Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
I. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері..
1.1 Метрикалық кеңістік түсінігі ... ... ..8
1.2 Метрикалық кеңістіктегі компактілік, толықтық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
1.3 Сызықты және нормаланған кеңістіктер ... ... ..18
1.4 Гильберт кеңістігі, ортогональдық.. 21
1.5 Сызықты операторлар теориясының элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
1.6 Кері операторлар ... ... ... ... ... ..27
1.7 Функционалдық және Соболев кеңістіктері ... ... ... ... ... ... ... ... .29

II. ЖОЙЫЛМАЛЫ ЭЛЛИПТІК ТҮРДЕГІ ОПЕРАТОРДЫҢ БІР КЛАСЫНЫҢ ОҢ АНЫҚТАЛҒАНДЫҒЫН ЗЕРТТЕУ ... ..37
2.1 Түйіндес операторлар, тұйық операторлар ... ... ... ...37
2.2 Симметриялы оператор, оң анықталған оператор, мысал ... ... 40
2.2 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы ... ... ... ... ... 44
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...46
Әдебиеттер

Дербес туындылы дифферециалдық теңдеулердің жалпы теориясында екінші ретті теңдеулер ерекше орын алады. Қазіргі кезде екінші ретті сызықты теңдеулер теориясы толық зерттелген. Екінші ретті теңдеулерді зерттеу барысында туындаған көптеген әдістер жоғары ретті теңдеулерді және дербес туындылы теңдеулер жүйелерін зерттеуде қолданылады. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді, атап айтқанда, жойылмалы эллиптикалық теңдеулерді зерттеуге деген қызығушылық олардың газ динамикасы, механика және басқа да математика, физика облыстары үшін мәнділігіне қарай артып отыр. Осымен қатар, дербес туындылы теңдеулер үшін көптеген қолданбалы есептер туындайды. Атап айтқанда, газ динамикасында пайда болған сызықты жойылмалы эллиптикалық теңдеулер үшін спектральды есептер жайлы.
Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі 2) шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.
Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж.Л.Лионс, Э.Мадженес және Н.Н.Уральцева, О.А.Ладыженский монографияларынан табуға болады.

1. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа вырождением на границе // Труды мат. института АН СССР 1979.  Т.150.  С.212-238.
2. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР.  1981. Т.257.  №1.  С.42-45.
3. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. Сб.  1969.  Т.80.  №4.  С.455-491.
4. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат.  1981.  №5.  С.71-73.
5. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.  Новосибирск.  1981.  С.144-146.
6. Садовничи А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
7. Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
8. М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
9. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М., Наука 1969 г.
10. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
11. С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
12. В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
13. Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Тақырыбы: Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң
анықталғандығы туралы

Автор:Қазтаева Г.

Ғылыми жетекші: Шырақбаев А.

Тараз 2012

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5

I. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір
фактілері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

1.1 Метрикалық кеңістік
түсінігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ..8

1.2 Метрикалық кеңістіктегі компактілік, толықтық
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11

1.3 Сызықты және нормаланған
кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...18

1.4 Гильберт кеңістігі,
ортогональдық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... 21

1.5 Сызықты операторлар теориясының
элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24

1.6 Кері
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ...27

1.7 Функционалдық және Соболев
кеңістіктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29

II. ЖОЙЫЛМАЛЫ ЭЛЛИПТІК ТҮРДЕГІ ОПЕРАТОРДЫҢ БІР КЛАСЫНЫҢ ОҢ
АНЫҚТАЛҒАНДЫҒЫН ЗЕРТТЕУ ... ... ... ... ... ... .37

2.1 Түйіндес операторлар, тұйық
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37

2.2 Симметриялы оператор, оң анықталған оператор,
мысал ... ... ... ... ... ... ... .. 40

2.2 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы
туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... 44

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46

Әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... 48

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Дербес туындылы дифферециалдық теңдеулердің
жалпы теориясында екінші ретті теңдеулер ерекше орын алады. Қазіргі кезде
екінші ретті сызықты теңдеулер теориясы толық зерттелген. Екінші ретті
теңдеулерді зерттеу барысында туындаған көптеген әдістер жоғары ретті
теңдеулерді және дербес туындылы теңдеулер жүйелерін зерттеуде қолданылады.
Екінші ретті дифференциалдық теңдеулерді, атап айтқанда, жойылмалы
эллиптикалық теңдеулерді зерттеуге деген қызығушылық олардың газ
динамикасы, механика және басқа да математика, физика облыстары үшін
мәнділігіне қарай артып отыр. Осымен қатар, дербес туындылы теңдеулер үшін
көптеген қолданбалы есептер туындайды. Атап айтқанда, газ
динамикасында пайда болған сызықты жойылмалы эллиптикалық теңдеулер үшін
спектральды есептер жайлы.

Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш
топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық
өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі
ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі
процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес
дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің
сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді
төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі 2) шешімнің әр
түрлі салмақты нормалардағы бағасы 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.

Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда
эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары
айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары
анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж.Л.Лионс,
Э.Мадженес және Н.Н.Уральцева, О.А.Ладыженский монографияларынан табуға
болады.

Мұнда көрсетілген әдістерді ақырсыз облыстарда берілген және қатты
өсетін (қосындыланбайтын) коэффициентті дифференциалды теңдеулер үшін
қолдануға болмайды. Соңғыларды сингулярлы Штурм-Лиувиль теңдеуінің
мысалында зерттеу Эверитт және Гирц еңбектерінде басталған, мұнда негізінен
операторының бөлектенуіне тірек болатын q(x) функциясына қойылатын
шарттар анықталған. Эверитт және Гирц терминдерінде көрсетілген оператор
кеңістігінде бөлектенеді деп аталады, егер шарттарынан
екені шықса, бұдан кейін бұл нәтижелер М.Өтелбаевтің, К.Х.Байматовтың
жұмыстарында олар ұсынған локализация әдісі мен Титчмарш-Левитан әдісінің
әртүрлі модификацияларының негізінде әрі қарай жетіле түсті. Бұл жұмыстар
сызықты эллиптикалық теңдеулердің бөлектенуін зерттеуде үлкен үлес қосуда.
Олардың әдістемелері жартылай шенелмеген дифференциалды операторлардың,
яғни энергетикалық кеңістіктері С.Л.Соболев кеңістігіне енбеген
операторлардың кейбір класын зерттеуге көмек береді. Жартылай шенелмеген
операторлар қатарына барлық тақ ретті дифференциалды операторлар жатады.

Тақ ретті сызықты және сызықты емес дифференциалды операторлар
М.Өтелбаев, Д.Ж.Райымбеков, М.Б.Мұратбеков, А.Біргебаева, Т.Т.Аманова,
А.Ж.Тогучуев, А.В.Тучин, Б.Алиев, Д.Зейнолов сияқты ғалымдардың
еңбектерінде көрініс тапқан.

Мұнда Д.Ж.Райымбеков, Б.Алиев және Д.Зейнолов жұмыстары комплекс
потенциалды жағдайға арналған. Сингулярлы тақ ретті дифференциалды
операторлар жүйелі зерттелмеген. Мұндай теңдеулер математикалық физика
теңдеулерін Фурье әдісімен зерттеу барысында пайда болады. Сондай-ақ нақты
коэффициентті теңдеулер үшін де кейбір жауап табылмаған сұрақтар бар.
Солардың кейбіреулеріне тоқталайық.

М.Өтелбаев, А.Біргебаева мынандай сызықты емес теңдеуді зерттеген:
, және қосымша шарттары орындалғанда шешімнің шекті
тегістігі алынған.

А.Ж.Тогучуевтің жұмысында түріндегі теңдеу қарастырылған, бірақ
ол жұмыста потенциалды функция орнына операторлық коэффициент алынған.

М.Б.Мұратбеков және Т.Т.Аманова теңдеуін болған жағдайда
қарастырған. Сондай-ақ, Бұл авторлардың жұмысында

қосымша шартының орындалуы талап етілген.

Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптикалық түрдегі
оператордың бір класының оң анықталғандығын көрсету.

Зерттеу әдістемесі. Сызықты екінші ретті дифференциалды операторды
зерттеу барысында төмендегідей әдістер пайдаланылды: локализация әдісі,
априорлы бағалау әдісі және М.Б.Мұратбеков пен М.Өтелбаевтың жұмыстарында
ұсынылған әдістер қолданылды.

Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:

1. түрдегі жойылмалы эллиптікқ түрдегі оператордың бір класының оң
анықталғандығы көрсетілді.
Практикалық және теориялық құндылығы. Кванттық механикада, беттердің
ақырсыз аз иілу теориясында дифференциялды операторлардың спектральді
теориясында сондай-ақ, жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу
барысында қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.

Диплом жұмысының құрылымы. Жұмыс кіріспе, екі бөлім, қорытынды және
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделген, негізгі мақсаттары
келтірілген, жұмыстың жаңалығы мен теориялық және практикалық маңыздылығы
анықталған.

Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, анализдің кейбір фактілері мен
тұжырымдары және көмекші нәтижелер келтірілген.

Екінші бөлімде Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының
оң анықталғандығы көрсетілген.

1. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері

1.1 Метрикалық кеңістік түсінігі

Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің
негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама
жатыр.

Анықтама. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-төмендегідей
шарттарды қанағаттандыратын

1. ,

2.

3.

функциясын айтамыз.

Анықтама. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда ол
метрикалық кеңістік деп аталады.

Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және
функциясынан құралған жұбын айтады.

Мысалы, n-өлшемді Евклид кеңістігінде метрика

функциясымен анықталады.

Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда
әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.

Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді.
Сондай-ақ метрикасы анықталса, онда өрнегімен ақырсыз көп
метрика анықтауға болады.

Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай
түсініктерді енгізуге болады:

Анықтама. X кеңістігіндегі центрі радиусы болатын ашық
(тұйық) шар деп- () теңсіздігін қанағаттандыратын X
кеңістігінің бөлігін айтамыз және деп белгілейміз.

Анықтама. Егер үшін болатындай шар табылса онда
жиыны ашық деп аталады.

Анықтама. элементінің аймағы деп болатын кез келген ашық
шарды немесе ашық жиынды айтамыз.

Айталық болсын.

Анықтама. нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады,
егер -тің әрбір аймағы болатын кемінде бір элементін
қамтитын болса.

Анықтама. оңашаланған нүкте деп аталады, егер осы элементті
қамтитын қандай да бір аймағы үшін болса.

Анықтама. Егер элементті қамтитын қандай да бір аймағы
үшін толығымен жиынына енетін болса онда ішкі нүкте деп
аталады,.

Анықтама. жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік
нүктелерінің жиынын айтамыз және деп белгілейміз.

Анықтама. Егер болса онда жиыны тұйық деп аталады.
Айталық метрикалық кеңістік және , болсын.

Анықтама. Егер болса жиыны жиынында тығыз деп
аталады.

Анықтама. Егер теңдігі орындалса, онда жиыны жете тығыз
жиын деп аталады.

Анықтама. Құрамында саналымды жете тығыз жиыны бар кеңістіктер
сеперабельді деп аталады.

Элементтер арасындағы қашықтықты анықтағаннан соң жиынтық ұғымын
енгізуге болады.

Анықтама. тізбегі элементіне жинақталады деп аталады,
егер болғанда болса, бұл фактіні деп жазады. Айталық
бейнелеуі метрикалық кеңістігін метрикалық кеңістігіне
бейнеленсін.

Анықтама. бейнелеуі нүктесінде үзіліссіз деп аталады,
егер тізбегі үшін болса.

1.2 Метрикалық кеңістіктегі компактілік, толықтық

Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды
рөлге ие.

Анықтама. Егер болса, жиынының ашық бүркеуі деп
жиындар топтамасын айтамыз.

Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес
екендігін ескертейік.

Анықтама. Егер жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы ішкі
бүркеу бөліп алуға болатын болса онда жиыны компакті немесе компакт
деп аталады.

Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз:

1. Компакті метрикалық кеңістіктің тұйық ішкі жиыны компакт.

2. Компакті метрикалық кеңістіктің үзіліссіз бейнелеу кезіндегі

образы компакт.

3. n-өлшемді евклид кеңістігінде компактілік тұйықтық пен

шектелгендікке эквивалентті.

4. метрикалық кеңістіктері үшін

болсын, онда бір мезгілде және
кеңістіктерінде

компакті.

Компакті жиындардың жоғарыдағы анықтамаға эквивалент тағы бір
анықтамасын келтірейік.

Айталық және болсын.

Анықтама. жиыны жиынына тор деп аталады, егер
үшін болатындай табылса.

Компактілікті тағайындайтын келесі критерийді дәлелдеусіз қабылдаймыз.

Теорема. метрикалық кеңістігі компакт болу үшін
тізбегінен жинақты ішкі тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.

Теорема. толық метрикалық кеңістік және үшін
кеңістігінде ақырлы тор бар болса, сонда тек сонда ғана
компакт болады.

Метрикалық кеңістіктегі толықтық

Метрикалық кеңістіктің көптеген фундаментальды қасиеттері оның
толықтығына сүйенеді.

Анықтама. тізбегі фундаментальды деп аталады, егер
болғанда болса.

Фундаментальды тізбекті Коши тізбегі деп атайды.

Егер және болса, онда

теңсіздігінің негізінде болатындығын көру қиын емес. Яғни егер
жинақты тізбек болса, онда ол тізбек фундаментальды тізбек болады.
Жалпы жағдайда кері тұжырым дұрыс емес.Кейбір нақты кеңістіктердің
ерекшеліктеріне байланысты бұл ұғымдар эквивалент болады. Мысалы,
нақты сандар кеңістігінде бұл тұжырымдардың эквивалент екендігін білдіретін
Коши критерийі бар. Осыған байланысты келесі түсінікті енгізейік.

Анықтама. метрикалық кеңістігі толық деп аталады, егер мұндағы
әрбір фундаментальды тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын болса.
Яғни толық

Осы тұрғыдан берілген метрикалық кеңістікті қандай да бір әдіспен
толықтыруға болады ма?-деген орынды сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі
теорема жауап береді. Теореманы енгізбес бұрын бірқатар түсініктерді
енгізейік.

Анықтама. метрикалық кеңістігі кеңістігінің толықтаушысы
деп аталады,егер және болса.

Анықтама. және метрикалық кеңістіктері изометриялы деп
аталады, егер олардың арасындағы арақашықтықты сақтайтын өзара бірмәнді
сәйкестік бар болса, яғни

.

Теорема. Әрбір метрикалық кеңістігінің толықтаушысы бар
болады және бұл толықтаушысы изометрия дәлдігінде жалғыз болады.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар

1) кеңістігінде кез келген әртүрлі реттелген және

нүктелері үшін метриканы мына түрде аламыз.

.

мұндағы: .

1) және 2) аксиомалардың орындалатыны жеңіл көрініп тұр.

3) аксиоманың орындалатынын тексерейік

, және болсын.

Дәлірек айтқанда біз мынадай теңсіздікті дәлелдеуіміз керек

(2)

Егер

деп белгілесек, онда

Енді (2) теңсіздік пен соңғы келтірілген теңсіздіктерді пайдаланып жазсақ
мынадай түрге енеді.

-

бұл Миньковский теңсіздігі,

олай болса (2) теңсіздігі орындалады. Бұл метрикалық кеңістікті -
деп белгілейміз.

2) болғанда бұл кеңістік n-өлшемді арифметикалық евклид
кеңістігіне айналады.

3) Барлық нақты сандардың шектелген тізбегін жиынын қарастырайық:

, осы жиынның кез келген екі элементі болсын

бұл метрика 1) – 3) аксиомаларды қанағаттандырады. Сондықтан аталған жиын
метрикалық кеңістік болады, оны деп белгілейміз.

4) теңсіздігін қанағаттандыратын шексіз сан
тізбектерінің жиынын қарастырайық. Оны деп белгілейміз.

Осы жиында кез келген екі элементтің арақашықтығы

теңдігі арқылы анықтасақ ол метрикалық кеңістікке айналады. Ол үшін мынадай
элементар теңсіздікті пайдаланамыз.

немесе

Соңғы теңсіздіктен үшін шамасының мағынасы бар болады,
немесе

және

1) және 2) аксиомалардың орындалуы жеңіл дәлелденеді, ал 3) аксиома мына
төмендегі теңсіздіктерден шығады (р=2 болғанда Миньковский теңсіздігі)

Бұл теңсіздікте шекке көшу арқылы мына теңсіздікті аламыз

Бұл кеңістік кеңістігі деп аталады.

Дәл осы жолмен кеңістігін -ге жалпылауға болады.

Енді функционалдық метрикалық кеңістіктерге бірнеше мысалдар келтірейік

5) кеңістігі. кесіндісінде анықталған үзіліссіз
функциялар жиынында

Метрикасын енгіземіз. Бұл үш аксиоманы да онай қанағаттандырады. Сондықтан
-метрикалық кеңістік, -ді деп те белгілейміз.

6) кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар жиын, онда
функцияларының арақашықтығы

Бұл метрикалық кеңістік болады, оны белгілейміз. 1), 2) аксиомалар
оңай орындалады. 3) аксиома Миньковский интегралдық теңсіздігінен шығады.
р=2 болғанда

Метрикалық кеңістікті үзіліссіз бейнелеу

, - екі метрикалық кеңістік болсын.

бейнелейтін болсын

үшін

Анықтама: болсын үшін табылып,
теңсіздігі орындалса, онда нүктесінде үзіліссіз
бейнелеуі болады. ( мұндағы -де анықталған метрика)

Мысал: - метрикалық кеңістік болсын. -те
анықталған метрика болсын. Егер метрикасы -те анықталған екі
айнымалы шамаға тәуелді деп қарастырсақ, ол функция да үзіліссіз ункция
болады. Ол үшін 3) -тар аксиомасын мына түрде түрлендіреміз

Бұл теңсідіктен

(1 аксиомадан шығады)

Бұл теңсіздік функциясын (метрикасын) - кеңістігінде үзіліссіз
екенін көрсетеді.

1.3 Сызықты және нормаланған кеңістіктер

Анықтама. жиыны сызықты кеңістік деп аталады, егер
үшін осы элементтердің қосындысы деп аталатын, келесі шарттарды
қанағаттандыратын амалы анықталса:

1. егер болса, онда

2. ;

3.

4. Барлық үшін болатын нөлдік элемент бар және
жиынында келесі шарттарды қанағаттандыратын санына көбейту
амалы анықталса:

5. егер болса, онда болады(мұндағы

скаляр шама);

6. -скалярлар;

7.

8. (сол жағында нөл саны, ал оң жағында

нөлдік элемент);

9.

10.

Мұнда элементі арқылы белгіленеді. Жоғарыдағы
қасиеттерден және болатынын көреміз.

Кей жағдайда сызықты кеңістікті векторлық кеңістік деп, ал оның
элементтерін векторлар деп атайды. Сызықтық кеңістікте скаляр
көбейткіштері нақты немесе комплекст болуына байланысты кеңістік те нақты
немесе комплекс деп аталады.

Мысалдар:

1. Барлық нақты(комплекс)сандар жиыны нақты (комплекс) сызықтық кеңістік
құрайды.
2. Нақты(комплекс) коэффициентті бір айнымалы
көпмүшеліктер жиыны нақты(комплекс) сызықты кеңістік болады.

Анықтама. Сызықтық кеңістіктің жиыны осы кеңістіктің ішкі
кеңістігі деп аталады, егер және скалярлары үшін
болса. Мұндай ішкі кеңістікті сызықты көпбейне деп атайды.

Кеңістіктің элементтерінің ұзындығы анықталған кеңістікті нормаланған
кеңістік деп атайды.

Анықтама. сызықты кеңістігінің әрбір элементіне келесі
шарттарды қанағаттандыратын санын сәйкестендірсек:

1. және ;

2.

3.

онда кеңістігі нормаланған кеңістік деп аталады. санын
элементінің нормасы деп атаймыз. Егер болса, онда
нормаланған элемент деп аталады. Мысалы, нақты(комплекс) сандар жиынында
норма ретінде санның абсолют шамасын алсақ, онда ол нормаланған сызықты
кеңістік болады.Сызықты нормаланған кеңістіктерде элементтердің арасындағы
қашықтық ұғымын енгізуге болады. Нақты айтқанда келесі тұжырым орынды
болады:

Лемма. . сызықты нормаланған кеңістігі метрикасымен
метрикалық кеңістік болады.

кеңістігінде осы метрика бойынша тізбектің жинақтылығы норма
бойынша жинақтылықпен сай келеді.

Лемма. Сызықты нормаланған кеңістікте норма метрика мағынасында
үзіліссіз функция болып табылады.

Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік

метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған
кеңістік толық деп аталады.

Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.

Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах
кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.

1.4 Гильберт кеңістігі, ортогональдық

Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады.
Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн
болады.

Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.

I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
скаляр көбейтінді енгізілсе:

1. және

2.

3. ;

II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар табылса,
яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы гильберт
кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.

Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы

арқылы енгізіледі.

Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандыратынын көру қиын емес.

Гильберт кеңістігінде

теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі
деп аталады.

Гильберт кеңістігінде метрика

теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік
болып табылады.

Егер

және

болса, онда

яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.

Гильберт кеңістігіндегі ортогональдық

Анықтама. Егер және элементтері үшін болса, онда
Гильберт кеңістігінің және элементтері ортогональды деп
аталады және деп белгілейді.

Егер үшін болса, онда элементі жиынына
ортогональ делінеді, деп жазылады.

Теорема. Егер және болса, онда элементінің
жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал

Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни

Лемма. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз
болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы
қажетті және жеткілікті

Дәлелдеуі:

Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда
. Демек , олай болса

Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы
теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал
болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.

1.5 Сызықты операторлар теориясының элементтері

Айталық және сызықты нормаланған кеңістіктер болсын.
жиынында операторы анықталған дейді, егер әрбір үшін
элементі сәйкес қойылса. Мұндағы оператордың анықталу облысы,
ал оператордың мәндер облысы делінеді.

Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.

Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.

Осындай тұрақтылардың ең кішісі операторының нормасы делінеді
де деп белгіленеді.

Кез келген шектелген операторының нормасы

формуласы арқылы анықталады.

Анықтама. операторы үзіліссіз деп аталады, егер болатын
тізбегі үшін болса.

Теорема. сызықты операторы шектелген болуы үшін оның үзіліссіз
болуы қажетті және жеткілікті.

Анықтама. Айталық сызықты кеңістіктер және болсын.
жиыны операторының ядросы деп аталады және деп белгіленеді,
яғни:

Нөл әрқашан сызықты оператордың ядросына енеді, яғни:

. Сызықты оператордың анықталу облысы, сондай-ақ мәндер
облысытабиғаты әртүрлі жиындар болады.

Анықтама. сызықты кеңістігінде анықталған мәндер жиыны сандар
болып келетін операторды функционал деп атаймыз.

Мысалы, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.