Функция анықтамасы

Жоспар
Кіріспе

І. Кіріспе

ІІ. Негізгі бөлім
1. Функция анықтамасы.
2. Функция графигі.
3. Функциялардың берілу тәсілдері.
4. Шенелген және шенелменген функциялар.
5. Жұп, тақ, периодты функциялар.
6. Элементар функциялар.
7. Кері функция.
8. Күрделі функция.
9. Параметрлі түрде берілген функция.

ІІІ. Қорытынды

IV. Пайдаланылан әдебиеттер

Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша қолданылатын матеметикалық амалдардың жиынын аналитикалық өрнек деп түсінеміз.
Бір симметриялық облыста берілген екі жұп (не екі тақ) функциялардың қосындысы да, айырымы да сол облыста жұп (не тақ) функция болады. Бірнеше қосылғыштардан тұратын бір симметриялық облыста берілген жұп (не тақ) функциялардың қосындысы да сол симметриялық облыста жұп (не тақ) функция болады. Бір симметриялық облыста анықталған екі жұп не екі тақ функцияның көбейтіндісі де сол облыста жұп функция болады. Бір симметриялық облыста берілген жұп функция мен тақ функцияның көбейтіндісі сол облыста тақ функция болады.
Бір аргументті функциялардың ішінде элементарлық функциялар деп аталатындары әдейі бір топқа бөлінеді. Олардын, бұлай аталуының себебі: олар басқа элементарлық емес функциялардан тарихта бұрын шықкан, жан-жакты зерттелген, кұрылысы біркелкі қарапайым болып келеді, және жиі колданылады. «Эле-м е н т» — латын сөзі. Оны « с т и х и я », « б а с т а п қ ы з а т » деп аударуға болады. Сонда «э л е м е н т а р л ы қ» — б а с т а п қ ы, карапайым, н е г і з г і деген сөздердің мағынасын береді.
Элементарлык. емес функцияларды көбінесе арнаулы ф у н к ц и я л а р деп атап жүр. Бұл функциялар математика ғылымының дамуындағы соңғы дәуірлерде кұбылыстардың математикалық жактарын зерттеу мәселелері элементарлық функциялардың мүмкіншіліктері шеңберіне симаумен байланысты пайда болды.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 22 бет
Таңдаулыға:

Жоспары

І. Кіріспе

ІІ. Негізгі бөлім
1. Функция анықтамасы.
2. Функция графигі.
3. Функциялардың берілу тәсілдері.
4. Шенелген және шенелменген функциялар.
5. Жұп, тақ, периодты функциялар.
6. Элементар функциялар.
7. Кері функция.
8. Күрделі функция.
9. Параметрлі түрде берілген функция.

ІІІ. Қорытынды

IV. Пайдаланылан әдебиеттер

Кіріспе
Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша
қолданылатын матеметикалық амалдардың жиынын аналитикалық өрнек деп
түсінеміз.
Бір симметриялық облыста берілген екі жұп (не екі тақ) функциялардың
қосындысы да, айырымы да сол облыста жұп (не тақ) функция болады. Бірнеше
қосылғыштардан тұратын бір симметриялық облыста берілген жұп (не тақ)
функциялардың қосындысы да сол симметриялық облыста жұп (не тақ) функция
болады. Бір симметриялық облыста анықталған екі жұп не екі тақ функцияның
көбейтіндісі де сол облыста жұп функция болады. Бір симметриялық облыста
берілген жұп функция мен тақ функцияның көбейтіндісі сол облыста тақ
функция болады.
Бір аргументті функциялардың ішінде элементарлық функциялар деп
аталатындары әдейі бір топқа бөлінеді. Олардын, бұлай аталуының себебі:
олар басқа элементарлық емес функциялардан тарихта бұрын шықкан, жан-жакты
зерттелген, кұрылысы біркелкі қарапайым болып келеді, және жиі колданылады.
Эле-м е н т — латын сөзі. Оны с т и х и я , б а с т а
п қ ы з а т деп аударуға болады. Сонда э л е м е н т а р л ы қ —
б а с т а п қ ы, карапайым, н е г і з г і деген сөздердің мағынасын
береді.
Элементарлык. емес функцияларды көбінесе арнаулы ф у н к ц и я л а р деп
атап жүр. Бұл функциялар математика ғылымының дамуындағы соңғы дәуірлерде
кұбылыстардың математикалық жактарын зерттеу мәселелері элементарлық
функциялардың мүмкіншіліктері шеңберіне симаумен байланысты пайда болды.

1. Функция анықтамасы.

Анықтама. Егер қарастырылып отырған айнымалы шама -тің әрбір мәніне
белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалы шама -тің анықталған бір-ақ
мәні сәйкес келіп отырса, айнымалы шама айнымалы шама -тің
функциясы деп аталады. Мұндағы – тәуелсіз айнымалы немесе аргумент,
ал – тәуелді айнымалы немесе функция деп аталады.
Анықтама. Егер тәуелсіз айнымалы - тің әрбір мәніне белгілі заң
немесе ереже бойынша тәуелді айнымалы -тің бірнеше мәндері сәйкес
келетін болса, ондай айнымалы - көп мәнді функция деп аталады.
Функция берілген деп саналады, егер:
біріншіден, аргументтің қарастырылатын мәндерінің жиыны көрсетілген болса;
екіншіден, аргумент - тің берілген мәні бойынша функция -тің
сәйкес мәнін табуға мүмкіндік беретін сәйкестік заң көрсетілген болса.
Функцияның белгіленуі: , , .
Оқылуы: игрек икстен эфке тең, игрек икстен фиге тең.
Мұндағы - аргумент - тің берілген мәні бойынша -тің сәйкес
мәні қалай табылатынын көрсететін заңды немесе ережені бейнелейді.
Функция ұғымы бүкіл математика үшін өте маңызы зор ұғым, сондықтан да, ол
ұғым математикалық дамудың ең негізгі обектісі болып саналады.
Анықтама. Функция анықталған немесе ақырлы нақты мәндер қабылдайтын
тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінің жиыны сол функицяның анықталу облысы
немесе функцияның бар болу облысы деп аталады, ал функцияның барлық
мәндерінің жиыны функция мәндерінің жиыны деп аталады.
Мысалы: анықталу облысын табу керек.
Шешуі. Қарастырылып отырған f(х) функицясының мәндері аргумент х-тің
мәндері мына екі теңсіздікті бір кезде қанағаттандырғанда ғана нақты сандар
бола алады.
х² - 90 х²- 160
│х│3 │х│4
Функицяның анықталу облысы │х│4 теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық
мәндерінің жиыны болады, яғни (-∞;-4) (4;+∞)

2) ?

және
3) D-?
а) 1-х 0 х²-х-60 б) 1-х
0 х²-х-60
1-х0 (х+2)(х-3)0 1-х0
(х+2)(х-3)0
-х-1 х-2 х3.
х1 -2х3 (1;3)
х 1 (-∞:-2)
Жауабы: (-∞:-2) , (1;3)
4) g(x) = ln (1-2cosx) D (g)-? 1-2cosx0, cosx ,

те cosx = ; сонымен, х, R=0,
±1, 2,...
5) D(h)-?.
, , ,
2x≤1+x 2x≥-1-x , 2x+x-1, 3x≥-
1, x≥-

x≤1 Ж:

6) F(x) = -1, -1≤sinx≤1, ендеше -11 -
орындалмайды.

.

2. Функцияның графигі.
(а, в) аралығында анықталған у=f(x) функциясы берілген делік. Ол
дегеніміз (а, в) аралығындағы х-тің әрбір мәніне у-тің анықталған бір-ақ
мәні сәйкес келеді.
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар системасын алалық. N нүктесі
(а, в) аралығындағы абщиссасы х – ке тең нүкте болсын. Абсциссалар өсіне N
нүктесі арқылы өтетін перпендикуляр тұрғызайық. Сонда абсциссасы х-ке тең,
оған сәйкес координатасы f(x) -ке тең болатын М нүктесі тұрғызылған
перпендикулярдың бойынша орналасады және ондай нүкте жалғыз болады. Сонымен
ON=x , NM=y=f(x).
NM кесіндісінің М нүктесін х-тің берілген мәніне сәйкес келетін f(x)- тің
мәнінің геометриялық кескіні деп санаймыз. Осылайша берілген функцияның
геометриялық кескінін сала аламыз. Ол кескін аргументтің қабылдайтын барлық
мәндеріне сәйкес функцияның барлық мәндерін кескіндейтін нүктелердің
геометриялық орны болады.
Қозғалмалы М нүктесі жасаған бұл геометриялық орын f(x) функциясының
графигі деп аталады.
Сонымен, абсциссалары – аргументтік мәндері, координаталары –
функцияның мәндері болатын жазықтықтағы нүктелердің жиыны функцияның
графигі деп аталады.
Функцияның графиктері қисық сызықтар немесе түзулер болады.
Функцияның графигін салу үшін, ол функцияның аргументінің бірнеше
мәндерін алып, оған сәйкес функцияның мәндерін тауып таблица құру керек.

Х-тің мәндері ... ...
[pic
]
У-тің мәндері. ... ..

Мысалы: 1) f(x)= x+1
X 0 1
F(x) 1 2

0 1

2) у=

-1 1

3)

4)

3. Функцияның берілу тәсілдері.
1. Аналитикалық тәсілмен берілу.
Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша қолданылатын
матеметикалық амалдардың жиынын аналитикалық өрнек деп түсінеміз.
Функцияның негізгі берілу түрі формуламен, яғни аналитикалық түрде.
Мысалы:
1)
.
2) Функция сигнум x (signum – таңба) мына түрде беріледі:
sign x = 1 , егер x0
Sign x =-1 , егер x0
Sign x = 0 , егер x=0
Sign

ІІ. Функцияның таблицамен берілуі.
Функцияны оның мәндерінің таблицасы арқылы берілуі функцияның таблицалық
түрде берілуі деп аталады.
ІІІ. Функцияның графикпен берілуі.
IV. Функцияның сөзбен берілу тәсілі.
Бір сарынды немесе үзік бір сарынды функциялар.
Функцияны зерттеу дегеніміз: аргументтің өзгеруіне байланысты функцияның
өзгеру ағымын сипаттау. Функциялық өзгерістердің бірі функцияның өсуі және
кемуі.
Анықтама: (а , в) аралығындағы аргументтің кез келген мәндері
мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі де
орындалса , f(x) функциясы (а , в) аралығында бір сарынды өспелі функция
деп аталады.
Анықтама: Егер (а, в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні
мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге арақатысы
орындалса, f`(х) функицясы (а , в) аралығында кемімейтін функция деп
аталады.
Анықтама: Егер (а , в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні
мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі
орындалса, яғни f(х) функциясы бір сарынды кемімелі функция деп аталады.
Анықтама: Егер f(х) функциясы (а, в) аралығында беріліп,
теңсіздігі орындалуымен бірге арақатысы орындалса, f(х) функциясы (а,
в) аралығында өспейтін функция деп аталады.
Осы берілген төрт түрлі функцияны біріктіріп, берілген (а, в) аралығындағы
бір сарынды функция деп атайды.
Егер (а, в) аралығында анықталған, бірақ бүкіл аралық бойында бір сарынды
болмайтын f(х) функциясы (а, в) аралығының бөлік ) аралықтарында бір
сарынды болып келсе, ол функция үзік бір сарынды функция деп аталады.
Мысалдар. , Функцияның өспелі, кемімелі аралықтарын тап.
4. Шенелген және шенелмеген функциялар.
Анықтама. f(x) функциясының анықталу облысы Е жиынында болатын
аргументі х-тің барлық мәндері үшін теңсіздігін
қанағаттандыратын оң сан N табылса, f(x) өзінің анықталу облысында
шенелген функция деп аталады.
Функцияның шенелу облыстары сегмент, интервал, тағы сондайлар
болады.
Егер f(x) функциясы интервалында шенелген болса, ол
функцияны бүкіл түзудің бойында шенелген дейді.
Шенелген функцияның графигі х-тер осіне параллель у=N және у=-
N түзулерінің арасында жатады.

Ескерту. Шенелген функция үшін дәл теңсіздік орындалуы
шарт. Егер функция үшін арақатысы орындалса да, f(x) шенелген
функция болады, өйткені бұл жағдайда N = M+1 деп алуға болады.
Анықтама. Егер Е жиындағы х-тің барлық мәндері үшін
теңсіздігі орындалатындай ешбір N болмаса, f(x) функциясы Е жиынында
шенелмеген функция деп аталады.
Басқаша айтқанда: егер Е жиынындағы аргументтің мәндерінің бірі —
x үшін

теңсіздігі орындалса, f(х) функциясы Е облысында. шенелмеген функция деп
аталады.
Демек, шенелмеген функцияның графигі бүтіндей ішінде жататын ешбір
-NуN алқабы болмайды

Ескертетін бір нәрсе мынау: бір аралықта шенелмеген функция
екінші бір аралықта шенелген функция болуы мүмкін. Мысалы: функция у = x4 .
Бұл () интервалында шенелмеген, өйткені N — қандай үлкен сан болса
да, болғанда болады. Ал бұл функция кез келген ақырлы (а,
Ь) аралығында шенелген функция.
Анықтама. Егер аргумент мәндерінің жиынындағы х-тің барлық мәндері
үшін бір сан Р табылып, f(х)Р теңсіздігі орындалатын болса,
у= f(х) сол облыста жоғарыдан шенелген функция деп аталады.
Анықтама. Егер бір Q саны табылып, аргумент мәндерінің жиынындағы х-
тің барлық мәндері үшін f(х)Q теңсіздігі
орындалса, у= f(х) сол облыста төменнен шенелген функция деп аталады.
Теорема. у= f(х) функциясы аргумент мәндерінің жиыны Е-де шенелген
болуы үшін ол функция сол облыста жоғарыдан да, төменнен де шенелген болуы
қажетті және жеткілікті.
Қажеттігін дәлелдеу. f(х) функциясы Е облысында шенелген болсын. Сонда
f(х)-тің жоғарыдан да, төменнен де шенелген функция болатындығын
дәлелдеуіміз керек.
Шынында: f(х)—шенелген функция деп ұйғаруымыз бойынша
(1)
теңсіздігін қанағаттандыратын N 0 саны табылады. (1) теңсіздікті былай
да жазуға болады:
— Nf(x)N.
Бұдан f(x)-тің жоғарыдан N санымен, төменнен -N санымен
шенелгендігін көреміз.
Сонымен теореманың қажетті шарты дәлелденді.
Жеткіліктілігін дәлелдеу. f(x) жоғарыдан да, төменнен де
шенелген делік.
f(x)-тің Е жиынында шенелген функция болатынын дәлелдеуіміз керек.
Шынында: f(x) жоғарыдан да, теменнен де шенелген болғандықтан, Р
және Q сандары табылып,
Q f(x)Р
(2)
теңсіздігі орындалады.
N санын төмендегі теңсіздіктерді қанағаттандыратындай етіп алалық:
N Р және N , яғни:
— N Q және Р+N.
Сонда (2) теңсіздік былай жазылады:
— Nf(x)N немесе
Сонымен теорема толық дәлелденді.
Мысал: у = соsес2х. Бұл функция шенелмеген функция. Бірақ аргументтің
кез келген мәні үшін:
соsес2х ≥ 0 -•
Демек, бұл функция төменнен шенелген.
Мысалдар:
1) у = 5х функциясы берілсін. Оның шенелгенін не шенелмегенін зерттеу
керек.
Ш е ш у. Берілген функция интервалында анықталған. жарты
интервалында аргумент х-тің барлық мәндері үшін 05х≤1 теңсіздігі
орындалады да, [0, + ) жарты сегментіндегі аргументтің барлық мәндері
үшін 1≤5x + теңсіздігі орындалады. Демек, бұл функция бүкіл сан
түзуінде төменнен ноль санымен шенелген.
2) Дирихле функциясы берілсін:
D(x)=
Мұның шенелген-шенелмегендігін зерттеу керек.
Шешу. х-тің кез келген мәні үшін 0≤ D(x)≤1.
Демек, D(x)—бүкіл сан түзуінің бойында шенелген функция.
3) Функция Е(х) (немесе [х]) х-тің барлық мәндері үшін
теңсіздігін қанағаттандырады. Демек, Е(х) шенелмеген.
4) Сигнум х функциясы шенелген, өйткені:

5. Жұп және тақ функциялар
Анықтама. Егер М жиынының құрамына кез келген х санымен бірге оған
симметриялық - х саны да кірсе, ол М жиыны симметриялық жиын деп
аталады.
Симметриялық жиындарға мысалдар: барлық бүтін сандар жиыны, [—5, +5]
сегментіндегі барлық сандардың жиыны, (-b, +b) интервалындағы барлық
сандардың жиыны.
Анықтама. Егер f(х) симметриялық облыста берілсе және сол облыстағы
аргумент x-тің, кез келген мәні үшін
f(-x)=f(x) (1)
теңдігі орындалса, f(х) сол симметриялық облыста жұп функция деп
аталады.
Басқаша айтқанда: егер аргументтің мәні х-ті -х - ке ауыстырғанда
f(x)-тің мәні өзгермейтін болса, f(х)-ті жұп функция деп атайды.
М ы с а л ы: у = ; у = х2n (n — натурал сан), у = 2х4—
5х2 — 3;
у = 2 — sіn2 х; функциялары интервалында жұп
функциялар.
Енді f(х) = ln(1- х) + ln(1+х) функциясы өзінің анықталу облысында жұп
функция екенін көрсетелік.
Шынында, берілген f(х) функциясы (-1, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.