Жылуөткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешудің сандық тәсілі
Кіріспе
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылуөткізгіштік теңдеуі
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері
2.2 Айырымдық схеманы құру
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық
схемасы
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің
сандық әдістері
Қорытынды
Компьютерлік бағдарлама және оның тәжірибелік нәтижелері
Пайдаланылған әдебиеттер
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылуөткізгіштік теңдеуі
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері
2.2 Айырымдық схеманы құру
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық
схемасы
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің
сандық әдістері
Қорытынды
Компьютерлік бағдарлама және оның тәжірибелік нәтижелері
Пайдаланылған әдебиеттер
Табиғатта, техникада және технологияда жылуөткізгіштік процестері өте күрделі жағдайларда жүреді. Біріншіден, олар стационарлы емес режимдерде өтеді. Екіншіден, материалдарды (мысалы, табиғи шикізаттарды, минералдарды, т. б) қыздыру барысында әртүрлі температуралар аймағында табиғаттары сан алуан фазалық және химиялық түрленулер орын алады. Бұл өзгерістер көбіне жылу эффектілерімен (эндотермиялық және экзотермиялық) байланысты жүріп, үлгінің бойында зат массасының тасымалдануына және құрылымдық өзгерістерге (деформацияға) әкеп соғады. Бұл процестер өз ретінде жылуөткізгіштік құбылысының бұрынғыдан да күрделене түсуіне әкеледі. Мысалы, табиғи шикізаттардан жасалынатын кирамикалық материалдар техналогиясында осындай күрделі физикалық, химиялық процестер мен тасымалдау құбылыстары орын алады.
Бұл курстық жұмыста жалпы жылуөткізгіштік және жылуөткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешідің сандық тәсілі қарастырылады. Есептеуіш машиналарды кең көлемді пайдалана отырып, жылдам әрі тиімді нәтижелерге қол жеткізу үшін сандық әдістерге көбірек көңіл бөлінген.
Бұл курстық жұмыста жалпы жылуөткізгіштік және жылуөткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешідің сандық тәсілі қарастырылады. Есептеуіш машиналарды кең көлемді пайдалана отырып, жылдам әрі тиімді нәтижелерге қол жеткізу үшін сандық әдістерге көбірек көңіл бөлінген.
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности.-М.:Высш.шк.-1967.-599 с, ил.
2. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика
(общ.курс физ.том ІІ). -М.:Наука.-1990.-592 с.
3. Исаченко В.П. и др. Теплопередача.-М.:Энергия.-1975.-488 с, ил.
4. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи.-М.:Энергия.
-1977.-344 с, ил.
5. Сайбулатов С.Ж., Сулейменов С.Т., Кулбеков М.К. Золы ТЭС
в производстве строительной керамики.-А.:Казахстан.-1986.-144 с.
6. Кулбеков М.К. и др. Исследование динамики процессов переноса.
ифм.-1997.N05.-53-55 с.
7. Дульнев Г.Н., Парфенев В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для
решения задач теплообмена.-М.:Высш.шк.-1990.-207 с, ил.
8. Кулбеков М.К. К численному решению уравнения теплопроводности
с эффективным коэффициентом. (В кн.: Исследования по дифферен-
циальным уравнениям и их приложения).-А.-1989.-83-89с.
2. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика
(общ.курс физ.том ІІ). -М.:Наука.-1990.-592 с.
3. Исаченко В.П. и др. Теплопередача.-М.:Энергия.-1975.-488 с, ил.
4. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи.-М.:Энергия.
-1977.-344 с, ил.
5. Сайбулатов С.Ж., Сулейменов С.Т., Кулбеков М.К. Золы ТЭС
в производстве строительной керамики.-А.:Казахстан.-1986.-144 с.
6. Кулбеков М.К. и др. Исследование динамики процессов переноса.
ифм.-1997.N05.-53-55 с.
7. Дульнев Г.Н., Парфенев В.Г., Сигалов А.В. Применение ЭВМ для
решения задач теплообмена.-М.:Высш.шк.-1990.-207 с, ил.
8. Кулбеков М.К. К численному решению уравнения теплопроводности
с эффективным коэффициентом. (В кн.: Исследования по дифферен-
циальным уравнениям и их приложения).-А.-1989.-83-89с.
Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 85 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 85 бет
Таңдаулыға:
Қазақстан Республикасы білім және ғылым министірлігі
Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті
Физика – математика факультеті
Теориялық физика жене сандық модельдеу кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Жылуөткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешудің
сандық тәсілі
Қорғауға жіберілді.
___________________________2007 жыл.
Теориялық физика жене сандық модельдеу
кафедрасының меңгерушісі
профессор ,фил-мат.ғ.д. Косов В.Н.
Ғылыми жетекшісі: профессор Құлбек М.Қ.
Орындаған: 6А0604 Физика мамандығының ,
қазақ бөлімінің магистаранты Мәлік
Т.З.
Алматы 2007
МАЗМҰНЫ
Кіріспе
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылуөткізгіштік теңдеуі
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің
анық айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері
2.2 Айырымдық схеманы құру
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық
схемасы
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің
сандық әдістері
Қорытынды
Компьютерлік бағдарлама және оның тәжірибелік нәтижелері
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Табиғатта, техникада және технологияда жылуөткізгіштік процестері өте
күрделі жағдайларда жүреді. Біріншіден, олар стационарлы емес режимдерде
өтеді. Екіншіден, материалдарды (мысалы, табиғи шикізаттарды, минералдарды,
т. б) қыздыру барысында әртүрлі температуралар аймағында табиғаттары сан
алуан фазалық және химиялық түрленулер орын алады. Бұл өзгерістер көбіне
жылу эффектілерімен (эндотермиялық және экзотермиялық) байланысты жүріп,
үлгінің бойында зат массасының тасымалдануына және құрылымдық өзгерістерге
(деформацияға) әкеп соғады. Бұл процестер өз ретінде жылуөткізгіштік
құбылысының бұрынғыдан да күрделене түсуіне әкеледі. Мысалы, табиғи
шикізаттардан жасалынатын кирамикалық материалдар техналогиясында осындай
күрделі физикалық, химиялық процестер мен тасымалдау құбылыстары орын
алады.
Бұл курстық жұмыста жалпы жылуөткізгіштік және жылуөткізгіштік
теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешідің сандық тәсілі қарастырылады.
Есептеуіш машиналарды кең көлемді пайдалана отырып, жылдам әрі тиімді
нәтижелерге қол жеткізу үшін сандық әдістерге көбірек көңіл бөлінген.
Курстық жұмысымның мақсаты стационарлық емес жағдайдағы жылу
өткізгіштік процесін зерттеп, температуралық өрістерді алу болды. Сондықтан
зерттеу нысаны ретінде керамикалық материал жазық үлгі пішінінде алынды.
Есептің Turbo Pascal программалау тілінде компьютерлік бағдарламасы
құрылып, нәтижесінде алынған мәндер бойынша температуралық өрістер
салынады. Есептеу тәжірибелерінің нәтижесінде алынған температуралық
өрістер геометрилық өлшемдері әр түрлі жазық керамикалық үлгілерді әр түрлі
жылдамдықтармен қыздыру барысындағы жылуөткізгіштік процестерінің
динамикасын анықтауға мүмкіндіктер береді.
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылу өткізгіштік теңдеуі
1. ХІХ ғасырдың алғашқы жылдарында (1768-1830) француз математигі
Фурье жылуөткізгіштіктің математикалық теориясының негізін қалады. Әрине ол
кездегі көзқарас пен қазіргі кездегі тұжырымдардың арасында елеулі
келіспеушіліктер мен айырмашылықтар көп болды.Сонан соң, жылу берілу
міндетті түрде жылу алмасу процесі негізінде жүретіндігі ұсынылды.
Конвекция жоқ деп қарастырылды. Қатты денелерде бұл мүмкін еді. Ал сұйықтар
мен газдарда конвекцияны болдырмау үшін, мысалға алғанда, бұл денелерді
үстінен (жоғарыдан ) қыздырды. Сонымен бірге, жүйенің көлемін тұрақты деп
қарастырды, сондықтан жылу берілу процесі кезінде ешқандай зат алмасу
жүрмейді.
2. Жылуөткізгіштіктің математикалық теориясында жылудың таралуы сұйық
ағысы ретінде қарастырылады. Жылу ағынының бағытына перпендикуляр 1см2
жазықтықты 1с ішінде жүріп өтетін жылу мөлшерінің сан мәніне тең және
бағыты жағынан жылудың таралу бағытымен бағыттас болатын j векторын жылу
ағынының тығыздығы деп атайды.
Енді бір өлшемді есептердегі j векторын қанағаттандыратын
дифференциалдық теңддеуді табайық.
х осіне параллель бағытта өтетін жылу ағыны туындайтын шектеусіз орта
болсын делік. Бір өлшемді жалпы жағдайда жылу ағынын сипаттайтын ортаның
құрылымы мен биіктігі осы бағытта өзгере алады. Сонымен қатар, олар уақыт
бойынша да өзгеріске ұшырайды. Сондықтан, жылу ағынының тығыздығын j – x
координатасы мен уақыт t:j=j(x,t) функциялары ретінде қарастыру керек. Ойша
(1.1-сурет)
Ортада шексіз ұзын призма немесе х осіне параллель цилиндрді ерекшелеп
алып, осындай АВ цилиндірінің шексіз аз бөлігін dx қарастырамыз. S –
цилиндр бетінің қиылысу ауданы болсын. АВ цилиндіріне А мен х координатасы
аралығына dt уақытында берілетін жылу мөлшері j(x)Sdt тең. Сол уақыттағы В
– дан өтетін жылу мөлшері j(x+dx)Sdt . Цилиндрдің бүйір бетінен жылу
берілмейтіндіктен цилиндірдің қарастырылып отырған бөлігінен dt уақыт
мезетінде берілетін толық жылу мөлшері:
Бірақ, осы жылуды мына түрде беруге болады , мұндағы - АВ
цилиндірінің массасы, - жылу сыйымдылығы, dt – температураның
көтерілуі. Екі белгіленуді теңестіре және қарастыра отырып алатынымыз
(1.1)
3. Енді жылу ағынының тығыздығы мен ортаның температурасы Т
арасындағы байланысты енгізу керек. Орта температурасы нүктеден нүктеге
өзгергенде ғана жылу ағыны орын алатындығын тәжірибе көрсетті. Жылу әрқашан
жоғарғы температурадан төменгі температураға қарай өтеді. Ең қарапайым
жағдай қалыңдықты шексіз біртектіпластинка. Егер, пластинканың бір
жазық шекарасында температура Т1 , ал екіншісінде температура Т2 , әрине
болса, онда тәжірибе көрсеткендей жылу ағыны температуралар айырымына
пропорционал және пластинканың қалыңдығына кері пропорционал
болады. Математикалық тұрғыдан бұны мына түрде көрсетеміз:
(1.2)
мұндағы - тек қана пластинканың материалы және оның физикалық
жағдайына тәуелді оң мәнде тұрақтылығының жылуөткізгіштігі деп аталады.
Пластинканы шексіз жіңішке деп алайық. Егер х осі температураның
төменгі бағытына қарай бағытталса, онда
, , ,
,
(1.1)формуласы мына түрге ие болады:
(1.3)
(1.3) белгіленуі х осінің бағыты температураның өсуіне қарай бағытталса да
дұрыс болып қала береді, өйткені бұл жағдайда
, , ,
сонымен бірге ол біртекті есмес ортаның жалпы жағдайында және тек қабатты
орта емес, құрылымы мен температурасы барлық үш x,y,z кеңістік
координаталарының функциясы болатын ортада да дұрыс болып табылады.
Жылуөткізгіштік барлық үш x,y,z кеңістік координаталарының
функциясы. Біздің бір өлшемді есебімізде ол тек бір ғана кеңістік
координаталарына х тәуелді болады: .
(1.3) белгіленуін (1.1) формуласына қойсақ,
(1.4)
Бұл теңдеу жылуөткізгіштік теңдеуі деп аталады. Жеке жағдайда, орта
біртекті болғанда, жылуөткізгіштік температураға тәуелді болмайды,
онда теңдеу мына түрге ие болады.
(1.5)
немесе
(1.6)
мұндағы
(1.7)
- тұрақтысы ортаның температура өткізгіштігі деп аталады.
Ортада жылу көздері болуы мүмкін. Мысалға, радиоактивті ыдырау немесе
электор тогының өтуі нәтижесінде жылу бөлінуі мүмкін. Бұндай жылу көздерін
біз ескермедік. Оларды ескеру үшін, 1 м3 орта көлемінде 1с уақыт аралығында
жылу көздерінен бөлінетін жылу мөлшеріне тең q шамасын енгіземіз. Сонда (1)
теңдеуі былайша жазамыз:
(1.8)
Осыған сәйкес қалған теңдеулер де өзгеріске ұшырайды.
4. Ортаның құрылымы мен температурасы барлық үш x, y, z кеңістік
координаталарына тәуелді болатын жалпы жағдайда дененің жылу балансын
бейнелейтін жылуөткізгіштік теңдеуі :
(1.9)
Бірақ, бұндай теңдеулердің шешімдерін аналогиялық түрде тек қана қарапайым
жағдайларда алуға болады. Орта мен ондағы температураның таралуы сфералық
немесе цилиндірлік симметриялы болған жағдай ең маңызды болып табылады.
Сондықтан, біз (1.9) теңдеуін шешпей-ақ сфералық және цилиндірлік симметрия
жағдайымен шектелеміз. Бұл жағдайларда тікбұрышты жүйе координаталарының
орнына сфералық және цилиндірлік координаталар жүйесін қолданған тиімді.
Бірінші сфералық симметрия жағдайын қарастырамыз. Уақытпен бірге тек
қана r-ге тәуелді болатын жылу ағыны тығыздығының векторы j радиус бойымен
бағытталған. Симметрия центірінің айналасына r және r + dr радиустарымен
бірге екі концентрациялық сфераларды жазамыз (1.2-сурет). dt уақыт
мезетінде осы екі сфераның аралығындағы кеңістікке олардың бірі арқылы
келіп түсетін жылу мөлшері: . Сол уақыт мезетінде екінші сфера арқылы
өтетін жылу мөлшері: . Мәселе аргументтің әр түрлі мәндеріндегі r
және r + dr сол бір ғана jr2 функция жөнінде екендігін ескеру үшін осы екі
жылу мөлшерін мына түрде жазған ыңғайлы:
және . Олардың арасындағы айырмашылық
қоршаған кеңістіктегі қарастырылып отырған
сфералық қабаттан dt уақыт мезетінде өтетін жылу мөлшерін береді. Жылу
көздері бар кезде одан түскен жылу мөлшерін қосу керек. Бірақ
қабаттағы жылу мөлшерінің өзгерісін мына түрде беруге болады: .
Сондықтан, жылу балансының теңдеуі
(1.10)
(1.3) қатынасының орнына , ендеше
(1.11)
Цилиндірлік симметрия жағдайында да аналогиялық талқылаулар жүргізіледі. r
– ді симметрия осіне дейінгі қашықтық деп есептеп, алатынымыз
(1.12)
(1.13)
5. Екі еркін орта бөліктерінің шекарасында орындалуы тиіс жалпы
қатынастарды жылуөткізгіштік теңдеуіне қосу қажет. (1.3-сурет)
Шекаралық шарт: Белгіленген шекараның екі жақ беті де бірдей нормаль
құраушы векторлар болуы тиіс. Шынымен де, АВ – орта бөлігінің
шекарасы болсын, ал n- нормальдың бірлік векторы, мысалға бірінші ортадан
екіншіге үргізілген. Бөлік шекарасына перпендикуляр және одан әр түрлі
бағытта негізделген құрылымды шексіз аз цилиндрді ойша жүргіземіз.
Цилиндрдің биіктігі h негіздің сызықтық өлшемдерімен салыстырғанда жоғары
ретті шексіз аз болу керек. Сонда, цилиндрдің бүйір беті арқылы өтетін жылу
ағынынан қорғауға болады. Егер S- цилиндр негізінің ауданы болса, онда 1с
ішінде оған түсетін жылу мөлшері мынаған тең:
Бірақ, бұл өлшем цилиндірдегі жылу мөлшері сияқты оның көлеміне Sh
пропорционал болуы тиіс, яғни шегінде нольге айналуы қажет.
Сондықтан, шекте, АВ шекарасында цилиндрдің екі негізі бір-бірімен
біріккенде,
(1.14)
Болуы керек. Демек, кез келген шекарада жылу ағыны векторының нормаль
құраушысы үздіксіз болады. Бұл дәлелдеме, бөлік шекарасында шекті беттік
тығыздықты жылу көздері жоқ екендігін жорамалдайды.
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар.
Жылуөткізгіштікке арналған барлық тапсырмалар стационарлық және
стационарлық емес болып бөлінеді. Уақыт өтуіне қатысты температура Т
өзгермесе тапсырмалар стационарлық деп аталады. Ол тек кеңістік
кординаталарының функциясы болып табылады. Бұл жағдайда . Бірмәнді
есептерде Т тек бір ғана кеңістік координатасына тәуелді болады, демек
белгіде дербес туындылар қажет емес. Қарапайым стационарлық бірмәнді
есептерді қарастырайық.
1. Шексіз жазық параллель пластинкадағы температураның стационарлық
таралуы.
Айталық, беті тұрақты Т1 және Т2 температураларымен ұсталған,
қалыңдығы шексіз пластинка болсын. Осындай пластинканың ішіндегі Т
температураның таралуын анықтау керек. Пластинкаға перпендикуляр түзуді
осі деп есептейміз. Пластинканы шектейтін 1 жазықтыққа координаталар
басын орналастырамыз. Жылуөткізгіштік координатасына тәуелді
болуы мүмкін. (1.4) теңдеуі былай түрленеді:
Бұдан, немесе (3), Жылу ағыны тығыздығының тұрақтылығы
пластинканың біртекті немесе біртекті емес екендігіне тәуелсіз. Енді,
біртекті пластинканың қарапайым жағдайын қарастырамыз. Бұл жағдайда
болғандықтан жылуөткізгіштік тұрақты болады. Тұрақтыны әріпімен
белгілеп және интегралдай отырып, алатынымыз
мұндағы, - екінші интегралдау тұрақтысы. Пластинкаға кесе температура
координатасымен сызықтық заң бойынша өзгереді. және
тұрақтылары жылуөткізгіштікке мүлде тәуелсіз. Олар шекаралық шарттан
анықталады. болғанда, , ал болғанда . Бұдан мына
теңдеулер жүйесіне келеміз:
,
Одан және тұрақтыларын анықтай отырып, температураның таралуын
табамыз:
(1.15)
2. Екі концентрациялық сфералар аралығындағы температураның
температураның стационарлық таралуы.
Ішкі сфераның радиусын , ал сыртқы сфераның радиусын деп
белгілейміз. Сфералар арасындағы кеңістік жылуөткізгіштігі - ге
тәуелді болатындай ортамен толтырылған. (1.11) сәйкес, ортада жылу көздері
болмаса температураның таралуы мына теңдеу арқылы жазылады:
Ол береді. Сонымен, жылу ағынының тығыздығы
арақашықтықтың квадратына кері пропорционал өзгереді. Сондай болуы қажет
те, себебі сфера радиусы арқылы өтетін жылу ағыны тең, ал бұл
ағын барлық сфераға бірдей болуы керек. Енді, айталық, сфералар
аралығындағы орта біртекті болсын. Сонда, болғандықтан,
жылуөткізгіштігі тұрақты болады. Тұрақтыны белгілеп, алатынымыз
, немесе интегралдағаннан кейін
және интегралдау тұрақтылары сфералық қабат шекарасындағы
температурасы қабылдайтын мәннен анықталады. Бұл мына теңдеулер жүйесіне
әкеледі:
,
Одан және тұрақтыларын анықтау арқылы, сфералар аралығындағы
температуралар таралуын табамыз:
(1.16)
3. Екі концентрациялық шексіз ұзын цилиндрлер аралығындағы
температураның стационарлық таралуы. Ішкі цилиндр радиусын , ал сыртқы
цилиндрлер радиусын деп белгілейміз. Олардың температуралары
және тұрақты мәндерінде ұсталады. Цилиндрлер аралығындағы
температураның стационарлық таралуы алдыңғы жағдайлардағыдай болады.Егер,
цилиндрлер аралығындағы орта біртекті болса,
(1.17)
болады.
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы.
1. Жылу таралатын орта біртекті, яғни ортаның барлық
параметрлері координатаға тәуелсіз болсын деп есептейік. Сонымен қатар,
олар уақыт пен температураға тәуелсіз, яғни тұрақты болсын делік. Егер,
температурасы тек бір ғана кеңістік координатасы мен уақытқа
тәуелді болса, жылу көздері бар кезде жылуөткізгіштік теңдеуі (1.8) немесе
(1.3) ескерсек:
(1.18)
болады. жылу көздері “қуатының тығыздығы” берілген функциясының
координатасы мен уақыты деп есептелуі керек. Бірақ, (1.18) теңдеуінің
көздерін шешу тапсырмалары әлі бірмәнді анықталмайды. Күнделікті бастапқы
және шекаралық шарттар келесілерден құралады. Бастапқы шарттар бастапқы
санақ уақыты ретінде қабылдауға тиімді болатын уақыттың қандай да бір
моментінде бүкіл дененің температурасын анықтайды.
Бұл шартты мына түрде жазуға болады:
(1.19)
мұндағы - координатаның берілген функциясы. Шекаралық шарттар
уақыттың барлық моментінде дене шекарасындағы дене температурасын
анықтайды. Бірмәнді жағдайларда, және жазықтықтарымен шектелген
дене жазықпараллель пластинка түріне ие болады. Сондықтан шекаралық шарттар
мына түрде жазылады:
(1.20)
мұндағы , және - берілген уақыт функциялары.
2. Біріктірілген шеткі тапсырманың жалғыздық шешімі былай
түсіндіріледі, яғни температураөткізгіштік - қалыпты орынды шама
болып табылады.
Шешімнің жалғыздығын дәлелдеу үшін, (1.18) теңдеуі (1.19) бастапқы
және (1.20) шеттік шарттарды қанағаттандыратын және екі шешімге
ие болады деп есептейміз. Сонда,
,
Көлемді есептеу және белгіленуін жаза отырып,
(1.21)
аламыз, яғни функциясы жылу көздерінсіз жылуөткізгіштік теңдеулерін
қанағаттандырады. Сонымен қатар, бұл функция “нольдік” бастапқы және
шекаралық шартты қанағаттандаыратындығы белгілі:
кез келген ; (1.22)
кез келген . (1.23)
интегралын қарастырайық. Бұл теріс болмайтындығы түсінікті. Сонымен
бірге (1.22) ескерсек, Уақыт бойынша туындысының интегралын
табамыз:
Бөліктеу интегралдау арқылы алатынымыз:
Оң бөліктің бірінші қосындысы (1.23) шекаралық шарттың нольдік түріне
айналады. Екінші қосынды теріс немесе ноль, өйткені . Сол себепті,
. Уақыт өтуіне байланысты интеграл тек жойылуы немесе тұрақты
болып қалуы мүмкін. Біріншісі мүмкін емес, себебі болуы тиіс. Жалғыз
қалатын мүмкіндік , яғни Бұл тек яғни болғанда ғана
мүмкін. Шешімнің жалғыздығы дәлелденді. Талқылай отырып, жалғыздық
теоремасының сфералық немесе цилиндірлік симметриялы тапсырмаларға да
орынды екендігін оңай көрсетуге болады. Бұл барлық үш кеңістік
координатасына тәуелді болғандағы көлденең формалы денеге де орынды болып
қалады. Дәлелдеу дәл осылайша жүргізіледі, тек жәй интегралдың орнына
көлемді және беттік интегралдарды қолдану керек. Егер, қандай да бір
әдіспен, бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратын
жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу мүмкін болса, онда, жалғыздық
теоремасы тапсырманың ізделініп отырған шешімі болып табылады.
3. Сонымен қатар, шешімнің жалғыздығы басқа да себептерге байланысты
шартталған есептер болуы мүмкін. Мысал ретінде келесі есепті қарастырамыз.
Әр түрлі температуралы 1 және 2 жылудан оқшауланған екі дене дәл
сондай бүйір беті жылудан оқшауланған біртекті жылу өткізетін стерженмен
жалғанған.Дененің бастапқы температурасы сәйкесінше, және . Осы
денелердің уақыт бойынша температура өзгерісінің заңын табу керек.
Анықталмағандықтың таралуы үшін ең бірінші екі дененің де
жылуөткізгіштігі өте жоғары (математикалық – шексіз үлкен) деп есептейміз.
Сонда дененің әр түрлі бөліктері температураларының теңесуі тез жүреді.
Сондықтан, t уақыттың әрбір моментінде 1 және 2 денені түгелдей дерлік
сипаттайтын белгілі және температураларды енгізу қажет. Бірақ,
тапсырманың түгелдей анықталуы үшін бұл жеткіліксіз. Сондықтан стерженге
қатысты кейбір қосымша болжамдар енгіземіз. Стерженнің көлденең қимасы
арқылы өтетін жылу ағыны ондағы температураның бастапқы таралуына тәуелді
болады. Егер, стерженнің бастапқы температурасы тең болса , 1-ші
денемен шекарада стерженде бастапқы уақыт моментінде ешқандай жылу ағыны
жүрмейді, бірақ дәл сол кезде 2-ші денемен шекарада ағын максимал болады.
Егер стержен және аралығында аралық температураны иеленсе,
бастапқы жылу ағыны қимадан қимаға стержен бойымен өткенде өзгеріп отырады.
Дегенмен, стерженнің жылу сыйымдылығы және денелермен
салыстырғанда жеткілікті аз. Біраз уақыт өткен соң стерженде температураның
біркелкі төмендеуі байқалады, ондағы стержен бойындағы жылу ағыны
өзгермейді. Осы уақытта сыйымдылығы жоғары 1 және 2 денелердің
температурасы өзгермейді. Сондықтан да жылу ағынының қондырылу процесін
ескермейміз, себебі о бастан стержен бойындағы жылу ағыны оның барлық
қималарында бірдей болады. Сонда тапсырма матиматикалық анықталған болады,
яғни бірмәнді. Анықтылық үшін делік. 1 денеден 2 денеге стержен
бойымен өтетін жылу ағыны :
,
мұндағы, стерженнің көлденең қимасының ауданы, - оның ұзындығы.
Бұл ағын сан мәні бойынша 1 денедегі жылу жылдамдығының кемуіне
немесе 2 денедегі жылу жылдамдығының өсуіне тең. және
жылу сыйымдылықтарын тұрақты деп, жазуға болады. Бұдан шығатын
теңдеу:
, (1.24)
(1.24) бөлігінің қосындысы
+,
немесе интегралдағаннан соң Бұл теңдеу 1 және 2 денелердегі толық
жылу мөлшерінің сақталуын білдіреді. Бастапқа кезде , өйткені
(1.25)
және белгісіздерін анықтау үшін бұл теңдеу жеткіліксіз. Бұл
жеткіліксіз теңдеуді табу үшін және туындыларына қатысты (1.24)
теңдеуін шешеміз және бірінші теңдеуден екіншісін мүшелеп есептейміз. Сонда
алатынымыз
(1.26)
мұндағы,
(1.27)
тұрақты уақыт өлшемдеріне ие. (1.26) теңдеуді интегралдай отырып,
алатынымыз
температуралар айырымы уақытқа байланысты экспоненциальды заң бойынша
азаяды. уақыт мезетінде бұл айырма рет азаяды. Сол үшін 1
және 2 денелер арасындағы жылулық тепе-теңдіктің тұрақталу уақытын
білдіреді. Ол қарастырылып отырған денелердің релаксация уақыты немесе
температуралардың теңгерілу уақыты деп аталады. Интегралдау тұрақтысы
бастапқаы шарттардан табылады: , егер, . Бұл
(1.28)
Енді (1.25) және (1.28) теңдеулер жүйесін есептей отырып алатынымыз
(1.29)
болса, бұл теңдеулердің экспоненциальдық мүшілері елеусіз аз , және
(1.29) формуласы “қосынды температурасы” анықтайтын жалпыға белгілі
теңдеуге өтеді.
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің анық
айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері.
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері.
Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің шешімі тек бір ғана айнымалыға
тәуелді: және т.с.с. көптеген практикалық есептерде бастапқы
функциялар бірнеше айнымалыларға тәуелді болады және осындай есептерді
сипаттайтын теңдеулер бастапқы функцияның дербес туындыларынан тұруы
мүмкін. Мұндай теңдеулер дербес туындылы теңдеулер деп аталады.
Дербес туындылы теңдеулердің шешіміне мысалға тұтас орта
механикасының көптеген есептерін келтіреді. Мұнда бастапқы функция қызметін
әдетте, аргументтерді қарастырып жатқан кеңістік нүктелерінің координатасы
уақыт болып табылатын: тығыздық, температура, кернеу және т.б. атқарады.
Есептің толық математикалық қойылуы дифференциалдық теңдеулермен қатар,
сондай – ақ кейбір қосымша шарттардан тұрады. Егер шешім белгілі бір
шектелген облыста ізделсе, онда оның шекарасына шектік шарттар деп аталатын
шарттар қойылады. Мұндай есептер дербес туындылы теңдеулерге арналған
шектік есептер деп аталады.
Егер қарастырып жатқан есепте тәуелсіз айнымалылардың бірі – уақыт
болып табылатын болса, онда бастапқы моментке to бастапқы шарттар деп
аталатын кейбір шарттар қойылады. Берілген бастапқы шарттар кезіндегі
теңдеудің шешімінде тұратын есеп, дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебі
деп аталады. Сонымен қатар есебіміз шексіз кеңістікте шешіледі және шекара
шарттары қойылмайды. Қалыптасуы кезінде бастапқы және шекара шарттары
қойылатын есептер стационар емес шектік есептер деп аталады. Осы кезде
алынған шешім уақыт өтуімен өзгереді.
Алдағы уақытта тек нақты қойылған есептерді қарастыратын боламыз,
яғни кейбір кластағы бастапқы және шекара шарттарында шешімі бар және ол
жалғыз болатын.
Бұл тарау дербес туындылы теңдеулер үшін есептің шешімінің сандық
әдістеріне негізделген. Бұл әдістің негізгі класы, қазіргі кезде бұлардың
көмегімен дербес туындылы теңдеулермен жасалатын қолданбалы есептерді
шығарады. Сандық әдістер жоғарғы қуатты ЭЕМ – нің болуын талап етеді, яғни
үлкен көлемді жадысы, жоғарғы жылдамдықты есептеу қабілеті бар.
Сандық әдістердің ең кең тарағаны айырымдық әдістер болып табылады.
Олар қарастырылып жатқан облыста қандайда бір айырымдық тор енгізуге
негізделген. Туындылардың мәндері, бастапқы және шекара шарттары тордың
түйінділеріндегі функцияның мәндері арқылы анықталады. Осының нәтижесінде
айырымдық схема деп аталатын, алгебралық теңдеулер жүйесі пайда болады. Осы
теңдеулер жүйесін шеше отырып, шамамен бастапқы функцияның мәніне тең деп
есептелетін тордың түйіндеріндегі торлы функцияның мәндерін табуға болады.
Осында айтылған сандық әдістерді әр түрлі типтегі есептерге
қолданады. Біз тек қана бірінші және екінші ретті туындыға қатысты сызықтық
теңдеулер үшін жеткілікті тар есептер класын қарастыратын боламыз.
Екі тәуелсіз айнымалылар x, y жағдайында бұл теңдеулерті мына түрде
жазуға болады:
(2.1)
Мұндағы - бастапқы функция. және оң бөлігі g жалпы айтқанда x, y
айнымалысына және бастапқы функцияға тәуелді болуы мүмкін. Осыған
байланысты (2.1) теңдеу мынадай болуы мүмкін: а) тұрақты
коэффициенттерімен, б) егер g -ға сызықты тәуелді болса, ал
коэффициенттер тек x, y – ке тәуелді болса, сызықтық деп, в) егер
коэффициенттер -ға тәуелді болса, квазисызықтық; бұл (2.1) теңдеудің
ең жалпы түрі.
Коэффициенттер арасындағы қатынастарға байланысты теңдеулердің сан
алуын түрлері бар, солардың кейбіреулерін қарастырайық. болған кезде
мына түрдегі бірінші ретті теңдеу, тасымалдау теңдеуі деп аталатын, теңдеу
шығады:
(2.2)
Практикада бұл теңдеулердегі айнымалылардың бірі t уақыт болуы мүмкін.
Сонда оны сонымен бірге эволюциялық теңдеу деп те атайды.
Егер коэффициенттерінің ішінде ең болмағанда біреуі 0 – ден
өзгеше болса, онда (2.1) – теңдеу екінші ретті теңдеу болып табылады.
дискрименант таңбасына байланысты бұл теңдеу үш типтің біреуіне жатуы
мүмкін: (0) гиперболалық , (=0) параболалық, (0)
эллипстік.
Алдағы уақытта қарастыратын екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді
мысалға келтірейік: толқындық теңдеу (гиперболалық):
(2.3)
диффузия немесе жылу өткізгіштік теңдеуі (параболалық):
; (2.4)
Лаплас теңдеуі (эллипстік):
(2.5)
Егер де (2.5) – теңдеуінің оң жағы 0 – ден өзгеше болса, онда ол – Пуассон
теңдеуі деп аталады.
Келтірілген теңдеулер математиклық физика теңдеулері деп аталады.
Олардың шешуіне көптеген қолданбалы есептер келтіріледі. Келтірілген
теңдеулердің сандық әдістеріне көшпес бұрын, айырымдық схеманы құрудың
сандық әдістеріне көшпес бұрын, айырымдық схеманы құрудың негізгі
сұрақтарын қарастырайық.
2.2 Айырымдық схеманы құру.
Бұрын айтылғандай, дербес туындылы теңдеулердің шешімдерінің
айырымдық схемасын құру, қарастырып жатқан кеңістікте тор енгізуге
негізделген. Тордың түйіндері – есептеу нүктелері болып табылады.
шекарасы бар тікбұрышты облыстың қарапйым мысалы екі
өлшемді жағдайы 2.1 – суретте көрсетілген. Тікбұрыштың жақтары
және нүктелері арқылы элементар бөліктерге бөлінеді. Бұл
нүктелер арқылы тік бұрышты ұяшықтары бар торды құрайтын координаттық
түзудің екі жиыны және жүргізіледі. Бұл тордың кез келген
түйінінің нөмірі , координаталар арқылы анықталады.
Осыған ұқсас екіден көп өлшемнен тұратын көп өлшемді облыстар үшін де
тор енгізіледі. 2.2 – суретте тордың элементтері үшөлшемді облыстар үшін
тікбұрышты параллепипед түрінде келтірілген.
Тікбұрышты тор есептеуіш алгоритімді құру үшін әлдеқайда қолайлы.
Сонымен қатар кейбір схемалар үшбұрышты және тіпті алтыбұрышты ұяшықты
торды қолданады.
облысының шекарасында жатқан тордың түйіндері деп
аталады. Ал қалған барлық түйіндер – ішкі түйіндер деп аталады. Есептің
қойылуы кезінде бастапқы және шекара шарттары есептеу облысының шекарасында
тұжырымдалатын болғандықтан, оларды тордың шекара түйіндерінде берілген деп
есептеуге болады. Кейде облыстың шекара нүктелері тордың түйіндері болып
табылмайды. Онда шекарамен координаттық сызықтардың қиылысында қосымша
түйіндер енгізеді, болмаса шекараға жақын түйіндер арқылы өтетін, қисық
арқылы шекараны шамамен ауыстырады. Осы қисыққа шекара шарттары көшіріледі.
Кейбір жағдайларда күрделі қисық сызықтық облыстар жаңа тәуелсіз
айнымалыларға ауысу арқасында қарапайым түрге келе алады. Мысалы, 2.3 –
суретте көрсетілген төртбұрыш облысын, айнымалыларының орнына
жаңа айнымалыларды мынадай қатынастардың көмегімен енгізу арқылы
бірлік квадыратына келтіруге болады:
,
Жаңа айнымалыларға теңдеулер түрлендіру керек. Сонымен бірге бастапқы және
шекара шарттарын беру керек. облысына тік бұрышты тор енгізуге
болады. Сонымен бірге оған облысында бірқалыпсыз орналасқан түйіндер
және қисықсызықты ұяшықтары бар тор сәйкес келетін болады.
Алдағы уақытта айырымдық схеманы құру кезінде қарапайымдылық үшін
тікбұрышты торды қолданатын боламыз, ал теңдеулерді декарттық координатта
да жазатын боламыз. Практикада есептерді әр түрлі қисық сызықты
координат жүйелерінде шешуге тура келеді, яғни полярлық, сфералық,
цилиндірлік және т.б. Мысалға, егер есептеу облысын полярлық координат та
беру ыңғайлы болса, онда оған тор, радиус векторы және полярлық
бұрышқа сәйкес және қадамдары арқылы енгізіледі.
Кейде қарапайым есептеу облысына да қалыпсыз тор енгізеді. Көбінде,
кейбір бөліктерінде тура есептеу жүргізу үшін түйіндердің ығысуын жүргізу
керек. Бұл жағдайда ығыстырылған түйіндер облыстары алдын ала белгілі
болады немесе есепті шешу процесі кезінде анықталады. (мысалы, бастапқы
функция өзгерістерінің тәуелділігінен).
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы.
Айырымдық схеманы құру үшін қарапайым дифференциалдық теңдеулер
жағдайындағыдай теңдеудегі дербес туындылар кейбір шаблондар бойынша соңғы
айырымдық қатынастармен алмастырылады. Сонымен бірге бастапқы функцияның
дәл мәндері айырымдық тордың түйіндеріндегі тор функциясының
мәндерімен ауыстырылады.
Мысал ретінде, бастапқы және шекара шарттары берілген кездегі жылу
өткізгіштік теңдеуінің шешімдеріне арналған кейбір айырымдық схемаларды
құрайық. Аралас шектік есепті мына түрде жазамыз:
,
(2.6)
, , ,
Мұнда - температураның бастапқы бөлінуі (t=0 кезінде) -
қарастырып жатқан бөліктің () шеттеріндегі кез келген уақыт
моментіндегі t температураның бөлінуі. Бастапқы және шекара шарттарының
сәйкескен болу керектігін байқаймыз, яғни:
, ,
Координаттық сызықтар , () арқылы бірқалыпты
тікбұрышты тор енгіземіз. және х және t бағыты бойынша
тордың сәйкес қадамдары. Тордың түйіндеріндегі функцияның мәндерін былай
белгілейміз: . Бұл мәндерді, айырымдық схеманы қанағаттандыратын,
торлы функцияның сәйкес мәндерімен ауыстырамыз.
(2.4) бастапқы теңдеудегі бастапқы функцияның дербес туындыларын
соңғы айырымдар қатынасы арқылы ауыстырып, айырымдық схеманы аламыз:
(2.7)
Бұл схеманың жазылуында әр түйін үщін 2.4.а- суретте көрсетілген шаблондар
қолданылады.
Сол бір жалғыз теңдеу үшін әр түрлі айырымдық схемалар құруға болады.
Көбінде, егер 2.4.б- суретте көрсетілген шаблондарды қолданса, онда (2.7)-
теңдеудің орнына мына айырымдық схеманы аламыз:
(2.8)
Осы және басқа жағдайда ішкі түйіндердегі торлы функцияның мәнін анықтауға
арналған алгебралық теңдеулер жүйесі алынады. Шекара түйіндеріндегі мәндер,
шекара шарттарынан анықталады:
, (2.9)
кезіндегі түйіндердің жалпылылығы, яғни j- дің белгіленген мәні де
қабат деп аталынады. (2.7) схемасы мәндерін - ші қабатта,
- дің ші қабаттағы сәйкес мәндері арқылы, бірінен соң бірін
анықтауға мүмкіндік береді. Осындай схемалар анық схемалар деп аталады.
кезіндегі есептеуді бастау үшін бастапқы қабаттағы шешім қажет.
Ол (2.6)- бастапқы шарты арқылы анықталады және мына түрде жазылады.
(2.10)
Әрбір айырымдық теңдеудің (2.8) анық схемадан айырмашылығы ,ол әрбір
жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздер мәнінен тұрады. Сол себепті алдыңғы
қабаттағы белгілі шешім арқылы осы мәнді сол сәтте анықтауға болмайды.
Осындай схемалар анық емес схемалар деп аталады. Сонымен бірге айырымдық
схема (2.8) үшнүктелі сызықтық теңдеулерден тұрады, демек әрбір теңдеу
берілген қабатының үш нүктесінде белгісіз функцияға ие. Мұндай үш
диагональды матрицалы сызықтық теңдеулер жүйесі қуалау әдісі арқылы шешілуі
мүмкін, осының нәтижесінде түйіндердегі торлы функция мәндері табылатын
болады.
Қарастырылған айырымдық схеманы құру әдісінің көмегімен теңдеуге
кіретін жеке дербес туындылар торлы функцияға арналған соңғы айырымдық
қатынастар арқылы ауыстырылған кезде, көп қабатты схемалар және де сонымен
қоса жоғарғы дәлділік реттілігінің схемасы құрылуы мүмкін.
Айырымдық теңдеулерді алудың бұл әдісі өзінің қарапайымдылығына
қарамастан және сондықтан да сандық әдістерді өндеу кезінде кеңінен
қолданылады, сонымен қоса айырымдық схеманы құрудың басқа да әдістері бар.
Тұрақты коэффициенттері бар жылу өткізгіштік теңдеуіне арналған
келесі бірінші шеттік есепті қарастырамыз. Мына облыстарда теңдеудің
шешімін табу керек.
(2.11)
Мынандай бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
(2.12)
Және шекара шарттары мына түрдегі:
, (2.13)
Мұндағы берілген функциялар. Белгілі жағдайда есептің біркелкі шешімі
бар және ол жалғыз. Бұдан былай схемалардың әртүрлілігінің апроксимациясын
қарастырғанда, шешімі x және t бойынша қажетті айнымалы санының
жасалуы ретіне ие болады деп болжаймыз. (2.11-2.13) есептерінің шешуі
максимум принципін қанағаттандыра отырып, бастапқы және шекаралық
берілгендерге тәуелді.
Әдеттегідей, айырымдық схеманы құру үшін, бәрінен бұрын
айнымалылардың өзгеру облысына тор енгізіп, шаблон қою керек.
Торды х айнымалысы бойынша енгіземіз:
,
және торды қадамы бар t айнымалысы бойынша оларды былай
белгілейміз:
.
нүктесі , кеңістікті – уақыттық тордың түйіндерін
құрайды. (2.5 - сурет)
, , бөліктеріне жататын шеттік
түйіндер крестиктермен, ал қалғандары – ішкі түйіндер, олар дөңгелектермен
көрсетілген. Бірдей уақыт координатасы бар көптеген түйіндер қатар
деп аталады. Осылайша, n- ші қатар деп түйіндердің көөпшілігі аталады:
Торда анықталған функциясы үшін мынадай белгілеу
енгіземіз:
(2.14)
Кейде жазуды оңайлату үшін i және n – ді жазбай, , .
() нүктесіндегі (2.11) теңдеуді апроксимациялау үшін 2.6 –
суретте көрсетілгендей етіп төрт түйіннен (), (), () тұратын
шаблон енгіземіз. () нүктесінде туындысын тасымалдау қатынасы
мен, ал туындысын екінші тасымалдау қатынасымен -
алмастырамыз. оң бөлігін торлы функциясы - мен алмастырамыз, ал
ретінде мына қатынастардың біреуін алуға болады:
.
Нәтижесінде, айырымдық теңдеуін аламыз:
, (2.15)
Бұл () нүктесінде бастапқы дифференциалдық теңдеуді
бойынша бірінші ретпен және бойынша екінші ретпен аппроксимациялайды.
Бұл жағдайда, айырымы сондай реттілік аздығын иемденеді.
Айырымдық схема арқылы тордың барлық ішкі түйіндеріндегі және қосымша
шарттар – тордың шеттік түйіндеріндегі негізгі дифференциалдық теңдеуді
аппроксимациялайтын айырымдық теңдеудің жалпылылығы түсіндіріледі.
Айырымдық схеманың дифференциалдық есепке ұқсастығына байланысты айырымдық
есеп деп атайтын боламыз. Бұл жағдайда айырымдық схема мынандай түрге ие:
,
(2.16)
Бұл схема теңдеулер саны, белгісіздер санына тең сызықтық алгебралық
теңдеулер жүйесін көрсетеді. Мұндай жүйенің шешімін қабаттар бойынша табу
керек. 0- дік қабаттағы шешім мынандай , n қабатында табылған
болса, онда шешімі , n+1 қабатында анық формула бойынша анықталады:
(2.17)
, мәні шекара шарттарынан анықталады. Осы себепке байланысты
(2.16) схема – анық айырымдық схема деп аталады.
Айырымдық схеманың қателігі мен (2.16) теңдеудің арасындағы
және бастапқы есептің (2.11) – (2.13) айырымы сияқты анықталады. (2.16)
теңдеуге қойып, қателікке арналған теңдеуді аламыз:
,
, (2.18)
Мұндағы - (2.11) – (2.13) шешімдеріне арналған айырым
схемасының аппроксимациясының қателігі. (2.18) теңдеудің шешімін оң
жақ бөлігі арқылы алуға болады және сонымен бірге (2.16) айырымдық
схеманың ұқсастығын бойынша бірінші ретпен және h бойынша екінші
ретпен дәлелдеуге болады. Ал қазір (2.16) теңдеуге қарап гармоник әдісі деп
аталатын, тұрақты коэффициенті бар айырымдық схеманың кең тараған бір
әдісін көрсетейік. Дегенмен, бұл әдіс жеткілікті негізделмеген болса да,
көбіне шекара шарттарымен оң бөліктің әсерін елемейді , ал айырым
схемасының қажетті тұрақтылық және ұқсастық жағдайларын оңай табуға
мүмкіндік береді. Мысалы, біз (2.16) анық схеманы қадамды уақыт бойынша
жеткілікті аз етіп алу керектігін, тек жағдайында ғана қолдануға
болатындығын көрсетейік. Теңдеуді қарастырайық:
(2.19)
яғни (2.15)- ке сәйкес келетін, біртекті теңдеу. (2.19)- дің мынадай түрге
ие:
(2.20)
Шешімдерін іздейтін боламыз, мұнда i- ауыспалы бірлік, - кез келген
бір сан және q – анықтауға жататын сан. (2.20)-ді (2.19)-ге қойып және
-ге қысқартып, мынаны аламыз:
,
бұдан
(2.21)
(2.20) теңдеу шешіміне сәйкес келетін бастапқы шарттар шектелген.
Егер кейбір үшін көбейткіш q модулі бойынша бір бірлікке үлкен болса,
онда (2.20) теңдеу түріндегі шешім да, шексіз өсетін болады. Бұл
жағдайда айырым теңдеуі (2.19) тұрақсыз, сондықтан оның шешімінің бастапқы
шарттарға үздіксіз тәуелділігі бұзылады. Егер де барлық нақтыларға
болса, онда (2.20)түрдегі барлық шешімдер кез келген n кезінде және
айырымдық теңдік (2.19) тұрақты деп аталады. Тұрақсыздық жағдайында (2.16)
айырымдық есептеу шешімін (2.7) формула бойынша табу, практикалық мүмкін
емес, сол себепті бастапқы уақыт кезінде енгізілген қателіктер n – нің
өсуіне қарай шексіз өсетін болады. Мұндай айырымдыық схемалар тұрақсыз
схемалар деп аталады.
(2.19) теңдеу үшін теңсіздігі (2.21)- ге байланысты, барлық
кезінде, тек кезінде орындалады. Осылайша, (2.16) схеманың
қолданылуы шарты орындалған кезде ғана мүмкін болады.
Тек кейбір кеңістік және уақыт бойынша қадамдардың қатынасына
шектегенде айырымдық схемалар шартты тұрақты деп аталады. Соған сәйкес
(2.16) схема шартты тұрақты, ал мұнда тұрақтылық шарты мынандай түрге ие
. Параболалық тип теңдеуі үшін шартты тұрақты схемалар жиі
қолданылады, сол себепті олар уақыт бойынша қадамға тым күшті шектеу қояды.
Шынында, мысалға былай болсын: . Сонда қадам - нен аспауы
керек , және болған кездегі шешімін есептеу үшін уақыт
бойынша қадамдар санын алу керек, яғни - нен аз емес (2.7) формула
бойынша есептеу жүргізу керек. Бұндай схемалар абсолютті тұрақты схемалар
деп аталады.
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің сандық
әдістері.
Ішкі жылу көзі жоқ кездегі жылу өткізгіштіктің дифференциалдық
теңдеуінің түрі мынандай болады:
(2.22)
(2.22) теңдеу – екінші ретті дербес туындылы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеу болып табылады. екінші ретті біртекті
дифференциалдық теңдеудің ұқсас шешімдеріне арналған, мұндай теңдеудің
шешімі реттеу қасиетіне ие. Мұнда және - теңдеудің дербес
шешімдері, ал С1 және С2 – туынды тұрақтылары. Жылу өткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуі математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулері
деп аталатын теңдеулер қатарына жатады. Оларды шешу үшін, шешудің
классикалық әдісі жасалған. Сонымен классикалық әдіске жақын әдістерге
мысалға, айнымалыларды бөлу және жылу көзін бөлу әдісі жатады.
Классикалық әдістің ішінде өзінің жасалуы және биіктігі жағынан тең
бағалы болып, интегралдық түрлендіру әдісі табылады. Кез келген есеп үшін
инженерлік шешім алуға болатын жақындатылған әдіс – қазіргі кездіе кең
қолданылуда. Жақындатылған әдіске соңғы айырымдар әдісі (тор әдісі) және
ұқсастық әдісі жатады.
Айнымалыларды бөлу әдісі.
Фурье жасаған айнымалыларды бөлу әдісін жылу өткізгіштік есептеріне
қолдану кезінде, (2.22) теңдеудің дербес шешімдерінің жалпылылығы табылады,
және содан кейін олар қосылады:
(2.23)
Шексіз қатарға суперпозиция принципінің қолданылуының дұрыстығы, оның
дифференциалдану және интегралдану сияқты математикалық физика оқулығында
дәлелденеді.
(2.22) теңдеудің шешімі екі функцияның түрленуімен айқындалады, яғни
олардың біреуі тек уақытқа , ал екіншісі координатаға тәуелді:
(2.24)
с- жорамал тұрақты.
Функцияның туындысын Т уақыт бойынша және координата бойынша алып,
және (2.22) – ге қойсақ, мынаны аламыз:
(2.25)
Тек уақытқа және координатаға тәуелді, айнымалылардың бөлінуін
жүргізсек, онда (2.25)-ді мына түрге келтіреміз:
(2.26)
(2.26)-дің сол жақ бөлігі координатаға, ал оң жақ бөлігі уақытқа
тәуелді болғандықтан теңдеудің оң және сол жақ бөліктері тұрақты шама (-ны
білдіреді:
(2.27)
(2.28)
Бұл (2.27) және (2.28) теңдеулер сызықтық дифференциалдық теңдеулер
болып табылады. (2.27) теңдеудің шешімі мына шамаға тең:
(2.29)
Т(() функциясының түрі, жылудың тепе-теңдікке ұмытылатын процестері үшін (
шамасы нөлден кіші болуы керектігін (((0), ал кері жағдайда ((Т(()
((х,у,z)M функциясының шектелу шарты қанағаттандырмайтынын көрсетеді.
Осылайша, былай белгілеуге болады:
(2.30)
Осыған байланысты (2.28) теңдеу мына түрге ие болады:
(2.31)
Покель теңдеуі деп аталатын (2.31) теңдеудің шешімі дененің
геометриялық формасы арқылы анықталады. Интегралдау тұрақтылары шекара
шарттарынан анықталады. Қарапайым жағдайда, яғни ( - бір ғана координатаның
функциясы болғанда (x), (2.31) теңдеу шешімі екі дербес шешімдердің
қосындысы деп есептеуге болатын, екінші ретті қарапайым дифференциалдық
теңдеу болып табылады:
(2.32)
мұнда С1 және C2 -тұрақтылар, ал А(kx) және В(kx) – (2.31) теңдеудің
сызықтық тәуелсіз интегралдары, яғни қатынастары тұрақты шамалар болып
табылмайды:
(2.29) және (2.32) өрнектерді (2.24)-теңдеуге қойып және тұрақтыларды
біріктірсек, мынаны аламыз:
мұнда D және Е –тұрақтылар.
Бұл өрнек (2.22) теңдеуді қанағаттандырады да, сонымен бірге
температуралық өрісті есептеуге жарамсыз, өйткені бұдан тұрақтыларды D және
E –ні анықтауға болмайды. Мысалы, егер шарт бойынша бастапқы уақыт моменті
(((0 кезінде) үшін температура тұрақты болса: (((0(const, сонда (2.33)
теңдеуден бұл шықпайды. Сонымен бірге бұл жағдайда тұрақты айнымалыға тең
болып шығады: (0((((kx)+EB(kx), негізінде бұлай болмауы керек.
Бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жылу өткізгіштік теңдеуінің
ортақ шешімін алу үшін, дербес шешімдердің қосындысы алынады және олардағы
D және E –нің өзіндік белгілі мәндері бар. D және E мәндеріне қажетті
сәйкестік жасап, температураның бастапқы заңды бөлінуші қажетінше
жақындауға болады. Осылайша, дербес шешімдері былайша жазылады:
(2.34)
Ал, жалпы шешім мына түрге ие:
(2.35)
Өзіндік функциялармен қатар температураның (0 (х) бастапқы бөлінуші
функцияларды бөлу мүмкіндігі, есепті шешудің қажетті шарты болып табылады:
Интегралдық түрлендіру әдісі. Жылу өткізгіштіктің көптеген есептерін
шығару үшін классикалық әдістер жеткіліксіз болып табылады, өйткені қазіргі
кезде интегралдық түрлендіру әдісі және шарттары кең қолданым тапты.
Интегралдық түрлендіру әдісінің маңызы мынада: мұнда есептің қойылуына
анықталатын функциялардың өзі қарастырылмайды, олардың бейнеленуі деп
аталынатын – түрінің өзгерісі қарастырылады; функцияның өзі- оригинал деп
аталады. Егер бейнелену кеңістіктік координата х бойынша алынса, онда
оригинал функцияның f(x) интегралдық түрленуі мына түрде берілуі мүмкін:
, (2.36)
мұнда f(p)- f(x) функциясының бейнеленуі. k(p,x)- түрленудің ядросы, p-
қандай да бір параметр.
Интегралдау шегі шексіз, сондай ақ шекті де болуы мүмкін, соңғы
жағдайда интегралдық түрлендіру-шектік деп аталады және мына түрге ие:
Түрлендіру ядросының түрі қарастырылып жатқан есептің шарты бойынша
анықталады. Сонда шексіз тартылысы бар денелер үшін Фурьенің комплекстік
түрленуін қолданған ыңғайлы, ол үшін және теңдеудегі интегралдау шегі
-( және ( аралығында алынады.
Дененің бетіне 1-түрдегі шекара шарты қойылғанда Фурьернің синус
түрлендіруін, ал шекара шартының 2-түрі кезінде Фурьернің косинус-
түрлендіруін қолдану керек. Осы кезде түрлену ядросы осыған сәйкес мына
түрге ие:
(2.37)
Осьтік симметриясы бар денелер үшін түрлену ядросы Бессель функциясы
болуы керек:
J(pr)- Бессель функциясы, r-0 ден R аралығында өзгеретін, тәуелсіз
айнымалы. Бұл жағдайда түрлендіру Хенкель түрлендіруі деп аталады.
Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік есептерін шешу кезінде
Лаплас интегралдық түрлендіруі және Хевисалдтың операциялық әдісі кеңінен
қолданылады. Бұл әдістегі интегралдық түрлендіру функциясы, мына формуламен
анықталады:
(2.38)
Дербес туындыларда дифференциалдық теңдеулерге интегралдық түрлендіру
әдісін қолдану бір өлшемді жағдай үшін бейнелеуге қатысты қарапайым
дифференциалдық теңдеулер алуға мүмкіндік береді. Ал, интегралдық
түрлендіру қарапайым дифференциалдық теңдеуге қолдану бейнелеуге сәйкес
алгебралық теңдеулерге әкеледі. Содан кейін бейнелеу болып табылатын
функцияның мәнін іздеу арқылы, тұпнұсқаға ауысу керек. Бұл ауысу қаратпа
формулалары деп аталатын формулалар арқылы жүзеге асырылады.
Фурьенің комплекстік түрлендіруі үшін:
(2.39)
Фурьенің синус-түрлендіруі үшін:
(2.40)
Фурьенің косинус-түрлендіруі үшін:
(2.42)
Хенкель түрлендіруі үшін:
(2.42)
Лаплас түрлендіруі үшін:
(2.43)
Осы операциялық әдістің кең қолданылуына байланысты оны тереңірек
қарастырайық: Лаплас түрлендіруі (2.39) формуласы арқылы жүзеге асырылады.
Мұнда p=((i(- қандайда бір комплекстік шама, ол (,(,( тұрақтылары кезінде
-( ден (-ке дейін өзгеретін, тен -ке дейін өзгеретін шама.
(2.7-сурет). p комплекстік ауданда жалған оське паралель Re(p)=( түзуін
жүргіземіз. Лаплас түрлендіруіне мынандай қасиеттері бар функциялар
ұсынылуы мүмкін:
2.7 сурет.
f((((f() функциясының бейнеленуінің f(p) болатын облысы.
1. Аргументтердің таңбалары қарама-қарсы болғанда, сәйкес функция 0-ге тең:
((( болғанда,
2. Аргументтердің таңбалары оң болғанда, функцияның абсолюттік мәнінің
деңгейінің реті аргументінің өсуі негізінде кейбір көрсеткіштік
функцияның деңгейінің ретінен аспайды:
кезінде
Мысалы, Лаплас интегралы ажырайтын болғандықтан, функцияның бейнеленуі
болмайды.
3. f(() функциясы Дирихле шарттарын қанағаттандыру керек, яғни f(()
функциясы анықталатын аралық, интервалдың соңғы сандарына бөлінуі
мүмкін, әр қайсысыедағы f(() үздіксіз және монотонды, бөлінудің қандай
нүктелерінде болса да f((((),f(((() функцияларының мәндері бар.
Көрсетілген шектеулер кезінде f(p) бейнелеу Re(p)=(0 түзудің оң жарты
жазықтықта жатқан аналитикалық функция болып табылады (2.7-сурет). Яғни,
көрсетілген облыс бойынша барлық реттегі туындылары бар және оның барлық
ерекше нүктелері комплекстік облыста түзудің (0 сол жағында орналасқан.
Бейнелеуді табу:
1) f(()=c=const ((():
(2.44)
( болғанда).
2) f(()=c(:
(2.45)
3) f(()=ek( ((():
(2.46)
(pk болғанда).
Егерде f(()=e -k(, сонда:
(2.47)
Лаплас түрлендіруінің негізгі қасиеттері.
Сызықтық.
Келтірілген мысалдардан егер C=const болса және f(() оригиналына f(p)
бейнеленуі сәйкес келетін болса, онда c f(() функциясы с f(p) бейнеленуіне
дәл келеді.
Ары қарай, егер f1(() және f2(() функцияларының сәйкесінше f1(p) және
f2(p) бейнеленуі бар болса, онда мына қатынас дұрыс:
(4.48)
яғни, оригиналдар қосындысының бейнеленуі осы оригиналдың бейнеленуінің
қосындысына тең. Мысалы:
,
сонда,
;
теңдеуі үшін бейнелеу:
Туындыны бейнелеу.
Егер ((r)=f'(() ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті
Физика – математика факультеті
Теориялық физика жене сандық модельдеу кафедрасы
Курстық жұмыс
Тақырыбы: Жылуөткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешудің
сандық тәсілі
Қорғауға жіберілді.
___________________________2007 жыл.
Теориялық физика жене сандық модельдеу
кафедрасының меңгерушісі
профессор ,фил-мат.ғ.д. Косов В.Н.
Ғылыми жетекшісі: профессор Құлбек М.Қ.
Орындаған: 6А0604 Физика мамандығының ,
қазақ бөлімінің магистаранты Мәлік
Т.З.
Алматы 2007
МАЗМҰНЫ
Кіріспе
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылуөткізгіштік теңдеуі
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің
анық айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері
2.2 Айырымдық схеманы құру
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық
схемасы
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің
сандық әдістері
Қорытынды
Компьютерлік бағдарлама және оның тәжірибелік нәтижелері
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Табиғатта, техникада және технологияда жылуөткізгіштік процестері өте
күрделі жағдайларда жүреді. Біріншіден, олар стационарлы емес режимдерде
өтеді. Екіншіден, материалдарды (мысалы, табиғи шикізаттарды, минералдарды,
т. б) қыздыру барысында әртүрлі температуралар аймағында табиғаттары сан
алуан фазалық және химиялық түрленулер орын алады. Бұл өзгерістер көбіне
жылу эффектілерімен (эндотермиялық және экзотермиялық) байланысты жүріп,
үлгінің бойында зат массасының тасымалдануына және құрылымдық өзгерістерге
(деформацияға) әкеп соғады. Бұл процестер өз ретінде жылуөткізгіштік
құбылысының бұрынғыдан да күрделене түсуіне әкеледі. Мысалы, табиғи
шикізаттардан жасалынатын кирамикалық материалдар техналогиясында осындай
күрделі физикалық, химиялық процестер мен тасымалдау құбылыстары орын
алады.
Бұл курстық жұмыста жалпы жылуөткізгіштік және жылуөткізгіштік
теңдеуінің анық айырымдық схемасы, оны шешідің сандық тәсілі қарастырылады.
Есептеуіш машиналарды кең көлемді пайдалана отырып, жылдам әрі тиімді
нәтижелерге қол жеткізу үшін сандық әдістерге көбірек көңіл бөлінген.
Курстық жұмысымның мақсаты стационарлық емес жағдайдағы жылу
өткізгіштік процесін зерттеп, температуралық өрістерді алу болды. Сондықтан
зерттеу нысаны ретінде керамикалық материал жазық үлгі пішінінде алынды.
Есептің Turbo Pascal программалау тілінде компьютерлік бағдарламасы
құрылып, нәтижесінде алынған мәндер бойынша температуралық өрістер
салынады. Есептеу тәжірибелерінің нәтижесінде алынған температуралық
өрістер геометрилық өлшемдері әр түрлі жазық керамикалық үлгілерді әр түрлі
жылдамдықтармен қыздыру барысындағы жылуөткізгіштік процестерінің
динамикасын анықтауға мүмкіндіктер береді.
І. Тарау Жылуөткізгіштік теңдеуі туралы жалпы түсінік
1.1 Жылу өткізгіштік теңдеуі
1. ХІХ ғасырдың алғашқы жылдарында (1768-1830) француз математигі
Фурье жылуөткізгіштіктің математикалық теориясының негізін қалады. Әрине ол
кездегі көзқарас пен қазіргі кездегі тұжырымдардың арасында елеулі
келіспеушіліктер мен айырмашылықтар көп болды.Сонан соң, жылу берілу
міндетті түрде жылу алмасу процесі негізінде жүретіндігі ұсынылды.
Конвекция жоқ деп қарастырылды. Қатты денелерде бұл мүмкін еді. Ал сұйықтар
мен газдарда конвекцияны болдырмау үшін, мысалға алғанда, бұл денелерді
үстінен (жоғарыдан ) қыздырды. Сонымен бірге, жүйенің көлемін тұрақты деп
қарастырды, сондықтан жылу берілу процесі кезінде ешқандай зат алмасу
жүрмейді.
2. Жылуөткізгіштіктің математикалық теориясында жылудың таралуы сұйық
ағысы ретінде қарастырылады. Жылу ағынының бағытына перпендикуляр 1см2
жазықтықты 1с ішінде жүріп өтетін жылу мөлшерінің сан мәніне тең және
бағыты жағынан жылудың таралу бағытымен бағыттас болатын j векторын жылу
ағынының тығыздығы деп атайды.
Енді бір өлшемді есептердегі j векторын қанағаттандыратын
дифференциалдық теңддеуді табайық.
х осіне параллель бағытта өтетін жылу ағыны туындайтын шектеусіз орта
болсын делік. Бір өлшемді жалпы жағдайда жылу ағынын сипаттайтын ортаның
құрылымы мен биіктігі осы бағытта өзгере алады. Сонымен қатар, олар уақыт
бойынша да өзгеріске ұшырайды. Сондықтан, жылу ағынының тығыздығын j – x
координатасы мен уақыт t:j=j(x,t) функциялары ретінде қарастыру керек. Ойша
(1.1-сурет)
Ортада шексіз ұзын призма немесе х осіне параллель цилиндрді ерекшелеп
алып, осындай АВ цилиндірінің шексіз аз бөлігін dx қарастырамыз. S –
цилиндр бетінің қиылысу ауданы болсын. АВ цилиндіріне А мен х координатасы
аралығына dt уақытында берілетін жылу мөлшері j(x)Sdt тең. Сол уақыттағы В
– дан өтетін жылу мөлшері j(x+dx)Sdt . Цилиндрдің бүйір бетінен жылу
берілмейтіндіктен цилиндірдің қарастырылып отырған бөлігінен dt уақыт
мезетінде берілетін толық жылу мөлшері:
Бірақ, осы жылуды мына түрде беруге болады , мұндағы - АВ
цилиндірінің массасы, - жылу сыйымдылығы, dt – температураның
көтерілуі. Екі белгіленуді теңестіре және қарастыра отырып алатынымыз
(1.1)
3. Енді жылу ағынының тығыздығы мен ортаның температурасы Т
арасындағы байланысты енгізу керек. Орта температурасы нүктеден нүктеге
өзгергенде ғана жылу ағыны орын алатындығын тәжірибе көрсетті. Жылу әрқашан
жоғарғы температурадан төменгі температураға қарай өтеді. Ең қарапайым
жағдай қалыңдықты шексіз біртектіпластинка. Егер, пластинканың бір
жазық шекарасында температура Т1 , ал екіншісінде температура Т2 , әрине
болса, онда тәжірибе көрсеткендей жылу ағыны температуралар айырымына
пропорционал және пластинканың қалыңдығына кері пропорционал
болады. Математикалық тұрғыдан бұны мына түрде көрсетеміз:
(1.2)
мұндағы - тек қана пластинканың материалы және оның физикалық
жағдайына тәуелді оң мәнде тұрақтылығының жылуөткізгіштігі деп аталады.
Пластинканы шексіз жіңішке деп алайық. Егер х осі температураның
төменгі бағытына қарай бағытталса, онда
, , ,
,
(1.1)формуласы мына түрге ие болады:
(1.3)
(1.3) белгіленуі х осінің бағыты температураның өсуіне қарай бағытталса да
дұрыс болып қала береді, өйткені бұл жағдайда
, , ,
сонымен бірге ол біртекті есмес ортаның жалпы жағдайында және тек қабатты
орта емес, құрылымы мен температурасы барлық үш x,y,z кеңістік
координаталарының функциясы болатын ортада да дұрыс болып табылады.
Жылуөткізгіштік барлық үш x,y,z кеңістік координаталарының
функциясы. Біздің бір өлшемді есебімізде ол тек бір ғана кеңістік
координаталарына х тәуелді болады: .
(1.3) белгіленуін (1.1) формуласына қойсақ,
(1.4)
Бұл теңдеу жылуөткізгіштік теңдеуі деп аталады. Жеке жағдайда, орта
біртекті болғанда, жылуөткізгіштік температураға тәуелді болмайды,
онда теңдеу мына түрге ие болады.
(1.5)
немесе
(1.6)
мұндағы
(1.7)
- тұрақтысы ортаның температура өткізгіштігі деп аталады.
Ортада жылу көздері болуы мүмкін. Мысалға, радиоактивті ыдырау немесе
электор тогының өтуі нәтижесінде жылу бөлінуі мүмкін. Бұндай жылу көздерін
біз ескермедік. Оларды ескеру үшін, 1 м3 орта көлемінде 1с уақыт аралығында
жылу көздерінен бөлінетін жылу мөлшеріне тең q шамасын енгіземіз. Сонда (1)
теңдеуі былайша жазамыз:
(1.8)
Осыған сәйкес қалған теңдеулер де өзгеріске ұшырайды.
4. Ортаның құрылымы мен температурасы барлық үш x, y, z кеңістік
координаталарына тәуелді болатын жалпы жағдайда дененің жылу балансын
бейнелейтін жылуөткізгіштік теңдеуі :
(1.9)
Бірақ, бұндай теңдеулердің шешімдерін аналогиялық түрде тек қана қарапайым
жағдайларда алуға болады. Орта мен ондағы температураның таралуы сфералық
немесе цилиндірлік симметриялы болған жағдай ең маңызды болып табылады.
Сондықтан, біз (1.9) теңдеуін шешпей-ақ сфералық және цилиндірлік симметрия
жағдайымен шектелеміз. Бұл жағдайларда тікбұрышты жүйе координаталарының
орнына сфералық және цилиндірлік координаталар жүйесін қолданған тиімді.
Бірінші сфералық симметрия жағдайын қарастырамыз. Уақытпен бірге тек
қана r-ге тәуелді болатын жылу ағыны тығыздығының векторы j радиус бойымен
бағытталған. Симметрия центірінің айналасына r және r + dr радиустарымен
бірге екі концентрациялық сфераларды жазамыз (1.2-сурет). dt уақыт
мезетінде осы екі сфераның аралығындағы кеңістікке олардың бірі арқылы
келіп түсетін жылу мөлшері: . Сол уақыт мезетінде екінші сфера арқылы
өтетін жылу мөлшері: . Мәселе аргументтің әр түрлі мәндеріндегі r
және r + dr сол бір ғана jr2 функция жөнінде екендігін ескеру үшін осы екі
жылу мөлшерін мына түрде жазған ыңғайлы:
және . Олардың арасындағы айырмашылық
қоршаған кеңістіктегі қарастырылып отырған
сфералық қабаттан dt уақыт мезетінде өтетін жылу мөлшерін береді. Жылу
көздері бар кезде одан түскен жылу мөлшерін қосу керек. Бірақ
қабаттағы жылу мөлшерінің өзгерісін мына түрде беруге болады: .
Сондықтан, жылу балансының теңдеуі
(1.10)
(1.3) қатынасының орнына , ендеше
(1.11)
Цилиндірлік симметрия жағдайында да аналогиялық талқылаулар жүргізіледі. r
– ді симметрия осіне дейінгі қашықтық деп есептеп, алатынымыз
(1.12)
(1.13)
5. Екі еркін орта бөліктерінің шекарасында орындалуы тиіс жалпы
қатынастарды жылуөткізгіштік теңдеуіне қосу қажет. (1.3-сурет)
Шекаралық шарт: Белгіленген шекараның екі жақ беті де бірдей нормаль
құраушы векторлар болуы тиіс. Шынымен де, АВ – орта бөлігінің
шекарасы болсын, ал n- нормальдың бірлік векторы, мысалға бірінші ортадан
екіншіге үргізілген. Бөлік шекарасына перпендикуляр және одан әр түрлі
бағытта негізделген құрылымды шексіз аз цилиндрді ойша жүргіземіз.
Цилиндрдің биіктігі h негіздің сызықтық өлшемдерімен салыстырғанда жоғары
ретті шексіз аз болу керек. Сонда, цилиндрдің бүйір беті арқылы өтетін жылу
ағынынан қорғауға болады. Егер S- цилиндр негізінің ауданы болса, онда 1с
ішінде оған түсетін жылу мөлшері мынаған тең:
Бірақ, бұл өлшем цилиндірдегі жылу мөлшері сияқты оның көлеміне Sh
пропорционал болуы тиіс, яғни шегінде нольге айналуы қажет.
Сондықтан, шекте, АВ шекарасында цилиндрдің екі негізі бір-бірімен
біріккенде,
(1.14)
Болуы керек. Демек, кез келген шекарада жылу ағыны векторының нормаль
құраушысы үздіксіз болады. Бұл дәлелдеме, бөлік шекарасында шекті беттік
тығыздықты жылу көздері жоқ екендігін жорамалдайды.
1.2 Жылуөткізгіштікке арналған қарапайым стационарлық тапсырмалар.
Жылуөткізгіштікке арналған барлық тапсырмалар стационарлық және
стационарлық емес болып бөлінеді. Уақыт өтуіне қатысты температура Т
өзгермесе тапсырмалар стационарлық деп аталады. Ол тек кеңістік
кординаталарының функциясы болып табылады. Бұл жағдайда . Бірмәнді
есептерде Т тек бір ғана кеңістік координатасына тәуелді болады, демек
белгіде дербес туындылар қажет емес. Қарапайым стационарлық бірмәнді
есептерді қарастырайық.
1. Шексіз жазық параллель пластинкадағы температураның стационарлық
таралуы.
Айталық, беті тұрақты Т1 және Т2 температураларымен ұсталған,
қалыңдығы шексіз пластинка болсын. Осындай пластинканың ішіндегі Т
температураның таралуын анықтау керек. Пластинкаға перпендикуляр түзуді
осі деп есептейміз. Пластинканы шектейтін 1 жазықтыққа координаталар
басын орналастырамыз. Жылуөткізгіштік координатасына тәуелді
болуы мүмкін. (1.4) теңдеуі былай түрленеді:
Бұдан, немесе (3), Жылу ағыны тығыздығының тұрақтылығы
пластинканың біртекті немесе біртекті емес екендігіне тәуелсіз. Енді,
біртекті пластинканың қарапайым жағдайын қарастырамыз. Бұл жағдайда
болғандықтан жылуөткізгіштік тұрақты болады. Тұрақтыны әріпімен
белгілеп және интегралдай отырып, алатынымыз
мұндағы, - екінші интегралдау тұрақтысы. Пластинкаға кесе температура
координатасымен сызықтық заң бойынша өзгереді. және
тұрақтылары жылуөткізгіштікке мүлде тәуелсіз. Олар шекаралық шарттан
анықталады. болғанда, , ал болғанда . Бұдан мына
теңдеулер жүйесіне келеміз:
,
Одан және тұрақтыларын анықтай отырып, температураның таралуын
табамыз:
(1.15)
2. Екі концентрациялық сфералар аралығындағы температураның
температураның стационарлық таралуы.
Ішкі сфераның радиусын , ал сыртқы сфераның радиусын деп
белгілейміз. Сфералар арасындағы кеңістік жылуөткізгіштігі - ге
тәуелді болатындай ортамен толтырылған. (1.11) сәйкес, ортада жылу көздері
болмаса температураның таралуы мына теңдеу арқылы жазылады:
Ол береді. Сонымен, жылу ағынының тығыздығы
арақашықтықтың квадратына кері пропорционал өзгереді. Сондай болуы қажет
те, себебі сфера радиусы арқылы өтетін жылу ағыны тең, ал бұл
ағын барлық сфераға бірдей болуы керек. Енді, айталық, сфералар
аралығындағы орта біртекті болсын. Сонда, болғандықтан,
жылуөткізгіштігі тұрақты болады. Тұрақтыны белгілеп, алатынымыз
, немесе интегралдағаннан кейін
және интегралдау тұрақтылары сфералық қабат шекарасындағы
температурасы қабылдайтын мәннен анықталады. Бұл мына теңдеулер жүйесіне
әкеледі:
,
Одан және тұрақтыларын анықтау арқылы, сфералар аралығындағы
температуралар таралуын табамыз:
(1.16)
3. Екі концентрациялық шексіз ұзын цилиндрлер аралығындағы
температураның стационарлық таралуы. Ішкі цилиндр радиусын , ал сыртқы
цилиндрлер радиусын деп белгілейміз. Олардың температуралары
және тұрақты мәндерінде ұсталады. Цилиндрлер аралығындағы
температураның стационарлық таралуы алдыңғы жағдайлардағыдай болады.Егер,
цилиндрлер аралығындағы орта біртекті болса,
(1.17)
болады.
1.3 Стационарлы емес тапсырмалар. Жалғыздық теоремасы.
1. Жылу таралатын орта біртекті, яғни ортаның барлық
параметрлері координатаға тәуелсіз болсын деп есептейік. Сонымен қатар,
олар уақыт пен температураға тәуелсіз, яғни тұрақты болсын делік. Егер,
температурасы тек бір ғана кеңістік координатасы мен уақытқа
тәуелді болса, жылу көздері бар кезде жылуөткізгіштік теңдеуі (1.8) немесе
(1.3) ескерсек:
(1.18)
болады. жылу көздері “қуатының тығыздығы” берілген функциясының
координатасы мен уақыты деп есептелуі керек. Бірақ, (1.18) теңдеуінің
көздерін шешу тапсырмалары әлі бірмәнді анықталмайды. Күнделікті бастапқы
және шекаралық шарттар келесілерден құралады. Бастапқы шарттар бастапқы
санақ уақыты ретінде қабылдауға тиімді болатын уақыттың қандай да бір
моментінде бүкіл дененің температурасын анықтайды.
Бұл шартты мына түрде жазуға болады:
(1.19)
мұндағы - координатаның берілген функциясы. Шекаралық шарттар
уақыттың барлық моментінде дене шекарасындағы дене температурасын
анықтайды. Бірмәнді жағдайларда, және жазықтықтарымен шектелген
дене жазықпараллель пластинка түріне ие болады. Сондықтан шекаралық шарттар
мына түрде жазылады:
(1.20)
мұндағы , және - берілген уақыт функциялары.
2. Біріктірілген шеткі тапсырманың жалғыздық шешімі былай
түсіндіріледі, яғни температураөткізгіштік - қалыпты орынды шама
болып табылады.
Шешімнің жалғыздығын дәлелдеу үшін, (1.18) теңдеуі (1.19) бастапқы
және (1.20) шеттік шарттарды қанағаттандыратын және екі шешімге
ие болады деп есептейміз. Сонда,
,
Көлемді есептеу және белгіленуін жаза отырып,
(1.21)
аламыз, яғни функциясы жылу көздерінсіз жылуөткізгіштік теңдеулерін
қанағаттандырады. Сонымен қатар, бұл функция “нольдік” бастапқы және
шекаралық шартты қанағаттандаыратындығы белгілі:
кез келген ; (1.22)
кез келген . (1.23)
интегралын қарастырайық. Бұл теріс болмайтындығы түсінікті. Сонымен
бірге (1.22) ескерсек, Уақыт бойынша туындысының интегралын
табамыз:
Бөліктеу интегралдау арқылы алатынымыз:
Оң бөліктің бірінші қосындысы (1.23) шекаралық шарттың нольдік түріне
айналады. Екінші қосынды теріс немесе ноль, өйткені . Сол себепті,
. Уақыт өтуіне байланысты интеграл тек жойылуы немесе тұрақты
болып қалуы мүмкін. Біріншісі мүмкін емес, себебі болуы тиіс. Жалғыз
қалатын мүмкіндік , яғни Бұл тек яғни болғанда ғана
мүмкін. Шешімнің жалғыздығы дәлелденді. Талқылай отырып, жалғыздық
теоремасының сфералық немесе цилиндірлік симметриялы тапсырмаларға да
орынды екендігін оңай көрсетуге болады. Бұл барлық үш кеңістік
координатасына тәуелді болғандағы көлденең формалы денеге де орынды болып
қалады. Дәлелдеу дәл осылайша жүргізіледі, тек жәй интегралдың орнына
көлемді және беттік интегралдарды қолдану керек. Егер, қандай да бір
әдіспен, бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратын
жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу мүмкін болса, онда, жалғыздық
теоремасы тапсырманың ізделініп отырған шешімі болып табылады.
3. Сонымен қатар, шешімнің жалғыздығы басқа да себептерге байланысты
шартталған есептер болуы мүмкін. Мысал ретінде келесі есепті қарастырамыз.
Әр түрлі температуралы 1 және 2 жылудан оқшауланған екі дене дәл
сондай бүйір беті жылудан оқшауланған біртекті жылу өткізетін стерженмен
жалғанған.Дененің бастапқы температурасы сәйкесінше, және . Осы
денелердің уақыт бойынша температура өзгерісінің заңын табу керек.
Анықталмағандықтың таралуы үшін ең бірінші екі дененің де
жылуөткізгіштігі өте жоғары (математикалық – шексіз үлкен) деп есептейміз.
Сонда дененің әр түрлі бөліктері температураларының теңесуі тез жүреді.
Сондықтан, t уақыттың әрбір моментінде 1 және 2 денені түгелдей дерлік
сипаттайтын белгілі және температураларды енгізу қажет. Бірақ,
тапсырманың түгелдей анықталуы үшін бұл жеткіліксіз. Сондықтан стерженге
қатысты кейбір қосымша болжамдар енгіземіз. Стерженнің көлденең қимасы
арқылы өтетін жылу ағыны ондағы температураның бастапқы таралуына тәуелді
болады. Егер, стерженнің бастапқы температурасы тең болса , 1-ші
денемен шекарада стерженде бастапқы уақыт моментінде ешқандай жылу ағыны
жүрмейді, бірақ дәл сол кезде 2-ші денемен шекарада ағын максимал болады.
Егер стержен және аралығында аралық температураны иеленсе,
бастапқы жылу ағыны қимадан қимаға стержен бойымен өткенде өзгеріп отырады.
Дегенмен, стерженнің жылу сыйымдылығы және денелермен
салыстырғанда жеткілікті аз. Біраз уақыт өткен соң стерженде температураның
біркелкі төмендеуі байқалады, ондағы стержен бойындағы жылу ағыны
өзгермейді. Осы уақытта сыйымдылығы жоғары 1 және 2 денелердің
температурасы өзгермейді. Сондықтан да жылу ағынының қондырылу процесін
ескермейміз, себебі о бастан стержен бойындағы жылу ағыны оның барлық
қималарында бірдей болады. Сонда тапсырма матиматикалық анықталған болады,
яғни бірмәнді. Анықтылық үшін делік. 1 денеден 2 денеге стержен
бойымен өтетін жылу ағыны :
,
мұндағы, стерженнің көлденең қимасының ауданы, - оның ұзындығы.
Бұл ағын сан мәні бойынша 1 денедегі жылу жылдамдығының кемуіне
немесе 2 денедегі жылу жылдамдығының өсуіне тең. және
жылу сыйымдылықтарын тұрақты деп, жазуға болады. Бұдан шығатын
теңдеу:
, (1.24)
(1.24) бөлігінің қосындысы
+,
немесе интегралдағаннан соң Бұл теңдеу 1 және 2 денелердегі толық
жылу мөлшерінің сақталуын білдіреді. Бастапқа кезде , өйткені
(1.25)
және белгісіздерін анықтау үшін бұл теңдеу жеткіліксіз. Бұл
жеткіліксіз теңдеуді табу үшін және туындыларына қатысты (1.24)
теңдеуін шешеміз және бірінші теңдеуден екіншісін мүшелеп есептейміз. Сонда
алатынымыз
(1.26)
мұндағы,
(1.27)
тұрақты уақыт өлшемдеріне ие. (1.26) теңдеуді интегралдай отырып,
алатынымыз
температуралар айырымы уақытқа байланысты экспоненциальды заң бойынша
азаяды. уақыт мезетінде бұл айырма рет азаяды. Сол үшін 1
және 2 денелер арасындағы жылулық тепе-теңдіктің тұрақталу уақытын
білдіреді. Ол қарастырылып отырған денелердің релаксация уақыты немесе
температуралардың теңгерілу уақыты деп аталады. Интегралдау тұрақтысы
бастапқаы шарттардан табылады: , егер, . Бұл
(1.28)
Енді (1.25) және (1.28) теңдеулер жүйесін есептей отырып алатынымыз
(1.29)
болса, бұл теңдеулердің экспоненциальдық мүшілері елеусіз аз , және
(1.29) формуласы “қосынды температурасы” анықтайтын жалпыға белгілі
теңдеуге өтеді.
ІІ. Тарау Стационарлық емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуінің анық
айырымдық схемасы және оны шешудің сандық әдістері.
2.1 Айырымдық схема теориясының элементтері.
Қарапайым дифференциалдық теңдеулердің шешімі тек бір ғана айнымалыға
тәуелді: және т.с.с. көптеген практикалық есептерде бастапқы
функциялар бірнеше айнымалыларға тәуелді болады және осындай есептерді
сипаттайтын теңдеулер бастапқы функцияның дербес туындыларынан тұруы
мүмкін. Мұндай теңдеулер дербес туындылы теңдеулер деп аталады.
Дербес туындылы теңдеулердің шешіміне мысалға тұтас орта
механикасының көптеген есептерін келтіреді. Мұнда бастапқы функция қызметін
әдетте, аргументтерді қарастырып жатқан кеңістік нүктелерінің координатасы
уақыт болып табылатын: тығыздық, температура, кернеу және т.б. атқарады.
Есептің толық математикалық қойылуы дифференциалдық теңдеулермен қатар,
сондай – ақ кейбір қосымша шарттардан тұрады. Егер шешім белгілі бір
шектелген облыста ізделсе, онда оның шекарасына шектік шарттар деп аталатын
шарттар қойылады. Мұндай есептер дербес туындылы теңдеулерге арналған
шектік есептер деп аталады.
Егер қарастырып жатқан есепте тәуелсіз айнымалылардың бірі – уақыт
болып табылатын болса, онда бастапқы моментке to бастапқы шарттар деп
аталатын кейбір шарттар қойылады. Берілген бастапқы шарттар кезіндегі
теңдеудің шешімінде тұратын есеп, дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебі
деп аталады. Сонымен қатар есебіміз шексіз кеңістікте шешіледі және шекара
шарттары қойылмайды. Қалыптасуы кезінде бастапқы және шекара шарттары
қойылатын есептер стационар емес шектік есептер деп аталады. Осы кезде
алынған шешім уақыт өтуімен өзгереді.
Алдағы уақытта тек нақты қойылған есептерді қарастыратын боламыз,
яғни кейбір кластағы бастапқы және шекара шарттарында шешімі бар және ол
жалғыз болатын.
Бұл тарау дербес туындылы теңдеулер үшін есептің шешімінің сандық
әдістеріне негізделген. Бұл әдістің негізгі класы, қазіргі кезде бұлардың
көмегімен дербес туындылы теңдеулермен жасалатын қолданбалы есептерді
шығарады. Сандық әдістер жоғарғы қуатты ЭЕМ – нің болуын талап етеді, яғни
үлкен көлемді жадысы, жоғарғы жылдамдықты есептеу қабілеті бар.
Сандық әдістердің ең кең тарағаны айырымдық әдістер болып табылады.
Олар қарастырылып жатқан облыста қандайда бір айырымдық тор енгізуге
негізделген. Туындылардың мәндері, бастапқы және шекара шарттары тордың
түйінділеріндегі функцияның мәндері арқылы анықталады. Осының нәтижесінде
айырымдық схема деп аталатын, алгебралық теңдеулер жүйесі пайда болады. Осы
теңдеулер жүйесін шеше отырып, шамамен бастапқы функцияның мәніне тең деп
есептелетін тордың түйіндеріндегі торлы функцияның мәндерін табуға болады.
Осында айтылған сандық әдістерді әр түрлі типтегі есептерге
қолданады. Біз тек қана бірінші және екінші ретті туындыға қатысты сызықтық
теңдеулер үшін жеткілікті тар есептер класын қарастыратын боламыз.
Екі тәуелсіз айнымалылар x, y жағдайында бұл теңдеулерті мына түрде
жазуға болады:
(2.1)
Мұндағы - бастапқы функция. және оң бөлігі g жалпы айтқанда x, y
айнымалысына және бастапқы функцияға тәуелді болуы мүмкін. Осыған
байланысты (2.1) теңдеу мынадай болуы мүмкін: а) тұрақты
коэффициенттерімен, б) егер g -ға сызықты тәуелді болса, ал
коэффициенттер тек x, y – ке тәуелді болса, сызықтық деп, в) егер
коэффициенттер -ға тәуелді болса, квазисызықтық; бұл (2.1) теңдеудің
ең жалпы түрі.
Коэффициенттер арасындағы қатынастарға байланысты теңдеулердің сан
алуын түрлері бар, солардың кейбіреулерін қарастырайық. болған кезде
мына түрдегі бірінші ретті теңдеу, тасымалдау теңдеуі деп аталатын, теңдеу
шығады:
(2.2)
Практикада бұл теңдеулердегі айнымалылардың бірі t уақыт болуы мүмкін.
Сонда оны сонымен бірге эволюциялық теңдеу деп те атайды.
Егер коэффициенттерінің ішінде ең болмағанда біреуі 0 – ден
өзгеше болса, онда (2.1) – теңдеу екінші ретті теңдеу болып табылады.
дискрименант таңбасына байланысты бұл теңдеу үш типтің біреуіне жатуы
мүмкін: (0) гиперболалық , (=0) параболалық, (0)
эллипстік.
Алдағы уақытта қарастыратын екінші ретті дербес туындылы теңдеулерді
мысалға келтірейік: толқындық теңдеу (гиперболалық):
(2.3)
диффузия немесе жылу өткізгіштік теңдеуі (параболалық):
; (2.4)
Лаплас теңдеуі (эллипстік):
(2.5)
Егер де (2.5) – теңдеуінің оң жағы 0 – ден өзгеше болса, онда ол – Пуассон
теңдеуі деп аталады.
Келтірілген теңдеулер математиклық физика теңдеулері деп аталады.
Олардың шешуіне көптеген қолданбалы есептер келтіріледі. Келтірілген
теңдеулердің сандық әдістеріне көшпес бұрын, айырымдық схеманы құрудың
сандық әдістеріне көшпес бұрын, айырымдық схеманы құрудың негізгі
сұрақтарын қарастырайық.
2.2 Айырымдық схеманы құру.
Бұрын айтылғандай, дербес туындылы теңдеулердің шешімдерінің
айырымдық схемасын құру, қарастырып жатқан кеңістікте тор енгізуге
негізделген. Тордың түйіндері – есептеу нүктелері болып табылады.
шекарасы бар тікбұрышты облыстың қарапйым мысалы екі
өлшемді жағдайы 2.1 – суретте көрсетілген. Тікбұрыштың жақтары
және нүктелері арқылы элементар бөліктерге бөлінеді. Бұл
нүктелер арқылы тік бұрышты ұяшықтары бар торды құрайтын координаттық
түзудің екі жиыны және жүргізіледі. Бұл тордың кез келген
түйінінің нөмірі , координаталар арқылы анықталады.
Осыған ұқсас екіден көп өлшемнен тұратын көп өлшемді облыстар үшін де
тор енгізіледі. 2.2 – суретте тордың элементтері үшөлшемді облыстар үшін
тікбұрышты параллепипед түрінде келтірілген.
Тікбұрышты тор есептеуіш алгоритімді құру үшін әлдеқайда қолайлы.
Сонымен қатар кейбір схемалар үшбұрышты және тіпті алтыбұрышты ұяшықты
торды қолданады.
облысының шекарасында жатқан тордың түйіндері деп
аталады. Ал қалған барлық түйіндер – ішкі түйіндер деп аталады. Есептің
қойылуы кезінде бастапқы және шекара шарттары есептеу облысының шекарасында
тұжырымдалатын болғандықтан, оларды тордың шекара түйіндерінде берілген деп
есептеуге болады. Кейде облыстың шекара нүктелері тордың түйіндері болып
табылмайды. Онда шекарамен координаттық сызықтардың қиылысында қосымша
түйіндер енгізеді, болмаса шекараға жақын түйіндер арқылы өтетін, қисық
арқылы шекараны шамамен ауыстырады. Осы қисыққа шекара шарттары көшіріледі.
Кейбір жағдайларда күрделі қисық сызықтық облыстар жаңа тәуелсіз
айнымалыларға ауысу арқасында қарапайым түрге келе алады. Мысалы, 2.3 –
суретте көрсетілген төртбұрыш облысын, айнымалыларының орнына
жаңа айнымалыларды мынадай қатынастардың көмегімен енгізу арқылы
бірлік квадыратына келтіруге болады:
,
Жаңа айнымалыларға теңдеулер түрлендіру керек. Сонымен бірге бастапқы және
шекара шарттарын беру керек. облысына тік бұрышты тор енгізуге
болады. Сонымен бірге оған облысында бірқалыпсыз орналасқан түйіндер
және қисықсызықты ұяшықтары бар тор сәйкес келетін болады.
Алдағы уақытта айырымдық схеманы құру кезінде қарапайымдылық үшін
тікбұрышты торды қолданатын боламыз, ал теңдеулерді декарттық координатта
да жазатын боламыз. Практикада есептерді әр түрлі қисық сызықты
координат жүйелерінде шешуге тура келеді, яғни полярлық, сфералық,
цилиндірлік және т.б. Мысалға, егер есептеу облысын полярлық координат та
беру ыңғайлы болса, онда оған тор, радиус векторы және полярлық
бұрышқа сәйкес және қадамдары арқылы енгізіледі.
Кейде қарапайым есептеу облысына да қалыпсыз тор енгізеді. Көбінде,
кейбір бөліктерінде тура есептеу жүргізу үшін түйіндердің ығысуын жүргізу
керек. Бұл жағдайда ығыстырылған түйіндер облыстары алдын ала белгілі
болады немесе есепті шешу процесі кезінде анықталады. (мысалы, бастапқы
функция өзгерістерінің тәуелділігінен).
2.3 Дифференциалды жылу өткізгіштік теңдеуінің анық айырымдық схемасы.
Айырымдық схеманы құру үшін қарапайым дифференциалдық теңдеулер
жағдайындағыдай теңдеудегі дербес туындылар кейбір шаблондар бойынша соңғы
айырымдық қатынастармен алмастырылады. Сонымен бірге бастапқы функцияның
дәл мәндері айырымдық тордың түйіндеріндегі тор функциясының
мәндерімен ауыстырылады.
Мысал ретінде, бастапқы және шекара шарттары берілген кездегі жылу
өткізгіштік теңдеуінің шешімдеріне арналған кейбір айырымдық схемаларды
құрайық. Аралас шектік есепті мына түрде жазамыз:
,
(2.6)
, , ,
Мұнда - температураның бастапқы бөлінуі (t=0 кезінде) -
қарастырып жатқан бөліктің () шеттеріндегі кез келген уақыт
моментіндегі t температураның бөлінуі. Бастапқы және шекара шарттарының
сәйкескен болу керектігін байқаймыз, яғни:
, ,
Координаттық сызықтар , () арқылы бірқалыпты
тікбұрышты тор енгіземіз. және х және t бағыты бойынша
тордың сәйкес қадамдары. Тордың түйіндеріндегі функцияның мәндерін былай
белгілейміз: . Бұл мәндерді, айырымдық схеманы қанағаттандыратын,
торлы функцияның сәйкес мәндерімен ауыстырамыз.
(2.4) бастапқы теңдеудегі бастапқы функцияның дербес туындыларын
соңғы айырымдар қатынасы арқылы ауыстырып, айырымдық схеманы аламыз:
(2.7)
Бұл схеманың жазылуында әр түйін үщін 2.4.а- суретте көрсетілген шаблондар
қолданылады.
Сол бір жалғыз теңдеу үшін әр түрлі айырымдық схемалар құруға болады.
Көбінде, егер 2.4.б- суретте көрсетілген шаблондарды қолданса, онда (2.7)-
теңдеудің орнына мына айырымдық схеманы аламыз:
(2.8)
Осы және басқа жағдайда ішкі түйіндердегі торлы функцияның мәнін анықтауға
арналған алгебралық теңдеулер жүйесі алынады. Шекара түйіндеріндегі мәндер,
шекара шарттарынан анықталады:
, (2.9)
кезіндегі түйіндердің жалпылылығы, яғни j- дің белгіленген мәні де
қабат деп аталынады. (2.7) схемасы мәндерін - ші қабатта,
- дің ші қабаттағы сәйкес мәндері арқылы, бірінен соң бірін
анықтауға мүмкіндік береді. Осындай схемалар анық схемалар деп аталады.
кезіндегі есептеуді бастау үшін бастапқы қабаттағы шешім қажет.
Ол (2.6)- бастапқы шарты арқылы анықталады және мына түрде жазылады.
(2.10)
Әрбір айырымдық теңдеудің (2.8) анық схемадан айырмашылығы ,ол әрбір
жаңа қабатта үш нүктеде белгісіздер мәнінен тұрады. Сол себепті алдыңғы
қабаттағы белгілі шешім арқылы осы мәнді сол сәтте анықтауға болмайды.
Осындай схемалар анық емес схемалар деп аталады. Сонымен бірге айырымдық
схема (2.8) үшнүктелі сызықтық теңдеулерден тұрады, демек әрбір теңдеу
берілген қабатының үш нүктесінде белгісіз функцияға ие. Мұндай үш
диагональды матрицалы сызықтық теңдеулер жүйесі қуалау әдісі арқылы шешілуі
мүмкін, осының нәтижесінде түйіндердегі торлы функция мәндері табылатын
болады.
Қарастырылған айырымдық схеманы құру әдісінің көмегімен теңдеуге
кіретін жеке дербес туындылар торлы функцияға арналған соңғы айырымдық
қатынастар арқылы ауыстырылған кезде, көп қабатты схемалар және де сонымен
қоса жоғарғы дәлділік реттілігінің схемасы құрылуы мүмкін.
Айырымдық теңдеулерді алудың бұл әдісі өзінің қарапайымдылығына
қарамастан және сондықтан да сандық әдістерді өндеу кезінде кеңінен
қолданылады, сонымен қоса айырымдық схеманы құрудың басқа да әдістері бар.
Тұрақты коэффициенттері бар жылу өткізгіштік теңдеуіне арналған
келесі бірінші шеттік есепті қарастырамыз. Мына облыстарда теңдеудің
шешімін табу керек.
(2.11)
Мынандай бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
(2.12)
Және шекара шарттары мына түрдегі:
, (2.13)
Мұндағы берілген функциялар. Белгілі жағдайда есептің біркелкі шешімі
бар және ол жалғыз. Бұдан былай схемалардың әртүрлілігінің апроксимациясын
қарастырғанда, шешімі x және t бойынша қажетті айнымалы санының
жасалуы ретіне ие болады деп болжаймыз. (2.11-2.13) есептерінің шешуі
максимум принципін қанағаттандыра отырып, бастапқы және шекаралық
берілгендерге тәуелді.
Әдеттегідей, айырымдық схеманы құру үшін, бәрінен бұрын
айнымалылардың өзгеру облысына тор енгізіп, шаблон қою керек.
Торды х айнымалысы бойынша енгіземіз:
,
және торды қадамы бар t айнымалысы бойынша оларды былай
белгілейміз:
.
нүктесі , кеңістікті – уақыттық тордың түйіндерін
құрайды. (2.5 - сурет)
, , бөліктеріне жататын шеттік
түйіндер крестиктермен, ал қалғандары – ішкі түйіндер, олар дөңгелектермен
көрсетілген. Бірдей уақыт координатасы бар көптеген түйіндер қатар
деп аталады. Осылайша, n- ші қатар деп түйіндердің көөпшілігі аталады:
Торда анықталған функциясы үшін мынадай белгілеу
енгіземіз:
(2.14)
Кейде жазуды оңайлату үшін i және n – ді жазбай, , .
() нүктесіндегі (2.11) теңдеуді апроксимациялау үшін 2.6 –
суретте көрсетілгендей етіп төрт түйіннен (), (), () тұратын
шаблон енгіземіз. () нүктесінде туындысын тасымалдау қатынасы
мен, ал туындысын екінші тасымалдау қатынасымен -
алмастырамыз. оң бөлігін торлы функциясы - мен алмастырамыз, ал
ретінде мына қатынастардың біреуін алуға болады:
.
Нәтижесінде, айырымдық теңдеуін аламыз:
, (2.15)
Бұл () нүктесінде бастапқы дифференциалдық теңдеуді
бойынша бірінші ретпен және бойынша екінші ретпен аппроксимациялайды.
Бұл жағдайда, айырымы сондай реттілік аздығын иемденеді.
Айырымдық схема арқылы тордың барлық ішкі түйіндеріндегі және қосымша
шарттар – тордың шеттік түйіндеріндегі негізгі дифференциалдық теңдеуді
аппроксимациялайтын айырымдық теңдеудің жалпылылығы түсіндіріледі.
Айырымдық схеманың дифференциалдық есепке ұқсастығына байланысты айырымдық
есеп деп атайтын боламыз. Бұл жағдайда айырымдық схема мынандай түрге ие:
,
(2.16)
Бұл схема теңдеулер саны, белгісіздер санына тең сызықтық алгебралық
теңдеулер жүйесін көрсетеді. Мұндай жүйенің шешімін қабаттар бойынша табу
керек. 0- дік қабаттағы шешім мынандай , n қабатында табылған
болса, онда шешімі , n+1 қабатында анық формула бойынша анықталады:
(2.17)
, мәні шекара шарттарынан анықталады. Осы себепке байланысты
(2.16) схема – анық айырымдық схема деп аталады.
Айырымдық схеманың қателігі мен (2.16) теңдеудің арасындағы
және бастапқы есептің (2.11) – (2.13) айырымы сияқты анықталады. (2.16)
теңдеуге қойып, қателікке арналған теңдеуді аламыз:
,
, (2.18)
Мұндағы - (2.11) – (2.13) шешімдеріне арналған айырым
схемасының аппроксимациясының қателігі. (2.18) теңдеудің шешімін оң
жақ бөлігі арқылы алуға болады және сонымен бірге (2.16) айырымдық
схеманың ұқсастығын бойынша бірінші ретпен және h бойынша екінші
ретпен дәлелдеуге болады. Ал қазір (2.16) теңдеуге қарап гармоник әдісі деп
аталатын, тұрақты коэффициенті бар айырымдық схеманың кең тараған бір
әдісін көрсетейік. Дегенмен, бұл әдіс жеткілікті негізделмеген болса да,
көбіне шекара шарттарымен оң бөліктің әсерін елемейді , ал айырым
схемасының қажетті тұрақтылық және ұқсастық жағдайларын оңай табуға
мүмкіндік береді. Мысалы, біз (2.16) анық схеманы қадамды уақыт бойынша
жеткілікті аз етіп алу керектігін, тек жағдайында ғана қолдануға
болатындығын көрсетейік. Теңдеуді қарастырайық:
(2.19)
яғни (2.15)- ке сәйкес келетін, біртекті теңдеу. (2.19)- дің мынадай түрге
ие:
(2.20)
Шешімдерін іздейтін боламыз, мұнда i- ауыспалы бірлік, - кез келген
бір сан және q – анықтауға жататын сан. (2.20)-ді (2.19)-ге қойып және
-ге қысқартып, мынаны аламыз:
,
бұдан
(2.21)
(2.20) теңдеу шешіміне сәйкес келетін бастапқы шарттар шектелген.
Егер кейбір үшін көбейткіш q модулі бойынша бір бірлікке үлкен болса,
онда (2.20) теңдеу түріндегі шешім да, шексіз өсетін болады. Бұл
жағдайда айырым теңдеуі (2.19) тұрақсыз, сондықтан оның шешімінің бастапқы
шарттарға үздіксіз тәуелділігі бұзылады. Егер де барлық нақтыларға
болса, онда (2.20)түрдегі барлық шешімдер кез келген n кезінде және
айырымдық теңдік (2.19) тұрақты деп аталады. Тұрақсыздық жағдайында (2.16)
айырымдық есептеу шешімін (2.7) формула бойынша табу, практикалық мүмкін
емес, сол себепті бастапқы уақыт кезінде енгізілген қателіктер n – нің
өсуіне қарай шексіз өсетін болады. Мұндай айырымдыық схемалар тұрақсыз
схемалар деп аталады.
(2.19) теңдеу үшін теңсіздігі (2.21)- ге байланысты, барлық
кезінде, тек кезінде орындалады. Осылайша, (2.16) схеманың
қолданылуы шарты орындалған кезде ғана мүмкін болады.
Тек кейбір кеңістік және уақыт бойынша қадамдардың қатынасына
шектегенде айырымдық схемалар шартты тұрақты деп аталады. Соған сәйкес
(2.16) схема шартты тұрақты, ал мұнда тұрақтылық шарты мынандай түрге ие
. Параболалық тип теңдеуі үшін шартты тұрақты схемалар жиі
қолданылады, сол себепті олар уақыт бойынша қадамға тым күшті шектеу қояды.
Шынында, мысалға былай болсын: . Сонда қадам - нен аспауы
керек , және болған кездегі шешімін есептеу үшін уақыт
бойынша қадамдар санын алу керек, яғни - нен аз емес (2.7) формула
бойынша есептеу жүргізу керек. Бұндай схемалар абсолютті тұрақты схемалар
деп аталады.
2.4 Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік теңдеуін шешудің сандық
әдістері.
Ішкі жылу көзі жоқ кездегі жылу өткізгіштіктің дифференциалдық
теңдеуінің түрі мынандай болады:
(2.22)
(2.22) теңдеу – екінші ретті дербес туындылы біртекті сызықтық
дифференциалдық теңдеу болып табылады. екінші ретті біртекті
дифференциалдық теңдеудің ұқсас шешімдеріне арналған, мұндай теңдеудің
шешімі реттеу қасиетіне ие. Мұнда және - теңдеудің дербес
шешімдері, ал С1 және С2 – туынды тұрақтылары. Жылу өткізгіштіктің
дифференциалдық теңдеуі математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулері
деп аталатын теңдеулер қатарына жатады. Оларды шешу үшін, шешудің
классикалық әдісі жасалған. Сонымен классикалық әдіске жақын әдістерге
мысалға, айнымалыларды бөлу және жылу көзін бөлу әдісі жатады.
Классикалық әдістің ішінде өзінің жасалуы және биіктігі жағынан тең
бағалы болып, интегралдық түрлендіру әдісі табылады. Кез келген есеп үшін
инженерлік шешім алуға болатын жақындатылған әдіс – қазіргі кездіе кең
қолданылуда. Жақындатылған әдіске соңғы айырымдар әдісі (тор әдісі) және
ұқсастық әдісі жатады.
Айнымалыларды бөлу әдісі.
Фурье жасаған айнымалыларды бөлу әдісін жылу өткізгіштік есептеріне
қолдану кезінде, (2.22) теңдеудің дербес шешімдерінің жалпылылығы табылады,
және содан кейін олар қосылады:
(2.23)
Шексіз қатарға суперпозиция принципінің қолданылуының дұрыстығы, оның
дифференциалдану және интегралдану сияқты математикалық физика оқулығында
дәлелденеді.
(2.22) теңдеудің шешімі екі функцияның түрленуімен айқындалады, яғни
олардың біреуі тек уақытқа , ал екіншісі координатаға тәуелді:
(2.24)
с- жорамал тұрақты.
Функцияның туындысын Т уақыт бойынша және координата бойынша алып,
және (2.22) – ге қойсақ, мынаны аламыз:
(2.25)
Тек уақытқа және координатаға тәуелді, айнымалылардың бөлінуін
жүргізсек, онда (2.25)-ді мына түрге келтіреміз:
(2.26)
(2.26)-дің сол жақ бөлігі координатаға, ал оң жақ бөлігі уақытқа
тәуелді болғандықтан теңдеудің оң және сол жақ бөліктері тұрақты шама (-ны
білдіреді:
(2.27)
(2.28)
Бұл (2.27) және (2.28) теңдеулер сызықтық дифференциалдық теңдеулер
болып табылады. (2.27) теңдеудің шешімі мына шамаға тең:
(2.29)
Т(() функциясының түрі, жылудың тепе-теңдікке ұмытылатын процестері үшін (
шамасы нөлден кіші болуы керектігін (((0), ал кері жағдайда ((Т(()
((х,у,z)M функциясының шектелу шарты қанағаттандырмайтынын көрсетеді.
Осылайша, былай белгілеуге болады:
(2.30)
Осыған байланысты (2.28) теңдеу мына түрге ие болады:
(2.31)
Покель теңдеуі деп аталатын (2.31) теңдеудің шешімі дененің
геометриялық формасы арқылы анықталады. Интегралдау тұрақтылары шекара
шарттарынан анықталады. Қарапайым жағдайда, яғни ( - бір ғана координатаның
функциясы болғанда (x), (2.31) теңдеу шешімі екі дербес шешімдердің
қосындысы деп есептеуге болатын, екінші ретті қарапайым дифференциалдық
теңдеу болып табылады:
(2.32)
мұнда С1 және C2 -тұрақтылар, ал А(kx) және В(kx) – (2.31) теңдеудің
сызықтық тәуелсіз интегралдары, яғни қатынастары тұрақты шамалар болып
табылмайды:
(2.29) және (2.32) өрнектерді (2.24)-теңдеуге қойып және тұрақтыларды
біріктірсек, мынаны аламыз:
мұнда D және Е –тұрақтылар.
Бұл өрнек (2.22) теңдеуді қанағаттандырады да, сонымен бірге
температуралық өрісті есептеуге жарамсыз, өйткені бұдан тұрақтыларды D және
E –ні анықтауға болмайды. Мысалы, егер шарт бойынша бастапқы уақыт моменті
(((0 кезінде) үшін температура тұрақты болса: (((0(const, сонда (2.33)
теңдеуден бұл шықпайды. Сонымен бірге бұл жағдайда тұрақты айнымалыға тең
болып шығады: (0((((kx)+EB(kx), негізінде бұлай болмауы керек.
Бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жылу өткізгіштік теңдеуінің
ортақ шешімін алу үшін, дербес шешімдердің қосындысы алынады және олардағы
D және E –нің өзіндік белгілі мәндері бар. D және E мәндеріне қажетті
сәйкестік жасап, температураның бастапқы заңды бөлінуші қажетінше
жақындауға болады. Осылайша, дербес шешімдері былайша жазылады:
(2.34)
Ал, жалпы шешім мына түрге ие:
(2.35)
Өзіндік функциялармен қатар температураның (0 (х) бастапқы бөлінуші
функцияларды бөлу мүмкіндігі, есепті шешудің қажетті шарты болып табылады:
Интегралдық түрлендіру әдісі. Жылу өткізгіштіктің көптеген есептерін
шығару үшін классикалық әдістер жеткіліксіз болып табылады, өйткені қазіргі
кезде интегралдық түрлендіру әдісі және шарттары кең қолданым тапты.
Интегралдық түрлендіру әдісінің маңызы мынада: мұнда есептің қойылуына
анықталатын функциялардың өзі қарастырылмайды, олардың бейнеленуі деп
аталынатын – түрінің өзгерісі қарастырылады; функцияның өзі- оригинал деп
аталады. Егер бейнелену кеңістіктік координата х бойынша алынса, онда
оригинал функцияның f(x) интегралдық түрленуі мына түрде берілуі мүмкін:
, (2.36)
мұнда f(p)- f(x) функциясының бейнеленуі. k(p,x)- түрленудің ядросы, p-
қандай да бір параметр.
Интегралдау шегі шексіз, сондай ақ шекті де болуы мүмкін, соңғы
жағдайда интегралдық түрлендіру-шектік деп аталады және мына түрге ие:
Түрлендіру ядросының түрі қарастырылып жатқан есептің шарты бойынша
анықталады. Сонда шексіз тартылысы бар денелер үшін Фурьенің комплекстік
түрленуін қолданған ыңғайлы, ол үшін және теңдеудегі интегралдау шегі
-( және ( аралығында алынады.
Дененің бетіне 1-түрдегі шекара шарты қойылғанда Фурьернің синус
түрлендіруін, ал шекара шартының 2-түрі кезінде Фурьернің косинус-
түрлендіруін қолдану керек. Осы кезде түрлену ядросы осыған сәйкес мына
түрге ие:
(2.37)
Осьтік симметриясы бар денелер үшін түрлену ядросы Бессель функциясы
болуы керек:
J(pr)- Бессель функциясы, r-0 ден R аралығында өзгеретін, тәуелсіз
айнымалы. Бұл жағдайда түрлендіру Хенкель түрлендіруі деп аталады.
Стационар емес жағдайдағы жылу өткізгіштік есептерін шешу кезінде
Лаплас интегралдық түрлендіруі және Хевисалдтың операциялық әдісі кеңінен
қолданылады. Бұл әдістегі интегралдық түрлендіру функциясы, мына формуламен
анықталады:
(2.38)
Дербес туындыларда дифференциалдық теңдеулерге интегралдық түрлендіру
әдісін қолдану бір өлшемді жағдай үшін бейнелеуге қатысты қарапайым
дифференциалдық теңдеулер алуға мүмкіндік береді. Ал, интегралдық
түрлендіру қарапайым дифференциалдық теңдеуге қолдану бейнелеуге сәйкес
алгебралық теңдеулерге әкеледі. Содан кейін бейнелеу болып табылатын
функцияның мәнін іздеу арқылы, тұпнұсқаға ауысу керек. Бұл ауысу қаратпа
формулалары деп аталатын формулалар арқылы жүзеге асырылады.
Фурьенің комплекстік түрлендіруі үшін:
(2.39)
Фурьенің синус-түрлендіруі үшін:
(2.40)
Фурьенің косинус-түрлендіруі үшін:
(2.42)
Хенкель түрлендіруі үшін:
(2.42)
Лаплас түрлендіруі үшін:
(2.43)
Осы операциялық әдістің кең қолданылуына байланысты оны тереңірек
қарастырайық: Лаплас түрлендіруі (2.39) формуласы арқылы жүзеге асырылады.
Мұнда p=((i(- қандайда бір комплекстік шама, ол (,(,( тұрақтылары кезінде
-( ден (-ке дейін өзгеретін, тен -ке дейін өзгеретін шама.
(2.7-сурет). p комплекстік ауданда жалған оське паралель Re(p)=( түзуін
жүргіземіз. Лаплас түрлендіруіне мынандай қасиеттері бар функциялар
ұсынылуы мүмкін:
2.7 сурет.
f((((f() функциясының бейнеленуінің f(p) болатын облысы.
1. Аргументтердің таңбалары қарама-қарсы болғанда, сәйкес функция 0-ге тең:
((( болғанда,
2. Аргументтердің таңбалары оң болғанда, функцияның абсолюттік мәнінің
деңгейінің реті аргументінің өсуі негізінде кейбір көрсеткіштік
функцияның деңгейінің ретінен аспайды:
кезінде
Мысалы, Лаплас интегралы ажырайтын болғандықтан, функцияның бейнеленуі
болмайды.
3. f(() функциясы Дирихле шарттарын қанағаттандыру керек, яғни f(()
функциясы анықталатын аралық, интервалдың соңғы сандарына бөлінуі
мүмкін, әр қайсысыедағы f(() үздіксіз және монотонды, бөлінудің қандай
нүктелерінде болса да f((((),f(((() функцияларының мәндері бар.
Көрсетілген шектеулер кезінде f(p) бейнелеу Re(p)=(0 түзудің оң жарты
жазықтықта жатқан аналитикалық функция болып табылады (2.7-сурет). Яғни,
көрсетілген облыс бойынша барлық реттегі туындылары бар және оның барлық
ерекше нүктелері комплекстік облыста түзудің (0 сол жағында орналасқан.
Бейнелеуді табу:
1) f(()=c=const ((():
(2.44)
( болғанда).
2) f(()=c(:
(2.45)
3) f(()=ek( ((():
(2.46)
(pk болғанда).
Егерде f(()=e -k(, сонда:
(2.47)
Лаплас түрлендіруінің негізгі қасиеттері.
Сызықтық.
Келтірілген мысалдардан егер C=const болса және f(() оригиналына f(p)
бейнеленуі сәйкес келетін болса, онда c f(() функциясы с f(p) бейнеленуіне
дәл келеді.
Ары қарай, егер f1(() және f2(() функцияларының сәйкесінше f1(p) және
f2(p) бейнеленуі бар болса, онда мына қатынас дұрыс:
(4.48)
яғни, оригиналдар қосындысының бейнеленуі осы оригиналдың бейнеленуінің
қосындысына тең. Мысалы:
,
сонда,
;
теңдеуі үшін бейнелеу:
Туындыны бейнелеу.
Егер ((r)=f'(() ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz