Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Тақырыбы: Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы

Автор:Қазтаева Г.

Ғылыми жетекші: Шырақбаев А.

Тараз 2012

Мазмұны

Кіріспе . . . 5

I. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері. . . .

1. 1 Метрикалық кеңістік түсінігі . . . 8

1. 2 Метрикалық кеңістіктегі компактілік, толықтық . . . 11

1. 3 Сызықты және нормаланған кеңістіктер . . . 18

1. 4 Гильберт кеңістігі, ортогональдық . . . 21

1. 5 Сызықты операторлар теориясының элементтері . . . 24

1. 6 Кері операторлар . . . 27

1. 7 Функционалдық және Соболев кеңістіктері . . . 29

II. ЖОЙЫЛМАЛЫ ЭЛЛИПТІК ТҮРДЕГІ ОПЕРАТОРДЫҢ БІР КЛАСЫНЫҢ ОҢ АНЫҚТАЛҒАНДЫҒЫН ЗЕРТТЕУ . . . …… . . . 37

2. 1 Түйіндес операторлар, тұйық операторлар . . . 37

2. 2 Симметриялы оператор, оң анықталған оператор, мысал . . . 40

2. 2 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы… . . . …44

Қорытынды. . . . 46

Әдебиеттер . . . 48

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Дербес туындылы дифферециалдық теңдеулердің жалпы теориясында екінші ретті теңдеулер ерекше орын алады. Қазіргі кезде екінші ретті сызықты теңдеулер теориясы толық зерттелген. Екінші ретті теңдеулерді зерттеу барысында туындаған көптеген әдістер жоғары ретті теңдеулерді және дербес туындылы теңдеулер жүйелерін зерттеуде қолданылады. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді, атап айтқанда, жойылмалы эллиптикалық теңдеулерді зерттеуге деген қызығушылық олардың газ динамикасы, механика және басқа да математика, физика облыстары үшін мәнділігіне қарай артып отыр. Осымен қатар, дербес туындылы теңдеулер үшін көптеген қолданбалы есептер туындайды. Атап айтқанда,

\[\left[1-5\right]\]

газ динамикасында пайда болған сызықты жойылмалы эллиптикалық теңдеулер үшін спектральды есептер жайлы.

Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі 2) шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.

Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж. Л. Лионс, Э. Мадженес және Н. Н. Уральцева, О. А. Ладыженский монографияларынан табуға болады.

Мұнда көрсетілген әдістерді ақырсыз облыстарда берілген және қатты өсетін (қосындыланбайтын) коэффициентті дифференциалды теңдеулер үшін қолдануға болмайды. Соңғыларды сингулярлы Штурм-Лиувиль теңдеуінің мысалында зерттеу Эверитт және Гирц еңбектерінде басталған, мұнда негізінен

\[L y=-\ y^{\prime\prime}+q(x)y\]

операторының бөлектенуіне тірек болатын q(x) функциясына қойылатын шарттар анықталған. Эверитт және Гирц терминдерінде көрсетілген оператор

\[{\cal L}_{2}={\cal L}_{2}\bigl(c~\ v~:+\infty\bigr)\]

кеңістігінде бөлектенеді деп аталады, егер

\[y\ !~D(L),L y\in L_{2}\]

шарттарынан

\[q(x)y,y^{n}\in L_{2}\]

екені шықса, бұдан кейін бұл нәтижелер М. Өтелбаевтің, К. Х. Байматовтың жұмыстарында олар ұсынған локализация әдісі мен Титчмарш-Левитан әдісінің әртүрлі модификацияларының негізінде әрі қарай жетіле түсті. Бұл жұмыстар сызықты эллиптикалық теңдеулердің бөлектенуін зерттеуде үлкен үлес қосуда. Олардың әдістемелері жартылай шенелмеген дифференциалды операторлардың, яғни энергетикалық кеңістіктері С. Л. Соболев кеңістігіне енбеген операторлардың кейбір класын зерттеуге көмек береді. Жартылай шенелмеген операторлар қатарына барлық тақ ретті дифференциалды операторлар жатады.

Тақ ретті сызықты және сызықты емес дифференциалды операторлар М. Өтелбаев, Д. Ж. Райымбеков, М. Б. Мұратбеков, А. Біргебаева, Т. Т. Аманова, А. Ж. Тогучуев, А. В. Тучин, Б. Алиев, Д. Зейнолов сияқты ғалымдардың еңбектерінде көрініс тапқан.

Мұнда Д. Ж. Райымбеков, Б. Алиев және Д. Зейнолов жұмыстары комплекс потенциалды жағдайға арналған. Сингулярлы тақ ретті дифференциалды операторлар жүйелі зерттелмеген. Мұндай теңдеулер математикалық физика теңдеулерін Фурье әдісімен зерттеу барысында пайда болады. Сондай-ақ нақты коэффициентті теңдеулер үшін де кейбір жауап табылмаған сұрақтар бар. Солардың кейбіреулеріне тоқталайық.

М. Өтелбаев, А. Біргебаева мынандай сызықты емес теңдеуді зерттеген:

\[.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\]

, және

\[q(x,y)\ {}^{3}\ S(x),S(x)\ \mathbb{S}\ {\textrm{Y}},x\ \mathbb{G}\ \infty\]

қосымша шарттары орындалғанда шешімнің шекті тегістігі алынған.

А. Ж. Тогучуевтің жұмысында

\[\cdot\;y\phi+q(x)y=f,(f\in L_{2})\]

түріндегі теңдеу қарастырылған, бірақ ол жұмыста потенциалды функция орнына операторлық коэффициент алынған.

М. Б. Мұратбеков және Т. Т. Аманова

\[\quad\epsilon\ y\phi+q(x)y=f\]

теңдеуін

\[f\in L_{p}(R)\]

болған жағдайда қарастырған. Сондай-ақ, Бұл авторлардың жұмысында

\[\mathrm{sup}{\frac{\left|q(x)-\ q(h)\right|}{\left|q(h)\right|^{\left|x-\eta\right|^{\alpha}}}}

\[a\textbf{I}(0;1),g=3-+3a,a\succ0\]

қосымша шартының орындалуы талап етілген.

Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптикалық түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығын көрсету.

Зерттеу әдістемесі. Сызықты екінші ретті дифференциалды операторды зерттеу барысында төмендегідей әдістер пайдаланылды: локализация әдісі, априорлы бағалау әдісі және М. Б. Мұратбеков пен М. Өтелбаевтың жұмыстарында ұсынылған әдістер қолданылды.

Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:

түрдегі жойылмалы эллиптікқ түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы көрсетілді.

Практикалық және теориялық құндылығы. Кванттық механикада, беттердің ақырсыз аз иілу теориясында дифференциялды операторлардың спектральді теориясында сондай-ақ, жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу барысында қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.

Диплом жұмысының құрылымы. Жұмыс кіріспе, екі бөлім, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделген, негізгі мақсаттары келтірілген, жұмыстың жаңалығы мен теориялық және практикалық маңыздылығы анықталған.

Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, анализдің кейбір фактілері мен тұжырымдары және көмекші нәтижелер келтірілген.

Екінші бөлімде «Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы» көрсетілген.

1. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері

1. 1 Метрикалық кеңістік түсінігі

Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама жатыр.

Анықтама. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын

\[\forall{x},y\]

\[\rho\left(x,y\right)\,\geq0\]

\[\rho\left(x,y\right)=\ 0\mathbf{U}\;\;x=y\]

\[r\left(y,x\right)=\rho\left(x,y\right)\]

\[r\,\left(x,y\right)\pi\,\,r\,\left(x,z\right)+\rho\,(z,y)\]

\[r\,=\rho\left(x,y\right)\]

функциясын айтамыз.

Анықтама. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда ол метрикалық кеңістік деп аталады.

Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және

\[r\,=\rho\left(x,y\right)\]

функциясынан құралған

\[(X,\rho\,)\]

жұбын айтады.

Мысалы, n-өлшемді

\[R^{n}\]

Евклид кеңістігінде метрика

\[\rho\left(x,y\right)=\underline{{{\infty}}}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}\,\cdot\,\,y_{i}\right)^{2}\widehat{\overline{{{\Phi}}}^{2}}\]

функциясымен анықталады.

Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.

Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді. Сондай-ақ

\[\rho_{1}\]

метрикасы анықталса, онда

\[r_{\mathit{n}}={\frac{r_{\mathit{n}=1}}{1+\rho_{\mathit{n-1}}}}\]

өрнегімен ақырсыз көп метрика анықтауға болады.

Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай түсініктерді енгізуге болады:

Анықтама. X кеңістігіндегі центрі

\[{\mathcal Q}\,\]

радиусы

\[{\hat{\mathcal{J}}}^{\Phi}\]

болатын ашық (тұйық) шар деп-

\[\rho\left(a,x\right) (

\[\rho\left(a,x\right)\ \leq r\]

) теңсіздігін қанағаттандыратын X кеңістігінің бөлігін айтамыз және

\[K(a,r)\]

деп белгілейміз.

Анықтама. Егер

\[\mathbf{\omega}^{n}\,a\mathbf{I}\;\Omega\]

үшін

\[K(a,r)\uparrow\;\Omega\]

болатындай шар табылса онда

\[\mathbf{W}\subset X\]

жиыны ашық деп аталады.

Анықтама.

\[{\mathcal Q}\,\]

элементінің аймағы деп

\[a\in K(a,r)\]

болатын кез келген ашық шарды немесе ашық жиынды айтамыз.

Айталық

\[\mathbf{W}\subset X\]

болсын.

Анықтама.

\[x\in X\]

нүктесі

\[\underline{{\left(\sum\right)}}\]

жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

-тің әрбір аймағы

\[x\neq y\,\]

болатын кемінде бір

\[y\colon\Omega\]

элементін қамтитын болса.

Анықтама.

\[y\colon\Omega\]

оңашаланған нүкте деп аталады, егер осы элементті қамтитын қандай да бір

\[K(y,r)\]

аймағы үшін

\[K(y_{\circ}r)\operatorname{C}\operatorname{W}=\left\{y\right.\]

болса.

Анықтама. Егер

\[y\colon\ w\subset X\]

элементті қамтитын қандай да бір

\[K(y,r)\]

аймағы үшін толығымен

\[\bigcap{}\]

жиынына енетін болса онда

\[y\colon\Phi\subset X\]

ішкі нүкте деп аталады, .

Анықтама.

\[\underline{{\land}}\]

жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік нүктелерінің жиынын айтамыз және

\[\overline{{\left(\Sigma\right)}}\]

деп белгілейміз.

Анықтама. Егер

\[\mathbf{W}={\widetilde\Omega}\]

болса онда

\[\bigcap{}\]

жиыны тұйық деп аталады. Айталық

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

метрикалық кеңістік және

\[A\ \subset X\]

\[{\mathfrak{g}}\in{\mathfrak{X}}\]

болсын.

Анықтама. Егер

\[A\ \ \subset{\overline{{B}}}\]

болса

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиыны

\[\ D\]

жиынында тығыз деп аталады.

Анықтама. Егер

\[{\overline{{A}}}\quad\equiv X\]

теңдігі орындалса, онда

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиыны жете тығыз жиын деп аталады.

Анықтама. Құрамында саналымды жете тығыз жиыны бар кеңістіктер сеперабельді деп аталады.

Элементтер арасындағы қашықтықты анықтағаннан соң жиынтық ұғымын енгізуге болады.

Анықтама.

\[X\supset\{{\hat{a}}_{n}\}\]

тізбегі

\[{\mathcal Q}\,\]

элементіне жинақталады деп аталады, егер

\[n\ \mathbb{G}\ \intercal\infty\]

болғанда

\[\rho\left(\mathcal{Q}_{n},\mathcal{Q}\right)\mathcal{\rightarrow}\ \Theta\]

болса, бұл фактіні

\[\operatorname*{lim}_{n\in\mathbf{\alpha}}a_{n}=a\]

деп жазады. Айталық

\[\int_{0}^{x}H_{\mathbf{\delta}}\]

бейнелеуі

\[R=\left(X,\rho\right)\]

метрикалық кеңістігін

\[R_{0}=(Y,\rho_{0})\]

метрикалық кеңістігіне бейнеленсін.

Анықтама.

\[\int_{0}^{c}H_{\mathbf{\delta}}\]

бейнелеуі

\[x\in R\]

нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер

\[\operatorname*{lim}_{n\in\infty}x_{n}=x\]

тізбегі үшін

\[\operatorname*{lim}_{n\P\ldots}f(x_{n})=f(x)\]

болса.

1. 2 Метрикалық кеңістіктегі компактілік, толықтық

Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды рөлге ие.

Анықтама. Егер

\[\bigcup_{n}\ {\mathcal{A}}_{n}\ \to A\]

болса,

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиынының ашық бүркеуі деп

\[\left\{A_{n}\right\}\]

жиындар топтамасын айтамыз.

Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес екендігін ескертейік.

Анықтама. Егер

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы ішкі бүркеу бөліп алуға болатын болса онда

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиыны компакті немесе компакт деп аталады.

Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз:

1. Компакті метрикалық кеңістіктің тұйық ішкі жиыны компакт.

2. Компакті метрикалық кеңістіктің үзіліссіз бейнелеу кезіндегі

образы компакт.

3. n-өлшемді

\[R^{n}\]

евклид кеңістігінде компактілік тұйықтық пен

шектелгендікке эквивалентті.

\[\left(A,r\right)\,\left(X,r\right)\,\left(Y,\rho\right)\]

метрикалық кеңістіктері үшін

\[A I~X\subset Y\]

болсын, онда

\[\mathbf{\nabla}/\hbar\]

бір мезгілде

\[\mathbf{\nabla}\times\]

және

\[{\mathcal{V}}\]

кеңістіктерінде

компакті.

Компакті жиындардың жоғарыдағы анықтамаға эквивалент тағы бір анықтамасын келтірейік.

Айталық

\[A\setminus G(X,\rho)\]

және

\[\scriptstyle e\;>0\]

болсын.

Анықтама.

\[B\subset(X,\rho)\]

жиыны

\[\mathbf{\nabla}\lambda\]

жиынына

тор деп аталады, егер

\[{}^{\nu}\ {\mathbf{\mathcal{X}}}\ \in{\mathcal{A}}\]

үшін

\[r\left(x,y\right)<\varepsilon\]

болатындай

\[y\in B\]

табылса.

Компактілікті тағайындайтын келесі критерийді дәлелдеусіз қабылдаймыз.

Теорема.

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

метрикалық кеңістігі компакт болу үшін

\[{}^{*}\,\{x_{n}\}\subset X\]

тізбегінен жинақты ішкі тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.

Теорема.

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

толық метрикалық кеңістік және

\[\mathrm{\Gamma}^{n}\,\mathcal{E}\,>0\]

үшін

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

кеңістігінде ақырлы

\[\begin{array}{c}{{\underline{{{\mathcal{C}}}\Phi}}}\\ {{\underline{{{\langle\Omega\rangle}}}}}\end{array}\]

тор бар болса, сонда тек сонда ғана

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

компакт болады.

Метрикалық кеңістіктегі толықтық

Метрикалық кеңістіктің көптеген фундаментальды қасиеттері оның толықтығына сүйенеді.

Анықтама.

\[{}^{*}\,\{x_{n}\}\subset X\]

тізбегі фундаментальды деп аталады, егер

\[m,n\oplus\infty\]

болғанда

\[\rho\left(x_{n},x_{m}\right)\to0\]

болса.

Фундаментальды тізбекті Коши тізбегі деп атайды.

Егер

\[\operatorname*{lim}_{n\in\infty}x_{n}=x\]

және

\[\operatorname*{lim}_{m\Theta\circ}x_{m}=x\]

болса, онда

\[r\left(x_{n},x_{m}\right)\Xi\;r\left(x_{n},x\right)+\rho\left(x,x_{m}\right)\]

теңсіздігінің негізінде

\[\rho\left(x_{n},x_{m}\right)\to0\]

болатындығын көру қиын емес. Яғни егер

\[\left\{x_{n}\right\}\subset X\]

жинақты тізбек болса, онда ол тізбек фундаментальды тізбек болады. Жалпы жағдайда кері тұжырым дұрыс емес. Кейбір нақты кеңістіктердің ерекшеліктеріне байланысты бұл ұғымдар эквивалент болады. Мысалы,

\[\textstyle{\mathcal{D}}\]

нақты сандар кеңістігінде бұл тұжырымдардың эквивалент екендігін білдіретін Коши критерийі бар. Осыған байланысты келесі түсінікті енгізейік.

Анықтама.

\[(X,\rho\,)\]

метрикалық кеңістігі толық деп аталады, егер мұндағы әрбір фундаментальды тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын болса. Яғни

\[(X,\rho\,)\]

толық

\[\hat{\mathbf{U}}\;^{\textrm{n}}\left\{x_{n}\right\}\hat{\mathbf{I}}\;\;X:{\mathbf{S}}x=\operatorname*{lim}_{n\oplus\infty}x_{n},x\in X.\]

Осы тұрғыдан берілген метрикалық кеңістікті қандай да бір әдіспен толықтыруға болады ма?-деген орынды сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді. Теореманы енгізбес бұрын бірқатар түсініктерді енгізейік.

Анықтама.

\[{\mathit{\mathcal{V}}}\]

метрикалық кеңістігі

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

кеңістігінің толықтаушысы деп аталады, егер

\[X\ c{\bar{Y}}\]

және

\[{\mathfrak{X}}\subset Y\]

болса.

Анықтама.

\[\langle{\mathord{\cal I}}\rangle\]

және

\[{\mathcal{V}}\]

метрикалық кеңістіктері изометриялы деп аталады, егер олардың арасындағы арақашықтықты сақтайтын өзара бірмәнді сәйкестік бар болса, яғни

\[y_{1}=f(x_{1})\,y_{2}=f(x_{2})\]

Теорема. Әрбір

\[\langle{\mathord{\cal{I}}}\rangle\]

метрикалық кеңістігінің

\[{\mathcal{V}}\]

толықтаушысы бар болады және бұл толықтаушысы изометрия дәлдігінде жалғыз болады.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар

\[R^{n}\]

кеңістігінде кез келген әртүрлі реттелген

\[x=x(x_{1},x_{2},...,x_{n})\]

және

\[y\ \longrightarrow\ y\Bigl(\ y_{1},\ y_{2},\ldots,\ y_{n}\dots\dots\ y_{n}\ z\Bigr)\]

нүктелері үшін метриканы мына түрде аламыз.

\[\rho_{_p}\left(x,y\right)=\left(\sum\!\left(x_{k}-y_{k}\right)^{\!p}\right)\]

мұндағы:

\[p\geq1\]

1) және 2) аксиомалардың орындалатыны жеңіл көрініп тұр.

3) аксиоманың орындалатынын тексерейік

\[x=x(x_{1},x_{2},...,x_{n})\]

және

\[z\leftarrow z\Bigl(\zeta_{1},z_{2},....,z_{n}\Bigr)\]

болсын.

Дәлірек айтқанда біз мынадай теңсіздікті дәлелдеуіміз керек

\[r_{\ _{p}}\left(\widetilde{\sigma},\delta\right)\Xi\;r_{\mathrm{~}_{p}}\left(\widetilde{\sigma},y\right)+\rho_{\mathrm{~}_{p}}\left(y,z\right)\]

(2)

Егер

\[\mathcal{V}_{k}\;-\;\mathcal{W}_{k}\;\longrightarrow\;\mathcal{Q}_{k}\,,\]

\[z_{k}\,-\,y_{k}\,=\partial_{k}\]

деп белгілесек, онда

Енді (2) теңсіздік пен соңғы келтірілген теңсіздіктерді пайдаланып жазсақ мынадай түрге енеді.

бұл Миньковский теңсіздігі ,

олай болса (2) теңсіздігі орындалады. Бұл метрикалық кеңістікті

\[\textstyle R_{p}^{n}\]

- деп белгілейміз.

\[p=2\]

болғанда бұл кеңістік n-өлшемді арифметикалық

\[{\boldsymbol{R}}^{n}\]

евклид кеңістігіне айналады.

3) Барлық нақты сандардың шектелген тізбегін жиынын қарастырайық:

\[x=x{\bigl(}x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},\ldots{\bigr)}\]

\[y=y(y_{1},y_{2},...,y_{n},...)\]

осы жиынның кез келген екі элементі болсын

\[\rho\left(x,y\right)=\operatorname*{sup}_{k}y_{k}-x_{k}\backslash\]

бұл метрика 1) - 3) аксиомаларды қанағаттандырады. Сондықтан аталған жиын метрикалық кеңістік болады, оны

\[J/I\]

деп белгілейміз.

\[{\widehat{\sum}}x_{i}{\xrightarrow{2}}\ p\circ\]

теңсіздігін қанағаттандыратын шексіз

\[{\mathcal{X}_{1}}_{\ {\ }}\supset{\mathcal{X}_{2}}\supset\ast\ast\circ{\mathcal{X}_{n}}\supset\ast\ast\]

сан тізбектерінің жиынын қарастырайық. Оны

\[\textstyle{\mathit{\frac{1}{2}}}\]

деп белгілейміз.

Осы жиында кез келген екі элементтің арақашықтығы

\[\rho\left(y,x\right)={\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}}}\]

теңдігі арқылы анықтасақ ол метрикалық кеңістікке айналады. Ол үшін мынадай элементар теңсіздікті пайдаланамыз.

\[\left(x_{k}\,-\,y_{k}\,\right)^{2}\,\geq0\]

\[\longrightarrow{\overset{}{\longrightarrow}}\]

немесе

\[\left(x_{k}\pm y_{k}\right)^{2}\pi\:2\bigl(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\bigr)\]

Соңғы теңсіздіктен

\[{}^{n}\,x,y\in I_{2}\]

үшін

\[\rho\left(x,y\right)\]

шамасының мағынасы бар болады, немесе

\[\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\ \mathrm{p}\simeq\]

және

\[{\frac{\bar{Y}}{\leq\gamma_{k}^{2}}},\bar{p}\simeq\]

\[\overline{{\neg\Phi}}\]

\[\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}\]

1) және 2) аксиомалардың орындалуы жеңіл дәлелденеді, ал 3) аксиома мына төмендегі теңсіздіктерден шығады (р=2 болғанда Миньковский теңсіздігі)

\[{\sqrt{\frac{a}{\Delta\left(z_{k}\cdot{\boldsymbol{x_{k}}}\right)^{2}}}}=\left(z_{k}\cdot\ y_{k}+y_{k}\cdot\ x_{k}\right)^{2}\mp{\sqrt{\frac{a}{\Delta_{k-1}^{\,\,\,\,a}\left(z_{k}\cdot\,y_{k}\right)^{2}}}}+{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})^{2}}}\]

Бұл теңсіздікте

\[n\ \mathbb{G}\ \intercal\infty\]

шекке көшу арқылы мына теңсіздікті аламыз