Теңсіздіктер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 17 бет
Таңдаулыға:

Теңсіздіктер

Сан теңсіздіктері және олардың қасиеттері

Нақты сандарды сан осінде нүктелер арқылы кескіндеуге болады, олар реттеліп, тығыз орналасады, сан осінде орналасқан екі санның қайсысы оң жағына орналасса, сол сан артық болып есептеледі.

Егер а саны b санынан кем болса, онда а b деп жазылады. а b және c>d ) мағыналас теңсіздіктер деп аталады.

Егер а d болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп атайды. а > b , не а < b қатаң теңсіздіктер, а

\[\underline{{\gg}}\]

b , не а

\[\leq\]

b қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. а

\[\leq\]

b жазуы да қолданылады, мұны тұжырымсыз ( қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол а=b әрі а < b екі пікірді

білдіреді.

Егер а<c<b болса, онда с

\[\bigoplus\]

\[(a;b);\]

Егер а

\[\leq\]

c<b болса, онда с

\[\bigoplus\]

\[\left[a;b\right];\]

Егер а<c

\[\leq\]

b болса, онда с

\[\bigoplus\]

\[(a;b],\]

Егер а

\[\leq\]

b болса, онда с

\[\bigoplus\]

\[[a;b]\]

түрінде жазады. а<c<b қос теңсіздік, мұндағы а<c және c<b теңсіздіктердің екеуі де дұрыс.

Сан теңсіздіктерінің төмендегідей қасиеті бар:

1. Егер а-b<0 , онда а 0 , онда а > b.

2. Егер а < b және с -кез келген сан , онда а+с < b+с.

3. Егер а 0 , онда ас < bс ; егер а bс.

4. Егер а мен b таңбалас болса, (аb>0) және а

\[\frac{\prod}{J}\]

5. Егер а < b және c < d , онда а+с < b+ d.

6. Егер а bd.

7. Егер 0< а < b және 0< c < d , онда

\[\frac{Q}{J}\]

\[\frac{Q}{\alpha}\]

8. Егер 0< а < b болса, онда

\[{\boldsymbol{a}}^{n}\]

\[{\boldsymbol{b}}^{n}\]

, мұндағы

\[n\ \in N\]

Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.

Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына ауыстыртырғанда шығатынәуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол теңсіздікте дұрыс болады.

Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:

1) Егер а мен b кез келген нақты сандар болса, онда . (1)

2) Егер а мен b бірдей таңбалы ( ab>0 ) болса, онда

\[{\frac{a}{b}}+{\frac{b}{a}}\,\geq2a b\]

. (2)

3) Егер а>0 болса, онда

\[a+{\frac{1}{a}}\,\geq2\]

. (3)

4) Егер а>0, b>0 болса, онда

\[\,\frac{a+b}{2}\,\geq\sqrt{a b}\]

. (4)

\[\left(1+x\right)^{n}>1+n x\]

(5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы

\[x>-1\]

\[n\geqslant1\]

натурал сан. (5)

6) Егер

\[a\gg1,n\wedge1\]

натурал сан болса, онда

\[n\sqrt{a}-\,1<\frac{\mathit{a}-1}{\mathit{n}}\]

. (6)

7) Кез келген натурал

\[{\mathcal{N}}\]

саны үшін

\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\]

. (7)

8) Кез келген

\[{\mathcal{N}}\]

натурал саны үшін

\[{\frac{1}{2^{2}}}+{\frac{1}{3^{2}}}+...{\frac{1}{n^{2}}}<{\frac{n-1}{n}}\]

. (8)

9) Егер а , b, c нақты сандар болса,

\[a^{2}+b^{2}+c^{2}>a b+a c+b c\]

. (9)

10) Егер а , b, c -үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда

\[a b c>(a+b-c)\theta(+c-b)\bar{\theta}+c-a)\]

. (10)

Бір айнымалысы бар теңсіздік

\[f(x)<\phi\left(x\right)\ (1)\]

түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар теңсіздік деп атайды. Мұндағы

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

-берілген айнымалының функциясы.

\[\left(1\right)\]

теңсіздіктің анықталу аймағы деп

\[{\mathcal{F}}(x)\]

пен

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

функцияларының анықталу аймақтарының ортақ аймағын айтады.

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\underline{{\gg}}\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\leq\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

сияқты теңсіздіктер жиі қолданылады.

Берілген теңсіздікті дұрыс санды теңсіздікке айналдыратын айнымалының мәнін теңсіздіктің шешімі деп атайды. Бір айнымалысы бар теңсіздікті шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу, не ешбір шешімнің жоқ екенін көрсету деген сөз. Шешімдер жиыны бірдей екі теңсіздікті мәндес теңсіздіктер деп атайды. Теңсіздіктерді шешудің идеясы мынадай:берілген теңсіздікті өзімен мәндес, бірақ, барынша жай теңсіздікпен ауыстырады. Кейде мұндай түрлендіруді бірнеше рет жасауға тура келеді. Мұндай ауыстырулар көбінесе келесі теоремалар негізінде жасалады:

1-теорема.

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

пен

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

\[{\mathcal{F}}(x)\]

теңсіздіктері мәндес.

2-теорема. Егер g (х) функциясының

\[{\mathcal{F}}(x)\]

< g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында мағынасы болса, онда

\[{\mathcal{F}}(x)\]

< g(х) және

\[{\mathcal{F}}(x)\]

+ g(х) <

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

+ g(х) теңсіздіктері мәндес.

3-теорема. Егер

\[{\mathcal{F}}(x)\]

< g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х -тің барлық мәні үшін

3-теорема. Егер

\[{\mathcal{F}}(x)\]

< g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х -тің барлық мәні үшін

g(х) >0 болса, онда

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

пен

\[{\mathcal{F}}(x)\]

g(х) <

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

g(х) теңсіздіктері мәндес .

4-теорема. Егер

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

теңсіздігінің анықталу аймағындағы барлық х - тер g(х) <0 болса, онда

\[{\mathcal{F}}(x)\]

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

пен

\[{\mathcal{F}}(x)\]

g(х) <

\[\phi({\boldsymbol{x}})\]

g(х) теңсіздіктері мәндес.

Бір айнымалысы бар сызықты теңсіздіктер

ах +b <сх+d (1)

түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар сызықты теңсіздік деп атайды. (1) теңсіздікті мәндес теоремаларға сүйеніп

АХ<В (2)

түрінде жазуға болады. Егер А>О болса, онда Х <

\[\frac{B}{A}\]

. Бұл жағдайда (2)

теңсіздік айнымалының

\[_{k}^{n}\mathbf{v}_{A}^{n}|\]

аралығындағы кез келген мәнін қабылдайды. Егер А>О болса, онда (2) теңдік Х >

\[\frac{B}{A}\]

түрінде шешіледі.

Демек, айнымалының

\[\scriptstyle R^{B}+V\Big\}\]

аралығынан алынатын кез келген мәні қанағаттандырады қанағаттандырады. Егер А=0, В >0 болса, онда (2) теңсіздік х -тің кез келген мәнін қанағаттандырады, яғни теңсіздіктің

-гі шектеусіз көп шешуі болады. Егер А=0,

\[B\leq0\]

болса, онда (2) теңсіздіктің шешуі болмайды. (1) сияқты теңсіздікті шешу үшін оны (2) түріне келтіреді. (2) теңсіздіктің екі жағын айнымалының коэффициентіне бөледі. Егер А=0 болса, онда0 х >В немесе 0 х < В теңсіздіктер дұрыс па соны тексеру керек. Біріншісінде В<0 болса, екіншісінде В теңсіздікті >0 болса ғана шешуі бар.

1-мысал .

\[x-{\frac{x-2}{3}}>{\frac{x-3}{6}}-{\frac{x-4}{12}}\]

теңсіздікті шешу керек.

Шешуі :Алдымен теңсіздікті бүтін коэффициентті теңсіздіккі келтіреміз:

12х-4х+8 >2х-6-х+4 не 8х-х>-2-8, 7х>-10, х>-

\[\frac{10}{7}\]

Теңсіздіктің шешімі

\[\frac{\alpha}{\epsilon}\ \frac{10}{7};+\Upsilon\dot{\P}\]

-аралығы.

2-мысал.

\[{\frac{3x-4}{3}}+5x-6<2x+4-{\frac{5x+6}{3}}\]

теңсіздікті шешу керек.

Шешуі : Теңсіздіктің екі бөлігін 3-ке көбейтеміз, сонда

3х-4+15х-18 < 6х+12-5х-6, бұдан 18х-х12-6+4+18 , 17х<28, х

\[\frac{28}{17}\]

Теңсіздіктің шешімі аралығы.

3-мысал.

\[{\frac{x}{3}}-\ 3_{\zeta}^{\bf Q}5x-{\frac{2-\ 3(x-5)_{\bar{\zeta}}}{4}}>x+3{\frac{19}{24}}\]

теңсіздігін шешу керек.

Шешуі : Алдымен жақшаны ашайық:

\[\begin{array}{l}{{\frac{x}{3}15x+\frac{6-9(x-5)}{4}>x+\frac{91}{24},8x-360x+36-54(x-5)>24x+91,}}\\ {{\cdot352x+36-54x+270>24x+31,-430x>91,\;270-36,}}\\ {{-\;430x>-215,x<\frac{1}{2}.}}\end{array}\]

Теңсіздіктің шешімі

\[(\qquad(\qquad\alpha\backslash0.S\widehat{)}\]

аралығы.

Сызықты теңсіздіктер жүйесі

\[\begin{array}{c l c r}{{\mathbf{i}\ a x+b>0,}}\\ {{\mathbf{f}x+d>0;}}\end{array}\]

\[\begin{array}{c}{{\mathrm{i}\,a x+b>0,}}\\ {{\mathrm{i}\,c x+d<0;}}\end{array}\]

\[\begin{array}{c l c r}{{\mathrm{~}\mathbf{\sigma}_{1}x+b_{1}>0,}}\\ {{\mathrm{~}\mathbf{\nabla}_{2}^{\mathrm{\bar{t}}}a_{2}x+b_{2}<0,}}\\ {{\mathrm{~}\mathbf{\bar{t}}_{3}x+b_{3}>0}}\end{array}\]

с ияқты сызықты (6) жүйесін қарастырайық. Ал, мына сызықтық жүйелер жай сызықты жүйелер деп аталады:

\[\begin{array}{c}{{\mathbf{i}\times\sum a,}}\\ {{\mathbf{i}^{\dagger}

\[\begin{array}{c}{{\mathbf{i}\,a>a,}}\\ {{\mathbf{i}^{\dagger}>b;}}\end{array}\]

\[\begin{array}{c}{{\mathbf{i}\ x (3)

Сызықты (4) жүйесі

\[(a x+b)(x x+b)>0,(a x+b)(x x+b)<0\]

(4)

\[\frac{a x+b}{c x+d}>0,\frac{a x+b}{c x+d}<0\]

(5)

түріндегі теңсіздіктерді шешуге келтіреді. Мұндағы a, b, c, d-нақты сандар.

(4) - (5) теңсіздіктердің біріншілері және екіншілері өзара мәндес. (4) теңсіздігі

(6)

жүйелерінің жиынтығын қанағаттандыратын айнымалы х- тің мәндеріне ғана дұрыс болады, яғни (6) теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын екі оң көбейткішің көбейтіндісі не екі теріс көбейткіштің көбейтіндісі оң болғанда ғана қанағаттандырады. (4) теңсіздіктері

(7)

теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын қанағаттандыратын х- тің мәндеріне ғана дұрыс болады, өйткені таңбалары әр түрлі көбейткіштердің көбейтіндісі ғана теріс болады.

Бөлшек оң таңбалы болуы үшін оның алымы мен бөлімі бірдей таңбалы болуы тиіс, сондықтан (5) теңсіздігі ең болмағанда (6) теңсіздіктердің бірін қанағаттандыратын х- тің мәндерінде ғана дұрыс болады.

Бөлшектің алымы мен бөлімі әр түрлі таңбалы болғандағана тек сонда ғана бөлшектің мәні теріс болады. Демек, (5) теңсіздіктерінің бәрі ең болмағанда (7) теңсіздіктер жүйесінің бірін қанағаттандыратын айнымалының мәндерінде ғана дұрыс болады. Теңсіздіктерді жалпы алғанда интервалдар әдісімен шешеді.

4-мысал.

\[\begin{array}{c}{{\frac{1}{2}\frac{3x-15<0,}{4x+16>0,}}}\\ {{\frac{1}{2}4x+16>0,}}\\ {{\frac{1}{2}x>22}}\end{array}\]

теңсіздіктер жүйесін шешу керек.

Шешуі :Берілген жүйе

\[\begin{array}{c}{{\downarrow x<5,}}\\ {{\frac{1}{2}x>-4,}}\\ {{\downarrow}}\\ {{\downarrow_{>}\sim4,4}}\end{array}\]

алғашқы екі теңсіздіктен -4<x<5 және х>4, 4 болғандықтан жалпы алғанда 4, 4<х<5.

5-мысал. -8<3-4х<10қос теңсіздігіншешу керек.

Шешуі : Теңсіздіктің әр бөлігіне (-3) -ті қосамыз, сонда -11<-4х<7, соңғы теңсіздіктің әр бөлігін(-4)

-ке бөлсек, -

\[{\frac{7}{4}}

6-мысал. 5х-

\[{\frac{64}{5x}}>0\]

теңсіздігін шешу керек.

Шешуі :Берілген теңсіздікті ортақ бөлімге келтірсек,

\[\frac{25x^{2}-64}{x}>0\]

не х (25х

\[^{r}{\Big)}_{i}\]

-64) >0, 25х

\[\begin{array}{l l}{{\stackrel{\alpha}{\nabla}}x^{2}-{\frac{64}{25}}{\stackrel{\vec{0}}{\phi}}>0\textsf{P}\quad x_{\underline{{{Q}}}X}^{\underline{{{\alpha}}}}-{\frac{8}{5{\frac{\alpha}{\phi\bar{\kappa}}}}}x+{\frac{8}{5}}{\frac{\bar{0}}{\bar{\phi}}}\geq0}\end{array}\]

\[-{\frac{8}{5}},0,{\frac{8}{5}}\]

сандары

аралығын

аралықтарына бөледі.

көбейтіндісі -

\[{\frac{8}{5}} және х

\[\geqslant{\frac{8}{5}}\]

болғанда он болады.

Сонымен, теңсіздіктің шешімі

\[\underline{{\mathbf{e}}}\qquad\underline{{\mathbf{g}}}^{*}\frac{\mathbf{g}}{5};0\underline{{\hat{\phi}}}\]

және

\[\frac{\operatorname{d}^{N}}{\operatorname{c}};+V\setminus\emptyset\]

аралықтары.

Бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер

ах

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 не ах

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+ bx+c<0 (8)

теүріндегі теңсіздіктерді бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер деп аталады.

(8) теңсіздіктерді шешу үшін у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c квадраттық функцияның қасиеттері қолданылады.

Бұл үш мүшеліктің графигі а коэффициентіне және D=b

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

-4ас дискриминантқа байланысты.

ах

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c=0 теңдеуінің түбірлерін

, х

деп белгілейік. х

\[\left|\sum\right|\]

\[\stackrel{r}{\mathop{}}\]

, болсын.

a>0 жағдайды қарастырайық. у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c функциясының графигінің тармағы жоғары қарайды.

Егер D>0 болса, онда

\[x және

\[x>\,x_{2}\]

болғанда

у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 (9)

болады. Ал,

\[\mathcal{X}_{1}\ Y\ \mathcal{X}\ \mathcal{X}\ \mathcal{X}_{2}\]

да у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c<0 (10) болады.

Егер D=0 болса, онда

\[x\ \neq x_{1}\]

барлық мәнінде у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 (11) болады. Бұл жағдайда

у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c<0 теңсіздігінің шешімі жоқ.

Егер D<0 болса, онда

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

-тің кез келген мәнінде у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 (12) болады. Бұл жағдайда

у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c<0 теңсіздігінің шешімі жоқ.

a<0 жағдайды қарастырайық. у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c функциясының графигінің тармағы төмен қарайды.

Егер D>0 болса, онда

\[x және

\[x>\,x_{2}\]

болғанда

у=ax

\[^{r}{\Big)}_{l}\]

+bx+c<0 (13)

болады,

\[\mathcal{X}_{1}\ Y\ \mathcal{X}\ \mathcal{X}\ \mathcal{X}_{2}\]

да у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 (14) .

Егер D=0 болса, онда

\[x\ \neq x_{1}\]

барлық мәні үшін у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c<0 (15),

у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 теңсіздігінің шешімі жоқ.

Егер D<0 болса, онда барлық

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

-тер үшін у=ax

\[^{r}{\Big)}_{l}\]

+bx+c<0 (16) болады.

Бұл жағдайда у=ax

\[^{r}{\mathfrak{P}}\]

+bx+c>0 теңсіздігінің шешімі жоқ.

7-мысал.

\[{x^{2}\,}_{-}\,\,\mathrm{O}x+1\,\mathrm{G}<0\]

теңсіздігін шешу керек.

Шешуі :Бұл есепте

\[\begin{array}{r l}{a>\mathbf{D},}&{{}=\mathbf{9}^{2}-\gamma2>0.}\end{array}\]

\[x^{2}\,_{-}\,9x+1\,8=0\]

теңдеуінің түбірлері

\[x_{1}=3;x_{2}=6.\]

(10) теңсіздік бойынша

\[3 болғанда

\[{x^{2}\,}_{-}\,\,\mathrm{O}x+1\,\mathrm{G}<0\]

болады. Сонымен, теңсіздіктің шешімі

\[(3;6)\]

болады.

8-мысал.

\[\gg_{\mathcal{X}}^{\mathcal{Z}}-\ \vdash\mathcal{Z}\supset\emptyset\]

теңсіздігін шешу керек.

Шешуі :

\[\ P_{10}^{2}\Gamma_{c1}(\bar{\Gamma}_{32})\stackrel{\leftarrow}{\Psi}_{32}(z)_{.}(z)\;\]

теңдеуінің еселі түбірі бар.

\[x_{1}=x_{2}={\frac{1}{5}}\]

. Бұл есеп жағдайында формуланың негізінде

\[x\ \leftarrow{\frac{1}{5}}\]

-ден басқа барлық

\[\textstyle{\mathcal{X}}\]

-тердің мәні үшін

\[\gg_{\mathcal{X}}^{\mathcal{Z}}-\ \vdash\mathcal{Z}\supset\emptyset\]

теңсіздігі дұрыс болады.

9-мысал.

\[\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O\]

теңсіздігін шешу керек.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.