Скаляр аргументтің вектор функциясы
1 СКАЛЯР АРГУМЕНТТІҢ ВЕКТОР ФУНКЦИЯСЫ
1.1 Вектордың скаляр аргумент бойынша туындысы және дифференциалы
1.2 ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ
МЕХАНИКАЛЫҚ МАҒЫНАЛАРЫ
1.3 СКАЛЯР ЖӘНЕ ВЕКТОР ӨРІСТЕРІ
1.4 СКАЛЯР ӨРІСІНІҢ ГРАДИЕНТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
2 ВЕКТОРДЫҢ ҚИСЫҚ БОЙЫНША ИНТЕГРАЛЫ
2.1 ПОТЕНЦИАЛ ӨРІС
2.2 БЕТ АУДАНЫ. БІРІНШІ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ТЕКТІ БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАР.
2.3 ДИВЕРГЕНЦИЯ. ГАУСС . ОСТРОГРАДСКИЙ ФОРМУЛАСЫ
2.4 СТОКС ЖӘНЕ ГРИН ФОРМУЛАЛАРЫ.
ҚОРЫТЫНДЫ
1.1 Вектордың скаляр аргумент бойынша туындысы және дифференциалы
1.2 ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ
МЕХАНИКАЛЫҚ МАҒЫНАЛАРЫ
1.3 СКАЛЯР ЖӘНЕ ВЕКТОР ӨРІСТЕРІ
1.4 СКАЛЯР ӨРІСІНІҢ ГРАДИЕНТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
2 ВЕКТОРДЫҢ ҚИСЫҚ БОЙЫНША ИНТЕГРАЛЫ
2.1 ПОТЕНЦИАЛ ӨРІС
2.2 БЕТ АУДАНЫ. БІРІНШІ ЖӘНЕ ЕКІНШІ ТЕКТІ БЕТТІК ИНТЕГРАЛДАР.
2.3 ДИВЕРГЕНЦИЯ. ГАУСС . ОСТРОГРАДСКИЙ ФОРМУЛАСЫ
2.4 СТОКС ЖӘНЕ ГРИН ФОРМУЛАЛАРЫ.
ҚОРЫТЫНДЫ
Физикалық құбылыстарды математикалық жолмен зерттеу қажет болғанда, оларды сандар арқылы өрнектеу үшін кеңістікті арифметикаландыру әдісі жүргізіледі.Бірақ бұл үдеріс, физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде қолданылатын шамалар арифметикаландыру әдісіне тәуелсіз (инвариантты) болатындай етіп жүргізілуі қажет.Шамалар көбінесе екі түрлі болады: өзінің сандық мәні арқылы толық сипатталатын – скалярлық шама (ұзындық, көлем, тығыздық, масса, температура т.с.с.); сандық мәні және бағыты арқылы толық сипатталатын – векторлық шама (жылдамдық,үдеу,күш т.с.с).
Анықтама.Егер қандай да бір ∆ сандар жиынының әрбір нүктесіне а = a( ) векторы сәйкес қойылса, онда Δ жиынында скаляр аргумент -нің а ( )вектор-функциясы (немесе векторлық функциясы) анықталды дейді.
Егер а = а ( ) вектор-функциясы жататын кеңістіктің қандай да бір, мысалы, I,j,k базистік векторлар жүйесін алсақ, онда а векторын келесі векторлардың қосындысы түрінде жазуға болады:
A( ) = ax ( )i + ay ( )j +az( )k (1.1.1)
мұнда ax( ). ay( ), az( ) арқылы a( ) векторының сәйкесі,j,k векторынапроекциялары (I,j,k базисіндегі координаттары:a( )= (ax( ),ay( ),az( )) белгіленген.Сонымен вектор-функцияның берілуі оның координаттары болатын үш скаляр функцияның: ax( ), ay( ), az( ) берілуімен парапар.
а( ) вектор-функцияның басы О координаттық бас нүктеден шығады, ал оның ұшы, аргумент -нің мәндеріне сәйкес,қандай да бір нүктелердің годограф деп аталатын геометриялық орнын құрайды Егер а( ) вектор функциясының i, j, k , базисіндегі координаттарын сәйкес x, y, z арқылы белгілесек,онда осы вектор годографының
x= ax( ), y = ay( ), z=az( ) (1.1.2)
түріндегі параметрлік теңдеулерін аламыз.Мысалы,
a( )=(2 – 1)i +(+1)j+ k, ∈( -∞,+∞) вектор-функциясы годографының параметрлік теңдеулері x=2 -1,y= +1,z= .Бұдан параметр t-ні шығарып тастап, годографтың канондық теңдеуңн аламыз:
(x+1)/2=(y-1)/1=z/1.
Егер «параметр белгілі бір 0 нүктесіне ұмтылғанда, а( ) вектор-функциясы қандайда бір тұрақты а0 векторына ұмтылады» деген ұғымды анықтайды.
Анықтама. а( ) вектор-функциясы 0 нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын, ал а0 қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0<| – 0|<δ(ε)теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін |а( )–a0|<ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а( ) вектор функциясының t0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны өрнегі түрінде жазады.
Анықтамаданlim┬(t→t)〖〖a( )〗^ 〗 және lim┬(t→t)〖|( )-a|=0〗
Анықтама. a( ) вектор-функциясы нүктесінің қандайда бір маңайында аныұталсын, ал а қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0<| - 0|<δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін |а( ) – а0|<ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а( ) вектор-функциясы 0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖a( )=a〗өрнегі түрінде жазады.
Анықтамадан 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖a( )=a〗 және 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖|a( )=a〗 |=0 теңдіктерінің парапар екенін көреміз.Бұл геометриялық түрде → ұмтылғанда а( ) вектор-функциясының ұшы тұрақты а0 векторының ұшына «мейлінше жақын» келетінін көрсетеді (олардың бастары координаттардың бас нүктесінде түйіскен).
Сонымен бірге limа( )=a теңдігін а( ) = a + α( ) теңдігі арқылы да жазуға болады.(мұндағы α(t) – ақырсыз кішкене вектор-функция,яғни limα( )=0).
Егерa0=(a_(1 ,) a_(2 ,) a_3) болса,ондаlima( )=a_0 орындалуы үшін.
Анықтама.Егер қандай да бір ∆ сандар жиынының әрбір нүктесіне а = a( ) векторы сәйкес қойылса, онда Δ жиынында скаляр аргумент -нің а ( )вектор-функциясы (немесе векторлық функциясы) анықталды дейді.
Егер а = а ( ) вектор-функциясы жататын кеңістіктің қандай да бір, мысалы, I,j,k базистік векторлар жүйесін алсақ, онда а векторын келесі векторлардың қосындысы түрінде жазуға болады:
A( ) = ax ( )i + ay ( )j +az( )k (1.1.1)
мұнда ax( ). ay( ), az( ) арқылы a( ) векторының сәйкесі,j,k векторынапроекциялары (I,j,k базисіндегі координаттары:a( )= (ax( ),ay( ),az( )) белгіленген.Сонымен вектор-функцияның берілуі оның координаттары болатын үш скаляр функцияның: ax( ), ay( ), az( ) берілуімен парапар.
а( ) вектор-функцияның басы О координаттық бас нүктеден шығады, ал оның ұшы, аргумент -нің мәндеріне сәйкес,қандай да бір нүктелердің годограф деп аталатын геометриялық орнын құрайды Егер а( ) вектор функциясының i, j, k , базисіндегі координаттарын сәйкес x, y, z арқылы белгілесек,онда осы вектор годографының
x= ax( ), y = ay( ), z=az( ) (1.1.2)
түріндегі параметрлік теңдеулерін аламыз.Мысалы,
a( )=(2 – 1)i +(+1)j+ k, ∈( -∞,+∞) вектор-функциясы годографының параметрлік теңдеулері x=2 -1,y= +1,z= .Бұдан параметр t-ні шығарып тастап, годографтың канондық теңдеуңн аламыз:
(x+1)/2=(y-1)/1=z/1.
Егер «параметр белгілі бір 0 нүктесіне ұмтылғанда, а( ) вектор-функциясы қандайда бір тұрақты а0 векторына ұмтылады» деген ұғымды анықтайды.
Анықтама. а( ) вектор-функциясы 0 нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын, ал а0 қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0<| – 0|<δ(ε)теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін |а( )–a0|<ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а( ) вектор функциясының t0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны өрнегі түрінде жазады.
Анықтамаданlim┬(t→t)〖〖a( )〗^ 〗 және lim┬(t→t)〖|( )-a|=0〗
Анықтама. a( ) вектор-функциясы нүктесінің қандайда бір маңайында аныұталсын, ал а қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0<| - 0|<δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін |а( ) – а0|<ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а( ) вектор-функциясы 0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖a( )=a〗өрнегі түрінде жазады.
Анықтамадан 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖a( )=a〗 және 〖"lim" 〗┬"t→t0" 〖|a( )=a〗 |=0 теңдіктерінің парапар екенін көреміз.Бұл геометриялық түрде → ұмтылғанда а( ) вектор-функциясының ұшы тұрақты а0 векторының ұшына «мейлінше жақын» келетінін көрсетеді (олардың бастары координаттардың бас нүктесінде түйіскен).
Сонымен бірге limа( )=a теңдігін а( ) = a + α( ) теңдігі арқылы да жазуға болады.(мұндағы α(t) – ақырсыз кішкене вектор-функция,яғни limα( )=0).
Егерa0=(a_(1 ,) a_(2 ,) a_3) болса,ондаlima( )=a_0 орындалуы үшін.
1. Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1989.
2. Ә.Сақабеков. Техникадағы математика. - Бастау: Алматы, 2008
3. Қ.Ж.Наурызбаев, М.Е.Берікханова. Жогары математика есептері. - Алматы: Қазақ университеті, 1-дэптер. 2000.
4. Айдос Е.Ж. Жоғары математика (қыскаша курс), «Иль-Тех- Кітап», 2003.
5. Айдос Е.Ж. Жоғары математика, 3-бөлім, «Бастау», 2010.
6. Кузнецов Л.А. Векторный анализ. - М.: «Наука», 1978.
7. Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік: Математика. — «Рауан» баспасы, Алматы, 1999.
2. Ә.Сақабеков. Техникадағы математика. - Бастау: Алматы, 2008
3. Қ.Ж.Наурызбаев, М.Е.Берікханова. Жогары математика есептері. - Алматы: Қазақ университеті, 1-дэптер. 2000.
4. Айдос Е.Ж. Жоғары математика (қыскаша курс), «Иль-Тех- Кітап», 2003.
5. Айдос Е.Ж. Жоғары математика, 3-бөлім, «Бастау», 2010.
6. Кузнецов Л.А. Векторный анализ. - М.: «Наука», 1978.
7. Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік: Математика. — «Рауан» баспасы, Алматы, 1999.
1 СКАЛЯР АРГУМЕНТТІҢ ВЕКТОР ФУНКЦИЯСЫ
1.1 Вектордың скаляр аргумент бойынша туындысы және дифференциалы
Физикалық құбылыстарды математикалық жолмен зерттеу қажет болғанда, оларды сандар арқылы өрнектеу үшін кеңістікті арифметикаландыру әдісі жүргізіледі.Бірақ бұл үдеріс, физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде қолданылатын шамалар арифметикаландыру әдісіне тәуелсіз (инвариантты) болатындай етіп жүргізілуі қажет.Шамалар көбінесе екі түрлі болады: өзінің сандық мәні арқылы толық сипатталатын - скалярлық шама (ұзындық, көлем, тығыздық, масса, температура т.с.с.); сандық мәні және бағыты арқылы толық сипатталатын - векторлық шама (жылдамдық,үдеу,күш т.с.с).
Анықтама.Егер қандай да бір ∆ сандар жиынының әрбір нүктесіне а = a() векторы сәйкес қойылса, онда Δ жиынында скаляр аргумент -нің а ()вектор-функциясы (немесе векторлық функциясы) анықталды дейді.
Егер а = а () вектор-функциясы жататын кеңістіктің қандай да бір, мысалы, I,j,k базистік векторлар жүйесін алсақ, онда а векторын келесі векторлардың қосындысы түрінде жазуға болады:
A() = ax ()i + ay ()j +az()k (1.1.1)
мұнда ax(). ay(), az() арқылы a() векторының сәйкесі,j,k векторынапроекциялары (I,j,k базисіндегі координаттары:a()= (ax(),ay(),az()) белгіленген.Сонымен вектор-функцияның берілуі оның координаттары болатын үш скаляр функцияның: ax(), ay(), az() берілуімен парапар.
а() вектор-функцияның басы О координаттық бас нүктеден шығады, ал оның ұшы, аргумент -нің мәндеріне сәйкес,қандай да бір нүктелердің годограф деп аталатын геометриялық орнын құрайды (1.1-сурет)
(1.1-сурет)
Егер а() вектор функциясының i, j, k , базисіндегі координаттарын сәйкес x, y, z арқылы белгілесек,онда осы вектор годографының
x= ax(), y = ay(), z=az() (1.1.2)
түріндегі параметрлік теңдеулерін аламыз.Мысалы,
a()=(2 - 1)i +(+1)j+ k, ∈(-infinity,+infinity) вектор-функциясы годографының параметрлік теңдеулері x=2-1, y=+1, z=.Бұдан параметр t-ні шығарып тастап, годографтың канондық теңдеуңн аламыз:
x+12=y-11=z1.
Егер параметр белгілі бір 0 нүктесіне ұмтылғанда, а() вектор-функциясы қандайда бір тұрақты а0 векторына ұмтылады деген ұғымды анықтайды.
Анықтама. а() вектор-функциясы 0 нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын, ал а0 қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0 - 0δ(ε)теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а() - a0ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а() вектор функциясының t0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны өрнегі түрінде жазады.
Анықтамаданlimt--ta() және limt--t()-a=0
Анықтама. a() вектор-функциясынүктесінің қандайда бір маңайында аныұталсын, ал а қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0 - 0δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а() - а0ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а() вектор-функциясы 0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны limt--t0a=aөрнегі түрінде жазады.
Анықтамадан limt--t0a=a және limt--t0a=a=0 теңдіктерінің парапар екенін көреміз.Бұл геометриялық түрде -- ұмтылғанда а() вектор-функциясының ұшы тұрақты а0 векторының ұшына мейлінше жақын келетінін көрсетеді (олардың бастары координаттардың бас нүктесінде түйіскен).
Сонымен бірге limа=a теңдігін а() = a + α() теңдігі арқылы да жазуға болады.(мұндағы α(t) - ақырсыз кішкене вектор-функция,яғни limα()=0).
Егерa0=(a1 ,a2 ,a3) болса,ондаlima()=a0 орындалуы үшін.
limt--t0ax=a1limt--t0ay=a2limt-- t0az=a3
теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті.Бұл тұжырымды келесі теңдікті пайдаланып дәлелдеуге болады.
a-a0=[ax-a12+ ay-a22+[az()-a3]2
Векторлық алгебра теориясындағы векторға қолданылатын амалдарды ескерсек, функцияның шегіне қатысты математикалық анализ курсынан белгілі қасиеттер вектор-функцияның шегі үшін де орындалады.Мысалы:
limt--t0a1xа2()= limt--t0a1xlimt--t0a2 (1.1.3)
теңдігінің орындалатынын көрсетейік.Бұл, егер (4) теңдігінің оң жағындағы шектер бар болса, онда оның сол жағындағы шек те бар және (4) теңдігі орындалады деген сөз.Алдымен,егер limt--t0p1=0 ал q(1) вектор-функциясы t0 нүктесінің қандайда бір маңайында шенелген болса онда
limt--t0p(t)xq(t)=0
теңдігінің орындалатынын атап өтеміз.Бұл теңдікті келесі теңсіздікті пайдаланып дәлелдеуге болады.
ptxqtptsinpq=ptq()
Енді limt--t0a1(t)=b, limt--t0a2()=c деп алайық.Онда α()=a1()-b және β()=a2()-cақырсыз кішкене вектор-функциялар.яғни limt--t0α()=0, limt--t0β()=0 теңсіздіктер орындалады.Бұдан ((5)-ті қараңыз)
limt--t0bxβ()=limt--t0α()xc=l imt--t0α()xβ(=0)
аламыз.Ал бұдан bxβ=α()xcxα()xβ()=bxβ()+α()xc +α(xβ()теңсіздігін пайдаланып, limt--t0bxβ()+α()xc+α()xβ()=0, яғни ,bxβ+αxc+αxβ=b=α, t--t0 ақырсыз кішкене вектор-функция екенін көреміз.Одан әрі қарай,
a1xa2 =b+αc+β
=bxc+bxβ+αxc+α-β=bxc+γ,
теңдігіненlimt--t0a1()xa2()=bxc немесеlimt--t0a1()xa2()=limt--t0a 1()xlimt--t0a2()() теңдікке келеміз.
Енді шектердің қасиеттерін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз.Бұл а() [вектор-функцияның шегін оның limt--t0a()=, (), a() проекциясының шегі арқылы табуға болатынын білдіреді.
Анықтама.а(t) вектор-функциясы аргументтің = нүктесінде және оның қандайда бір маңайындағы нүктелерде анықталсын.Егер limt--t0a() шегі бар және
limt--t0a()=a(0) (1.1.4)
теңдігі орындалса, онда а() вектор-функциясы =0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Егер ∆a()=a() - a(0), ∆=-0 белгілеулерін енгізсек, онда limt--t0a=a(0) теңдігін limt--t0[a=a(0)] немесе
limt--t0∆a()=0 (7)
арқылы жазуға болады.Олай болса, (7) теңсіздіктің орындалуы а() вектор-функциясы = мәнінде үзіліссіз болатынын қөрсетеді.
(6) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жаза отырып, = нүктесінде =(a(t), a(), a()) вектор-функциясы үзіліссіз болуы үшін, осы нүктеде a(), a(),
a() функцияларының үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті екенін көреміз,
Скаляр аргументтер тәуелді үзіліссіз вектор-функцияның годографы - үзіліссіз қисық, сонымен бірге үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы, айырымы, скалярлық және векторлық көбейтінділері, үзіліссіз вектор-функцияның үзіліссіз скаляр функцияға көбейтіндісінің үзіліссіз функциялар ᵗболатынын көруге болады.
(7) теңдігі және a-(t)=∆a() теңсіздігін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз limt--t0a()=a(0) .Ал бұл а() вектор функциясының үзіліссіздігінен оның а(t) модулінің үзіліссіздігі шығатынын көрсетеді.Бірақ бұған кері тұжырым дұрыс емес.Мысалы, келесі вектор-функция =1 нүктесінде үзілісті:
at=1ti+t2-1tj, егер!=1, t=0,j, егер=1,
(тексеріңіз), бірақ оның модулі тұрақты, 1-ге тең: a()=1,ал тұрақты шама - үзіліссіз.
Бұдан әрі жаңылыс тудырмаса, вектор-функцияны қысқаша вектор деп те атауымыз мүмкін.
а(t) вектор функциясы нүктесінің қандай да бір U() маңайдан алынған мәніне a() векторы сәйкес келеді,ал аргументтің осы мәніне мәніне +∆ саны U() маңайда жататындай ∆ өсімшесін қоссақ, оған
а( +∆ ) векторы сәйкес келеді.а() вектор-функциясының нүктесіне ( -бекітілген) сәйкес өсімшесі деп аталатын ∆а()=a( +∆ )˗a() айырымы скаляр айнымал ∆ -нің вектор-функциясы болады.(16 бет,1.2-суретте: ∆а()=MN).
Анықтама.Егер ∆ --0 ұмтылғанда қатынасының шегі бар болса.онда ол а() вектор-функцияның нүктедегі туындысы деп аталады да, а(), a(), cимволдарының беруімен белгіленеді:
. (1.1.5)
a()=((),a(), a()) вектор туындысындағы анықтамасындағы (8) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жазсақ,
яғни, а()=(a (), a (), a() )
теңдігін аламыз.Ал оның модулі:
ǀа(t)ǀ= (1.1.6)
Анықтама.Егер t нүктесінің қандайда бір маңайында анықталған а(t) вектор-функциясының ∆a()=b()∆ +0(∆), (1.1.7)
(мұндағы b()тек нүктесіне тәуелді қандай да бір вектор; ал
о(∆)қосылғышы шартын қанағаттандыратын вектор) теңдігі түрінде өрнектеуге болса,онда а() вектор-функциясын нүктесінде дифферациалданады дейді және а() вектор-функциясының нүктедегі дифференциалы деп аталады да, da() символымен белгіленеді: da()=b()∆.
Математикалық анализ курсында көрсетілгендей, а() вектор-функцияның берілген нүктеде дифференциалдануы мен оның осы нүктедегі ақырлы туындысының бар болуы парапар ұғымдар және а()=b() екенін көз жеткізуге болады.
Тәуелсіз айнымал үшін, анықтама бойынша d =∆ деп аламыз.Онда алдынғы айтылғандарды ескере отырып, da()=a()dt теңдігін жаза аламыз Ал бұдан (9) теңдікті ескеріп, а()=векторының дифференциалы мен оның модулің жаза аламыз:
da(t)=d (1.1.8)
│da(t)│= (1.1.9)
Келесі вектор-функцияларды дифференциалдау формулаларын скаляр функцияны дифференциалдау формулалары сияқты дәлелдеуге болады(жаттығу ретінде тексеріңіз):
1.( 2.
3. 4.
Келесі da() мен d│a()│дифференциалдарының арақатысын сипаттайтын теңдік жиі қолданылады.
d│a()│= (1.1.10)
мұндағы берілген a() векторының бірлік векторы.
Шынында да, белгілі теңдігінің екі жағын бойынша дифференциалдасақ, ал бұдан (14) теңдік шығады.
Назар аударыңыз! d│a(t)│шамасы мен da(t) векторының скаляр көбейтіндісіне тең,демек ол - da(t) векторының векторына проекциясы.
1.2 ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ
МЕХАНИКАЛЫҚ МАҒЫНАЛАРЫ
a(t) векторының туындысына геометриялық мағынасын қарастырайық.
∆a(t)=a( +∆ ) - a() мен векторы а() векторының годографасы а() мен a( +∆ ) векторларының ұштары арқылы өтетін MN қиюшыда орналасады. (1.2.1-сурет ).Егер ∆ 0 болса, онда ол векторлар годографтың t аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады.Егер ∆ 0 болса, онда ∆a() векторы бағытын қарама-қарсыға өзгертеді, яғни ол годографтың t аргументінің кемуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады, ал ∆ 0 болғандықтан векторы ∆a() векторына қарама-қарсы яғни бұрынғыдай, годографтың аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады.
(1.2.1-сурет)
Годогрофтың M нүктесіндегі жанама (бар болса) MN қиюшының ∆ --0 ұмтылғандағы шектік жағдайы екенін ескеріп, теңдік бойынша келесі тұжырымға келеміз: туындысы - a(t) векторынын ұшы арқылы жүргізілген годограф жанамасында орналасқан және годографтың аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталған вектор
Егер мұндағы a() вектор функцияның орнына оның бірлік векторын алсақ, онда, оның годографы радиусі 1-ге тең сферада орналасқандықтан, бірлік векторыдың туындысы бірлік векторына перпендикуляр вектор болады (өйткені радиустың ұшынан өтетін жанама осы радиусқа перпендикуляр).Ал векторы үшін (егер
│а()│тұрақты болмаса) бұл қасиет орындалмайды.Бірақ векторы а() вектор-функциясына перпендикуляр │a()│ векторы мен осы а() векторына коллинеар векторының қосындысына жіктеледі:
= (1.2.1)
Бұл теңдіктің дұрыстығына көз жеткізу үшін, а(t) векторын түрінде жазып алып, оны дифференциалдасақ болғаны.
Материалдық нүктенің орын ауыстыру траекториясы (1.2.2-сурет) келесі теңдікпен а(t)= x()i+y()j+z()k немесе параметрлік теңдеулер бойынша берілсін:
х= x(), y=y(), z=z(), - уақыт.
(1.2.2-сурет)
Онда Δа () = MN векторы нүктенің Δ уақыт ішіндегі ауысқан орнын, ал Δа ()Δt векторы нүкте қозғалысының Δ уақыт ішіндегі орташа жылдамдығын көрсетеді. Егер Δ 0 ұмтылдырып, Δа (t)Δt векторының шегіне өтсек, онда limΔt 0Δа ()Δ= dа ()d шегі - уақыт кезеңіндегі v жылдамдық векторын береді. Сонымен, вектор - функцияның - нүктедегі туындысының механикалық мағынасы ол нүкте қозғалысының уақыт кезеңіндегі жылдамдық векторы екен: а'() = v(). Бұдан (10) теңдікті пайдалансақ:
V= da()d=v()=dxd+dyd+dzd аалмыз.
Математикалық анализ курсынан х= x(), y=y(), z=z() теңдеуімен берілген s доға ұзындығының туындысы да осы формуламен өрнектелетіні белгілі:
ds(t)dt=dxd+dyd+dzd
Демек, вектор-функцияның t нүктедегі туындысының модулі (t уақыт кезеңіндегі жылдамдық вектордың модулі) t нүктесі сызатын s доғасы ұзындығының туындысына тең: V= da(t)dt
Ал вектор-функцияның нүктедегі дифференциялының модулі ((13) теңдікті қараңыз) мен х= x(), y=y(), z=z() теңдеуімен берілген s доғаның дифференциалын: ds() = dx+ dy+dz салыстырсақ, da=ds теңдігін аламыз: вектор-функцияның нүктедегі дифференциалының модулі нүктесі сызатын s доғаның дифференциалына тең.
1.3 СКАЛЯР ЖӘНЕ ВЕКТОР ӨРІСТЕРІ
Скаляр өріс
Қандай да бір физикалық құбылыс қарастырылатын кеңістіктің бөлігін немесе осы кеңістіктің өзін белгілеу үшін өріс ұғымы қолданылады.
Егер Ω жиынның әрбір Р нүктесіне скалярлық шама сәйкес қосылса, онда Ω жиыннында скаляр өрісі берілді дейді.
Егер кеңістікте қандай да бір OXYZ тікбұрышты координаттар жүйесі берілсе, онда скаляр өріске x,y,z - үш анымалдың (Р нүктенің координаттарының) функциясы ретінде немесе Р нүктесініңрадиус-векторы r-дің функциясы ретінде қарауға болады.
Анықтама. скаляр өрісінің деңгей беті деп, функциясы тек бір ғана мәнге ие болатын нүктелерінің геометриялық орнын, яғни жиынын айтады.
Екі өлшемді жағдайда скаляр өрісінің деңгей сызығы деп жазықтықтағы нүктелерінің жиынын айтады.
1-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.
Анықтама бойынша, Бұл - параллель жазықтықтар жиынтығы.
2-мысал. скаляр өрісінің деңгей сызығын табу керек.
Берілген скаляр өрісінің деңгей сызығын анықтама бойынша табамыз: Мұнда, С=0 болса, , түзулер жұбын аламыз; С!=0 болса, гиперболалар жиынтығын аламыз.
3-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.
Мұнда келесі шарт орындалуы керек: немесе Бұл шарттан берілген скаляр өрісі конусының сыртында және конустың О(0,0,0) төбесінен басқа нүктелерінде анықталатынын көреміз. Деңгей бетті табайық: =C, . Бұл - конусының сыртында орналасқан, симметрия өсі Oz және ортақ төбесі О(0,0,0) (бұл нүктеде скаляр өрісі анықталмаған) болатын дөңгелек конустар жиынтығы. Бұл жиынтықта конусының өзі де жатады.
Бағыт бойынша туынды
Скаляр өріс u=ƒ(M) скаляр функциясы арқылы берілсін. Өрісте жатқан M0 нүктесін алып, қандай да бір бағытты берілген s векторы бойынша таңдайық. Өрістен M0M векторы берілген s векторына коллинеар болатындай М нүктесін аламыз да, Δƒ арқылы Δƒ= ƒ(M) - ƒ(M0) айырымын, Δs арқылы M0M векторының ұзындығын: Δs= │M0M│ белгілейміз.
Анықтама. Егер M0M s векторына параллель бола отырып, Δs 0 нөлге ұмтылғанда, ΔƒΔs қатынасының шегі бар болса, онда оны u=ƒ(M) функциясының s векторының бағыты бойынша алынған M0 нүктедегі туындысы дейді және оны dƒds символымен белгілейді.
dƒМ0ds=limΔs 0ΔƒΔs=limΔs 0ƒM-ƒM0Δs, M0M s. (1.3.1)
Егер кеңістікте қандай да бір ОХYZ тікбұрышты координаттар жүйесі беріліп, u=ƒ(x, y, z) функциясы M (x, y, z) нүктесінде дифференциалданса, онда (1) теңдікті келесі түрде жазуға болады.
dƒМds=dƒ(x, y, z)dхcosα+dƒ(x, y, z)dycosβ=dƒ(x, y, z)dzcosγ (1.3.2)
Мұндағы cosα,cosβ, cosγ шамалары - s=a1i+a2j+a3k
векторының бағыттаушы косинустары, яғни cosα= a1s,
cosβ=a2s, cosγ=a3s, (s=a12+a22+a32).
(2) теңдікті дәлелдейік. Бағыттаушы косинустары cosα, cosβ,cosγ тең s векторы берілсін (s0 = (cosα, cosβ,cosγ) - оның орты). u=ƒ(x, y, z) функциясының s векторының бағыты бойынша М(x, y, z) Euro D нүктесіндегі туындысын анықтайық (1.3.1-сурет).
(1.3.1-сурет)
Егер s векторының бойынан М1(x+ Δx, y+Δy, z+Δz) нүктесін алсақ, онда М және М1 нүктелерінің арақашықтығы ММ1=Δs=Δx2+Δy2+Δz2 тең. Дифференциалданатын ƒ(x, y, z) функциясының толық өсімшесін жазайық:
Δ ƒ= dƒ dхΔx+dƒdy+Δy+dƒdхΔz+έ1∙Δy+έ3∙Δz. (1.3.3)
Мұнда, егер Δ s= Δx2+Δy2+Δz2 0 ұмтылса, онда έ1έ2έ3 шамалары да нөлге ұмтылады.
(3) теңдіктің барлық мүшелерін Δ s-ке бөлейік:
ΔƒΔ s=dƒdz∙∙ΔxΔs+dƒdy∙∙ΔyΔs+dƒdz∙ΔzΔs+έ 1∙ΔyΔs+έ2∙ΔyΔs+έ3∙ΔyΔs. (1.3.4)
Мұнда ΔxΔs=cosαΔyΔs=cosβΔzΔs=cosγ болғандықтан, (1.3.4) теңдікті келесі түрде жаза аламыз:
ΔƒΔs= dƒdхcosα+dƒdycosβ=dƒdzcosγ+έ1cosα+έ 2cosβ+έ3cosγ,
Егер мұнда Δs 0 нөлге ұмтылдырып, ΔƒΔs қатынасының шегіне өтсек, онда анықтамаға сәйкес, u=ƒ(x, y, z) функциясының sвекторының бағыты бойынша(x, y, z) нүктедегі туындысын аламыз:
dƒdslimΔs0+ΔƒΔs=dƒdxcosα+dƒdycosβ+d ƒdzcosγ.
Назар аударыңыз! Дербес туындылар - бағыт бойынша туындының дербес жағдайлары. Мысалы, а=0 β=γ=PI2, яғни s=i=(1,0,0)=1∙i+0∙j+0∙k болса, онда
dƒ di=dƒdx=cos0+dƒdycosPI2+dƒdzcosPI2= dƒdx
Мысал. u= x2+ y2+ z2 функциясының s= i+j+k вектор бағыты бойынша М(1,1,1) нүктедегі туындысын табу керек.
Sвекторының бағыттаушы косинустарын табамыз:
cosα=1s=13, cosβ=1s=13, cosγ=1s=13, Берілген функцияның М (1,1,1) нүктедегі дербес туындыларын тауып алып, (2) формуланы қолданамыз.
dƒ ds=dƒdx= cosα+dƒ dy cosβ+dƒdz cosγ=2∙13+2∙13+2∙13=63
=23
Векторларды жіктеу тәсілдері
1) Векторларды координаттық осьтер бойынша жіктеу.
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік вектор деп атайды. Бағыты координаттың оң жарты осьтердің бағытындай бірлік векторлар координаттық векторлар немесе орттар деп аталады. Біз оларды х осі бойында және у осі бойында деп белгілейміз.
Ал координаттың векторлар нөлдік вектордан өзге және де коллинеар емес болатындықтан, кез келген векторды осы векторлар бойынша жіктеуге болады:
(*)
Осы жіктеудің мен коэффициенттерің табамыз. Ол үшін (*) теңдіктің екі жақ бөлігін де векторына көбейтеміз. Сонда
, ендеше
(*) теңдіктің екі жақ бөлігін де е 2 векторына осылайша кебейтіп, екенін табамыз.
Сонымен, кез келген векторды былай жіктеуге болады:
Сондықтан, егер болса, онда В нүктесі ОА жарты түзуінде жатады, ал одан болса, мен векторлары бірдей бағытталады. Егер де болса, онда В нүктесі толықтауыш жарты түзуде жатады да, мен векторлары қарама-қарсы бағытталады. векторыньщ абсолют шамасы мынаған тең:
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен нүктелері берілген. Сонда АВ мен ВА векторларының қарама-қарсы бағытталғанын дәлелдеңдер.
Шешуі. АВ векторының коордннаттары мен болады. ВА векторының координаттары мен болады. Біз мынаны көріп отырмыз: . Олай болса, АВ мен ВА векторлары қарама-қарсы бағытталған болып шығады. .[8,7]
2) Векторды коллинеар емес екі вектор бойынша жіктеу.
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес екі вектор коллинеар векторлар деп аталадығ Коллинеар векторлар не бірдей багытталган болады, не қарама-қарсы бағытталған болады.
Айталық, мен -- нолден өзге коллинеар векторлар болсын. Сонда саны табылып,
теңдігі орындалатынын дәлелдейік.
Айталық, мен векторлары бірдей багытталған болсын. Сонда және векторлары да бірдей бағытталған және олардың абсолют шамасы да бірдей болады. Демек. олар тең:
мен векторлары қарама-қарсы бағытталған болғанда былай тұжырымдаймыз:
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен -- нөлден өзге коллинеар емес векторлар болсын. Енді кез келген векторды
түрінде көрсетуге болатынын дәлелдейік.
Айталық, А мен В - векторының басы мен ұшы болсын. А мен В нүктелері арқылы және векторларына параллель түзулер жүргіземіз. Олар қандай да бір С нүктесінде қиылысады. Сонда:
- мен векторлары коллинеар болғандықтан, болады. мен векторлары коллинеар болгандықтан, болады. Сонымен, дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану
Мектеп көлемінде оқытылатын Векторлар тақырыбы күрделі тақырыптардың қатарына жатады. Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін сөз етер болсақ ІХ-сыныптың геометрия пәні бойынша өтетін алғашқы сабағы Параллель көшіру және оның қасиеттері тақырыбы. Тақырыпта параллель көшіру туралы түсінік былай басталады. Жазықтық бетіне декарттық координаттар х пен у-ті енгізейік. F фигурасын,оның кез келген (х, у) нуктесі (х+a, у+b) нуктесіне көшетіндей етіп, а мен b -- турақты шамалар, түлрендіруді параллель көшіру деп атайды.
Параллель көшіруді мынадай формулалармен көрсетіп береді:
Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) нүктесі ауысатын нүктенің х' пен у' координаттарын өрнектейді деп анықтама беру үшін осындай шұбалаңқы сөйлемдермен тұжырымдаған. Оқушыларға жоғарыдағыдай түсінік берсек олардың көкейіне қонбайтыны да белгілі, себебі беріліп тұрған анықтама оқушылардың басым көпшілігінің сана сезіміне негізделмеген. Сондықтан анықтама бермес бұрын координаттық жүйені енгізіп, одан координаттары (х, у) және (х', у') болатын М және N -нүктесін белгілеу керек. Осы екі нүктенің х осіндегі және у осіндегі сәйкесінше аралық санда а және b болсын деп келісілді.
Анықтама: Жазықтықтың кез-келген М(х,у) нүктесін N(х+a, у+b) нүктесіне көшіретіндей түрлендіруді параллель көшіру дейміз. .[13,26]
Жоғарыдағы түрлендірумен Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1 фигурасының кез-келген нүктесіне параллель көшіруге болады. Олай болса Ғ фигурасын тұтастай Ғ1 фигурасына параллель көшіруге болады.
Қысқаша былай жазамыз: .
1-ЕСЕП. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы төбеден тараған қабырғаларының ұзындықтарының қосындысының жартысынан кіші болатындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық АВС берілген үшбұрыш, ал АQ кесіндісі -- онын медианасы болсын (1-сурет).
1-сурет 2-сурет
Сонда (1) теңдіктен AQ = 12 АВ+ АС қатысы келіп шығады.
Ал АВ және АС векторлары коллинеар емес, сондықтан (А) теңсіздігі бойынша
АВ+ АСАВ+АС болады.
Ендеше AQ 12АВ+ АС немесе AQ 12 AB+AC
теңсіздігі орындалады. Дәлелдемекшізде осы болатын.
2-ЕСЕП. Тетраэдрдың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы төбеден тараған қырларының ұзындықтарының косындысының үштен бірінен кіші болатынлығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық NАВС берілген тетраэдр, ал G нүктесі -- онын АВС жағынын центроиды болсын, онда NG кесіндісі -- тетраэдрдың медианасы болады (2-сурет). Онда (2) теңдіктен
NG = 13NA+NB+NC теңдігі келіп шығады. Ал NA , NB және NC векторлары каллинеар болмағандықтан, (А) теңсіздігіне сүйеніп келесі теңсіздікті аламыз:
NA+NB+NC NA+NB+ NC
Олай болса екі қатыстан
NG немесе
NG теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы еді.
3-ЕСЕП. Кеңістікте АВ және СВ кесінділері берілген. М және N нүктелері -- сәйкес осы кесінділердің орталары. МN кесіндісінің ұзындығы, АD және ВС кесінділерінің ұзындықтарының қосындысынан артпайтындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Кеңістіктің кез келген О нүктесін аламыз (3-сурет).
Сонда (1) теңдікке сәйкес келесі теңдіктерді табамыз:
3-сурет
Енді векторын және векторлары арқ ылы өрнектейміз
-
Бұдан келесі теңдік келіп шығады:
. Ал АВ және СD -- кеңістіктегі кез келген кесінлілер болғанлықтан, (А) теңсіздігіне сәйкес
теңсіздігі орындалады. Олай болса соңғы екі катыстан = MN теңсізлігі келіп шығады. Дәлелдеу керегі де осы еді.
Дәлелденген теңсіздіктегі теңдік (=) белгісі және
векторлары бағытгас болғанда, басқаша етіп айтканда АВСD төртбұрышы -- трапеция болғанда тек сонда ғана орындалады.
4-ЕСЕП. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрінен оның ортоцентріне дейінгі арақашықтық сырттай сызылған шеңбердің радиусының үш еселенген ұзындығынан артпайтындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталык Н нүктесі - АВС үшбұрышының ортоцентрі, О нүктесі -- оған сырттай сызылған шеңбердің центрі, R -- сырттай сызыл-ған шеңбердің радиусының ұзындығы болсын (4-сурет).
4-сурет
Сонда (4) теңдік орындалады. Оның оң және сол жағындағы векторлардың ұзындықтарын салыстыра отырып, келесі теңсіздікті аламыз:
Бірақ = = = R, онда соңғы теңсіздіктен
3R--ОН 3R теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы болатын.
Векторлардың мектептегі геометрия курсында кеңінен пайдаланылатындығы белгілі. Дәлірек айтқанда, вектор, вектордың ұзыңдығы және векторлардың скаляр көбейтіңдісі ұғымдары геометрия курсыңда көптеген теоремаларды дәлелдеуде, түзулер арасындағы бұрышты және арақашықтықты табумен байланысты болып келген әртүрлі геометриялық есептерді шығаруда колданылады.
Енді параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны дәлелдеу ұшін төмендегі 1-сызбаны пайдаланамыз.
Қозғалыс болу үшін М және N нүктесінің арақашықтығы М1 және N1 нүктелерінің арақашықтығына тең бөлу керек, соны тексереміз.
бұдан МN= М1N1 олай болса параллель көшіру қозғалыс болғаны.
2°. Параллель көшіргенде нүктелер параллель (не беттесетін) түзулер бойымен бірдей қашықтыққа жылжиды.
Жоғарыдағы 1-сызбаны пайдаланып NМ1- кесіндісінің ортасын табайық, сонда нүктесінің координаттары мынадай болады:
Енді МN1 кесіндінің ортасын табайық, сонда яғни, О1 және О2 нүктелерінің координаттары бірдей, бұл екі нүкте бір ғана О нүктесін айкындайды деген сөз.
8-сыныпта өтілген параллелограмм туралы теорема бойынша төртбұрышы параллелограмм. Параллелограмның анықтамасы және параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең деген теорема бойынша.
Егер N нүктесі ММ1 түзуінде жатса. онда нүк-тесі де ММ1 түзуінде жатады. Себебі , кесіндісінің ортасы NМ1 кесіндісінің ортасымен дәлме - дәл беттеседы, бұдан М, N, М1, N1 нүктелері бір түзудің бойында жататындығы шығады, ал М және N нүктелері МN түзуінің бойымен қашықтыққа жылжиды. Сонымен бұл дәлелдеулерден мына сандар шығады:
Параллель көшіргенде түзу параллель түзуге (не өзіне) көшеді.
Енді мына төмендегі теореманы дәлелдеу әдісіне көңіл бөлейік.
Теорема: М және М1 екі нүкте қандай болса да М нүктесін М1 нүктесіне көшіретіндей параллель көшіру бар болады және ол тек біреу ғана болады.
Алдымен 1-сызбаны пайдалана отырып, ондай көшіру жолының бірден-біреу ғана екенін дәлелдейміз.
Айталық N1 нүктесі N нүктесі параллель көшіргенде оның көшетін нүктесі болсын. Өзіміз білетіндей мен кесінділерінің орта нүктелері О ортақ. N нүктесін көрсетіп берудің өзі кесіндісінің ортасы - О нүктесін бір мәнді анықтайды. Ал М мен О нүктелері N1 нүктесін бір мәнді анықтайды, өйткені О нүктесі кесіндісінің ортасы болып табылады.
N1 нүктесін анықтаудағы бір мәнділік деген сол параллель көшірудің бірден-біреу екендігін білдіреді. Енді М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін параллель көшірудің бар болатындығын дәлелдейік.
-- М нүктесінің -- М. нүктесінің координаттары болсын, сонда 3-сызба бойынша
екіншіден
бұл М нүктесі М1 нүктесіне мына формуламен параллель көшті деген сөз, яғни М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін параллель көшіру бар екен.
Айта кетер жайт параллель көшірудің анықтамасын беру мен қасиеттерін дәлелдеуге және есептер шығаруға 1 сағ. қалған екі теореманы дәлелдеуге және есеп шығаруға 1 сағ, сонымен бірге өтілгенді қорытындылауға және есептер шығаруға 1 сағ. уқыт бөлген дұрыс қой деп есептеймін.
Теорема: Параллель көшіруге кері саналатын түрлендіру параллель көшіру болады.
Бірінен кейін екіншісі орындалатын параллель екі көшіру тағы да параллель көшіру болады.
Оқушыларға белгілі бір дәрежеде параллель көшіру туралы ұғым берілгендіктен жоғарыдағы теоремалардың дәлелдемесін оқушылардың ойлау қабілетіне негіздеп дәлелдеп көрсеткен жеткілікті.
шынында да
болса, онда
мұндағы сандар.
Параллель көшіру такырыбына есептер шығарғанда жалаң шығармай, оны координат жазыктығында көрсетіп отыру аса пайдалы, себебі векторлар туралы өткен кезде оның пайдасы өзінен-өзі көрініс береді. Енді есеп шығарудың бірнеше үлгісін көрсете кету артық болмас деп ойлаймын.
Есеп: Параллель көшіру мына формулалармен көрсетіп беріледі. Осы параллель көшіруде (0, 0), (1,0), (0, 2) нүктелері қандай нүктелерге көшеді?
Берілгені:
тк (0, 0)-?
(1,0)-?
(0, 2)-?
Шешуі:
Яғни
мұны координат жазықтығында көрсетейік. Есеп: Мынадай паралель көшіру формулаларындағы а мен b шамаларын табыңдар, сонда (1,2) нүктесі (3,4) нүктесіне көшетіндігі белгілі.
Берілгені:
(1,2)-- (3,4)
Тк: а, b-?
Шешуі: 1+а=3, а=2
2 +b = 4, b =2.
Координат жазықтығын пайдалана отырып параллель көшіруге есептер шығару алдын-ала айтылмаса да бұл оқушылар санасында вектор туралы, оның координаттары туралы, вектордың бағыттары туралы алғашқы ұғымдарды қалыптастыра бастайды.
Оқушыларға вектор туралы ұғым бергенде физика оқулығынан оларға таныс физикалық шамадарды, айталық күш, жылдамдық үдеу бұлардың сандық мәндері көрсетілумен бірге олардың бағыты да көрсетілетіндігін, айта кеткен орынды.
Физикада да, геометрияда да бағытталған кесіндіні вектор дейміз деп анықтама берілген. Вектордың абсолют шамасы және бағыты деген такырыпта бес анықтама үш теорема қарастырылған, мұндағы анықтамалар мен теоремалардың ара жігі ашып көрсетілген әдебиеттегі әңгімелер секілді баяндалған. Бұл жағдай материалды окығанда зеріктіріп жіберуі әбден мүмкін. Сол себепті мұғалімнің басты міндеті олардың ара жігін ашып көрсетуі. Сонымен бірге жасалған күнтізбелік жоспарларда оқушылардың алған білімін ұштап бекітіп отыруға өте аз уақыт қарастырылған.
Егер вектордың координаттарын сол вектордың басы мен ұшының координаттары бойынша көрсетер болсақ
Егер яғни векторының координаттарын оның осьтердегі проекциясының ұзындығымен көрсетер болсақ деп жазамыз. Осы жерде айта кетер жәй IX сыныптың физика оқулығындағы Векторларға амалдар қолдану бір-ақ сағатта өтіледі, онда векторлық шамаларды белгілеу, вектор проекциясы, векторларды қосу, векторды скалярға көбейту, векторларды азайту қарастырылған. Көріп отырғанымыздай оқушылардың физикадан вектор туралы алар ұғымы жеткіліксіз болады, ал геометрияда вектор проекциясы туралы сөз болмайды.
Сондықтан мына төмендегі есептерді қарастырып және оларды салыстыру арқылы сол тұйықтан шықтым ғой деп ойлаймын.
Есеп: Материялық нүктенің орын ауыстырулары көрсетілген. Орын ауыстыру векторларының координаттар осіндегі проекцияларын табыңдар.
Жоғарыдағы векторлар басы координат басымен дәл келетіндей етіп параллель көшіргенде біз мынаны алдық.
Вектордың проекциялары деген ұғыммен векторды координаттары деген ұғым мағыналас екенін оқушыларға ұғындыра білсек, онда біз вектор туралы оларға толық мағлұмат бердік деуге әбден болады.
Егер вектордың абсолют шамасын берілген екі нүктенің координаттарымен көрсетер болсақ болады, ал векторының абсолют шамасын оның осьтердегі проекцияларының ұзындығымен көрсетер болсақ.
Теорема: Тең векторлардың сәйкес координаттары тең болады.
Теорема: Егер векторлардың сәйкес координаттары тең болса, онда векторларда тең болады.
Берілгені: және
Ткерек: бұдан десек бұдан десек
Осы формулалармен берілген праллель көшіру арқылы М нүктесі М1 нүктесіне, N нүктесі N1 нүктесіне көшеді, яғни =
Есеп: Мына нүктелер берілген: А(0,1), В(1,0), С(1,2), D(2,1). Сонда векторы мен векторының тең болатындығын дәлелдендер. Шешуі: бұдан
Оқулықта есептер вектор тақырыбын оқып болғаннан кейін жинақтап бір-ақ берілген. Бұл оқушының өз бетінше есептер шығаруы үшін әжептәуір қиыншылық көрсетеді. Сондықтан мұғалім оқушының міндеті қай есептерді қарастыруға болатыны жөнінде арнайы нұсқау беруі керек.
Векторды қосудың анықтамасын және оларды қосудың ауыстырымдылық, терімділік заңдарының орындалатындығын меңгерткеннен кейін, оқушыларға есептер шығарту керек. Есептер шығару кезінде векторларға берілген анықтама бойынша және жазықтықтағы координат жүйесін пайдаланып векторларды қосу қатар жүргізілуі тиіс, бұлай істеу оқушылардың вектор туралы білімін ұштай түседі. Сөзіміз дәлелді болу үшін бірнеше есептер қарастыра кетейік.
Есеп: Векторлар қосындысын табыңдар мен .
Анықтама бойынша
Есеп: векторын табыңдар, сонда: ,
Анықтама бойынша
Есеп: векторының абсолют шамасын табыңдар, сонда:
Шешуі:
Оқушылардың вектор туралы ұғымын бекіте түсу үшін мына төмендегі есептің шешуін қарастырған аса пайдалы:
Есеп: М мен N нүктелері АВ мен СD кесінділерінің сәйкесінше орталары болып табылады. Мына векторлық теңдікті
дәлелдеңдер.
Берілгені:
1) векторын В нүктесі С нүктесімен дәл келетіндей етіп параллель көшіреміз.
Сонда
2)
вертикаль бұрыш бұдан бұдан
3) өлшем саламын
МВ=КМ' бұдан МА=КМ, бұдан олай болса КМ'АВ
Ендеше АКМ'М параллелограмм.
Ендеше ММ'=АК,
Есеп: мен векторлары перпендикуляр. Сонда болатындығын дәлелдендер.
Берілгені:
Дәлелдеу керек:
Шешуі: бұдан
Есеп: Үшбұрыштың төбелері А(1,1), В(4,1), С(4.5) берілген. Үшбұрыш бұрыштарының косинустарын табындар.
Табу керек: соsА, соsВ, соsС-?
Шешуі:
Қорыта айтқанда мектеп бағдарламасында векторларды оқыту үш бағытта, вектордың басы мен ұшының координаттарын ескере отырып, вектордың координаттарын ескере отырып оқыту және координаттары ескерусіз қалдырылған таза векторлық тұрғыда оқыту көзделген. Оқытушының міндеті осы үш бағытты қатаң сақтай отырып оқушыларға талап деңгейінде білім беру.
1 -- есеп. Трапсцияның орта сызығы оның табандарына параллель жөне табандарының косындысыың жартысына тең болатыңдығьн дәлеллеу ксрек.
Берілгені: АВСД -- - трапеция. ЕҒ -- трапецияның орта сызығы.
В С
Е Ғ
А Д
1-сурет.
Дәлелдеу керегі: 1. ЕҒпараллель АД, ЕҒпараллель ВС
1. ЕҒ
Дәлелдеуі: 1 -- суретте көрсетілгендей етіп векторлар еңгіземіз: ЕҒ векторын ЕВСҒ векторлық көпбұрышынан табамыз:
(векторларын қосудың көпбұрыш ережесі бойынша ).
векторын ЕАДҒ векторлық көпбқрышынан табамыз.
(2) болады. Осы екі теңдікті мүшелеп қосамыз:
2+ (3) мен , пен , өзара қарама-қарсы вектрлар. Қарама-қарсы вектарлардың қосындысы нөл болатындығын ескерсек (3) теңдік мынандай түрге келеді:
2
Осыдан немесе
Ал, соңғы теңдіктен
параллель , параллель келіп шығады.
Осылардан . параллель , параллель келіп шығады және болады Дәлелдеу орындалды.
2 -- ессп. АВСД -- кезкелгеи төртбұрыш. Е және Ғ сәйкес АВ және СД қабырғаларының ортасындағы нүктелер.
векторы және векторларының косыңдысының жартысына тең болатындығын дәлелдеу керек.
В С
Е Ғ
Е Д
2-сурет
Дәлелдеуі: 2 -- суретте көрсетілгендей векторлар енгіземіз. Алдыңгғы есептің дәлелдеуі сияқты ЕВСҒ және ЕАДЕ векторлық көпбұрыштардың әрқайсысынан векторын табамыз,Ғ және Е нүктелері сәйкес АВ және СД
қабырғаларының орталарында жатқандықтан , ,
мен қарама-қарсы векторлар болды. Қарама-қарсы векторлардың қосыңдысы мол болғаңдықтан, бұл жағдайда да алдыңғы есептегі сияқты
болып шығады. Дәлелдеу орыңдалды.
Қарастырылған есептердегі төртбұрыштар жазықтықта жатқан фигуралар еді. Төртбұрыш кеңістік фигура болган жағдайда есептің дәлелдеуі кандай болатындығын байқайық.
3 -- есеп. а -- -- жазықтығында жатқан түзу. b -- осы жазықтықты Р нүктесінде қиып өтетіп түзу. Екі төбесі а түзуінде, ал калган екі төбесі в түзуіңде жататын АВСД төртбұрышының (3-сурет) АВ қабырғасының ортасы Е нүктесі, ал СД қабырғасының ортасы Ғ нүктесі.
3 -- сурет
болатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша а және b түзулері бір жазытықта жатпайды, өйткені олар айқас түзулер. Ендеше АВСД төртбұрышының ВС қабырғасы мен АД қабырғасы бір жазықтықта жатпайды. АВСД кеңістік төртбұрыш.
Векторлар еңгіземіз. Векторларды қосудың көпбұрыш ережесін пайдаланып векторын ЕВСҒ жәнс ЕАДҒ векторлық көпбұрыштардың әрқайсысынан табамыз, Алдыңғы екі есептің дәлелдеуіне аналогиялы ой өрбітеміз.
Нәтижесінде векторлық кеңістігі пайда болады. Дәлелдеу орындалды.
Қорытынды . 1. Қарастырылғаи үш есеп аналогиялы.
2. Мейлі төртбұрыш жазықтықта жатсын мейлі ол төртбұрыш кеңістік фигура болсын -- есептің шешуі бірдей.
Ескерту: теңдігінен
өрнегі туындайды. Бұл өрнектегі теңдік белгісі мен коллинеар болғанда ғана орындалады. Басқа жағдайларда ЕҒ кесіңдісінің ұзындығы ВС мен АД кесінділерінің осындысының жартысынан кем болады.
Қарастырылған есептің шешуі тетраэдрдің орта сызығы үшін де дұрыс болатындығын көрсетейік.
4 -- есеп. ВАСД тетраэдрының АВ және ДС қырларының орталары сәйкес Е және Ғ нүктелері
дәлелдеу керск.
4 -- сурет
Бұл ссептің шешуі алдыңғыы есептердің дәлелдеулерімен бірдей болғаңдықтан сызбаны (4 -- сурет) берумен шектелем. Векторлық әдісті қолданғанда аналогияны пайдалануға мысалдарды көптеп келтіруге болады. Мысалы, мына төмендегі теоремалардың дәлелдеулері аналогиялы болып келеді.
Теорема. Параллелограмның диагональдарың квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең.
Теорема. Параллелепипедтің диагональдарының квадраттарының қосыңдысы оныи қырларының квадраттарының қосындысына тең.
Мына төмендегі екі теоремалардың дәлелдсулері де анлогиялы болады.
Теорема. Ромбтың диагональдары өзара перпендикуляр.
Тіктөрібұрыштың диагональдары өзара тең.
Векторларды қолданып түрлі фигураларды бір теңдеумен анықтауға болады.
1-мысал. Түзуді және жазықтықты бір теңдеумен анықтауға болатындығын көрсетейік.
Түзудің теңдеуі. Кез келген а түзуінің теңдеуін табу үшін осы түзудің бойынан бір нүкте белгілейік. Ол М() нүктесі болсын (1-сурет) а түзудің кез келген нүктесін М деп белгілейік. Векторлар еңгізейік. М0М және а түзуіне перпендикуляр векторларын қарастырайық. Өзара перпеңдикуляр векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болады.
Сондықтан * =0 Бұл теңдеу а түзуінің векторлық тендеуі.
1 - сурет
Жазықтықтағы теңдеу. Кез келген жазықтығының теңдеуін табу үшін осы жазықтықта жатқан бір нүктені дсп белгілейік.
жазықтықтың кезкелген нүктесін М деп белгілейік. (2-сурет). және жазықтықта перпендикуляр векторларын қарастырайық. векторы жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, ол осы жазытықта жатқан векторларына да перпендикуляр болады. Сондықтан бұл екі вектордың скаляр көбейтіңдісі нөлге тең болады:
*=0
М
2-сурет
Сөйтіп түзудің нормаль теңдеуі (векторлық) мен жазытықтың нормаль тендеуі бірдей болып шықты.
2-мысал. Шеңбер меи сфераның теңдеулері бірдей болатыңдығын көрсетейік.
Шеңбердің теңдеуі. Радиусы R, центрі В нүктесінде болатын шеңбер алайы. (3-сурет). Шеңбердің кезкелген нүктесін М деп белгілейік. О -- жазықтықтағы кезкелген нүкте болсын. В жөне М нүктелерін О нүктесімен қосайық. Векторлар еңгізейік. ОВМ векторлық үшбұрышынан
- болады (екі вектордың айырым -- векторын табу ережесі бойынша). Осы теңдеудегі -нің орнына қоямыз. Соңда
- болады. Мұндағы нүктесінің радиус векторы. Оны деп белгілейік. ОВ -- шеңбердің центрінің радиус -- векторы. Оны деп белгілейік. Мұндағы ц центр сөзінен алынды. Сонда (3) тендеуді мына түрде жазуға болады: - = ( 4)
Теңдіктің екі жағының да скаляр көбейтіндісін жазайық. Сонда (5) болады. Осы тендеуді шеңбердің векторлық теңдеуі дейді.
Сфераның теңдеуі. Сфераның радиусы , ал центрі В нүктесі болсын. Сфера бетінде жатқан кез келген М деп белгілейік. О -- кеңістіктегі кезкелген нүкте болсын. В және М нүктелерін О нүктесімен қосайық. Векторлар еңгізейік. Сонда - немес
- шығады. Егер және векторларын сәйкес және деп белгілесек, теңдеуіміз мына түрге келеді: .
3-сурет
Осы теңдеудің екі жағының скаляр көбейтіңдісін жазайық:
Осы теңдеу сфераның векторлық теңдеуі деп аталады.
Сөйтіп, сферамен шеңбердің векторлық тендеулері бірдей екендігін көрдік.
.
1.4 СКАЛЯР ӨРІСІНІҢ ГРАДИЕНТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
u=ƒ(x, y, z) функциясының (x, y, z) нүктедегі градиенті деп gradƒ арқылы белгіленетін, келесі түрдегі векторды айтады:
gradƒ= dƒdx,dƒdy,dƒdz=dƒdxi+dƒdxj+dƒdxik (1.4.1)
2.2. п. (2) формуладан скаляр ƒ функцияның s0 = (cosα, cosβ, cosγ,) бірлік векторының бағыты бойынша туындысы gradƒ жәнеs0 векторларының скаляр көбейтіндісіне тең екенін көреміз:
dƒ ds0=(gradƒ,s0)(2)
Басқаша айтқанда, s0 бірлік векторының бағыты бойынша туынды gradƒ градиентінің s0 вектордағы проекциясына тең
dƒ ds0=gradƒ∙s0cosω=Прs0gradƒ
Сондықтан кез келген s векторы үшін келесі теңсіздік орындалады:
dƒ ds=gradƒ (1.4.2)
Егер s0= (cosα, cosβ, cosγ,) векторының бағыты gradƒ градиент бағытымен бірдей болса, онда нөл емес gradƒ!=0үшін (1.4.3)
Теңсіздікті теңдікке ауыстыра аламыз: dƒ ds=gradƒ , ал бағыты
одан басқа векторлар үшін қатаң теңсіздік орындалады.
Олай болса, ƒфункциясының (x, y, z) нүктесіндегі градиентін келесі екі қасиетке ие вектор ретінде анықтауға болады:
-градиенттің модулі, (x, y, z) нүктесіндегі бағыт бойынша туындылардың ең үлкен шамасына тең:
gradƒ= dƒ dx+dƒ dy+dƒ dz=maxdƒds
(x, y, z) нүктесінде дифференциалданатын функция үшін бұл максимум бар және ол теріс емес);
-градиенттің бағыты, dƒds туындысы ең үлкен s векторымен бағыттас.
Сонымен бірге градиенттің келесі маңызды қасиетін атап өтеміз:
10. Градиент деңгей бетінің нормалін көрсетеді (егер өріс жазықтықта берілсе, онда ол деңгей сызығының нормалін көрсетеді).
Ендеше, егер S беті Ф (x, y, z)=0 теңдеуімен берілсе, онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1.1 Вектордың скаляр аргумент бойынша туындысы және дифференциалы
Физикалық құбылыстарды математикалық жолмен зерттеу қажет болғанда, оларды сандар арқылы өрнектеу үшін кеңістікті арифметикаландыру әдісі жүргізіледі.Бірақ бұл үдеріс, физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде қолданылатын шамалар арифметикаландыру әдісіне тәуелсіз (инвариантты) болатындай етіп жүргізілуі қажет.Шамалар көбінесе екі түрлі болады: өзінің сандық мәні арқылы толық сипатталатын - скалярлық шама (ұзындық, көлем, тығыздық, масса, температура т.с.с.); сандық мәні және бағыты арқылы толық сипатталатын - векторлық шама (жылдамдық,үдеу,күш т.с.с).
Анықтама.Егер қандай да бір ∆ сандар жиынының әрбір нүктесіне а = a() векторы сәйкес қойылса, онда Δ жиынында скаляр аргумент -нің а ()вектор-функциясы (немесе векторлық функциясы) анықталды дейді.
Егер а = а () вектор-функциясы жататын кеңістіктің қандай да бір, мысалы, I,j,k базистік векторлар жүйесін алсақ, онда а векторын келесі векторлардың қосындысы түрінде жазуға болады:
A() = ax ()i + ay ()j +az()k (1.1.1)
мұнда ax(). ay(), az() арқылы a() векторының сәйкесі,j,k векторынапроекциялары (I,j,k базисіндегі координаттары:a()= (ax(),ay(),az()) белгіленген.Сонымен вектор-функцияның берілуі оның координаттары болатын үш скаляр функцияның: ax(), ay(), az() берілуімен парапар.
а() вектор-функцияның басы О координаттық бас нүктеден шығады, ал оның ұшы, аргумент -нің мәндеріне сәйкес,қандай да бір нүктелердің годограф деп аталатын геометриялық орнын құрайды (1.1-сурет)
(1.1-сурет)
Егер а() вектор функциясының i, j, k , базисіндегі координаттарын сәйкес x, y, z арқылы белгілесек,онда осы вектор годографының
x= ax(), y = ay(), z=az() (1.1.2)
түріндегі параметрлік теңдеулерін аламыз.Мысалы,
a()=(2 - 1)i +(+1)j+ k, ∈(-infinity,+infinity) вектор-функциясы годографының параметрлік теңдеулері x=2-1, y=+1, z=.Бұдан параметр t-ні шығарып тастап, годографтың канондық теңдеуңн аламыз:
x+12=y-11=z1.
Егер параметр белгілі бір 0 нүктесіне ұмтылғанда, а() вектор-функциясы қандайда бір тұрақты а0 векторына ұмтылады деген ұғымды анықтайды.
Анықтама. а() вектор-функциясы 0 нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын, ал а0 қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0 - 0δ(ε)теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а() - a0ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а() вектор функциясының t0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны өрнегі түрінде жазады.
Анықтамаданlimt--ta() және limt--t()-a=0
Анықтама. a() вектор-функциясынүктесінің қандайда бір маңайында аныұталсын, ал а қандай да бір вектор болсын.Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0 - 0δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а() - а0ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а0 векторын а() вектор-функциясы 0 нүктесіндегі шегі деп атайды және оны limt--t0a=aөрнегі түрінде жазады.
Анықтамадан limt--t0a=a және limt--t0a=a=0 теңдіктерінің парапар екенін көреміз.Бұл геометриялық түрде -- ұмтылғанда а() вектор-функциясының ұшы тұрақты а0 векторының ұшына мейлінше жақын келетінін көрсетеді (олардың бастары координаттардың бас нүктесінде түйіскен).
Сонымен бірге limа=a теңдігін а() = a + α() теңдігі арқылы да жазуға болады.(мұндағы α(t) - ақырсыз кішкене вектор-функция,яғни limα()=0).
Егерa0=(a1 ,a2 ,a3) болса,ондаlima()=a0 орындалуы үшін.
limt--t0ax=a1limt--t0ay=a2limt-- t0az=a3
теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті.Бұл тұжырымды келесі теңдікті пайдаланып дәлелдеуге болады.
a-a0=[ax-a12+ ay-a22+[az()-a3]2
Векторлық алгебра теориясындағы векторға қолданылатын амалдарды ескерсек, функцияның шегіне қатысты математикалық анализ курсынан белгілі қасиеттер вектор-функцияның шегі үшін де орындалады.Мысалы:
limt--t0a1xа2()= limt--t0a1xlimt--t0a2 (1.1.3)
теңдігінің орындалатынын көрсетейік.Бұл, егер (4) теңдігінің оң жағындағы шектер бар болса, онда оның сол жағындағы шек те бар және (4) теңдігі орындалады деген сөз.Алдымен,егер limt--t0p1=0 ал q(1) вектор-функциясы t0 нүктесінің қандайда бір маңайында шенелген болса онда
limt--t0p(t)xq(t)=0
теңдігінің орындалатынын атап өтеміз.Бұл теңдікті келесі теңсіздікті пайдаланып дәлелдеуге болады.
ptxqtptsinpq=ptq()
Енді limt--t0a1(t)=b, limt--t0a2()=c деп алайық.Онда α()=a1()-b және β()=a2()-cақырсыз кішкене вектор-функциялар.яғни limt--t0α()=0, limt--t0β()=0 теңсіздіктер орындалады.Бұдан ((5)-ті қараңыз)
limt--t0bxβ()=limt--t0α()xc=l imt--t0α()xβ(=0)
аламыз.Ал бұдан bxβ=α()xcxα()xβ()=bxβ()+α()xc +α(xβ()теңсіздігін пайдаланып, limt--t0bxβ()+α()xc+α()xβ()=0, яғни ,bxβ+αxc+αxβ=b=α, t--t0 ақырсыз кішкене вектор-функция екенін көреміз.Одан әрі қарай,
a1xa2 =b+αc+β
=bxc+bxβ+αxc+α-β=bxc+γ,
теңдігіненlimt--t0a1()xa2()=bxc немесеlimt--t0a1()xa2()=limt--t0a 1()xlimt--t0a2()() теңдікке келеміз.
Енді шектердің қасиеттерін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз.Бұл а() [вектор-функцияның шегін оның limt--t0a()=, (), a() проекциясының шегі арқылы табуға болатынын білдіреді.
Анықтама.а(t) вектор-функциясы аргументтің = нүктесінде және оның қандайда бір маңайындағы нүктелерде анықталсын.Егер limt--t0a() шегі бар және
limt--t0a()=a(0) (1.1.4)
теңдігі орындалса, онда а() вектор-функциясы =0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Егер ∆a()=a() - a(0), ∆=-0 белгілеулерін енгізсек, онда limt--t0a=a(0) теңдігін limt--t0[a=a(0)] немесе
limt--t0∆a()=0 (7)
арқылы жазуға болады.Олай болса, (7) теңсіздіктің орындалуы а() вектор-функциясы = мәнінде үзіліссіз болатынын қөрсетеді.
(6) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жаза отырып, = нүктесінде =(a(t), a(), a()) вектор-функциясы үзіліссіз болуы үшін, осы нүктеде a(), a(),
a() функцияларының үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті екенін көреміз,
Скаляр аргументтер тәуелді үзіліссіз вектор-функцияның годографы - үзіліссіз қисық, сонымен бірге үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы, айырымы, скалярлық және векторлық көбейтінділері, үзіліссіз вектор-функцияның үзіліссіз скаляр функцияға көбейтіндісінің үзіліссіз функциялар ᵗболатынын көруге болады.
(7) теңдігі және a-(t)=∆a() теңсіздігін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз limt--t0a()=a(0) .Ал бұл а() вектор функциясының үзіліссіздігінен оның а(t) модулінің үзіліссіздігі шығатынын көрсетеді.Бірақ бұған кері тұжырым дұрыс емес.Мысалы, келесі вектор-функция =1 нүктесінде үзілісті:
at=1ti+t2-1tj, егер!=1, t=0,j, егер=1,
(тексеріңіз), бірақ оның модулі тұрақты, 1-ге тең: a()=1,ал тұрақты шама - үзіліссіз.
Бұдан әрі жаңылыс тудырмаса, вектор-функцияны қысқаша вектор деп те атауымыз мүмкін.
а(t) вектор функциясы нүктесінің қандай да бір U() маңайдан алынған мәніне a() векторы сәйкес келеді,ал аргументтің осы мәніне мәніне +∆ саны U() маңайда жататындай ∆ өсімшесін қоссақ, оған
а( +∆ ) векторы сәйкес келеді.а() вектор-функциясының нүктесіне ( -бекітілген) сәйкес өсімшесі деп аталатын ∆а()=a( +∆ )˗a() айырымы скаляр айнымал ∆ -нің вектор-функциясы болады.(16 бет,1.2-суретте: ∆а()=MN).
Анықтама.Егер ∆ --0 ұмтылғанда қатынасының шегі бар болса.онда ол а() вектор-функцияның нүктедегі туындысы деп аталады да, а(), a(), cимволдарының беруімен белгіленеді:
. (1.1.5)
a()=((),a(), a()) вектор туындысындағы анықтамасындағы (8) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жазсақ,
яғни, а()=(a (), a (), a() )
теңдігін аламыз.Ал оның модулі:
ǀа(t)ǀ= (1.1.6)
Анықтама.Егер t нүктесінің қандайда бір маңайында анықталған а(t) вектор-функциясының ∆a()=b()∆ +0(∆), (1.1.7)
(мұндағы b()тек нүктесіне тәуелді қандай да бір вектор; ал
о(∆)қосылғышы шартын қанағаттандыратын вектор) теңдігі түрінде өрнектеуге болса,онда а() вектор-функциясын нүктесінде дифферациалданады дейді және а() вектор-функциясының нүктедегі дифференциалы деп аталады да, da() символымен белгіленеді: da()=b()∆.
Математикалық анализ курсында көрсетілгендей, а() вектор-функцияның берілген нүктеде дифференциалдануы мен оның осы нүктедегі ақырлы туындысының бар болуы парапар ұғымдар және а()=b() екенін көз жеткізуге болады.
Тәуелсіз айнымал үшін, анықтама бойынша d =∆ деп аламыз.Онда алдынғы айтылғандарды ескере отырып, da()=a()dt теңдігін жаза аламыз Ал бұдан (9) теңдікті ескеріп, а()=векторының дифференциалы мен оның модулің жаза аламыз:
da(t)=d (1.1.8)
│da(t)│= (1.1.9)
Келесі вектор-функцияларды дифференциалдау формулаларын скаляр функцияны дифференциалдау формулалары сияқты дәлелдеуге болады(жаттығу ретінде тексеріңіз):
1.( 2.
3. 4.
Келесі da() мен d│a()│дифференциалдарының арақатысын сипаттайтын теңдік жиі қолданылады.
d│a()│= (1.1.10)
мұндағы берілген a() векторының бірлік векторы.
Шынында да, белгілі теңдігінің екі жағын бойынша дифференциалдасақ, ал бұдан (14) теңдік шығады.
Назар аударыңыз! d│a(t)│шамасы мен da(t) векторының скаляр көбейтіндісіне тең,демек ол - da(t) векторының векторына проекциясы.
1.2 ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ
МЕХАНИКАЛЫҚ МАҒЫНАЛАРЫ
a(t) векторының туындысына геометриялық мағынасын қарастырайық.
∆a(t)=a( +∆ ) - a() мен векторы а() векторының годографасы а() мен a( +∆ ) векторларының ұштары арқылы өтетін MN қиюшыда орналасады. (1.2.1-сурет ).Егер ∆ 0 болса, онда ол векторлар годографтың t аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады.Егер ∆ 0 болса, онда ∆a() векторы бағытын қарама-қарсыға өзгертеді, яғни ол годографтың t аргументінің кемуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады, ал ∆ 0 болғандықтан векторы ∆a() векторына қарама-қарсы яғни бұрынғыдай, годографтың аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады.
(1.2.1-сурет)
Годогрофтың M нүктесіндегі жанама (бар болса) MN қиюшының ∆ --0 ұмтылғандағы шектік жағдайы екенін ескеріп, теңдік бойынша келесі тұжырымға келеміз: туындысы - a(t) векторынын ұшы арқылы жүргізілген годограф жанамасында орналасқан және годографтың аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталған вектор
Егер мұндағы a() вектор функцияның орнына оның бірлік векторын алсақ, онда, оның годографы радиусі 1-ге тең сферада орналасқандықтан, бірлік векторыдың туындысы бірлік векторына перпендикуляр вектор болады (өйткені радиустың ұшынан өтетін жанама осы радиусқа перпендикуляр).Ал векторы үшін (егер
│а()│тұрақты болмаса) бұл қасиет орындалмайды.Бірақ векторы а() вектор-функциясына перпендикуляр │a()│ векторы мен осы а() векторына коллинеар векторының қосындысына жіктеледі:
= (1.2.1)
Бұл теңдіктің дұрыстығына көз жеткізу үшін, а(t) векторын түрінде жазып алып, оны дифференциалдасақ болғаны.
Материалдық нүктенің орын ауыстыру траекториясы (1.2.2-сурет) келесі теңдікпен а(t)= x()i+y()j+z()k немесе параметрлік теңдеулер бойынша берілсін:
х= x(), y=y(), z=z(), - уақыт.
(1.2.2-сурет)
Онда Δа () = MN векторы нүктенің Δ уақыт ішіндегі ауысқан орнын, ал Δа ()Δt векторы нүкте қозғалысының Δ уақыт ішіндегі орташа жылдамдығын көрсетеді. Егер Δ 0 ұмтылдырып, Δа (t)Δt векторының шегіне өтсек, онда limΔt 0Δа ()Δ= dа ()d шегі - уақыт кезеңіндегі v жылдамдық векторын береді. Сонымен, вектор - функцияның - нүктедегі туындысының механикалық мағынасы ол нүкте қозғалысының уақыт кезеңіндегі жылдамдық векторы екен: а'() = v(). Бұдан (10) теңдікті пайдалансақ:
V= da()d=v()=dxd+dyd+dzd аалмыз.
Математикалық анализ курсынан х= x(), y=y(), z=z() теңдеуімен берілген s доға ұзындығының туындысы да осы формуламен өрнектелетіні белгілі:
ds(t)dt=dxd+dyd+dzd
Демек, вектор-функцияның t нүктедегі туындысының модулі (t уақыт кезеңіндегі жылдамдық вектордың модулі) t нүктесі сызатын s доғасы ұзындығының туындысына тең: V= da(t)dt
Ал вектор-функцияның нүктедегі дифференциялының модулі ((13) теңдікті қараңыз) мен х= x(), y=y(), z=z() теңдеуімен берілген s доғаның дифференциалын: ds() = dx+ dy+dz салыстырсақ, da=ds теңдігін аламыз: вектор-функцияның нүктедегі дифференциалының модулі нүктесі сызатын s доғаның дифференциалына тең.
1.3 СКАЛЯР ЖӘНЕ ВЕКТОР ӨРІСТЕРІ
Скаляр өріс
Қандай да бір физикалық құбылыс қарастырылатын кеңістіктің бөлігін немесе осы кеңістіктің өзін белгілеу үшін өріс ұғымы қолданылады.
Егер Ω жиынның әрбір Р нүктесіне скалярлық шама сәйкес қосылса, онда Ω жиыннында скаляр өрісі берілді дейді.
Егер кеңістікте қандай да бір OXYZ тікбұрышты координаттар жүйесі берілсе, онда скаляр өріске x,y,z - үш анымалдың (Р нүктенің координаттарының) функциясы ретінде немесе Р нүктесініңрадиус-векторы r-дің функциясы ретінде қарауға болады.
Анықтама. скаляр өрісінің деңгей беті деп, функциясы тек бір ғана мәнге ие болатын нүктелерінің геометриялық орнын, яғни жиынын айтады.
Екі өлшемді жағдайда скаляр өрісінің деңгей сызығы деп жазықтықтағы нүктелерінің жиынын айтады.
1-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.
Анықтама бойынша, Бұл - параллель жазықтықтар жиынтығы.
2-мысал. скаляр өрісінің деңгей сызығын табу керек.
Берілген скаляр өрісінің деңгей сызығын анықтама бойынша табамыз: Мұнда, С=0 болса, , түзулер жұбын аламыз; С!=0 болса, гиперболалар жиынтығын аламыз.
3-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.
Мұнда келесі шарт орындалуы керек: немесе Бұл шарттан берілген скаляр өрісі конусының сыртында және конустың О(0,0,0) төбесінен басқа нүктелерінде анықталатынын көреміз. Деңгей бетті табайық: =C, . Бұл - конусының сыртында орналасқан, симметрия өсі Oz және ортақ төбесі О(0,0,0) (бұл нүктеде скаляр өрісі анықталмаған) болатын дөңгелек конустар жиынтығы. Бұл жиынтықта конусының өзі де жатады.
Бағыт бойынша туынды
Скаляр өріс u=ƒ(M) скаляр функциясы арқылы берілсін. Өрісте жатқан M0 нүктесін алып, қандай да бір бағытты берілген s векторы бойынша таңдайық. Өрістен M0M векторы берілген s векторына коллинеар болатындай М нүктесін аламыз да, Δƒ арқылы Δƒ= ƒ(M) - ƒ(M0) айырымын, Δs арқылы M0M векторының ұзындығын: Δs= │M0M│ белгілейміз.
Анықтама. Егер M0M s векторына параллель бола отырып, Δs 0 нөлге ұмтылғанда, ΔƒΔs қатынасының шегі бар болса, онда оны u=ƒ(M) функциясының s векторының бағыты бойынша алынған M0 нүктедегі туындысы дейді және оны dƒds символымен белгілейді.
dƒМ0ds=limΔs 0ΔƒΔs=limΔs 0ƒM-ƒM0Δs, M0M s. (1.3.1)
Егер кеңістікте қандай да бір ОХYZ тікбұрышты координаттар жүйесі беріліп, u=ƒ(x, y, z) функциясы M (x, y, z) нүктесінде дифференциалданса, онда (1) теңдікті келесі түрде жазуға болады.
dƒМds=dƒ(x, y, z)dхcosα+dƒ(x, y, z)dycosβ=dƒ(x, y, z)dzcosγ (1.3.2)
Мұндағы cosα,cosβ, cosγ шамалары - s=a1i+a2j+a3k
векторының бағыттаушы косинустары, яғни cosα= a1s,
cosβ=a2s, cosγ=a3s, (s=a12+a22+a32).
(2) теңдікті дәлелдейік. Бағыттаушы косинустары cosα, cosβ,cosγ тең s векторы берілсін (s0 = (cosα, cosβ,cosγ) - оның орты). u=ƒ(x, y, z) функциясының s векторының бағыты бойынша М(x, y, z) Euro D нүктесіндегі туындысын анықтайық (1.3.1-сурет).
(1.3.1-сурет)
Егер s векторының бойынан М1(x+ Δx, y+Δy, z+Δz) нүктесін алсақ, онда М және М1 нүктелерінің арақашықтығы ММ1=Δs=Δx2+Δy2+Δz2 тең. Дифференциалданатын ƒ(x, y, z) функциясының толық өсімшесін жазайық:
Δ ƒ= dƒ dхΔx+dƒdy+Δy+dƒdхΔz+έ1∙Δy+έ3∙Δz. (1.3.3)
Мұнда, егер Δ s= Δx2+Δy2+Δz2 0 ұмтылса, онда έ1έ2έ3 шамалары да нөлге ұмтылады.
(3) теңдіктің барлық мүшелерін Δ s-ке бөлейік:
ΔƒΔ s=dƒdz∙∙ΔxΔs+dƒdy∙∙ΔyΔs+dƒdz∙ΔzΔs+έ 1∙ΔyΔs+έ2∙ΔyΔs+έ3∙ΔyΔs. (1.3.4)
Мұнда ΔxΔs=cosαΔyΔs=cosβΔzΔs=cosγ болғандықтан, (1.3.4) теңдікті келесі түрде жаза аламыз:
ΔƒΔs= dƒdхcosα+dƒdycosβ=dƒdzcosγ+έ1cosα+έ 2cosβ+έ3cosγ,
Егер мұнда Δs 0 нөлге ұмтылдырып, ΔƒΔs қатынасының шегіне өтсек, онда анықтамаға сәйкес, u=ƒ(x, y, z) функциясының sвекторының бағыты бойынша(x, y, z) нүктедегі туындысын аламыз:
dƒdslimΔs0+ΔƒΔs=dƒdxcosα+dƒdycosβ+d ƒdzcosγ.
Назар аударыңыз! Дербес туындылар - бағыт бойынша туындының дербес жағдайлары. Мысалы, а=0 β=γ=PI2, яғни s=i=(1,0,0)=1∙i+0∙j+0∙k болса, онда
dƒ di=dƒdx=cos0+dƒdycosPI2+dƒdzcosPI2= dƒdx
Мысал. u= x2+ y2+ z2 функциясының s= i+j+k вектор бағыты бойынша М(1,1,1) нүктедегі туындысын табу керек.
Sвекторының бағыттаушы косинустарын табамыз:
cosα=1s=13, cosβ=1s=13, cosγ=1s=13, Берілген функцияның М (1,1,1) нүктедегі дербес туындыларын тауып алып, (2) формуланы қолданамыз.
dƒ ds=dƒdx= cosα+dƒ dy cosβ+dƒdz cosγ=2∙13+2∙13+2∙13=63
=23
Векторларды жіктеу тәсілдері
1) Векторларды координаттық осьтер бойынша жіктеу.
Егер вектордың абсолют шамасы бірге тең болса, оны бірлік вектор деп атайды. Бағыты координаттың оң жарты осьтердің бағытындай бірлік векторлар координаттық векторлар немесе орттар деп аталады. Біз оларды х осі бойында және у осі бойында деп белгілейміз.
Ал координаттың векторлар нөлдік вектордан өзге және де коллинеар емес болатындықтан, кез келген векторды осы векторлар бойынша жіктеуге болады:
(*)
Осы жіктеудің мен коэффициенттерің табамыз. Ол үшін (*) теңдіктің екі жақ бөлігін де векторына көбейтеміз. Сонда
, ендеше
(*) теңдіктің екі жақ бөлігін де е 2 векторына осылайша кебейтіп, екенін табамыз.
Сонымен, кез келген векторды былай жіктеуге болады:
Сондықтан, егер болса, онда В нүктесі ОА жарты түзуінде жатады, ал одан болса, мен векторлары бірдей бағытталады. Егер де болса, онда В нүктесі толықтауыш жарты түзуде жатады да, мен векторлары қарама-қарсы бағытталады. векторыньщ абсолют шамасы мынаған тең:
Теорема дәлелденді.
Есеп. мен нүктелері берілген. Сонда АВ мен ВА векторларының қарама-қарсы бағытталғанын дәлелдеңдер.
Шешуі. АВ векторының коордннаттары мен болады. ВА векторының координаттары мен болады. Біз мынаны көріп отырмыз: . Олай болса, АВ мен ВА векторлары қарама-қарсы бағытталған болып шығады. .[8,7]
2) Векторды коллинеар емес екі вектор бойынша жіктеу.
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес екі вектор коллинеар векторлар деп аталадығ Коллинеар векторлар не бірдей багытталган болады, не қарама-қарсы бағытталған болады.
Айталық, мен -- нолден өзге коллинеар векторлар болсын. Сонда саны табылып,
теңдігі орындалатынын дәлелдейік.
Айталық, мен векторлары бірдей багытталған болсын. Сонда және векторлары да бірдей бағытталған және олардың абсолют шамасы да бірдей болады. Демек. олар тең:
мен векторлары қарама-қарсы бағытталған болғанда былай тұжырымдаймыз:
дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Айталық, мен -- нөлден өзге коллинеар емес векторлар болсын. Енді кез келген векторды
түрінде көрсетуге болатынын дәлелдейік.
Айталық, А мен В - векторының басы мен ұшы болсын. А мен В нүктелері арқылы және векторларына параллель түзулер жүргіземіз. Олар қандай да бір С нүктесінде қиылысады. Сонда:
- мен векторлары коллинеар болғандықтан, болады. мен векторлары коллинеар болгандықтан, болады. Сонымен, дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Планиметрияның кейбір есептерін шығаруға векторды қолдану
Мектеп көлемінде оқытылатын Векторлар тақырыбы күрделі тақырыптардың қатарына жатады. Векторлар тақырыбын оқыту әдістемесін сөз етер болсақ ІХ-сыныптың геометрия пәні бойынша өтетін алғашқы сабағы Параллель көшіру және оның қасиеттері тақырыбы. Тақырыпта параллель көшіру туралы түсінік былай басталады. Жазықтық бетіне декарттық координаттар х пен у-ті енгізейік. F фигурасын,оның кез келген (х, у) нуктесі (х+a, у+b) нуктесіне көшетіндей етіп, а мен b -- турақты шамалар, түлрендіруді параллель көшіру деп атайды.
Параллель көшіруді мынадай формулалармен көрсетіп береді:
Бұл формулалар параллель көшіргенде (х, у) нүктесі ауысатын нүктенің х' пен у' координаттарын өрнектейді деп анықтама беру үшін осындай шұбалаңқы сөйлемдермен тұжырымдаған. Оқушыларға жоғарыдағыдай түсінік берсек олардың көкейіне қонбайтыны да белгілі, себебі беріліп тұрған анықтама оқушылардың басым көпшілігінің сана сезіміне негізделмеген. Сондықтан анықтама бермес бұрын координаттық жүйені енгізіп, одан координаттары (х, у) және (х', у') болатын М және N -нүктесін белгілеу керек. Осы екі нүктенің х осіндегі және у осіндегі сәйкесінше аралық санда а және b болсын деп келісілді.
Анықтама: Жазықтықтың кез-келген М(х,у) нүктесін N(х+a, у+b) нүктесіне көшіретіндей түрлендіруді параллель көшіру дейміз. .[13,26]
Жоғарыдағы түрлендірумен Ғ фигурасының кез-келген нүктесін Ғ1 фигурасының кез-келген нүктесіне параллель көшіруге болады. Олай болса Ғ фигурасын тұтастай Ғ1 фигурасына параллель көшіруге болады.
Қысқаша былай жазамыз: .
1-ЕСЕП. Үшбұрыштың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы төбеден тараған қабырғаларының ұзындықтарының қосындысының жартысынан кіші болатындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық АВС берілген үшбұрыш, ал АQ кесіндісі -- онын медианасы болсын (1-сурет).
1-сурет 2-сурет
Сонда (1) теңдіктен AQ = 12 АВ+ АС қатысы келіп шығады.
Ал АВ және АС векторлары коллинеар емес, сондықтан (А) теңсіздігі бойынша
АВ+ АСАВ+АС болады.
Ендеше AQ 12АВ+ АС немесе AQ 12 AB+AC
теңсіздігі орындалады. Дәлелдемекшізде осы болатын.
2-ЕСЕП. Тетраэдрдың бір төбесінен жүргізілген медианасының ұзындығы, оның осы төбеден тараған қырларының ұзындықтарының косындысының үштен бірінен кіші болатынлығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталық NАВС берілген тетраэдр, ал G нүктесі -- онын АВС жағынын центроиды болсын, онда NG кесіндісі -- тетраэдрдың медианасы болады (2-сурет). Онда (2) теңдіктен
NG = 13NA+NB+NC теңдігі келіп шығады. Ал NA , NB және NC векторлары каллинеар болмағандықтан, (А) теңсіздігіне сүйеніп келесі теңсіздікті аламыз:
NA+NB+NC NA+NB+ NC
Олай болса екі қатыстан
NG немесе
NG теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы еді.
3-ЕСЕП. Кеңістікте АВ және СВ кесінділері берілген. М және N нүктелері -- сәйкес осы кесінділердің орталары. МN кесіндісінің ұзындығы, АD және ВС кесінділерінің ұзындықтарының қосындысынан артпайтындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Кеңістіктің кез келген О нүктесін аламыз (3-сурет).
Сонда (1) теңдікке сәйкес келесі теңдіктерді табамыз:
3-сурет
Енді векторын және векторлары арқ ылы өрнектейміз
-
Бұдан келесі теңдік келіп шығады:
. Ал АВ және СD -- кеңістіктегі кез келген кесінлілер болғанлықтан, (А) теңсіздігіне сәйкес
теңсіздігі орындалады. Олай болса соңғы екі катыстан = MN теңсізлігі келіп шығады. Дәлелдеу керегі де осы еді.
Дәлелденген теңсіздіктегі теңдік (=) белгісі және
векторлары бағытгас болғанда, басқаша етіп айтканда АВСD төртбұрышы -- трапеция болғанда тек сонда ғана орындалады.
4-ЕСЕП. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрінен оның ортоцентріне дейінгі арақашықтық сырттай сызылған шеңбердің радиусының үш еселенген ұзындығынан артпайтындығын дәлелдеңдер.
ДӘЛЕЛДЕУІ. Айталык Н нүктесі - АВС үшбұрышының ортоцентрі, О нүктесі -- оған сырттай сызылған шеңбердің центрі, R -- сырттай сызыл-ған шеңбердің радиусының ұзындығы болсын (4-сурет).
4-сурет
Сонда (4) теңдік орындалады. Оның оң және сол жағындағы векторлардың ұзындықтарын салыстыра отырып, келесі теңсіздікті аламыз:
Бірақ = = = R, онда соңғы теңсіздіктен
3R--ОН 3R теңсіздігі келіп шығады.
Дәлелдеу керегі де осы болатын.
Векторлардың мектептегі геометрия курсында кеңінен пайдаланылатындығы белгілі. Дәлірек айтқанда, вектор, вектордың ұзыңдығы және векторлардың скаляр көбейтіңдісі ұғымдары геометрия курсыңда көптеген теоремаларды дәлелдеуде, түзулер арасындағы бұрышты және арақашықтықты табумен байланысты болып келген әртүрлі геометриялық есептерді шығаруда колданылады.
Енді параллель көшірудің қасиеттеріне тоқталайық.
1°. Параллель көшіру дегеніміз козғалыс болады. Мұны дәлелдеу ұшін төмендегі 1-сызбаны пайдаланамыз.
Қозғалыс болу үшін М және N нүктесінің арақашықтығы М1 және N1 нүктелерінің арақашықтығына тең бөлу керек, соны тексереміз.
бұдан МN= М1N1 олай болса параллель көшіру қозғалыс болғаны.
2°. Параллель көшіргенде нүктелер параллель (не беттесетін) түзулер бойымен бірдей қашықтыққа жылжиды.
Жоғарыдағы 1-сызбаны пайдаланып NМ1- кесіндісінің ортасын табайық, сонда нүктесінің координаттары мынадай болады:
Енді МN1 кесіндінің ортасын табайық, сонда яғни, О1 және О2 нүктелерінің координаттары бірдей, бұл екі нүкте бір ғана О нүктесін айкындайды деген сөз.
8-сыныпта өтілген параллелограмм туралы теорема бойынша төртбұрышы параллелограмм. Параллелограмның анықтамасы және параллелограмның қарама-қарсы қабырғалары тең деген теорема бойынша.
Егер N нүктесі ММ1 түзуінде жатса. онда нүк-тесі де ММ1 түзуінде жатады. Себебі , кесіндісінің ортасы NМ1 кесіндісінің ортасымен дәлме - дәл беттеседы, бұдан М, N, М1, N1 нүктелері бір түзудің бойында жататындығы шығады, ал М және N нүктелері МN түзуінің бойымен қашықтыққа жылжиды. Сонымен бұл дәлелдеулерден мына сандар шығады:
Параллель көшіргенде түзу параллель түзуге (не өзіне) көшеді.
Енді мына төмендегі теореманы дәлелдеу әдісіне көңіл бөлейік.
Теорема: М және М1 екі нүкте қандай болса да М нүктесін М1 нүктесіне көшіретіндей параллель көшіру бар болады және ол тек біреу ғана болады.
Алдымен 1-сызбаны пайдалана отырып, ондай көшіру жолының бірден-біреу ғана екенін дәлелдейміз.
Айталық N1 нүктесі N нүктесі параллель көшіргенде оның көшетін нүктесі болсын. Өзіміз білетіндей мен кесінділерінің орта нүктелері О ортақ. N нүктесін көрсетіп берудің өзі кесіндісінің ортасы - О нүктесін бір мәнді анықтайды. Ал М мен О нүктелері N1 нүктесін бір мәнді анықтайды, өйткені О нүктесі кесіндісінің ортасы болып табылады.
N1 нүктесін анықтаудағы бір мәнділік деген сол параллель көшірудің бірден-біреу екендігін білдіреді. Енді М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін параллель көшірудің бар болатындығын дәлелдейік.
-- М нүктесінің -- М. нүктесінің координаттары болсын, сонда 3-сызба бойынша
екіншіден
бұл М нүктесі М1 нүктесіне мына формуламен параллель көшті деген сөз, яғни М нүктесін М1 нүктесіне көшіретін параллель көшіру бар екен.
Айта кетер жайт параллель көшірудің анықтамасын беру мен қасиеттерін дәлелдеуге және есептер шығаруға 1 сағ. қалған екі теореманы дәлелдеуге және есеп шығаруға 1 сағ, сонымен бірге өтілгенді қорытындылауға және есептер шығаруға 1 сағ. уқыт бөлген дұрыс қой деп есептеймін.
Теорема: Параллель көшіруге кері саналатын түрлендіру параллель көшіру болады.
Бірінен кейін екіншісі орындалатын параллель екі көшіру тағы да параллель көшіру болады.
Оқушыларға белгілі бір дәрежеде параллель көшіру туралы ұғым берілгендіктен жоғарыдағы теоремалардың дәлелдемесін оқушылардың ойлау қабілетіне негіздеп дәлелдеп көрсеткен жеткілікті.
шынында да
болса, онда
мұндағы сандар.
Параллель көшіру такырыбына есептер шығарғанда жалаң шығармай, оны координат жазыктығында көрсетіп отыру аса пайдалы, себебі векторлар туралы өткен кезде оның пайдасы өзінен-өзі көрініс береді. Енді есеп шығарудың бірнеше үлгісін көрсете кету артық болмас деп ойлаймын.
Есеп: Параллель көшіру мына формулалармен көрсетіп беріледі. Осы параллель көшіруде (0, 0), (1,0), (0, 2) нүктелері қандай нүктелерге көшеді?
Берілгені:
тк (0, 0)-?
(1,0)-?
(0, 2)-?
Шешуі:
Яғни
мұны координат жазықтығында көрсетейік. Есеп: Мынадай паралель көшіру формулаларындағы а мен b шамаларын табыңдар, сонда (1,2) нүктесі (3,4) нүктесіне көшетіндігі белгілі.
Берілгені:
(1,2)-- (3,4)
Тк: а, b-?
Шешуі: 1+а=3, а=2
2 +b = 4, b =2.
Координат жазықтығын пайдалана отырып параллель көшіруге есептер шығару алдын-ала айтылмаса да бұл оқушылар санасында вектор туралы, оның координаттары туралы, вектордың бағыттары туралы алғашқы ұғымдарды қалыптастыра бастайды.
Оқушыларға вектор туралы ұғым бергенде физика оқулығынан оларға таныс физикалық шамадарды, айталық күш, жылдамдық үдеу бұлардың сандық мәндері көрсетілумен бірге олардың бағыты да көрсетілетіндігін, айта кеткен орынды.
Физикада да, геометрияда да бағытталған кесіндіні вектор дейміз деп анықтама берілген. Вектордың абсолют шамасы және бағыты деген такырыпта бес анықтама үш теорема қарастырылған, мұндағы анықтамалар мен теоремалардың ара жігі ашып көрсетілген әдебиеттегі әңгімелер секілді баяндалған. Бұл жағдай материалды окығанда зеріктіріп жіберуі әбден мүмкін. Сол себепті мұғалімнің басты міндеті олардың ара жігін ашып көрсетуі. Сонымен бірге жасалған күнтізбелік жоспарларда оқушылардың алған білімін ұштап бекітіп отыруға өте аз уақыт қарастырылған.
Егер вектордың координаттарын сол вектордың басы мен ұшының координаттары бойынша көрсетер болсақ
Егер яғни векторының координаттарын оның осьтердегі проекциясының ұзындығымен көрсетер болсақ деп жазамыз. Осы жерде айта кетер жәй IX сыныптың физика оқулығындағы Векторларға амалдар қолдану бір-ақ сағатта өтіледі, онда векторлық шамаларды белгілеу, вектор проекциясы, векторларды қосу, векторды скалярға көбейту, векторларды азайту қарастырылған. Көріп отырғанымыздай оқушылардың физикадан вектор туралы алар ұғымы жеткіліксіз болады, ал геометрияда вектор проекциясы туралы сөз болмайды.
Сондықтан мына төмендегі есептерді қарастырып және оларды салыстыру арқылы сол тұйықтан шықтым ғой деп ойлаймын.
Есеп: Материялық нүктенің орын ауыстырулары көрсетілген. Орын ауыстыру векторларының координаттар осіндегі проекцияларын табыңдар.
Жоғарыдағы векторлар басы координат басымен дәл келетіндей етіп параллель көшіргенде біз мынаны алдық.
Вектордың проекциялары деген ұғыммен векторды координаттары деген ұғым мағыналас екенін оқушыларға ұғындыра білсек, онда біз вектор туралы оларға толық мағлұмат бердік деуге әбден болады.
Егер вектордың абсолют шамасын берілген екі нүктенің координаттарымен көрсетер болсақ болады, ал векторының абсолют шамасын оның осьтердегі проекцияларының ұзындығымен көрсетер болсақ.
Теорема: Тең векторлардың сәйкес координаттары тең болады.
Теорема: Егер векторлардың сәйкес координаттары тең болса, онда векторларда тең болады.
Берілгені: және
Ткерек: бұдан десек бұдан десек
Осы формулалармен берілген праллель көшіру арқылы М нүктесі М1 нүктесіне, N нүктесі N1 нүктесіне көшеді, яғни =
Есеп: Мына нүктелер берілген: А(0,1), В(1,0), С(1,2), D(2,1). Сонда векторы мен векторының тең болатындығын дәлелдендер. Шешуі: бұдан
Оқулықта есептер вектор тақырыбын оқып болғаннан кейін жинақтап бір-ақ берілген. Бұл оқушының өз бетінше есептер шығаруы үшін әжептәуір қиыншылық көрсетеді. Сондықтан мұғалім оқушының міндеті қай есептерді қарастыруға болатыны жөнінде арнайы нұсқау беруі керек.
Векторды қосудың анықтамасын және оларды қосудың ауыстырымдылық, терімділік заңдарының орындалатындығын меңгерткеннен кейін, оқушыларға есептер шығарту керек. Есептер шығару кезінде векторларға берілген анықтама бойынша және жазықтықтағы координат жүйесін пайдаланып векторларды қосу қатар жүргізілуі тиіс, бұлай істеу оқушылардың вектор туралы білімін ұштай түседі. Сөзіміз дәлелді болу үшін бірнеше есептер қарастыра кетейік.
Есеп: Векторлар қосындысын табыңдар мен .
Анықтама бойынша
Есеп: векторын табыңдар, сонда: ,
Анықтама бойынша
Есеп: векторының абсолют шамасын табыңдар, сонда:
Шешуі:
Оқушылардың вектор туралы ұғымын бекіте түсу үшін мына төмендегі есептің шешуін қарастырған аса пайдалы:
Есеп: М мен N нүктелері АВ мен СD кесінділерінің сәйкесінше орталары болып табылады. Мына векторлық теңдікті
дәлелдеңдер.
Берілгені:
1) векторын В нүктесі С нүктесімен дәл келетіндей етіп параллель көшіреміз.
Сонда
2)
вертикаль бұрыш бұдан бұдан
3) өлшем саламын
МВ=КМ' бұдан МА=КМ, бұдан олай болса КМ'АВ
Ендеше АКМ'М параллелограмм.
Ендеше ММ'=АК,
Есеп: мен векторлары перпендикуляр. Сонда болатындығын дәлелдендер.
Берілгені:
Дәлелдеу керек:
Шешуі: бұдан
Есеп: Үшбұрыштың төбелері А(1,1), В(4,1), С(4.5) берілген. Үшбұрыш бұрыштарының косинустарын табындар.
Табу керек: соsА, соsВ, соsС-?
Шешуі:
Қорыта айтқанда мектеп бағдарламасында векторларды оқыту үш бағытта, вектордың басы мен ұшының координаттарын ескере отырып, вектордың координаттарын ескере отырып оқыту және координаттары ескерусіз қалдырылған таза векторлық тұрғыда оқыту көзделген. Оқытушының міндеті осы үш бағытты қатаң сақтай отырып оқушыларға талап деңгейінде білім беру.
1 -- есеп. Трапсцияның орта сызығы оның табандарына параллель жөне табандарының косындысыың жартысына тең болатыңдығьн дәлеллеу ксрек.
Берілгені: АВСД -- - трапеция. ЕҒ -- трапецияның орта сызығы.
В С
Е Ғ
А Д
1-сурет.
Дәлелдеу керегі: 1. ЕҒпараллель АД, ЕҒпараллель ВС
1. ЕҒ
Дәлелдеуі: 1 -- суретте көрсетілгендей етіп векторлар еңгіземіз: ЕҒ векторын ЕВСҒ векторлық көпбұрышынан табамыз:
(векторларын қосудың көпбұрыш ережесі бойынша ).
векторын ЕАДҒ векторлық көпбқрышынан табамыз.
(2) болады. Осы екі теңдікті мүшелеп қосамыз:
2+ (3) мен , пен , өзара қарама-қарсы вектрлар. Қарама-қарсы вектарлардың қосындысы нөл болатындығын ескерсек (3) теңдік мынандай түрге келеді:
2
Осыдан немесе
Ал, соңғы теңдіктен
параллель , параллель келіп шығады.
Осылардан . параллель , параллель келіп шығады және болады Дәлелдеу орындалды.
2 -- ессп. АВСД -- кезкелгеи төртбұрыш. Е және Ғ сәйкес АВ және СД қабырғаларының ортасындағы нүктелер.
векторы және векторларының косыңдысының жартысына тең болатындығын дәлелдеу керек.
В С
Е Ғ
Е Д
2-сурет
Дәлелдеуі: 2 -- суретте көрсетілгендей векторлар енгіземіз. Алдыңгғы есептің дәлелдеуі сияқты ЕВСҒ және ЕАДЕ векторлық көпбұрыштардың әрқайсысынан векторын табамыз,Ғ және Е нүктелері сәйкес АВ және СД
қабырғаларының орталарында жатқандықтан , ,
мен қарама-қарсы векторлар болды. Қарама-қарсы векторлардың қосыңдысы мол болғаңдықтан, бұл жағдайда да алдыңғы есептегі сияқты
болып шығады. Дәлелдеу орыңдалды.
Қарастырылған есептердегі төртбұрыштар жазықтықта жатқан фигуралар еді. Төртбұрыш кеңістік фигура болган жағдайда есептің дәлелдеуі кандай болатындығын байқайық.
3 -- есеп. а -- -- жазықтығында жатқан түзу. b -- осы жазықтықты Р нүктесінде қиып өтетіп түзу. Екі төбесі а түзуінде, ал калган екі төбесі в түзуіңде жататын АВСД төртбұрышының (3-сурет) АВ қабырғасының ортасы Е нүктесі, ал СД қабырғасының ортасы Ғ нүктесі.
3 -- сурет
болатындығын дәлелдеу керек.
Дәлелдеуі: Есептің шарты бойынша а және b түзулері бір жазытықта жатпайды, өйткені олар айқас түзулер. Ендеше АВСД төртбұрышының ВС қабырғасы мен АД қабырғасы бір жазықтықта жатпайды. АВСД кеңістік төртбұрыш.
Векторлар еңгіземіз. Векторларды қосудың көпбұрыш ережесін пайдаланып векторын ЕВСҒ жәнс ЕАДҒ векторлық көпбұрыштардың әрқайсысынан табамыз, Алдыңғы екі есептің дәлелдеуіне аналогиялы ой өрбітеміз.
Нәтижесінде векторлық кеңістігі пайда болады. Дәлелдеу орындалды.
Қорытынды . 1. Қарастырылғаи үш есеп аналогиялы.
2. Мейлі төртбұрыш жазықтықта жатсын мейлі ол төртбұрыш кеңістік фигура болсын -- есептің шешуі бірдей.
Ескерту: теңдігінен
өрнегі туындайды. Бұл өрнектегі теңдік белгісі мен коллинеар болғанда ғана орындалады. Басқа жағдайларда ЕҒ кесіңдісінің ұзындығы ВС мен АД кесінділерінің осындысының жартысынан кем болады.
Қарастырылған есептің шешуі тетраэдрдің орта сызығы үшін де дұрыс болатындығын көрсетейік.
4 -- есеп. ВАСД тетраэдрының АВ және ДС қырларының орталары сәйкес Е және Ғ нүктелері
дәлелдеу керск.
4 -- сурет
Бұл ссептің шешуі алдыңғыы есептердің дәлелдеулерімен бірдей болғаңдықтан сызбаны (4 -- сурет) берумен шектелем. Векторлық әдісті қолданғанда аналогияны пайдалануға мысалдарды көптеп келтіруге болады. Мысалы, мына төмендегі теоремалардың дәлелдеулері аналогиялы болып келеді.
Теорема. Параллелограмның диагональдарың квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең.
Теорема. Параллелепипедтің диагональдарының квадраттарының қосыңдысы оныи қырларының квадраттарының қосындысына тең.
Мына төмендегі екі теоремалардың дәлелдсулері де анлогиялы болады.
Теорема. Ромбтың диагональдары өзара перпендикуляр.
Тіктөрібұрыштың диагональдары өзара тең.
Векторларды қолданып түрлі фигураларды бір теңдеумен анықтауға болады.
1-мысал. Түзуді және жазықтықты бір теңдеумен анықтауға болатындығын көрсетейік.
Түзудің теңдеуі. Кез келген а түзуінің теңдеуін табу үшін осы түзудің бойынан бір нүкте белгілейік. Ол М() нүктесі болсын (1-сурет) а түзудің кез келген нүктесін М деп белгілейік. Векторлар еңгізейік. М0М және а түзуіне перпендикуляр векторларын қарастырайық. Өзара перпеңдикуляр векторлардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болады.
Сондықтан * =0 Бұл теңдеу а түзуінің векторлық тендеуі.
1 - сурет
Жазықтықтағы теңдеу. Кез келген жазықтығының теңдеуін табу үшін осы жазықтықта жатқан бір нүктені дсп белгілейік.
жазықтықтың кезкелген нүктесін М деп белгілейік. (2-сурет). және жазықтықта перпендикуляр векторларын қарастырайық. векторы жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан, ол осы жазытықта жатқан векторларына да перпендикуляр болады. Сондықтан бұл екі вектордың скаляр көбейтіңдісі нөлге тең болады:
*=0
М
2-сурет
Сөйтіп түзудің нормаль теңдеуі (векторлық) мен жазытықтың нормаль тендеуі бірдей болып шықты.
2-мысал. Шеңбер меи сфераның теңдеулері бірдей болатыңдығын көрсетейік.
Шеңбердің теңдеуі. Радиусы R, центрі В нүктесінде болатын шеңбер алайы. (3-сурет). Шеңбердің кезкелген нүктесін М деп белгілейік. О -- жазықтықтағы кезкелген нүкте болсын. В жөне М нүктелерін О нүктесімен қосайық. Векторлар еңгізейік. ОВМ векторлық үшбұрышынан
- болады (екі вектордың айырым -- векторын табу ережесі бойынша). Осы теңдеудегі -нің орнына қоямыз. Соңда
- болады. Мұндағы нүктесінің радиус векторы. Оны деп белгілейік. ОВ -- шеңбердің центрінің радиус -- векторы. Оны деп белгілейік. Мұндағы ц центр сөзінен алынды. Сонда (3) тендеуді мына түрде жазуға болады: - = ( 4)
Теңдіктің екі жағының да скаляр көбейтіндісін жазайық. Сонда (5) болады. Осы тендеуді шеңбердің векторлық теңдеуі дейді.
Сфераның теңдеуі. Сфераның радиусы , ал центрі В нүктесі болсын. Сфера бетінде жатқан кез келген М деп белгілейік. О -- кеңістіктегі кезкелген нүкте болсын. В және М нүктелерін О нүктесімен қосайық. Векторлар еңгізейік. Сонда - немес
- шығады. Егер және векторларын сәйкес және деп белгілесек, теңдеуіміз мына түрге келеді: .
3-сурет
Осы теңдеудің екі жағының скаляр көбейтіңдісін жазайық:
Осы теңдеу сфераның векторлық теңдеуі деп аталады.
Сөйтіп, сферамен шеңбердің векторлық тендеулері бірдей екендігін көрдік.
.
1.4 СКАЛЯР ӨРІСІНІҢ ГРАДИЕНТІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
u=ƒ(x, y, z) функциясының (x, y, z) нүктедегі градиенті деп gradƒ арқылы белгіленетін, келесі түрдегі векторды айтады:
gradƒ= dƒdx,dƒdy,dƒdz=dƒdxi+dƒdxj+dƒdxik (1.4.1)
2.2. п. (2) формуладан скаляр ƒ функцияның s0 = (cosα, cosβ, cosγ,) бірлік векторының бағыты бойынша туындысы gradƒ жәнеs0 векторларының скаляр көбейтіндісіне тең екенін көреміз:
dƒ ds0=(gradƒ,s0)(2)
Басқаша айтқанда, s0 бірлік векторының бағыты бойынша туынды gradƒ градиентінің s0 вектордағы проекциясына тең
dƒ ds0=gradƒ∙s0cosω=Прs0gradƒ
Сондықтан кез келген s векторы үшін келесі теңсіздік орындалады:
dƒ ds=gradƒ (1.4.2)
Егер s0= (cosα, cosβ, cosγ,) векторының бағыты gradƒ градиент бағытымен бірдей болса, онда нөл емес gradƒ!=0үшін (1.4.3)
Теңсіздікті теңдікке ауыстыра аламыз: dƒ ds=gradƒ , ал бағыты
одан басқа векторлар үшін қатаң теңсіздік орындалады.
Олай болса, ƒфункциясының (x, y, z) нүктесіндегі градиентін келесі екі қасиетке ие вектор ретінде анықтауға болады:
-градиенттің модулі, (x, y, z) нүктесіндегі бағыт бойынша туындылардың ең үлкен шамасына тең:
gradƒ= dƒ dx+dƒ dy+dƒ dz=maxdƒds
(x, y, z) нүктесінде дифференциалданатын функция үшін бұл максимум бар және ол теріс емес);
-градиенттің бағыты, dƒds туындысы ең үлкен s векторымен бағыттас.
Сонымен бірге градиенттің келесі маңызды қасиетін атап өтеміз:
10. Градиент деңгей бетінің нормалін көрсетеді (егер өріс жазықтықта берілсе, онда ол деңгей сызығының нормалін көрсетеді).
Ендеше, егер S беті Ф (x, y, z)=0 теңдеуімен берілсе, онда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz