Теңсіздіктер
1 Сан теңсіздіктері және олардың қасиеттері
2 Бір айнымалысы бар теңсіздік
3 Бір айнымалысы бар сызықты теңсіздіктер
4 Сызықты теңсіздіктер жүйесі
5 Бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер
6 Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктер
7 Бөлшек .рационал теңсіздіктер
8 Иррационал теңсіздіктер
9 Көрсеткіштік теңсіздіктер
10 Логарифмдік теңсіздік
2 Бір айнымалысы бар теңсіздік
3 Бір айнымалысы бар сызықты теңсіздіктер
4 Сызықты теңсіздіктер жүйесі
5 Бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер
6 Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктер
7 Бөлшек .рационал теңсіздіктер
8 Иррационал теңсіздіктер
9 Көрсеткіштік теңсіздіктер
10 Логарифмдік теңсіздік
Нақты сандарды сан осінде нүктелер арқылы кескіндеуге болады, олар реттеліп , тығыз орналасады, сан осінде орналасқан екі санның қайсысы оң жағына орналасса, сол сан артық болып есептеледі.
Егер а саны b санынан кем болса, онда а < b, ал артық болса а > b деп жазылады. а < b және c < d ( не а > b және c>d) мағыналас теңсіздіктер деп аталады.
Егер а < b және c>d болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп атайды. а > b, не а < b қатаң теңсіздіктер , а b, не а b қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. а b жазуы да қолданылады, мұны тұжырымсыз ( қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол а=b әрі а < b екі пікірді
білдіреді.
Егер а
1.Егер а-b<0 , онда а < b; а-b>0, онда а > b.
2.Егер а < b және с-кез келген сан,онда а+с< b+с.
3.Егер а < b және с>0 , онда ас< bс; егер а < b және с<0, онда ас> bс.
4.Егер а мен b таңбалас болса, (аb>0) және а < b, онда > .
5.Егер а < b және c < d, онда а+с< b+ d.
6.Егер а < b және c < d, мұндағы а,b, c, d- оң сандар болса, онда ас> bd.
7.Егер 0< а < b және 0< c < d, онда < .
8. Егер 0< а < b болса, онда < , мұндағы .
Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.
Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына ауыстыртырғанда шығатынәуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол теңсіздікте дұрыс болады.
Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:
1) Егер а мен b кез келген нақты сандар болса, онда . (1)
2) Егер а мен b бірдей таңбалы (ab>0) болса, онда . (2)
3) Егер а>0 болса, онда . (3)
4) Егер а>0, b>0 болса, онда . (4)
5) (5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы ,
натурал сан. (5)
6) Егер натурал сан болса, онда . (6)
7) Кез келген натурал саны үшін
. (7)
8) Кез келген натурал саны үшін
. (8)
9) Егер а,b, c нақты сандар болса,
. (9)
10) Егер а,b, c-үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда
. (10)
Егер а саны b санынан кем болса, онда а < b, ал артық болса а > b деп жазылады. а < b және c < d ( не а > b және c>d) мағыналас теңсіздіктер деп аталады.
Егер а < b және c>d болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер деп атайды. а > b, не а < b қатаң теңсіздіктер , а b, не а b қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. а b жазуы да қолданылады, мұны тұжырымсыз ( қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол а=b әрі а < b екі пікірді
білдіреді.
Егер а
1.Егер а-b<0 , онда а < b; а-b>0, онда а > b.
2.Егер а < b және с-кез келген сан,онда а+с< b+с.
3.Егер а < b және с>0 , онда ас< bс; егер а < b және с<0, онда ас> bс.
4.Егер а мен b таңбалас болса, (аb>0) және а < b, онда > .
5.Егер а < b және c < d, онда а+с< b+ d.
6.Егер а < b және c < d, мұндағы а,b, c, d- оң сандар болса, онда ас> bd.
7.Егер 0< а < b және 0< c < d, онда < .
8. Егер 0< а < b болса, онда < , мұндағы .
Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.
Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына ауыстыртырғанда шығатынәуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол теңсіздікте дұрыс болады.
Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:
1) Егер а мен b кез келген нақты сандар болса, онда . (1)
2) Егер а мен b бірдей таңбалы (ab>0) болса, онда . (2)
3) Егер а>0 болса, онда . (3)
4) Егер а>0, b>0 болса, онда . (4)
5) (5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы ,
натурал сан. (5)
6) Егер натурал сан болса, онда . (6)
7) Кез келген натурал саны үшін
. (7)
8) Кез келген натурал саны үшін
. (8)
9) Егер а,b, c нақты сандар болса,
. (9)
10) Егер а,b, c-үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда
. (10)
Теңсіздіктер
Сан теңсіздіктері және олардың қасиеттері
Нақты сандарды сан осінде нүктелер арқылы кескіндеуге болады, олар
реттеліп , тығыз орналасады, сан осінде орналасқан екі санның қайсысы оң
жағына орналасса, сол сан артық болып есептеледі.
Егер а саны b санынан кем болса, онда а b, ал артық болса а b
деп жазылады. а b және c d ( не а b және cd) мағыналас
теңсіздіктер деп аталады.
Егер а b және cd болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер
деп атайды. а b, не а b қатаң теңсіздіктер , а b, не а b
қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. а b жазуы да қолданылады, мұны
тұжырымсыз ( қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол а=b әрі а b екі пікірді
білдіреді.
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с түрінде жазады.
аcb қос теңсіздік, мұндағы аc және cb теңсіздіктердің екеуі де дұрыс.
Сан теңсіздіктерінің төмендегідей қасиеті бар:
1.Егер а-b0 , онда а b; а-b0, онда а b.
2.Егер а b және с-кез келген сан,онда а+с b+с.
3.Егер а b және с0 , онда ас bс; егер а b және с0, онда ас bс.
4.Егер а мен b таңбалас болса, (аb0) және а b, онда .
5.Егер а b және c d, онда а+с b+ d.
6.Егер а b және c d, мұндағы а,b, c, d- оң сандар болса, онда ас bd.
7.Егер 0 а b және 0 c d, онда .
8. Егер 0 а b болса, онда , мұндағы .
Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.
Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына
ауыстыртырғанда шығатынәуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол
теңсіздікте дұрыс болады.
Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:
1) Егер а мен b кез келген нақты сандар болса, онда . (1)
2) Егер а мен b бірдей таңбалы (ab0) болса, онда . (2)
3) Егер а0 болса, онда .
(3)
4) Егер а0, b0 болса, онда .
(4)
5) (5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы ,
натурал сан.
(5)
6) Егер натурал сан болса, онда . (6)
7) Кез келген натурал саны үшін
. (7)
8) Кез келген натурал саны үшін
.
(8)
9) Егер а,b, c нақты сандар болса,
.
(9)
10) Егер а,b, c-үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда
. (10)
Бір айнымалысы бар
теңсіздік
түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар теңсіздік деп
атайды.Мұндағы
,-берілген айнымалының функциясы.
теңсіздіктің анықталу аймағы деп пен функцияларының
анықталу аймақтарының ортақ аймағын айтады.
, , сияқты теңсіздіктер жиі
қолданылады.
Берілген теңсіздікті дұрыс санды теңсіздікке айналдыратын айнымалының
мәнін теңсіздіктің шешімі деп атайды. Бір айнымалысы бар теңсіздікті шешу
дегеніміз оның барлық шешімдерін табу,не ешбір шешімнің жоқ екенін көрсету
деген сөз.Шешімдер жиыны бірдей екі теңсіздікті мәндес теңсіздіктер деп
атайды. Теңсіздіктерді шешудің идеясы мынадай:берілген теңсіздікті өзімен
мәндес,бірақ , барынша жай теңсіздікпен ауыстырады.Кейде мұндай
түрлендіруді бірнеше рет жасауға тура келеді.Мұндай ауыстырулар көбінесе
келесі теоремалар негізінде жасалады:
1-теорема. пен теңсіздіктері мәндес.
2-теорема. Егер g (х)функциясының g(х) теңсіздігінің анықталу
аймағында мағынасы болса, онда g(х) және+ g(х) + g(х)
теңсіздіктері мәндес.
3-теорема. Егер g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х-тің барлық
мәні үшін
3-теорема. Егер g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х-тің барлық
мәні үшін
g(х) 0 болса, онда пен g(х) g(х) теңсіздіктері
мәндес .
4-теорема. Егер теңсіздігінің анықталу аймағындағы барлық х-
тер g(х) 0 болса, онда пен g(х) g(х) теңсіздіктері
мәндес.
Бір айнымалысы бар сызықты теңсіздіктер
ах +b сх+d
(1)
түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар сызықты теңсіздік деп атайды. (1)
теңсіздікті мәндес теоремаларға сүйеніп
АХВ
(2)
түрінде жазуға болады.Егер АО болса, онда Х .Бұл жағдайда (2)
теңсіздік айнымалының аралығындағы кез келген мәнін қабылдайды.
Егер АО болса, онда (2) теңдік Х түрінде шешіледі.
Демек,айнымалының аралығынан алынатын кез келген мәні қанағаттандырады
қанағаттандырады. Егер А=0,В 0 болса, онда (2) теңсіздік х-тің кез келген
мәнін қанағаттандырады,яғни теңсіздіктің -гі шектеусіз көп шешуі
болады. Егер А=0, болса, онда (2) теңсіздіктің шешуі болмайды. (1)
сияқты теңсіздікті шешу үшін оны (2) түріне келтіреді. (2) теңсіздіктің екі
жағын айнымалының коэффициентіне бөледі. Егер А=0 болса, онда0 х В немесе
0 х В теңсіздіктер дұрыс па соны тексеру керек.Біріншісінде В0
болса,екіншісінде В теңсіздікті 0 болса ғана шешуі бар.
1-мысал . теңсіздікті шешу керек.
Шешуі:Алдымен теңсіздікті бүтін коэффициентті теңсіздіккі келтіреміз:
12х-4х+8 2х-6-х+4 не 8х-х-2-8,7х-10,х-.
Теңсіздіктің шешімі -аралығы.
2-мысал.теңсіздікті шешу керек.
Шешуі: Теңсіздіктің екі бөлігін 3-ке көбейтеміз,сонда
3х-4+15х-186х+12-5х-6,бұдан 18х-х12-6+4+18,17х28,х.
Теңсіздіктің шешіміаралығы.
3-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: Алдымен жақшаны ашайық:
:
Теңсіздіктің шешімі аралығы.
Сызықты
теңсіздіктер жүйесі
сияқты сызықты (6) жүйесін қарастырайық.Ал,мына сызықтық жүйелер жай
сызықты жүйелер деп аталады:
(3)
Сызықты (4) жүйесі
(4)
(5)
түріндегі теңсіздіктерді шешуге келтіреді.Мұндағы a,b,c,d-нақты сандар.
(4)- (5) теңсіздіктердің біріншілері және екіншілері өзара мәндес. (4)
теңсіздігі
(6)
жүйелерінің жиынтығын қанағаттандыратын айнымалы х-тің мәндеріне ғана дұрыс
болады, яғни (6) теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын екі оң көбейткішің
көбейтіндісі не екі теріс көбейткіштің көбейтіндісі оң болғанда ғана
қанағаттандырады. (4) теңсіздіктері
(7)
теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын қанағаттандыратын х-тің мәндеріне ғана
дұрыс болады,өйткені таңбалары әр түрлі көбейткіштердің көбейтіндісі ғана
теріс болады.
Бөлшек оң таңбалы болуы үшін оның алымы мен бөлімі бірдей
таңбалы болуы тиіс,сондықтан (5)теңсіздігі ең болмағанда (6)
теңсіздіктердің бірін қанағаттандыратын х-тің мәндерінде ғана дұрыс
болады.
Бөлшектің алымы мен бөлімі әр түрлі таңбалы болғандағана тек
сонда ғана бөлшектің мәні теріс болады.Демек, (5) теңсіздіктерінің бәрі ең
болмағанда (7) теңсіздіктер жүйесінің бірін қанағаттандыратын айнымалының
мәндерінде ғана дұрыс болады. Теңсіздіктерді жалпы алғанда интервалдар
әдісімен шешеді.
4-мысал.
теңсіздіктер жүйесін шешу керек.
Шешуі:Берілген жүйе
алғашқы екі теңсіздіктен -4x5 және х4,4 болғандықтан жалпы алғанда
4,4х5.
5-мысал.-83-4х10қос теңсіздігіншешу керек.
Шешуі: Теңсіздіктің әр бөлігіне (-3)-ті қосамыз,сонда -11-4х7,соңғы
теңсіздіктің әр бөлігін(-4)
-ке бөлсек,-
6-мысал.5х- теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Берілген теңсіздікті ортақ бөлімге келтірсек ,
не х (25х-64)0,25х
сандары аралығын
аралықтарына бөледі.
көбейтіндісі -және х болғанда он болады.
Сонымен ,теңсіздіктің шешімі және аралықтары.
Бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер
ах+bx+c0 не ах+ bx+c0
(8)
теүріндегі теңсіздіктерді бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі
теңсіздіктер деп аталады.
(8) теңсіздіктерді шешу үшін у=ax+bx+c квадраттық функцияның
қасиеттері қолданылады.
Бұл үш мүшеліктің графигі а коэффициентіне және D=b-4ас
дискриминантқа байланысты.
ах+bx+c=0 теңдеуінің түбірлерін х,хдеп
белгілейік.хx,болсын.
a0 жағдайды қарастырайық.у=ax +bx+c функциясының
графигінің тармағы жоғары қарайды.
Егер D0 болса, онда және болғанда
у=ax +bx+c0
(9)
болады.Ал, да у=ax +bx+c0 (10) болады.
Егер D=0 болса, онда барлық мәнінде у=ax +bx+c0
(11) болады.Бұл жағдайда
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
Егер D0 болса, онда -тің кез келген мәнінде у=ax +bx+c0
(12) болады.Бұл жағдайда
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
a0 жағдайды қарастырайық. у=ax +bx+c функциясының графигінің тармағы
төмен қарайды.
Егер D0 болса, онда және болғанда
у=ax +bx+c0
(13)
болады, да у=ax +bx+c0 (14).
Егер D=0 болса, онда барлық мәні үшін у=ax +bx+c0
(15),
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
Егер D0 болса, онда барлық -тер үшін у=ax +bx+c0
(16) болады.
Бұл жағдайда у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
7-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Бұл есепте
теңдеуінің түбірлері (10) теңсіздік бойынша болғанда
болады.Сонымен, теңсіздіктің шешімі болады.
8-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің еселі түбірі бар..Бұл есеп жағдайында
формуланың негізінде -ден басқа барлық -тердің мәні үшін
теңсіздігі дұрыс болады.
9-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің түбірлері
(13) формулаға сәйкес және болғанда
болады.
10-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: онда нақты түбірлері жоқ.
функциясының графигі ОХ осін қимайды, ол тұтасымен ОХ осінің
жоғары жағына орналасады. -тің барлық мәнінде y0.Демек, кез келген x
үшін Олай болса, теңсіздігінің шешімі жоқ.
11-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің түбірлері (14)
Формулаға сәйкес айнымалының мәні болғанда теңсіздігі дұрыс
орындалады,яғни теңсіздіктің шешімі аралығы.
12-мысал. теңсіздігін шешу керек
Шешуі: теңдеудің еселі түбірі бар,ол.Бұл арада Демек, (15)
формула бойынша -ден басқа мәніндеболады.
13-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің нақты шешімі жоқ.Өйткені
функциясының графигі ОХ осін қимайды, ол тұтасымен ОХ осінің үстінгі
жағында орналасады.Кез келген х үшін у0.Демек, х-тің кез келген мәні үшін
.Теңсіздіктің шешімі аралығы
14-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Берілген теңдеу Себебі .Функциясының графигі ОХ осін
нүктесінде жанайды.Парабола тармағы жоғары бағытталған. а0.Берілген
теңсіздіктің шешімі .
15-мысал. теңсіздігін шешу керек .
Шешуі: теңдеуінің нақты түбірлері жоқ,өйткені , Функциясының
графигі ОХ осін қиылыспайды, график тұтасымен ОХ осімен төмен орналасады не
а0.Демек , х-тің барлық мәндер үшін у0. теңсіздігінің шешімі
шектеусіз аралығы.
16-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің еселі түбірі бар, ол
Функциясының графигі нүктесінде ОХ осін жанайды, а0.Берілген
теңсіздіктің шешімі .
Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктер
болғанда теңсіздігі теңсіздігімен мәндес , ал болса,
теңсіздіктің шешімі жоқ.. (2) теңсіздік және теңсіздіктерімен
мәндес.
болғанда теңсіздігі теңсіздігімен мәндес.Егер болса,
онда (3) –тің шешімі жоқ. болғанда теңсіздіктің шешімі
аралықтарының бірігуі болады.Ал болғанда х-тің кез келген мәні
теңсіздікті қанағаттандырады, оның шешімі –барлық нақты сандар жиыны, яғни
.
(4) теңсіздік не теңсіздіктерінің жиынтығымен мәндес.
болғандатеңсіздіктің шешімі және аралықтарының бірігуі
болады.Ал, х-тің кез келген мәні теңсіздікті қанағаттандырады.
Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктерді шешу барысында
функциялардың анықталу аймақтарын ескеру керек:
1) теңсіздігі теңсіздігімен мәндес ,мұндағы
2) болса, теңсіздігінің шешімі болмайды.
3) теңсіздігі және екі теңсіздіктің жиынтығына мәндес,
мұндағы
4) теңсіздігі функциясының анықталу аймағына енетін х-тің барлық
мәндерінде дұрыс болады, мұндағы ;
5) теңсіздігі және теңсіздіктерімен мәндес (-
функциясындағы аргумент хтек оң мән қабылдайтын болса ).
6) теңсіздігітеңсіздіктер жүйесімен мәндес.
1-мысал.теңсіздігін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Сан теңсіздіктері және олардың қасиеттері
Нақты сандарды сан осінде нүктелер арқылы кескіндеуге болады, олар
реттеліп , тығыз орналасады, сан осінде орналасқан екі санның қайсысы оң
жағына орналасса, сол сан артық болып есептеледі.
Егер а саны b санынан кем болса, онда а b, ал артық болса а b
деп жазылады. а b және c d ( не а b және cd) мағыналас
теңсіздіктер деп аталады.
Егер а b және cd болса, онда оларды қарама-қарсы мағыналы теңсіздіктер
деп атайды. а b, не а b қатаң теңсіздіктер , а b, не а b
қатаң емес теңсіздіктер деп аталады. а b жазуы да қолданылады, мұны
тұжырымсыз ( қатаң емес) теңсіздік дейді. Ол а=b әрі а b екі пікірді
білдіреді.
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с
Егер аcb болса, онда с түрінде жазады.
аcb қос теңсіздік, мұндағы аc және cb теңсіздіктердің екеуі де дұрыс.
Сан теңсіздіктерінің төмендегідей қасиеті бар:
1.Егер а-b0 , онда а b; а-b0, онда а b.
2.Егер а b және с-кез келген сан,онда а+с b+с.
3.Егер а b және с0 , онда ас bс; егер а b және с0, онда ас bс.
4.Егер а мен b таңбалас болса, (аb0) және а b, онда .
5.Егер а b және c d, онда а+с b+ d.
6.Егер а b және c d, мұндағы а,b, c, d- оң сандар болса, онда ас bd.
7.Егер 0 а b және 0 c d, онда .
8. Егер 0 а b болса, онда , мұндағы .
Бұл қасиеттер қатаң емес теңсіздіктер үшін де орындалады.
Егер теңсіздіктің бір қосылғышын қарама-қарсы таңбамен басқа жағына
ауыстыртырғанда шығатынәуелгі теңсіздікпен мәндес болады, яғни ол
теңсіздікте дұрыс болады.
Көбірек қолданылатын белгілі теңсіздіктерді атап өтейік:
1) Егер а мен b кез келген нақты сандар болса, онда . (1)
2) Егер а мен b бірдей таңбалы (ab0) болса, онда . (2)
3) Егер а0 болса, онда .
(3)
4) Егер а0, b0 болса, онда .
(4)
5) (5) Бернулли теңсіздігі деп аталады, мұндағы ,
натурал сан.
(5)
6) Егер натурал сан болса, онда . (6)
7) Кез келген натурал саны үшін
. (7)
8) Кез келген натурал саны үшін
.
(8)
9) Егер а,b, c нақты сандар болса,
.
(9)
10) Егер а,b, c-үшбұрыш қабырғаларының ұзындығы болса, онда
. (10)
Бір айнымалысы бар
теңсіздік
түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар теңсіздік деп
атайды.Мұндағы
,-берілген айнымалының функциясы.
теңсіздіктің анықталу аймағы деп пен функцияларының
анықталу аймақтарының ортақ аймағын айтады.
, , сияқты теңсіздіктер жиі
қолданылады.
Берілген теңсіздікті дұрыс санды теңсіздікке айналдыратын айнымалының
мәнін теңсіздіктің шешімі деп атайды. Бір айнымалысы бар теңсіздікті шешу
дегеніміз оның барлық шешімдерін табу,не ешбір шешімнің жоқ екенін көрсету
деген сөз.Шешімдер жиыны бірдей екі теңсіздікті мәндес теңсіздіктер деп
атайды. Теңсіздіктерді шешудің идеясы мынадай:берілген теңсіздікті өзімен
мәндес,бірақ , барынша жай теңсіздікпен ауыстырады.Кейде мұндай
түрлендіруді бірнеше рет жасауға тура келеді.Мұндай ауыстырулар көбінесе
келесі теоремалар негізінде жасалады:
1-теорема. пен теңсіздіктері мәндес.
2-теорема. Егер g (х)функциясының g(х) теңсіздігінің анықталу
аймағында мағынасы болса, онда g(х) және+ g(х) + g(х)
теңсіздіктері мәндес.
3-теорема. Егер g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х-тің барлық
мәні үшін
3-теорема. Егер g(х) теңсіздігінің анықталу аймағында х-тің барлық
мәні үшін
g(х) 0 болса, онда пен g(х) g(х) теңсіздіктері
мәндес .
4-теорема. Егер теңсіздігінің анықталу аймағындағы барлық х-
тер g(х) 0 болса, онда пен g(х) g(х) теңсіздіктері
мәндес.
Бір айнымалысы бар сызықты теңсіздіктер
ах +b сх+d
(1)
түріндегі теңсіздікті бір айнымалысы бар сызықты теңсіздік деп атайды. (1)
теңсіздікті мәндес теоремаларға сүйеніп
АХВ
(2)
түрінде жазуға болады.Егер АО болса, онда Х .Бұл жағдайда (2)
теңсіздік айнымалының аралығындағы кез келген мәнін қабылдайды.
Егер АО болса, онда (2) теңдік Х түрінде шешіледі.
Демек,айнымалының аралығынан алынатын кез келген мәні қанағаттандырады
қанағаттандырады. Егер А=0,В 0 болса, онда (2) теңсіздік х-тің кез келген
мәнін қанағаттандырады,яғни теңсіздіктің -гі шектеусіз көп шешуі
болады. Егер А=0, болса, онда (2) теңсіздіктің шешуі болмайды. (1)
сияқты теңсіздікті шешу үшін оны (2) түріне келтіреді. (2) теңсіздіктің екі
жағын айнымалының коэффициентіне бөледі. Егер А=0 болса, онда0 х В немесе
0 х В теңсіздіктер дұрыс па соны тексеру керек.Біріншісінде В0
болса,екіншісінде В теңсіздікті 0 болса ғана шешуі бар.
1-мысал . теңсіздікті шешу керек.
Шешуі:Алдымен теңсіздікті бүтін коэффициентті теңсіздіккі келтіреміз:
12х-4х+8 2х-6-х+4 не 8х-х-2-8,7х-10,х-.
Теңсіздіктің шешімі -аралығы.
2-мысал.теңсіздікті шешу керек.
Шешуі: Теңсіздіктің екі бөлігін 3-ке көбейтеміз,сонда
3х-4+15х-186х+12-5х-6,бұдан 18х-х12-6+4+18,17х28,х.
Теңсіздіктің шешіміаралығы.
3-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: Алдымен жақшаны ашайық:
:
Теңсіздіктің шешімі аралығы.
Сызықты
теңсіздіктер жүйесі
сияқты сызықты (6) жүйесін қарастырайық.Ал,мына сызықтық жүйелер жай
сызықты жүйелер деп аталады:
(3)
Сызықты (4) жүйесі
(4)
(5)
түріндегі теңсіздіктерді шешуге келтіреді.Мұндағы a,b,c,d-нақты сандар.
(4)- (5) теңсіздіктердің біріншілері және екіншілері өзара мәндес. (4)
теңсіздігі
(6)
жүйелерінің жиынтығын қанағаттандыратын айнымалы х-тің мәндеріне ғана дұрыс
болады, яғни (6) теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын екі оң көбейткішің
көбейтіндісі не екі теріс көбейткіштің көбейтіндісі оң болғанда ғана
қанағаттандырады. (4) теңсіздіктері
(7)
теңсіздіктер жүйесінің жиынтығын қанағаттандыратын х-тің мәндеріне ғана
дұрыс болады,өйткені таңбалары әр түрлі көбейткіштердің көбейтіндісі ғана
теріс болады.
Бөлшек оң таңбалы болуы үшін оның алымы мен бөлімі бірдей
таңбалы болуы тиіс,сондықтан (5)теңсіздігі ең болмағанда (6)
теңсіздіктердің бірін қанағаттандыратын х-тің мәндерінде ғана дұрыс
болады.
Бөлшектің алымы мен бөлімі әр түрлі таңбалы болғандағана тек
сонда ғана бөлшектің мәні теріс болады.Демек, (5) теңсіздіктерінің бәрі ең
болмағанда (7) теңсіздіктер жүйесінің бірін қанағаттандыратын айнымалының
мәндерінде ғана дұрыс болады. Теңсіздіктерді жалпы алғанда интервалдар
әдісімен шешеді.
4-мысал.
теңсіздіктер жүйесін шешу керек.
Шешуі:Берілген жүйе
алғашқы екі теңсіздіктен -4x5 және х4,4 болғандықтан жалпы алғанда
4,4х5.
5-мысал.-83-4х10қос теңсіздігіншешу керек.
Шешуі: Теңсіздіктің әр бөлігіне (-3)-ті қосамыз,сонда -11-4х7,соңғы
теңсіздіктің әр бөлігін(-4)
-ке бөлсек,-
6-мысал.5х- теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Берілген теңсіздікті ортақ бөлімге келтірсек ,
не х (25х-64)0,25х
сандары аралығын
аралықтарына бөледі.
көбейтіндісі -және х болғанда он болады.
Сонымен ,теңсіздіктің шешімі және аралықтары.
Бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі теңсіздіктер
ах+bx+c0 не ах+ bx+c0
(8)
теүріндегі теңсіздіктерді бір айнымалыға тәуелді екінші дәрежелі
теңсіздіктер деп аталады.
(8) теңсіздіктерді шешу үшін у=ax+bx+c квадраттық функцияның
қасиеттері қолданылады.
Бұл үш мүшеліктің графигі а коэффициентіне және D=b-4ас
дискриминантқа байланысты.
ах+bx+c=0 теңдеуінің түбірлерін х,хдеп
белгілейік.хx,болсын.
a0 жағдайды қарастырайық.у=ax +bx+c функциясының
графигінің тармағы жоғары қарайды.
Егер D0 болса, онда және болғанда
у=ax +bx+c0
(9)
болады.Ал, да у=ax +bx+c0 (10) болады.
Егер D=0 болса, онда барлық мәнінде у=ax +bx+c0
(11) болады.Бұл жағдайда
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
Егер D0 болса, онда -тің кез келген мәнінде у=ax +bx+c0
(12) болады.Бұл жағдайда
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
a0 жағдайды қарастырайық. у=ax +bx+c функциясының графигінің тармағы
төмен қарайды.
Егер D0 болса, онда және болғанда
у=ax +bx+c0
(13)
болады, да у=ax +bx+c0 (14).
Егер D=0 болса, онда барлық мәні үшін у=ax +bx+c0
(15),
у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
Егер D0 болса, онда барлық -тер үшін у=ax +bx+c0
(16) болады.
Бұл жағдайда у=ax +bx+c0 теңсіздігінің шешімі жоқ.
7-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Бұл есепте
теңдеуінің түбірлері (10) теңсіздік бойынша болғанда
болады.Сонымен, теңсіздіктің шешімі болады.
8-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің еселі түбірі бар..Бұл есеп жағдайында
формуланың негізінде -ден басқа барлық -тердің мәні үшін
теңсіздігі дұрыс болады.
9-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің түбірлері
(13) формулаға сәйкес және болғанда
болады.
10-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: онда нақты түбірлері жоқ.
функциясының графигі ОХ осін қимайды, ол тұтасымен ОХ осінің
жоғары жағына орналасады. -тің барлық мәнінде y0.Демек, кез келген x
үшін Олай болса, теңсіздігінің шешімі жоқ.
11-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің түбірлері (14)
Формулаға сәйкес айнымалының мәні болғанда теңсіздігі дұрыс
орындалады,яғни теңсіздіктің шешімі аралығы.
12-мысал. теңсіздігін шешу керек
Шешуі: теңдеудің еселі түбірі бар,ол.Бұл арада Демек, (15)
формула бойынша -ден басқа мәніндеболады.
13-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің нақты шешімі жоқ.Өйткені
функциясының графигі ОХ осін қимайды, ол тұтасымен ОХ осінің үстінгі
жағында орналасады.Кез келген х үшін у0.Демек, х-тің кез келген мәні үшін
.Теңсіздіктің шешімі аралығы
14-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі:Берілген теңдеу Себебі .Функциясының графигі ОХ осін
нүктесінде жанайды.Парабола тармағы жоғары бағытталған. а0.Берілген
теңсіздіктің шешімі .
15-мысал. теңсіздігін шешу керек .
Шешуі: теңдеуінің нақты түбірлері жоқ,өйткені , Функциясының
графигі ОХ осін қиылыспайды, график тұтасымен ОХ осімен төмен орналасады не
а0.Демек , х-тің барлық мәндер үшін у0. теңсіздігінің шешімі
шектеусіз аралығы.
16-мысал. теңсіздігін шешу керек.
Шешуі: теңдеуінің еселі түбірі бар, ол
Функциясының графигі нүктесінде ОХ осін жанайды, а0.Берілген
теңсіздіктің шешімі .
Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктер
болғанда теңсіздігі теңсіздігімен мәндес , ал болса,
теңсіздіктің шешімі жоқ.. (2) теңсіздік және теңсіздіктерімен
мәндес.
болғанда теңсіздігі теңсіздігімен мәндес.Егер болса,
онда (3) –тің шешімі жоқ. болғанда теңсіздіктің шешімі
аралықтарының бірігуі болады.Ал болғанда х-тің кез келген мәні
теңсіздікті қанағаттандырады, оның шешімі –барлық нақты сандар жиыны, яғни
.
(4) теңсіздік не теңсіздіктерінің жиынтығымен мәндес.
болғандатеңсіздіктің шешімі және аралықтарының бірігуі
болады.Ал, х-тің кез келген мәні теңсіздікті қанағаттандырады.
Айнымалысы модульге тәуелді теңсіздіктерді шешу барысында
функциялардың анықталу аймақтарын ескеру керек:
1) теңсіздігі теңсіздігімен мәндес ,мұндағы
2) болса, теңсіздігінің шешімі болмайды.
3) теңсіздігі және екі теңсіздіктің жиынтығына мәндес,
мұндағы
4) теңсіздігі функциясының анықталу аймағына енетін х-тің барлық
мәндерінде дұрыс болады, мұндағы ;
5) теңсіздігі және теңсіздіктерімен мәндес (-
функциясындағы аргумент хтек оң мән қабылдайтын болса ).
6) теңсіздігітеңсіздіктер жүйесімен мәндес.
1-мысал.теңсіздігін ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz