Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар

Жоспар
Кіріспе

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
I бөлім. Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
1.1 Жай дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Сызықты оператор ұғымы және оператордың түрлері ... ... ... 16
1.3 Түйіндес операторлар және түйіндес жиындар ... ... ... ... ... ..26
1.4 Дифференциалдық операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31
II бөлім. Грин функциясын есеп шешуде пайдалану
2.1 Грин функциясының анықтамасы,
құрылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37
2.2 Екінші ретті сызықтық теңдеу үшін жалпыланған
Грин функциясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...51
2.3 Шекаралық есептерді Грин функциясы көмегімен
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..54
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...59
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..60

IX ғасырда өмір сүріп еңбек еткен белгілі ағылшын ғалымы Джордж Гриннның атымен аталатын арнаулы функция — Грин функциясының дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептер шешімдерін интегралдық түрде өрнектеуге, біртекті емес теңдеулердің біртекті шарттарға қанағаттандыратын шешімдерін табуға мүмкіндік береті, ғылымның әр түрлі салаларында кеңінен қолданылатын функция екендігі белгілі.
Бұл дипломдық жүмыста Грин функциясының көмегімен екінші ретті дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін құрудың теориялық негіздері және олардың локальды және локальды емес әртүрлі шекаралық шарттармен берілетін есептерді шешу үшін қолданылулары қарастырылады.
Дипломдық жүмыс екі бөлімнен тұрады:теориялық бөлім және негізгі бөлім.Теориялық бөлімінде Грин функциясына қатысты ұғымдар, яғни жәй дифференциалдар,жәй дифференциалдық теңдеулер, жоғарғы ретті дифференциалдар және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер,сызықты оператор,кері оператор,Гильберт кеңістігі,дифференциалдық оператор,жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері,екінші ретті жәй дифференциалдық операторлар, түйіндес операторлар және түйіндес жиындар, түйіндес теңдеулер интегралдары туралы лемма, әсер етуші функция т.б. қарастырылады.
Негізгі белімінде Грин функциясының анықтамасы беріледі және оның көмегімен екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық шарттары әр қилы болып келген нақты түрдегі шекаралық есептер зерттеліп, шешіледі.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 63 бет
Таңдаулыға:

Кіріспе

IX ғасырда өмір сүріп еңбек еткен белгілі ағылшын ғалымы Джордж
Гриннның атымен аталатын арнаулы функция — Грин функциясының
дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептер шешімдерін
интегралдық түрде өрнектеуге, біртекті емес теңдеулердің біртекті шарттарға
қанағаттандыратын шешімдерін табуға мүмкіндік береті, ғылымның әр түрлі
салаларында кеңінен қолданылатын функция екендігі белгілі.
Бұл дипломдық жүмыста Грин функциясының көмегімен екінші ретті
дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін құрудың теориялық негіздері және
олардың локальды және локальды емес әртүрлі шекаралық шарттармен берілетін
есептерді шешу үшін қолданылулары қарастырылады.
Дипломдық жүмыс екі бөлімнен тұрады:теориялық бөлім және негізгі
бөлім.Теориялық бөлімінде Грин функциясына қатысты ұғымдар, яғни жәй
дифференциалдар,жәй дифференциалдық теңдеулер, жоғарғы ретті
дифференциалдар және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер,сызықты
оператор,кері оператор,Гильберт кеңістігі,дифференциалдық оператор,жоғарғы
ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері,екінші ретті жәй
дифференциалдық операторлар, түйіндес операторлар және түйіндес жиындар,
түйіндес теңдеулер интегралдары туралы лемма, әсер етуші функция т.б.
қарастырылады.
Негізгі белімінде Грин функциясының анықтамасы беріледі және оның
көмегімен екінші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін шекаралық шарттары әр
қилы болып келген нақты түрдегі шекаралық есептер зерттеліп, шешіледі.

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... .4
I бөлім. Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
1.1 Жай дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..5
1.2 Сызықты оператор ұғымы және оператордың түрлері ... ... ... 16
1.3 Түйіндес операторлар және түйіндес
жиындар ... ... ... ... ... ..26
1.4 Дифференциалдық
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

II бөлім. Грин функциясын есеп шешуде пайдалану
2.1 Грин функциясының анықтамасы,

құрылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...37
2.2 Екінші ретті сызықтық теңдеу үшін жалпыланған
Грин
функциясы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... 51
2.3 Шекаралық есептерді Грин функциясы көмегімен

шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..54

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... .59
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ..60

I бөлім. Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
1.1 Жай дифференциалдық теңдеулер
Анықтама 1.1.1 Ізделінді функцияның туындысы енетін және ізделінді
функция мен тәуелсіз айнымалы енуі мүмкін болатын теңдеуді дифференциалдық
теңдеу деп атаймыз. Егер ізделінді функция бір айнымалыдан тәуелді болса,
онда мұндай теңдеулерді жай дифференциалдық теңдеулер деп атаймыз.
Дифференциалдық теңдеуге енген туындының ең үлкен реті осы теңдеудің
реті деп аталады.
Анықтама 1.1.2 (а,b) интервалында берілген дифференциалдық теңдеудің
ретіне дейінгі туындыларымен қоса анықталған, үзіліссіз болатын және осы
теңдеуді барлық хмәндерінде тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген
у=(х) функциясын осы теңдеудің (а,b) интервалындағы шешімі деп атаймыз.
Кейбір жағдайларда шешім айқындалмаған түрінде немесе
параметрлік түрінде алынады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигін интегралдық қисық деп
атайды.
Реті 1-ден жоғары теңдеулер жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер деп
аталады. Жалпы түрі:
(1.1.1)
Егер теңдеуді жоғары ретті туындысы бойынша шешу мүмкін болса, онда
оны төмендегідей түрде жазамыз:
(1.1.2)
1-ші ретті теңдеудегідей жоғары ретті теңдеулердің шешімдері тұрақты
сандарға тәуелді болады.
(1.1.1) теңдеуге Коши есебі:
болғанда бастапқы шарттарын қанағаттандыратын
шешімін табу керек. Мұндағы - берілген сандар.
Дербес жағдайда

(1.1.3)
2-ші ретті теңдеуі үшін Коши есебі төмендегідей қойылады:
болғанда бастапқы шарттарын қанағаттандыратын
шешімін табу керек.
Анықтама 1.1.3 Егер х тәуелсіз айнымалыға және кез-келген
тұрақты сандарына тәуелді функциясы төмендегі шарттарды
қанағаттандырса:
1) у функциясы кез-келген үшін (1.1.4) теңдеудің шешімі болса
2) бастапқы шартар қандай болғанда да сандарының бір ғана
мәндерін табу мүмкін болып, функциясы бастапқы шартты
қанағаттандырса, онда бұл функция (1.1.3) теңдеудің жалпы шешімі деп
аталады. функциясы дербес шешім деп аталады.
Дербес шешімнің графигі берілген дифференциалдық теңдеудің интегралдық
қисығы деп аталады.

(1.1.4)
(1.1.4) – жоғары теті дифференциалдық теңдеулердің ең қарапайым түрі. Бұл
теңдеудің жалпы интегралын табайық. болатындығын ескеріп, (1.1.4)
теңдіктің екі жағын да х бойынша интегралдап төмендегіні аламыз:

Мұндағы - х айнымалысының белгіленген кез-келген мәні, ал -
тұрақты сан. Осы процесті n-рет қайталасақ, онда жалпы интегралды табамыз:

Реті төменделетін теңдеулер.
2-ші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:

(1.1.4*)
Бұл теңдеуде айнымалыларды ауыстыру арқылы 1-ші ретті теңдеуге келтіреміз.
Екі жағдай болуы мүмкін:
1) у функциясы айқындалған түрде қатыспайтын теңдеу

(1.1.5)
ауыстыруын жасайық. Сонда болады. Табылған мәндерді (1.1.5)
теңдеуге қойып, р және х бойынша 1-ші ретті теңдеуге ие боламыз:

Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу болғандықтан айнымалыларын ажыратып,
интегралдап оның жалпы шешімін табамыз: . Содан кейін
қатынасынан (1.1.5) теңдеудің жалпы интегралын табамыз:

2) х функциясы айқындалған түрде қатыспайтын теңдеу

(1.1.6)
ауыстыруын жасайық. Сонда болады. Табылған мәндерді (1.6)
теңдеуге қойып, р және у бойынша 1-ші ретті теңдеуге ие боламыз:
Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу болғандықтан айнымалыларын ажыратып,
интегралдап оның жалпы шешімін табамыз: . Содан кейін
қатынасынан (1.1.6) теңдеудің жалпы интегралын табамыз:

Дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептер

Интегралдық есептеуде мынадай есептер шешіледі: кейбір функцияның туындысы
белгілі болады да,сол функцияның өзін табу керек болады.Функцияның
белгілі туындысы бойынша оның өзін табу есептері көптеген
геометриялық(доғаның ұзындығын, жазық дененің ауданын,кеңістіктегі
дененің көлемін,айналу денесінің көлемін табу т.б) және материалдық
нүктенің уақытқа тәуелді қозғалу жылдамдығы белгілі болғандағыоның жүріп
өту жолын табу т.б есептерді қарастырғанда кездеседі.
Алайда,біздің алдымызға жоғарыда саналып өткен есептерден гөрі
анағұрлым жалпы есеп қойылады: белгісіз функция,оның туындылары,тәуелсіз
айнымалының кейбір өрнегі берілгенде одан белгісіз функцияны табу есептері
жиі кездеседі.Бұл өрнекті дифференциалдық теңдеулер деп атайды.
Дифференциалдық теңдеулерден белгісіз функцияны табу есебі берілген
дифференциалдық теңдеуді шешу есебі деп аталады.
Сонымен, функцияның белгілі туындысы бойынша оның алғашқы функциясын
яғни, анықталмаған интегралды табу есебі дифференциалдық теңдеуді шешу
есебінің дербес жағдайы болады.
Дифференциалдық теңдеуді шешуге әкеліп соғатын кейбір есептерді
қарастырайық.
1.Бактерияның өсіп өнуі олардың сандарына пропорционал.Алғашқы
моментте u=0 болғанда жүз бактерия,ал үш сағаттың ішінде бактериялар
саны екі есе өскен .Бактерия санының уақытқа байланысты тәуелділігін табу
керек.
Шешуі: Берілген уақыт мезгілінде бактерия саны к болсын. Сонда есептің
шартына мынадай дифференциалдық теңдеу құруға болады.

(1)
Мұндағы К –пропорционалдық коэффициент,(1) дифференциалдық теңдеудің
шешімі.

Х=

C-табу үшін алғашқы шартты t=0 болғанда х=100 , Демек С=100

Х(t)=100

2.Биіктіктен жерге қарай массаны m дене лақтырылған.V=V(t) қозғалыс
процесіне денеге әсер ететін күш болса,онда Ньютонның екінші заңы
бойынша mg=F мұндағы дифференциалдық теңдеу.
Дененің жүрген жолы да t-ң формуласы болады: х=х(t)Ал жылдамдық
анықтамасы бойынша: V=dxdt, ал g=dvdt
Сонымен Ньютонның екінші заңы

M
түрінде жазылады.Бұл теңдеуде х=x(t) функциясының екінші ретті туынды
қатысып тұр.
3.Радийдің ыдырау жылдамдығы қолдағы бар ыдырамаған радийдің көлеміне
пропорционал болады.Пропорционалдық коэффициент к белгілі дейік.Егер
бастапқы кезеңдегі радийдің көлемін А-ға тең десек,онда уақыттың t уақыт
кезеңіндегі ыдырамаған радй көлемі қандай екенін табу керек дейік.
Уақыттың t- ға тең кезеңіндегі радий көлемін у арқылы белгілейік.Осы у(t)
функциясын табу керек.
Қандай да болмасын,бір шаманың уақытқа байланысты өзгеру жылдамдығы
сол шаманың өсімшесі уақыт өсімшесі ∆t0 ∆t-ға
қатынасының шегіне,яғни сол шаманың уақыт бойынша алынған туындысына тең
болатыны белгілі.Демек радийдің жылдамдығы ге тең.Сонымен,кез келген
уақыты үшін радийдің ыдырауы мына теңдеуді қанағаттандырады:
*
Мұндағы алу таңбасы уақыт өткен сайын радий көлемі азаятыны себепті
қойылып отыр,сондықтан мына түрде болады.

Сонымен, кез келген t уақыт көлемінде белгісіз функция мен оның бірінші
ретті туындысының арасындағы орындалатын байланысты шығарып алдық.Бұл
тәуелділік t уақытқа байланысты у(t) функциясының бірінші ретті
дифференциалдық теңдеуі.Кез келген С тұрақты у(t)=C· болады.
Сонымен, Дифференциалдық * теңдеуін бір ғана функция емес,сансыз көп
функция қанағаттандырады,себебі алынған шешім құрамындағы кез келген мән
қабылдай алатын С тұрақтысын табу керек. Бастапқы кездегі радий көлемі А-
ға тең болғандықтан С=А.Демек,іздеп отырған функциямыз:
y=A·.
Бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеулер.

(1)
Теңдеуін қарастырайық. Берілген теңдеудің оң жағы (а,b) интервалында
үзіліссіз болса, онда теңдеудің шешімі

болатындығы интегралдық есептеулерден белгілі. Бұл функция (1) теңдеудің
облысындағы жалпы шешімі болып табылады. Алынған жалпы шешім арқылы
алғашқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімді табуға болады.
Енді
(2)
теңдеуін қарастырайық. функциясы белгілі бір интервалында
үзіліссіз және нольден өзгеше болсын. Онда (2) теңдеуді

түрінде жаза аламыз. Бұдан
(3)
Бұл (2) теңдеудің жалпы шешімі.
Егер (2) теңдеудің оң жағы нүктесінде 0-ге айналса, онда
шешім болып табылады. (2) теңдеудің интегралды қисықтары (3) және
түзулері болады(мұндағы m - теңдеуінің түбірлері).

Айнымалыларды ажырату.
(4)
Айнымалылары ажыратылған теңдеуді қарастырайық(-тің коэффициенті тек х-
ке тәуелді, ал -тің коэффициенті тек у-ке тәуелді функциялар).
(4) теңдеуді

түрінде жазуға болады. Бұдан
(5)
Бұл (4) теңеудің жалпы интегралы. Алынған жалпы шешім арқылы алғашқы
шартын қанағаттандыратын дербес шешімді табуға болады.
Мысал: теңдеуін қарастырайық. Теңдеудің жалпы интегралы

Осыдан
- жалпы интеграл.

Егер дифференциалдық теңдеу
(6)
Түрінде берілсе, онда айнымалыларды ажыратуға болады(сондықтан мұндай
теңдеуді айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп атайды). Ол үшін теңдеудің
екі жағын көбейтіндісіне бөлеміз. Сонда (5) теңдеу (4) теңдеуге
келеді

Интегралдасақ

Егер теңдеулерінің шешімдері түрінде болса, онда олар (6)
теңдеуді қанағаттандырады. Сондықтан шешімдер болып табылады.
Бұл шешімдер ерекше шешімдер болуы да мүмкін.
Бұл шешімдерден түзулерінің қиылысу нүктесін алып тастау керек.
Өйткені, бұл нүктеде теңдеу анықталмаған.
Мысал: теңдеуін қарастырайық. Айнымалыларды ажырату арқылы келесі
теңдеуді аламыз

Теңдеуді интегралдасақ

немесе

Жалпы интегралын табамыз.
теңдеулерінің нақты шешімдері жоқ. Сондықтан айнымалыларды
ажырату процесінде шешім жоғалмайды. Барлық шешімдер жалпы интегралда
болады.
Анықтама. Егер үшін теңдігі орындалса, онда
функциясы n-өлшемді біртекті функция деп аталады.
Анықтама. Егер орындалса, онда функциясы 0-өлшемді
біртекті функция деп аталады.
0-өлшемді біртекті функцияны түрінде жазуға болады.
Біртекті дифференциалдық теңдеу.
Ангықтама. Егер 0-өлшемді біртекті функция болса, онда
(1)
біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады. Осы теңдеудің шешімін табайық.
Жоғарыда көрсетілгендей . Демек (1) теңдеуді төмендегідейжаза аламыз

түрінде жаңа айнымалыны енгізейік; мұндағы . Бұдан
немесе
Алынған нәтижені (1) теңдеуге қойсақ

теңдеуіне келеміз. Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.
немесе
Интегралдасақ
немесе
Бұл (1) біртекті теңдеудің жалпы интегралы.
Мысал: біртекті теңдеуі координаталар басынан(ерекше нүкте) басқа
барлық нүктелерде берілген. Коэффициенттер х, у-ке қатысты көпмүшеліктер
болғандықтан ерекше нүктелер жоқ. деп алайық. Онда

-қа қысқартып, бойынша топтастырып, төмендегіні аламыз

Айнымалыларды ажыратайық

Интегралдасақ

у ізделінді функциясына алмастыруы арқылы көшсек

жалпы интегралын аламыз.
теңдеулерін қарастырайық. Бірінші теңдеуден аламыз.
Бірақ, у-тің жарты осьтері берілген теңдеудің шешімі болмайды. Екінші
теңдеуден шешімін аламыз. Бұл х-тің жарты осьтері берілген теңдеудің
дербес шешімдері болады.
- бірінші ретті теңдеуін қарастырайық.
Анықтама. Егер нүктесінің белгілі бір маңайында теңдеудің оң
жағы немесе теңдеуінің оң жағы үшін Пикар теоремасының шарттары
орындалса, онда мұндай нүктені қарапайым нүкте деп атаймыз. Қарсы жағдайда
нүктесі ерекше нүкте деп аталады
Жоғарғы ретті дифференциалдар және жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.
Екі айнымалылы функцияның толық дифференциалын қарастырамыз:
.
Анықтама 1.1.4 Бірінші ретті дифференциалдың толық дифференциалы екінші
ретті дифференциал деп аталады:
.
Толық дифференциалдың формуласын пайдаланып және функция-лардың
көбейтіндісі деп дифференциалдаймыз:
,

сонымен,
(*)
Егер х, у тәуелсіз айнымалылар болса, онда (*) өрнегіндегі соңғы төрт мүше
нөлге айналады, өйткені dx пен dy –тен алынған туындылар мен
дифференциалдар нөлге тең.
Бірақ, егер z күрделі функция болса, яғни х, у-тер басқа тәуелсіз
айнымалыларға тәуелді, онда екінші ретті дифференциал үшін (*) формуласы
қолданылады.
Біз келешекте екі айнымалылы функцияны ғана қарастырамыз, мұндағы х, у-
тәуелсіз айнымалылар. Сондықтан, екінші ретті дифференциал мына түрде
беріледі:
.
Үшінші ретті дифференциалын табамыз:

;

.
Үшінші ретті дифференциалды мына түрде берейік:
.
Жақшаны ашқандағы дәреже туындының ретін көрсетеді, ал әртүрлі дәрежелердің
көбейтіндісі функцияның реті әртүрлі аралас туындыларды көрсетеді деп алу
керек. Екі тәуелсіз айнымалылы функцияның жоғарғы ретті дифференциалы
биномды еске түсіреді. Сонымен, алдыңғы айтқанымыздай:

(1.1.7)
Мысал үшін, n=4 болғанда Ньютон биномы бойынша ашып, төртінші ретті
дифференциалды аламыз:
.

Мысал. Екінші ретті дифференциалды табу керек.
z=exy , z(x=yexy,
z((xx=y2exy, z((xy=(xу+1)exy,

z(y=xexy, z((yy=x2exy, z((yx=(yх+1)exy,

.
Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер
Анықтама 1.1.5 (1.1.8)
түріндегі теңдеу n–ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер (1)-ден n–і туынды табылатын болса, онда
(1.1.9)
теңдеуі ең жоғарғы туындысы арқылы шешілген n–ретті дифферен-циалдық
теңдеу деп аталады.
Коши есебі:
(1.1.10)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (1.1.9) дифференциалдық теңдеудің
шешімін табалық.
Теорема 1.1.1 (Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы туралы).
функциясы

облысында мына екі шартты қанағаттандырсын делік:
1) функциясы өздерінің аргументтері бойынша үзіліссіз және шенелген:
;
2) функция үшін айнымалылары бойынша

Липшиц шарты орындалады (Липшиц шарты функциядан айнымалылары бойынша
алынған үзіліссіз дербес туындылары бар болғанда ғана орындалады), онда
анықталған, өзінің n–і туындыларымен қоса үзіліссіз және (1.1.9) бастапқы
шарттарды қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар болады.
Бұл теореманы жеңілдеу тұжырымдауға болады.
Егер (1.1.8) дифференциалдық теңдеудің оң бөлігі үзіліссіз, шенелген және
бойынша үзіліссіз дербес туындылары болса, онда Коши есебінің жалғыз
шешімі бар болады.
Анықтама 1.1.6

функциясы (1.1.8) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер
ол:
1) -дың кез келген мәндерінде (1.1.8) дифференциалдық теңдеуді
қанағаттандырады;
2) берілген (1.1.9) бастапқы шарттар бойынша функциясы (1.1.9)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын мынадай -і табуға болады.
Егер жалпы шешімінде -ң нақты мәндері алынатын болса, онда функция
дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп аталады.

түріндегі қатысы, мұндағы айқын берілмеген, (1.1.8) дифференциалдық
теңдеудің жалпы интегралы деп аталады (1.1.8) теңдеуді интегралдау үшін
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын жалпы шешімін немесе дербес шешімін
табу қажет.
Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың тәсілдері.
I-класс. Тәуелсіз айнымалы және жоғарғы туындысы бар теңдеулер.

түріндегі теңдеуді қарастырамыз.
Екі бөлігін де бойынша интегралдаймыз:

тағы да интегралдаймыз:
.
Осы тәсілмен n рет интегралдаймыз, сонда
.
I-кластағы n-ретті ДТ тізбектей n рет интегралдау тәсілімен шешіледі.
Мысал. теңдеуін шешелік.
;

;

.

II-класс. у функциясы және оның (k-1)-і ретіне дейінгі туындылары жоқ
теңдеулер.

түріндегі ДТ қарастырамыз.
Жаңа айнымалы енгіземіз:
,
(1.1.10*)
сонда
.
u(х) функциясы мен оның алынған туындыларын қарастырылатын теңдеуге
қоямыз:
.
Сонымен, - ретті теңдеу алынды, яғни ДТ-ң реті төмендетілді. Жаңа ДТ-ң
шешімі

функциясы болсын делік. Мұны (1.8) теңдеуге қоямыз:

- k ретті дифференциалдық теңдеу аламыз, ал бұл k рет дифферен-циалдау
арқылы шешіледі (1-класс).
Мысалдар.
1. үшінші ретті ДТ шешелік.
ауыстыруын алайық, . Бұларды теңдеуге қою арқылы бірінші
ретті ДТ-і аламыз. Айнымалыларын ажыратамыз:

;

.

Бұл теңдеу квадратурада шешіледі.
2. ;

; ; ; ;

;;;

бұл теңдеуді бөліктеп үш рет интегралдау арқылы шешу керек (1-класс)
III-класс. Тәуелсіз айнымалы х-і жоқ теңдеулер.

түріндегі теңдеуін қарастырамыз.
Тәуелсіз жаңа айнымалы үшін у-ті аламыз және ауыстыру орындаймыз:
.
Екінші, үшінші және т.б. туындыларын алу үшін осы жаңа функциядан күрделі
функция есебінде туынды табамыз:
;

және т.б.
Табылған туындыларды теңдеуге қойып, реті бірге кеміген ДТ аламыз:
.
Шешімі мына түрде табылды делік:

Енді ауыстыруға қайта оралып айнымалылары ажыратылған бірінші ретті ДТ
аламыз:
.
Мысал. ДТ шешелік. Мұнда тәуелсіз айнымалы х жоқ. ауыстыруын
орындаймыз.; - бұл біртекті теңдеу. - ауыстыруын
аламыз,. Теңдеуге қоямыз: .
у-і қысқартамыз: .

;

; ;

- біртекті теңдеудің шешімі
немесе ,
ал бұл айнымалысы ажыратылған ДТ.
IV класс. Сол бөлігі толық туынды болып келген теңдеулер.

теңдеуін қарастырамыз және

болсын делік. Жаңа дифференциалдық теңдеудің екі бөлігін де интегралдаймыз,
сонда .
ДТ реті бірге төмендеді.
Мысалдар.
1..Бұл III-кластың теңдеуі. IV-кластың тәсілімен шешіп көрелік. ,
екі бөлігін де -ке бөлеміз: енді интегралдаймыз: ;

- теңдеудің х-і жоқ.
; ; ; ;

; ; ;

;

- бұл үшінші ретті ДТ жалпы интегралы, сондықтан оның үш еркін тұрақтысы
бар.
2. ;

; ; - бұл ДТ реті бірге төмендеді.
3. .

; ; ;

; - бұл ДТ жалпы интегралы.
Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер. Шешімдердің
фундаментальді жүйесі. Вронский анықтауышы
Анықтама 1.1.7 (1.1.11)
Түріндегі теңдеу n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Мұндағы және - интервалында берілген үзіліссіз функциялар
немесе тұрақты сандар.
Егер болса, онда (1.1.11) теңдеу біртекті, ал егер болса
біртекті емес теңдеу деп аталады.
(1.1.11) теңдеудің оң жағын деп белгілеп, оны n-ші реті сызықтық
дифференциалдық оператор деп атайды. Бұл оператордың негізгі екі қасиеті
бар:
1) тұрақты көбейткішті оператор белгісінің алдына шығаруға болады:

2) екі функцияның қосындысының операторы осы функциялардың операторларының
қосындысына тең:

Операторды пайдаланып, біртекті және біртекті емес теңдеулерді келесі
түрде жазуға болады:

Енді 2-ші ретті біртекті сызықтық теңдеуді қарастырайық:
(1.1.12)
Біртекті сызықтық теңдеудің шешімдерінің қасиеттері:
. Егер функциясы (1.1.12) теңдеудің шешімі болса, онда
функциясы да осы теңдеудің шешімі болады.
Дәлелдеуі: Теорема шарты бойынша . Онда сызықтық оператордың
қасиеті бойынша

. Егер және функциялары (1.1.12) теңдеудің шешімдері
болса, онда функциясы да шешім болады.
Дәлелдеуі: Теорема шарты бойынша . Онда сызықтық оператордың
қасиеті бойынша

Шешімдердің фундаментальді жүйесі. Вронский анықтауышы.
Анықтама 1.1.8 Егер және функцияларының қатынасы
интервалында тұрақты санға тең болмаса, яғни , онда олар сызықтық
тәуелсіз, ал егер болса, онда сызықтық тәуелді функциялар деп
аталады.
Анықтама 1.1.9 интервалында біртекті сызықтық теңдеудің сызықтық
тәуелсіз шешімдер жиынтығы осы аралықтағы теңдеудің фундаментальді шешімдер
жүйесі деп аталады.
Анықтама 1.1.10 (1.12) теңдеудің және дербес шешімдерінен
және олардың туындыларынан құралған

анықтауышы Вронский анықтауышы деп аталады.
Теорема 1.1.2 Егер және функциялары интервалында
сызықтық тәуелді болса, онда Вронский анықтауышы 0-ге тең.
Дәлелдеуі: Теоерма шарты бойынша .
Онда

Теорема 1.1.3 Егер (1.1.12) теңдеудің және шешімдері
интервалында сызықтық тәуелсіз болса, онда бұл шешімдерден құралған
Вронский анықтауышы осы интервалда 0-ге тең емес.
Теорема 1.1.4 Егер (1.1.12) теңдеудің және - (1.1.12)
теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болса, онда

(1.1.13) Функциясы осы теңдеудің жалпы шешімі болады.

Лагранж әдісі.
(1.1.11) біртекті емес сызықтық тейдеу үшін жалпы шешім келесі формуламен
анықталады:

Мұндағы - (1) теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі;
- (1.1.11) теңдеудің дербес шешімі.
Сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін табуға барлық жағдайда
қолданылатын жалпы методты француз математигіЛагранж тапқан Бұл метод
тұрақтыларды вариациялау әдісі деп аталады.

1.2 Сызықты оператор ұғымы

Анықтама 1.2.1 Егер әрбір элементіне белгілі бір элементі
сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған дейміз.
Оператор ұғымы – математиканың жалпы ұғымдарының бірі. Мысалы, әрбір
векторына тиянақты сандар) өрнегі арқылы
векторын сәйкес қою арқылы векторын векторына түрлендіретін
операторы анықталады. Операторлар нормаланған кеңістіктерде, әсіресе,
функционалдық кеңістіктерде жиі қолданылады. Операторлардың жете зерттелген
класы сызықтық операторлар болып есептеледі. Егер сызықтық кеңістіктің
кез келген екі элементі мен кез келген және екі саны үшін
теңдігі орындалса, онда операторы сызықтық оператор деп
аталады.
Егер элементі нормасының элементі нормасына қатынасы, яғни
шектелген шама болса, онда шектелген оператор делінеді. Сызықтық
оператордың шектелгендігі – оның үздіксіз болуымен пара –пар шарт.
Егер операторы әр түрлі элементтерін тек әр түрлі
элементтеріне ғана көшіріп отыратын болса, онда әрбір элементіне
сәйкес бір ғана түп бейне элементі сәйкес қойылады. Бұл сәйкестік кері
оператор деп аталады және түрінде белгіленеді. және екі
оператордың қосындысы деп теңдігімен анықталатын операторды айтады.
Ал операторлардың көбейтіндісі алдымен операторын соңынан
операторын қолданудың нәтижесі ретінде анықталады, яғни . Бір
операторды рет қайталап қолдану арқылы операторының
дәрежесі анықталады. операторын санына көбейту
теңдігімен орындалады. Кез келген элементті өзін – өзіне ауыстыратын
операторы бірлік оператор деп, ал кез келген элементті нөлге ауыстыратын
оператор нөлдік оператор делінеді. Операторларды өзара қосу, көбейту және
санға көбейту амалдарын орындай отырып, сызықтық операторлардан
көпмүшеліктер,қатарлар құруға болады. Операторлар теориясының ішінде
Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлар толығырақ зерттелген. -
Гильберт кеңістігіндегі шектелген сызықтық оператор болсын. Егер
комплекс саны үшін , элементі табылып және ол үшін
теңдігі орындалса, онда саны операторының меншікті мәні
деп, ал - осыменшікті мәнге сәйкес операторының меншікті векторы
деп аталады. Егер барлық үшін скаляр көбейтіндісі болса, онда
операторы операторына түйіндес делінеді. Егер =
болса, өзіне түйіндес деп, ал =болса, онда унитар оператор
делінеді. Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлардың ең қарапайым
класы үздіксіз операторлар, ал шектелмеген сызықты операторлардың ең
маңызды класы – дифференциалдық операторлар.
Айталық сызықты операторлар анықталған сызықтық кеңістік
нормаланған болсын. Осы жағдайға көңіл аудару үшін нормаланған
кеңістіктерді әріпімен белгілейік және кеңістігінде анықталған,
мәндері кеңістігінде жатқан операторын түрінде жазайық.
Сызықты оператордың нормасы. сызықтық операторын қарастырайық.
Анықтама 1.2.2 Егер барлық үшін

(1.2.1)
теңсіздігі орындалатын саны бар болса, онда шектелген оператор
деп аталады.
(1.2.1) теңсіздігі орындалатындай сандарының инфимумы
операторының
нормасы деп аталады және түрінде белгіленеді. Оператордың нормасын

(1.2.2)
теңдігімен анықтауға болады.
Операторлар мен функционалдардың нормасын есептеудің мысалдарын
келтірейік.
1.Бірлік оператор.
Демек, , осыдан, демек анықтама бойынша
2.Функцияға көбейту операторы.
, Бұл кеңістіктегі норманың анықтамасы бойынша

теңсіздігін аламыз, ал одан

(1.2.3)
деген қорытынды шығады.
3.Интегралдық оператор.
,
Ядро және квадратында үздіксіз функция болсын.
кеңістігіндегі норманың анықтамасы бойынша

Бұл теңсіздіктен, оператордың нормасының анықтамасы бойынша,

(1.2.4)

теңсіздігі шығады. Ал жеке функция үшін сондықтан

Демек, (1.2.3) өрнегі түріндегі анықтама бойынша

(1.2.5)

теңсіздігінен

(1.2.6)

шығады.

Кері операторлар

Интегралдық, дифференциалдық және т.б теңдеулерді түрінде жазуға
болады, мұндағы операторы – сызықты. Егеркері операторы бар
болса, онда сәйкес есептің шешімі мына түрде беріледі: .

Анықтама 1.2.3 операторының ядросы деп төмендегі жиынды
айтамыз.

берілсін:

Теорема 1.2.1 операторының кері операторының бар болуы үшін
ядроның тек қана нөльдік элементтен тұруы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. (Жеткіліктілігі): Айталық ядро бос болсын. Кері
оператор жоқ болсын.

операторы сызықты оператор, олай болса амалы орындалады.

.

Олай болса, операторының кері операторы табылады.

кері оператор бар болсын деп қарастырайық. екенін көрсетуіміз
керек.Теореманы дәлелдеу үшін кері жоримыз. Кері оператор бар, бірақ ядро
бос емес. Кері оператор бар болғандықтан

үшін операторымен әсер етсек

.

Соңғы теңдік теореманың шартына қайшы келеді. Сонымен теорема
дәлелденді.

Теорема 1.2.2 операторының кері операторы бар болуы және
шектеулі болуы үшін төмендегі теңсіздіктің орындалуы қажетті және
жеткілікті.

Шектелген сызықты операторлар

сызықты және нормаланған кеңістік болсын. Осы - кеңістігінде
операторы берілсін.

Анықтама 1.2.4 Егер радиусы бірге тең шардың кез келген
элементінің шектелген нормасын шектелген жиынға көшірсе, онда
сызықты операторы шектелген оператор деп аталады.

операторы кеңістігінде берілсін.

Теорема 1.2.3 операторының шектелген болуы үшін төмендегі
теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. операторы шектелген оператор болсын. Онда
операторының анықталу облысына тиісті үшін

,

,

,

.

операторы сызықты оператор, олай болса

,

,

Теорема дәлелденді.

Теорема 1.2.4 Нормаланған кеңістікті нормаланған кеңістікке
түрлендіретін кез келген шектелген операторы үшін

Дәлелдеуі. операторының нормасы үшін екі қасиет орынды.

а)

б) және , немесе .

Егер онда , яғни .

Басқаша үшін элементі бар болады.

болсын,

онда болғандықтан,

Зерттей келе, яғни .

Ескерту.Қарастырылғанымыздан екенін көреміз, сондықтан

Оператордың үзіліссіздігі. Егер кеңістігінде элементтердің
тізбегі элементіне жинақталатын болса және олардың бейнелері
тізбегі кеңістігінде элементіне жинақталса, онда
операторын элементіне үздіксіз деп айтамыз.

Анықтама 1.2.5 Егерде қандай бір саны үшін осы - ға
тәуелді саны табылып, үшін теңсіздігі орындалса, онда
операторы нүктесінде үзіліссіз оператор деп аталады.

Ескерту. Үзіліссіздіктің анықтамасын бергенде қарастырылып отырған
жиын – ашық жиын болады. Өйткені ашық жиында нүкте көп, яғни аймақ көп.
Егер де жиында жиынды тұйық жиын ретінде қарастыратын болсақ, онда оператор
бір нүктеде тұйық бола алады.

Компакт операторлар. Ядролы операторлар

Анықтама 1.2.6 операторы компакты немесе үзілліссіз деп аталады, егер
әрбір шектелген -тан алынған элементтер тізбегі үшін
тізбегі жинақталатын тізбектен тұрса.

Теорема 1.2.5 (Рисс – Шаудер) Айталық операторы
кеңістігіндегі компакт оператор болсын; онда оператордың спектрі –
дискретті жиын, оның ден басқа шектік нүктелері болмайды. Ары қарай,
кез келген нөлдік емес меншікті мәні болып табылады.

Компакт оператордың маңызды фактісі Фредгольм альтернативі болып
табылады: Егер компакт болса, онда теңдеуінің шешімі бар
немесе бар болады.

Анықтама 1.2.7 Гильберт кеңістігінде шектелген операторы өзіне-
өзі түйіндес деп аталады, егер орындалса.

Айталық кез-келген сызықты өзіне–өзі түйіндес, үзіліссіз
оператор. Онда оның барлық меншікті мәндері бар және операторының
барлық түбірлік векторлары оның меншікті векторлары болып табылады. Сызықты
шектелген оператор теріс емес деп аталады және былай жазылады егер
барлық Барлық теріс емес операторлар өзіне өзі түйіндес болып
табылады.

Үзіліссіз оператор теріс емес болады, сонда тек сонда ғана егер оның
барлық меншікті мәндері теріс емес болса. Әрбір шектелген сызықты
операторы үшін аламыз. Айталық - сызықты үзіліссіз
оператор және болсын. операторының меншікті мәні деп
операторының мәнін айтамыз. (Шмидт бойынша - операторының
меншікті мәні)

Бізге барлық теріс емес операторлардың өзіне – өзі түйіндес болып
табылатыны белгілі нөльдік емес сандарын нөмірлейміз.

Компакт операторы ядролы деп аталады, егер болса.

операторы Гильберт кеңістігінде диссипативті деп аталады, егер
орындалса.

Лемма. Егер - диссипативті оператор және қайтарымды болса, онда
диссипативті оператор.

Теорема 1.2.6 ( (В.Б.Лидский). Егер диссипативті оператор ядролы
болса, онда векторлар жүйесі кеңістігінде толық болады.

Айталық – орта-симметриялы ішкі жиын, яғни

ұзындықтары Колмогоров бойынша жиынының көлденеңдері деп аталады.
Мұндағы өлшемді ішкікеңістік.

көлденеңі үшін келесі қасиеттер орындалады:

Бұл қасиеттер анықтамадан шығады.

Гильберт кеңістігі
Анықтама 1.2.8 Скаляр көбейтінді анықталған кеңістік Гильберт кеңістігі
деп аталады. метрикасы мағынасында толық ақырсыз өлшемді унитар
кеңістік Гильберт кеңістігі деп аталады да арқылы белгіленеді.
Гильберт кеңістігінің ең қарапайым мысалы Евклид кеңістігі болып
табылады.
Скаляр көбейтінді төмендегі аксиомаларды қанағаттандыруы тиіс:
1. нақты немесе комплекс сан;
2.
3.
4. және де тек сонда ғана, егер де болса;
5.

Гильберт кеңістік нормаланған болады, егер де

деп алсақ.
Осы берілген норма бойынша толық гильбертті кеңістік болады.
Мұнда атап кетейік: 3) және 4) аксиомаларынан
екендігі шығады.
тағы кез келген және элементтері үшін Коши-Буняковский
Шварц теңсіздігі

орын алады.
кеңістігінің толық, яғни гильбертті кеңістігі екенін
көрсетейік.Фундаментальді тізбегін -ден аламыз, мұндағы .

болса,
онда әрбір кез келген сандық тізбегі - кеңістігінде
фундаментальді, әрі жинақты болады.
Айталық болсын. сандық тізбегін қарастырайық және
екенін көрсетейік. фундаментальдығынан барлық үшін
нөмірі табылып, болғанда кез келген натурал саны үшін мына
теңсіздік орындалады:

Бірақ онда барлық нөмірі үшін:
Соңғы теңсіздікте шекке көшсек, болғанда барлық үшін:
Ендікөшемізжәнетабамыз.Алынған теңсіздік болғанда,
және екенін білдіреді. Онда бірақ та
Айталық Гильберт кеңістігінде жиыны және нүктесі
берілсін. нүктесінен жиынына дейінгі ара қашықтықты
формуласы бойынша анықтаймыз.
Лемма. Егер болса, онда болады. Егер
жәнетұйық болса, онда
Дәлелдеуі. Егер болса, онда болғанда аламыз, бұл жерде
Енді тұйық болсын, ал делік.Кез келген n үшін дәл
төменгі шектің анықтамасы бойынша, болатындай, саны
табылады.Бұдан болады. тұйықтығын зерттеу барысында
бірлік шарт бойынша Алынған қайшылық берілген дұрыс
еместігін аңғартады, демек Лемма дәлелденді.
Теорема 1.2.7 Айталық жиыны Гильберт кеңістігіндегі тұйық
дөңес жиын және болсын.Онда орындалатындай жалғыз элементі
бар болады.
Дәлелдеуі. Леммаға сүйенсек, Тағы анықтамасын
қолданамыз: кез келген n саны үшін орындалады.
тізбегінің фундаментальді екенін көрсетейік. Бұл үшін паралелограмм
теңдігін қолданамыз, және қабырғалары ретінде қабылдаймыз.
Параллелограмм диагоналдары және болып табылады. Параллелограмм
теңдігі мына түрге келеді:

(1)

Енді екенін ескеріп,
формуланы аламыз. Ары қарай
теңсіздіктен

Егер болса, бұдан фундаменталдығы шығады. толықтығынан
элементіне жинақталады немесе М тұйық. Шекке көшсек (1)
теңсіздіктен аламыз. Енді элементінің жалғыз екендігін
дәлелдейік. Айталық кейбір үшін аламыз.Паралелограмм теңдігі
бойынша

және

Теорема дәлелденді.
Анықтама 1.2.9 Айталық - кеңістігінде сызықты көпбейне.
кеңістігіне ортогональды кеңістігінде барлық элементтердің
жиынтығы ге ортогональды толықтауыш деп аталады және арқылы
анықталады.
Теорема 1.2.8 - кеңістігіндегі ішкі кеңістік.
Дәлелдеуі. -нің сызықтылығын дәлелдейік.Айталық ,
яғни кез келген үшін .Онда кез келген үшін

- тұйықтығын дәлелдейік. және Кез келген үшін
аламыз. Бұл теңдікте шекке көшсек, скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі
қасиеті бойынша кез келген , яғни үшін аламыз.
Гильберт кеңістігіндегі Фурье қатары.Айталық скаляр көбейтінді
анықталған шексізөлшемді Е кеңістігінде ортогональды жүйесі
берілген, яғни , қатары - ортогональды жүйелер қатары
деп аталады. болсын саны элементінің ортогональды
жүйесі бойынша алынған Фурье коэффициенттері деп аталады,ал қатары –
Фурье қатары деп аталады. көпмүшелігі – фурье қатарының жартылай
қосындысы – элементінің Фурье көпмүшелігі деп аталады.
1-мысал.

шартын ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.