нүктелер параллель(немесе дәл беттесетін) түзулердің бойымен бірдей ара қашықтыққа жылжитындықтан, цилиндрдің жасаушылары параллель және тең болады.

cурет 1 cурет 2

(цилиндрлер)

Цилиндрдің беті табандарынан және бүйір бетінен құралады. Ал бүйір беті жасаушылардан түрады.

Егер цилиндрдің жасаушылары табан жазықтықтарына перпендикуляр болса, онда оны тік цилиндр деп атайды. Біз алдағы уақытта тік цилиндрді ғана қарастыратын боламыз, оны қысқаша жай ғана цилиндр дейміз. Тік цилиндрді көрнекі түрде тік төртбүрышты бір қабырғасынан осы қабырғаны ось ретінде алып, айналдырғанда жасалатын дене деп қарастыруға болады(сурет 2) . [1]

Цилиндрдің радиусы деп оның табанының радиусын атайды. Цилиндрдің

5

биіктігі деп табан жазықтықтарының ара қашықтығын атайды. Цилиндрдің осі деп табандарыньң центрлерінен өтетін түзуді атайды. Ол түзу жасаушыларға параллель болады.

Цилиндрді жазықтықтармен қию

Цилиндрді осіне параллель жазықтықпен қиғанда қимасы тік төртбұрыш болып шығады (сурет 3) . Оның екі қабырғасы - цилиндрдің жасаушылары, ал қалған екеуі табандарының параллель хордалары болады. Дербес жағдайда, осьтік цима тік төртбұрыш болып табылады. Бұл - цилиндрдің осі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қима (сурет 4)

Е с е п(1) . Цилиндрдің осьтік қимасы - квадрат, оның ауданы Q-ге тең. Цилиндрдің табанының ауданын табыңдар.

сурет 3:

сурет 3

cурет 4:

cурет 4

cурет 5: cурет 5

сурет 3:

cурет 4:

(цилиндрдің қималары)

сурет 3:

Ш е ш у і.

cурет 4:

Квадраттың қабырғасы

: . Ол

: цилиндр табанындағы

сурет 3:

сурет 3: дөңгелектің диаметріне тең. Цилиндрдің радиусы

cурет 4:

: Сондықтан табанының

сурет 3:

ауданы мынаған тең болады:

Т е о р е м а1. 1. Цилиндрдің табанына параллель жазықтық оның бүйір бетін табан шеңберіне тең болатын шеңбер бойымен қиып өтеді.

Д ә л е л д е у . - цилиндрдің табанына параллель жазық-тық болсын (сурет 5) . жазықтығын цилиндрдің табан жазықтығымен дәл беттестіретін цилиндр осінің бағытындағы параллель көшіру, бүйір бетін жазықтығымен қиғандағы қимасын табан шеңберімен дәл беттестіреді. Теорема дәлелденді.

Іштей және сырттай сызылған призмалар.

Цилиндрге іштей сызылған призма деп табан жазықтықтары - цилиндрдің де табан жазықтықтары, ал бүйір қырлары цилиндрдің жасаушылары болып табылатын призманы атайды (сурет 6) [11] .

6

Е с е п(2) . Цилиндрге алтыбұрышты дұрыс призма іштей сызылған. Цилиндрдің биіктігі табан радиусына тең деп алып, призманың бүйір жағының диагоналы мен цилиндр осінің арасындағы бұрышты табыңдар.

Ш е ш у і. Призманың бүйір жақтары - квадраттар, өйткені шеңберге іштей сызылған дұрыс алтыбұрыштың қабырғасы радиусқа тең (сурет 7) .

сурет 6 cурет 7

(цилиндрге іштей сызылған призмалар)

Призманың қырлары цилиндр осіне параллель, сондықтан жақтың диагоналы мен цилиндр осінің арасындағы бұрыш диагональ мен бүйір қырдың арасындағы бұрышқа тең. Бұл бұрыш 45°-қа тең, өйткені жақтары - квадраттар.

Цилиндрге жанама жазықтық деп цилиндр жасаушысы арқылы өтетін, осы жасаушыны қамтитын осьтік қимага перпендикуляр жазықтықты атайды

Цилиндрге сырттай сызылған призма табан жазықтықтары цилиндрдің табан жазықтықтары, ал бүйір жақтары цилиндрге жанасатын ризманы атайды.

1. 2 Конус

Конус (дәлірек айтсақ, дөңгелек конус) деп дөңгелектен -- конустың табанынан, бұл дөңгелектің жазықтығында жатпайтын нүктеден конустың төбесінен және конустың төбесін табанындағы шеңбердің нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден құралған денені айтады (сурет 8) . Конустың төбесін табанындағы шеңбердің нүктелерімен қосатын кесінділер конустың жасаушылары деп аталады. Конустың беті табаны мен бүйір бетінен құралады. [8] Егер конустың төбесін табанының центрімен қосатын түзу табан жазықтығына перпендикуляр болса, ол тік конус деп аталады. Бұдан былай біз тек тік конусты ғана қарастырамыз, оны қысқаша жай ғана конус деп атаймыз. Тік дөңгелек конусты көрнекі түрде тік бұрышты үшбұрышты, оның бір катетін ось етіп алып, одан айналдырғанда пайда болатын дене деп қарастыруға болады (сурет 9) .

7

cурет 8 cурет 9

(конустар)

Конустың биіктігі деп оның төбесінен табан жазықтығына түсірілген перпендикулярды атайды. Тік конус биіктігінің табаны табанының центрімен дәл келіп беттеседі. Тік дөңгелек конустың осі деп оның биіктігін қамтитын түзуді атайды.

Конусты жазықтықпен қиғандағы қималары

Конустың төбесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда қимада бүйір қабырғалары конустың жасаушылары болып табылатын, тең бүйірлі үшбұрыш шығады. Дербес жағдайда, конустың осьтік қимасы тең бүйірлі үшбұрыш болады. Осьтік қима конустың осі арқылы өтеді (сурет 10) .

Т е о р е м а. 1. 2. Конустың табан жазықтығына параллелъ жазықтық конусты дөңгелек бойымен, ал бүйір бетін центрі конустыц осінде жататын

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: шеңбер бойымен қиып етеді. [5]

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]:

Д ә

л

е л д е у .

: - конустың табан

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: жазықтығына параллель және конусты қиып өтетін

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: жазықтық болсын. жазықтығы табан жазықтығымен

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: беттестіретін,

конус төбесіне

қатысты

: гомотетия

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: түрлендіруі

конустың

жазықтығымен

: қиғандағы

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: қимасын конус табанымен беттестіреді. Олай болса,

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: конустың жазықтықпен қимасы - дөңгелек, ал бүйір

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: бетінің қимасы центрі конустың осінде жататын

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: шеңбер болып табылады.

: cурет 10

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]:

Е с е п. Конус төбесінен d қашықтықта табанына

: (остік қимасы)

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: параллель жазықтықпен қиылған. Конус табанының

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: радиусы R ,

: ал биіктігі Н деп алып, қиманың ауданын табыңдар.

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]:

: Ш е ш у і. Конустың қимасын конустың табанынан конустың төбесіне

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]: гомотетия

түрлендіруі

: арқылы шығарып алады, гомотетия коэффициенті

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]:

: болады. Сондықтан қимадағы дөңгелектің радиусы

: . Олай болса,

шеңбер бойымен қиып етеді. [5]:

қиманың ауданы

Конустың табанына параллель және оны қиып өтетінжазықтық одан кіші конус қиып түсіреді. Қалған бөлігі қиық конус деп аталады.

8

Конусқа іштей және сырттай сызылған пирамидалар Конусқа іштей сызылған пирамида деп табаны конус табанындағы

шеңберге іштей сызылған көпбұрыш, ал төбесі конустың төбесі болып табылатын пирамиданы атайды. Конусқа іштей сызылған пирамиданың бүйір қырлары конустың жасаушылары болып табылады

Е с е п (3) . Пирамиданың барлық бүйір қырлары тең. Оның қандай да бір конусқа іштей сызылғандығын дәлелдеңдер.

Ш е ш у і. Пирамиданың төбесінен табан жазықтығына SO перпендикулярын түсіреміз және пирамиданың бүйір қырларының үзындығын l арқылы белгілейміз (сурет 11) . Табанының төбелері О нүктесінен бірдей

қашықтықта жатады.

Бұдан шығатыны, біздің пирамидамыз төбесі

пирамиданың төбесі, ал табаны центрі О және

радиусы R дөңгелек болып табылатын сурет 11

конусқа іштей сызылған. (іштей сызылған пирамида)

Конусқа жанама жазықтық деп конус-

тың жасаушысы арқылы өтетін және осы жасаушыны қамтитын осьтік қима жазықтығына перпендикуляр жазықтықты атайды.

Конусқа сырттай сызылған пирамида деп табаны - конустың табанына сырттай сызылған көпбұрыш, ал төбесі конустың төбесімен дәл келетін пирамиданы атайды. Сырттай сызылған пирамиданың бүйір жақтарының

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: 1. 3 Шар және сфера

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: Шар деп берілген нүктеден берілген

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: қашықтықтан артық емес кашықтықта жататын

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын денені

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: атайды. [5] Бүл нүкте

: шардың центрі деп, ал

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: берілген ара қашықтық шардың радиусы деп

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: аталады. Шардың шекарасы ^{шардың беті} ^немесе

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: сфера деп аталады. Сонымен, сфера нүктелері

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: центрден радиусқа тең бірдей ара қашықтықта

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: жататын сол шардың нүктелері болып табылады.

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: Шардың центрін шар бетінің нүктесімен қосатын

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: кез келген кесінді радиус деп аталады.

сурет 12

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.:

Шар бетінің екі нүктесін қосатын және шардың

(шар)

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.: центрінен өтетін кесінді

: диаметр деп аталады. Кез

жазықтығы конусқа жанама жазықтықтар болып табылады.:

: 9

сурет 13

(шардың диаметрлік жазықтығы)

келген диаметрдің ұштары шардың диаметрлік қарама-қарсы нүктелері деп аталады. Шар да цилиндр мен конус сияқты, айналу денесі болып табылады. Ол жарты дөңгелекті диа-метрінен айналдырғанда шығады(сурет 12) .

Шарды жазықтықпен қию Т е о р е м а 1 . 3 . Шарды жазықтықпен қиғандағы кез келген қимасы

дөңгелек болады. Бұл дөңгелектің центрі шардың центрінен қиюшы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болып табылады.

Д ә л е л д е у .: Д ә л е л д е у .

- қиюшы жазықтың жәнеО- шардың центрі болсын (453-: - қиюшы жазықтың және О - шардың центрі болсын (453-

Д ә л е л д е у .: сурет) . Шар центрінен

- қиюшы жазықтың жәнеО- шардың центрі болсын (453-: жазықтығына перпендикуляр түсіреміз және осы

Д ә л е л д е у .: перпендикулярдың табанын О' деп белгілейміз.