Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері

Жоспар
Кіріспе

1 Кездейсоқ оқиғалар
2 Ықтималдақтарды қосу және көбейту теоремалары
3 Толық ықтималдықтың формуласы Бейес формуласы
4 Тәжірибені қайталау тәуелсіз сынақтар тізбегі
Кездейсоқ шамалар функциясы
5. Хu . квадрат үлестірім ( .үлестірім).
Бернулли теоремасы
6 Математикалық статистика элементтері
Негізгі ұғымдар таңдамалық тәсіл
7 Үлестірім параметрлерін бағалау

Ықтималдықтар теориясы пайда болғанға дейінгі кезеңнің бастамалары ежелгі ғасырларға кетеді. Бұл ұзақ дәуірде, кейін келе ықтималдықтар теориясына жатқызылатын, өте қарапайым есептер қарастырылып шығарылады, бірақ та ол үшін арнайы әдістер табылмады. Ал есептердің өздері де қызба-құмар деп аталатын ойындардың (мысалы , қарта , сүйек және теңге лақтыру, тағы басқа ойындардың) төңірегінде ғана болды. Бұл кезең Д.Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (1499-1557) және басқалардың жұмыстарымен аяқталды деп есептеліп жүр. Олардың шығарған есептерінде сол кездегі жаңа ұғым – шанс (француз сөзінен алынған) қатынасын енгізуге талпынған, мұның өзі де там – тұм кездесіп отырған (Майстров Л.Е. «Развитие понятие вероятностей». М., Наука, 1980).
Философия ғылымының даму тарихында кездейсоқтық, қажеттілік және мүмкінділік әрқашан да негізгі мәселелердің қатарында болды. Мұндай проблемаларды қарастыру ықтималдық ұғымының қалыптасуына да ықпалын тигізді. Ерте заманның өзінде-ақ статистикалық материалдарды жинап, оған түрлі талдау жүргізген. Міне, солар ғылымда жаңа ұғымдар, оның ішінде ықтималдық ұғымының шығуына әсер еткен. Алайда, ерте замандағы ғылым ықтималдық ұғымын бөліп ала алмаған (Карпенко Б.И. «Развитие идей и категорий математической статистики». М., Наука, 1979).
Ықтималдықтар теориясының шығуы ХVII ғасырдың ортасындағы Б.Паскальдің (1623-1662), П.Ферманың (1601-1665) және Х.Гюйгенстің (1629-1695) еңбектерімен байланыстырылады. Ықтималдықтар теориясының идеялары қауыпсыздандыру, демография және бақылау қателерін бағалау талаптарын шешуге арналған есептерге қолданылады.
Я.Бернуллидің (1654-1705) жүргізген зерттеулері ықтималдықтар теориясының дамуындағы белді кезең болды. Ол өзінің еңбектерінде шектік теоремалар қатарына жататын алғашқы үлкен сандар заңын дәлелдеді. Осы дәуірде келелі жұмыстардың пайда болғанын айта кету керек: Муавр (1667-1754) кездейсоқ құбылыстарды қарастырғанда жиі кездесетін қалыпты заңдардың қарапайым түрлерін ашты; Лаплас (1749-1827) ықтималдықтар теориясын бір жүйеге келтіріп баяндады, ықтималдықтың қазіргі кезде классикалық деп аталатын анықтамасын берді, шектік теоремаларды әрі қарай кеңейтті; Гаусс (1777-1855) қалыпты заңның негіздемесін жасады, «ең кіші квадраттар әдісін» экспериментальдық берілгендерді өңдеуге қолданды; Пуассон (1781-1840) үлкен сандар заңдарын зерттей отырып, кездейсоқ шамалар бағынатын үлестірімнің жеке бір түрін атау теориясына қолданды; т.б.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 171 бет
Таңдаулыға:

ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Кездейсоқ оқиғалар

Бірінші мысал. Қорапта 4ақ,9 қара және 7 қызыл бірдей шарлар салынған. Қораптан кез-келген бір шар алынады.Сонда ақ шар пайда болуының ықтималдылығы қандай?
Шешуі: А-ақ шар пайда болуы болсын.Бұл тәжірибеде элементарлық оқиға дегеніміз қораптан кез-келген бір шар алу.Шарлар бірдей болғандықтан бұл оқиғалар тең мүмкінді және өзара үйлесімсіз. Элементарлық оқиғалардың жалпы саны осы қораптағы шарлар санына тең n=20,ал А оқиғасына қолайлы элементарлық оқиғалар саны қораптағы ақ шарлар санына тең. Сондықтан ықтималдықтың анықтамасы бойынша

Екінші мысал:а:
а) Ө, Н, С, Е, Д, У әріптері бөлек карталарға жазылған. Содан кейін карталар араластырып кез-келген ретпен бір қатарға орналастырылған. Сонда сәндеу сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?
б) Әрқайсысында бір әріп жазылған карталардан "Жарлық"сөзі құрылған.Карталарды араластырып, содан кейін бір-бірлеп алған ретімен сөз құрастырылады.Сонда ЖАҚ сөзінің пайда болуының ықтималдығы қандай?
Шешуі: а) Берілген алты карталардың бір қатарға әртүрлі орналасуларының бір-бірімен айырмашылығы олардың қандай ретпен орналасқандығында болады.Сондықтан ондай орналасулардың жалпы саны мына формуламен анықталады, яғни
n=
Берілген алты картаның әрбір орналасу комбинацияларын оқиға ретінде қарастырсақ, онда олар тең мүмкінді, үйлесімсіз оқиғалар болады. Ал бізге қолайлы элементарлық оқиғалар саны m=1.
Себебі карталар әртүрлі комбинациямен орналасқанда "Сәндеу" сөзі бір-ақ рет кезігеді.Сонда
б) Берілген алты карталардан үш карта бойынша орналастырулар саны n=. Ал үш әріптен тұратын комбинациялардың бізге керегі біреу-ақ, яғни ЖАҚ, олай болса m=1.Сөитіп

Үшінші мысал. Ұйымда 6 ер адам, 4 әйел адам жұмыс істейді. Табельдегі нөмірлері бойынша 7 адам таңдап алынды. Таңдап алынған адамдардың ішінде 3 әйел бар болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Табельдегі нөмірлері бойынша барлығы 10 адамнан 7 адам таңдап алудың жалпы саны 10 элементтен 7 элемент бойынша алынған терулер саны сияқты есептелінеді, яғни

n=

Ал 3 әйелді табельдік нөмерлері бойынша 4 әйелдің ішінен таңдап алудың саны
m=C
Сондай-ақ 6 ер адамнан 4 ер адам таңдаудың саны
m=C
Енді көбейту ережесін пайдалансақ таңдап алынған 7 адамның ішінде 3 әйел 4 ер адам болу мүмліндіктерінің жалпы саны тең.
Сонымен анықталғалы отырған ықтималдық

Бұдан былай ықтималдықтың анықтамасын пайдаланып есептер шығарғанда, әуелі оқиғаны белгілі бір әріп арқылы белгілеп алу қажет. Содан кейін тең мүмкінді, үйлесімсіз элементарлық оқиғалардың жалпы санын, сосын қолайлы элементарлық оқиғалар санын есептеген жөн.
Төртінші мысал: Кітап сөресінде кездейсоқ ретпен 5 томнан тұратын анықтама қойылған:
а) кітаптар бірінші томнан бесінші томға дейін дұрыс ретпен орналасуының ықтималдығын табу керек;
б) ең болмағанда бір томның ретті орнында тұрмаған жағдайдың ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Сынақ ретінде кітап сөресінде кітаптардың кез-келген ретпен қойылуын қарастырайық. Сонда кітаптардың бұлай орналасуларының жалпы саны

n=P=5!=120

1) А әріпі арқылы кітап сөресінде кітаптардың том нөмірлерінің өсу ретімен орналасуын білдіретін оқиғаны белгілейік. Бұл оқиғаға қолайлы элементарлық оқиға біреу-ақ.
Сондықтан

P(A)=

2) В әріпі арқылы, ең болмағанда бір том ретті орнында болмауын білдіретін оқиғаны белгілейік. Мұндай оқиғалар саны m=n-1, яғни m=119. Себебі кітаптардың том нөмірлері бойынша дұрыс орналасуы бірге тең, ал қалған орналасулар В оқиғасын анықтайды. Сонымен Р(В)=119120;
Осы жерде А мен В оқиғаларының қарама-қарсы екенін ескерсек, онда Р(А)+Р()=1 екенін пайдаланып
Р(В)=1-Р(А)=1- табамыз, яғни бұрынғы жауапты алдық.

Бесінші мысал. Қорапта бірдей 5 бұйым бар. Оның үшеуі боялған. Қораптан кез-келген екі бұйым алынды:
1) алынған екі бұйымның біреуі боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек;
2) алынған бұйымның екеуі де боялған бұйым болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: 1) қорапта 5 бұйымның екеуін барлығы n=Cтәсілмен алуға болады, ал алынған екі бұйымның біреуі боялған болса, сол бір боялған, бір боялмаған бұйымдарды сәйкес m=C m=C тәсілмен алуға болады. Сонда екі бұйымның бірі боялған болудың барлық қолайлы элементарлық оқиғалар саны

Сөйтіп Р=

2) алдыңғы пунктегі шығару жолын пайдаланып

Сонда

Алтыншы мысал. Екі 4 және 5 цифрларының көмегімен әртүрлі үш орынды қанша сан жазуға болады?
Шешуі: Барлығы екі 4 және 5 цифрлары берілгендіктен іздеп отырған комбинацияларды бірден жазуға болады: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 544 барлығы 8 сан болады. Ал осы жауапты қайталанбалы орналастыруды пайдаланып та алуға болады.

Жауабы: Барлығы 8 сан жазуға болады.

Жетінші мысал. Мына 5;3;1;5;5;1 цифрлардың көмегімен алты таңбалы қанша сан жазуға болады.
Шешуі: Берілген алты цифрды үш группаға бөлеміз: 1; 1, 3; 5, 5;5.
Есептің шартына қайталанбалы алмастырулар формуласын пайдалануға болады.
Сонда

Жауабы: Барлығы 60 сан жазуға болады.

Сегізінші мысал. Гүл дүкенінде 3 түрлі гүлдер бар. Алынған 7 гүлден қанша әдіспен букет жасауға болады?
Шешуі: Сатып алынған гүл саны 7-ге тең. Сондықтан жасалған букет 7 гүлден тұрады. Ал осы букетке үш түсті гүлдердің әрбір түсінен бірнеше гүл кіруі мүмкін. Олай болса қайталанбалы терулер формуласын пайдаланып

Жауабы: 36 әдіспен букет жасауға болады.

Тоғызыншы мысал. 1-ден 35-ке дейінгі бүтін сандар арқылы нөмірленген 35 емтихан билеттерінің ішінен қалай болса солай бір билет алынған. Суырылған билеттің нөмірі үшке еселі сан болу ықтималдығы қандай?
Шешуі: Тәжірибеміз - бір билет алу. Билет қалай болса солай суырылғандықтан тәжірибенің барлық нәтижелері тең ықтималды және оның үстіне, олар қиылыспайды. Тәжірибенің мүмкін нәтижелерінің саны 35-ке тең. А оқиғасы алынған билеттің нөмірі үшке еселі болатындығын көрсетеді. Бұл оқиғаға тәжірибенің 11 нәтижесі қолайлы болады.
{3;6;...;33}. Демек, ізделінді ықтималдық тең

Оныншы мысал. Эйлер-Венн диаграммасы.

Группадағы 25 студенттің 20-сы спортсмен, (А оқиғасы), 9-ы музыкамен (Воқиғасы), 6-ы музыкамен және спортпен (АВ оқиғасы). Эйлер-Венн диаграммасын құрып, ,, оқиғаларының не білдіретіндігін көрсетелік.
Шешу: Эйлер-Венн диаграммасын құрамыз.Дөңгелектер А мен В оқиғаларын, дөңгелектердің қиылысуы АВ оқиғасын көрсетеді. Дөңгелектердің қиылысуына музыка және спортпен айналысатын студенттердің саны сәйкес келеді, яғни 6 адам. және оқиғалары, бұларға сәйкес, 14 студенттің тек спортсмен, ал 3 студент тек музыкамен айналысатындығын көрсетеді. Демек музыкамен немесе спортпен 23 студент айналысады, сондықтан да оқиғасы студенттердің ішінде тек екеуінің мұндай әуестенуі жоқтығын көрсетеді.

Студенттерге өзіндік есептер

1.Үш тиын лақтырылып тәжірибе жүргізілсін. Сонда С, С және С бірінші, екінші және үшінші тиындардың сәйкес сан жазылған жақтарының пайда болуын білдіретін оқиғалар болсын.
Енді С(i=1,3) арқылы мына оқиғаларды өрнекте: А-бір сан жазылған жақтың, екі елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы;
В-бір реттен артық елтаңба жазылған жақтардың пайда болмауы;
С-үш елтаңба жазылған жақтардың пайда болуы.
Д-үш сан жазылған жақтардың пайда болуы.
2. Мына оқиғаның ақиқат оқиға екенін дәлелде

3. Өрнекті ықшамда:

а) в)

4.Төмендегі оқиғалар группалары толық группалар бола ма?
а)А-тиынның сан жазылған жағы
А-тиынның елтаңба жазылған жағы
б)Екі тиын лақтырылған.
В={екі елтаңба пайда болды} В={екі сан пайда болды}.
в)Екі ойын кубы лақтырылған
С={екі кубтада 6 цифры пайда болды}
С={екі кубтада 6 цифры пайда болмады}
C ={бір кубта 6 цифры болды, екінші кубта 6 цифры болмады}

5. Бір мезгілде 5 ойын кубы лақтырылсын. Сонда бір мезгілде 2 алты, 2 бес және 4 цифрлары жазылған жақтардың пайда болу ықтималдығы қандай?
6. 32 картадан 10 карта алынды. Осы 10 картаның ішінде 8 картаның бір түрлі болуының ықтималдығы қандай?
7. n бірдей шар салынған урнадан бір шар алынып қайта салыныды.Тәжірибе n рет қайталанғанда барлық шарлар түгел алынып шығуының ықтималдығы қандай?
8. Жеті перфокарта 1,2,3,4,5,6,7 цифрлар жазылған.Перфокарталар әбден қарастырылғаннанкейін кез-келген 4 перфокарта алынады да олар солдан оңға қарай қойылды.Сонда 5463 саны шығатындығының ықтималдығы қандай?
9. 36 картаның кез-келген 3 картасы алынады. Сонда тұз, король, дама шығуларының ықтималдығы қандай?
10. Группадағы 15 студентке, оның сегізі қыздар, театрға 8 билет берілді.Сонда театрға билет алған 8 студенттің екеуі қыздар болуының ықтималдығы қандай?
11. Ойын сүйегін лақтырғанда жүп сан шығуының ықтималдығы қандай?
12. Экспедициядағы 20 машинаның кез-келген 5 машинасы тексеруге алынды. Экспедицияда 2 машина істен шыққан болатын.
1.Алынған 5 машинаның барлығы да жарамды болуының ықтималдығы қандай?
2.Алынған 5 машинаның біреуі істен шыққан,ал төртеуінің жарамды болуының ықтималдығы қандай?
13.Әрбір 100 картаға 1-ден 100 дейін сан жазылған. Алынған кез-келген бір картада 5 цифріне еселі болатын сан шығуының ықтималдығы қандай?
14. Жәшіктегі 15 детальдың 10-ны боялған. Жинаушы кез-келген 3 деталь алды. Алынған 3 деталь де боялғандығының ықтималдығы қандай?
15. Бірінші жәшікте нөмірлері 1-ден 5-ке дейін, ал екіншісінде 6-дан 10-ға дейін шарлар бар.Әрбір жәшіктен бір-бірден шар алынды.Алынған екі шардың нөмірлерінің қосындысы болуының ықтималдығы қандай
16. Студент 60 сұрақтың 50-ін біледі.Әрбір билет екі сұрақтан тұрады. Алған билеттегі екі сұрақты да білетіндігінің ықтималдығы қандай?
17. Группадағы 30 оқушының бақылау жұмысында 6-ы "5",10-ы, "4", ал 9-ы "3" деген бағалар алды.Тақтаға үш оқушы шақырылды. Шақырылған үш оқушының да "2" баға алғандығының ықтималдығы қандай?
18. Берілген кубтың барлық жақтары боялған. Куб бірдей 1000 бөлікке бөлінген. Пайда болған бөліктер, оларды кубтар, мұқият арастырылған, содан кейін бір кішкене куб алынған.
Алынған кішкене кубтың: а) бір жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? б) екі жағы боялғандығының ықтималдығы қандай? в) үш жағы боялғандығының ықтималдығы қандай?
19. Белгілі бір 6 магазинді 3 ревизор тексеруі керек еді. Әр ревизор 2 магазинді тексеруі керек. Магазиндерге ревизорлар қалай болса солай бөлінеді. Сонда бірінші ревизордың кез-келген екі магазинге жіберілуінің ықтималдығы қандай?
20. 36 картаның кез-келген үшеуі алынды. Алынған үш картаның екеуі тұз болуының ықтималдығы қандай?
21. Қорапта нөмірленген бірдей 6 куб бар. Қораптан кез-келген ретпен барлық кубтар алынды. Алынған кубтар нөмірлерінің өсу ретімен шығуының ықтималдығын табу керек.
22. Партияда 10 детальдің 7-і сапалы. Алынған кез-келген 6 детальдің 4-і сапалы болуының ықтималдығын табу керек.
23. Екі ойын сүйегі лақтырылған. Екі сүйекте пайда болған сандардың айырмасының абсолют шамасы 2-ге тең болғандығының ықтималдығын табу керек.
24. Қораптағы бірдей 6 шар нөмірленген. Кез келген ретпен бір-бірлеп шарлар алынып бір қатарға солдан оңға қарай қойылған. Сонда алдын-ала ойланған бір сан шығатындығының ықтималдығын табу керек.
25. Орыс алфавитінің 32 әрпі әртүрлі карталарға жазылған. Содан кез келген 6 карта алынып бірінен соң бірі бір қатарға қойылған.Сонда "сурет" сөзінің пайда болуының ықтималдығын табу керек.
26. Урнада 5 ақ 3 қара шарлар бар. Кез келген екі шар алынды. Сонда алынған әр түсті болуының ықтималдығы қандай?
27. Винтовкадан 120 атыс жүргізілді. Сонда нысанаға тию жиілігі 0,85-ке тең болды. Оқ қанша рет нысанаға дәл тиді?
28. Партиядағы 200 бұйымның бақылау кезінде 8 данасы сапасыз болды. Сапасыз бұйымдардың пайда болуының жиілігі қандай?
29. Ойын сүйегі лақтырылғанда 3-ке еселі болатын сан шығуының ықтималдығын табу керек?

2 Ықтималдақтарды қосу және көбейту теоремалары

Мысал 1
36 картаның ішінен кез-келген 2 карта алынсын. Осы екі
картаның бір түсті болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Әуелі алынған екі картаның белгілі бір түске жататынының (айталық "қарға" болсын) ықтималдығын табалық. Белгілеу енгізелік. А-бірінші карта "қарға"болсын, В-екінші карта да "қарға" болсын. Бұл екі оқиға тәуелді оқиғалар, яғни В-ның пайда болу ықтималдығы А-ның пайда болуына, не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады.Сондықтан

,
Осыдан

Ал енді ,,, алынған екі карта сәйкес төрт түстің біріне жататындығын көрсететін өзара үйлесімсіз оқиғалар болсын. Сонда алынған екі картаның бірдей түсті (оқиға С) болуы ,,, оқиғаларының кез-келгені орындалса пайда болады, яғни
С=;
Олай болса

Мысал 2
Екі мерген атыс алаңында атыс жүргізуде. Бірінші мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы - 0,7, екіншісінікі - 0,8 тең. Егер екеуі де бір-бірден атыс жасаса, ең болмағанда біреуінің нысанаға дәл тигізетіндігінің ықтималдығы қандай?
Шешуі: Белгілеу енгізелік. А-бірінші мерген нысанаға дәл тигізді. В-екінші мерген нысанаға дәл тигізді. Бұл екі оқиға үйлесімді, себебі екі мерген де нысанаға дәл тигізуі мүмкін ғой. Сондықтан үйлесімді оқиғалардың қосындыларының ықтималдығы туралы теореманы пайдаланып:

екенін табамыз.

Осы мысалды ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуы (оқиға D) туралы теореманы пайдаланып та шығаруға болатынын көрсетелік. Шынында да D-оқиғасы ең болмаса біреуінің нысанаға тигізу болсын. Сонда

Бұл жерде , ,

Мысал 3
Екі жәшікке бөлшектер салынған.Бірінші жәшікте 10 бөлшек, оның үшеуі стандартты, екіншісінде - 15 бөлшек онда 6 стандартты бар. Әрбір жәшіктен бір-бірден кез-келген бөлшек алынды.Алынған екі бөлшектіңде стандартты екенінің ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Белгілеу енгізелік. А-бірінші жәшіктен алынған бөлшек стандартты, В-екінші жәшіктен алынған бөлшек стандартты. Сондықтан 10,15. Алынған екі бөлшекте стандартты болу үшін оқиғасы пайда болуы керек. Бұл екі оқиғада үйлесімді, себебі екеуі бірдей пайда бола алады, сондай-ақ бұл оқиға тәуелсіз, себебі олардың пайда болуы бір-біріне байланыссыз. Сондықтан

Мысал 4
Бөлшек дайындау процессі үш операциядан тұрады.Бірінші операция кезінде сапасыз бөлшек дайындалуының ықтималдығы - 0,02, ал екінші операция кезінде - 0,03 және үшінші операция кезінде - 0,02. Сапасыз бөлшектердің пайда болуын тәуелсіз оқиғалар деп қарастырып, осы үш операциядан кейін сапалы бөлшек дайындауының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Белгілеу енгізелік. А оқиғасы деп бірінші операциядан кейін сапасыз бөлшектің пайда болуы; В - екінші операциядан кейін сапасыз бөлшек пайда; С - үшінші операциядан кейін сапасыз бөлшек пайда болуы. Есептің шарты бойынша А,В,С тәуелсіз оқиғалар. Олай болса оқиғалары да тәуелсіз оқиғалар. Сондықтан D= оқиғасы - үш операциядан кейін сапалы бөлшек дайындалуын анықтайды. Енді тәуелсіз оқиғалардың көбейтіндісінің ықтималдығының формуласын пайдаланып

табамыз.
Мысал 5
Сүңгір қайықты іздеп табудың ықтималдығы 0,8, ал оны жойып жіберудің ықтималдығы 0,6 - ға тең. Іздеп табылған сүңгуір қайықты жойып жіберудің ықтималдығы қандай?
Шешуі: А - оқиғасы сүңгуір қайықты іздеп тауып алуды білдіреді. В - сүңгуір қайықты жқйып жіберуді білдіреді. Сонда
Есептің шарты бойынша іздеп табылған қайықты жойып жіберудің ықтималдығын табу керек, яғни ықтималдығын табу керек.

Сонда

Мысал 6
Үш баскетболшы корзинаға бір-бірден доп лақтырды. Бірінші баскетболшының корзинаға доп түсіруінің ықтималдығы 0,9, екіншісінікі - 0,8,
үшіншісінікі - 0,7. Тек бір баскетболшының корзинаға доп түсіруінің ықтималдығы қандай?
Шешуі: А - бірінші баскетболшының корзинаға доп түсіруі, В,С - екінші, үшінші баскетболшының корзинаға доп түсіруі. Бұл оқиғалар тәуелсіз. Енді мына оқиғаларды қарастырайық:-тек А-оқиғасының пайда болуы, -тек В оқиғасының пайда болуы, - тек С оқиғасының пайда болуы.
Бұл соңғы үш оқиғалар үйлесімсіз сондықтан

D=

оқиғасы А,В,С оқиғаларының тек біреуінің пайда болуын білдіреді.Сөитіп

Мысал 7
Үш аңшы ұшып бара жатқан қазды сәйкес 23, (34), (14) ықтималдықтарымен атып түсіре алады. Ұшып бара жатқан қазды үшеуі де бір мезгілде атты. Қазды атып түсіргендіктің ықтималдығы қандай?
Шешуі: Қазды атып түсіру үшін ең болмағанда бір аңшының оғы дәл тиюі керек. Сондықтан мына формуланы пайдаланып

табамыз.
Мұндағы - қаз атып түсірілді;
- қазды бірінші аңшы атып түсірді;
- қазды екінші аңшы атып түсірді;
- қазды үшінші аңшы атып түсірді;

Мысал 8
Екі қорапқа ақ және қара түсті бірдей шарлар салынған. Айталық бірінші қорапта m ақ, n қара, ал екіншісінде - mақ, n қара шарлар бар болсын. Екі қораптан бір мезгілде, бір-бірден кез-келген шарлар алынған. Алынған екі шардың ең болмағанда біреуі ақ шар болғандығының ықтималдығын табыңыз.
Шешуі: А- оқиғасы бірінші қораптан ақ шар алынғандығын білдірсін, В- екінші қораптан ақ шар алынғандығын білдірсін. Сонда А+В оқиғасы алынған екі шардың ең болмағанда біреуі ақ шар болғандығын білдіреді. Бұл екі оқиға үйлесімді. Сондықтан мына формуланы пайдаланымыз.
Бұл жерде

және А және В оқиғаларының тәуелсіздігін ескеріп

табамыз.

Мысал 9
Қорапта бірдей бұйым бар. Қораптан екі сапалы бұйым алудың ықтималдығы 415 тең. Қорапта қанша сапалы бұйым бар еді?
Шешуі: Белгілеу енгізелік. А- қорап бірінші рет алғанда сапалы бұйым алынды, В- қорапта екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиғалар тәуелді. Сондықтан, егер - сапалы бұйымдар сан десек онда

Есептің шарты бойынша

Осыдан
Сонымен жәшікте 8 сапалы бұйым болды.

Студенттерге өзіндік есептер

1 Тоқ кернеуі ұлғайтылғанда бір-бірімен тізбектес жалғанған үш элементтің бірінің істен шығуына байланысты электр жүйесінде үзіліс пайда болуы мүмкін. Элементтердің істен шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,2; 0,3; 0,4. Электр жүйесінде үзіліс болмауының ықтималдығын табу керек.
Нұсқау: Электр жүйесінде үзіліс болмау үшін ешбір элемент істен шықпауы керек.
2 Бір партияда 50 зат бар, оның 5-уі сапасыз. Осы партиядан алынған кез-келген 30 заттың ішінде сапасыз зат біреуденартық болмауының ықтималдығын табу керек.
Нұсқау: Белгілеу енгізейік. А- барлық 30 зат сапалы. В- 30 заттың біреуі сапасыз. Сонда А,В оқиғалары үйлесімсіз. Олай болса С=А+В - алынған 30 заттың ішінде сапасыз зат біреуден артық еместігін білдіретін оқиға.
3 Жәшіктегі10 детальдің 4-і боялған. Деталь жинаушы 3 деталь алды.
Алынған үш детальдің ең болмағанда біреуі боялғандығының ықтималдығын табу керек.
4 Ақшалай-заттай лотереяда әрбір 10000 билетке 150 заттай және 50 ақшадайұтыс шығады. Бір билеті бар адамға не заттай, не ақшалай ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?
5 Урнада он қызыл, 5 көк және 15 ақ шарлар бар.Түсті шардың алынуының ықтималдығы қандай?
6 Лотереяда 1000 билет бар. Оның әрбір екі билетінің біріне ұтыс шығады. Екі билет сатып алынған. Осы екі билетке де ұтыс шығуының ықтималдығы қандай?
7 Екі ойын сүйегі лақтырылған. Сонда пайда болған сандардың қосындысы 5-тен артық болмауының ықтималдығын табу керек.
8 Үш ойын сүйегі лақтырылған. Сонда үш сүйекте де бірдей сан пайда болуының ықтималдығы қандай?
9 Екі күміс теңгені лақтырғанда ең болмағанда бір рет "цифр" пайда болуының ықтималдығы қандай?

10 Урнада 9 қызыл, 6 көк шарлар бар. Кез-келген екі шар алынды. Алынған екі шардың да қызыл болуының ықтималдығын табу керек.
11 Жұмысшы үш станоктің істен шықпауын қамтамасыз етеді. Бір сағат ішінде жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істеу ықтималдығы бірінші станок үшін 0,3-ке тең, екіншісі үшін - 0,5 және үшіншісі 0,6. Мына оқиғалардың ықтималдығын табу керек:
а) Бір сағат бойында ең болмағанда бір станок жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істейді;
в) Екі сағат бойы үш станок те жұмысшының қадағалауынсыз жұмыс істейді.
12 Семьяда 4 бала бар.Ер бала мен қыз баланың дүниеге келуінің ықтималдықтары бірдей деп алып, мына оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек:
а) Барлығы да ұлдар.
б) Барлығы не ұлдар, не қыздар
в) Ең болмағанда біреуі қыз бала.
13 Екі мергент нысанаға атыс жүргізуде. Бірінші мергеннің (А оқиғасы) нысанаға тигізу ықтималдығы - 0,5, ал екіншісінікі (В оқиғасы)- 0,4. Егер әрбір мерген 3 рет атыс жасаған болса, ең болмағанда нысанаға бір рет тигізудің ықтималдығын табу керек.
Нұсқау: Әуелі бір атыста ең болмағанда бір рет тигізудің ықтималдығын табу керек.
14 Урнада 10 шар. Урнадан екі ақ шар алудың ықтималдығы 215 - ке тең. Урнада қанша ақ шар бар еді?

3 Толық ықтималдықтың формуласы Бейес формуласы

Қоймаға үш партия телевизорлар әкелінді. Алынған кез келген телевизордың осы партиялардың әрқайсысынан алынуының сәйкес ықтималдықтары 0,25; 0,5; 0,25 тең. Ал әрбір партиядағы телевизорлардың белгілі мерзім жұмыс істеп шығуларының ықтималдықтары сәйкес 0,7; 0,6; 0,8.
1 Осы партиялардың бірінен алынған телевизордың белгілі мерзім жұмыс істеп шығуының ықтималдығы қандай?
2 Мерзімді уақыт жұмыс істеп шыққан телевизордың екінші партиядан алынғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: 1. Бұл мысалды шығару үшін толық ықтималдықтың формуласын және Бейес формуласын қолдану қажет. Ол үшін әуелі қарастырып отырған оқиғаларды белгілеп алайық:
- телевизор белгілі мерзім жұмыс істейді;
- телевизор бірінші партиядан алынған;
- телевизор екінші партиядан алынған;
- телевизор үшінші партиядан алынған.
Сонда

, , оқиғалар үйлесімсіз және толық группа құрайды. Толық группа құрайтындығының тексерейік.

Сонымен толық ықтималдық формуласының шарттары орындалады, олай болса

2 Енді мерзімді уақыт жұмыс істеп шыққан телевизордың екінші партиядан алынғандығының ықтималдығын Бейес формуласын пайдаланып табамыз

Сол сияқты , табалық
,
Бұл жерде екенін ескертеміз.
Байқап отырғанымыздай, А оқиғасы пайда болғаннан кейін есептелінген мына (i=1, 2, 3) шартты ықтималдықтар , , гипотезаларының ықтималдықтарының өзгергенін көрсетеді.
Ескерту ретінде айтарымыз, бұл формулаларды қолданғанда алынған , , ..., гипотезаларының үйлесімсіздігін және толық группа құратындығын тексеру қажет.
Мысал. Атқыш өзіне қарай қозғалып келе жатқан нысанаға оқ жаудырған. Бірінші рет атқанда нысанаға тию ықтималдығы 0,4 және келесі атқан сайын 0,1-ге өсіп тұрады. Тәуелсіз үш атқанда екі рет тигізу ықтималдығы қандай?
Шешуі: Тәжірибе нысанаға үш рет оқ атуды көрсетеді.
, , оқиғалары сәйкес бірінші, екінші және үшінші атқанда тигізуді белгілесін. Сонда , , оқиғалары тигізбеулер болады.Осы оқиғаларды пайдаланып, үш рет атқанда екі рет тигізу оқиғасын өрнектелік: ; оқиғалары қиылыспайды, ал оқиғалары тәуелсіз. Бұдан шығады

Мұндағы , . Демек , . Олай болса іздеген ықтималдығымыз
.

Мысал 3.
350 бұйымдардың 160 - бірінші сортқа, 110 - екінші сортқа, 80 - үшінші сортқа жатады. Бірінші сортқа жататын бұйымдардың ішінде сапасыз бұйым болуының ықтималдығы 0,01, екінші сортқа жататындардың арасында - 0,02, үшінші сортқа жататындардың арасында - 0,04 тең. Кез-келген бір бұйым алынған. Алынған бұйымның сапалы екенінің ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Белгілеу енгізелік.
А - алынған бұйым сапалы;
- алынған бұйым бірінші сортқа жатады;
- алынған бұйым екінші сортқа жатады;
- алынған бұйым үшінші сортқа жатады;
Сонда

оқиғалары үйлесімсіз. Расында, айталық оқиғасы пайда болды дедік, яғни алынған бір бұйым үшінші сортқа жатады, олай болса оқиғасы оқиғасымен бірге пайда бола алмайды деген сөз. Себебі алынған бір бұйым бір уақытта әрі үшінші, әрі екінші, әрі бірінші сортқа жатуы мүмкін емес қой.
Сондай-ақ оқиғалары толық группа құрайды

Олай болса (1.3.1.) формуласын қолданып,

Мысал 4. Бірдей үш қорапқа бірдей өлшемді шарлар салынған. Бірінші қорапта 10 ақ, 5 қара, 3 қызыл, екінші қорапта 9 ақ, 16 қара, 11 қызыл, үшінші қорапта 7 ақ, 4 қара, 1 қызыл шарлар бар. Кез келген қораптан кез келген шар алынды. Алынған шардың қара шар болуының ықтималдығы қандай?
Шешуі: Мына оқиғаларды қарастырайық:
- алынған шардың түсі қара;
- шар бірінші қораптан алынды;
- шар екінші қораптан алынды;
- шар үшінші қораптан алынды.
Қарастырып отырған оқиғалар үйлесімсіз. Расында, егер, айталық, шар екінші қораптан алынса, онда оқиғасы пайда болады да, оқиғалары пайда бола алмайды. Ойымызды осылай жалғастырып оқиғаларының үйлесімсіз екеніне көз жеткізуге болады. Ал А оқиғасы оқиғаларына тәуелді. Енді үш қораптың бірдей екенін ескеріп:

Осыдан .

Мысал 5
Бірінші урнаға 1 ақ, 3 қара, ал екінші урнаға 4 ақ, 6 қара бірдей шарлар салынған. Бірінші урнадан бір шар алынып екінші урнаға салынды. Содан кейін екінші урнадан шар алынды. Екінші урнадан алынған шардың түсі қара болуының ықтималдығы қандай?
Шешуі: Мыны оқиғаларды қарастырайық. - бірінші урнадан ақ шар алынды. - бірінші урнадан қара шар алынды, А - екінші урнадан қара шар алынды.
Бұл жерде оқиғаларын қарастыру себебі, ол әуелі бірінші урнадан қандай түсті шар алуға байланысты. Бұл екі оқиға үйлесімсіз және толық группа құрайды. Енді

Сонда толық ықтималдықтың формуласы бойынша

Енді осы есептің шарты орындалсын. Сонда екінші урнадан алынған қара шар бастапқыды бірінші урнадан алынғандығының ықтималдығын табайық:

Мысал 6
Магазинге үш зауыттан бір типтес бұйымдар әкелінген. Барлық әкелінген бұйымдардың бірінші зауыт 50% - тін, екіншісі 30% - тін, үшіншісі 20% - тін жіберген. Бірінші зауыт бұйымдарының 70% - ті, екіншісінің - 80% - ті, үшіншісінің - 90% - ті бірінші сортқа жатады. Бір бұйым сатып алынды және ол бірінші сортқа жататын болып шықты. Сатып алынған бұйымның бірінші зауыттан шығарылғандығының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Келесі гипотезаларды енгізелік:
- сатып алынған бұйым бірінші зауытта істелінген;
- сатып алынған бұйым екінші зауытта істелінген;
- сатып алынған бұйым үшінші зауытта істелінген;
Бұл оқиғалар үйлесімсіз, расында бір бұйым мысалы, екінші зауытта істелген болса, онда ол басқа зауытта істелмегені.
Сондай-ақ, А- сатып алынған бұйым бірінші сортқа жатады.
Енді оқиғаларының ықтималдықтарын, А - оқиғасының шартты ықтималдықтарын табайық.

Сонда

Енді сатып алынған бұйым бірінші зауытта жасалғандығының ықтималдығын Бейес формуласы арқылы анықтаймыз.

.

Студенттерге өзіндік есептер

1 Спортшылардың бір группасында 20 шаңғышы, 10 велосипедші бар. Квалификациялық мөлшерді орындау ықтималдығы шаңғышылар үшін 0,85 тең, ал велосипедшілер үшін - 0,7 тең. Осы группадан алынған кез-келген бір спортшының квалификациялық мөлшерді орындауының ықтималдығын табу керек.
2 Екі жәшікте 20 детальден бар. Оның ішінде бірінші жәшікте 17 стандартты, екінші жәшікте 15 стандартты деталь бар. Екінші жәшіктен кез келген бір деталь алынып бірінші жәшікке салынған. Содан кейін бірінші жәшіктен кез келген бір деталь алынды. Бірінші жәшіктен алынған детальдың стандартты болуының ықтималдығын табу керек.
3 Екі атқыш бір-бірінен тәуелсіз бір нысанаға бір-бірден атыс жасады. Сонда бір оқ нысанаға тиді. Егер бірінші атқыштың нысанаға тигізу ықтималдығы 0,8, ал екіншісінікі - 0,4 болса, онда нысанаға тиген оқ бірінші атқыштікі екенінің ықтималдығын табу керек.
4 Цехта істеп тұрған үш автомат барлығы 5500 бұйым жасап шығарды. Оның ішінде бірінші автоматтан 1000, екіншісінен - 2000, ал үшіншісінен - 2500 бұйым жасалып шығарылды.Егер бірінші автоматтың сапасыз бұйым шығаруы - 0,3, екіншісінікі - 0,2, үшіншісінікі - 0,4 болса, алынған кез келген бұйымның сапасыз болуының ықтималдығын табу керек.
5 Әрбір екі урнада 2 қара, 8 ақ шарлар бар. Бірінші урнадан бір шар алынып, екінші урнаға салынды.Содан кейін екінші урнадан бір шар алынды. Осы алынған шардың ақ болуының ықтималдығы қандай?
6 Бірінші урнада 1 ақ 9 қара, ал екінші урнада 1 қара 5 ақ шарлар бар. Әрбір урнадан бір-бірден кез-келген екі шар алынды. Екі урнадағы қалған 14 шар үшінші урнаға салынды. Үшінші урнадан кез-келген бір шар алынды. Осы алынған шардың ақ болғандығының ықтималдығын табу керек?
Нұсқау: Мынадай гипотезалар қарастырған жөн:
- бірінші урнадан ақ, екінші урнадан ақ шар алынды;
- бірінші урнадан ақ, екінші урнадан ақ шар алынды;
- бірінші урнадан қара, екінші урнадан ақ шар алынды;
- бірінші урнадан қара, екінші урнадан ақ шар алынды;
7 Құрылыс отрядында 70 бірінші курс студенттері, ал 30 екінші курс студенттері бар. Бірінші курс студенттерінің ішінде 10, ал екінші курс студенттерінің ішінде 5 қыздар бар. Барлық қыздар кезекпен асханада жұмыс істейді.Кез-келген бір күнде тексергенде асханада бірінші курста оқитын қыз жұмыс істеп жатқандығының ықтималдығы қандай?
8 Үш атқыштың біреуі нысанаға екі атыс жіберді. Бір атыс жасағанда нысанаға тигізудің ықтималдығы бірінші атқыш үшін 0,4-ке тең, екінші атқыш үшін 0,6-ға, ал үшінші атқыш үшін 0,8-ге тең. Нысанаға атылған екі оқтың да дәл тигендігінің ықтималдығы қандай?
Нұсқау: Әрбір атқыштың екі атыста нысанаға тигізуінің ықтималдығын тауып алу керек.
9 Екі перфораторшы бірдей комплект перфокарталар тесіп шықты. Бірінші перфораторшының қате жіберу ықтималдығы 0,04, ал екінші перфораторшының қате жіберу ықтималдығы 0,2. Тексергенде бір қате табылды. Қате жіберген бірінші перфораторшы екендігінің ықтималдығы қандай?
10 Жолаушы билет алу үшін үш кассаның біреуіне бару керек еді. Кассалардың әртүрлі қашықтықта орналасуына байланысты бұл кассаларға баруының сәйкес ықтималдықтары 0,5; 0,3; 0,2. Ал жолаушы келгенде кассаларда билеттің бар болуының ықтималдығы сәйкес кассалар үшін 0,6; 0,5; 0,4.
Жолаушы кассалардың бірінен билет алды. Билетті бірінші кассадан алғандығының ықтималдығын табу керек.

11 Бала орманда адасып жүріп алаңға шықты. Алаңнан 4 жол шығады екен.Осы жолдармен жүргенде орманнан шығудың сәйкес жолдар үшін ықтималдықтары 0,6; 0,4; 0,2; 0,1. Егер баланың орманнан шыққаны белгілі болса, онда оның екінші жолмен шыққандығының ықтималдығы қандай?
12 Машинаның құрылысындағы 3 шамның екеуі жанып кеткен.Шамдардың жанып кетуінің сәйкес ықтималдықтары 0,3; 0,1; 0,1. Жанып кеткен екінші және үшінші шамдар екендігінің ықтималдығын табу керек.
13 Бірдей үш жәшікте бірдей шарлар бар. Біріншісінде 20 ақ, екіншісінде 15 ақ, 5 қара, үшіншісінде 20 қара шарлар бар. Кез-келген жәшіктен бір қара шар алынды. Алынған шар екінші жәшікте болғандығын табу керек.
14 Жолаушының оң қалтасында 15 тиындық mдана және 20 тиындық nдана, ал сол қалтасында 15 тиындық mдана және 20 тиындық nдана ақша болды. Ол сол қалтасынан алған 20 тиындық болып шықты. Осы 20 тиындық бірінші қалтадан алып салынғандығының ықтималдығы қандай?
15 Дайын бұйымдар қоймасындағы бұйымдардың 70% - ті бірінші автоматта, ал 30% - ті екінші автоматта дайындалған. Бірінші автоматтың сапалы бұйымдар дайындауының ықтималдығы 0,98, ал екіншісінікі - 0,95 - ке тең. Алынған кез-келген бір ұйым сапасыз болып шықты. Осы бұйымның бірінші автоматта дайындалғандығының ықтималдығы қандай?
16 Группада 10 студент бар. Олардың үшеуі емтиханға өте жақсы, төртеуі - жақсы, екеуі - орташа және біреуі - нашар дайындалған. Емтихандық билеттерде әртүрлі 20 сұрақ берілген. Өте жақсы дайындалған студент барлық 20 сұраққа, жақсы дайындалған - 16 сұраққа, орташа дайындалған - 10 сұраққа, нашар дайындалған - 5 сұраққа толық жауап бере алады.Кез-келген бір студент берілген үш сұраққа толық жауап берді.Жауап берген студенттің: а) өте жақсы дайындалғандығының; б) жақсы дайындалғандығының; в)орташа дайындалғандығының; г) нашар дайындалғандығының ықтималдықтарын табу керек;
Нұсқау: Мына гипотезаларды енгізген жөн:
- өте жақсы дайындалған студент;
- жақсы дайындалған студент;
- орташа дайындалған студент;
- нашар дайындалған студент;
Сондай-ақ А кез-келген студент үш сұраққа толық жауап берді.

Сонда мысал үшін т.с.с.
17 Бірінші урнада 1 ақ, 2 қара, ал екіншісінде - 3 ақ, 4 қара шарлар бар. Кез-келген урнадан кез-келген бір шар алынды, ол ақ шар болып шықты. Сол урнадан алынған келесі шардың да ақ шар болғандығының ықтималдығын табу керек.
Нұсқау: - шар бірінші урнадан алынды;
- шар екінші урнадан алынды;
- бірінші рет ақ шар алынды;
- екінші рет ақ шар алынды;
Әуелі тауып алу керек.Сонда іздеп отырған ықтималдық

18. 18 атқыштың бесеуі нысанаға 0,8 ықтималдықпен, жетеуі - 0,7, төртеуі - 0,6, екеуі - 0,5 ықтималдықпен тигізеді. Кез-келген атқыш атыс жасады да тигізе алмады. Атыс жасаған атқыш қайсы группадан болғандығының ықтималдығын табу керек.
Нұсқау: атқыш бірінші, екінші, үшінші, төртінші группадан екендігінің ықтималдықтарын тауып, оларды салыстыру керек.

4 Тәжірибені қайталау тәуелсіз сынақтар тізбегі

Мысал 1
Шахмат ойнау шеберлігі тең екі шахматшы ойын көрсетуде. Тең аяқтаған ойынды есептемегенде:
1) төрт партияның үшеуін ұту мен сегіз партияның бесеуін ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысының ықтималдығы жоғары?
2) төрт партиядан кем дегенде үш партия ұту мен сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдықтарын табу керек. Қайсысының ықтималдықтары жоғары?
Шешуі: Ойнау шеберлігі тең болғандықтан олардың әрбір партияда ұту ықтималдықтары 0,5 тең.
Төрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы Бернулли формуласы бойынша

Сегіз партияда 5 ұтыстың ықтималдығы

Осыдан , яғни төрт партиядан үш ұтыстың ықтималдығы, сегіз партиядан 5 ұтыстың ықтималдығынан жоғары.
2) төрт партиядан кем дегенде үш ұтыстың ықтималдығы

Сегіз партиядан кем дегенде 5 партия ұтудың ықтималдығы

Осыдан 93256516, яғни сегіз партиядан кем дегенде бес ұтыстың ықтималдығы, төрт партиядан кем дегенде 3 партия ұтыстың ықтималдығынан жоғары.
Мысал 2
Тәуелсіз 600 сынақтардан тұрақты p=0,4 ықтималдықпен пайда болатын оқиғаның тура 228 рет пайда болуының ықтималдығын табу керек.
Шешуі: Бұл есептің дәл шешуі Бернулли формуласымен табылады, бірақта бұл есепте сынақтар саны n=600 аса үлкен. Сондықтан Муавр-Лапластың локалдық формуласын пайдаланамыз. Ол үшін әуелі х-тің мәнін табалық

х=

Сонда
Мысал 3. Мергеннің нысанаға тигізуінің ықтималдығы 0,75 - ке тең.
1. 100 атыста мына оқиғалардың ықтималдықтарын табу керек.
а) нысанаға 71 - ден кем емес 80 - нен артық емес рет дәл тиді,
б) нысанаға 70 - тен артық емес рет дәл тиді,
с) нысанаға 81 - ден кем емес рет дәл тиді.
2. Тәуелсіз 400 атыста салыстырмалы жиіліктің ықтималдықтан p=0,75 ауытқуының абсолют шамасы 0,035 - тен кем болатындығының ықтималдығын табу керек.
3. Салыстырмалы жиіліктің оқиғаның ықтималдығынан p=0,75 ауытқуының абсолют шамасы 0,035 - тен кем болатындығының ықтималдығы 0,95 - ке тең болуы үшін қанша тәуелсіз атыс жасау керек?
4. Тәуелсіз 100 атыста нысанаға дәл тиген ең ықтималды атыс санын табу керек.
Шешуі:
1. Бұл жерде Лаплас формуласын қолданамыз

а) n=100 p=0,75 q=0,25

х

х

Сонда
б) n=100 p=0,75 q=0,25

х х

2. Бұл жерде Лаплас формуласынын салдарын қолданамыз

n=400, p=0,75, q=0,25,

Сонда

1. Есептің шарты бойынша

яғни 2
Сонда кестеден

0,035
немесе =1,96 осыдан n=588.
4.Ең ықтималды m санын анықтаймыз, яғни
100
немесе 74,75
Осыдан m

Мысал 4. Тұқымға арналған бидайдың дәндерінің ішінде 0,004% арам шөп дәндері кездеседі. Кез-келген 50000 дәндердің ішінде арамшөптің 5 дәндері кездесетіндігінің ықтималдығы қандай?
Шешуі: Бұл есепті шығару үшін Муавр- Лапластың локальдық формуласын пайдалануға болар еді. Алайда есептің шарты бойынша p=0,00004, яғни ықтималдықтың мәні өте аз. Бұл жағдайда Муавр-Лапластың формуласын теореманың шарты бойынша пайдалануға болмайды. Сондықтан Пуассон формуласын пайдаланамыз. Есептің шарты бойынша

Сонда Пуассон формуласын қолданып

Ескерту: Пуассон формуласын пайдаланғанда болу керектігін ескеру қажет.
Мысал 5. Ойнау шеберлігі тең екі шахматшы ойын көрсетуде.Үш ойында ең болмағанда бір ұтыс болуының ықтималдығын табу керек?
Шешуі: Бұл жерде p=0,5 ескерсек .
Мысал 6. Урнада 5 ақ және 50 қара шарлар бар. Урнадан кез келген шар алынып оның түсін анықтағаннан кейін ол қайтадан урнаға салынды. Сөйтіп осы сынақ 10 рет қайталанды. Осы сынақтарда 3 рет ақ шар пайда болуының ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі: Бернулли формуласын пайдалануға болады, себебі n=10 онша үлкен сан емес. Бұл жерде алынған шар урнағақайтарылып тұрғандықтан әрбір сынақта ақ шардың пайда болу ықтималдығы тұрақты және p=555=111

Сондықтан
Сондай-ақ жуықтап есептеу Пуассон формуласын пайдалансақ.

;

Бернулли схемасы жалпы жағдайда полиномдық схеманың жеке түрі болып табылады. Полиномдық схема бойынша тізбектес тәуелсіз сынақтардың әр сынағында өзара үйлесімсіз оқиғалардың бірі сәйкес pықтималдықпен пайда болады.
Мұнда 0 және Айталық n тәуелсіз сынақ жүргізілсін.
Сонда осы n сынақтарда оқиғасының m рет, оқиғасының mрет, оқиғасының m рет,..., оқиғасының ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.