Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 63 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

IX ғасырда өмір сүріп еңбек еткен белгілі ағылшын ғалымы Джордж Гриннның атымен аталатын арнаулы функция - Грин функциясының дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептер шешімдерін интегралдық түрде өрнектеуге, біртекті емес теңдеулердің біртекті шарттарға қанағаттандыратын шешімдерін табуға мүмкіндік береті, ғылымның әр түрлі салаларында кеңінен қолданылатын функция екендігі белгілі.

Бұл дипломдық жүмыста Грин функциясының көмегімен екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін құрудың теориялық негіздері және олардың локальды және локальды емес әртүрлі шекаралық шарттармен берілетін есептерді шешу үшін қолданылулары қарастырылады.

Дипломдық жүмыс екі бөлімнен тұрады:теориялық бөлім және негізгі бөлім. Теориялық бөлімінде Грин функциясына қатысты ұғымдар, яғни жәй дифференциалдар, жәй дифференциалдық теңдеулер, жоғарғы ретті дифференциалдар және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер, сызықты оператор, кері оператор, Гильберт кеңістігі, дифференциалдық оператор, жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері, екінші ретті жәй дифференциалдық операторлар, түйіндес операторлар және түйіндес жиындар, түйіндес теңдеулер интегралдары туралы лемма, әсер етуші функция т. б. қарастырылады.

Негізгі белімінде Грин функциясының анықтамасы беріледі және оның көмегімен екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық шарттары әр қилы болып келген нақты түрдегі шекаралық есептер зерттеліп, шешіледі.

Мазмұны

Кіріспе . . . 4

I бөлім. Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар

1. 1 Жай дифференциалдық теңдеулер . . . 5

1. 2 Сызықты оператор ұғымы және оператордың түрлері . . . 16

1. 3 Түйіндес операторлар және түйіндес жиындар . . . 26

1. 4 Дифференциалдық операторлар . . . 31

II бөлім. Грин функциясын есеп шешуде пайдалану

2. 1 Грин функциясының анықтамасы,

құрылуы . . . 37

2. 2 Екінші ретті сызықтық теңдеу үшін жалпыланған

Грин функциясы . . . 51

2. 3 Шекаралық есептерді Грин функциясы көмегімен

шешу . . . 54

Қорытынды . . . 59

Әдебиет . . . 60

I бөлім. Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар

1. 1 Жай дифференциалдық теңдеулер

Анықтама 1. 1. 1 Ізделінді функцияның туындысы енетін және ізделінді функция мен тәуелсіз айнымалы енуі мүмкін болатын теңдеуді дифференциалдық теңдеу деп атаймыз. Егер ізделінді функция бір айнымалыдан тәуелді болса, онда мұндай теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеулер деп атаймыз.

Дифференциалдық теңдеуге енген туындының ең үлкен реті осы теңдеудің реті деп аталады.

Анықтама 1. 1. 2 (а, b) интервалында берілген дифференциалдық теңдеудің ретіне дейінгі туындыларымен қоса анықталған, үзіліссіз болатын және осы теңдеуді барлық х мәндерінде тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген у=(х) функциясын осы теңдеудің (а, b) интервалындағы шешімі деп атаймыз.

Кейбір жағдайларда шешім айқындалмаған түрінде немесе

параметрлік түрінде алынады.

Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигін интегралдық қисық деп атайды.

Реті 1-ден жоғары теңдеулер жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер деп аталады. Жалпы түрі:

(1. 1. 1)

Егер теңдеуді жоғары ретті туындысы бойынша шешу мүмкін болса, онда оны төмендегідей түрде жазамыз:

(1. 1. 2)

1-ші ретті теңдеудегідей жоғары ретті теңдеулердің шешімдері тұрақты сандарға тәуелді болады.

(1. 1. 1) теңдеуге Коши есебі :

болғанда бастапқы шарттарын қанағаттандыратын

шешімін табу керек. Мұндағы - берілген сандар.

Дербес жағдайда

(1. 1. 3)

2-ші ретті теңдеуі үшін Коши есебі төмендегідей қойылады:

болғанда бастапқы шарттарын қанағаттандыратын

шешімін табу керек.

Анықтама 1. 1. 3 Егер х тәуелсіз айнымалыға және кез-келген тұрақты сандарына тәуелді функциясы төмендегі шарттарды қанағаттандырса:

у функциясы кез-келгенүшін (1. 1. 4) теңдеудің шешімі болса
бастапқы шартар қандай болғанда дасандарының бір ғанамәндерін табу мүмкін болып, функциясы бастапқы шартты қанағаттандырса, онда бұл функция (1. 1. 3) теңдеудіңжалпы шешімідеп аталады. функциясыдербес шешімдеп аталады.

Дербес шешімнің графигі берілген дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады.

(1. 1. 4)

(1. 1. 4) - жоғары теті дифференциалдық теңдеулердің ең қарапайым түрі. Бұл теңдеудің жалпы интегралын табайық. болатындығын ескеріп, (1. 1. 4) теңдіктің екі жағын да х бойынша интегралдап төмендегіні аламыз:

Мұндағы - х айнымалысының белгіленген кез-келген мәні, ал - тұрақты сан. Осы процесті n-рет қайталасақ, онда жалпы интегралды табамыз:

Реті төменделетін теңдеулер.

2-ші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:

(1. 1. 4*)

Бұл теңдеуде айнымалыларды ауыстыру арқылы 1-ші ретті теңдеуге келтіреміз. Екі жағдай болуы мүмкін:

1) у функциясы айқындалған түрде қатыспайтын теңдеу

(1. 1. 5)

ауыстыруын жасайық. Сонда болады. Табылған мәндерді (1. 1. 5) теңдеуге қойып, р және х бойынша 1-ші ретті теңдеуге ие боламыз:

Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу болғандықтан айнымалыларын ажыратып, интегралдап оның жалпы шешімін табамыз: . Содан кейін қатынасынан (1. 1. 5) теңдеудің жалпы интегралын табамыз:

2) х функциясы айқындалған түрде қатыспайтын теңдеу

(1. 1. 6)

ауыстыруын жасайық. Сонда болады. Табылған мәндерді (1. 6) теңдеуге қойып, р және у бойынша 1-ші ретті теңдеуге ие боламыз:

Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу болғандықтан айнымалыларын ажыратып, интегралдап оның жалпы шешімін табамыз: . Содан кейін қатынасынан (1. 1. 6) теңдеудің жалпы интегралын табамыз:

Дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептер

Интегралдық есептеуде мынадай есептер шешіледі: кейбір функцияның туындысы белгілі болады да, сол функцияның өзін табу керек болады. Функцияның белгілі туындысы бойынша оның өзін табу есептері көптеген геометриялық(доғаның ұзындығын, жазық дененің ауданын, кеңістіктегі дененің көлемін, айналу денесінің көлемін табу т. б) және материалдық нүктенің уақытқа тәуелді қозғалу жылдамдығы белгілі болғандағыоның жүріп өту жолын табу т. б есептерді қарастырғанда кездеседі.

Алайда, біздің алдымызға жоғарыда саналып өткен есептерден гөрі анағұрлым жалпы есеп қойылады: белгісіз функция, оның туындылары, тәуелсіз айнымалының кейбір өрнегі берілгенде одан белгісіз функцияны табу есептері жиі кездеседі. Бұл өрнекті дифференциалдық теңдеулер деп атайды. Дифференциалдық теңдеулерден белгісіз функцияны табу есебі берілген дифференциалдық теңдеуді шешу есебі деп аталады.

Сонымен, функцияның белгілі туындысы бойынша оның алғашқы функциясын яғни, анықталмаған интегралды табу есебі дифференциалдық теңдеуді шешу есебінің дербес жағдайы болады.

Дифференциалдық теңдеуді шешуге әкеліп соғатын кейбір есептерді қарастырайық.

1. Бактерияның өсіп өнуі олардың сандарына пропорционал. Алғашқы моментте u=0 болғанда жүз бактерия, ал үш сағаттың ішінде бактериялар саны екі есе өскен . Бактерия санының уақытқа байланысты тәуелділігін табу керек.

Шешуі: Берілген уақыт мезгілінде бактерия саны к болсын. Сонда есептің шартына мынадай дифференциалдық теңдеу құруға болады.

(1)

Мұндағы К -пропорционалдық коэффициент, (1) дифференциалдық теңдеудің шешімі.

Х= Equation. 3

C-табу үшін алғашқы шартты t=0 болғанда х=100, Демек С=100

Х(t) =100 Equation. 3

2. Биіктіктен жерге қарай массаны m дене лақтырылған. V=V(t) қозғалыс процесіне денеге әсер ететін күш болса, онда Ньютонның екінші заңы бойынша mg=F мұндағы дифференциалдық теңдеу.

Дененің жүрген жолы да t-ң формуласы болады: х=х(t) Ал жылдамдық анықтамасы бойынша: V=dx/dt, ал g=dv/dt

Сонымен Ньютонның екінші заңы

түрінде жазылады. Бұл теңдеуде х=x(t) функциясының екінші ретті туынды қатысып тұр.

3. Радийдің ыдырау жылдамдығы қолдағы бар ыдырамаған радийдің көлеміне пропорционал болады. Пропорционалдық коэффициент к белгілі дейік. Егер бастапқы кезеңдегі радийдің көлемін А-ға тең десек, онда уақыттың t уақыт кезеңіндегі ыдырамаған радй көлемі қандай екенін табу керек дейік. Уақыттың t- ға тең кезеңіндегі радий көлемін у арқылы белгілейік. Осы у(t) функциясын табу керек.

Қандай да болмасын, бір шаманың уақытқа байланысты өзгеру жылдамдығы сол шаманың өсімшесі уақыт өсімшесі ∆t 0 ∆t-ға

қатынасының шегіне, яғни сол шаманың уақыт бойынша алынған туындысына тең болатыны белгілі. Демек радийдің жылдамдығы ге тең. Сонымен, кез келген уақыты үшін радийдің ыдырауы мына теңдеуді қанағаттандырады:

Мұндағы алу таңбасы уақыт өткен сайын радий көлемі азаятыны себепті қойылып отыр, сондықтан мына түрде болады.

Сонымен, кез келген t уақыт көлемінде белгісіз функция мен оның бірінші ретті туындысының арасындағы орындалатын байланысты шығарып алдық. Бұл тәуелділік t уақытқа байланысты у(t) функциясының бірінші ретті дифференциалдық теңдеуі. Кез келген С тұрақты у(t) =C· болады.

Сонымен, Дифференциалдық * теңдеуін бір ғана функция емес, сансыз көп функция қанағаттандырады, себебі алынған шешім құрамындағы кез келген мән қабылдай алатын С тұрақтысын табу керек. Бастапқы кездегі радий көлемі А-ға тең болғандықтан С=А. Демек, іздеп отырған функциямыз:

y=A· .

Бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеулер.

(1)

Теңдеуін қарастырайық. Берілген теңдеудің оң жағы (а, b) интервалында үзіліссіз болса, онда теңдеудің шешімі

болатындығы интегралдық есептеулерден белгілі. Бұл функция (1) теңдеудің облысындағы жалпы шешімі болып табылады. Алынған жалпы шешім арқылы алғашқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімді табуға болады.

Енді

(2)

теңдеуін қарастырайық. функциясы белгілі бір интервалында үзіліссіз және нольден өзгеше болсын. Онда (2) теңдеуді

түрінде жаза аламыз. Бұдан

(3)

Бұл (2) теңдеудің жалпы шешімі.

Егер (2) теңдеудің оң жағы нүктесінде 0-ге айналса, онда шешім болып табылады. (2) теңдеудің интегралды қисықтары (3) және түзулері болады(мұндағы m - теңдеуінің түбірлері) .

Айнымалыларды ажырату.

(4)

Айнымалылары ажыратылған теңдеуді қарастырайық( -тің коэффициенті тек х-ке тәуелді, ал -тің коэффициенті тек у-ке тәуелді функциялар) .

(4) теңдеуді

түрінде жазуға болады. Бұдан

(5)

Бұл (4) теңеудің жалпы интегралы. Алынған жалпы шешім арқылы алғашқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімді табуға болады.

Мысал : теңдеуін қарастырайық. Теңдеудің жалпы интегралы

Осыдан

- жалпы интеграл.

Егер дифференциалдық теңдеу

(6)

Түрінде берілсе, онда айнымалыларды ажыратуға болады(сондықтан мұндай теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп атайды) . Ол үшін теңдеудің екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз. Сонда (5) теңдеу (4) теңдеуге келеді

Интегралдасақ

Егер теңдеулерінің шешімдері түрінде болса, онда олар (6) теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан шешімдер болып табылады.

Бұл шешімдер ерекше шешімдер болуы да мүмкін.

Бұл шешімдерден түзулерінің қиылысу нүктесін алып тастау керек. Өйткені, бұл нүктеде теңдеу анықталмаған.

Мысал : теңдеуін қарастырайық. Айнымалыларды ажырату арқылы келесі теңдеуді аламыз

Теңдеуді интегралдасақ

немесе

Жалпы интегралын табамыз.

теңдеулерінің нақты шешімдері жоқ. Сондықтан айнымалыларды ажырату процесінде шешім жоғалмайды. Барлық шешімдер жалпы интегралда болады.

Анықтама. Егер үшін теңдігі орындалса, онда функциясы n-өлшемді біртекті функция деп аталады.

Анықтама. Егер орындалса, онда функциясы 0-өлшемді біртекті функция деп аталады.

0-өлшемді біртекті функцияны түрінде жазуға болады.

Біртекті дифференциалдық теңдеу.

Ангықтама. Егер 0-өлшемді біртекті функция болса, онда

(1)

біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Осы теңдеудің шешімін табайық. Жоғарыда көрсетілгендей . Демек (1) теңдеуді төмендегідейжаза аламыз

түрінде жаңа айнымалыны енгізейік; мұндағы . Бұдан

немесе

Алынған нәтижені (1) теңдеуге қойсақ

теңдеуіне келеміз. Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.

немесе

Интегралдасақ

немесе

Бұл (1) біртекті теңдеудің жалпы интегралы.

Мысал : біртекті теңдеуі координаталар басынан(ерекше нүкте) басқа барлық нүктелерде берілген. Коэффициенттер х, у-ке қатысты көпмүшеліктер болғандықтан ерекше нүктелер жоқ. деп алайық. Онда

-қа қысқартып, бойынша топтастырып, төмендегіні аламыз

Айнымалыларды ажыратайық

Интегралдасақ

у ізделінді функциясына алмастыруы арқылы көшсек

жалпы интегралын аламыз.

теңдеулерін қарастырайық. Бірінші теңдеуден аламыз. Бірақ, у-тің жарты осьтері берілген теңдеудің шешімі болмайды. Екінші теңдеуден шешімін аламыз. Бұл х-тің жарты осьтері берілген теңдеудің дербес шешімдері болады.

- бірінші ретті теңдеуін қарастырайық.

Анықтама . Егер нүктесінің белгілі бір маңайында теңдеудің оң жағы немесе теңдеуінің оң жағы үшін Пикар теоремасының шарттары орындалса, онда мұндай нүктені қарапайым нүкте деп атаймыз. Қарсы жағдайда нүктесі ерекше нүкте деп аталады

Жоғарғы ретті дифференциалдар және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:

Анықтама 1. 1. 4 Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші ретті дифференциал деп аталады:

Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:

сонымен,

(*)

Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (*) өрнегіндегі соңғы төрт мүше нөлге айналады, өйткені dx пен dy - тен алынған туындылар мен дифференциалдар нөлге тең.

Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х , у- тер басқа тәуелсіз айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (*) формуласы қолданылады.

Біз келешекте екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х, у- тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде беріледі:

Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;

Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:

Жақшаны ашқандағы дәреже туындының ретін көрсетеді, ал әртүрлі дәрежелердің көбейтіндісі функцияның реті әртүрлі аралас туындыларды көрсетеді деп алу керек. Екі тәуелсіз айнымалылы функцияның жоғарғы ретті дифференциалы биномды еске түсіреді. Сонымен, алдыңғы айтқанымыздай:

(1. 1. 7)

Мысал үшін, n=4 болғанда Ньютон биномы бойынша ашып, төртінші ретті дифференциалды аламыз:

Мысал. Екінші ретті дифференциалды табу керек. z=e ^xy , z′ _x =ye ^xy , z′′ _xx =y ² e ^xy , z′′ _xy =(xу+1) e ^xy ,

z′ _y =xe ^xy , z′′ _yy =x ² e ^xy , z′′ _yx =(yх+1) e ^xy ,

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

Анықтама 1. 1. 5 (1. 1. 8)

түріндегі теңдеу n -ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер (1) -ден n -і туынды табылатын болса, онда

(1. 1. 9)

теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген n -ретті дифферен-циалдық теңдеу деп аталады.

Коши есебі:

(1. 1. 10)

бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (1. 1. 9) дифференциалдық теңдеудің шешімін табалық.

Теорема 1. 1. 1 (Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы туралы) . функциясы

облысында мына екі шартты қанағаттандырсын делік:

1) функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және шенелген:

;

2) функция үшін айнымалылары бойынша

Липшиц шарты орындалады (Липшиц шарты функциядан айнымалылары бойынша алынған үзіліссіз дербес туындылары бар болғанда ғана орындалады), онда анықталған, өзінің n -і туындыларымен қоса үзіліссіз және (1. 1. 9) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.

Бұл теореманы жеңілдеу тұжырымдауға болады.

Егер (1. 1. 8) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши есебінің жалғыз шешімі бар болады.

Анықтама 1. 1. 6

функциясы (1. 1. 8) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер ол:

1) -дың кез келген мәндерінде (1. 1. 8) дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады;

2) берілген (1. 1. 9) бастапқы шарттар бойынша функциясы (1. 1. 9) бастапқы шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.

Егер жалпы шешімінде -ң нақты мәндері алынатын болса, онда функция дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.

түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (1. 1. 8) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп аталады (1. 1. 8) теңдеуді интегралдау үшін бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалпы шешімін немесе дербес шешімін табу қажет.

Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері.

I-класс . Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.

түріндегі теңдеуді қарастырамыз.

Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:

тағы да интегралдаймыз:

Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда

I-кластағы n -ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.

Мысал. теңдеуін шешелік.

;

II-класс. у функциясы және оның (k-1) -і ретіне дейінгі туындылары жоқ теңдеулер.

түріндегі ДТ қарастырамыз.

Жаңа айнымалы енгіземіз:

, (1. 1. 10*)

сонда

u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге қоямыз:

Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң шешімі

функциясы болсын делік. Мұны (1. 8) теңдеуге қоямыз:

- k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-циалдау арқылы шешіледі (1-класс) .

Мысалдар .

1. үшінші ретті ДТ шешелік.

ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы бірінші ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:

;

Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.

2. ;

; ; ; ;

; ; ;

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-класс)

III-класс . Тәуелсіз айнымалы х- і жоқ теңдеулер.

түріндегі теңдеуін қарастырамыз.

Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у- ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:

Екінші, үшінші және т. б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан күрделі функция есебінде туынды табамыз:

;

және т. б.

Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:

Шешімі мына түрде табылды делік:

Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ аламыз:

Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ. ауыстыруын орындаймыз. ; - бұл біртекті теңдеу. - ауыстыруын аламыз, . Теңдеуге қоямыз: .

у- і қысқартамыз: .

;

; ;

- біртекті теңдеудің шешімі

немесе ,

ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.

IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.

теңдеуін қарастырамыз және

болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз, сонда .

ДТ реті бірге төмендеді.

Мысалдар.

1. . Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп көрелік. , екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз: ;

- теңдеудің х- і жоқ.

; ; ; ;

; ; ;

;

бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы бар.

2. ;

; ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.

3. .

; ; ;

; - бұл ДТ жалпы интегралы.

Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Шешімдердің фундаментальді жүйесі. Вронский анықтауышы

Анықтама 1. 1. 7 (1. 1. 11)

Түріндегі теңдеу n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады. Мұндағы және - интервалында берілген үзіліссіз функциялар немесе тұрақты сандар.

Егер болса, онда (1. 1. 11) теңдеу біртекті , ал егер болса біртекті емес теңдеу деп аталады.

(1. 1. 11) теңдеудің оң жағын деп белгілеп, оны n-ші реті сызықтық дифференциалдық оператор деп атайды. Бұл оператордың негізгі екі қасиеті бар:

1) тұрақты көбейткішті оператор белгісінің алдына шығаруға болады:

2) екі функцияның қосындысының операторы осы функциялардың операторларының қосындысына тең:

Операторды пайдаланып, біртекті және біртекті емес теңдеулерді келесі түрде жазуға болады:

Енді 2-ші ретті біртекті сызықтық теңдеуді қарастырайық:

(1. 1. 12)

Біртекті сызықтық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері :

. Егер функциясы (1. 1. 12) теңдеудің шешімі болса, онда функциясы да осы теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеуі : Теорема шарты бойынша . Онда сызықтық оператордың қасиеті бойынша

. Егер және функциялары (1. 1. 12) теңдеудің шешімдері болса, онда функциясы да шешім болады.

Дәлелдеуі : Теорема шарты бойынша . Онда сызықтық оператордың қасиеті бойынша

Шешімдердің фундаментальді жүйесі. Вронский анықтауышы.

Анықтама 1. 1. 8 Егер және функцияларының қатынасы интервалында тұрақты санға тең болмаса, яғни , онда олар сызықтық тәуелсіз , ал егер болса, онда сызықтық тәуелді функциялар деп аталады.

Анықтама 1. 1. 9 интервалында біртекті сызықтық теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдер жиынтығы осы аралықтағы теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады.

Анықтама 1. 1. 10 (1. 12) теңдеудің және дербес шешімдерінен және олардың туындыларынан құралған

анықтауышы Вронский анықтауышы деп аталады.

Теорема 1. 1. 2 Егер және функциялары интервалында сызықтық тәуелді болса, онда Вронский анықтауышы 0-ге тең.

Дәлелдеуі : Теоерма шарты бойынша .

Онда

Теорема 1. 1. 3 Егер (1. 1. 12) теңдеудің және шешімдері интервалында сызықтық тәуелсіз болса, онда бұл шешімдерден құралған Вронский анықтауышы осы интервалда 0-ге тең емес.

Теорема 1. 1. 4 Егер (1. 1. 12) теңдеудің және - (1. 1. 12) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда

(1. 1. 13) Функциясы осы теңдеудің жалпы шешімі болады.

Лагранж әдісі.

(1. 1. 11) біртекті емес сызықтық тейдеу үшін жалпы шешім келесі формуламен анықталады:

Мұндағы - (1) теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі; - (1. 1. 11) теңдеудің дербес шешімі.

Сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін табуға барлық жағдайда қолданылатын жалпы методты француз математигіЛагранж тапқан Бұл метод тұрақтыларды вариациялау әдісі деп аталады.

1. 2 Сызықты оператор ұғымы

Анықтама 1. 2. 1 Егер әрбір элементіне белгілі бір элементі сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған дейміз.