«Математикалық сөйлемдер теоремаларды дәлелдеу әдістері»

Кіріспе ... ... ... ...3

1Математика сабақтарында оқушыларға математикал .ықсөйлемдер мен теоремаларды үйрету
1.1 Математикалық сөйлемдер мен теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ..5

2 Математикалық тұжырымдардың түрлері және оларды дәлелдеу тәсілдері
2.1 Теоремалардың түрлері және оларды дәлелдеу әдістері ... ... 9
2.2 Функцияның туындысы арқылы теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері ... ... ..18
2.3 Теңсіздіктерді дәлелдеудің жалпы әдістеріне мысалдар ... ... ... ... ... ... ...
2.4Тепе .теңдіктерді математикалық индукция әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... 26

Қорытынды ... ... ... ... ... ...30

Пайдаланған әдебиеттер

Математикалық тұжырымдарға математикалық ұғымдардың анықтамалары,аксиомалар, теоремалар, леммалар, олардан келіп шығатын нәтижелер, тепе-теңдіктер және кейбір теңсіздіктер жатады. Математикалық ұғымдардың анықтамаларында ұғымның түп белгілері тұжырымдалады. Аксиомаларда ақиқаттығы шүбасіз дұрыс болған тұжырымдар беріледі. Теоремалар, леммалар, тепе-теңдік деп аталатын теңдіктер және кейбір теңсіздіктерге байланысты тұжырымдарды болса дәлелдеу керек болады, себебі олардың барлығында белгілі шарттар орындалғанда екінші бір нәтиженің келіп шығуы айтылады. Айтылған тұжырымды дәлелдеу – қандайда бір ойдың дұрыстығын басқа бұрыннан белгілі жағдайлар жәрдемімен негіздеп отыратын пайымдаулар нәтижесіндегі ой қорытулар тізбегі.
Оқушыларда дәлелдей білу дағдыларын қалыптастыру олардың сенімділігін қалыптастырудың да маңызды жолы болып табылады. Мамандар дәлелдеуге үйретуді дәлелдеуді құруға, оны аша білуге, іздестіруге бағытталған ақыл –ой үрдісіне оқыту деп түсіне алу керісінше,оқушыларды дәлелдеуге үйрету мұғалім және оқулықтар ұсынған дайын дәлелдеулерге үйрету деп біледі. Дайын дәлелдеуге оқулықтарда дәлелденген немесе мұғалім көрсеткен теоремалар жатады. Кез келген дайын дәлелдеме оқушы үшін жаңалық. Сондықтан оқушылардың кітаптағы дәлелдеуді немесе мұғалімнің дәлелдеп бергенін игеруінің, оны қайта айтып бере алуының, дәлелдеу үрдісінің мәнін түсінуіне мүмкіндік беретін дидактикалық мағызы бар теоремалардың дәлелдемелерін игеру үрдісіне оқушылар енжар қатынаспай, дәлелдеуді ашушылардың бірі ретінде белсенді қатыстырылып отырылады. Теоремалардың дайын дәлелдемелерін үйрету кезінде мұғалім оқушыларды дәлелдеу әдісін іздестіре білуге, өз ойын негіздеп айта алуға, пайымдаулар жасауға дағдыландырады. Оқыту үрдісінде дәлелдеуге үйретуді дұрыс ұйымдастыру, салыстыру, анализ және синтез, жалпылау және абстракциялау тағы басқа ойлау амалдарынсыз мүмкін емес. Оқушылар теореманы берілгендері мен дәлелдеу керегін салыстыра отырып, теоремаға талдау жасайды, нәтижеде дәлелдеудіңәдістері мен оны жүзеге асырудың жолдары анықталады, синездеу арқылы синтетикалық жолмен дәлелдеу үрдісі орындалады. Демек, дайын дәлелдеудің оқушыларға үйрету үрдісі оқушыларды ақыл – ой қызметіне үйретуді де жүзеге асырады екен. Нәтижеде дәлелденген теоремаға ұқсас теоремаларды өз бетінше дәлелдей алу біліктіліктері мен дағдылары қалыптасады.

1.Федосинко В.М., Федосинко О.В. Математика для старших классов. М, 2006
2.Журналы “Математика в школе”, “Квант”.
3.Орысша-қазақша түсіндірме сөздік: математика жалпы редакциясын басқарған Э.Ғ.Д профессор Е.Арын-Павлодар: «Эко» ҒӨФ.2007ж 192бет
4«Математикалық ойашар», «Қазақ энциклопедиясы» Алматы 2009ж
5.Математикалық талдау.Ж.Ә.Тоқыбетов Алматы«Қазақ университеті» 2005ж
6.Математиканың бастауыш курсының теориялық негізі Ө.Төлегенов
2-ші басылым.Астана 2011ж 328бет .
7.Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық. –Алматы: Атамұра, 2005. -224бет.
8.Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық
9.«Бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі» Қ.Оспанов, Алматы, Атамұра 2005.
10.Қ.Оспанов, О. В. Кочеткова, Ж.Қ. Астанбаева. «Жаңа буын оқулықтары бойынша бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі» Алматы 2005.
11.«Бастауыш мектептерде математиканы оқыту әдістемесі» Т.Қ.Оспанов, Ш.Х.Құрманалина, Астана 2007
12.Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныпбына арналған оқулық, 2-басылымы. –Алматы: Атамұра, 2006.-432бет.
13.Абылқасымов А.Е. Современный урок.-Алматы:НИЦ «Ғылым», 2003-220с.
14.Т.С. Садықов. А.Е.Әбілқасымова. Жоғары мектептегі білім берудің дидактикалық негіздері. Оқу құралы.-Алматы «Ғылым» ғылым баспа орталығы, 2003.-168 б.
15.Манвелов С.Г. Уонегруирование современного урока математика. Кн для учителя.- М:просвешение
16.Сәулебекова М. Мектеп оқушысының іс-әрекетін белсендіру — оның тұлғалық дамуының негізі.
17.Рақымбек Д. Оқушылардың ақыл-ой іс-әрекетін жетілдірудегі логика-әдістемелік білімдердің орны
18.Л.П. Стойлова, М.А.Пышколо «Основы начального курса».

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:

Сырдария университеті
ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКА ҒЫЛЫМИ МЕКТЕБІ
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА ЖӘНЕ МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ

Пәні: Математиканы оқыту әдістемесі
Мамандық: 05010900-Математика
Тақырыбы: Математикалық сөйлемдер теоремаларды дәлелдеу әдістері.________________________ _________________________________

Курс жұмысы Орындаған: Мат-09-121тобының
қорғалды''__'' _______ студенті Д.Шаймерденова
(мерзімі)

________
(бағасы)

Комиссия мүшелері Жетекшісі: ф.м.ғ.к______________
_________________ __________________
_________________ __________________
_________________ __________________

ЖОСПАР

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3

1Математика сабақтарында оқушыларға математикал -ықсөйлемдер мен теоремаларды үйрету
1.1 Математикалық сөйлемдер мен теоремалар ... ... ... ... ... ... . ... ... .5

2 Математикалық тұжырымдардың түрлері және оларды дәлелдеу тәсілдері
2.1 Теоремалардың түрлері және оларды дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... 9
2.2 Функцияның туындысы арқылы теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері ... ... ..18
2.3 Теңсіздіктерді дәлелдеудің жалпы әдістеріне мысалдар ... ... ... ... ... ... ... .
2.4Тепе - теңдіктерді математикалық индукция әдісімен дәлелдеу ... ... ... ... 26

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..30

Пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

Кіріспе
Тақырыптың өзектілігі: Математикалық тұжырымдарға математикалық ұғымдардың анықтамалары,аксиомалар, теоремалар, леммалар, олардан келіп шығатын нәтижелер, тепе-теңдіктер және кейбір теңсіздіктер жатады. Математикалық ұғымдардың анықтамаларында ұғымның түп белгілері тұжырымдалады. Аксиомаларда ақиқаттығы шүбасіз дұрыс болған тұжырымдар беріледі. Теоремалар, леммалар, тепе-теңдік деп аталатын теңдіктер және кейбір теңсіздіктерге байланысты тұжырымдарды болса дәлелдеу керек болады, себебі олардың барлығында белгілі шарттар орындалғанда екінші бір нәтиженің келіп шығуы айтылады. Айтылған тұжырымды дәлелдеу - қандайда бір ойдың дұрыстығын басқа бұрыннан белгілі жағдайлар жәрдемімен негіздеп отыратын пайымдаулар нәтижесіндегі ой қорытулар тізбегі.
Оқушыларда дәлелдей білу дағдыларын қалыптастыру олардың сенімділігін қалыптастырудың да маңызды жолы болып табылады. Мамандар дәлелдеуге үйретуді дәлелдеуді құруға, оны аша білуге, іздестіруге бағытталған ақыл - ой үрдісіне оқыту деп түсіне алу керісінше,оқушыларды дәлелдеуге үйрету мұғалім және оқулықтар ұсынған дайын дәлелдеулерге үйрету деп біледі. Дайын дәлелдеуге оқулықтарда дәлелденген немесе мұғалім көрсеткен теоремалар жатады. Кез келген дайын дәлелдеме оқушы үшін жаңалық. Сондықтан оқушылардың кітаптағы дәлелдеуді немесе мұғалімнің дәлелдеп бергенін игеруінің, оны қайта айтып бере алуының, дәлелдеу үрдісінің мәнін түсінуіне мүмкіндік беретін дидактикалық мағызы бар теоремалардың дәлелдемелерін игеру үрдісіне оқушылар енжар қатынаспай, дәлелдеуді ашушылардың бірі ретінде белсенді қатыстырылып отырылады. Теоремалардың дайын дәлелдемелерін үйрету кезінде мұғалім оқушыларды дәлелдеу әдісін іздестіре білуге, өз ойын негіздеп айта алуға, пайымдаулар жасауға дағдыландырады. Оқыту үрдісінде дәлелдеуге үйретуді дұрыс ұйымдастыру, салыстыру, анализ және синтез, жалпылау және абстракциялау тағы басқа ойлау амалдарынсыз мүмкін емес. Оқушылар теореманы берілгендері мен дәлелдеу керегін салыстыра отырып, теоремаға талдау жасайды, нәтижеде дәлелдеудіңәдістері мен оны жүзеге асырудың жолдары анықталады, синездеу арқылы синтетикалық жолмен дәлелдеу үрдісі орындалады. Демек, дайын дәлелдеудің оқушыларға үйрету үрдісі оқушыларды ақыл - ой қызметіне үйретуді де жүзеге асырады екен. Нәтижеде дәлелденген теоремаға ұқсас теоремаларды өз бетінше дәлелдей алу біліктіліктері мен дағдылары қалыптасады. Оқушы дәлелдеудің мән мағынасын түсініп, дәлелдеу тәсілдері мен оларға жүргізілетін ойлау амалдарын қаншалықты меңгергенімен, олардың белгілі бір тероиялық білімдер жүйесінің (ұғымдар және олардың анықтамасы, қасиеттері мен белгілері,аксиомалар мен теоремалар) жеткілікті қоры жинақталмайынша дәлелдеуге үйретудің сәтсіз болары сөзсіз. Математикалық теорияларды (теоремалар, ережелер, формулалар т.б.) дәлелдеу жалпы дәлелдеудің дербес түрі. Математикалық теорияларды дәлелдеу тек дедуктивтік негізде жүргізіледі, яғни дәлелденетін ой (тұжырымдама, пайым) бұрын дәлелденген немесе дәлелдеусіз қабылданған сөйлемдерге сүйенеді. Математикада тәжірибе нәтижесі , эксперимент қорытындысы, мысалдар т.б. дәлелдеудің негізі бола алмайды. Математикалық дәлелдеу-бастапқы аксиома, анықтама, бұрын дәлелденген теорема және дәлелденетін теореманың шарттарынан қорытындыға келетін логикалық салдарлар тізбегі болып табылады. Сонымен,берілгенматематикалық тұжырым(теорема,лемма,тепе-теңдік,т еңсіздік)ды дәлелдеу үшін оны бұрын дәлелденген тұжырымға, ал ол өз кезегінде басқа бір ақиқаттығы шүбәсіз дәлелденген басқа біреуіне келтіріліп отырылады. Әрине бұл үрдіс шексіз жалғастырыла бермейді, кез келген дәлелдеу соңында бастапқы анықтамаларға және дәлелдеусіз қабылданған аксиомаларға алып келеді. Сондықтан оқушыларды дәлеледеудіңәр түрлі әдіс тәсілдерімен таныстырудың маңызы ерекше.
Куртықжұмысында мектеп оқушысына математикалық тұжырымдарды,теоремаларды,тепе-теңд іктерді және теңсіздіктерді дәлелдеуді үйретуде қажет болатын әдістер баяндалған.
Курстық жұмыстың мақсаты: Орта мектеп математикасын оқытуда оқушыларды математикалық тұжырымдарды, теорема,лемма,тепе-теңдіктер, теңсіздіктерді дәлелдеуге үйрету әдістерін көрсету.
Курстық жұмыстың міндеттері: Оқушылардың ойлау,пікірлеу қабілеттерін арттыру,математикалық білімдерін дамыту жєне математика пәніне болған қызығушылығын арттыру.
Зерттеу объектісі: Орта мектептерде,лицей және гимназияларда математика сабактарын ұйымдастыру.
Зерттеу пәні: Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі.
Курстықжұмыстыңқұрылымыменкөлемі:Ку рстықжұмысекі тараудантұрады. Бірінші тарау кіріспе және бір пункттен, екінші тарау негізгі бөлім төрт пункттен,қорытынды және әдебиеттер тізімнен тұрады. Курстық жұмыстың жалпы көлемі 31бет.

1.1 Математикалық сөйлемдер мен теоремалар

Математикалық сөйлемдерге-теорема, аксиома, анықтама,постулат, теңдеулер мен теңсіздіктер және есептер т.б. жатады.
Теоре́ма (гр. θεώρημα -- түр, сипат, тұжырым)[1] -- ақиқаттығы дәлелдеудің нәтижесінде анықталатын математикалық тұжырым. Математика-ның кез келген саласы ақиқаттығы бұрынырақ дәлелденген Теоремаларға сүйене отырып, бірінен соң бірі дәлелденетін Теоремалардан тұрады. Мұнда алғашқы сөйлемдер дәлелденбейтінаксиомалардан тұрады және бұл аксиома-лар сол математика саласының логикалық негізі болып есептеледі. Теорема шарты және қорытындысы деп аталатын бөліктерден тұрады. Мысалы:
1) егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда санның өзі де 3-ке бөлінеді;

Үшбұрыш туралы аксиома.
2) Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік болса, онда қалған екі бұрышы сүйір болады.
Осы мысалдардың әрқайсысындағы егер сөзінен кейін тұрған Теореманың шарты, ал онда сөзінен кейін тұрған Теореманың қорытындысы болады. Егер..., онда... сөздері арқылы берілген әрбір Теоремаға кері Теорема алуға болады, ондай Теоремада берілген Теореманың шарты қорытындысы ретінде, ал қорытындысы шарты ретінде айтылады. Тура және кері Теоремалар өзара кері болады. Өзара кері Теоремалардың ақиқат болуы тұжырымның ақиқаттығы үшін олардың кез келген шартының орындалуы қажетті және жеткілікті екенін білдіреді. Егер Теореманың шарты мен қорытындысын оларды теріске шығаратын сөйлемдермен алмастырсақ, берілген Теоремаға қарама-қарсы Теорема шығады [2].
Аксиома деп-ешбір дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемді айтады.
Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі - дәлелдеусіз алынған сөйлемдер жүйесі, яғни, аксиомалар. Ғылыми теорияның басқа тұжырымдары (теоремалары) осы аксиомаларға сүйеніп дәлелденеді. Аксиомалар және алғашқы ұғымдар математикалық теорияның негізгі фундаментін құрайды. Математикалық теориялардың негізі болатын аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу ХІХ ғасырдың соңы мен ХХ ғасырдың басында қолға алынды. Бұл кезеңде бірсыпыра ғалымдар математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданады.
Белгілі бір ғылымның негізін қалайтын барлық аксиомалар тобын аксиомалар жүйесі дейді. Мәселен, геометрияның барынша толық әрі қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш (нүкте, түзу, жазықтық) ұғымды және алғашқы үш (жатады, арасында, конгруэнтті) қатынасты қарастырады. Г. Вейль бүкіл мектеп геометриясын векторлық кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды.
А.Н. Колмогоров бүгінгі таңдағы мектеп геометриясының аксиомалар жүйесін жасады. Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады:
1.Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні жүйедегі аксиомалар мен сол аксиомалардың барлық логикалық салдары бірін - бірі теріске шығармауы керек.
2.Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі кез-келген аксиома басқаларынан шықпауы керек.
3.Аксиомалар жүйесі толық болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек.
Ұзын саны шектеулі аксиомалардан теорияны құру әдісін
аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. Бұл теорияның басқа қағидалары оның негізін қалаған аксиомалардың логикалық салдарлары болып табылады. Математика ғылымында геометрияны, арифметиканы, ықтималдықтар теориясын және т.б. құрудың аксиоматикалық әдістері белгілі.
Математикада әдетте өте маңызды тұжырымдамаларды ғана теорема деп атайды. Әдетте керек дәлелдемелер әйтеуір біреу тапқан. Онша маңызы жоқ тұжарамдамаларды лемма, сөйлем деп атайды. Теорема немесе теорема еместігі белгісіз болып табылатын тұжырымдамаларды гипотеза дейді
Кез келген ұғымды немесе ұғымдар арасындағы қатысты қанағаттандыратын талаптарды баяндайтын сөйлемді постулат дейміз. Постулат латынның postulatum - талап, ұсыныс деген сөзінен шыққан. Мысалы: Егер r қатысы үшін
А) рефлексивтілік
В) симметриялық
С) транзитивтік қасиеттері орындалса, онда r, қатысын эквиваленттілік қатыс деп атайды. Эквиваленттілік қатыс үш пастулат арқылы анық талып отыр.
Математикалық сөйлемдердің барлығы дерлік дедуктивтік ой қорытулар арқылы дәлелденеді. Сондықтан математикалық дәлелдеулер негізінен дедуктивтік дәлелдеу болып табылады.Жалпы алғанда математикада,айталық Т теоремасын дәлелдеуді мынадай шарттарды қанағаттандыратын А1, А2, ..., Аn сөйлемдерінің шекті тізбегі деп түсіндіріледі: 1) тізбектегі әрбір сөйлеміне аксиома, не анықтама, не бұрын дәлелденген теорема немесе теореманың шарты, не алдыңғы дәлелденген сөйлемдерден қорытындылау ережелерінің бірі бойынша шығатын болу керек;2) бұл сөйлемдердің соңғысы Т сөйлемі, яғни Аn= T болады. Мектеп математика курсында теоремаларды жанама түрде дәлелдеу жиі кездеседі. Жанама дәлелдеу деп дәлелденетін тезистің ақиқаттығын, оған қарама-қайшы жағдайдың жалған екендігін көрсету арқылы дәлелдеуді айтады. Жанама дәлелдеудің екі түрі жиі кездеседі: 1) қарсы жору арқылы дәлелдеу;
2) бөлектеу арқылы дәлелдеу (бөліктелген жанама дәлелдеу). Қарсы жору арқылы дәлелдеуде (мұны апогогикалық жанама дәлелдеу деп те айтады) қандай да бір пайымның дұрыстығын білдіретін тезистердің (тезистің) орнына уақытша оған қарама-қайшы пайымдау алынып, дәлелдеу нәтижесінде қандай да бір қайшылыққа келеді. Осы қайшылық негізінде біздіңұйғарымыз дұрыс емес, логикалықүшіншінің болмау заңына сәйкес дәлелденетін пайым дұрыс делінеді.
А = В сөйлемніңқарсы жору арқылы дәлелдемесінің логикалық сүлбесі мынадай: В емес (В болмайды) деп ұйғарылады да, дұрыс деп есептелінетін А = В сөйлемі дәлелденеді. Дәлелдеу нәтижесінде не теореманың шартына не бұрын дәлелденген теоремаларға, аксиомаларға қайшылыққа келеді. Бұл В орындалмайды деп жоруымыздан болып отыр, олай болса А = В теоремасы дұрыс делінеді. Мектеп математика курсындағы ең алғашқы қарсы жору арқылы дәлелденілетін Екі түзудің бірден артық ортақ нүктесі болмайды теоремасының дәлелдемесін көрсетейік. а және b екі түзу берілген. а және b түзулерінің екі орта нүктесі болсын деп жориық. Егер екі түзудің екі қиылысы нүктесі болатын болса, онда бұл екі нүкте арқылы екі түзу өткен болар еді. Ал бұлай болуы мүмкін емес, екі нүкте арқылы ғана түзу жүргізуге болады. Демек, екі түзу екі нүктеде қиылыспайды.Мектеп математика курсында жанама дәлелдеудің бөліктелген дәлелдеу деген түрі кездеседі. Оның логикалық сүлбесі мынадай: А=В екенін дәлелдеу үшін А=В, А=В не А=В1 болатын жағдайларды қарастырады. Дәлелдеу барысында А=В1 және А=В2 екі жағдайдың екеуі де орындалмайтындығын көрсетсек, онда тек А=В орындалатындығы ғана калады.
Қажетті және жеткілікті шарттар
Мектеп математика курсында қажетті шарт, жеткілікті шарт, қажетті және жеткілікті шарт ұғымдары оқушылардың логикалық ойлауын жетілдіруде, теоремаларды дәлелдеуде және көптеген есептер шығару үрдісінде кең түрде қолданылады.Егер А қасиетінің орындалуынан В қасиетініңқасиетінің орындалуы келіп шықса, онда А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін жеткілікті шарт болады. Мысалы, Егер екі қосылғыштыңәрқайсысы қандай да бір санға бөлінсе, онда олардыңқосындысы да сол санға бөлінеді деген пайымды былайша тұжырымдауға болады: Екі екі қосылғыштыңқосындысы қандай да бір санға бөлінуі үшін әрбір қосылғыш сол санға бөлінуі жеткілікті.
Егер А қасиет орындалмағанда, В қасиет те орындалмаса, онда А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін қажетті шарт болады. Мысалы, төртбұрыштың бір жұп қабырғаларының параллель болуы, бұл төртбұрыштың параллелограмм болуы үшін қажетті шарт, бірақәлі бұл жеткілікті емес. (Төртбұрыштың параллель қабырғалары жоқ болса, онда ол параллелограмм бола алмайды. ) Тағы бір мысал. Егер берілген бүтін сан нөлмен аяқталса, онда ол 5-ке қалдықсыз бөлінеді деген теореманың жеткілікті шарт түрінде былай тұжырымдалуы мүмкін: Берілген бүтін санның 5-ке қалдықсыз бөлінуі үшін, ол нөл цифрымен аяқталуы жеткілікті. Сол теореманы қажетті шарт түрінде былай тұжырымдауға болады: Берілген санның нөлмен аяқталуы үшін, ол 5-ке бөлінуі керек. Әдетте қажетті шартты қарама-қарсы немесе кері теорема түрінде тұжырымдайды. Мысалы, Егер төртбұрыштың екі қабырғасы параллель болса, ал қалған екі қабырғасы параллель болмаса, онда ол параллелограмм бола алмайды. Тура теореманы қажетті шарт (А қасиетіне ие болу үшін М объект В қасиетіне де ие болуы қажет), ал оған кері теореманы жеткілікті шарт (М объект А қасиетіне ие болу үшін, ол В қасиетіне де ие болуы жеткілікті) сипатында өрнектеуге болады. Егер А-ның орандалуы В қасиетінің бар болуына алып келсе және А орындалмағанда В-ның орындалуы мүмкін емес болса, онда А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт болады.
Бұл екі шартты былай тұжырымдауға болады: Егер А қасиет В қасиетінің бар болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт болса, онда өз кезегінде В қасиет А қасиетінің бар болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт болады. Мысалы, Үшбұрыш тең бүйірлі үшін оның бір төбесінен жүргізілген биіктігі мен биссектрисасы тең болуы қажетті және жеткілікті теоремасын қарастырайық.
Айталық, А: Үшбұрыштың төбесінен жүргізілген биіктігі мен биссектрисасы тең, ал В: Үшбұрыш тең бүйірлі дегенді білдіретін болсын. Онда теореманың А шарты В үшін қажетті және жеткілікті деп ұйғарылады.
Қажеттілігі. А шарты В үшін қажетті шарт болғандықтан, теорема мынадай түрде айтылады: Егер В болса, онда А болады.

2 Математикалық тұжырымдардың түрлері және оларды дәлелдеу тәсілдері

2.1 Теоремалардың түрлері және оларды дәлелдеу әдістері

Теорема ұғымын қатаң түрде анықтау тек формальды теорияларда кездеседі. Формальды емес теорияларда (оның ішінде мектеп математика курсында) теорема ұғымына түсініктеме ғана беріледі: қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема делінеді. Теорема грек сөзі, оның казақша мағынасы көз жеткіземін, ойлап көремін. Бұрын дәлелденген теоремалардан тікелей шығатын кейбір теоремаларды салдарлар деп атайды. Салыстырмалы түрде дәлелдемесі қысқа, өз алдына дербес мәнге ие болмайтын және басқа теоремаларды дәлелдеу үшін ғана пайдаланылатын теоремаларды лемма (грек сөзі, қазақша табыс деген мағынада) дейді. Теорема дәлелдеуді қажет ететін кейбір маңызды ұйғарымдар түрінде де кездесуі мүмкін. Дәлелдеуді қажет ететін тек ақиқат пайымдар ғана теорема болады. Сонымен теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады.
Теоремалардың тұжырымдамалары екі түрлі болады:
1.Кесімді теорема. Бұған мынадай теоремалар жатады: Вертикаль бұрыштары тең, Бір жазықтыққа перпендикуляр екі түзу өзара параллель, Тіктөртбұрыштың диагональдары тең.
2.Шартты теорема. Шартты теоремаларға Егер... болса, онда... болады импликация түрінде тұжырымдалған теоремалар жатады. Мысалы, Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең бүйірлі болады, Егер түзу параллель түзулердің біреуіне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады.
Теоремалардың мазмұнына нұсқан келмейтіндей етіп, оларды шартты және кесімді түрде де тұжырымдауға болады. Жалпы оқушылар теореманыңқұрылысын дұрыс түсіне білуі үшін негізінен оның шартты түрдегі тұжырымдамасы ыңғайлы.Кез келген теорема үш бөліктен тұрады:теореманың шарты,теореманыңқорытындысы,теорема ның түсінік беру бөлігі.Теореманың шартында қандайда бір математикалық объектінің элементтерінің арақатынасы мен қасиеттері туралы ақиқат деректер айтылады. Мұны математикада теореманың берілгендері деп те атайды. Ал теореманыңқорытындысы - теореманың шартының логикалық салдары болатын (одан , тікелей туындайтын) арақатыстар және қасиеттер. Теореманың түсіндірме бөлігінде тұжырымдаманыңқай жиында қарастырылып отырғаны, яғни қарастырылып отырған ұғым объектініңқандай жиынына тиісті болатындығы көрсетіледі.Мысалы, түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісі былай тұжырымдалады: Егер жазықтыққа тиісті емес түзу осы жазықтықтағы қандай да бір түзуге параллель болса, онда ол сол жазықтықтыңөзіне де параллель болады. Теореманың Егер сөзінен онда деген сөзге дейінгі бөлігі теореманың шарты, ал онда деген сезден басталған бөлігі теореманын қорытындысы. Ал теореманың түсініктемесі кез келген екі түзу және бір жазықтыққарастырылып тұрғанын көрсетуінде. Егер төртбұрыш ромб болса, онда оның диагональдары өзара перпендикуляр деген теореманың шарты: тертбұрыштың ромб екендігі; қорытындысы төртбүрыш диагональдарыныңөзара перпендикулярлығы; түсіндірме бөлігі төртбұрыштар жиыны қарастырылып отырғандығын білдіруінде.Теореманың түсіндірме бөлігі көпшілік жағдайда теореманың тұжырымдамасынан айқын көрініп тұрмауы мүмкін, бірақ мағынасынан теореманың шарты мен қорытындысы қандай жиыннан алынғаны белгілі болады. Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін оқушылар кейде кез келген сан үшін орындалады деп есептейді. Мысалы, натурал сандардың бөлінгіштік белгісі Егер берілген сандардың цифрларыныңқосындысы 3-ке бөлінсе, онда бұл сан 3-ке бөлінеді түрінде тұжырымдалса, бұл ұйғарым натурал сандар жөнінде екендігін оқушылар аңғармайды. Сондықтан да V-VI сыныптарда мұғалімнің талап етуімен оқушылар қандай сандар жиынына сәйкестігін атай білу керек.Кесімді пайым түрінде тұжырымдалған Параллелограмның диагональдары перпендикуляр деген теореманың түсіндірме бөлігін барлық параллелограмдар туралы екен деп түсінілсе, онда теорема дұрыс болмайды. Егер мұндағы айтылатын ой кейбір параллелограмдар туралы болса, онда теорема дұрыс болады.Бұл кейбір теоремалармен жұмыс жүргізгенде олардың түсіндірме бөлігін ашып көрсету керектігін білдіреді.
Жалпы алғанда теорема, қандай да бір А объекті а қасиетіне ие болса, онда ол В қасиетіне ие болуы қажет (оған В қасиеті де тиісті) екендігін білдіреді. Мысалы, Параллелограмныңқарама-қарсы қабырғалары тең теоремасында Егер төртбұрыш параллелограмм болса ғана ол тертбұрыштыңқарама-қарсы қабырғаларының тең болатындығын білдіреді. Демек, берілген төртбұрыш - параллелограмм түріне жататын жағдайда, тек сонда ғана қарама-қарсы қабырғалары тең болуы қажет. Теореманыңқұрамды бөліктерін анық және дәл анықтау теорема түрлерін бір-бірінен ажыратуға, дәлелдеу үрдісін тездетуге мүмкіндік береді.Егер теоремалардың бір-бірінен не шарты, не қорытындысы, не түсіндірме бөлігі бойынша айырмашылығы болса, онда олар әр түрлі теоремалар. Мәселен, Егер параллелограмм ромб болса, онда оның диагональдары перпендикуляр болады теоремасыныңқұрылысын Егер төртбұрыш ромб болса, оның диагональдары перпендикуляр теоремасымен салыстырсақ, онда олардың түсіндірме бөлігінде айырмашылық бар екендігінің куәсі боламыз.Демек, бұл теоремалар әр түрлі. Кесімді түрде тұжырымдалған Вертикаль бұрыштар тең теоремасының оған мәндес шартты түрдегі тұжырымдамасы мынадай болады: Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады.Жүйелі математика курсының бастапқы кездерінде теоремаларды егер... болса, онда... болады түрінде тұжырымдау теоремалардың логикалыққұрылысын дұрыс ұғынуға және теореманың дәлелдемесіне тезірек кірісуге мүмкіндік береді. Сондықтан оқулықтарда теорема кесімді түрде тұжырымдалған болса, оны шартты түрде тұжырымдап алу дағдыларын қалыптастыру керек. Әрине бұған көбірек уакыт кетеді, бірақ оқушылардыңматериалдарды меңгеру дәрежесі артып, математикалық ойлауы мен тілінің дамуына игі әсерін тигізері даусыз. Одан кейін біртіндеп теоремаларды кесімді түрде қысқаша тұжырымдауға көшуге болады. Оқушыларды теоремаларды дәлелдеуге үйретудің алғашқы да және маңызды кезеңі де теореманың шарты мен қорытындысын ажырата алу болып табылады. Теореманы дәлелдеу кезінде теореманың Берілгені, ал қорытындысын Дәлелдеу керегі деп жазады. Теореманың Берілгені мен Дәлелдеу керегінің арасы горизонталь сызық арқылы бөлінеді. Горизонталь сызықшаныңүстіне теореманың берілгендері, астына теоремадағы дәлелдеу керегі жазылады. Кейде Берілгені және Дәлелдеу керегі сөздерін жазбай-ақ, олардың арасын горизонталь сызықшамен бөліп қойса да жеткілікті. Параллелограмныңқарама-қарсы қабырғаларының теңдігі туралы теореманың берілгені мен дәлелдеу керегі мынадай түрде жазылады.
Төртбұрыш АВСD -- параллелограмм;
АВ мен СD,ВС мен АD - оныңқарама-қарсы кабырғалары.
АB=СD,ВС=АD.
Теоремалар кесімді түрде тұжырымдалған жағдайда теореманың шарты мен қорытындысын ажырату оңай болмайды, сондықтан ондай теоремаларды шартты түрде тұжырымдап алу керек. Мысалы, Вертикаль бұрыштар тең теоремасы Егер бұрыштар вертикаль бұрыштар болса, онда олар өзара тең болады деп тұжырымдалады. Жұп функцияның сызбасы ордината өсіне симметриялы теоремасы шартты түрде Егер функция жұп функция болса, онда оның сызбасы;) ордината өсіне симметриялы болады түрінде айтылады. Бірақ теореманың шарты мен қорытындысын анықтау үшін барлық кесімді теремаларды шартты түрде тұжырымдау міндетті екен деуге де болмайды. Көпшілік жағдайда кесімді теореманы шартты түрде тұжырымдау, теореманың шарты мен қорытындысын анықтауға мүмкіндік бергенімен, кейбір теоремалар үшін ол мүмкін бола бермейді. Мысалы, Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген медианасы оның биссектрисасы да, биіктігі де болады теоремасын алайық. Бұл теореманың шартты түрдегі тұжырымдамасы: Егер үшбұрыш тең бүйірлі болса, онда оның медианасы биссектрисасы да, биіктігі де болады. Бұл теорема дұрыс болғанмен, теореманың шартына қатысты медианасы термині теореманыңқорытынды бөлімінде айтылып тұр. Бұл жағдайда оқушылар теореманың шартын дұрыс анықтай алмауы мүмкін. Мұндайда кесімді теоремалардыңөзімен жұмыс жүргізуге тура келеді. Ал, ондай теоремаларды шартты түрде тұжырымдау қажет болған жағдайда, теореманы ажыратылған шартты немесе шартты-конструктивті түрде тұжрыымдауға тура келеді. Жоғарыдағы айтылған тең бүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген медианасы туралы теорема былай тұжырымдалуы мүмкін: Егер тең бүйірлі үшбұрыштың табанына медиана жүргізілсе, онда ол биссектриса да, биіктік те болады. Оқушылардың теореманы есте сақтауы және оны айтып беруі үшін кесімді теоремалар ыңғайлы. Бірақ шартты теоремаларды кесімді түрде тұжырымдау кезіндегі негізгі кемшілік теореманың мазмұнын дұрыс бере алмауда болып табылады. Мысалы, бір нүктеден түзуге жүргізілген перпендикуляр мен көлбеу туралы теореманы қысқаша перпендикуляр көлбеуден қысқа деп айтады. Мұндай жағдайда оқушы өзініңқатесін өзі түсініп жөндеуі үшін оның айтқанына лайықты қарсы мысал келтіруге тура келеді. Мысалы, мынадай сызбаны көрсетуге болады. Осыдан кейін оқушы теореманы Егер бір нүктеден... деп дұрыс айтып бере алады.
Теоремалардың түрлері. Теоремаларды олардыңқұрылысына қарай жай және құрама теорема деп бөледі. Теореманың шарты немесе қорытындысы екіден кем болмайтын пайымдардан тұрса, онда құрама, ал басқаша жағдайларды, жай деп аталынады. Мысалдар келтірейік.
1.Егер параллелограмның диагональдары өзара тең немесе оның бұрыштарын тең екіге бөлетін болса, онда мұндай параллелограмм квадрат болады деген теореманың шарты екеу: параллелограмның диагональдары өзара тең (А) және параллелограмның бұрыштарын тең екіге бөледі (В) деген пайымдардан құрылған. Қорытындысы: параллелограмм квадрат (С). Демек, теореманыңқұрылымдық формуласы А\В =С түрінде жазылады.
2. Егер төртбұрыш трапеция болса, онда оның орта сызығы табандарына параллель және олардыңұзындықтарының жартысына тең деген теореманыңқұрылымдық формуласы: А=В1^В2 болып жазылады. Мұндағы А1, В1, В2 сәйкесінше төртбұрыш трапеция, орта сызық табандарына параллель, орта сызық табандарыныңұзындықтарының жартысына тең болатындығын өрнектейді.
Егер А болса, онда В болады теоремасы берілген болсын. Осы теореманы пайдаланып Егер В болса онда А болады түрінде жазылған теорема, берілген теоремаға кері теорема делінеді.
Теореманың шарты мен қорытындысының орнына олардыңқарама-қарсыларымен алмастырылғанда пайда болатын Егер А болмаса, онда В болмайды теоремасы берілген теоремаға қарама-қарсы теорема деп аталады. Мысалдар:
1. Егер параллелограмның диагональдары оның бұрыштарын тең екіге бөлсе, онда ол ромб болады - тура теорема.
Бұл теоремаға қарама-қарсы теорема былай тұжырымдалады: Егер параллелограмның диагональдары оның бұрыштарын екіге бөлмесе, онда бұл параллелограмм ромб бола алмайды.
2. Сыбайлас бұрыштардыңқосындысы екі тікбұрышқа тең-тура теорема.
Қарама-қарсы теореманың тұжырымдамасы Егер берілген бұрыштар сыбайлас болмаса, онда олардыңқосындысы екі тікбұрышқа тең болмайды болады. Бұл дұрыс пайымдау емес себебі қосындысы екі тікбұрышқа теңқалағанымызша бұрыштарды көрсетуге болады.
Сол сияқты кері теоремаға қарама-қарсы теореманы тұжырымдауға болады. Егер В болмаса, онда А болмайды. Мысалы: Вертикаль бұрыштар тең теоремасының шарты бұрыштар вертикаль, қорытындысы: бұрыштар тең. Кері теоремаға қарама-қарсы теореманың тұжырымдамасы: Тең емес бұрыштар, вертикаль бола алмайды (дұрыс пайым).
Теоремаға кері (тең бұрыштар вертикаль) және қарама-қарсы (вертикаль емес бұрыштар тең емес) теоремалар жалған пайымдар. Енді теоремалардың барлық түрлеріне мысалдар келтірейік.
1-мысал. Егер параллелограмм тіктөртбұрыш болса, онда оның диагональдары тең болады (тура теорема) .
Егер параллелограмның диагональдары тең болса, онда оның параллелограмм тіктөртбұрыш болады (кері теорема).
Егер параллелограмм тіктөртбұрыш болмаса, онда оның диагональдары тең болмайды (қарама-қарсы теорема).
Егер параллелограмның диагональдары тең болмаса, онда ол параллелограмм тіктөртбұрыш болмайды (керіге қарама-қарсы теорема).
Бұл мысалдардан көрініп тұрғандай, егер тура теорема дұрыс болатын болса, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.