Скаляр аргументтің вектор функциясы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 75 бет
Таңдаулыға:

1 СКАЛЯР АРГУМЕНТТІҢ ВЕКТОР ФУНКЦИЯСЫ

1. 1 Вектордың скаляр аргумент бойынша туындысы және дифференциалы

Физикалық құбылыстарды математикалық жолмен зерттеу қажет болғанда, оларды сандар арқылы өрнектеу үшін кеңістікті арифметикаландыру әдісі жүргізіледі. Бірақ бұл үдеріс, физикалық құбылыстарды зерттеу кезінде қолданылатын шамалар арифметикаландыру әдісіне тәуелсіз (инвариантты) болатындай етіп жүргізілуі қажет. Шамалар көбінесе екі түрлі болады: өзінің сандық мәні арқылы толық сипатталатын - скалярлық шама (ұзындық, көлем, тығыздық, масса, температура т. с. с. ) ; сандық мәні және бағыты арқылы толық сипатталатын - векторлық шама (жылдамдық, үдеу, күш т. с. с) .

Анықтама. Егер қандай да бір ∆ сандар жиынының әрбір нүктесіне а = a( ) векторы сәйкес қойылса, онда Δ жиынында скаляр аргумент -нің а ( ) вектор-функциясы (немесе векторлық функциясы) анықталды дейді.

Егер а = а ( ) вектор-функциясы жататын кеңістіктің қандай да бір, мысалы, I, j, k базистік векторлар жүйесін алсақ, онда а векторын келесі векторлардың қосындысы түрінде жазуға болады:

A( ) = a _x ( ) i + a _y ( ) j + a _z ( ) k (1. 1. 1)

мұнда a _x ( ) . a _y ( ), a _z ( ) арқылы a ( ) векторының сәйкес і, j, k векторынапроекциялары (I, j, k базисіндегі координаттары: a ( ) = (a _x ( ), a _y ( ), a _z ( ) ) белгіленген. Сонымен вектор-функцияның берілуі оның координаттары болатын үш скаляр функцияның: a _x ( ), a _y ( ), a _z ( ) берілуімен парапар.

$C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\сканер\Изображение 245.jpg$ а( ) вектор-функцияның басы О координаттық бас нүктеден шығады, ал оның ұшы, аргумент -нің мәндеріне сәйкес, қандай да бір нүктелердің годограф деп аталатын геометриялық орнын құрайды (1. 1-сурет)

(1. 1-сурет)

Егер а( ) вектор функциясының i, j, k, базисіндегі координаттарын сәйкес x, y, z арқылы белгілесек, онда осы вектор годографының

x= a _x ( ), y = a _y ( ), z=a _z ( ) (1. 1. 2)

түріндегі параметрлік теңдеулерін аламыз. Мысалы,

a( ) =(2 - 1) i +(+1) j+ k, $\in ( - \infty, + \infty$ ) вектор-функциясы годографының параметрлік теңдеулері x=2 $- 1, \ \ y = + 1, \ \ z =$ . Бұдан параметр t-ні шығарып тастап, годографтың канондық теңдеуңн аламыз:

$\frac{x + 1}{2}$ = $\frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$ .

Егер «параметр белгілі бір ₀ нүктесіне ұмтылғанда, а( ) вектор-функциясы қандайда бір тұрақты а ₀ векторына ұмтылады» деген ұғымды анықтайды.

Анықтама. а( ) вектор-функциясы ₀ нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын, ал а ₀ қандай да бір вектор болсын. Егер берілген кез келген оң $\varepsilon$ саны бойынша 0< - ₀ < $\delta$ ( $\varepsilon$ ) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а( ) -a ₀ $< \varepsilon$ шарты орындалатын $\delta(\varepsilon)$ оң саны табылса, онда тұрақты а ₀ векторын а ( ) вектор функциясының t ₀ нүктесіндегі шегі деп атайды және оны өрнегі түрінде жазады.

Анықтамадан $\lim_{t \rightarrow t}{a() }^{}$ және $\lim_{t \rightarrow t}{() - a = 0}$

Анықтама. a ( ) вектор-функциясы нүктесінің қандайда бір маңайында аныұталсын, ал а қандай да бір вектор болсын. Егер берілген кез келген оң ε саны бойынша 0< - ₀ <δ(ε) теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін а( ) - а ₀ <ε шарты орындалатын δ(ε) оң саны табылса, онда тұрақты а ₀ векторын а( ) вектор-функциясы ₀ нүктесіндегі шегі деп атайды және оны $\underset{\text{t→t0}}{\text{lim}}{a() = a}$ өрнегі түрінде жазады.

Анықтамадан $\underset{\text{t→t0}}{\text{lim}}{a() = a}$ және $\underset{\text{t→t0}}{\text{lim}}{a() = a} = 0$ теңдіктерінің парапар екенін көреміз. Бұл геометриялық түрде $\rightarrow$ ұмтылғанда а( ) вектор-функциясының ұшы тұрақты а ₀ векторының ұшына «мейлінше жақын» келетінін көрсетеді (олардың бастары координаттардың бас нүктесінде түйіскен) .

Сонымен бірге $\lim\mathbf{а}() = a\mathbf{}$ теңдігін а( ) = a + α( ) теңдігі арқылы да жазуға болады. (мұндағы α(t) - ақырсыз кішкене вектор-функция, яғни $\lim\alpha() = 0) .$

Егерa ₀ $= (a_{1\, }a_{2\ \, }a_{3})$ болса, онда $\lim a() = a_{0}$ орындалуы үшін.

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{x}() = a_{1}\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{y}() = a_{2}\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{z}() = a_{3}$

теңсіздіктерінің орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл тұжырымды келесі теңдікті пайдаланып дәлелдеуге болады.

$\left a() - a_{0} = \sqrt{\lbrack a_{x}}() - a_{1} \right\rbrack{}^{2} + \ \left\lbrack a_{y}() - a_{2} \right\rbrack{}^{2} + \lbrack a_{z}() - a_{3}\rbrack{}^{2}$

Векторлық алгебра теориясындағы векторға қолданылатын амалдарды ескерсек, функцияның шегіне қатысты математикалық анализ курсынан белгілі қасиеттер вектор-функцияның шегі үшін де орындалады. Мысалы:

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}() \times а_{2}() = \ \lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}() \times \lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{2}()$ (1. 1. 3)

теңдігінің орындалатынын көрсетейік. Бұл, егер (4) теңдігінің оң жағындағы шектер бар болса, онда оның сол жағындағы шек те бар және (4) теңдігі орындалады деген сөз. Алдымен, егер $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\left p(1) \right = 0}$ ал q(1) вектор-функциясы t ₀ нүктесінің қандайда бір маңайында шенелген болса онда

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{p(t) \times q(t) = 0}$

теңдігінің орындалатынын атап өтеміз. Бұл теңдікті келесі теңсіздікті пайдаланып дәлелдеуге болады.

$\left p(t) \times q(t) \rightp(t) \left \sin{pq} \leq \left p(t) \right \rightq()$

Енді $\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}$ (t) =b, $\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{2}$ ( ) =c деп алайық. Онда $\alpha() = a_{1}() - b$ және $\beta() = a_{2}() - c$ ақырсыз кішкене вектор-функциялар. яғни $\underset{t \rightarrow t_{0}}{\ lim}{\alpha() = 0, \ \ }\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\beta() = 0}$ теңсіздіктер орындалады. Бұдан ((5) -ті қараңыз)

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{b \times \beta() =}\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\alpha() \times c =}\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\alpha() \times \beta( = 0) }$

аламыз. Ал бұдан b $\times \beta() = \alpha() \times c \times \alpha() \times \beta() \leq b \times \beta() + \alpha() \times c + \alpha( \times \beta()$ теңсіздігін пайдаланып, $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{b \times \beta() + \alpha() \times c + \alpha() \times \beta() = 0, }$ яғни, b $\times \beta() + \alpha\left( \times c + \alpha() \times \beta() \right \leq b = \alpha(), \ t \rightarrow t_{0}$ ақырсыз кішкене вектор-функция екенін көреміз. Одан әрі қарай,

$a_{1}() \times a_{2\ }() = \left b + \alpha() c + \beta() \right\rbrack$

$= b \times c + b \times \beta() + \alpha() \times c + \alpha() - \beta() = b \times c + \gamma(),$

теңдігінен $\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}() \times a_{2}() = b \times c$ немесе $\lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}() \times a_{2}() = \lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{1}() \times \lim_{t \rightarrow t_{0}}a_{2}()$ ( ) теңдікке келеміз.

Енді шектердің қасиеттерін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз. Бұл а( ) [вектор-функцияның шегін оның $\lim_{t \rightarrow t_{0}}a$ ( ) $=$ , ( ), a( ) проекциясының шегі арқылы табуға болатынын білдіреді.

Анықтама. а(t) вектор-функциясы аргументтің = нүктесінде және оның қандайда бір маңайындағы нүктелерде анықталсын. Егер $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{a() }$ шегі бар және

$\lim_{t \rightarrow t_{0}}{a() }$ =a( $_{0})$ (1. 1. 4)

теңдігі орындалса, онда а( ) вектор-функциясы = $_{0}$ нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Егер ∆a( ) =a( ) - a( $_{0}), \ \mathrm{\Delta} = -_{0}$ белгілеулерін енгізсек, онда ${\lim_{t \rightarrow t_{0}}a() =}{a{(}_{0}) }$ теңдігін ${\lim_{t \rightarrow t_{0}}\lbrack a() =}{a{(}_{0}) \rbrack}$ немесе

${\lim_{t \rightarrow t_{0}}\mathrm{\Delta}}{a() }$ =0 (7)

арқылы жазуға болады. Олай болса, (7) теңсіздіктің орындалуы а( ) вектор-функциясы = мәнінде үзіліссіз болатынын қөрсетеді.

(6) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жаза отырып, = нүктесінде =(a(t), a( ), a( ) ) вектор-функциясы үзіліссіз болуы үшін, осы нүктеде a( ), a( ),

a( ) функцияларының үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті екенін көреміз,

Скаляр аргументтер тәуелді үзіліссіз вектор-функцияның годографы - үзіліссіз қисық, сонымен бірге үзіліссіз вектор-функциялардың қосындысы, айырымы, скалярлық және векторлық көбейтінділері, үзіліссіз вектор-функцияның үзіліссіз скаляр функцияға көбейтіндісінің үзіліссіз функциялар ᵗболатынын көруге болады.

(7) теңдігі және $a() - (t) \leq \mathrm{\Delta}a()$ теңсіздігін пайдаланып, келесі теңдікті жаза аламыз $\lim_{t \rightarrow t_{0}}{\left a() \right = \left a(_{0}) \right}$ . Ал бұл $\left а() \right$ вектор функциясының үзіліссіздігінен оның $а(t)$ модулінің үзіліссіздігі шығатынын көрсетеді. Бірақ бұған кері тұжырым дұрыс емес. Мысалы, келесі вектор-функция =1 нүктесінде үзілісті:

$a(t) = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{t}i + \frac{t^{2} - 1}{t}j, \ егер \neq 1, \ t \geq 0, \\ j, \ \ \ \ егер = 1, \end{array} \right\}$

(тексеріңіз), бірақ оның модулі тұрақты, 1-ге тең: a( ) =1, ал тұрақты шама - үзіліссіз.

Бұдан әрі жаңылыс тудырмаса, «вектор-функцияны» қысқаша «вектор» деп те атауымыз мүмкін.

а(t) вектор функциясы нүктесінің қандай да бір U( ) маңайдан алынған мәніне a( ) векторы сәйкес келеді, ал аргументтің осы мәніне мәніне +∆ саны U( ) маңайда жататындай ∆ өсімшесін қоссақ, оған

а( +∆ ) векторы сәйкес келеді. а( ) вектор-функциясының нүктесіне ( -бекітілген) сәйкес өсімшесі деп аталатын ∆а( ) =a( +∆ ) ˗a( ) айырымы скаляр айнымал ∆ -нің вектор-функциясы болады. (16 бет, 1. 2-суретте: ∆а( ) =MN) .

Анықтама. Егер ∆ →0 ұмтылғанда қатынасының шегі бар болса. онда ол а( ) вектор-функцияның нүктедегі туындысы деп аталады да, а( ), a( ), cимволдарының беруімен белгіленеді:

. (1. 1. 5)

a( ) =( ( ), a( ), a( ) ) вектор туындысындағы анықтамасындағы (8) теңдікті (3) теңдіктер түрінде жазсақ,

яғни, а( ) =(a ( ), a ( ), a( ) )

теңдігін аламыз. Ал оның модулі:

ǀа(t) ǀ= (1. 1. 6)

Анықтама. Егер t нүктесінің қандайда бір маңайында анықталған а(t) вектор-функциясының ∆a( ) =b( ) ∆ +0(∆ ), (1. 1. 7)

(мұндағы b( ) тек нүктесіне тәуелді қандай да бір вектор; ал

о(∆ ) қосылғышы шартын қанағаттандыратын вектор) теңдігі түрінде өрнектеуге болса, онда а( ) вектор-функциясын нүктесінде дифферациалданады дейді және а( ) вектор-функциясының нүктедегі дифференциалы деп аталады да, da( ) символымен белгіленеді: da( ) =b( ) ∆ .

Математикалық анализ курсында көрсетілгендей, а( ) вектор-функцияның берілген нүктеде дифференциалдануы мен оның осы нүктедегі ақырлы туындысының бар болуы парапар ұғымдар және а( ) =b( ) екенін көз жеткізуге болады.

Тәуелсіз айнымал үшін, анықтама бойынша d =∆ деп аламыз. Онда алдынғы айтылғандарды ескере отырып, da( ) =a( ) dt теңдігін жаза аламыз Ал бұдан (9) теңдікті ескеріп, а( ) = векторының дифференциалы мен оның модулің жаза аламыз:
da(t) =d (1. 1. 8)

│da(t) │= (1. 1. 9)

Келесі вектор-функцияларды дифференциалдау формулаларын скаляр функцияны дифференциалдау формулалары сияқты дәлелдеуге болады(жаттығу ретінде тексеріңіз) :

1. ( 2.

3. 4.

Келесі da( ) мен d│a( ) │дифференциалдарының арақатысын сипаттайтын теңдік жиі қолданылады.

d│a( ) │= (1. 1. 10)

мұндағы берілген a( ) векторының бірлік векторы.

Шынында да, белгілі теңдігінің екі жағын бойынша дифференциалдасақ, ал бұдан (14) теңдік шығады.

Назар аударыңыз! d│a(t) │шамасы мен da(t) векторының скаляр көбейтіндісіне тең, демек ол - da(t) векторының векторына проекциясы.

1. 2 ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫНЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЖӘНЕ

МЕХАНИКАЛЫҚ МАҒЫНАЛАРЫ

a (t) векторының туындысына геометриялық мағынасын қарастырайық.

∆a(t) =a( +∆ ) - a( ) мен векторы а( ) векторының годографасы а( ) мен a( +∆ ) векторларының ұштары арқылы өтетін MN қиюшыда орналасады. (1. 2. 1-сурет ) . Егер ∆ >0 болса, онда ол векторлар годографтың t аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады. Егер ∆ <0 болса, онда ∆a( ) векторы бағытын қарама-қарсыға өзгертеді, яғни ол годографтың t аргументінің кемуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады, ал ∆ <0 болғандықтан векторы ∆a( ) векторына қарама-қарсы яғни бұрынғыдай, годографтың аргументінің $C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\сканер\Изображение 246.jpg$ өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталады.

(1. 2. 1-сурет)

Годогрофтың M нүктесіндегі жанама (бар болса) MN қиюшының ∆ →0 ұмтылғандағы шектік жағдайы екенін ескеріп, теңдік бойынша келесі тұжырымға келеміз: туындысы - a(t) векторынын ұшы арқылы жүргізілген годограф жанамасында орналасқан және годографтың аргументінің өсуі бойынша анықталған бағыты жағына қарай бағытталған вектор

Егер мұндағы a( ) вектор функцияның орнына оның бірлік векторын алсақ, онда, оның годографы радиусі 1-ге тең сферада орналасқандықтан, бірлік векторыдың туындысы бірлік векторына перпендикуляр вектор болады (өйткені радиустың ұшынан өтетін жанама осы радиусқа перпендикуляр) . Ал векторы үшін (егер

│а( ) │тұрақты болмаса) бұл қасиет орындалмайды. Бірақ векторы а( ) вектор-функциясына перпендикуляр │a( ) │ векторы мен осы а( ) векторына коллинеар векторының қосындысына жіктеледі:

= (1. 2. 1)

Бұл теңдіктің дұрыстығына көз жеткізу үшін, а(t) векторын түрінде жазып алып, оны дифференциалдасақ болғаны.

Материалдық нүктенің орын ауыстыру траекториясы (1. 2. 2-сурет) келесі теңдікпен а(t) = x( ) i+y( ) j+z( ) k немесе параметрлік теңдеулер бойынша берілсін:

х= x( ), y=y( ), z=z( ), - уақыт.

$C:\Documents and Settings\User\Рабочий стол\сканер\Изображение 247.jpg$

(1. 2. 2-сурет)

Онда Δа ( ) = $\overrightarrow{MN}$ векторы нүктенің Δ уақыт ішіндегі ауысқан орнын, ал $\frac{\Delta а\ () }{\Delta t}$ векторы нүкте қозғалысының Δ уақыт ішіндегі орташа жылдамдығын көрсетеді. Егер Δ 0 ұмтылдырып, $\frac{\Delta а\ (t) }{\Delta t}$ векторының шегіне өтсек, онда $\lim_{\Delta t\ \ 0}{\frac{\Delta а\ () }{\Delta} = \frac{\ dа\ () }{d}}$ шегі - уақыт кезеңіндегі v жылдамдық векторын береді. Сонымен, вектор - функцияның - нүктедегі туындысының механикалық мағынасы ол нүкте қозғалысының уақыт кезеңіндегі жылдамдық векторы екен: а' $()$ = v( ) . Бұдан (10) теңдікті пайдалансақ:

V= $\left \frac{da() }{d} \right = \left v() \right = \sqrt{\left( \frac{dx}{d} \right) }$ + $\left( \frac{dy}{d} \right) + \left( \frac{dz}{d} \right)$ аалмыз.

Математикалық анализ курсынан х= x( ), y=y( ), z=z( ) теңдеуімен берілген s доға ұзындығының туындысы да осы формуламен өрнектелетіні белгілі:

$\frac{ds(t) }{dt} = \sqrt{\left( \frac{dx}{d} \right) }$ + $\left( \frac{dy}{d} \right) + \left( \frac{dz}{d} \right)$

Демек, вектор-функцияның $\mathbf{t}$ нүктедегі туындысының модулі $\mathbf{(t}$ уақыт кезеңіндегі жылдамдық вектордың модулі) $\mathbf{t}$ нүктесі сызатын s доғасы ұзындығының туындысына тең: V= $\left \frac{da(t) }{dt} \right$

Ал вектор-функцияның нүктедегі дифференциялының модулі ((13) теңдікті қараңыз) мен х= x( ), y=y( ), z=z( ) теңдеуімен берілген s доғаның дифференциалын: ds( ) = $\sqrt{\left( dx() \right) + \ }\left( dy() \right) + \left( dz() \right)$ салыстырсақ, $da = ds$ теңдігін аламыз: вектор-функцияның нүктедегі дифференциалының модулі нүктесі сызатын $s$ доғаның дифференциалына тең.

1. 3 СКАЛЯР ЖӘНЕ ВЕКТОР ӨРІСТЕРІ

Скаляр өріс

Қандай да бір физикалық құбылыс қарастырылатын кеңістіктің бөлігін немесе осы кеңістіктің өзін белгілеу үшін « өріс » ұғымы қолданылады.

Егер Ω жиынның әрбір Р нүктесіне скалярлық шама сәйкес қосылса, онда Ω жиыннында скаляр өрісі берілді дейді.

Егер кеңістікте қандай да бір OXYZ тікбұрышты координаттар жүйесі берілсе, онда скаляр өріске x, y, z - үш анымалдың (Р нүктенің координаттарының) функциясы ретінде немесе Р нүктесініңрадиус-векторы r-дің функциясы ретінде қарауға болады.

Анықтама. скаляр өрісінің деңгей беті деп, функциясы тек бір ғана мәнге ие болатын нүктелерінің геометриялық орнын, яғни жиынын айтады.

Екі өлшемді жағдайда скаляр өрісінің деңгей сызығы деп жазықтықтағы нүктелерінің жиынын айтады.

1-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.

Анықтама бойынша, Бұл - параллель жазықтықтар жиынтығы.

2-мысал. скаляр өрісінің деңгей сызығын табу керек.

Берілген скаляр өрісінің деңгей сызығын анықтама бойынша табамыз: Мұнда, С=0 болса, , түзулер жұбын аламыз; С≠0 болса, гиперболалар жиынтығын аламыз.

3-мысал. скаляр өрісінің деңгей бетін табу керек.

Мұнда келесі шарт орындалуы керек: немесе Бұл шарттан берілген скаляр өрісі конусының сыртында және конустың О(0, 0, 0) төбесінен басқа нүктелерінде анықталатынын көреміз. Деңгей бетті табайық: =C, . Бұл - конусының сыртында орналасқан, симметрия өсі Oz және ортақ төбесі О(0, 0, 0) (бұл нүктеде скаляр өрісі анықталмаған) болатын дөңгелек конустар жиынтығы. Бұл жиынтықта конусының өзі де жатады.

Бағыт бойынша туынды

Скаляр өріс u=ƒ(M) скаляр функциясы арқылы берілсін. Өрісте жатқан M ₀ нүктесін алып, қандай да бір бағытты берілген s векторы бойынша таңдайық. Өрістен M ₀ M векторы берілген s векторына коллинеар болатындай М нүктесін аламыз да, Δƒ арқылы Δƒ= ƒ(M) - ƒ(M ₀ ) айырымын, Δ s арқылы M ₀ M векторының ұзындығын: Δ s = │M ₀ M│ белгілейміз.

Анықтама. Егер M ₀ M s векторына параллель бола отырып, Δs 0 нөлге ұмтылғанда, $\frac{\Delta ƒ}{\Delta\mathbf{s}}$ қатынасының шегі бар болса, онда оны u=ƒ(M) функциясының s векторының бағыты бойынша алынған M ₀ нүктедегі туындысы дейді және оны $\frac{\partial ƒ}{\partial\mathbf{s}}$ символымен белгілейді.

$\frac{\ \partial ƒ\left( М_{0} \right) }{\partial\mathbf{s}}$ = $\frac{\lim}{\Delta s\ \ \ \ \ \ \ 0}\frac{\Delta ƒ}{\Delta\mathbf{s}} = \frac{\lim}{\Delta s\ \ \ \ \ \ \ 0}\frac{ƒ(M) - ƒ\left( M_{0} \right) }{\Delta\mathbf{s}},$ M ₀ M $\mathbf{s. \ }$ (1. 3. 1)